ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να β) Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f fg, με g 0, όπου c πραγματική σταθερά. g Μονάδες 8 Μονάδες 4,5 Β.α) Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Στήλη Β συνάρτηση πρώτη παράγωγος α. 3. β γ δ β) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f e, 0 είναι:, A: e, B e e :, : e e : e e, E e e : Α.α) Σχολικό βιβλίο παρ..3, σελ. 3 cf cf β) fg f g fg f g Β.α) 5 f g g f g Μονάδες 8 Μονάδες 4,5

2 7 β) Το Δ. 000 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο A. Στη στήλη Ι του παρακάτω πίνακα υπάρχουν τα πρώτα μέλη των ισοτήτων οι οποίες εκφράζουν τους κανόνες παραγώγισης. Στη στήλη ΙΙ υπάρχουν τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων αυτών. ΣΤΗΛΗ Ι Α. (c f() ) Β. (f() + g() ) Γ. (f() g()) Δ. g()0 f g Ε. [f(g() )] με ΣΤΗΛΗ ΙΙ. f()g() + f()g(). f g fg g f g f() + g() 5. f() f() 6. c f() 7. f(g() )g() Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της πρώτης στήλης του πίνακα και, ακριβώς δίπλα, τον αριθμό της δεύτερης στήλης έτσι ώστε να προκύψουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης. Μονάδες,5

3 B. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:. f () = +. f () = e 3. f 3 () = + n, > 0 4. f 4 () =, - 5. f 5 () = ημ + 3 συν Μονάδες,5 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f της συνάρτησης f. Μονάδες 8 β. Να λύσετε την εξίσωση f () = 0. Μονάδες 8 γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (-, 0) και ( 3, +) ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( 0, 3 ). Μονάδες ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() ημ - 3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να βρείτε την παράγωγο f της συνάρτησης f. γ) Να υπολογίσετε την τιμή f (0). Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f () = α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της f. Μονάδες β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. 3

4 00 Μονάδες 3 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = συν + ημ. A. Να αποδείξετε ότι f() + f () = 0. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (0,). Μονάδες 8 Γ. Να βρείτε την τιμή λir για την οποία ισχύει η σχέση: λ f π π f =. Μονάδες 9 A. f() = συν + ημ, f () = (συν + ημ) = (συν) + (ημ) = - ημ + συν f () = (f ()) = (- ημ + συν) = (- ημ) +(συν) = συν ημ Άρα f() + f () = συν + ημ+ ( συν ημ) = 0 Β. η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (0,) είναι ε: y = λ + β, όπου λ = f (0). Δηλαδή ε: y = f (0) + β Είναι f (0) = - ημ0 + συν0 =, Άρα ε: y = + β Για το β: αντικαθιστώ τις συντεταγμένες του σημείου Α (0,) που είναι το σημείο επαφής της γραφικής παράστασης της f και της εφαπτομένης της ε. = 0, y = = 0 + β β = τελικά ε: y = + Γ. αφού μας δίνει τη σχέση λ Έχω: f = - ημ συν f = ημ +συν Άρα λ f π f f π π f π =, θα βρώ το f = λ (-) - = - λ = 4 λ = - 4 π και το f π 00 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο 4

5 Α.. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τότε να Α.. αποδείξετε ότι: c f() c f (), όπου c πραγματικός αριθμός. Μονάδες 6,5 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. f() g() f () g() f() g () β. fg() fg() g () γ. f() g() f() g() g () f() g() δ. ρ =ρ ρ -, ρ ρητός, >0 ε. ημ = συν, (g() 0) στ. συν = ημ Μονάδες 6 Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Συνάρτηση f α. ln β., > 0 γ. ημ3. Στήλη Β Πρώτη παράγωγος της f ημ. 3συν3, ημ συν συν 6. 3συν3 ημ Μονάδες 7,5 5

6 Β.. Αν f()= ( ) 4 και f(α) 7 4 να βρείτε την τιμή του α., όπου α πραγματικός αριθμός, τότε 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση f()= ημ + +, όπου R. Να βρείτε: α) το lim f() 0 β) την παράγωγο της συνάρτησης f Μονάδες 8 Μονάδες 9 γ) το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) τέμνει το ν άξονα y y. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f() = Να βρείτε:, όπου R. α) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα Μονάδες 0 β) τα ακρότατα της συνάρτησης f γ) τoν ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στο σημείο 0=0 δ) την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(0,f(0)). 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο Α. α) Στη Στήλη Ι του παρακάτω πίνακα δίνονται συναρτήσεις f() και στη Στήλη ΙΙ οι παράγωγοί τους f ( ). Να γράψετε τα γράμματα της Στήλης Ι και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 6

