Επιχειρησιακή Έρευνα I

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επιχειρησιακή Έρευνα I"

Transcript

1 Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 9: : Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis

2 Περιεχόμενα EE & Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός Προγραμματισμός Βελτιστοποίηση δικτύων Μαθηματικός Προγραμματισμός - Ακέραιος Προγραμματισμός Μαθηματικός Προγραμματισμός - Δυναμικός προγραμματισμός Μαθηματικός Προγραμματισμός - Μη γραμμικός προγραμματισμός

3 Περιεχόμενα EE Εισαγωγή Γραμμικός Προγραμματισμός Μοντελοποίηση Προβλημάτων Επίλυση Προβλημάτων Γραφική μέθοδος Μέθοδος Simplex Μέθοδος μεγάλου Μ Δυϊκότητα Βελτιστοποίηση δικτύων Γράφοι και δίκτυα Πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής Πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου Πρόβλημα μέγιστης ροής Πρόβλημα ροής ελαχίστου κόστους 3

4 Βελτιστοποίηση δικτύων Ανάλυση Δικτύων

5 Κατευθυνόμενος γράφος Παράδειγμα: δίκτυο διανομής Κορυφές : A, B, C, D, E Ακμές : (A,B), (A,C), (A,D), (B,C), (C,E), (D,E), (E,D)

6 Μη-κατευθυνόμενος γράφος Παράδειγμα: οδικό σύστημα πάρκου Κορυφές : O, A, B, C, D, E, T Ακμές : {O,A}, {O,B}, {O,C}, {B,C}, {A,D}, {A,B}, {B,D}, {B,E}, {C,E}, {D,E}, {D,T}, {E,T} Ο αριθμός σε κάθε ακμή αντιπροσωπεύει την απόσταση μεταξύ δύο κορυφών 6

7 Μονοπάτια και κύκλοι Μονοπάτι: ακολουθία ακμών (χωρίς επαναλήψεις ακμών) που συνδέουν δύο κορυφές (κόμβους). Directional Path Μη-Κατευθυνόμενο Μονοπάτι: ακολουθία ακμών (χωρίς επαναλήψεις ακμών) που συνδέουν δύο κορυφές (κόμβους) όταν δεν παίρνουμε υπ όψη την κατεύθυνση των ακμών. Non-Directional Path Κύκλος: μονοπάτι που ξεκινάει και καταλήγει στην ίδια κορυφή (κλειστό μονοπάτι). Directional Cycle Μη-Κατευθυνόμενος Κύκλος: μη-κατευθυνόμενο μονοπάτι που ξεκινάει και τελειώνει στην ίδια κορυφή (κλειστό μονοπάτι). Non Directional Cycle

8 Μονοπάτια και κύκλοι (παραδείγματα) A->C->E->D = μονοπάτι (= μη-κατευθυνόμενο μονοπάτι) A->D->E->C->B = μη-κατευθυνόμενο μονοπάτι ( μονοπάτι) D->E->D = κύκλος (= μη-κατευθυνόμενος κύκλος) A->B->C->A = μη-κατευθυνόμενος κύκλος ( κύκλος) 8

9 Συνεκτικότητα Δύο κορυφές είναι συνεκτικές όταν υπάρχει τουλάχιστον ένα μηκατευθυνόμενο μονοπάτι που τα συνδέει. Ένα γράφημα είναι συνεκτικό όταν κάθε ζεύγος κορυφών είναι συνεκτικό. Ο μικρότερος συνεκτικός γράφος με n κορυφές έχει n- ακμές. Ονομάζεται δέντρο Εναλλακτικός ορισμός: ένα δέντρο είναι ένας συνεκτικός γράφος που δεν περιέχει κύκλους. Ζευγνύον δέντρο: δέντρο που προκύπτει από ένα συνεκτικό γράφο που περιέχει όλες τις κορυφές του. 9

10 Ζευγνύον δέντρο Δεν είναι ζευγνύον δέντρο: Δεν είναι συνεκτικό Δεν είναι ζευγνύον δέντρο: Περιέχει κύκλους Ζευγνύον δέντρο

11 Ροή σε ένα δίκτυο Δίκτυο: γράφος που έχει: Ρυθμούς ροής στις ακμές Κορυφές προσφοράς (πηγές - sources) Κορυφές ζήτησης (δέκτες - sink) Κορυφές μεταφοράς Ροή σε ένα δίκτυο: αριθμός μονάδων που κυκλοφορούν στις ακμές του δικτύου έτσι ώστε να τηρούνται οι περιορισμοί διατήρησης της ροής. Σε κάθε κορυφή: ροή εξόδου ροή εισόδου = προσφορά (εάν η κορυφή είναι πηγή) ροή εξόδου ροή εισόδου = - ζήτηση (εάν η κορυφή είναι δέκτης) ροή εξόδου ροή εισόδου = (εάν η κορυφή είναι μεταφοράς)

12 Ροή σε μαθηματική μορφή x ij = ποσότητα ροής που περνάει στην ακμή (i,j) b i = (μεταφορά), προσφορά (πηγή), -ζήτηση (δέκτης) x x ij ji + ( i, j) A ( i) ( j, i) A ( i) = b i i V V = σύνολο κορυφών A = σύνολο ακμών του δικτύου A + (i) = σύνολο των ακμών που εξέρχονται από την κορυφή i A - (i) = σύνολο των ακμών που εισέρχονται στην κορυφή i

