Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Transcript

1 Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) = +5 (-) και (-) κάνει (-) = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι Βάζουμε το πρόσημο του «μεγαλύτερου» και αφαιρούμε (+) και (-) ή (-) και (+) = +3 Επειδή το 5 είναι μεγαλύτερο από το βάζουμε (+) = -3 Επειδή το 5 είναι μεγαλύτερο από το βάζουμε (-) +8 = +6 Επειδή το 8 είναι μεγαλύτερο από το βάζουμε (+) -8 + = -6 Επειδή το 8 είναι μεγαλύτερο από το βάζουμε (-) Το πρόσημο κάθε αριθμού είναι αυτό που έχει αριστερά του Το πρόσημο του +7είναι (+) Το πρόσημο του -0 είναι (-) + 7-0

2 Κανόνες των προσήμων Στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι το γινόμενό τους (και το πηλίκο τους) κάνει (+) (+) επί (+) κάνει (+) (+) * (+ 3) = +6 (-) επί (-) κάνει (+) (-) * (- 3) = +6 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι το γινόμενό τους (και το πηλίκο τους) κάνει (-) (+) επί (-) ή (-) επί (+) κάνει (-) (-)*(+ 5) = -0 (+) * (- 5) = -0 (+8) * ( ) = -6 (-8) * (+ ) = -6

3 Δύναμη αριθμού α ν Ο αριθμός α λέγεται βάση και ο αριθμός ν λέγεται εκθέτης

4 Πολλαπλασιασμός δυνάμεων με την ίδια βάση 3 5 a a a έ έ Διαίρεση δυνάμεων με την ίδια βάση 5 3 a a a ύ έ

5 Ύψωση δύναμης σε άλλη δύναμη (a) a 3 6 (0) 0 ά έ () (3) Πράξεις με δυνάμεις του 0 0 = 0 0 = = = = * 0 = 3 * 0 = 30 3 * 0 = 3 * 00 = * 0 3 = 3 * 000 = * 0 4 = 3 * 0000 = ,54 * 0 = 3,54 * 0 = 35,4 3,54 * 0 = 3,54 * 00 = 354 3,54 * 0 3 = 3,54 * 000 = ,54 * 0 4 = 3,54 * 0000 = 35400

6 3,54 * 0 5 = 3,54 * = , = :0 0 - = : = : = : = : * 0 - = 3 : 0 = 0,3 3 * 0 - = 3 : 00 = 0,03 3 * 0-3 = 3 : 000 = 0,003 3 * 0-4 = 3 : 0000 = 0,0003 3,54 * 0 - = 3,54 : 0 = 0,354 3,54 * 0 - = 3,54 :00 = 0,0354 3,54 * 0-3 = 3,54 : 000 = ,54 * 0-4 = 3,54 : 0000 = 0, ,54 * 0-5 = 3,54 : = 0,

7 Πως υψώνουμε γινόμενο σε μια δύναμη Υψώνουμε κάθε όρο του γινομένου στη δύναμη αυτή Δηλαδή ί Πως υψώνουμε κλάσμα σε μια δύναμη Υψώνουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή στη δύναμη αυτή Δηλαδή ί

8 Πως «εξαφανίζουμε» ένα εκθέτη, δηλαδή τον κάνουμε ίσο με Υψώνουμε στον αντίστροφο εκθέτη Π.χ. 6 3 ώ Π.χ. 5 3 ώ Π.χ. k P ώ P k k k P P P P

9 Πως πολλαπλασιάζουμε δυνάμεις με βάση τον ίδιο αριθμό 0 *0 3 = 0 5 Προσθέτουμε τους εκθέτες 0 4 *0 3 = 0 7 Προσθέτουμε τους εκθέτες 8 *8 3 = 8 5 Προσθέτουμε τους εκθέτες Ακόμη,3 * 0 * * 0 3 = 4,6 * 0 5 πολλαπλασιάζουμε πρώτα τους αριθμούς και μετά τις δυνάμεις,3 επί = 4,6 0 *0 3 = 0 5 Προσθέτουμε τους εκθέτες Επιμεριστική 5α 4 *(3α + α 3 ) = Πρώτα πολλαπλασιάζουμε το 5α 4 επί το 3α που κάνει +5α 6 Μετά πολλαπλασιάζουμε το 5α 4 επί το α 3 που κάνει +0α 7 Άρα συνολικά 5α 4 *(3α + α 3 ) = +5α 6 + 0α 7

