ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί
|
|
- Ἡσαΐας Ἀγαμέμνων Τρικούπης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα μικρού ή μεσαίου μεγέθους. Αν και ο πρόσφατα αναπτυγμένος αλγόριθμος εσωτερικών σημείων, Krmrkr (1984) και ιδιαίτερα μερικές βελτιωμένες τροποποιήσεις του, αποδίδει ουσιαστικά καλύτερα στα γραμμικά προβλήματα μεγάλης κλίμακας, δείτε για παράδειγμα Adler et.l. (1989), η υπολογιστική βελτίωση του αλγορίθμου Simplex παραμένει μεγάλης σημασίας, οφειλόμενη κυρίως στο γεγονός ότι οι ακριβείς βέλτιστες λύσεις που απαιτούνται σε ένα μεγάλο αριθμό πρακτικών προβλημάτων, όπως για παράδειγμα στα προβλήματα ροής δικτύων, είναι βασικές λύσεις, δηλαδή λύσεις που υπολογίζονται από αλγορίθμους τύπου Simplex. Οι αλγόριθμοι Simplex κινούνται από μια κορυφή του συνόλου της πολυεδρικής εφικτής περιοχής σε μια παρακείμενη κορυφή με μια καλύτερη αντικειμενική τιμή. Κατασκευάζουν μια ακολουθία βασικών σημείων ώστε, αν το γ.π. είναι ελαχιστοποίησης τότε κάθε νέο βασικό σημείο που υπολογίζεται ελαττώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Ένα σημείο x του γ.π. ονομάζεται βασικό σημείο (bsic point) αν ικανοποιεί τουλάχιστον n-m ανισοτικούς περιορισμούς σαν ισότητες. Οι n-m συνιστώσες του βασικού σημείου x είναι ίσες με μηδέν και ονομάζονται μη βασικές μεταβλητές, ενώ οι υπόλοιπες m μεταβλητές
2 30 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex ονομάζονται βασικές μεταβλητές. Οι δείκτες των βασικών μεταβλητών λέμε ότι αποτελούν τη βάση Β του γραμμικού προβλήματος. Βασικά εφικτά σημεία ονομάζουμε τα βασικά σημεία που ικανοποιούν και τους περιορισμούς μη αρνητικότητας. Διαφορετικά τα σημεία αυτά τα ονομάζουμε βασικά μη εφικτά σημεία. Εκφυλισμένο (degenerte) ονομάζουμε ένα βασικό σημείο που ικανοποιεί τουλάχιστον n-m+1 ανισοτικούς περιορισμούς σαν ισότητες. Μη εκφυλισμένο (non degenerte) ονομάζουμε ένα βασικό σημείο που ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισοτικούς περιορισμούς σαν ισότητες. 2.2 Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Ο πρωτεύων αλγόριθμος Simplex θα περιγραφεί σε γραμμικά προβλήματα ελαχιστοποίησης στα οποία όλοι οι περιορισμοί είναι ισότητες και όλες οι μεταβλητές υπόκεινται σε περιορισμούς μη αρνητικότητας, δηλαδή σε προβλήματα της μορφής min n j= 1 n j=1 c x x j ij j x j j 0 = b i για i = 1, 2,, m και j = 1, 2,, n, τα οποία έχουν έτοιμο ένα κατάλληλο βασικό εφικτό σημείο. Ο πρωτεύων αλγόριθμος Simplex κατασκευάζει μια ακολουθία βασικών εφικτών σημείων. Για διδακτικούς λόγους θα περιγράψουμε τους αλγόριθμους τύπου Simplex χρησιμοποιώντας την μορφή των tbleu, βλέπε Dntzig (1949). Η
3 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 31 μορφή αυτή αποκαλύπτει περισσότερες πτυχές του νέου αλγόριθμου που θα παρουσιάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο. Όμως στην υπολογιστική μελέτη θα χρησιμοποιήσουμε τη μορφή των μητρών (αναθεωρημένος πρωτεύων αλγόριθμος Simpex, βλέπε Dntzig, Orchrd-Hys (1953), Dntzig, Orchrd-Hys (1954), Dntzig, Orden, Wolfe (1955)) που είναι περισσότερο κατάλληλη για το σκοπό αυτό. Ο αλγόριθμος ξεκινά με ένα βασικό εφικτό σημείο. Ανανεώνει σε κάθε επανάληψη ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Οι συντελεστές του συστήματος αποτελούν ένα tbleu Simplex. Κάθε tbleu Simplex αντιστοιχεί σε ένα βασικό εφικτό σημείο. Σχηματισμός tbleu Simplex Η αντικειμενική συνάρτηση γράφεται αρχικά σαν z n j= 1 c x j j = 0 Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης και οι συντελεστές των εξισώσεων των περιορισμών γράφονται στο tbleu Simplex ο οποίος περιέχει n+2 στήλες και m+1 γραμμές. Η πρώτη στήλη από αριστερά αντιστοιχεί στη μεταβλητή z. Είναι η στήλη με αύξοντα αριθμό μηδέν. Οι n δεξιότερες (της μηδενικής) στήλες αντιστοιχούν στις μεταβλητές x j (j = 1, 2,, n). Η στήλη j αντιστοιχεί στη μεταβλητή x j. Η τελευταία στήλη δεξιά αντιστοιχεί στο δεξιό μέρος των εξισώσεων του προβλήματος και της αντικειμενικής συνάρτησης. Η πρώτη από πάνω γραμμή του tbleu Simplex αντιστοιχεί στην αντικειμενική συνάρτηση. Έχει αύξοντα αριθμό μηδέν και ονομάζεται γραμμή κόστους. Οι υπόλοιπες m γραμμές αντιστοιχούν στους m περιορισμούς ισοτήτων του γραμμικού προβλήματος.