7 A. Στήλη Ι Συνάρτηση f() Β., > 0 Γ. ρ, > 0 και ρ ρητός Δ. ημ Ε. συν Στήλη ΙΙ Παράγωγος f ( ). -ημ. ρ- 3. συν ρ ρ ημ β) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f() και g() στο R. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f() + g(), f() g() με g() 0, f(g()). Μονάδες 7,5 B. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: α) f () = 3 + ημ + 3 συν β) f () = ( - ) γ) f3() δ) f4() 3 ΘΕΜΑ 4ο ε) f 5 () = συν( +3) Μονάδες,5 Δίνεται η συνάρτηση f() = , R. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. Μονάδες 0 β) Να βρείτε σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. 7

8 lim 5 γ) Να βρείτε το 3 6 Μονάδες 0 00 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() =. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 4 β. Να υπολογίσετε το όριο lim f() 3. Μονάδες 4 γ. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. Μονάδες 7 δ. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της καμπύλης της συνάρτησης f που είναι παράλληλες στην ευθεία y = + 5. Μονάδες 0 α) άρα Df = (-, -) (-, + ) β) lim f() 3 = 6 3 lim 3 4 γ) η συνάρτηση f() = = ( ), όπου Df.είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο f () = ( ) = ( ) δ) Αν Α ( o, f( o ) ) το σημείο επαφής τότε: f ( ο ) = ( ) = o = - ή o = 0 ()( ) ( ) ( ) = Άρα τα σημεία επαφής είναι Α (0, f(0) ) δηλαδή Α (0, 0) ή Α (-, f(-) ) δηλαδή Α (-, 4) με αντίστοιχες εφαπτόμενες y = και y = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f()=α(-), αιr. Α. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Ο(0, f(0)) να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45. 8

9 Μονάδες 0 Β. Για α=/, να βρείτε: α. την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της (, f()). β. τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 0 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση f()= , όπου ΙR.. Να βρείτε: α. το lim f(), β. την παράγωγο της συνάρτησης f και γ. τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 5 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο α) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f()= είναι f ()=. Μονάδες 9 β) Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη, θεωρώντας ότι υπάρχουν οι f () και g ().. f () g() f () g (). (ημ) = συν 3. f () g() f () g () 4. f() g() 5. f, >0 6. c f() c f () () g() f() g g() (), g() 0 7. συν ημ, ρ ρητός, >0 Μονάδες 6 ρ ρ 8. 9

10 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 0 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(). β) Να βρείτε τα : lim f(), lim f() Μονάδες γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ). Μονάδες ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f() = Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο: α. R β. (-,) γ. R- {-,} δ. (, + ) Β. Να αποδείξετε ότι f () < 0 για κάθε του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 7 Γ. Να υπολογίσετε το lim f() Μονάδες 6 Δ. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (0, f(0)) με τον άξονα. Μονάδες 7 AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 3 ο Α. γ Β. f () = ()( )( )( ) ( ) () 0 ( )( )( )( )( ) Γ. lim () f lim () lim f [ ] lim [ ] ( )( ) lim [ ] ( ) 0

11 Δ. Έστω ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (0, f(0)) με τον άξονα. Ισχύει λ = εφω όπου λ = f (0) = ω = 35 ο (0 ) (0 ). Αρα εφω = - δηλαδή ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 003 ΘΕΜΑ ο Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το: α. lim f(0 h) f(h) h0 h αριθμός, h R, h 0 και το όριο αυτό είναι πραγματικός β. γ. αριθμός lim f(0 h) f(0), h R, h 0 h0 h lim f(0 h) f(0) h0 h, h R, h 0 και το όριο αυτό είναι πραγματικός δ. lim f(0 h) f(h) h0 h, h R, h 0. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f(). α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. β. Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της f, όταν =3, ισούται με γ. Αν h() = f() 3 για, να υπολογίσετε το lim h() Μονάδες 0 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ ο Β. γ

12 003 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε: 3 f() 4 5, όπου IR. α) το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα, β) το lim f(), 0 γ) την παράγωγο της συνάρτησης f, δ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και ε) τα ακρότατα της συνάρτησης f. 003 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση f()= 9,όπου IR.

13 Να βρείτε: α) το lim f() 0 και το lim f(), β) την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f, και Μονάδες 6 Μονάδες 9 γ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο Ένα χελιδόνι πετάει και το ύψος του h (σε μέτρα), από το έδαφος, δίνεται σε συνάρτηση με το χρόνο t (sec) από τον τύπο: Να βρείτε : h(t) = 3t - 6t + 5, 0 t 5 α) το ύψος στο οποίο το χελιδόνι βρίσκεται τη χρoνική στιγμή t = 0, β) το ρυθμό μεταβολής του ύψους h, ως προς t, τη χρονική στιγμή t =, Μονάδες 6 Μονάδες 7 γ) σε ποια χρονική στιγμή t το ύψος του χελιδονιού από το έδαφος γίνεται ελάχιστο και ποιο είναι τότε το ύψος αυτό; 004 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης Μονάδες f() = c είναι ίση µε 0. Μονάδες 8 Β. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f ( ) Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Μονάδες 0 lim f() 3 Μονάδες 5 Β. Να υπολογίσετε το 3

