Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Περιεχόμενα Άδειες Χρήσης... Χρηματοδότηση... Ενότητα η: Από τον Λογισμό των Μεταβολών στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου... 4 Ενότητα η: Εισαγωγή στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου... 4 Ενότητα 3η: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών... 4 Ενότητα 4η: Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών... 4 Ενότητα 5η: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης... 5 Ενότητα 6η: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων Ενότητα 7η: Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους Ενότητα 8η: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς... 7 Ενότητα 9η: Εφαρμογές του Λογισμού των Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο... Ενότητα η: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα... Ενότητα η: Βέλτιστος έλεγχος με φραγμένη είσοδο-αρχή ελαχίστου του Pontrygin... 3

4 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ενότητα η: Από τον Λογισμό των Μεταβολών στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ενότητα η: Εισαγωγή στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου ) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x, y) = + x + y x y στην τριγωνική πλάκα, στο πρώτο τεταρτημόριο που περιορίζεται από τις ευθείες x =, y =, y = 9 x. Οδηγίες επίλυσης ) Να ελαχιστοποιηθεί η τετραγωνική συνάρτηση κόστους J(x, u) = xt Qx + ut Ru x R n, u R r, f R n, Q, R > όπου ο πίνακας Q(θετικά ημιορισμένος) και ο πίνακας R(θετικά ορισμένος) είναι συμμετρικοί πίνακες. Τα x, u υπόκεινται στον παρακάτω περιορισμό: f(x, u) = x + Bu + c = Εφόσον επιλύσετε την παραπάνω άσκηση, να εφαρμόσετε τα αποτελέσματα για Οδηγίες επίλυσης Q = [ ], R = [ ], B = [ ], c = [ 3 ] Ενότητα 3η: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών Ενότητα 4η: Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών ) Να δειχθεί ότι η w : C [, ] R, x w = sup t [,] { x(t) } + sup t [,] { x (t) } αποτελεί νόρμα στο C [, ]. Οδηγίες επίλυσης ) Να δειχθεί ότι η 4

5 Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου : C[, ] R +, x = x(t) αποτελεί νόρμα στο C [, ]. Ενότητα 5η: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης ) Να ελέγξετε τις συνθήκες Legendre-Jcoi για τις δύο καμπύλες του Παραδείγματος της Ενότητας 4. Οδηγίες επίλυσης ) Να υπολογισθεί το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού : 3) όταν x() =, x() =. Οδηγίες επίλυσης J(x(t)) = (x (t) + x (t) ) i) Να υπολογισθεί το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού : J x t x t όταν x, x. Υπάρχει σχετικό ακρότατο x * C, συνοριακές συνθήκες είναι x, x ; ii) Δίνεται το συναρτησιακό : στην περίπτωση που οι Υπάρχει σχετικό ακρότατο x C, x x, ; Οδηγίες επίλυσης 4 J x t x t 4) Να υπολογισθούν τα ακρότατα των συναρτησιακών : i) J(x) = x (t) t 3 ii) J(x) = (x(t) + x (t) + x(t)e t ) στην περίπτωση που οι συνοριακές συνθήκες είναι 5

6 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα iii) J(x) = (x(t) + x (t) + x(t)sin(t)) iv) J(x) = (x(t) x (t) x(t)sin(t)) v) J(x) = (x(t) + x (t) x(t)cosh(t)) 5) Να υπολογισθούν τα ακρότατα των συναρτησιακών : i) J(x) = (x(t) sin(t)) ii) J(x) = (x (t) cos(t)), x() =, x() =. iii) J(x) = (x (t) w x(t) ) 6) Δείξτε ότι αναγκαία συνθήκη για να αποτελεί η συνάρτηση x C [, ] ακρότατο του συναρτησιακού: J(x) = F(t, x(t), x (t), x (t)) δεδομένου ότι είναι γνωστά, τα,, x() = x, x() = x, x () = x, x () = x, είναι να ικανοποιείται η συνθήκη: F x d ( F ) + d x ( F ) = x Ενότητα 6η: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. ) Να υπολογισθεί το ακρότατο του συναρτησιακού :, J x x x t x t x t όπου x x και x x. ) Να υπολογίσετε το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού : αν τα, T T T J x t Qx t u t Ru t p t x t Ax t Bu t Fxt, ut, pt, xt, ut, pt, t t x t είναι γνωστά, τα f, f t x t άγνωστα και ανεξάρτητα, ο πίνακας Q είναι συμμετρικός θετικά ημιορισμένος, ενώ ο πίνακας R συμμετρικός θετικά ορισμένος. Σημείωση. Να περιγράψετε μόνο τις εξισώσεις στις οποίες θα καταλήξουμε. 3) Να υπολογίσετε το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού : 6

7 Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου όπου x x,, 3 3 J x x x x t x t x t x t x t x t 5, και άγνωστο. Να υπολογισθεί επίσης το 4) Να υπολογίσετε τα σχετικά ακρότατα των παρακάτω συναρτησιακών, που προκύπτουν από την Αρχή του Hmilton σε προβλήματα της Κλασικής Μηχανικής : (α) Αρμονικός ταλαντωτής t J x mx t kx t t (β) Απλό εκκρεμές J x m x t mg x t t (γ) Κίνηση σε πεδίο κεντρικών δυνάμεων t cos αν ισχύει sin x t k x t t m J x, x x t x t x t t 5) Να δείξετε ότι τα συναρτησιακά. xt α) J: C, όπου J x t x t β) J : C, όπου J x xt xt, x, x,, δεν έχουν τοπικά ακρότατα. Ενότητα 7η: Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους. ) Να βρεθεί η καμπύλη ελαχίστου μήκους που ενώνει τα σημεία x x t. ασυνέχεια της παραγώγου σ ένα σημείο της καμπύλης t t,, ) Να προσδιορισθεί το ακρότατο του συναρτησιακού : J x xt xt όταν η παράγωγος xt διαθέτει ένα σημείο ασυνέχειας στο διάστημα [,], και ικανοποιούνται οι οριακές συνθήκες x, x. και έχει Ενότητα 8η: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. ) Να βρεθούν οι αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε να έχει σχετικό ακρότατο το συναρτησιακό 7

