Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία Ενότητα # : Αναλυτικές μέθοδοι παρεμβολής Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αναλυτικές μέθοδοι παρεμβολής

5 Περιεχόμενα ενότητας. Πιστή αναλυτική παρεμβολή και πιστή αναλυτική του ελαχίστου μέτρου με τη ΜΕΤ. Εξομαλυντική αναλυτική παρεμβολή και υβριδική εξομαλυντική αναλυτική παρεμβολή με τη ΜΕΤ 5

6 Σκοποί ενότητας Κατανόηση των αναλυτικών μεθόδων παρεμβολής στα ψηφιακά χαρτογραφικά δεδομένα 6

7 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Αναλυτικές μέθοδοι παρεμβολής

8 Πιστή αναλυτική παρεμβολή και πιστή αναλυτική του ελαχίστου μέτρου με τη ΜΕΤ (/6) Μπορούμε να ορίσουμε τον πίνακα R μέσα από τη διαδικασία της ελαχιστοποίησης του τετραγώνου του μέτρου (νόρμα) της συνάρτησης f(x,y) ως ακολούθως: f (f -f o ) d mn Όπου Α είναι η περιοχή που γίνεται η παρεμβολή και f o η μέση τιμή της συνάρτησης σ αυτήν την περιοχή. Η f o δίνεται ως εξής: fo f d

9 Πιστή αναλυτική παρεμβολή και πιστή αναλυτική του ελαχίστου μέτρου με τη ΜΕΤ (/6) f Θεωρώντας ό,τι m φ έχουµε f o m φ d m φ d θέτοντας έχουµε q m φd fo q q T

10 Πιστή αναλυτική παρεμβολή και πιστή αναλυτική του ελαχίστου μέτρου με τη ΜΕΤ (3/6) Η αρχική συνθήκη ελαχίστου μπορεί να γραφεί ως εξής: f m φ και f m j j φ j Επίσης γράφοντας την f ως f f d - f o mn όπου τα φ και φ j αναφέρονται στην ίδια συνάρτηση βάσης έχουμε f d m [ ( φ φ d)] και θέτοντας Q j j,j φ φ j d

11 Πιστή αναλυτική παρεμβολή και πιστή αναλυτική του ελαχίστου μέτρου με τη ΜΕΤ (4/6) καταλήγουμε λοιπόν f d j Q j T Q Επίσης f ( T q) ( T q) T ( T q) T q q T Ακόµη f T (Q q q T ) mn και αντιστοιχώντας µε την T R mn προκύπτει ό,τι ο πίνακας R Q - q q T

12 Πιστή αναλυτική παρεμβολή και πιστή αναλυτική του ελαχίστου μέτρου με τη ΜΕΤ (5/6) Ένας άλλος τρόπος ορισμού της συνθήκης ελαχίστου είναι: Ths mge cnnot currently be dsplyed. f (f -fo) d + λ grdf d mn Η συνθήκη είναι ίδια με την προηγούμενη με επιπλέον όρο αυτόν που συμπεριλαμβάνει το λ grdf d ο οποίος είναι η μέση τετραγωνική κλίση της συνάρτησης f στην περιοχή της παρεμβολής Α

13 Πιστή αναλυτική παρεμβολή και πιστή αναλυτική του ελαχίστου μέτρου με τη ΜΕΤ (6/6) Η συνθήκη ελαχίστου καταλήγει ως εξής: f T (Q q q T + λ G) T R mn Όπου G είναι πίνακας με στοιχεία G φ ( x φ x j + φ y και ο πίνακας R Q q q T + λ G φ y j ) d Το μοντέλο της πιστής παρεμβολής είναι ντετερμινιστικό και οι άγνωστοι παράμετροι είναι συγκεκριμένοι αριθμοί. Μέσω του πίνακα R μας δίνεται η δυνατότητα να ελέγξουμε τη μορφή του πολυωνύμου.

14 Εξομαλυντική αναλυτική παρεμβολή και υβριδική εξομαλυντική αναλυτική παρεμβολή με τη ΜΕΤ (/3) Όταν ο αριθµός των αγνώστων παραµέτρων m είναι µικρότερος από τον αριθµό των παρατηρήσεων n (m<n), τότε το σύστηµα δεν έχει καµιά λύση. Για να ξεπεράσουµε το συγκεκριµένο πρόβληµα είναι να δεχθούµε ό,τι η συνάρτηση f(χ,y) δεν περνάει ακριβώς από τα σηµεία παρατηρήσεων z, αλλά για κάθε ένα από τα σηµεία αυτά ισχύει η σχέση: v z f(x,y ) Η παραπάνω σχέση µπορεί να θεωρηθεί αντίστοιχη µε µια εξίσωση παρατήρησης της ΜΕΤ, όπου ο όρος v ερµηνεύεται ως κάποια εξοµάλυνση.

15 Εξομαλυντική αναλυτική παρεμβολή και υβριδική εξομαλυντική αναλυτική παρεμβολή με τη ΜΕΤ (/3) Εφαρµόζοντας την ΜΕΤ έχουµε τη συνθήκη ελαχιστοποίησης: n T p v v Pv mn Όπου P πίνακας βάρους, συνήθως διαγώνιος. Το σύστηµα των εξισώσεων γίνεται z Φ + v Η λύση δίνεται από τη σχέση ) (Φ T PΦ) - Φ T Pz Ο πίνακας Φ Τ Ρ Φ είναι συµµετρικός µε διαστάσεις m m, εφόσον ο Ρ είναι µοναδιαίος

16 Εξομαλυντική αναλυτική παρεμβολή και υβριδική εξομαλυντική αναλυτική παρεμβολή με τη ΜΕΤ (3/3) Αν για συνθήκη ελαχίστου θεωρήσουµε την v T P v + T R mn η μέθοδος ονομάζεται αναλυτική υβριδική εξομαλυντική παρεμβολή και αντιστοιχεί στο μοντέλο εξισώσεων παρατηρήσεων με βάρη στις παραμέτρους. Ελαχιστοποιεί ταυτόχρονα και τις αποχές v,,3,,n και τις παραμέτρους j j,,3, m Η λύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: ) - Τ - Τ - - R Φ (ΦR Φ + P ) z ή ) (Φ Τ PΦ+ R) - Φ T Pz

17 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δημήτριος Σαραφίδης Θεσσαλονίκη, Εαρινό Εξάμηνο 0-3