10 Επιμεριστική 5α 4 *(3α + β 3 ) = Πρώτα πολλαπλασιάζουμε το 5α 4 επί το 3α που κάνει +5α 6 Μετά πολλαπλασιάζουμε το 5α 4 επί το β 3 που κάνει +0α 4 β 3 Άρα συνολικά 5α 4 *(3α + α 3 ) = +5α 6 + 0α 4 β 3 Επιμεριστική 5α 4 *(3α - β 3 ) = Πρώτα πολλαπλασιάζουμε το 5α 4 επί το 3α που κάνει +5α 6 Μετά πολλαπλασιάζουμε το 5α 4 επί το -β 3 που κάνει -0α 4 β 3 Άρα συνολικά 5α 4 *(3α - α 3 ) = +5α 6-0α 4 β 3

11 Σκέψεις και μαθηματικές εκφράσεις Ο αριθμός που είναι ίσος με τα δύο πέμπτα του x γράφεται x 5 Ο αριθμός που είναι ίσος με το μισό, δηλαδή το ένα δεύτερο, του x γράφεται x x Ο αριθμός που είναι ίσος με τα τρία τέταρτα του x γράφεται 3 x 4 Ο αριθμός που είναι κατά 3 μονάδες μεγαλύτερος από τον αριθμό x γράφεται x + 3 Ο αριθμός που είναι 3πλάσιος από τον αριθμό x γράφεται 3x Δηλαδή 3 επί x Ο αριθμός που είναι κατά 5 μονάδες μεγαλύτερος από το 3πλάσιο του αριθμού x γράφεται 3x + 5

12 Ο αριθμός που είναι κατά 4 μονάδες μικρότερος από τον αριθμό x γράφεται x - 4 Ο αριθμός που είναι 4πλάσιος από τον αριθμό x γράφεται 4x Δηλαδή 4 επί x Ο αριθμός που είναι κατά 5 μονάδες μικρότερος από το 4πλάσιο του αριθμού x γράφεται 4x - 5 Ο αριθμός που είναι κατά 7 μονάδες μικρότερος από τον αριθμό x γράφεται x - 7 Ο αριθμός που είναι 3πλάσιος από τον αριθμό x γράφεται 3x Δηλαδή 3 επί x Ο αριθμός που είναι κατά 7 μονάδες μικρότερος από το 3πλάσιο του αριθμού x γράφεται 3x - 7 Για τον αριθμό x που το τετράγωνό του κάνει 9 μπορούμε να γράψουμε x = 9 Για τον αριθμό x που ο κύβος του κάνει 64 μπορούμε να γράψουμε x 3 = 64

13 Τετραγωνική ρίζα του αριθμού 5 είναι εκείνος ο αριθμός που εάν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του κάνει 5 Αυτός είναι ο 5 ( Αφού 5 επί 5 κάνει 5 ) Άρα η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 5 είναι ο 5 Τετραγωνική ρίζα του αριθμού 36 είναι εκείνος ο αριθμός που εάν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του κάνει 36 Αυτός είναι ο 6 ( Αφού 6 επί 6 κάνει 36 ) Άρα η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 36 είναι ο 6 Τετραγωνική ρίζα του αριθμού 6 είναι εκείνος ο αριθμός που εάν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του κάνει 6 Αυτός είναι ο 4 ( Αφού 4 επί 4 κάνει 6 ) Άρα η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 6 είναι ο 4 Τετραγωνική ρίζα του αριθμού 00 είναι εκείνος ο αριθμός που εάν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του κάνει 00 Αυτός είναι ο 0 ( Αφού 0 επί 0 κάνει 00 ) Άρα η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 00 είναι ο 0

