Επιχειρησιακή Έρευνα I
|
|
- Κρέων Ιωαννίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis
2 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex 2. Ασκήσεις 3. Μέθοδος Μεγάλου Μ (C) Copyright Α. Platis. All rights reserved. 2
3 Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Ασκήσεις
4 Μέθοδος Simplex: ανακεφαλαίωση 1. Βρίσκεται μία αρχική βασική εφικτή λύση 2. Ελέγχεται το κριτήριο αριστοποίησης: εάν το σχετικό κόστος όλων των μη-βασικών μεταβλητών είναι αρνητικό ή μηδενικό τότε σταματάμε 3. Προσδιορίζεται η εισερχόμενη μεταβλητή x j, αυτή που έχει το υψηλότερο σχετικό κόστος. 4. Προσδιορίζεται η εξερχόμενη μεταβλητή: b i min aij 0 i aij 5. Πραγματοποιείται μία περιστροφή (αλλαγή μιας μη-βασικής μεταβλητής σε βασική) και προσδιορίζεται μία καινούργια βασική εφικτή λύση. Επιστροφή στο βήμα 2 4
5 Άσκηση
6 Πρόταση στόχος T-shirt με μανίκι ή χωρίς Η Reebok Sports παράγει δύο ειδών T-shirt: με μανίκι και χωρίς. Πόσα από κάθε είδος θα πρέπει να παράγει κάθε εβδομάδα ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη, δοθέντος των ακόλουθων περιορισμών Η συνεισφορά (στο κέρδος) για κάθε T-shirt χωρίς μανίκι είναι 3.00, ενώ με μανίκι είναι 4.50 Κάθε T-shirt με μανίκι χρησιμοποιεί 0.5 m 2 υλικού. Και χωρίς μανίκι 0.4m m 2 υλικού είναι διαθέσιμα. Απαιτούνται: 1 ώρα για την παραγωγή ενός T-shirt χωρίς μανίκι και 2 ώρες για ένα με μανίκι. 900 εργατοώρες είναι διαθέσιμες. Δεν υπάρχει όριο στην ζήτηση για T-shirt χωρίς μανίκι αλλά η συνολική ζήτηση για T-shirt με μανίκι είναι 375 κομμάτια ανά εβδομάδα. Κάθε T-shirt χωρίς μανίκι χρησιμοποιεί ένα λογότυπο και 600 υπάρχουν στην αποθήκη. 6 6
7 Έκφραση του προβλήματος ΓΠ Max Z=3x x x x x 1 +2x x x x 1 0, x 2 0 Αντικειμενική συνάρτηση Περιορισμοί x1 συντελεστής απόφασης για t-shirt με μανίκι x2 συντελεστής απόφασης για t-shirt χωρίς μανίκι 7
8 Simplex Βήμα 1 Εισάγουμε χαλαρές μεταβλητές (slack variables) 0 για να αλλάξουμε τις προηγούμενες ανισότητες σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων: 0.4x x 2 + x 3 = 300 x 1 + 2x 2 + x 4 = 900 x 2 + x 5 = 375 x 1 + x 6 = μεταβλητές και 4 εξισώσεις 2 βαθμοί ελευθερίας (δηλαδή 2 οποιεσδήποτε μεταβλητές μπορούν να πάρουν κάποια αυθαίρετη τιμή για τη λύση των 4 εξισώσεων ως προς τις υπόλοιπες τέσσερεις μεταβλητές. Η Simplex ως αυθαίρετη τιμή χρησιμοποιεί την τιμή 0) Αρχικές βασικές μεταβλητές: x 3, x 4, x 5, x 6 (βασικές είναι οι μεταβλητές που ΔΕΝ έχουν την τιμή = 0 σε κάποιο βήμα της simplex) Αρχικές μη-βασικές μεταβλητές: x 1, x 2 (μη βασικές είναι οι μεταβλητές που έχουν τιμή 0 σε κάποιο βήμα της simplex) Σε κάθε βήμα της Simplex θα αντικαθιστούμε μια μη βασική μεταβλητή με μια βασική μεταβλητή. Προκύπτει μια νέα βασική εφικτή λύση. 8
9 Simplex Βήμα 2 Ξαναγράφουμε την αντικειμενική συνάρτηση Από: Z=3x x 2 Σε: Z-3x 1-4.5x 2-0x 3-0x 4-0x 5-0x 6 =0 9
10 Simplex Βήμα 3 Δημιουργία Πίνακα Simplex. Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x x x x Αρχική Βασική Εφικτή Λύση (0,0,300,900,375,600) και Ζ=0 10
11 Simplex Βήμα 4 Εύρεση εισερχόμενης βασικής μεταβλητής. Στον πίνακα ονομάζεται αξονική στήλη (Pivot column). Για να βρούμε την αξονική στήλη, βρίσκουμε την μικρότερη τιμή της γραμμής 5 (γραμμή αντικειμενικής συνάρτησης) στον πίνακα Simplex Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x x x x
