i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός

Transcript

1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακoλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση : f ( ) g( ) = f ( ) g( ) f ( ) g ( ) 1 ( ) f ( g( )) = f ( g( )) g ( ), f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις 2 ( ) 3 f ( ) f ( ) g( ) + g ( ) f ( ) = g( ) ( g( ) ) 2, g( ) = ρ, ρ ρητός, > ρ ρ 1 4 ( ) = 5 ( ηµ ) συν = 6 ( συν ) ηµ 7 Το εύρος είναι μέτρο θέσης 8 Η διακύμανση εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις 9 Δυο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα, όταν Α IΒ = φ 1 Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση των ποσοτικών μεταβλητών 11 H συχνότητα της τιμής μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός 12 Στην κανονική κατανομή το 95 % των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( s, + s) όπου είναι η μέση τιμή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση 13 Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα ν μιας μεταβλητής Χ με το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα 14 Αν lm f ( ) = l1 και lm g( ) f της τιμής = l2 τότε ( f g ) lm ( ) ( ) = l l 15 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 1 Α,όταν f ( ) f ( 1) για κάθε σε μια περιοχή του ΨΑΝΗ ΜΑΡΙΑ ΓΕΛ ΚΑΝΗΘΟΥ ΧΑΛΚΙΔΑΣ 1

2 16 Ισχύει ( ) 17 Ισχύει ( ) f ( ) g( ) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ),όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις 1 = με > 18 Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ρ( Α ) = 1 + Ρ( Α ) 19 Το μέτρο διασποράς εύρος ισούται με τη διαφορά της ελαχίστης παρατήρησης από τη μεγίστη παρατήρηση 2 Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει f ( ) > για κάθε εσωτερικό σημείο του,τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 21 f ( ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) = g( ) ( g( ) ) 2,όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις 22 Η διακύμανση είναι μέτρο θέσης 23 Αν Α Β,τότε Ρ( Α ) > Ρ( Β ) 24 Οι ποιοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς 25 Αν > τότε ( ln ) 1 = 26 Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών, εκτός από τις συχνότητες f και ν χρησιμοποιούνται και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες F, Ν 27 Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς μιας μεταβλητής είναι η μέση τιμή και η διάμεσος αυτής 28 Αν για τα ενδεχόμενα Α,Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ισχύει Ρ( Α ) = Ρ( Β ), τότε είναι πάντοτε Ν( Α ) = Ν( Β ) 29 Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης αναφέρεται μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της 3 Μια συνάρτηση f με πεδίου ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο Α όταν f ( ) f ( ) για κάθε σε μια περιοχή του 31 Αν το ενδεχόμενο Α,συμπληρωματικό του ενδεχόμενου Α,πραγματοποιείται,τότε δεν πραγματοποιείται το Α 32 Για κάθε ισχύει 1 1 = 2 ΨΑΝΗ ΜΑΡΙΑ ΓΕΛ ΚΑΝΗΘΟΥ ΧΑΛΚΙΔΑΣ 2

3 33 Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο ποσοτικών μεταβλητών 34 Το ενδεχόμενο Α U Β πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β 35 Ισχύει ( συν ) ηµ = για κάθε R 36 Ο συντελεστής μεταβλητότητας CV είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων 37 Η διάμεσος δ είναι μέτρο διασποράς 38 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ισχύει: Ρ( Φ) Ρ( Α U Β) Ρ( Ω) Ω Τότε 39 Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών, οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής 4 Αν f, g είναι δυο παραγωγίσιμες συναρτήσεις,τότε για την παράγωγο της σύνθετης και f ( g( )) = f ( g( )) g ( ) συνάρτησης ισχύει: ( ) = για ( α, β ), f ( ) > στο ( a, ) β, τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (, ) = 41 Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ( ) και f ( ) < στο (, ) ελάχιστο α β για 42 Έστω ότι έχουμε ένα δείγμα μεγέθους ν και ότι f, = 1,2,, κ είναι οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες των τιμών μιας μεταβλητής Αν α είναι το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων,τότε α = 36 f για = 1,2, κ 43 Αν f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις με g( ), τότε ισχύει f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) = g( ) ( g( ) ) 2 44 Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει f ( ) >,για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε f είναι γνησίως αύξουσα στο 45 Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τότε ο τύπος Ρ( Α U Β ) = Ρ( Α ) + Ρ( Β) Ρ( Α IΒ) ισχύει μόνο όταν τα απλά ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα 46 Η διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων t1, t 2,, t ν είναι πάντοτε μια από τις παρατηρήσεις αυτές ΨΑΝΗ ΜΑΡΙΑ ΓΕΛ ΚΑΝΗΘΟΥ ΧΑΛΚΙΔΑΣ 3