14 Ένα τετράγωνο οικόπεδο έχει εμβαδόν 00 τ.μ. ( m ). Να βρείτε την πλευρά του. Λύση Ο τύπος που δίνει το εμβαδόν του τετραγώνου είναι: Ε = α Όπου και Ε = το εμβαδόν α = η πλευρά του Αντικαθιστούμε και έχουμε: 00 = α Δηλαδή ζητάμε ένα αριθμό που όταν υψώνεται στη δεύτερη δύναμη, δηλαδή στο τετράγωνο, να κάνει 00. Αυτός ο αριθμός είναι η τετραγωνική ρίζα του 00. Ο αριθμός αυτός είναι το 0 ( αφού 0 επί 0 κάνει 00 ) Προβλήματα για λύση Ένα τετράγωνο οικόπεδο έχει εμβαδόν 44 τ.μ. ( m ). Να βρείτε την πλευρά του. Ένα τετράγωνο οικόπεδο έχει εμβαδόν τ.μ. ( m ). Να βρείτε την πλευρά του.

15 Μια δεξαμενή έχει μήκος 5 m, πλάτος 4 m και ύψος 3 m. Να βρείτε τον όγκο της. Λύση Ο τύπος που δίνει τον όγκο της δεξαμενής είναι: V = αβγ Όπου και V = ο όγκος α = το μήκος β = το πλάτος γ = το ύψος Αντικαθιστούμε και έχουμε: V = 5 m επί 4 m επί 3 m V = 60 m 3 Άρα ο όγκος της δεξαμενής είναι 60 κυβικά μέτρα ( 60 m 3 ) Προβλήματα για λύση Μια δεξαμενή έχει σχήμα κύβου με ακμή m. Να βρείτε τον όγκο της. Μια δεξαμενή που έχει σχήμα κύβου έχει όγκο 64 m 3. Να βρείτε την ακμή της.

16 Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 3(x 5) 4 x 0(x ) 4 Λύση ο βήμα Κάνουμε πράξεις 3x 5 4 x 40x 40 4 ο βήμα Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όποιος όρος αλλάζει μέρος αλλάζει μαζί και πρόσημο!!! 3x x 40x ο βήμα Κάνουμε αναγωγή των όμοιων όρων, δηλαδή όλα τα x μαζί σε ένα όρο και όλοι οι αριθμοί μαζί σε ένα όρο 4x 8 4 ο βήμα Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον αριθμό που πολλαπλασιάζεται με τον x, δηλαδή με το συντελεστή του άγνωστου x 4x <=> 4x Άρα x =

17 Η εξίσωση με την οποία μετατρέπουμε βαθμούς Κελσίου σε βαθμούς Φαρενάϊτ και αντίστροφα είναι η εξής: 5 C(F 3 ) ή 9 C 5(F 3 ) 9 Πρόβλημα Να μετατρέψετε τους βαθμούς Φαρενάϊτ σε βαθμούς Κελσίου. Λύση Στην εξίσωση αντικαθιστούμε όπου F = και βρίσκουμε το C C 5( 3 ) 9 5( 8 0) C 9 C 5 0 C 0 0 ί ί

18 Πρόβλημα Να μετατρέψετε τους 50 βαθμούς Κελσίου σε βαθμούς Φαρενάϊτ. Λύση Στην εξίσωση αντικαθιστούμε όπου C = 50 και βρίσκουμε το F 5 0 5(F 3 ) (F 3 ) F F F F 5 5 F F ί ά ϊ

19 Πως βρίσκουμε το ποσοστό % της μεταβολής Ένα ρούχο είχε αρχική τιμή 64 ευρώ. Αργότερα το αγοράσαμε 80 ευρώ. Να βρείτε το % ποσοστό της μεταβολής της τιμής του. Λύση Τιμή αρχ = 64 ευρώ Τιμή τελ = 80 ευρώ Μεταβολή = Τιμή τελ - Τιμή αρχ = = 6 ευρώ Ποσοστό % της μεταβολής % % % 0% Το θετικό πρόσημο ( + ) σημαίνει αύξηση ενώ το αρνητικό ( - ) ελάττωση.