12 Simplex Βήμα 5 (PIVOT ή Περιστροφή) Εύρεση εξερχόμενης βασικής μεταβλητής. Στον πίνακα ονομάζεται αξονική γραμμή (Pivot row). Για να βρούμε τη αξονική γραμμή, διαιρούμε κάθε δεξί μέλος με το αντίστοιχο αριθμό της αξονικής στήλης. Επιλέγουμε τη γραμμή με το μικρότερο δεξί μέρος. Η χαλαρή x5 στις βασικές μεταβλητές θα αντικατασταθεί (θα γίνει μη βασική) από τη x2 που θα γίνει βασική μεταβλητή. Αξονική Γραμμή (pivot row) Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x x x5>>x x Αξονική Στήλη (pivot column) 12
13 Simplex Βήμα 6 Μετατροπή του επιλεγμένου κελιού (αξονικό στοιχείο - pivot element) σε μονάδα (Δε χρειάζεται, είναι ήδη μονάδα) Αξονική Γραμμή (pivot row) Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί Μέλο ς x x x x
14 Simplex Βήμα 7 Μετατροπή των κελιών της στήλης pivot σε 0. Για να το κάνω αυτό κάνω αλγεβρικές πράξεις μεταξύ της γραμμής pivot και των υπολοίπων Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x x x x Γραμμή 1: Γραμμή 1 1/2*Γραμμή 3 Γραμμή 2: Γραμμή 2 2*Γραμμή 3 Γραμμή 3: Αξονική Γραμμή Γραμμή 4: Ήδη 0 Γραμμή 5: Γραμμή *Γραμμή 3 14
15 Simplex Βήμα 7 Μετατροπή των κελιών της στήλης pivot σε 0. Για να το κάνω αυτό κάνω αλγεβρικές πράξεις μεταξύ της γραμμής pivot και των υπολοίπων Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x / x x x Γραμμή 1: Γραμμή 1 1/2*Γραμμή 3 Γραμμή 2: Γραμμή 2 2*Γραμμή 3 Γραμμή 3: Αξονική Γραμμή Γραμμή 4: Ήδη 0 Γραμμή 5: Γραμμή *Γραμμή 3 15
16 Simplex Βήμα 8 (ή πίσω στο βήμα 4) Έλεγχος τελευταίας γραμμής για αρνητικούς συντελεστές (υπάρχουν). Εάν υπάρχουν, επιστροφή στο βήμα 4 Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x / x x x Νεα Βασική Εφικτή Λύση (0, 375, 112.5, 150, 0, 600) και Ζ=
17 Simplex Βήμα 4 Εύρεση εισερχόμενης βασικής μεταβλητής. Στον πίνακα ονομάζεται αξονική στήλη (Pivot column). Για να βρούμε την αξονική στήλη, βρίσκουμε την μικρότερη τιμή της γραμμής 5 (γραμμή αντικειμενικής συνάρτησης) στον πίνακα Simplex Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x / x x x Αξονική Στήλη (pivot column) 17
18 Simplex Βήμα 5(2 η επανάληψη) Εύρεση αξονικής γραμμής. Για να βρούμε την αξονική γραμμή, διαιρούμε κάθε δεξί μέλος με το αντίστοιχο αριθμό της αξονικής στήλης. Επιλέγουμε τη γραμμή με το μικρότερο δεξί μέρος. Η χαλαρή x4 στις βασικές μεταβλητές θα αντικατασταθεί (θα γίνει μη βασική) από τη x1 που θα γίνει βασική μεταβλητή. Αξονική Γραμμή (pivot row) Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x / x4>>x x x Αξονική Στήλη (pivot column) 18
19 Simplex Βήμα 6(2 η επανάληψη) Μετατροπή του επιλεγμένου κελιού (αξονικό στοιχείο) σε μονάδα. Δεν χρειάζεται διότι είναι ήδη μονάδα. Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x / x x x
20 Simplex Βήμα 7(2 η επανάληψη) Μετατροπή των κελιών της στήλης pivot σε 0. Για να το κάνω αυτό κάνω αλγεβρικές πράξεις μεταξύ της γραμμής pivot και των υπολοίπων Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x x x x Γραμμή 1: Γραμμή 1 0.4*Γραμμή 2 Γραμμή 2: Αξονική Γραμμή Γραμμή 3: Ήδη 0 Γραμμή 4: Γραμμή 4 -Γραμμή 2 Γραμμή 5: Γραμμή 5 +3*Γραμμή 2 20
21 Simplex Βήμα 8 (ή πίσω στο βήμα 4) Έλεγχος τελευταίας γραμμής για αρνητικούς συντελεστές. Εάν δεν υπάρχουν λύση του προβλήματος. Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x x x x Νέα Βασική Εφικτή Λύση (150, 375, 52.5, 0, 0, 450) και Ζ=
22 Simplex Βήμα 4 Εύρεση εισερχόμενης βασικής μεταβλητής. Στον πίνακα ονομάζεται αξονική στήλη (Pivot column). Για να βρούμε την αξονική στήλη, βρίσκουμε την μικρότερη τιμή της γραμμής 5 (γραμμή αντικειμενικής συνάρτησης) στον πίνακα Simplex Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x x x x Αξονική Στήλη (pivot column) 22