14 ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 8 Β. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 ΘΕΜΑ ο Α. αφού 4 3 f ( ) πρέπει και αρκεί 0 3 και 3 Άρα Df = [ 0, 3) (3, + ) και και 3 0 Β. lim f()= lim 4 3( )( 3)( 3) lim 3( 3)( 3) ( )( 3)( 3) lim lim[( )( 3)] ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 004 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(). e α. Να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης. Μονάδες 9 e β. Να αποδείξετε ότι f() f (). Μονάδες 8 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (0, f(0)). Μονάδες 8 α.: Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με παράγωγο f (), e e e e e f () = 0 + = 0 = - Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. 4

15 Από τον πίνακα μεταβολών βλέπουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f ( ) e. β.: Είναι f ()() f. e e e e γ.: Στη γενική εξίσωση της εφαπτομένης y f ()()() 0 0 f 0, θέτουμε 0 0, f () 0 και f () 0 και βρίσκουμε y. 004 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις f() = και g() = 3, όπου IR. α) Να βρείτε τα f ( ) lim, g( ). Μονάδες 8 lim β) Να βρείτε το f ( ) lim 3 g( ). Μονάδες 7 γ) Αν f () και g ( ) είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων f() και g() αντίστοιχα, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Κ = 3 f (00) + 89 g (-). Μονάδες ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 ( -), IR. α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f (), της f(). β. Να αποδείξετε ότι: f () f () = 4. Μονάδες 6 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f στο σημείο µε τετμημένη 0 =. Μονάδες 7 δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. Μονάδες 7 5

16 005 ΘΕΜΑ ο Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Μονάδες f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) β. Ισχύει g( ) g( ) όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Μονάδες ΘΕΜΑ 4o Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ( ), (0, + ). α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο Λ(,). Μονάδες 7 β. Από τυχαίο σημείο Μ(, y) της γραφικής παράστασης της f φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες και yy, οι οποίες σχηματίζουν με τους ημιάξονες Ο, Oy ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ, ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου να είναι ελάχιστη. Μονάδες 0 6

17 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 005 ΘΕΜΑ ο A.. Δίνονται οι συναρτήσεις F(), f() και g() με F() = f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι: F () = f () + g (). Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα, το οποίο αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. β. Αν >0, τότε ln στ. Μονάδες Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης αναφέρεται μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = αln-β με α, βr. Μονάδες α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Μονάδες 3 β. Να βρείτε την παράγωγο της f για κάθε, το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισμού της. γ. Να βρείτε τα α και β, ώστε η εφαπτομένη στο σημείο Α(,) της γραφικής παράστασης της f να είναι y=3 -. Μονάδες 0 3 δ. Να βρείτε το lim f (). Μονάδες 7 7

18 ΑΠ ΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α.α) Σχολικό βιβλίο παρ..3, σελ. 3 Β. β. Σ γ. Σ ΘΕΜΑ ο α.: Πρέπει και αρκεί 0, άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το 0,.. β.: Είναι f () ln(ln)() a γ.: Το σημείο επαφής της εφαπτομένης είναι το, συντελεστή διεύθυνσης 3, αφού y = 3-, άρα f () 3., άρα είναι f (). Η εφαπτομένη έχει Είναι f () ln και f () δ.: Έχουμε. 3 3 lim() f lim ΕΣΠΕΡΙΝΑ Θ Ε Μ Α ο Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f( ) = 5 6 α) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς f( ). Μ ο ν ά δ ε ς 5 β) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο lim f ( ). 4 Μ ο ν ά δ ε ς 5 γ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο lim f ( ). Μ ο ν ά δ ε ς 7 δ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν π ρ ώ τ η π α ρ ά γ ω γ ο f ( ), τ η ς f( ). Μ ο ν ά δ ε ς ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Θ Ε Μ Α ο Δί νεται η συνάρτηση f( ) = 3 α) Ν α βρείτε το πεδίο ορισμού της συνά ρτησης f. Μ ο νά δ ε ς 5 8

19 β) Ν α β ρείτε την πρώτη παράγωγο f () κ αι να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = 0 έχει ρίζες τους αριθμούς 3 και. γ) Ν α βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνά ρτησης f στο Μ ο νά δ ε ς 0 διάστημα (,+ ). Μ ο νά δ ε ς ΘΕΜΑ o A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής; Μονάδες 0 Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0 A, όταν f() f( 0 ) για κάθε σε μια περιοχή του 0. γ. Για κάθε 0 ισχύει: Μονάδες Μονάδες ΘΕΜΑ 4ο Έστω η συνάρτηση f()= - + k +4 +0, 0. α. Aν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Α(,f()) είναι παράλληλη στον άξονα, να αποδείξετε ότι k= και να βρείτε την εξίσωσή της. Β. Σελ.6 Γ. α. Σ γ. Λ 9