4 32 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Τα στοιχεία του τρέχοντος tbleu Simplex θα τα παριστάνουμε με ij όπου ij, είναι το στοιχείο της i γραμμής και j στήλης. 0j, j = 1, 2,,n, είναι τα στοιχεία της μηδενικής γραμμής (αρχικά είναι 0j = -c j ) 0n+1, είναι η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. in+1 ή b i, i = 1, 2,, m, είναι τα στοιχεία της δεξιάς στήλης. Η γραμμή κόστους αντιστοιχεί στη μεταβλητή z της αντικειμενικής συνάρτησης. Κάθε γραμμή i (i = 1, 2,, n) αντιστοιχεί σε μια βασική μεταβλητή. Οι βασικές μεταβλητές γράφονται αριστερά του tbleu Simplex στις αντίστοιχες γραμμές. Οι τιμές αυτών των μεταβλητών βρίσκονται στη δεξιά στήλη (Δ.Μ. = δεξιό μέρος) του tbleu Simplex. Σε κάθε επανάληψη ο αλγόριθμος Simplex επιλέγει μια μη βασική μεταβλητή η οποία, αν αυξηθεί βελτιώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (δηλ. της μεταβλητής z). Η μεταβλητή αυτή ονομάζεται εισερχόμενη στη βάση μεταβλητή. Η εισερχόμενη μεταβλητή θα αντικαταστήσει κάποια μεταβλητή της βάσης κατασκευάζοντας έτσι το επόμενο βασικό εφικτό σημείο. Η μεταβλητή που θα αντικατασταθεί ονομάζεται εξερχόμενη από τη βάση μεταβλητή. Επομένως πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένας συντελεστής 0j > 0 που επιλέγεται με κάποιο κανόνα περιστροφής. Διαφορετικά το πρόβλημα είναι βέλτιστο και ο αλγόριθμος σταματά. Την εισερχόμενη μεταβλητή θα τη συμβολίζουμε με x s. Η στήλη s είναι η στήλη περιστροφής. Αν is 0 (i = 1, 2,, m) τότε το πρόβλημα είναι απεριόριστο και ο αλγόριθμος σταματά. Ο προσδιορισμός της εξερχόμενης μεταβλητής ονομάζεται τεστ ελαχίστου λόγου επειδή κατά τη διαδικασία αυτή υπολογίζεται ο ελάχιστος λόγος
5 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 33 b r rs b i : is > 0 is και η εξερχόμενη από τη βάση μεταβλητή βρίσκεται στη γραμμή r που ονομάζεται γραμμή περιστροφής. Το στοιχείο rs ονομάζεται στοιχείο περιστροφής. Πρέπει στη συνέχεια να κατασκευαστεί το επόμενο tbleu Simplex που αντιστοιχεί στο νέο βασικό εφικτό σημείο που έχει προσδιοριστεί, από τον προηγούμενο tbleu Simplex. Η ανανέωση των στοιχείων του tbleu Simplex αντιστοιχεί σε πράξεις γραμμών. Περιγραφή Αλγορίθμου με βήματα Βήμα 0 : Ξεκίνα μ' ένα Β.Ε.Σ. (=βασικό εφικτό σημείο) και φτιάξε το αντίστοιχο tbleu Simplex. Βήμα 1 : (προσδιορισμός στήλης περιστροφής) Αν 0j 0 για j = 1, 2,..., n, STOP. Η λύση είναι βέλτιστη. Διαφορετικά διάλεξε με κάποιο κανόνα περιστροφής ένα δείκτη s : 0s > 0, δηλ. 0s = mx{ 0j : 0j > 0, για j = 1, 2,, n} Βήμα 2 : (προσδιορισμός γραμμής περιστροφής) Θέσε I = {i : is > 0}. Αν I =, STOP. Το πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά βρες ένα δείκτη r : b r rs bi : i I is
6 34 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Βήμα 3 : (περιστροφή) Κάνε περιστροφή στο στοιχείο rs, δηλαδή Θέσε rj rj, για j = 1, 2,, n, n+1 rs ij rj ij is, για i = 0, 1, 2,,m (i r) και j = 1, 2,,n, n+1 rs και πήγαινε στο Βήμα 1. Θα διευκρινίσουμε τώρα περισσότερο τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex εφαρμόζοντάς τον σε δυο γραμμικά προβλήματα, ένα βέλτιστο και ένα απεριόριστο. Παράδειγμα Να λυθεί με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα. min z = 3x 1 + x 2 - x 3 - x 4 μ.π. -2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 5 = 5 3x 1 + 2x 2-2x 3 + x 6 = 9 2x 1 + x 2 - x 3 + x 4 + x 7 = 7 5x 1 - x 2 - x 4 + x 8 = 2 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, 0 Λύση
7 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 35 Επανάληψη 1 Βήμα 0 : Από το αρχικό πρόβλημα είναι φανερό ότι ένα Β.Ε.Σ. είναι x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 5, x 6 = 9, x 7 = 7 και x 8 =2. Κατασκευάζουμε το αρχικό tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z x x x x Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την στήλη περιστροφής και επιλέγουμε 0s = mx{ 03, 04 > 0} = mx {1, 1} = 03 Άρα s = 3, οπότε η μεταβλητή x 3 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε Ι = {1} και βρίσκουμε r = 1 επειδή b 1 13 b = Άρα η μεταβλητή x 5 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 13 = 2 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex.
