Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή.

5 Περιεχόμενα ενότητας 1. Η Κατανομή Bernoulli. 2. Η Διωνυμική Κατανομή. 3. Η Γεωμετρική Κατανομή. 4. Η Αρνητική Διωνυμική Κατανομή (Pascal). 5. Η Υπεργεωμετρική Κατανομή. 6. Διαδικασία Poisson. i. Κατανομή Poisson. ii. H Poisson σαν μία Προσέγγιση στην Διωνυμική Κατανομή. 7. Πολυωνυμική Κατανομή. 8. Σχέσεις μεταξύ Διακριτών Κατανομών. 5

6 9 η Διάλεξη

7 Χρήσιμες Κατανομές 1. Bernoulli 2. Διωνυμική 3. Γεωμετρική 4. Pascal 5. Poisson ή _

8 Κατανομή Bernoulli Δοκιμή Bernoulli, Είναι ένα πείραμα τύχης το οποίο έχει δύο ενδεχόμενα να συμβεί το γεγονός Α (επιτυχία) ή να μην συμβεί. Σε κάθε δοκιμή η πιθανότητα πραγματοποίησης του Α είναι σταθερή ίση με p. Αν Χ παριστάνει τον αριθμό γεγονότων Α σε μία δοκιμή Bernoulli, τότε έχουμε, A S S [ A, A] X [1,0] P( X 1) P( A) p P( X 0) P( A) 1 p E( X ) 0 (1 p) 1 p p VAR X E X p p p p p ( ) ( ) (1 )

9 Ακολουθία Bernoulli (n δοκιμές) Ακολουθία Bernoulli ονομάζουμε μία συγκεκριμένη σειρά από n δοκιμές Βernoulli, όπου παρατηρούνται: επιτυχίες A n- αποτυχίες A A A Tα γεγονότα και είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, για αυτό ισχύει, (... _...) (1 ) n P AAAAAAAAAAAA n έ p p

10 Διωνυμική Κατανομή X { ό _ ώ _ A_ _ n _ έ _ Bernoulli } p P( ) { _ ό _ _ ί _ ό} X {0,1,2,3,..., n} n P( X ) p (1 p) n n n!!( n )! Θα πρέπει: n 0 n p (1 p n ) 1

11 Διωνυμική Κατανομή Συνάρτηση μάζας πιθανότητας n P( X ) p (1 p) πρέπει: Μέση Τιμή n k 0 n P( X k) 1 0 (1 p n ) 1 n ( p (1 p)) 1, ό _ ά _ ύ _( ) X X1 X 2... X n E( X ) E( X1) E( X 2)... E( X n) p p... p n p n n n n E( X ) P( X ) p (1 p) 0 0 n n p, n τυχαίων μεταβλητών του Bernoulli n Διακύμανση VAR X E X n p n p p 2 2 ( ) ( ) ( ) (1 )

12 Διωνυμική Κατανομή Παράδειγμα Ρίχνω n=20 φορές ένα ζάρι. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρω 5 άσσους; n 20 1 p P( A) P( X 1) 6 X {0,1,2,3,...,20} 20 P X p p ( 5) (1 ) 0,13 20 E( X ) np 3,33 6

13 Διωνυμική Κατανομή Παράδειγμα Έστω μία ηλεκτρική γραμμή έχει n=100 στύλους. Η πιθανότητα ένας στύλος να έχει βλάβη είναι p=0,01. Αν ελέγξουμε 100 στύλους ποια η πιθανότητα να βρεθούν το πολύ 5 στύλοι με βλάβη; n=100 p=0,01 X={0,1,2,.,100} 5 n PX ( 5) 0, 01 (0,99) 0 n E( X ) np 1, 1 στύλος ελαττωματικός στους 100

14 Γεωμετρική Κατανομή X { ό _ ώ _ Bernoulli _ έ _ ά _ _ A_ _ ώ _ ά} X {1,2,3,..., n} ( 1) P( X ) P( AAAAA... AA) (1 p) p Χ-1 φορές ( 1) πρέπει: (1 p) p (1 ) (1 )... (1 (1 ) (1 )...) p p p p p p p p Περίοδος Επαναφοράς καλούμε τον μέσο αριθμό δοκιμών Bernoulli μεταξύ διαδοχικών εμφανίσεων των Α ( 1) E( X ) (1 p) p 1 1 p

15 Κατανομή Pascal - (χρήσιμη σε προβλήματα αξιοπιστίας) Πρέπει να καταλάβουμε το X { ό _ ώ _ έ _ r _ έ _ _ A} r X r τι παριστάνει. 1 1 P( X r ) p (1 p) p p (1 p) r 1 r 1 P( AAAAA... AA) ( r 1) ( 1) ( r 1) r ( r). -1 δοκιμές r-1 φορές το Α Το X r r παίρνει τιμές πάνω από, Xr={r, r+1, r+2,,.} r EX ( r ) p

16 Κατανομή Pascal Παράδειγμα Σε ένα αεροπλάνο υπάρχουν τρεις υπολογιστές. Όταν το αεροπλάνο είναι σε πτήση απαιτείται η λειτουργία ενός εκ των υπολογιστών. Η πιθανότητα βλάβης του υπολογιστή ανά ώρα λειτουργίας του είναι p=0,0005. Ποιος ο μέσος αριθμός ωρών πτήσης μέχρι να χαλάσουν και οι τρεις υπολογιστές. X { ό _ ώ _ έ _ _ ά _ _ _ _ έ } r 3 E( X 3) 6000h p 0, 0005

17 Κατανομή Pascal Συνέχεια Παραδείγματος... Σε ένα ταξίδι 6 ωρών, ποια η πιθανότητα ασφαλούς πτήσης του αεροπλάνου; X3 {3,4,5,6,7,...} { ό _ ώ _ έ _ _ ύ _ _3_ ά } P( X 6) P( X 3) P( X 4) P( X 5) P( X 6) p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p r r P( X r ) p (1 p) r

18 Κατανομή Poisson X { ί _ ό _ ό _ A_ _ έ _ ό _ ά _ t} t X {0,1,2,...} t Προϋποθέσεις 1) Να συμβαίνουν τυχαία και να είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. 2) Να υπάρχει ένα ελάχιστο διάστημα Δt όπου θα μπορούν να συμβούν το πολύ ένα από τα γεγονότα { AA,.} 3) P( A) P( X 1) t t Εξίσωση μάζας-πιθανότητας t ( t) P( X t ) e! Μέση τιμή της X t t ( t) E( X t ) e t 0

19 Κατανομή Poisson Διαστήματα ανά δοκιμές t n t P t 0 Εξίσωση μάζας-πιθανότητας P( X t ) lim ( t 0 ) 1 t e Μέση τιμή της X t ( )! n n t t n p t E( X t ) n p t t t Διακύμανση της X t VAR( X ) np(1 p) np t t

20 Κατανομή Poisson Παράδειγμα X1 {0,1,2,...,100,101,...} ! ( 1min 100) 0, 04 P X e P( X1sec 100) e ! 10 Σε έναν μετρητή καταφθάνουν σωματίδια ανά λεπτό. Ποια η πιθανότητα άφιξης 100 σωματιδίων σε ένα λεπτό; 2, άπειρες οι τιμές που μπορεί να πάρει. Ποια η πιθανότητα να καταφθάσουν 100 σωματίδια στο επόμενο δευτερόλεπτο;

21 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Καρανάσιος Αναστάσιος- Νικόλαος Θεσσαλονίκη, Εαρινό Εξάμηνο