13 Βελτιστοποίηση δικτύων Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής

14 Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής Έστω ένας μη κατευθυνόμενος και συνεκτικός γράφος Υπάρχουν δύο ειδικές κορυφές: Πηγή (ή προέλευση) O Δέκτης (ή προορισμός) T Για κάθε ακμή {i,j}, αντιστοιχεί και μία απόσταση c ij Αναζητούμε το πιο σύντομο μη-κατευθυνόμενο μονοπάτι που συνδέει το O στο T Συντομότερη διαδρομή: το μονοπάτι του οποίου η συνολική απόσταση (άθροισμα των αποστάσεων των ακμών του μονοπατιού) είναι η ελάχιστη από όλα τα μονοπάτια που συνδέουν το O στο T

15 Αλγόριθμος του Dijkstra (93-) Επαναληπτικός αλγόριθμος Σε κάθε επανάληψη, επιλέγουμε την κορυφή j που βρίσκεται πιο κοντά στο O και υπολογίζουμε την d(j), μεταβλητή που υπολογίζει την απόσταση μεταξύ O και j: λέμε ότι η κορυφή j έχει σήμανση Αρχικά, η πηγή O έχει σήμανση και d(o) = Η πιο κοντινή κορυφή επιλέγεται από όλες τις κορυφές χωρίς σήμανση που συνδέεται σε τουλάχιστον μία κορυφή με σήμανση. Η κορυφή j επιλέγεται ως εξής: min κορυφή j χωρίς σήμανση {d(i) + c ij για όλες τις κορυφές i με σήμανση} Θέτουμε αυτή τη τιμή στην d(j). Ο αλγόριθμος τερματίζει όταν ο προορισμός T αποκτήσει σήμανση

16 6 Min {d(a)+c AF } Min {d(a)+c AG ;d(b)+c BG ; d(c)+c CG } Min {d(c)+c CH } + + ; + ; Ο Α Β C Ο Α Β C Α Β C 3 F G H Ο Α Β C Ο Α Β C Α Β C 3 F G H Αλγόριθμος του Dijkstra (93-)

17 Αλγόριθμος Dijkstra (βήμα ) Ο Α Β C D E T 3 Ο Α Β C Η πιο κοντινή κορυφή επιλέγεται από όλες τις κορυφές χωρίς σήμανση που συνδέεται σε τουλάχιστον μία κορυφή με σήμανση.

18 Αλγόριθμος Dijkstra (βήμα ) Η πιο κοντινή κορυφή επιλέγεται από όλες τις κορυφές χωρίς σήμανση που συνδέεται σε τουλάχιστον μία κορυφή με σήμανση. Α D Ο Β T 3 C E 8

19 Αλγόριθμος Dijkstra (βήμα 3) 9 Α Β C Ο D E T 3 D 9 Β Η πιο κοντινή κορυφή επιλέγεται από όλες τις κορυφές χωρίς σήμανση που συνδέεται σε τουλάχιστον μία κορυφή με σήμανση.

20 Αλγόριθμος Dijkstra (βήμα ) Η πιο κοντινή κορυφή επιλέγεται από όλες τις κορυφές χωρίς σήμανση που συνδέεται σε τουλάχιστον μία κορυφή με σήμανση. Α Min{+,+}=8 D Ο Β T 3 C E Min{,+}= 3+=

21 Αλγόριθμος Dijkstra (βήμα ) Η πιο κοντινή κορυφή επιλέγεται από όλες τις κορυφές χωρίς σήμανση που συνδέεται σε τουλάχιστον μία κορυφή με σήμανση. Α Min{+,+}=8 D Ο Β T 3 C E Min{+,+3}=

22 Αλγόριθμος Dijkstra (βήμα 6) Η πιο κοντινή κορυφή επιλέγεται από όλες τις κορυφές χωρίς σήμανση που συνδέεται σε τουλάχιστον μία κορυφή με σήμανση. Α Min{+,+,+}=8 D Ο Β T 3 += C E

23 Αλγόριθμος Dijkstra (βήμα ) Η πιο κοντινή κορυφή επιλέγεται από όλες τις κορυφές χωρίς σήμανση που συνδέεται σε τουλάχιστον μία κορυφή με σήμανση. Α 8 D Min{8+,+}=3 Ο Β T 3 3 C E 3

24 Παράδειγμα σε μορφή πίνακα i με σήμανση συνδεδεμένο με j χωρίς σήμανση Το πιο κοντινό j χωρίς σήμανση Απόσταση Ελάχιστη απόσταση Το πιο κοντινό j p(j) O A A O O C C O A B B A A D 9 B E E B C E 8 A D 9 B D 8 8 D B E D 8 8 D E D T 3 3 T D E T

25 Άσκηση με γράφο Μία απ ευθείας πτήση από το Σιατλ στο Λονδίνο μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω διάφορων διαδρομών ανάλογα με τις μετεωρολογικές συνθήκες. Ο παρακάτω κατευθυνόμενος γράφος δείχνει σε κάθε ακμή τον χρόνο διαδρομής πτήσης (σε ώρες) ανάλογα με τις επικρατούσες μετεωρολογικές συνθήκες. A 3. D SE. B 3. E 3.6 LN C 3. F Ζητείται η ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου πτήσης μεταξύ Σιατλ και Λονδίνου με βάση τις επικρατούσες μετεωρολογικές συνθήκες. Να επιλυθεί το πρόβλημα με τον αλγόριθμο Dijkstra