4 47 Αν > τότε ( ) = Αν είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε lm ηµ = ηµ 49 Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων ομαδοποιημένων δεδομένων,το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος 5 Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος δεν ξεπερνά το 1 % 51 Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη 52 Αν η συνάρτηση f έχει στο όριο έναν πραγματικό αριθμό l 1,δηλαδή αν lm f ( ) τότε lm ( f ( ) ) ν ν = l1, (ν θετικός ακέραιος ) = l 1 53 Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει f ( ) < για κάθε εσωτερικό σημείο του,τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 54 Το διάγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής 55 Για το γινόμενο δυο παραγωγισίμων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι: f ( ) g( ) = f ( ) g ( ) + f ( ) g( ) ( ) 56 Αν Α,Β είναι δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τότε ισχύει ότι : Α Β = Α Β I 57 Για τη συνάρτηση f ( ) = ηµ ισχύει ότι ( ηµ ) = συν 58 Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής 59 Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων είναι ένα μέτρο θέσης 6 Αν η συνάρτηση f έχει στο όριο έναν πραγματικό αριθμό l,δηλ αν lm f ( ) = l τότε για κάθε φυσικό αριθμό ν μεγαλύτερο του 1 θα ισχύει ( f ) ν ν 1 = ν l lm ( ) ΨΑΝΗ ΜΑΡΙΑ ΓΕΛ ΚΑΝΗΘΟΥ ΧΑΛΚΙΔΑΣ 4

5 61 Για τη συνάρτηση f ( ) = e, R,ισχύει f ( ) = e 62 Η διάμεσος ενός δείγματος παρατηρήσεων είναι η τιμή για την οποία το πολύ 5% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτή και το πολύ 5% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτή 63 Αν η καμπύλη συχνοτήτων για ένα χαρακτηριστικό είναι κανονική ή περίπου κανονική με τυπικοί απόκλιση s και εύρος R, τότε ισχύει s = 6R 64 Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο 65 Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν στο όρια πραγματικούς αριθμούς, τότε lm f ( ) g( ) = lm f ( )lm g( ) ( ) 66 Για κάθε = > ισχύει ( ) 1 67 Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησης του εκφράζεται από τη συνάρτηση = f ( t), τη χρονική στιγμή υ t = f t t είναι ( ) ( ) 68 Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία 1, 2 με 1 < 2 ισχύει f ( 1) < f ( 2) 69 Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις 7 Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α, τότε η συνάρτηση πάντα πεδίο ορισμού το Α f g έχει 71 Ισχύει lm ( συν ) = συν 72 Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή με κλάσεις ίσου πλάτους, οι διαδοχικές κεντρικές τιμές των κλάσεων, διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος κάθε κλάσης 73 Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή με κλάσεις ίσου πλάτους το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος Ρ Α είναι η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου Α = { α α α } 74 Αν ( ) Ρ( Α ) = Ρ ( α1) + Ρ ( α2) + + Ρ( α k ),,, k 1 2,τότε 75 Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις ΨΑΝΗ ΜΑΡΙΑ ΓΕΛ ΚΑΝΗΘΟΥ ΧΑΛΚΙΔΑΣ 5

6 76 Σε μια κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή,δηλ R 6 77 Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει ( f ( g( )) = f ( g( )) g ( ) ) 78 Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα 79 Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενής,αν ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 1 % 8 Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει f ( ) > για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 81 Η αθροιστική συχνότητα Ν μιας κατανομής εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής 82 Στην κανονική κατανομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( s, + s), όπου η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση 83 Η διάμεσος ( δ ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων,οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται πάντα ως η μεσαία παρατήρηση 84 Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση ποσοτικών δεδομένων 85 Η παράγωγος της f στο εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y = f ( ) ως προς, όταν = 86 Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, τότε ισχύει ότι Ρ( Α ) > Ρ( Β) 87 Το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των τιμών μιας μεταβλητής είναι μέτρα διασποράς 88 lm ηµ ηµ =, R 89 Αν f είναι η σχετική συχνότητα της τιμής 1 f μιας μεταβλητής Χ, τότε ισχύει 9 Αν είναι η τιμή μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ,τότε η αθροιστική σχετική συχνότητα F εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες της τιμής 91 Αν τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ανά δυο ασυμβίβαστα, ΨΑΝΗ ΜΑΡΙΑ ΓΕΛ ΚΑΝΗΘΟΥ ΧΑΛΚΙΔΑΣ 6

7 τότε ισχύει Ρ( Α U Β U Γ ) = Ρ( Α ) + Ρ( Β ) + Ρ( Γ) 92 ( συν ) = ηµ, R 93 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε το ενδεχόμενο Α U Β πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β ΨΑΝΗ ΜΑΡΙΑ ΓΕΛ ΚΑΝΗΘΟΥ ΧΑΛΚΙΔΑΣ 7