23 Simplex Βήμα 5(2 η επανάληψη) Εύρεση αξονικής γραμμής. Για να βρούμε την αξονική γραμμή, διαιρούμε κάθε δεξί μέλος με το αντίστοιχο αριθμό της αξονικής στήλης. Επιλέγουμε τη γραμμή με το μικρότερο δεξί μέρος. Η χαλαρή x3 στις βασικές μεταβλητές θα αντικατασταθεί (θα γίνει μη βασική) από την επίσης χαλαρή x5 που θα γίνει βασική μεταβλητή. Αξονική Γραμμή (pivot row) Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x3>>x x x x Αξονική Στήλη (pivot column) 23
24 Simplex Βήμα 6(2 η επανάληψη) Μετατροπή του επιλεγμένου κελιού (αξονικό στοιχείο) σε μονάδα. Πολλαπλασιασμός όλης της γραμμής με 10/3. Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x /3-4/ x x x
25 Simplex Βήμα 7(2 η επανάληψη) Μετατροπή των κελιών της στήλης pivot σε 0. Για να το κάνω αυτό κάνω αλγεβρικές πράξεις μεταξύ της γραμμής pivot και των υπολοίπων Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x /3-4/ x /3-5/ x /3 4/ x /3 5/ Γραμμή 1: Αξονική Γραμμή Γραμμή 2: Γραμμή 2 + 2*Γραμμή 1 Γραμμή 3: Γραμμή 3 - Γραμμή 1 Γραμμή 4: Γραμμή 4 2*Γραμμή 1 Γραμμή 5: Γραμμή *Γραμμή 1 25
26 Simplex Βήμα 8 (ή πίσω στο βήμα 4) Έλεγχος τελευταίας γραμμής για αρνητικούς συντελεστές. Εάν δεν υπάρχουν λύση του προβλήματος. Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ζ Δεξί x /3-4/ x /3-5/ x /3 4/ x /3 5/ Νέα Βασική Εφικτή Λύση (500, 200, 0, 0, 175, 100) και Ζ=2400 Η νέα εφικτή λύση είναι και η άριστη. 26
27 Τυποποιημένη μορφή Οποιοδήποτε μοντέλο ΓΠ μπορεί να γραφτεί ως ακολούθως: 27
28 Μη Τυποποιημένη μορφή Στην περίπτωση που το πρόβλημα δεν είναι στην τυποποιημένη του μορφή τότε πρέπει να το προσαρμόσουμε. Οι προσαρμογές στην διατύπωση του μοντέλου γίνονται στο αρχικό βήμα (μοντελοποίηση). Η μέθοδος simplex μπορεί να εφαρμοστεί έπειτα από την προσαρμογή του μοντέλου στην τυποποιημένη του μορφή Περιπτώσεις όπου το μοντέλο ΓΠ δεν είναι στην τυποποιημένη του μορφή είναι όταν: Επιλύω πρόβλημα ελαχιστοποίησης Οι περιορισμοί δεν είναι της μορφής (δηλαδή έχω ισότητα =, ή μεγαλύτερο ή ίσο >= Το δεξί μέρος έχει αρνητικό συντελεστή 28
29 Ισότητα στους περιορισμούς «=» Έστω ότι στο αρχικό πρόβλημα τροποποιούμε τα δεδομένα του προβλήματος: 2 προϊόντα (Π1 και Π2) 3 εργοστάσια (Ε1, Ε2 και Ε3) Παραγωγική δυναμικότητα για κάθε εργοστάσιο (εβδομαδιαία) Κέρδος ανά παρτίδα (20 μονάδες) για κάθε προϊόν. Το Ε3 ΠΡΕΠΕΙ να χρησιμοποιήσει ΟΛΗ την παραγωγική του δυναμική Π1 (χρόνος παραγωγής, Π2 (χρόνος παραγωγής, Παραγωγική δυναμικότητα (ώρα) ώρα/παρτίδα) ώρα/παρτίδα) Ε Ε Ε Κέρδος ( ) /παρτίδα
30 Ισότητα στους περιορισμούς «=» Μεγιστοποίηση Ζ = 3x 1 + 5x 2 υπό περιορισμούς: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 = 18 x 1 0, x
31 Ισότητα στους περιορισμούς «=» Μεγιστοποίηση Ζ = 3x 1 + 5x 2 υπό περιορισμούς: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 = 18 x 1 0, x 2 0 Δυστυχώς δεν υπάρχει μια εύκολη αρχική βασική εφικτή λύση (0,0,.,) καθώς δεν υπάρχει χαλαρή μεταβλητή που να μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν αρχική βασική μεταβλητή (>0) στον 3 ο περιορισμό (εξίσωση) 31
32 Ισότητα στους περιορισμούς «=» Ζ - 3x1-5x2 =0 x 1 + x 3 = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 Η x 5 αλλάζει το πρόβλημα και διευρύνει την εφικτή περιοχή ώστε να μπορούμε να βρούμε μια αρχική λύση: (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (0,0,4,12,18) Μια εφικτή λύση για το αναθεωρημένο πρόβλημα είναι επίσης εφικτή και για το αρχικό πρόβλημα αν x 5 =0 Η x 5 ονομάζεται τεχνητή μεταβλητή. Εισάγουμε στο πρόβλημα μια τεχνητή μεταβλητή σαν να ήταν χαλαρή μεταβλητή. 32