26 Ο αλγόριθμος του Dijkstra εφαρμόζεται σε γράφο ως μοντέλο ροής σε δίκτυο Συντομότερη διαδρομή = ροή σε ένα δίκτυο δίκτυο = κατευθυνόμενος γράφος O είναι η μοναδική πηγή με προσφορά = T είναι ο μοναδικός δέκτης με ζήτηση = - Η ροή σε κάθε ακμή (i,j) είναι είτε, εάν η ακμή ανήκει στην συντομότερη διαδρομή, είτε είναι. 6

27 Άλλες εκδόσεις Κατευθυνόμενος γράφος: ο αλγόριθμος του Dijkstra εφαρμόζεται. Οι συντομότερες διαδρομές μεταξύ της πηγής και όλων των άλλων κορυφών: ο αλγόριθμος του Dijkstra εφαρμόζεται. Οι συντομότερες διαδρομές μεταξύ όλων των ζεύγων κορυφών: n εφαρμογές του αλγόριθμου του Dijkstra. Αν κάποιες αποστάσεις είναι αρνητικές: ο αλγόριθμος δεν εφαρμόζεται. Αυτό συμβαίνει γιατί ο αλγόριθμος βασίζεται στην υπόθεση ότι αν προστεθεί στο μονοπάτι μια ακμή, η απόσταση αυξάνει. Οπότε η επιλογή της συντομότερης ακμης για την τρέχουσα κορυφή (τοπικό βέλτιστο) είναι και το ολικό βέλτιστο για την κορυφή αυτή.

28 Βελτιστοποίηση δικτύων Πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου

29 Πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου Έστω ένας γράφος μη-κατευθυνόμενος και συνεκτικός. Για κάθε ακμή {i,j}, αντιστοιχεί μία απόσταση c ij. Πρέπει να κατασκευαστεί ένα ζευγνύον δέντρο (ο μικρότερος συνεκτικός γράφος που περιέχει όλες τις κορυφές) του οποίου το σύνολο των αποστάσεων είναι το ελάχιστο απ όλα τα ζευγνύοντα δέντρα του γράφου. 9

30 Πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου Ο στόχος είναι να συνδέσουμε τους κόμβους ενός δικτύου με ένα ελάχιστο συνολικό μήκος ακμών. Για παράδειγμα, είναι πολύ χρήσιμο στον προγραμματισμό δικτύων τηλεπικοινωνίας, όπου πρέπει να βρεθεί κάποιο δέντρο που να συνδέει όλους τους κόμβους μεταξύ τους με κάποιο μονοπάτι με τον πιο οικονομικό τρόπο. Οι κόμβοι μπορεί να είναι τηλεπικοινωνιακοί σταθμοί, οι κλάδοι καλώδια μεταφοράς του σήματος και οι αποστάσεις το κόστος κατασκευής του αντίστοιχου κλάδου. Στα πλαίσια αυτά, το πρόβλημα του δέντρου ελάχιστης κάλυψης είναι ο προσδιορισμός εκείνων των κλάδων (ακμών), που εξυπηρετούν όλους τους σταθμούς (κορυφές) με το ελάχιστο συνολικό κόστος. 3

31 Αλγόριθμος του PRIM Αρχικοποίηση: επιλογή μίας κορυφής i (τυχαίας) και σύνδεση στην κορυφή j την πιο κοντινή: πρόσθεση {i,j} Για κάθε επανάληψη: επιλογή της μη-συνδεδεμένης κορυφής j που είναι πιο κοντά σε μία κορυφή i ήδη συνδεδεμένη : πρόσθεση {i,j} Τερματισμός όταν όλες οι κορυφές συνδέθηκαν. Σε περίπτωση ισότητας, μπορούμε να επιλέξουμε αυθαίρετα Αυτές οι ισότητες μπορεί να υποδεικνύουν την ύπαρξη πολλών βέλτιστων λύσεων. 3

32 Αλγόριθμος του PRIM: παράδειγμα A Ο B D Τ 3 C Αρχικοποίηση: επιλογή της κορυφής Ο και σύνδεση στην πιο κοντινή κορυφή: Πρόσθεση {Ο,Α} E 3

33 Αλγόριθμος του PRIM: παράδειγμα A Ο B D Τ 3 C E Η μη-συνδεδεμένη κορυφή που είναι η πιο κοντινή στο Ο ή στο Α είναι η Β. Επειδή είναι πιο κοντά στο Α, προσθέτουμε {Α,Β}. 33

34 Αλγόριθμος του PRIM: παράδειγμα A Ο B D Τ 3 C E Η μη-συνδεδεμένη κορυφή που είναι η πιο κοντινή στο Ο ή στο Α ή στο Β είναι η C. Επειδή είναι πιο κοντά στο B, προσθέτουμε {B,C} 3