8 36 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z / / /2 x / / /2 x x / / /2 x Εφόσον υπάρχει 04 > 0 στη γραμμή κόστους επαναλαμβάνω τον αλγόριθμο Simplex. Επανάληψη 2 Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την στήλη περιστροφής και επιλέγουμε 0s = mx{c 4 > 0} = mx {1} = 04 Άρα s = 4, οπότε η μεταβλητή x 4 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε Ι = {3} και βρίσκουμε r = 3 επειδή b 3 34 b / 2 = Άρα η μεταβλητή x 7 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 3 : Κάνω περιστροφή στο στοιχείο 34 = 1 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex.
9 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 37 z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z x / / /2 x x / / /2 x / / /2 Επειδή 0j 0 για j = 1, 2,..., 8 STOP. Η λύση είναι βέλτιστη, δηλαδή για x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 5/2, x 4 = 19/2, x 5 = 0, x 6 = 14, x 7 = 0 και x 8 =23/2 η αντικειμενική συνάρτηση z = 3x 1 + x 2 - x 3 - x 4 ελαχιστοποιείται, z = -12. Παράδειγμα Να λυθεί με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα. min z = 3x 1-2x 2 + x 3 μ.π. x 1 + x 2-2x 3 4 2x 1-3x 2 + x 3 9 x 1, x 2, x 3 0 Προσθέτω στους περιορισμούς τις χαλαρές μεταβλητές x 4, x 5 0, οπότε το γ.π. μετασχηματίζεται ως εξής : min z = 3x 1-2x 2 + x 3 μ.π. x 1 + x 2-2x 3 + x 4 = 4 2x 1-3x 2 + x 3 + x 5 = 9 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0
10 38 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Λύση Επανάληψη 1 Βήμα 0 : Από το αρχικό πρόβλημα είναι φανερό ότι μια Β.Ε.Λ. (βασική εφικτή λύση) είναι η z = 0 για x 1 = x 2 = x 3 = 0, x 4 = 4, x 5 = 9. Κατασκευάζουμε το αρχικό tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Δ.Μ. z x x Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την στήλη περιστροφής και επιλέγουμε 0s = mx{ 02 > 0} = mx {2} = 2 = 02 Άρα s = 2, οπότε η μεταβλητή x 2 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε Ι = {1} και βρίσκουμε r = 1 επειδή b 1 12 b = 4 1 Άρα η μεταβλητή x 5 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 12 = 1 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Δ.Μ. z x
11 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 39 x Εφόσον υπάρχει 03 > 0 στη γραμμή κόστους επαναλαμβάνω τον αλγόριθμο Simplex. Επανάληψη 2 Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την στήλη περιστροφής και επιλέγουμε 0s = mx{ 03 } = min {3} = 3 = 03 Άρα s = 3, οπότε η μεταβλητή x 3 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2 : Επειδή Ι =, το πρόβλημα είναι απεριόριστο. 2.3 Δυϊκός Αλγόριθμος Simplex Ο δυϊκός αλγόριθμος Simplex θα περιγραφεί σε γραμμικά προβλήματα μεγιστοποίησης στα οποία όλοι οι περιορισμοί είναι ισότητες και όλες οι μεταβλητές υπόκεινται σε περιορισμούς μη αρνητικότητας, δηλαδή σε προβλήματα της μορφής mx n n j= 1 j=1 c x x j ij j x j j 0 = b i για i = 1, 2,, m και j = 1, 2,, n. τα οποία έχουν έτοιμο ένα κατάλληλο βασικό δυϊκά εφικτό σημείο. Ο δυϊκός αλγόριθμος Simplex, βλέπε Lemke (1954) κατασκευάζει μια ακολουθία βασικών δυϊκά εφικτών σημείων.
12 40 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Ο αλγόριθμος ξεκινά με ένα βασικό δυϊκά εφικτό σημείο και σε αντιστοιχία με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο κατασκευάζουμε σε κάθε επανάληψη ένα tbleu Simplex που αντιστοιχεί σε ένα βασικό δυϊκά εφικτό σημείο. Ο δυϊκός αλγόριθμος Simplex προσδιορίζει πρώτα την εξερχόμενη και μετά την εισερχόμενη μεταβλητή σε αντίθεση με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex. Περιγραφή Αλγορίθμου με βήματα Βήμα 0 : Ξεκίνα μ' ένα Β.Δ.Ε.Σ. (βασικό δυϊκά εφικτό σημείο) και φτιάξε το αντίστοιχο tbleu Simplex. Βήμα 1 : (προσδιορισμός γραμμής περιστροφής) Αν b i 0 για i=1, 2,..., m STOP. Η λύση είναι βέλτιστη. Διαφορετικά διάλεξε με κάποιο κανόνα περιστροφής ένα r : b r < 0, δηλαδή b r = min{b i : b i < 0} Βήμα 2 : (προσδιορισμός στήλης περιστροφής) Θέσε J = {j : rj < 0 }. Αν J =, STOP. Το δυϊκό πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά βρες το δείκτη s : os rs 0j : j J rj Βήμα 3 : (περιστροφή) Κάνε περιστροφή στο στοιχείο rs Θέσε
13 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 41 rj rj, για j = 1, 2,, n, n+1 rs ij rj ij is, για i = 0, 1, 2,,m (i r) και j = 1, 2,,n, n+1 rs και πήγαινε στο Βήμα 1. Θα διευκρινίσουμε τώρα περισσότερο τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex εφαρμόζοντάς τον σε δυο γραμμικά προβλήματα, ένα βέλτιστο και ένα αδύνατο. Παράδειγμα Να λυθεί με τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα. min z = 5x 1 + 7x 2 + 2x 3 + 8x 4 μ.π. x 1-2x 2-2x 3 + 3x 4 + x 5 = 5 5x 1-2x 2 - x 3 + 5x 4 + x 6 = 3 3x 1-2x 2 + 3x 3-3x 4 + x 7 = -1 - x 2 + 3x 3 + x 8 = -1 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, 0 Λύση Επανάληψη 1 Βήμα 0 : Μια Β.Ε.Λ. είναι η z = 0 x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 5, x 6 = 3, x 7 = -1 και x 8 =-1. Κατασκευάζουμε το αρχικό tbleu Simplex.
14 42 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z x x x x Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την γραμμή περιστροφής και επιλέγουμε b r = min{b 3, b 4 < 0} = min {-1, -1} = b 3 Άρα r = 3, οπότε η μεταβλητή x 7 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε J = {2, 4} και βρίσκουμε s = 4 επειδή , , = Άρα η μεταβλητή x 4 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 34 = -3 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z / /3 0 8/3 x x / /3 0 4/3 x / /3 0 1/3 x
15 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 43 Εφόσον υπάρχει b 4 = -1 < 0 επαναλαμβάνω τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex. Επανάληψη 2 Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την γραμμή περιστροφής και επιλέγουμε b r = min{ b 4 < 0} = min {-1} = b 4 Άρα r = 4, οπότε η μεταβλητή x 8 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε J = {2} και βρίσκουμε s = 2 επειδή = 1 1 Άρα η μεταβλητή x 2 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 42 = -1 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z /3-5/3 13/3 x x /3-16/3 20/3 x /3 2/3-1/3 x Εφόσον υπάρχει b 3 = -1/3 < 0 επαναλαμβάνω τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex.
16 44 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Επανάληψη 3 Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την γραμμή περιστροφής και επιλέγουμε b r = min{ b 3 < 0} = min {-1/3} = b 3 Άρα r = 3, οπότε η μεταβλητή x 4 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε J = {1, 7} και βρίσκουμε s = 7 επειδή , / 3, = 8 1 1/ 3 Άρα η μεταβλητή x 7 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 37 = -1/3 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. z x x x x Επειδή b i > 0 για i = 1, 2, 3, 4 ο αλγόριθμος σταματά. Η λύση είναι βέλτιστη, δηλαδή για x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 7, x 6 = 5, x 7 =1 και x 8 = 0 η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει την μικρότερη τιμή, δηλαδή z = 7.