33 Ισότητα στους περιορισμούς «=» Ζ - 3x1-5x2 =0 x 1 + x 3 = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 Έστω ότι εφαρμόζουμε τη μέθοδο simplex στο αναθεωρημένο πρόβλημα και βρίσκουμε την άριστη λύση του. Η λύση αυτή μπορεί να μην είναι εφικτή λύση στο αρχικό μη αναθεωρημένο πρόβλημα. Ωστόσο, εάν γίνει μια επιπλέον αλλαγή και στην ΑΣ η οποία δίνει μεγάλη ποινή για κάθε λύση έξω από την εφικτή περιοχή του αρχικού προβλήματος τότε η άριστη λύση στο αναθεωρημένο πρόβλημα καταλήγει να είναι εφικτή και στο αρχικό πρόβλημα 33
34 Ισότητα στους περιορισμούς «=» Ζ - 3x1-5x2 + Μx 5 =0 x 1 + x 3 = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 Αρχικά, αναθεωρούμε/αλλάζουμε το πρόβλημα προσθέτοντας μια τεχνητή μεταβλητή (x 5 ) Έπειτα, αναθεωρούμε/αλλάζουμε ξανά το πρόβλημα προσθέτοντας στην Αντικειμενική Συνάρτηση έναν πολύ μεγάλο συντελεστή Μ (big Μ) στην τεχνητή μεταβλητή x 5. Στην περίπτωση που η x 5 δεν είναι μηδέν, η Μ δίνει μια μεγάλη ποινή στην Αντικειμενική Συνάρτηση. 34
35 Simplex Βήμα 3 Δημιουργία Πίνακα Simplex. Η τεχνητή μεταβλητή x 5 είναι μια αρχική βασική μεταβλητή και ο κανόνας απαιτεί αρχικά όλους τους βασικούς συντελεστές στην ΑΣ να έχουν συντελεστή 0. Ακολουθείται η γνωστή διαδικασία της απαλοιφής. Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x M
36 Simplex Βήμα 3 Δημιουργία Πίνακα Simplex. Η x 5 ξεκινάει σαν αρχική βασική μεταβλητή και ο κανόνας απαιτεί αρχικά όλες τις βασικές μεταβλητές να έχουν συντελεστή 0. Ακολουθείται η γνωστή διαδικασία της απαλοιφής. Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x M 1 0 Γραμμή 1: Ήδη 0 Γραμμή 2: Ήδη 0 Γραμμή 3: Αξονική Γραμμή Γραμμή 4: Γραμμή 4 - M*Γραμμή 3 36
37 Simplex Βήμα 3 Δημιουργία Πίνακα Simplex. Η x 5 ξεκινάει σαν αρχική βασική μεταβλητή και ο κανόνας απαιτεί αρχικά όλες τις βασικές μεταβλητές να έχουν συντελεστή 0. Ακολουθείται η γνωστή διαδικασία της απαλοιφής. Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x M -5-2M M Γραμμή 1: Ήδη 0 Γραμμή 2: Ήδη 0 Γραμμή 3: Αξονική Γραμμή Γραμμή 4: Γραμμή 4 - M*Γραμμή 3 37
38 Simplex Βήμα 4 Εύρεση εισερχόμενης βασικής μεταβλητής. Στον πίνακα ονομάζεται αξονική στήλη (Pivot column). Για να βρούμε την αξονική στήλη, βρίσκουμε την μικρότερη τιμή της γραμμής 4 (γραμμή αντικειμενικής συνάρτησης) στον πίνακα Simplex Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x M -5-2M M Αξονική Στήλη (pivot column) 38
39 Simplex Βήμα 5 (PIVOT ή Περιστροφή) Εύρεση εξερχόμενης βασικής μεταβλητής. Στον πίνακα ονομάζεται αξονική γραμμή (Pivot row). Για να βρούμε τη αξονική γραμμή, διαιρούμε κάθε δεξί μέλος με το αντίστοιχο αριθμό της αξονικής στήλης. Επιλέγουμε τη γραμμή με το μικρότερο δεξί μέρος. Η χαλαρή x3 στις βασικές μεταβλητές θα αντικατασταθεί (θα γίνει μη βασική) από τη x1 που θα γίνει βασική μεταβλητή. Αξονική Γραμμή (pivot row) Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x 3 >>x x x M -5-2M M Αξονική Στήλη (pivot column) 39
40 Simplex Βήμα 6 Μετατροπή του επιλεγμένου κελιού (αξονικό στοιχείο - pivot element) σε μονάδα. Δεν απαιτείται διότι είναι ήδη μονάδα. Αξονική Γραμμή (pivot row) Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x M -5-2M M Αξονική Στήλη (pivot column) 40