35 Αλγόριθμος του PRIM: παράδειγμα A Ο B D Τ 3 C E Η μη-συνδεδεμένη κορυφή που είναι η πιο κοντινή σε μία από τις κορυφές είναι το Ε. Επειδή είναι πιο κοντά στο B, προσθέτουμε {B,Ε} 3

36 Αλγόριθμος του PRIM: παράδειγμα A Ο B D Τ 3 C E Η μη-συνδεδεμένη κορυφή που είναι η πιο κοντινή σε μία από τις κορυφές είναι το D. Επειδή είναι πιο κοντά στο E, προσθέτουμε {E,D} 36

37 Αλγόριθμος του PRIM: παράδειγμα A Ο B D Τ 3 C E Η μη-συνδεδεμένη κορυφή που είναι η πιο κοντινή σε μία από τις κορυφές είναι το T. Επειδή είναι πιο κοντά στο D, προσθέτουμε {D,T} Τερματίζεται ο αλγόριθμος διότι όλες οι κορυφές συνδέθηκαν και η βέλτιστη τιμή αντιστοιχεί στο σύνολο των αποστάσεων των ακμών δηλαδή. 3

38 Αλγόριθμος του PRIM: παράδειγμα Έστω ότι αναλαμβάνετε την μελέτη πεζοδρόμησης σε ένα θεματικό πάρκο που εκτείνεται σε στρέμματα και περιλαμβάνει σημεία ενδιαφέροντος. Σαν μηχανικός θέλετε:. να μπορούν να επικοινωνούν μεταξύ τους όλες οι εγκαταστάσεις άμεσα ή έμμεσα,. Να ολοκληρώσετε την πεζοδρόμηση με με τη μικρότερη δυνατή συνολική επιβάρυνση της έκτασης με τσιμεντένιες πλάκες πεζοδρομίου 38

39 Αλγόριθμος του PRIM: παράδειγμα 39

40 Βελτιστοποίηση δικτύων Πρόβλημα μέγιστης ροής

41 Πρόβλημα της μέγιστης ροής Έστω ένας κατευθυνόμενος και συνεκτικός γράφος Για κάθε ακμή (i,j), αντιστοιχεί μία χωρητικότητα u ij > Υπάρχουν δύο ειδικές κορυφές Πηγή (ή προέλευση) Ο Δέκτης (ή προορισμός) Τ Όλες οι άλλες κορυφές είναι κορυφές μεταφοράς. Η προσφορά στο Ο και η ζήτηση στο Τ είναι μεταβλητές Προσφορά στο Ο = Ζήτηση στο Τ = τιμή της ροής μεταξύ Ο και Τ. Στόχος είναι η μεγιστοποίηση της τιμής της ροής μεταξύ Ο και Τ.

42 Πρόβλημα της μέγιστης ροής Πρακτική σημασία: Ένα δίκτυο μεταφοράς είναι ένα γενικό μοντέλο με διαδρομές μεταφοράς υλικών, ρευστών, αυτοκινήτων, κεφαλαίων, ηλεκτρικού φορτίου, κλπ., από ένα κόμβο-αφετηρία σε ένα κόμβο-προορισμό. Οι ακμές ενός δικτύου μεταφοράς αντιπροσωπεύουν τη μέγιστη χωρητικότητα της ακμής/διαδρομής από ένα κόμβο σε ένα άλλο την οποία δεν μπορεί να υπερβεί η μεταφερόμενη ποσότητα. Π.χ.: για ρευστά, οι κλάδοι θα είναι η μέγιστη παροχή των σωληνώσεων, για μεταφορές, το μέγιστο φορτίο, για συγκοινωνίες, οι μέγιστες θέσεις επιβατών, κ.λ.π.

43 Παράδειγμα στόλου λεωφορείων Σε περίοδο μεγάλης κίνησης, υπάρχει ένας στόλος λεωφορείων για την επίσκεψη παρατηρητήριων ενός πάρκου. Η νομοθεσία περιορίζει τον αριθμό λεωφορείων που μπορεί να κυκλοφορήσει σε κάθε τμήμα οδού. Πώς πρέπει να κυκλοφορούν τα λεωφορεία ώστε να μεγιστοποιήσουμε τον αριθμό λεωφορείων που μετακινούνται από την αφετηρία (Ο) προς τον προορισμό (Τ); 3

44 Παράδειγμα στόλου λεωφορείων Το πρόβλημα της μέγιστης ροής μπορεί να διαμορφωθεί ως πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού και επομένως μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο simplex. Όμως, υπάρχει ένας ακόμα πιο αποτελεσματικός αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος. Αυτός ο αλγόριθμος βασίζεται σε δύο σημαντικές έννοιες, το υπολειπόμενο δίκτυο (residual network) και το επαυξάνον μονοπάτι (augmenting path).