17 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 45 Παράδειγμα Να λυθεί με τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα. min z = x 1-2x 2 - x 3 μ.π. x 1 + x 2-2x 3-4 2x 1 - x 2-2x 3-2 x 1 - x 2 + 2x 3-8 x 1, x 2, x 3 0 Προσθέτω στους περιορισμούς τις χαλαρές μεταβλητές x 4, x 5, x 6 0, οπότε το γ.π. μετασχηματίζεται ως εξής : min z = x 1-2x 2 - x 3 μ.π. x 1 + x 2-2x 3 + x 4 = -4 2x 1 - x 2-2x 3 + x 5 = -2 x 1 - x 2 + 2x 3 + x 6 = -8 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Λύση Επανάληψη 1 Βήμα 0 : Μια Β.Ε.Λ. είναι η z = 0 για x 1 = x 2 = x 3 = 0, x 4 = -4, x 5 = -2, x 6 = -8, απ όπου προκύπτει το αρχικό tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Δ.Μ. z x x x
18 46 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την γραμμή περιστροφής και επιλέγουμε b r = min{ b 1, b 2, b 3 < 0} = min{-4, -2, -8} = b 3 Άρα r = 3, οπότε η μεταβλητή x 6 εξέρχεται από τη βάση. Βήμα 2 : Θέτουμε J = {2} και βρίσκουμε s = 2 επειδή = 2 1 Άρα η μεταβλητή x 2 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 3 : Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 32 = -1 και κατασκευάζουμε το επόμενο tbleu Simplex. z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Δ.Μ. z x x x Εφόσον υπάρχει b i = < 0 για i =1 επαναλαμβάνω τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex. Επανάληψη 2 Βήμα 1 : Προσδιορίζουμε την γραμμή περιστροφής και επιλέγουμε b r = min{ b 1 < 0} = mx {-12} = b 1 Άρα r = 1, οπότε η μεταβλητή x 4 εξέρχεται από τη βάση.
19 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 47 Βήμα 2 : Επειδή J =, το δυϊκό πρόβλημα είναι απεριόριστο και επομένως το αρχικό πρόβλημα είναι αδύνατο. 2.4 Αλγόριθμοι τύπου Simplex Εξωτερικών Σημείων Οι αλγόριθμοι Simplex κινούνται από μια κορυφή του συνόλου της πολυεδρικής εφικτής περιοχής σε μια παρακείμενη κορυφή με μια καλύτερη αντικειμενική τιμή. Ένας τρόπος για να βελτιωθεί η μέθοδος Simplex είναι να αναπτυχθούν αλγόριθμοι ικανοί να κινηθούν σε μη παρακείμενες κορυφές βελτίωσης (με καλύτερη αντικειμενική τιμή). Επειδή προτιμούμε οι αλγόριθμοι τύπου Simplex να μην ακολουθούν παρακείμενες κορυφές βελτίωσης ώστε να γίνουν περισσότερο αποτελεσματικοί, καλό είναι να αναπτύξουμε παραλλαγές τους που αποφεύγουν τις κορυφές του εφικτού πολυέδρου. Αυτό βεβαίως σημαίνει ότι οι βασικές λύσεις που θα κατασκευάζονται δεν θα είναι εφικτές και επομένως ο αλγόριθμος θα είναι εξωτερικών σημείων. Ένας αλγόριθμος τύπου Simplex που είναι ικανός να ακολουθήσει ένα μονοπάτι τύπου Simplex που περιέχει βασικές λύσεις που δεν είναι εφικτές καλείται αλγόριθμος εξωτερικών σημείων (EPSA). Από την εμφάνιση της μεθόδου Simplex οι ερευνητές προσπάθησαν να αναπτύξουν αλγορίθμους που αποφεύγουν την εφικτή περιοχή. Τα πρόωρα παραδείγματα των προσπαθειών αυτού του είδους είναι ο αυτοδυϊκός αλγόριθμος Dntzig (1963), και η μέθοδος των διαδοχικών ελαχίστων δρόμων για τα προβλήματα ροής ελαχίστου κόστους δικτύων, βλέπε Ford και Fulkerson (1962) και Tomizow (1972). Πιο πρόσφατα, ο Terlky (1985) ανέπτυξε έναν συγκλίνοντα περιστροφικό κανόνα για τον κανόνα Ζικ-Ζακ του Zionts (1969) τη σταυρωτή μέθοδο. Ο αλγόριθμος του Terlky είναι ένας μη βελτιωτικός (μη αποδοτικός) αλγόριθμος εξωτερικών σημείων. Η εντελώς συνδυαστική φύση και η έλλειψη οποιωνδήποτε κριτηρίων βελτίωσης ή μονοτονίας κάνουν κάποιον να θεωρήσει ότι αυτός ο αλγόριθμος δεν είναι αποδοτικός στην πράξη.
