ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ (Α Β ) = Ρ (Α) Ρ (Α Β ). Μονάδες 7 Α. Πότε δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα; Μονάδες 4 Α. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα f i µιας τιµής x i ενός δείγµατος. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Η διακύµανση εκφράζεται στις ίδιες µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες β) Σε µία κανονική κατανοµή το εύρος ισούται περίπου µε έξι φορές τη µέση τιµή, δηλαδή R 6x. Μονάδες γ) Για την παράγωγο µιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει ΘΕΜΑ Β (f(g (x))) = f (g (x)) g (x) Μονάδες δ) Πάντοτε ένα µεγαλύτερο δείγµα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσµατα από ένα µικρότερο δείγµα. Μονάδες ε) Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής είναι οµοιογενές, αν ο συντελεστής µεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 0%. Μονάδες Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και µαύρες σφαίρες. Παίρνουµε τυχαία µια σφαίρα. Η πιθανότητα να είναι µαύρη είναι P (M) = 4, η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι P (A) = 4 λ και η 7 πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι P (K) = 5λ +, όπου λ. Αν για το πλήθος Ν (Ω) των 4 σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64 < Ν (Ω) < 7, τότε Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

2 Β. Να δείξετε ότι Ν (Ω) = 68. Μονάδες 6 Β. Να υπολογιστεί η τιµή του λ. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες µαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί. Μονάδες 6 Β4. Παίρνουµε τυχαία µία σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή µαύρη. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές µιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους οµαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων µε κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων f i % έχει διαδοχικές κορυφές τις: Α (8, 0) Β (0, 0) Γ (, 0) (4, y ) E (6, y E ) Ζ (8, 0) Η (0, 0) όπου y, y Ε οι τεταγµένες των κορυφών και Ε του πολυγώνου ΑΒΓ ΕΖΗ. Γ. Να υπολογιστούν οι τεταγµένες y και y Ε των κορυφών και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι η µέση τιµή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι 400 ευρώ και το ευθύγραµµο τµήµα Ε είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα Μονάδες 7 Γ. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων f i %. Μονάδες Γ. Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων f i % της κατανοµής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Μονάδες 7 Γ4. Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 5000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. Μονάδες 4 Γ5. Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανοµής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθµό των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ4 ερώτηµα. Μονάδες 4 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

3 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση x x x+ 0 5 f( x) = e, x. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία. Μονάδες 8. Αν Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Α Β και Ρ (Α ), Ρ (Β ) είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ (Α Β ), Ρ (Α Β ), Ρ (Α Β ), Ρ (Β Α ). Μονάδες 8. ίνεται η συνάρτηση x x x 5 hx ( ) = e, x α) Να λυθεί η εξίσωση f (x) = h (x). Μονάδες β) Aν x < x < x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και v i = x i +, i =,, οι συχνότητες των τιµών x i τότε να βρείτε τη µέση τιµή των τιµών. Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

4 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, σελ. 5 σχολικού βιβλίου. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου. ύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα όταν A B=. Α. Θεωρία, σελ. 65 σχολικού βιβλίου. Η σχετική συχνότητα f i µιας τιµής x i ενός δείγµατος, vi προκύπτει από το λόγο fi =, όπου ν i είναι η συχνότητα της τιµής x i προς το µέγεθος ν v του δείγµατος. Έτσι, αν πολλαπλασιαστεί επί 00 εκφράζει την ποσοστιαία εµφάνιση της τιµής x i, σε σχέση µε το µέγεθος του δείγµατος ν. Α4. α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ. ΘΕΜΑ Β Β. Έστω Ν (Α ), Ν (Κ ), Ν (Μ ) τα πλήθη αντίστοιχα των άσπρων (Α ), κόκκινων (Κ ) και NM ( ) µαύρων (Μ ) σφαιρών. Επειδή PM ( ) =, θα είναι: = N( Ω ) = 4 N( M). 4 N( Ω) 4 Αφού 64 < Ν (Ω ) < 7 έπεται 64 < 4 Ν (Μ ) < 7 6 < Ν (Μ ) < 8. Αφού Ν (Μ) είναι φυσικός αριθµός, προκύπτει Ν (Μ ) = 7. Άρα Ν (Ω ) = 4 7 = 68. Β. Είναι Α Κ Μ = Ω, άρα Ρ (Α Κ Μ ) = Ρ (Ω) = (), µε Α Μ =, Α Κ =, Μ Κ =, δηλαδή τα Α, Κ, Μ, είναι ανά δύο ασυµβίβαστα. Έτσι η () γράφεται Ρ (Α ) + Ρ (Κ ) + Ρ (Μ ) =. 7 Προκύπτει έτσι + 4λ 5λ+ = 4λ 5λ+ = 0 λ = ή λ = Για λ = προκύπτει Ρ (Α ) = 4, οπότε η τιµή λ = απορρίπτεται διότι 0 Ρ (Α ). Για λ = προκύπτει PA= ( ), PK ( ) =, PM ( ) =. Άρα η τιµή λ = είναι η ζητούµενη. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

5 Β. NM ( ) PM ( ) = = NM ( ) = N( Ω ) = 68= 7. 4 N( Ω) N( A) Επίσης, PA ( ) = = NA ( ) = N( Ω ) = 68= 7. 4 N( Ω) ' NK ( ) P ( K) = = N( K) = N( Ω ) = 68 = 4. N( Ω) Β4. Έστω Α το ενδεχόµενο να επιλεγεί άσπρη σφαίρα και Μ το ενδεχόµενο να επιλεγεί µαύρη σφαίρα. Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α Μ. Επειδή τα Α, Μ είναι ασυµβίβαστα, είναι: PA ( M) = PA ( ) + PM ( ) = + =. 4 4 ΘΕΜΑ Γ Γ. Είναι: 7 y ye x = xifi = ,+ 0, , i= Γ. Είναι: Επειδή είναι x = 4, και y = y Ε έπεται y 4, = +,4 + 0 y +,8 4, 5, = 0y 9 = Άρα: y = y Ε = 0 ος τρόπος: Επειδή y + y Ε = 60 και Ε // x x είναι y = y Ε. Έτσι προκύπτει y = y Ε = 0. fi% 0 E 0 Γ 0 B Z A H xi (χιλιάδες ευρώ) Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5

6 Γ. Είναι: [ - ) x i f i % Σύνολο 00 Γ4. Σύµφωνα µε τον πίνακα του ερωτήµατος Γ, το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν το επιπλέον εφάπαξ ποσό είναι 40%. Γ5. Είναι ν = 80, διότι το εµβαδόν που περικλείεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το πλήθος ν των µετρήσεων. Έτσι ο αριθµός των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό, που αναφέρεται στο ερώτηµα Γ4, είναι: 80 40% =. ΘΕΜΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ως σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων, µε ' ' x x x+ x 0 5 x x+ 0 5 f '( x) = e = e x x + x = 0 5 x x x+ x x x = e x x+ x = e x x x x x+ 0 5 x x x+ 0 5 f '( x) = 0 e x x+ = 0 (αφού e 0 x R) 5 5 x x+ = 0 5x x+ = 0 x = ή x= Προκύπτει έτσι ο επόµενος πίνακας µεταβολών: x f f - / / Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6

7 Εποµένως η f είναι: γνησίως αύξουσα στο διάστηµα,, γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα, 5, γνησίως αύξουσα στο διάστηµα, Η f σύµφωνα µε το παρουσιάζει: τ. µέγιστο στη θέση x = τ. ελάχιστο στη θέση x =. 5 Είναι Α Β άρα Ρ (Α ) Ρ (Β ), οπότε Ακόµα, επειδή Α Β Α Β = Α. P( A ) = και PB= ( ). 5 Οπότε: PA ( B) = PA ( ) =. PA ( B) = PA ( ) PA ( B) = = 0. P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = + =. 5 5 PB ( A) = PB ( ) PA ( B) = = α) x x( x x+ ) x( x ) e x f( x) = h( x) e = e x x x x x+ = x x 5x x x+ = x x x 5x x x+ x x = x x 5x x+ + x+ = 0 5x x x + = 0 x( x 5x+ 6) = 0 x= 0, x =, x =. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 7

8 β) Είναι: x x x ν = + = 0+ =. ν = + = + = 5. ν = + = + = 7. Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας κατανοµής συχνοτήτων: x i v i x i v i x = 0 v = 0 x = v = 5 0 x = v = 7 v = Άρα x = =. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 8