45 Γράφος υπολοίπων Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ήδη θέσει μία ροή στις ακμές Η χωρητικότητα ροής που απομένει (Υπολειπόμενη χωρητικότητα) σε μία ακμή (i,j) είναι: u ij -x ij Γράφος υπολοίπων: μη-κατευθυνόμενος γράφος Για κάθε ακμή, αντιστοιχούν δύο τιμές: Υπολειπόμενη χωρητικότητα ροής Ροή που έχει ήδη διατεθεί Παράδειγμα: έχουν διατεθεί μονάδες ροής στην ακμή (Ο,Β) η οποία έχει χωρητικότητα μονάδες Ο Β

46 Ερμηνεία του γράφου υπολοίπων Ο Β Ο Β Εάν έχουν διατεθεί μονάδες ροής στην ακμή (Ο,Β) η οποία έχει χωρητικότητα μονάδες ροής Εάν διασχίσουμε Ο Β = Υπολειπόμενη/Απομένουσα χωρητικότητα = ροή στο (Ο,Β) Εάν διασχίσουμε Β Ο = Υπολειπόμενη/ Απομένουσα χωρητικότητα = ροή στο (Β,Ο) 6

47 Γράφος υπολοίπων: εναλλακτική ορολογία Ο γράφος υπολοίπων λέγεται επίσης γράφος διαφορών Εάν για παράδειγμα έχουν διατεθεί μονάδες ροής στην ακμή (Ο,Β) Ροή που έχει διατεθεί στην ακμή [] Υπολειπόμενη/απομένουσα χωρητικότητα Ο Β

48 Μονοπάτι αύξησης Μονοπάτι πού πηγαίνει από την πηγή στο δέκτη στον κατευθυνόμενο γράφο του γράφου υπολοίπων. Για κάθε ακμή {i,j} Η ακμή (i,j) έχει μία υπολειπόμενη χωρητικότητα = u ij x ij Η ακμή (j,i) έχει μία υπολειπόμενη χωρητικότητα = x ij Κάθε ακμή του μονοπατιού έχει μία υπολειπόμενη/απομένουσα χωρητικότητα > Υπολειπόμενη χωρητικότητα σε ένα μονοπάτι αύξησης: το ελάχιστο των χωρητικοτήτων που απομένει για όλες τις ακμές του μονοπατιού. 8

49 Αλγόριθμος του Ford-Fulkerson. Αρχικοποίηση της ροής: μονάδες σε κάθε ακμή. Αν δεν μπορούμε να εντοπίσουμε κανένα μονοπάτι αύξησης, τότε τερματίζουμε: η ροή είναι μέγιστη 3. Προσδιορισμός ενός μονοπατιού αύξησης P, και έστω c, η αντίστοιχη υπολειπόμενη/απομένουσα χωρητικότητα.. Για κάθε ακμή του P: Αύξηση της ροής (c) Μείωση της υπολειπόμενης χωρητικότητας (c). Επιστροφή στο βήμα 9

50 Εύρεση ενός μονοπατιού αύξησης. Εντοπισμός όλων των κορυφών που μπορούν να συνδεθούν άμεσα (με μία απ ευθείας ακμή) με την πηγή Ο και με θετική υπολειπόμενη/απομένουσα χωρητικότητα (>).. Επιλογή μίας κορυφής (από τις προηγούμενες), μετάβαση σ αυτήν, και εντοπισμός όλων των νέων κορυφών (στις οποίες δεν έχει γίνει μετάβαση και με θετική υπολειπόμενη χωρητικότητα) Εάν δεν υπάρχει τέτοια κορυφή τότε τερματίζουμε: δεν υπάρχει κανένα μονοπάτι αύξησης 3. Επιστροφή στο βήμα με τις νέες κορυφές μέχρι την τελική μετάβαση στην Τ.

51 Παράδειγμα () A 3 Αρχικός γράφος υπολοίπων Ο B 9 D Τ C E 6 Εύρεση μονοπατιού αύξησης: Ο Β Ε Τ Υπολειπόμενη χωρητικότητα = min{,,6} =

52 Παράδειγμα () Ο A 3 B 9 Αύξηση της ροής και μείωση της υπολειπόμενης χωρητικότητας μονάδων σε όλες τις ακμές των Ο Β Ε Τ D Τ C E Εύρεση μονοπατιού αύξησης: Ο Α D Τ Υπολειπόμενη χωρητικότητα = min{,3,9} =3

53 Παράδειγμα (3) 8 Ο 3 A B 3 6 Αύξηση της ροής και μείωση της υπολειπόμενης χωρητικότητας 3 μονάδων σε όλες τις ακμές των Ο Α D Τ D 3 Τ 8 C Εύρεση μονοπατιού αύξησης: Ο Α B D Τ Υπολειπόμενη χωρητικότητα = min{,,,6} = E 3

54 Παράδειγμα () 9 Ο A B 3 3 Αύξηση της ροής και μείωση της υπολειπόμενης χωρητικότητας μονάδας σε όλες τις ακμές των Ο Α Β D Τ D Τ 9 C E Εύρεση μονοπατιού αύξησης: Ο B D Τ Υπολειπόμενη χωρητικότητα = min{,3,} =

55 Παράδειγμα () Ο A B Αύξηση της ροής και μείωση της υπολειπόμενης χωρητικότητας μονάδων σε όλες τις ακμές των Ο Β D Τ D 6 Τ C Εύρεση μονοπατιού αύξησης: Ο C E D Τ Υπολειπόμενη χωρητικότητα = min{,,,3} = E

56 Παράδειγμα (6) Ο A 3 B 3 3 Αύξηση της ροής και μείωση της υπολειπόμενης χωρητικότητας μονάδας σε όλες τις ακμές των Ο C E D Τ D Τ C 3 E Εύρεση μονοπατιού αύξησης: Ο C E Τ Υπολειπόμενη χωρητικότητα = min{3,3,} = 6