41 Simplex Βήμα 7 Μετατροπή των κελιών της στήλης pivot σε 0. Για να το κάνω αυτό κάνω αλγεβρικές πράξεις μεταξύ της γραμμής pivot και των υπολοίπων Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x M -5-2M M Γραμμή 1: Αξονική Γραμμή Γραμμή 2: Ήδη 0 Γραμμή 3: Γραμμή 3-3*Γραμμή 1 Γραμμή 4: Γραμμή 4 + (3+3M)*Γραμμή 1 41
42 Simplex Βήμα 7 Μετατροπή των κελιών της στήλης pivot σε 0. Για να το κάνω αυτό κάνω αλγεβρικές πράξεις μεταξύ της γραμμής pivot και των υπολοίπων Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x M 3+3M M Γραμμή 1: Αξονική Γραμμή Γραμμή 2: Ήδη 0 Γραμμή 3: Γραμμή 3-3*Γραμμή 1 Γραμμή 4: Γραμμή 4 + (3+3M)*Γραμμή 1 42
43 Simplex Βήμα 8 (ή πίσω στο βήμα 4) Έλεγχος τελευταίας γραμμής για αρνητικούς συντελεστές (υπάρχουν). Εάν υπάρχουν, επιστροφή στο βήμα 4. Εύρεση αξονικής στήλης (Pivot column). Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x M 3+3M M Αξονική Στήλη (pivot column) 43
44 Simplex Βήμα 4 Εύρεση εισερχόμενης βασικής μεταβλητής. Στον πίνακα ονομάζεται αξονική στήλη (Pivot column). Για να βρούμε την αξονική στήλη, βρίσκουμε την μικρότερη τιμή της γραμμής 4 (γραμμή αντικειμενικής συνάρτησης) στον πίνακα Simplex Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x M 3+3M M Αξονική Στήλη (pivot column) 44
45 Αξονική Γραμμή (pivot row) Simplex Βήμα 5 Εύρεση εξερχόμενης βασικής μεταβλητής. Στον πίνακα ονομάζεται αξονική γραμμή (Pivot row). Για να βρούμε τη αξονική γραμμή, διαιρούμε κάθε δεξί μέλος με το αντίστοιχο αριθμό της αξονικής στήλης. Επιλέγουμε τη γραμμή με το μικρότερο δεξί μέρος. Η τεχνητή x 5 στις βασικές μεταβλητές θα αντικατασταθεί (θα γίνει μη βασική) από τη x 2 που θα γίνει βασική μεταβλητή. Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x 5 >>x M 3+3M M Αξονική Στήλη (pivot column) 45
46 Simplex Βήμα 6 Μετατροπή του επιλεγμένου κελιού (αξονικό στοιχείο - pivot element) σε μονάδα. Στη γραμμή 3 διαιρούμε με 2 όλα τα στοιχεία και κατασκευάζουμε εκ νέου τον πίνακα simplex Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x x x /2 0 1/ M 3+3M M κ.ο.κ 46
47 .Simplex Βήμα 8 Έλεγχος τελευταίας γραμμής για αρνητικούς συντελεστές. Τέλος του αλγορίθμου. Άριστη λύση: (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (2,6,2,0,0) Β. Μετ Γραμμή x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δεξί x /3 1/3 0 2 x /3-1/3 0 2 x / /2 Μ
48 Πρόσθεση τεχνητών μεταβλητών (Μέθοδος Μεγάλου Μ) Κάθε φορά που προσθέτουμε μία τεχνητή μεταβλητή, της αντιστοιχούμε ένα κέρδος πολύ αρνητικό (-M) στην αντικειμενική συνάρτηση: max Ζ = j=1,..,n c j x j - M*x n+i κάτω από τους περιορισμούς: j=1,..,n a ij x j + x n+i = b i Ή σε μορφή πινάκων: Ζ- j=1,..,n c j x j + M*x n+i = 0 j=1,..,n a ij x j + x n+i = b i 48
49 Μη Τυποποιημένη μορφή Στην περίπτωση που ένας ή περισσότεροι περιορισμοί είναι της μορφής a ij x j = b i Προσθέτουμε τεχνητές μεταβλητές (μέθοδος μεγάλου M) n j=1 Μη τυποποιημένη μορφή έχουμε και στην περίπτωση που έχουμε ελαχιστοποίηση, ή περιορισμούς >=0 ή αρνητικούς συντελεστές στο δεξί μέλος. Παράδειγμα: Minimize Z=3x 1 +5x 2 s.t. x 1 <=4 2x 2 = 12 3x 1 +2x 2 >=18 x 1,x 2 >=0 49
50 Μετατροπή του min σε max στην αντικειμενική συνάρτηση (Ελαχιστοποίηση) Αν υποθέσουμε ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση αντί να την μεγιστοποιήσουμε. Χρησιμοποιούμε την ακόλουθη ιδιότητα: Επιλύουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης αλλάζοντας τα πρόσημα (- + και + -) των συντελεστών στην αντικειμενική συνάρτηση. Η άριστη λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι η αντίθετη λύση στο πρόβλημα μεγιστοποίησης. 50