8 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα J(x, x, u) = [x (t) + x (t) + u (t)] όταν τα x i (t), i =, ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων και επιπλέον x () =, x () =. x (t) = x (t) x (t) = u(t) ) Να βρεθούν οι αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε να έχει σχετικό ακρότατο το συναρτησιακό J x, x, u x t x t u t όταν τα xi t, i, ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων και επιπλέον x x. x t x t x t u t 3) (Πρόβλημα αλυσίδας) Να υπολογίσετε καμπύλη x C t,, w οποία να περνά από τα σημεία,, f, f δοθέντος μήκους l, η t x t t x t και της οποίας το κέντρο βάρους να βρίσκεται στην κατώτερη δυνατή θέση ή ισοδύναμα να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του συναρτησιακού δεδομένου ότι, f f t J x x t x t x t x x t x και το μήκος της καμπύλης δίνεται από τη συνθήκη t x t l 4) (Γεωδαισιακό πρόβλημα) Να υπολογισθεί το ακρότατο του συναρτησιακού : όταν ικανοποιείται η παρακάτω συνθήκη : J x, y, z x t y t z t t t x t y t z t R 8

9 Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Θέλουμε δηλαδή να υπολογίσουμε την παραμετρική εξίσωση,, καμπύλης που ενώνει μέσω του πιο σύντομου δρόμου δύο σημεία,, f, f, f x t y t z t της σφαίρας 5) Να υπολογίσετε καμπύλη x C t,, w x t y t z t R. x t y t z t της x t y t z t και, η οποία ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό δεδομένου ότι x, x και J x x t x t l. 6) Να υπολογίσετε καμπύλη x C t,, w, η οποία ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό δεδομένου ότι x, x και J x x t x t x t 3. 7) Πρόβλημα: Δίνεται σύστημα που περιγράφεται από το σύστημα δ.ε. [A + A ρ + + A q ρ q A(ρ) ] β(t) = [B + B ρ + + B q ρ q ] u(t) B(ρ) ρ d, A i R n n, B i R n m Να βρεθούν τα σχετικά ακρότατα του συναρτησιακού όπου Q, R >. Σημείωση: Κυβεντίδης (σελ.84) Επίσης για t J(β, u) = (βt Qβ + u T Ru) t J(ω, v) = (ωt Qω + v T Rv) ω T (t) = [β(t) β () (t) β (q ) (t)] v T (t) = [u(t) u () (t) u (q ) (t)] 9

10 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ενότητα 9η: Εφαρμογές του Λογισμού των Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο. ) Έστω το σύστημα διαφορικών εξισώσεων x (t) = x (t) x (t) = x (t) + u(t) και θέλουμε το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού J(u) = u (t) αν x() = και θέλουμε για = το σύστημα να οδηγηθεί στην x (t) + x (t) =. ) Να βρεθεί ο βέλτιστος έλεγχος του συστήματος xt xt ut που ελαχιστοποιεί τον δείκτη απόδοσης J u Hx T u t Τ είναι γνωστό, H >, x(t) είναι ελεύθερο. 3) Έστω το σύστημα διαφορικών εξισώσεων T ( ) 4 x (t) = x (t) x (t) = x (t) + 3u(t) Να βρεθεί το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού αν x() = [ ] T και x( ) ελεύθερο. 4) Έστω το σύστημα διαφορικών εξισώσεων / J u x ( ) u t x (t) = x (t) x (t) = x (t) + 3u(t) Να βρεθεί το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού t f J u F x t f 4 F x t f { x t x t 4 u t } αν x() = [ ] T και ) F =, F =, =, x() = [4 6] T ) F = 3, F = 5, x( ) = [4 6] T, ελεύθερο c) F =, F =, x () free, x () = 6 d) F = 3, F = 5, x ( ) = 4 και x ( ) ανήκει στην καμπύλη θ(t) = 5t + 5.

11 Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ενότητα η: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. ) Να υπολογιστεί το ακρότατο του συναρτησιακού t T,, f T T Q S x J x u t x t f Hx( t f) x u T t S R u υπό τις συνθήκες x (t) = Ax(t) + Bu(t) Ενότητα η: Βέλτιστος έλεγχος με φραγμένη είσοδο-αρχή ελαχίστου του Pontrygin ) Άσκηση (εξετάσεις 3) Ιδιοτιμές {,}, ασταθές και ελέγξιμο. [ x (t) x (t) ] = [ 3 ] [x (t) x (t) ] + [ ] u(t) Θέλουμε να μεταφέρουμε το σύστημά μας από οποιαδήποτε αρχική κατάσταση x() = [x () x ()] T στην μηδενική κατάσταση στον ελάχιστο δυνατό χρόνο ) Όταν η είσοδος δεν είναι φραγμένη. ) Όταν u(t).