57 Παράδειγμα () 3 Ο A B 3 3 Αύξηση της ροής και μείωση της υπολειπόμενης χωρητικότητας μονάδας σε όλες τις ακμές των Ο C E Τ D 6 Τ 3 C Εύρεση μονοπατιού αύξησης: Ο C E B D Τ Υπολειπόμενη χωρητικότητα = min{,,,,} = E

58 Παράδειγμα (8) Ο A B 3 Αύξηση της ροής και μείωση της υπολειπόμενης χωρητικότητας μονάδας σε όλες τις ακμές των Ο C E B D Τ D 8 6 Τ 3 C 3 E Κανένα μονοπάτι αύξησης Μέγιστη ροή 8

59 Παράδειγμα (9 τέλος) A 3 Ο B D 8 Τ 3 6 C 3 E 9

60 Μέγιστη ροή Μέγιστη ροή = μοντέλο ροής Όλες οι κορυφές, εκτός Ο και Τ, είναι κορυφές μεταφοράς. Υπάρχει μία δυναμικότητα σε κάθε ακμή Ο στόχος είναι η μεγιστοποίηση της τιμής της ροής, δηλαδή η καθαρή ροή στο Ο. 6

61 Ασκήσεις ()

62 Ασκήσεις ()

63 Ασκήσεις (3)

64 Ασκήσεις () Βρείτε τη συντομότερη διαδρομή μεταξύ της πόλης και 8 66

65 Βελτιστοποίηση δικτύων Πρόβλημα ροής με ελάχιστο κόστος

66 Πρόβλημα της ροής με ελάχιστο κόστος Έστω ένας κατευθυνόμενος συνεκτικός γράφος Για κάθε ακμή (i,j) αντιστοιχεί μία δυναμικότητα u ij > και ένα κόστος ανά μονάδα ροής c ij Υπάρχει τουλάχιστον μία πηγή και ένας δέκτης Τα υπόλοιπα είναι κορυφές μεταφοράς Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς της ροής από της πηγές (κορυφές προσφοράς) προς τους δέκτες (κορυφές ζήτησης) 68

67 Μοντέλο ροής με ελάχιστο κόστος x ij = ροή στην ακμή (i,j) min Σ (i,j) A c ij x ij υπό τους περιορισμούς: Σ (i,j) A + (i) x ij - Σ (j, i) A - (i) x ji = b i i V x ij u ij (i,j) A b i = (μεταφορά), προσφορά (πηγή), -ζήτηση (δέκτες) V = σύνολο κορυφών ; A = σύνολο ακμών A + (i) = σύνολο εξερχόμενων ακμών της κορυφής i A - (i) = σύνολο εισερχόμενων ακμών της κορυφής i 69

68 Ειδικές περιπτώσεις Πρόβλημα μεταφοράς Πολλές πηγές και πολλούς δέκτες Καμία κορυφή μεταφοράς Μόνο ακμές μεταξύ πηγής και δέκτη Καμία δυναμικότητα Πρόβλημα της εκχώρησης Ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς Πηγές όσο και δέκτες Στόχος : η εκχώρηση σε κάθε πηγή ενός μοναδικού δέκτη και αντίστροφα, έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος των εκχωρήσεων Θέτουμε b i =+ (πηγή), - (δέκτης)

69 Ειδικές περιπτώσεις Πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής Μία πηγή και ένας δέκτης πολλές κορυφές μεταφοράς Θέτουμε b i =+ (πηγή), - (δέκτης) Καμία δυναμικότητα Πρόβλημα της μέγιστης ροής b i =+F (πηγή), -F (δέκτης) όπου F> σύνολο των χωρητικοτήτων. Πρόσθεση ακμής μεταξύ Ο και Τ: c OT = M και u OT = F Όπως c ij = σε όλες τις άλλες ακμές, μία βέλτιστη λύση είναι η μεταφορά μέγιστης ροής μεταξύ Ο και Τ χωρίς να περάσει από την ακμή (O,T)

70 Δίκτυο διανομής Παραγωγή μ. Ερ. 9/μον. Απ. Απαίτηση 3 μ. /μον. /μον. Κ.Δ. /μον. 3/μον. 8 3/μον. /μον. Παραγωγή μ. Ερ. Απ. Απαίτηση 6 μ.

71 Μοντέλο x i,j =αριθμός μονάδων που μεταφέρονται στην ακμή (i,j) μεταξύ των κόμβων i και j Στόχος: Ελαχιστοποίηση: z = x Ερ,Ερ + x Ερ,ΚΔ + 9 x Ερ,Απ + 3 x Ερ,ΚΔ + x ΚΔ,Απ +3 x Απ,Απ + x Απ,Απ Διατήρηση της ροής: σε κάθε κόμβο του δικτύου: Ροή εξόδου ροή εισόδου= αρ. Μονάδων που παράχθηκαν (εργοστάσιο) - αρ. Μονάδων που απαιτήθηκαν (αποθήκες) ΚΔ Ανώτατο όριο μεταφοράς (σε μερικές ακμές) Πχ. Για την ακμή (Ερ.,Ερ.): x Ερ,Ερ Περιορισμοί μη αρνητικότητας 3