51 Μετατροπή του min σε max στην αντικειμενική συνάρτηση Αντί να λύσουμε το πρόβλημα: Minimize Z = 3x 1 + 5x 2 Θα λύσουμε το: Maximize (Z) = -3x 1-5x 2 Όσο μικρότερο είναι το Z τόσο μεγαλύτερο είναι το Z Maximize -Z=-3x 1-5x 2 s.t. x 1 <=4 2x 2 = 12 3x 1 +2x 2 >=18 x 1,x 2 >=0 51
52 Ανισότητες της φοράς με θετικό δεξί μέλος Η ανίσωση: 3x 1 + 2x 2 18 Μπορεί να μετατραπεί σε: -3x 1-2x 2-18 Και με τον χαλαρό περιορισμό διαμορφώνεται: -3x 1-2x 2 + x 5 = -18* *Αρνητική σταθερά στο δεξί μέλος θα δώσει αρνητική τιμή στην βασική μεταβλητή x 5 στην αρχική λύση, κάτι που δεν επιτρέπεται 52
53 Ανισότητες της φοράς με θετικό δεξί μέλος Στην περίπτωση μας, η -3x 1-2x 2 + x 5 = -18 θα δώσει αρνητική τιμή στην χαλαρή μεταβλητή x 5 στην αρχική λύση κάτι που δεν επιτρέπεται (οι χαλαρές μεταβλητές είναι >= 0). Οπότε, η εξίσωση μπορεί να μετατραπεί πολλαπλασιάζοντας με -1 στην: 3x 1 + 2x 2 - x 5 = 18 Η μετατροπή αλλάζει τον συντελεστή της x 5 σε -1 που πάλι δεν επιτρέπεται. Ωστόσο, αυτή η εξίσωση μπορεί να θεωρηθεί ως ισότητα με μη αρνητικό δεξιό μέλος και μπορούμε να προσθέσουμε μια τεχνητή μεταβλητή x 6 οπότε και η εξίσωση μετατρέπεται στην: 3x 1 + 2x 2 - x 5 + x 6 = 18 (η x 6 ξεκινάει σαν αρχική βασική μεταβλητή (x 6 =18) και η x 5 σαν μια μη βασική (x 5 =0) μεταβλητή). Η μεταβλητή x 5 ονομάζεται μεταβλητή πλεονασμού 53
54 Το πρόβλημα για να επιλυθεί με simplex διαμορφώνεται ως εξής: Maximize -Z=-3x 1-5x 2 x 1 <=4 2x 2 = 12 (ισότητα) 3x 1 +2x 2 >=18 (>= & θετικό δεξί μέλος) x 1,x 2 >=0 -Ζ + 3x 1 + 5x 2 + Μx 4 + Μx 6 = 0 x 1 + x 3 + = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 - x 5 + x 6 = 18 Για να ξεκινήσει η μέθοδος simplex (μια αρχική βασική λύση): Για κάθε ανισότητα <= με θετικό δεξί μέλος χρειάζεται μια χαλαρή μεταβλητή Για κάθε ανισότητα <= με αρνητικό δεξί μέλος χρειάζεται μια χαλαρή μεταβλητή και μια τεχνητή μεταβλητή Για κάθε ισότητα, χρειάζεται μια τεχνητή μεταβλητή Για κάθε ανισότητα >= με θετικό δεξί μέλος, χρειάζεται μια χαλαρή μεταβλητή (πλεονασμού) και μια τεχνητή μεταβλητή Για κάθε ανισότητα >= με αρνητικό δεξί μέλος, χρειάζεται μια χαλαρή μεταβλητή Κάθε τεχνητή μεταβλητή στους περιορισμούς πρέπει να εισαχθεί στην ΑΣ με τη μέθοδο του μεγάλου M 54
55 Διαδικασία έναρξης της Simplex Όταν δεν υπάρχει τεχνητή μεταβλητή, η μέθοδος Simplex μπορεί να ξεκινήσει. Όταν οι περιορισμοί είναι τύπου, είναι εύκολο να βρεθεί μία αρχική βασική εφικτή λύση: θέτουμε απλά 0 σε όλες τις μεταβλητές (μη-βασικές) και έχουμε μία αρχική βασική εφικτή λύση. Όταν υπάρχουν τεχνητές μεταβλητές, η μέθοδο Simplex δεν μπορεί να ξεκινήσει ακόμα. Όταν υπάρχουν περιορισμοί τύπου «=» ή, θέτοντας 0 σε όλες τις μεταβλητές (μηβασικές), δεν θα μπορέσουμε να βρούμε μία αρχική βασική εφικτή λύση. Τρόπος: Απαλοιφή των τεχνητών μεταβλητών στην αντικειμενική συνάρτηση Ζ- j=1,..,n c j x j + M Χ n+i = 0 (0) Ζ- j=1,..,n (c j Μa ij ) x j = -Μb i (0 )=(0)-Μx(1) j=1,..,n a ij x j + Χ n+i = b i (1) j=1,..,n a ij x j + Χ n+i = b i (1) Πολλαπλασιάζουμε την (1) με (-Μ) και άθροισμα με την (0) 55
56 Το πρόβλημα για να επιλυθεί με simplex διαμορφώνεται ως εξής: Maximize -Z=-3x 1-5x 2 s.t. x 1 <=4 2x 2 = 12 (ισότητα) 3x 1 +2x 2 >=18 (>= & θετικό δεξί μέλος) x 1,x 2 >=0 -Ζ + 3x 1 + 5x 2 + Μx 4 + Μx 6 = 0 x 1 + x 3 + = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 - x 5 + x 6 = 18 Β. Μετ Γραμμή x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Ζ Δεξί x x x M 0 M -1 0 Η x 5 είναι μεταβλητή πλεονασμού. Ξεκινάει ως μη βασική μεταβλητή=0, όπως η x 1,x 2 56