20 48 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Ο όρος αλγόριθμος εξωτερικών σημείων εμφανίζεται για πρώτη φορά με την εργασία, Pprrizos (1991), όπου παρουσιάζεται μια βελτίωση προηγούμενου παρόμοιου αλγορίθμου για το πρόβλημα μεταφοράς, Pprrizos (1988). Οι αλγόριθμοι αυτοί δέχθηκαν αρκετές βελτιώσεις και τροποποιήσεις. Μερικές παραλλαγές τους ανέπτυξαν οι Achtz et. l. (1991), και Pprrizos (1996). Επίσης, οι αλγόριθμοι αυτοί γενικεύτηκαν στο γραμμικό πρόβλημα Pprrizos (1993), Anstreicher και Terlky (1994). Ένας πιο γενικός αλγόριθμος εξωτερικών σημείων αναπτύχθηκε από τους Dosios και Pprrizos (1995), όπου γενικεύτηκαν οι αλγόριθμοι των Pprrizos (1993) και Anstreicher και Terlky (1994). 2.5 Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Εξωτερικών Σημείων (EPSA) Έστω το γραμμικό πρόβλημα στην τυποποιημένη μορφή min { c Τ x : Ax = b, x 0}, όπου x, c R n, Α R mxn, b R m και Β είναι μια εφικτή βάση του. Αν είναι 0j 0 για j = 1, 2,, n, η βάση Β είναι βέλτιστη και δε χρειάζονται παραπέρα υπολογισμοί. Αντίθετα, αν δεν είναι βέλτιστη, υπάρχουν μη βασικοί δείκτες j, τέτοιοι ώστε 0j > 0. Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} και τις ποσότητες i0 = j J + ij, i = 0,1,2,..., m
21 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 49 Κατασκευάζουμε έτσι τη στήλη μηδέν του tbleu Simplex που ονομάζουμε χαρακτηριστική στήλη. Προς αποφυγήν συγχύσεων υπενθυμίζουμε εδώ ότι στους δυο προηγούμενους αλγόριθμους η στήλη μηδέν αντιστοιχούσε στη μεταβλητή z, δηλαδή στη μεταβλητή της αντικειμενικής συνάρτησης. Ο αλγόριθμος εξωτερικών σημείων που περιγράφεται εδώ είναι πρωτεύων στη φύση του, γιατί κατασκευάζει εφικτά σημεία του πρωτεύοντος προβλήματος. Όμως, αντίθετα με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex, προσδιορίζει πρώτα την εξερχόμενη και μετά την εισερχόμενη μεταβλητή. Με αυτή την έννοια μοιάζει περισσότερο με το δυϊκό αλγόριθμο Simplex. Η στήλη μηδέν χρησιμοποιείται για τον έλεγχο ελαχίστου λόγου, ο οποίος είναι όμοιος με αυτόν του πρωτεύοντα αλγόριθμου Simplex και προσδιορίζει τη γραμμή περιστροφής. Αν δεν υπάρχει γραμμή περιστροφής, το πρόβλημα είναι απεριόριστο. Η εισερχόμενη μεταβλητή προσδιορίζεται με ένα μάλλον πολύπλοκο έλεγχο ελαχίστου λόγου. Στον αλγόριθμο εξωτερικών σημείων υπάρχει πάντοτε εισερχόμενη μεταβλητή. Ο πίνακας Simplex εκτός της μηδενικής στήλης ανανεώνεται με μια περιστροφή. Ο τρόπος ανανέωσης της στήλης μηδέν περιγράφεται αναλυτικά στη παρακάτω περιγραφή του αλγορίθμου σε μορφή βημάτων. Η αυτή είναι προσαρμοσμένη για γραμμικά προβλήματα στα οποία ο προσδιορισμός της εισερχόμενης μεταβλητής γίνεται χωρίς δεσμούς στον υπολογισμό του ελαχίστου λόγου θ 1 του βήματος 3. Περιγραφή Αλγορίθμου με βήματα Βήμα 0: Ξεκίνα με μια βασική εφικτή λύση και κατασκεύασε το αρχικό tbleu Simplex. Βήμα 1: (έλεγχος βελτιστότητας) Υπολόγισε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} Αν J + =, STOP. Η παρούσα βασική εφικτή λύση είναι βέλτιστη. Διαφορετικά, υπολόγισε τις ποσότητες
22 50 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex i0 = j J + ij, i = 0,1,2,..., m Βήμα 2: (προσδιορισμός γραμμής περιστροφής) Υπολόγισε το σύνολο δεικτών γραμμών I + = {i : i0 > 0} Αν I + =, STOP. Το γραμμικό πρόβλημα είναι απεριόριστο. Διαφορετικά, προσδιόρισε τη γραμμή περιστροφής r από τη σχέση b r r0 b min : i I i = + i0. Βήμα 3: (προσδιορισμός στήλης περιστροφής) Θέσε J - = {j : 0j < 0}. Υπολόγισε τους λόγους θ 1 = 0k rk oj rj : j J +, rj > 0 θ 2 = 0l rl oj rj : j J, rj < 0 Βρες τη στήλη περιστροφής s από τις προηγούμενες σχέσεις. Δηλαδή, αν θ 1 θ 2, θέσε s = k. Διαφορετικά, θέσε s = l. Βήμα 4: (περιστροφή) Κάνε περιστροφή στο στοιχείο rs. Δηλαδή θέσε rj rj, για j = 1, 2,, n, n+1 rs
23 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 51 rj ij ij is, για i = 0, 1, 2,,m (i r) και j = 1, 2,,n, n+1 rs Αν s = k θέσε 0r 0r 1 Πήγαινε στο Βήμα 1. Θα διευκρινίσουμε τώρα περισσότερο τον αλγόριθμο εφαρμόζοντάς τον σε δυο γραμμικά προβλήματα, ένα βέλτιστο και ένα απεριόριστο. Παράδειγμα Να λυθεί με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο εξωτερικών σημείων το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα min z = 4x 1-6x 2 + x 3-2x 4 μ.π. x 1-2x 2 + 4x 3 - x x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 6 -x 1 + 2x 2 - x 3 + x 4 4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Προσθέτουμε στους περιορισμούς τις χαλαρές μεταβλητές x 5, x 6, x 7 0, οπότε το γ.π. μετασχηματίζεται ως εξής : min z = 4x 1-6x 2 + x 3-2x 4 μ.π. x 1-2x 2 + 4x 3 - x 4 + x 5 = 12 2x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 + x 6 = 6 -x 1 + 2x 2 - x 3 + x 4 + x 7 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 Λύση
24 52 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Επανάληψη 1 Βήμα 0: Ξεκινούμε με μια Β.Ε.Λ. και φτιάχνουμε το αντίστοιχο tbleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ΔΜ z x x x Βήμα 1: Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} = {2, 4}. Επειδή J + φτιάχνουμε τη χαρακτηριστική στήλη. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το σύνολο I + = {i : i0 > 0} = {2, 3}. Η γραμμή περιστροφής είναι η r = 3, επειδή b 3 30 b 2 20 b, , = Βήμα 3: Θέτουμε J - = {j : 0j < 0} = {1, 3} και υπολογίζουμε τους λόγους 6 2 θ 1 = min, = 2 = θ = min, = 1 = Επειδή θ 2 < θ 1, η στήλη περιστροφής είναι η s = 3.
25 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 53 Βήμα 4: Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 33 = -1 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ΔΜ z x x x Πήγαινε στο Βήμα 1. Επανάληψη 2 Βήμα 1: Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} = {2, 4}. Επειδή J + φτιάχνουμε τη χαρακτηριστική στήλη. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το σύνολο I + = {i : i0 > 0} = {1, 2}. Η γραμμή περιστροφής είναι η r = 2, επειδή b 2 20 b 1 10 b, , = Βήμα 3: Θέτουμε J - = {j : 0j < 0} = {1, 7} και υπολογίζουμε τους λόγους θ 1 = min { } = + θ = min, = = Άρα η στήλη περιστροφής είναι η s = 4.
26 54 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Βήμα 4: Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 24 = 3 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ΔΜ z 3-10/ /3-4/3-7 x x 4 1 1/ /3 1/3 3 x 3-1 4/ /3-2/3-1 Πήγαινε στο Βήμα 1. Προσέξτε σ' αυτό το σημείο ότι το στοιχείο 02 είναι 1 και όχι 2 που προκύπτει από μια απλή περιστροφή. Φυσικά η τιμή αυτή είναι σύμφωνη με τον τρόπο ανανέωσης της στήλης 0 όταν s = k. Επανάληψη 3 Βήμα 1: Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} = {2}. Επειδή J + πηγαίνουμε στο επόμενο βήμα. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το σύνολο I + = {i : i0 > 0} = {1, 2}. Η γραμμή περιστροφής είναι η r = 2, επειδή b 2 22 b 1 12 b, , = Βήμα 3: Θέτουμε J - = {j : 0j < 0} = {1, 6, 7} και υπολογίζουμε τους λόγους θ 1 = min { } = +
27 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex min = = Άρα η στήλη περιστροφής είναι η s = 2. Βήμα 4: Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 22 = 1 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ΔΜ z -13/ /3-7/3-16 x x 2 1/ /3 1/3 3 x 3 5/ /3-1/3 2 Επειδή J + = {j : 0j > 0} =, η παρούσα λύση είναι βέλτιστη. Άρα για x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = 2, x 4 = 0, x 5 = 6 και x 6 = x 7 = 0 η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή της, δηλαδή z = -16. Παράδειγμα Να λυθεί με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο εξωτερικών σημείων το παρακάτω γραμμικό πρόβλημα min z = 2x 1-2x 2 + 3x 3 + 4x 4 μ.π. -x 1-2x 2 + 2x 3 - x x 1-12x 2 - x 3 - x 4 4 3x 1 + x 2-2x x 4 12 x 1, x 2, x 3, x 4 0
28 56 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex Προσθέτω στους περιορισμούς τις χαλαρές μεταβλητές x 5, x 6 0, οπότε το γ.π. μετασχηματίζεται ως εξής : min z = 2x 1-2x 2 + 3x 3 + 4x 4 μ.π. -x 1-2x 2 + 2x 3 - x 4 + x 5 = 18-2x 1-12x 2 - x 3 - x 4 + x 6 = 4 3x 1 + x 2-2x x 4 + x 7 = 12 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 Λύση Επανάληψη 1 Βήμα 0: Ξεκινούμε με μια Β.Ε.Λ. και φτιάχνουμε το αντίστοιχο tbleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 Δ.Μ. z x x x Βήμα 1: Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} = {2}. Επειδή J + φτιάχνουμε τη χαρακτηριστική στήλη. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το σύνολο I + = {i : i0 > 0} = {3}. Η γραμμή περιστροφής είναι η r = 3, επειδή b 3 30 b = 12 1
29 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex 57 Βήμα 3: Θέτουμε J - = {j : 0j < 0} = {1, 3, 4} και υπολογίζουμε τους λόγους θ 1 2 = min = θ 2 3 = min = 1,5 = Άρα η στήλη περιστροφής είναι η s = 3, επειδή θ 2 < θ 1. Βήμα 4: Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 33 = -2 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex., x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 Δ.Μ. z 1/2-5 1/ /2-18 x x 6-25/2-7/2-25/ /2-2 x 3-1/2-3/2-1/ /2-6 Επανάληψη 2 Βήμα 1: Υπολογίζουμε το σύνολο J + = {j : 0j > 0} = {2}. Επειδή J + φτιάχνουμε τη χαρακτηριστική στήλη. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το σύνολο I + = {i : i0 > 0} =. Επειδή I + = το πρόβλημα είναι απεριόριστο.
30 58 Κεφάλαιο 2 Αλγόριθμοι Τύπου Simplex
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 13: Μεθοδολογία Αλγορίθμων τύπου Simplex, Αναθεωρημένος Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μεθοδολογία αλγορίθμων τύπου simplex (5) Βήμα 0: Αρχικοποίηση (Initialization). Στο βήμα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 22: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων με τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ. 1.1 Εισαγωγή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ. Εισαγωγή Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι ο πιο εφαρμοσμένος κλάδος της επιστήμης των Μαθηματικών με πληθώρα εφαρμογών στην επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΗ αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π.
Ένα ξυλουργείο παράγει θρανία, τραπέζια και καρέκλες : Προϊόν Πρώτη Ύλη Θρανίο Τραπέζι Καρέκλα Διαθεσιμότητα Ξυλεία (m) 8 6 1 48 Κατασκευή (ώρες) 2 1.5 0.5 8 Φινίρισμα (ώρες) 4 2 1.5 20 Τιμή Πώλησης 60,000
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Δυϊκή Θεωρία Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
(Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου
Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Περιεχόμενα 1 Γενικά στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού 2 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού και γραφικής επίλυσης του 3 Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότερα(sensitivity analysis, postoptimality analysis).
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.
Διαβάστε περισσότερα2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα Μεταφοράς
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ
ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ Παπαρρίζος Κωνσταντίνος, Σαμαράς Νικόλαος, Στεφανίδης Γεώργιος Τμ. Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων
Διαβάστε περισσότεραΑναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20
Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήµατα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η
Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση ενεργειακών πόρων & συστημάτων Πρακτικά συνεδρίου(isbn: )
ISN: 978-960-87277-8-6 23 ο Εθνικό Συνέδριο Ελληνικής Εταιρείας Επιχειρησιακών Ερευνών Διαχείριση ενεργειακών πόρων & συστημάτων Πρακτικά συνεδρίου(isn: 978-960-87277-8-6) Αθήνα, 2-4 Σεπτεμβρίου 202 Αίθουσα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Μεθόδου Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)
Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων
Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex
Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 15: Κύκλωση Δεσμοί, Κανόνες Περιστροφής Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1
Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ... 2 1.1.1 Ορισμός και ιδιότητες γραφημάτων... 2 1.1.2 Δέντρα... 7 1.2 ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ... 11 1.2.1 Μήτρα πρόσπτωσης κόμβων τόξων...
Διαβάστε περισσότεραm 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Στόχοι Εργαστηρίου ημιουργία Τυχαίων Βέλτιστων Γ.Π. Περιγραφή μεθόδου για δημιουργία βέλτιστων
Διαβάστε περισσότεραΒ. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex
Β. Βασιλειάδης Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex Περιεχόμενα Ο αλγόριθμος Simplex Βασικά Βήματα Παραδείγματα Συμπεράσματα 1o Bήμα: εξάλειψη των ανισοτήτων Στη μαθηματική διατύπωση του
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής
Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 8: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ 5.1 Εισαγωγή Μια υπολογιστική μελέτη (computational study) αποτελεί ένα μέσο σύγκρισης δυο ή περισσότερων αλγορίθμων ώστε να εξαχθούν ασφαλή συμπεράσματα για
Διαβάστε περισσότεραΚανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης
http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού
Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)
Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 20: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για τη δημιουργία τυχαίων βέλτιστων Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής
Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα Διανομής και Δικτύων
Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση
Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 4: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΔυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση
Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΜΠΣ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ» Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός Διπλωματική εργασία της
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός
Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU
Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο «Δικτυακή Βελτιστοποίηση» γράφτηκε με κύριο στόχο να καλύψει τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος «Δικτυακός Προγραμματισμός», που διδάσκεται στο Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού
Διαβάστε περισσότερα