72 Μοντέλο (λεπτομερή περιγραφή) Ελαχιστοποίηση z = x Ερ,Ερ + x Ερ,ΚΔ + 9 x Ερ,Απ + 3 x Ερ,ΚΔ +x ΚΔ,Απ + 3 x Απ,Απ + x Απ,Απ Κάτω από τις συνθήκες: x Ερ,Ερ + x Ερ,ΚΔ + x Ερ,Απ = -x Ερ,Ερ + x Ερ,ΚΔ = - x Ερ,ΚΔ - x Ερ,ΚΔ + x ΚΔ,Απ = - x Ερ,Απ + x Απ,Απ - x Απ,Απ = x ΚΔ,Απ - x Απ,Απ + x Απ,Απ = - 6 x Ερ,Ερ, x ΚΔ,Απ 8 x Ερ,Ερ, x Ερ,ΚΔ, x Ερ,Απ, x Ερ,ΚΔ, x ΚΔ,Απ x Απ,Απ, x Απ,Απ

73 Συμπεράσματα Μοντελοποίηση και επίλυση με Excel Solver Άριστη λύση: (x Ερ,Ερ, x Ερ,ΚΔ, x Ερ, Απ, x Ερ, ΚΔ, x ΚΔ, Απ, x Απ, Απ, x Απ, Απ ) = (,,,,8,,)

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Παραδείγματα Μοντελοποίησης Παράδειγμα 1 Οι φοιτητές του ΤΜΟΔ ως γνωστό-

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 4 ΑΣΚΗΣΗ 5

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 4 ΑΣΚΗΣΗ 5 ΑΣΚΗΣΗ Μία εταιρεία διανομών διατηρεί την αποθήκη της στον κόμβο και μεταφέρει προϊόντα σε πελάτες που βρίσκονται στις πόλεις,,,7. Το οδικό δίκτυο που χρησιμοποιεί για τις μεταφορές αυτές φαίνεται στο

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/26/2007. Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος Δικτυωτή Ανάλυση

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/26/2007. Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος Δικτυωτή Ανάλυση ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ // Επιχειρησιακή Έρευνα ικτυωτή Ανάλυση Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος - Δικτυωτή Ανάλυση Δίκτυο είναι ένα διάγραμμα το οποίο το οποίο αναπαριστά τη

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST)

Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Γεννητικό δέντρο (Spanning Tree) Ένα γεννητικό δέντρο για ένα γράφημα G είναι ένα υπογράφημα του G που είναι δέντρο (δηλ., είναι συνεκτικό και δεν

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

4. ΔΙΚΤΥΑ

4. ΔΙΚΤΥΑ . ΔΙΚΤΥΑ Τελευταία μορφή επιχειρησιακής έρευνας αποτελεί η δικτυωτή ανάλυση (δίκτυα). Τα δίκτυα είναι ένα διάγραμμα από ς οι οποίοι συνδέονται όλοι μεταξύ τους άμεσα ή έμμεσα μέσω ακμών. Πρόκειται δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 4/29/2009

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 4/29/2009 ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 Επιχειρησιακή Έρευνα ικτυωτή Ανάλυση. Μέρος ΙI Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα δικτύου. Ορολογία (1) Ορολογία (2) Ορολογία (3) Δίκτυο με δεδομένα δυναμικότητας ροής στις ακμές

Παράδειγμα δικτύου. Ορολογία (1) Ορολογία (2) Ορολογία (3) Δίκτυο με δεδομένα δυναμικότητας ροής στις ακμές http://users.uom.gr/~acg Στοιχεία από τη Θεωρία Δικτύων Παράδειγμα δικτύου Τα δίκτυα είναι παντού (όπως και η Επιχειρησιακή Έρευνα) Τα δίκτυα είναι παντού (συνέχεια) Ένα δίκτυο είναι μία συλλογή κόμβων

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής - Shortest path problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ

Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής - Shortest path problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής - Shortest path problem Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 2: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (1 ο Μέρος)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 2: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (1 ο Μέρος) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 2: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (1 ο Μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Περίληψη Επίλυση προβληµάτων χρησιµοποιώντας Greedy Αλγόριθµους Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης Αλγόριθµος του Prim Αλγόριθµος του Kruskal Πρόβληµα Ελάχιστης Απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1: Αλγόριθμος Ford-Fulkerson

ΘΕΜΑ 1: Αλγόριθμος Ford-Fulkerson ΘΕΜΑ : Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Α Να εξετάσετε αν ισχύει η συνθήκη συντήρησης της αρχικής ροής στο δίκτυο. Β Με χρήση του αλγορίθμου Ford-Fulkerson να βρεθεί η μέγιστη ροή που μπορεί να σταλεί από τον

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ÌïëëÜ Ì. Á μýô Á.Ì. : 5 moll@moll.r ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Χαϊδόγιαννος Χαράλαμπος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (1)

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (1) Στοχαστικές Στρατηγικές η ενότητα: Το γενικό πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής () Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 08-09 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΔΕ253 2 η εργασία Προσοχή! Είναι ένα αρχικό version. Κατά την παρουσίαση των βίντεο θα διορθωθούν τυχόν λάθη σε πράξεις στην άσκηση 1.