57 Το πρόβλημα για να επιλυθεί με simplex διαμορφώνεται ως εξής: Maximize -Z=-3x 1-5x 2 s.t. x 1 <=4 2x 2 = 12 (ισότητα) 3x 1 +2x 2 >=18 (>= & θετικό δεξί μέλος) x 1,x 2 >=0 -Ζ + 3x 1 + 5x 2 + Μx 4 + Μx 6 = 0 x 1 + x 3 + = 4 2x 2 + x 4 = 12 3x 1 + 2x 2 - x 5 + x 6 = 18 Β. Μετ Γραμμή x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Ζ Δεξί x x x M 0 M -1 0 Πρέπει να μηδενήσουμε τους συντελεστές των τεχνητών μεταβλητών στην ΑΣ 57
58 Το πρόβλημα για να επιλυθεί με simplex διαμορφώνεται ως εξής: Β. Μετ Γραμμή x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Ζ Δεξί x x x M 0 M -1 0 Γραμμή 1: Ήδη 0 Γραμμή 2: Αξονική Γραμμή Γραμμή 3: Ήδη 0 Γραμμή 4: Γραμμή 4 - M*Γραμμή 2 Γραμμή 1: Ήδη 0 Γραμμή 2: Ήδη 0 Γραμμή 3: Αξονική Γραμμή Γραμμή 4: Γραμμή 4 - M*Γραμμή 3 58
59 Β. Μετ Γραμμή x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Ζ Δεξί x x x Γραμμή 1: Ήδη 0 Γραμμή 2: Αξονική Γραμμή Γραμμή 3: Ήδη 0 Γραμμή 4: Γραμμή 4 - M*Γραμμή Μ M -1-12Μ Β. Μετ Γραμμή x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Ζ Δεξί x x x Γραμμή 1: Ήδη 0 Γραμμή 2: Ήδη 0 Γραμμή 3: Αξονική Γραμμή Γραμμή 4: Γραμμή 4 - M*Γραμμή Μ 5-4Μ 0 0 Μ Μ 59
60 Παραδείγματα
61 Παράδειγμα min Ζ = 0.4 x x 2 ή Ζ x x 2 = 0 Κάτω από τις συνθήκες: 0.3 x x x x 2 = x x 2 6 x 1 0, x
62 Μετατροπές Μετατροπή Α.Σ. [Πολλαπλασιασμός ΑΣ με (-1) ] Ζ x x 2 =0 Προσοχή:το αποτέλεσμα Ζ που θα προκύψει από την Simplex, θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με (-1) Αρχικό σύστημα 0.3 x x x x 2 = x x 2 6 Σύστημα ισοτήτων 0.3 x x 2 + x s1 = x x 2 = x x 2 - x s2 = 6 x s1 0, x s2 0 62
63 Εισαγωγή τεχνητών μεταβλητών Σύστημα ισοτήτων 0.3 x x 2 + x s1 = x x 2 = x x 2 - x s2 = 6 x s1 0, x s2 0 Πρόσθεση τεχνητών μεταβλητών 0.3 x x 2 + x s1 = x x 2 + X a2 = x x 2 - x s2 + X a3 = 6 x s1 0, x s2 0, X a2 0, X a3 0 63
64 Εκκίνηση του αλγόριθμου Simplex (1) Πρόσθεση τεχνητών μεταβλητών 0.3 x x 2 + x s1 = 2.7 (1) 0.5 x x 2 + X a2 = 6 (2) 0.6 x x 2 - x s2 + X a3 = 6 (3) x s1 0, x s2 0, X a2 0, X a3 0 Μέθοδος του μεγάλου M Z x x 2 + M X a2 + M X a3 = 0 64
65 Εκκίνηση του αλγόριθμου Simplex (2) Απαλοιφή τεχνητών μεταβλητών από Α.Σ. πολλαπλασιάζουμε την (2) με (-Μ) και αθροίζουμε με Α.Σ. Α.Σ.: Ζ + (-0.5Μ+0.4) x 1 + (-0.5Μ+0.5) x 2 + M X a3 = -6Μ πολλαπλασιάζουμε την (3) με (-Μ) και αθροίζουμε με Α.Σ. Α.Σ.: Ζ + (-1.1Μ+0.4) x 1 + (-0.9Μ+0.5) x 2 + Μ x s2 = -12Μ Δεν υπάρχει τεχνητή μεταβλητή στην Α.Σ. (συντελεστές = 0), μπορεί να ξεκινήσει η Simplex. 65
Επιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΒ. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex
Β. Βασιλειάδης Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex Περιεχόμενα Ο αλγόριθμος Simplex Βασικά Βήματα Παραδείγματα Συμπεράσματα 1o Bήμα: εξάλειψη των ανισοτήτων Στη μαθηματική διατύπωση του
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου
Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
Διαβάστε περισσότεραιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού
Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότερα2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)
Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 1: Γραµµικός προγραµµατισµός(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 8: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήµατα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1
Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
(Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΜΠΣ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ» Γραμμικός και Ακέραιος προγραμματισμός Διπλωματική εργασία της
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200
ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (1o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Παραδείγματα Μοντελοποίησης Παράδειγμα 1 Οι φοιτητές του ΤΜΟΔ ως γνωστό-
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού
Διαβάστε περισσότεραΒ. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5.
Άλυτες Ασκήσεις ΓΠ Α. Μέρη ενός προβλήματος ΓΠ - Λυμένο πρόβλημα 1, Άσκηση 1. Β. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5. Γ. Διατύπωση μαθηματικού
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)
Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΑ) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.
1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση
Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 9: : Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE & Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες
Διαβάστε περισσότεραΠαραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα Διανομής και Δικτύων
Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)
Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων
Περιεχόμενα (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων 1. Ανάλυση ευαισθησίας Λυμένο παράδειγμα 7 από το βιβλίο, σελ.85, λύση σελ.328
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού
Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας
Διαβάστε περισσότεραΚανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης
http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα Μεταφοράς
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού
Διαβάστε περισσότερα2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας
2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 69 2.4 Μια Πρώτη Προσέγγιση στην Ανάλυση Ευαισθησίας Ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού πρέπει να λαμβάνει υπόψη το δυναμικό περιβάλλον των συνεχών αλλαγών
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης
Εταιρία παράγει σκυρόδεμα με το οποίο προμηθεύει σε καθημερινή βάση διάφορες οικοδομικές επιχειρήσεις. Το σκυρόδεμα παράγεται σε δύο εργοτάξια της εταιρίας, το Α και το Β. Με τα σημερινά δεδομένα, υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 4: Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα
Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ
2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 22: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων με τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ v.1.0 Τα βασικότερα εργαλεία της Οικονομικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού
Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΠΑΝΤΑΙΔΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Α.Μ 8342 ΕΞΑΜΗΝΟ :ΠΤΘ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo)
ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) Μπουντούρης Ηρακλήs Επιβλέπουσα
Διαβάστε περισσότεραΑναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20
Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές
Διαβάστε περισσότεραΚανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης
http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)
Διαβάστε περισσότερα