20 006 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = e (α +β+9) με α,β IR. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α(,e ) είναι y = e +3e, τότε: α. Να αποδείξετε ότι α= και β= 6. Μονάδες β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. 006 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ 3o Έστω αιr.. Δίνεται η συνάρτηση f() = α 8 με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών ΙR.. Μονάδες 3 Ι. Να βρεθεί το αιr. αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(, ). ΙΙ. Αν α = 4, α) να βρεθεί η παράγωγος f (). β) να βρεθεί το 0 ΙR. στο οποίο η συνάρτηση f() παρουσιάζει ακρότατο. Να βρεθεί αν το ακρότατο είναι μέγιστο ή ελάχιστο. Μονάδες 0 γ) να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() στο σημείο Α(, ). 0

21 007 ΘΕΜΑ o B. α. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. β. Αν f, g είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τό τε για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης ισχύει: f(g() =f(g() g() Μονάδες γ. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ( 0 )=0 για 0 (α,β), f ()>0 στο (α, 0 ) και f ()<0 στο ( 0,β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) για = 0 ελάχιστο. Μονάδες Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f () = ν, όπου ν φυσικός f () = ln, όπου >0 f 3 () =, όπου >0 f 4 () = συν, όπου πραγματικός. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f() = e +3, όπου πραγματικός αριθμός. α. Να αποδείξετε ότι f () = f() + e 3 Μονάδες 0 β. Να βρεθεί το f()-e lim 0 -. Μονάδες 5

22 Γ 007 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των π αρακάτ ω συνα ρτήσεων: f ( ) =e ό που πραγματικό ς. f ( ) = ό που 0. f 3 ( ) =ημ όπου πραγματικό ς. f 4 ( ) =c ό που πραγματικό ς και c σταθερά. Μ ο νά δ ε ς 4 ΘΕΜΑ ο Δί νεται η συνάρτηση με τύπο f (). α. Ν α βρεθεί το πεδ ί ο ορισμού της συνά ρτησης f( ). Μ ο νά δ ε ς 5 β. Ν α βρεθεί το όριο lim f(). Μ ο νάδες 8 γ. Ν α εξετασθεί η συνά ρτηση f( ) ως προς τη μονοτονί α και να βρεθούν τα ακρ ότατά της. Μ ο νά δ ε ς

23 007 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με + f()=, όπου IR. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και την παράγωγο της. Μονάδες 0 β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 0 γ) Να υπολογίσετε το όριο lim f f 007 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με f()= +, όπου IR. Να βρείτε: α) Το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f ως προς, όταν =. Μονάδες 0 β) Τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 0 γ) Το σημείο Α( 0,f( 0 )) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y= ΘΕΜΑ ο A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f()=c (όπου πραγματικός αριθμός) είναι ίση με 0, δηλαδή (c) = 0. Μονάδες 8 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. γ. Αν >0, τότε. Μονάδες δ. Αν 0 είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε lim ημ ημ 0 Μονάδες 0 3

24 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο α. Να υπολογίσετε το όριο f() e e f() lim, όπου πραγματικός αριθμός.. Μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι e f ()=. Μονάδες 9 γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(). Μονάδες 9 4

25 008 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 4ο Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 00 m μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της (Σχήμα ). Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Έστω ότι το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι. Σχήμα α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περιφράξαμε δίνεται από τον τύπο f() = 00. Μονάδες 6 β. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια που θα μπορούσαμε να περιφράξουμε με το συρματόπλεγμα των 00 m. Μονάδες ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο 3 3 Δίνεται η συνάρτηση f () k, με πεδίο ορισμού το IR και kr. Α) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(3,8), να βρείτε τον k. Β) Για k= α) Να αποδείξετε ότι: f () f () ( ) για κάθε IR. Μονάδες 0 5

26 β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες ΘΕΜΑ 3o ίνεται η συνάρτηση f() = α 7, όπου α πραγματικός αριθμός, για την οποία ισχύει f( ) f( ) 5 3, R α. Να δείξετε ότι α=9 Μονάδες 7 β. Να υπολογίσετε το όριο f( ) lim Μονάδες 8 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y= 3 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνάρτηση f() = ln + λ 6λ +, > 0 όπου λ ένας πραγματικός αριθμός. Α. α. Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 6 β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 3o α. f() = α 7 f () = ( α 7) = 3 + α f () = (3 + α) = 6 - f( ) f( ) 5 3 (6 -)+ 3 + α +5= α +5= 3 α = 9 β. f( ) 3 ( 9 ) lim lim lim ( )( ) 3( 4)( )( 3 )( ) lim lim lim 3 ( )( )( )( )( ) γ. Αν Α ( o, f( o ) ) το σημείο επαφής τότε: f ( ο ) = -3 3 o

27 -Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α. Α) o 0 o o = Άρα τα σημεία επαφής είναι Α (, f() ) δηλαδή Α (, -5) με αντίστοιχη εφαπτόμενη y = ΘΕΜΑ 4ο α. f() = ln + λ 6λ+, με > 0 f () = = f () = 0 0 από τον πίνακα μεταβολών προκύπτει ότι η f είναι γ. αύξουσα στο (0,] και γ. φθίνουσα στο [,+ ) β. από τον πίνακα μεταβολών προκύπτει ότι η f παρουσιάζει ολ. μέγιστο το f() = λ 6λ++ln. 009 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f() = α 3 8, όπου α ένας πραγματικός αριθμός. α. Αν lim f( ) 7, να βρεθεί η τιμή του α β. Έστω α= f( ) i. Να βρεθεί το όριο lim Μονάδες 0 ii. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη = Ε.Π. Α.Λ. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο f() = αe, όπου α = lim Β) Για α = α) Nα υπολογίσετε την f () β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 7

28 009 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση f() =, R. + α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f (). β. Να προσδιορίσετε το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 8 γ. Να βρείτε τα ακρότατα της f. δ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (-, f(- )). Μονάδες 7 00 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. ΘΕΜΑ B α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν στο 0 όρια πραγματικούς αριθμούς, τότε lim()() f lim() g lim() f g β) Για κάθε >0 ισχύει γ) Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση =f(t), τη χρονική στιγμή t 0 είναι υ(t 0 )=f (t 0 ) δ) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, με < ισχύει f( ) < f( ) Δίνεται η συνάρτηση Β. Να υπολογίσετε το lim f()- f (), R Μονάδες 0 Β. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη 0 =0 Μονάδες 0 B3. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τον άξονα 8

29 00 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και cr, να αποδείξετε ότι (cf()) = cf (),. Μονάδες 9 Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α, τότε η συνάρτηση f g έχει πάντα πεδίο ορισμού το Α β) Ισχύει lim (συν) = συν 0 Μονάδες 0 o 9

30 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 30 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 3 Α4. α. Λάθος, β. Σωστό 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση 3 f () 9, όπου α,β πραγματικοί αριθμοί. Γ. Αν η εφαπτομένη στο σημείο Μ(,5) της γραφικής παράστασης της f έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 5, να αποδείξετε ότι α = β = 3. Μονάδες 0 lim Γ. Για α=β=3, να βρείτε το όριο f () 9 4 Γ3. Για α=β=3, να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης g()() 0 f Μονάδες 0 ΑΠ ΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ Γ. Αφού Μ(,5) θα είναι f() = 5. () Επίσης, αφού η εφαπτομένη στο σημείο Μ(,5) της γραφικής παράστασης της f έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 5, θα ισχύει f () = 5 (), όπου 3 f ()( 9) 3 9 a και f a a () Από σύστημα Οπότε α = β = 3. Γ. f() = 5 και f () = 5 προκύπτει 4α+β=5 και 4α+3 = 5 () ( ) f lim lim lim 4 4( )( ) 3 3 lim ( ) Γ3. g()() 0 f g()() 0() f 3 6 g 9 0() 3 6 g g () 6 6 g () Από πίνακα μεταβολών προκύπτει ότι η g έχει ολ. ελάχιστο το g(-) = - 30

31 00 ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ. Δίνεται η συνάρτηση 3 5 f (), με,. 3 Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο 0 = και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,), τότε:. Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α και β. Μονάδες 8. Για α=6 και β=, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 6 3. Για α=6 και β=, να βρεί τε τις θέσεις, το είδος και τις τιμές των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f. Μονάδες 6 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = α, Ι) Αν f () =, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό α. ΙΙ) Για α =, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 0 0 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f()=e , Β. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες B. Δίνεται η συνάρτηση h()=e, α) Να λυθεί η εξίσωση f() = h(). Μονάδες 3 3

32 Β. =[e f()= e Η f() είναι παραγωγίσιμη με f () = ] = e (( ) = ) ( - ) e e f () = 0 = με Δ =.. = 5 ή = 3 Από πίνακα μεταβολών προκύπτει η f() είναι γν. αύξουσα στο (-, /3] [/5, + ) και γνησίως φθίνουσα στο [/3, /5]. B. f() = h() e = e = = 0 ( 5 + 6) = 0 = 0 ή = ή = 3 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Β Υποθέτουμε ότι οι θερμοκρασίες (σε ο C) σε μια περιοχή κατά τη διάρκεια ενός 4ώρου προσεγγίζονται από τις τιμές της συνάρτησης θ(t) = t 4 t α, όπου α και t (0,4] ο χρόνος σε ώρες. Β. Να αποδείξετε ότι για t (0,4] η θερμοκρασία μειώνεται και για t (4,4] η θερμοκρασία αυξάνεται. Μονάδες 7 B. Να υπολογίσετε την τιμή του α, αν γνωρίζετε ότι η ελάχιστη θερμοκρασία της περιοχής εντός του 4ώρου είναι ο C. Μονάδες 6 B3. Για α=3 να βρείτε τις ώρες που η θερμοκρασία της περιοχής είναι 0 ο C. B4. Να υπολογίσετε το lim θ(t) t 4 t 6 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Β Β.: Μελετούμε τη μονοτονία της συνάρτησης ()t. t Έχουμε () t t 4 t 4, t 0, 4 t t 3

33 t Επειδή () t 0 0 t 0 t t 4, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα t στο διάστημα 0, 4, επομένως η θερμοκρασία μειώνεται σε αυτό το διάστημα. Επειδή () t 0 t 4, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 4, 4, άρα η θερμοκρασία αυξάνεται σε αυτό το διάστημα. Β.: Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο t 0 4, με τιμή ()(4) t0 4. Δίνεται ότι η ελάχιστη τιμή είναι -, άρα 4 3. Β3.: Έχουμε () t 0 t 4 t 3 0 t 4 t 3 0 t ή t 3. Άρα η ελάχιστη θερμοκρασία παρουσιάζεται για t και για t 9, δηλαδή τις ώρες 0 και 09. () t t t 4 Β4.: Είναι lim lim lim lim t4 4 t 6 t t t 6 t4 t4 t t 4 t 4 t t t 4 t 64 0 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f()= 3 3+4, Β. Να δείξετε ότι η f() είναι γνησίως φθίνουσα στο. Μονάδες 6 Β. Να δείξετε ότι η παράγωγος f () έχει ολικό μέγιστο και να το υπολογίσετε. Μονάδες 7 B3. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(,f()). Μονάδες 6 f() -4 Β4. Να υπολογίσετε το όριο lim 0 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f() = κ +5, κ Γ. Να βρεθεί το κ αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (-, ). Γ. Για κ = 6 να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στα σημεία με τετμημένες = και = 4. Μονάδες 0 Γ3. Να αποδειχθεί ότι το σημείο τομής των εφαπτομένων βρίσκεται πάνω στην ευθεία = 3. Γ4. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου ανάμεσα στις εφαπτόμενες και τον άξονα. ΘΕΜΑ Β Β. Η f()= είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο f () = = -3( +) < 0 για κάθε R. Άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο R Β. Αφού αναζητάμε ακρότατο της f (), θα βρώ το πρόσημο της f () f () = - 6 f () = 0 = 0 μέσω του πίνακα μεταβολών η f () έχει ολικό μέγιστο το f (0) = -3 B3. Η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(,f()) είναι ε: y = λ + β, όπου λ = f () = -6. Δηλαδή ε: y = f () + β Άρα ε: y = -6 + β Για το β: αντικαθιστώ τις συντεταγμένες του σημείου Α (,0) που είναι το σημείο επαφής της γραφικής παράστασης της f και της εφαπτομένης της ε. 33

34 =, y = 0 0 = -6 + β β = 6 τελικά ε: y = f() ( +3) Β4. lim lim lim lim [-( +3)]= ΘΕΜΑ Γ Γ. αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (-, ) ισχύει f(-) = Τελικά μετά από πράξεις κ = 6. Γ. οι εξισώσεις των εφαπτομένων στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στα σημεία μετετμημένες = και = 4 είναι y = - + και = αντίστοιχα. Γ3. Λύνουμε σύστημα y = - + και y = και προκύπτει ότι τέμνονται στο σημείο (3, -5). Γ4. Οι ευθείες y = - + και y = τέμνoυν τον στα σημεία (,0) Ε = 55 5 τ.μ. και (,0) αντίστοιχα. 0 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f με f() = κ, κ, 0. B. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g με g() = f ()f() είναι σταθερή. Μονάδες 6 B. Να υπολογισθεί η τιμή του κ, αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(3,). Μονάδες 7 Για κ = 3: B3. Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Β(,f()) της γραφικής παράστασης της f. Μονάδες 6 B4.Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές: την αρχή των αξόνων και τα σημεία στα οποία η εφαπτομένη του ερωτήματος Β3, τέμνει τους άξονες και y y. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Β κ Β. g() = (f ()f()) = +( ) =, άρα σταθερή. Β. Από δεδομένα f(3) =, άρα κ =. Β3. y = Β4. Ε = Αφού τα σημεία τομής της εφαπτομένης y = με τους άξονες είναι (0,-) και (,0). 0 ΕΠΑΛ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Δ 34

35 Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f() = α 5, όπου α = lim 5 6 Δ. Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α. Δ. Αν α = 4, να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Δ3. Αν α = 4, να αποδείξετε ότι f()>0 για κάθε. Μονάδες 6 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ ( )( )( ) Δ. α = lim lim lim 4 56 ( 3)()( 3) Δ. f() = 5 f () = 4 f () = 0 = Aπό πίνακα μεταβολών η f είναι γν. φθίνουσα στο (-, ] και γν. αύξουσα στο [,+ ), ενώ παρουσιάζει ολ. ελάχιστο το f() = Δ3. Από ορισμό ολικού ελαχίστου προκύπτει ότι για κάθε R, f() f() f() > 0. 0 ΘΕΜΑ Α A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι (f () + g()) = f ()+ g (), Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ +ln Δίνεται η συνάρτηση f() =, > 0 Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Δ. Έστω Μ(,f()), >0 σημείο της γραφικής παράστασης της f. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα y y τέμνει τον ημιάξονα O στο σημείο Κ(,0) και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα τέμνει τον ημιάξονα Oy στο σημείο Λ(0,f ()). Αν O είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Α Δ.: Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0,, με παράγωγο ln ln ln ln ln f () 0 Δηλαδή ισχύει f () 0, για κάθε 0, e e, είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,. και επειδή η f είναι συνεχής στο 0,, Δ.: Το εμβαδόν του περιγραφόμενου ορθογωνίου είναι ln Επομένως έχουμε : E() E()() fln, 0 35

36 Επειδή E() 0 ln 0 και E() 0 ln 0, έχουμε ότι η συνάρτηση του εμβαδού είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, και γνησίως αύξουσα στο 0,. Επομένως το εμβαδόν παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για. Επειδή E(), είναι και y, άρα το ορθογώνιο είναι τετράγωνο. 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α B. Έστω f() = c, και c σταθερός πραγματικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι (c) = 0 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 μέτρων κατασκευάζεται μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω. Από τις γωνίες του φύλλου λαμαρίνας κόβονται τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς μέτρων, 0<<3 και στη συνέχεια οι πλευρές της διπλώνονται προς τα επάνω, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαμενής ως συνάρτηση του είναι f()=4(3 ), 0<<3 (Δίνεται ότι ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων α, β, γ είναι V= αβγ). Μονάδες 4 Β. Να βρείτε για ποια τιμή του η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο. Μονάδες 6 f(+) 8 Γ. Να βρείτε το lim 0 Μονάδες 4 AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ Δ.: Σύμφωνα με τα δεδομένα οι διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου είναι: και 6. Επομένως ο όγκος της δεξαμενής είναι f () 6 4 3, 0 3. Δ.: Μελετάμε τη συνάρτηση f, ως προς τα ακρότατα. Έχουμε f () είναι f () 0, για κάθε 0, και f () 0, για κάθε, 3 μέγιστο στο 0. Επειδή, η συνάρτηση f παρουσιάζει 36

37 Επομένως η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο για 0. Ο μέγιστος όγκος ισούται με Δ3.: Έχουμε f ( ) 8( )() f h f lim lim() f 0 h0 h f () 6 m. 0 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Α A. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι [cf()] = cf (),, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f() = +α+β με και α, β. B. Να βρεθεί το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που η γραφική παράσταση τέμνει τον y y, σχηματίζει με τον γωνία 45 ο Μονάδες 8 B. Αν α = και f()+β lim =6 + να βρεθεί το β. Μονάδες 9 B3. Αν α =, β = 7 και g() = f() 3 με, να μελετηθεί η g ως προς την μονοτονία. Μονάδες 8 AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β. Αφού η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που η γραφική παράσταση τέμνει τον y y, σχηματίζει με τον γωνία 45 ο, θα ισχύει f (0) = εφ45 ο = Οπότε μετά από πράξεις προκύπτει α = Β. Αν α =, τότε f() = f()+β ++β και lim =6 + +β (( +) )(+) lim =6 lim =6 lim =6 7 Άρα προκύπτει Β3. g() = f() 3 = Άρα g () = Από πίνακα μεταβολών προκύπτει η g είναι γν. φθίνουσα στο (-, -/3] και στο [, + ) και γν. αύξουσα στο [-/3, ]. 0 ΕΠΑΛ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f: με f () = + λ-6 όπου Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο 0 =3, να δείξετε ότι λ = - Μονάδες 8 Δ. Αν λ = -, να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το είδος των ακροτάτων. Μονάδες 0 37

38 f'() Δ3. Αν λ = -, να υπολογίσετε το όριο lim 3 3 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δ. f (3) = 0, Άρα λ = - Δ. Για λ = -, f () = f () = 0 = - ή = 3 H f είναι γν. αύξουσα στο (-, -] και στο [3, + ) και γν. φθίνουσα στο [-, 3], ενώ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f(-) και τοπικό ελάχιστο το f(3). f'() 6( )( 3)( 3) lim lim lim ( 3 3)( 3) Δ3. ( )( 3)( 3) lim lim( )( 3) ( 3) 3 03 ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f() = είναι f () =, για κάθε. Μονάδες 7 A. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 Α; Μονάδες 4 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln + κ, > 0, όπου κ ακέραιος με κ > και την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,f()), η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E < Δ. Να αποδείξετε ότι κ =. ΘΕΜΑ Δ Δ.: Είναι f () ln και f () ln, άρα f () και f () Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y f ()()( f ) y. Η ευθεία με εξίσωση αυτή, τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο (, 0) και τον άξονα ψ ψ στο (0, ). 38

39 Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει αυτή η ευθεία με τους άξονες είναι Είναι Επειδή το είναι ακέραιος μεγαλύτερος του, θα είναι. 03 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f() = 3 α β γ α, β, γ Β. Να υπολογίσετε το γ, αν είναι γνωστό ότι 9 γ = 3 Μονάδες 7 Β. Να υπολογίσετε τα α, β αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f, στα σημεία με τετμημένες και 3 Μονάδες 8 Β3. Για α =, β = και γ = 36, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = κ,, όπου κ ακέραιος με κ > και την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,f()), η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E< 4. Δ. Να αποδείξετε ότι κ = 3. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Β 39

40 ΘΕΜΑ Δ 03 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι: (f() + g()) = f () + g (), Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Β 40

41 Δίνεται η συνάρτηση f() = α 3 β + 5, και α, β, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(-, 9) και ισχύει ότι: +7 lim = 4 α Β. Να αποδείξετε ότι α = και β = 6 Μονάδες 9 Β. Για α = και β = 6 να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα. Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε την τιμή του για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f γίνεται ελάχιστος. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Β Β.Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(-, 9), άρα f(-) = 9 -α + β + 5 = 9(). +7 Από lim =... = 4 α 4 α Από () β = 6. Β. Έχω f() = με f () = 6 6. Έστω ( o,f( o )) τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα. Ισχύει f ( o ) = 0. Άρα μετά από πράξεις: o = - ή o =. άρα τα σημεία είναι (-, f(-)) και (,f()) δηλαδή (-, 9) και (, ) αντίστοιχα. Β3. ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f είναι η f () και για να ελέγξω πότε γίνεται ελάχιστος θα πρέπει να βρω την f (). f () = 0 = 0. Άρα, από πίνακα μεταβολών, ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f γίνεται ελάχιστος όταν = ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f a,,. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f είναι f = 3 + α,. Να βρείτε τον αριθμό α, αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο 0 4. Μονάδες 8 3. Για α = - 5, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το είδος και τις τιμές των ακροτάτων. ΘΕΜΑ Δ. Παράγωγος γινομένου και πράξεις: f = 3 + α. Αφού η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο 0 4, θα ισχύει f (4) = 0 α = - 5. f = 3 + α ( )(3 ) 3. Για α = - 5, Μέσω f () = 0 προκύπτει = ή = 4. Από πίνακα μεταβολών η f είναι γν. αύξουσα στο (-, ] και στο [ 4, + ) και γν. φθίνουσα στο [, 4], ενώ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f() = 0 και τ. ελάχιστο το f(4) = ΕΠΑΛ ΕΣΠΕΡΙΝΑ 4

42 ΘΕΜΑ Δ 3 Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f() 3,. i. Να βρεθεί το κ, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται από το σημείο Α(-,5). ii. Αν κ = 3, να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f Μονάδες 8 iii. Να βρεθεί το όριο f'() lim Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ i. f(-) = 5.. κ = 3 3 f() 3 3, ii. 3 f ()( 3 3) 3 3 f () = 0 = - ή = H f είναι γν. αύξουσα στο (-, -] και στο [, + ) και γν. φθίνουσα στο [-, ]. Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f(-) = 5 και τ. ελάχιστο το f() = 04 f'() 3 3 3( )( ) lim lim lim lim 3( ) 6 ( ) iii. Δ.: Αν y είναι η τρίτη διάσταση του κουτιού, τότε έχουμε y 0 y 0. Συνεπώς η συνολική επιφάνεια του κουτιού, σε συνάρτηση του, είναι () y 5 y (0) 0 00, 0,0 4

43 Μελετάμε τη συνάρτηση (), ως προς τα ακρότατα: Έχουμε () 0, έχει ρίζα το 0 5 και είναι () 0 5 και () 0 5. Μετά από τον πίνακα μεταβολών προκύπτει: η () είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, 5 και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Άρα παρουσιάζει μέγιστο στο , ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB με μήκος 00 m. Θεωρούμε εσωτερικό σημείο του AB τέτοιο, ώστε το μήκος του τμήματος A να είναι m. Δ. Κατασκευάζουμε τα τετράγωνα και, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. i) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων, ως συνάρτηση του, είναι () , (0,00). μονάδες 3 ii) Να βρείτε για ποια τιμή του το εμβαδόν E() γίνεται ελάχιστο. μονάδες 5 43