ΠΔΕ253 2 η εργασία Προσοχή! Είναι ένα αρχικό version. Κατά την παρουσίαση των βίντεο θα διορθωθούν τυχόν λάθη σε πράξεις στην άσκηση 1. ΠΔΕ253 2 η εργασία 2014 15 Προσοχή! Είναι ένα αρχικό version. Κατά την παρουσίαση των βίντεο θα διορθωθούν τυχόν λάθη σε πράξεις στην άσκηση 1. Λύση άσκησης 3 Έστω με Eπείγοντα περιστατικά x "" = o αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38 4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση 1 ης Εργασίας. Παραδόθηκαν: 11/12 15%

Επίλυση 1 ης Εργασίας. Παραδόθηκαν: 11/12 15% Επίλυση 1 ης Εργασίας Παραδόθηκαν: 11/12 15% ΘΕΜΑ 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Συνθήκη συντήρησης της αρχικής ροής Το φορτίο που μεταφέρεται από τον r είναι 3 (r->1=1) + (r->3=0) + (r- >4=2) Το φορτίο που φθάνει στον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 13: Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣΕΠΙΣΤΗΜΗΣ&

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Ψευδοκώδικας Kruskal. Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα.

Άσκηση 1. Ψευδοκώδικας Kruskal. Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα. Άσκηση 1 Ψευδοκώδικας Kruskal Παρακάτω βλέπουμε την εφαρμογή του στο παρακάτω συνδεδεμένο γράφημα. Αντιστοιχίζω τους κόμβους με αριθμούς από το 0 έως το 4. 2Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ - MAY 2018

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική δραστηριότητα: Το πρόβλημα της λασπωμένης πόλης (σελ. 80) Πλακάκια ή τετράγωνα κομματάκια από χαρτόνι (περίπου 40 για κάθε παιδί)

Πρακτική δραστηριότητα: Το πρόβλημα της λασπωμένης πόλης (σελ. 80) Πλακάκια ή τετράγωνα κομματάκια από χαρτόνι (περίπου 40 για κάθε παιδί) 9η Δραστηριότητα Η λασπωμένη πόλη - Minimal Spanning Trees* (*είδος γραφημάτων) Περίληψη Η κοινωνία μας συνδέεται με πολλά δίκτυα: το τηλεφωνικό δίκτυο, το ενεργειακό δίκτυο, το οδικό δίκτυο. Για ένα ιδιαίτερο

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs) Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο Γραφήµατα (Grphs) http://tos.it.tith.gr/~mos/thing_gr.html Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το µη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Περιεχόμενα 1 Γενικά στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού 2 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού και γραφικής επίλυσης του 3 Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού)

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) . Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) Η πετυχημένη διοίκηση των μεγάλων έργων χρειάζεται προσεχτικό προγραμματισμό, σχεδιασμό και συντονισμό αλληλοσυνδεόμενων δραστηριοτήτων (εργσιών).

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

«Πρόβλημα μέγιστης ροής» Maximum flow problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος PhD, Dipl. Eng., PMP

«Πρόβλημα μέγιστης ροής» Maximum flow problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος PhD, Dipl. Eng., PMP «Πρόβλημα μέγιστης ροής» Maximum flow problem Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος PhD, Dipl. Eng., PMP Στόχος προβλημάτων ροής Βέλτιστη αξιοποίηση κλάδων ενός δικτύου, προσανατολισμένου ή μη, για την επίτευξη μέγιστης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού

Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού 3ο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο Χημικής Μηχανικής Αθήνα,, IούνιοςI 200 Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού Γιώργος Μαυρωτάς Δανάη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 4 η Διάλεξη Κύκλοι και μονοπάτια Hamilton Ικανές ή αναγκαίες συνθήκες για ύπαρξη κύκλων Αλγόριθμος κατασκευής μονοπατιών Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ολοκληρωμένη μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Εισαγωγή ακέραιων/λογικών/βοηθητικών μεταβλητών Δυνατότητα γραμμικοποίησης με 0-1 μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιαση Αλγοριθμων -Τμημα Πληροφορικης ΑΠΘ - Κεφαλαιο 9ο

Σχεδιαση Αλγοριθμων -Τμημα Πληροφορικης ΑΠΘ - Κεφαλαιο 9ο Σχεδίαση Αλγορίθμων Άπληστοι Αλγόριθμοι http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/ad 1 Άπληστοι αλγόριθμοι Προβλήματα βελτιστοποίησης ηςλύνονται με μια σειρά επιλογών που είναι: εφικτές τοπικά βέλτιστες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΠΑΝΤΑΙΔΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Α.Μ 8342 ΕΞΑΜΗΝΟ :ΠΤΘ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

(elementary graph algorithms)

(elementary graph algorithms) (elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 7 η Διάλεξη: Δρομολόγηση & Προγραμματισμός (Routing & Scheduling) 015 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα μέγιστης ροής - Maximum flow problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ

Πρόβλημα μέγιστης ροής - Maximum flow problem. Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Πρόβλημα μέγιστης ροής - Maximum flow problem Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος π. Καθηγητής ΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. ια εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Διαδρομών και Προγραμματισμός Δρομολογίων

Σχεδιασμός Διαδρομών και Προγραμματισμός Δρομολογίων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗ Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Σχεδιασμός Διαδρομών και Προγραμματισμός Δρομολογίων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα