POSITIVE AND NEGATIVE RELATIONSHIPS

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "POSITIVE AND NEGATIVE RELATIONSHIPS"

Θεοδοσία Ελευθερίου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Networks, Crowds, and Markets: Reasoning about a Highly Connected World. POSITIVE AND NEGATIVE RELATIONSHIPS DAVID EASLEY AND JON KLEINBERG Ανδριόπουλος Ανδρέας, Καφετζής Θεμιστοκλής ΠΜΣ ΕΤΥ Θεωρία Γραφημάτων και Πρακτικές Εφαρμογές της

2 ισαγωγή Έως τώρα, οι σχέσεις στα δίκτυα προσδίδουν θετικό νόημα (όπως φιλία, συνεργασία, μετάδοση πληροφορίας κτλ.) Όμως Θετικές συνδέσεις: Που αντιπροσωπεύουν φιλία. Αρνητικές συνδέσεις: Που αντιπροσωπεύουν τον ανταγωνισμό. Πώς τοπικά φαινόμενα μπορούν να έχουν γενικές επιπτώσεις.

3 εριεχόμενα Δομική ισορροπία (Structural Balance) Χαρακτηρίζοντας τη δομή των ισορροπημένων δικτύων Εφαρμογές της δομικής ισορροπίας Μια ασθενέστερη μορφή της δομικής ισορροπίας Γενικεύοντας τον ορισμό της δομικής ισορροπίας

4 ομική ισορροπία (Structural Balance) Πλήρες γράφημα με ετικέτες στις ακμές έτσι ώστε: + όταν τα άκρα της ακμής είναι φίλοι. - όταν τα άκρα της ακμής είναι εχθροί. Εξετάζονται δομές Τριγώνων, οι οποίες χαρακτηρίζονται: Balanced ή Unbalanced

5 ομική ισορροπία (Structural Balance)

6 ομική ισορροπία για Δίκτυα ρισμός Για κάθε ομάδα τριών κόμβων, αν λάβουμε υπόψη τις τρείς ακμές που τις συνδέουν, τότε και οι τρεις ακμές έχουν ετικέτα +, ή αλλιώς ακριβώς μια από αυτές έχει ετικέτα +. Σκοπός ενός balance δικτύου είναι η εξάλειψή των unbalanced τριγώνων.

7 ομική ισορροπία για Δίκτυα

8 αρακτηρίζοντας τη δομή των ορροπημένων δικτύων Θεώρημα Εάν υπάρχει ένα πλήρες γράφημα με ετικέτες είναι balance, τότε όλα τα ζεύγη των κόμβων είναι φίλοι ή αλλιώς οι κόμβοι μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, Χ και Υ, έτσι ώστε κάθε ζεύγος κόμβων στο Χ να είναι φίλοι ο ένας με τον άλλο, κάθε ζεύγος κόμβων στο Υ να είναι επίσης φίλοι ο ένας με τον άλλον, και όλοι στο Χ να είναι ο εχθρός όλων στο Y.

9 αρακτηρίζοντας τη δομή των ορροπημένων δικτύων

10 αρακτηρίζοντας τη δομή των ορροπημένων δικτύων Απόδειξη

11 φαρμογές της δομικής ισορροπίας ιεθνείς σχέσεις (1/2) Η USA προσπάθησε να βελτιώσει τις σχέσεις με Κίνα. Η Κίνα υποστηρίζει το Πακιστάν εφόσον και οι δύο έχουν έναν κοινό εχθρό την Ινδία. USSR China + + India Αποτέλεσμα της δομικής ισορροπίας η USA να υποστηρίζει το Πακιστάν. USA + Pakist an Moore 1978

12 φαρμογές της δομικής ισορροπίας ιεθνείς σχέσεις (2/2)

13 φαρμογές της δομικής ισορροπίας πιστοσύνη, δυσπιστία και on-line βαθμολογία Ορισμένα online networks επιτρέπουν στους ανθρώπους να εκφράσουν θετικά και αρνητικά συναισθήματα. Παραδείγματα

14 ια ασθενέστερη μορφή της δομικής ορροπίας Ορισμός Δεν υπάρχει σύνολο τριών κόμβων έτσι ώστε οι ακμές μεταξύ τους να αποτελούνται από ακριβώς δύο θετικές ακμές και μια αρνητική ακμή

15 ια ασθενέστερη μορφή της δομικής ορροπίας

16 αρακτηρίζοντας τη δομή των σθενέστερων ισορροπημένων δικτύων Εάν υπάρχει πλήρες γράφημα με επισήμανση ασθενώς ισορροπημένο, τότε οι κόμβοι του μπορούν να χωριστούν σε ομάδες με τέτοιο τρόπο ώστε : κάθε δύο κόμβοι που ανήκουν στην ίδια ομάδα είναι φίλοι και κάθε δύο κόμβοι που ανήκουν σε διαφορετικές ομάδες είναι εχθροί.

17 ια ασθενέστερη μορφή της δομικής ορροπίας Απόδειξη

18 νικεύοντας Τι θα συμβεί αν μόνο ορισμένα ζευγάρια ανθρώπων γνωρίζουν ο ένας τον άλλο ; Τι θα συμβεί αν τα περισσότερα τρίγωνα είναι ισορροπημένα, τότε μπορούμε να πούμε ότι ο κόσμος μπορεί να είναι περίπου χωρισμένος σε δύο ομάδες ; Ανάλυση θεωρίας γραφημάτων με χρήση της κατά πλάτους αναζήτησης Τύπος απόδειξης γνωστός ως counting argument Θα γίνει χρήση του αρχικού ορισμού της δομικής ισορροπίας

19 ομική ισορροπία σε μη πλήρη δίκτυα Γεμίζοντας το γράφημα με τις ακμές που λείπουν, δημιουργώντας έτσι ένα πλήρη γράφημα. Διαχωρίζοντας το γράφημα σε δύο σύνολα Χ και Υ. Τα Χ και Υ περιέχουν μόνο θετικές σχέσεις ενώ μεταξύ τους υπάρχουν μόνο αρνητικές σχέσεις. Είναι ισοδύναμες μεταξύ τους.

20 αρακτηρίζοντας την ισορροπία σε δίκτυα Ξεκινώντας από τον κόμβο 1 τοποθετούμε τους κόμβους στα δύο σύνολα X και Y Κάθε φορά που διασχίζουμε αρνητική ακμή, αλλάζουμε σύνολο

21 αρακτηρίζοντας την ισορροπία σε ίκτυα Ένα γράφημα είναι ισορροπημένο, αν και μόνο αν δεν περιέχει κανένα κύκλο με περιττό αριθμό αρνητικών ακμών Απόδειξη με σχεδιασμό ενός μοντέλου. Βήματα 1 ο μετατροπή του γραφήματος σε ένα μειωμένο με μόνο αρνητικές ακμές 2 ο επίλυση προβλήματος, στο μειωμένο πλέον γράφημα

22 πόδειξη - 1 ο Βήμα Ομαδοποιούμε τους κόμβους που συνδέονται με θετικές σχέσεις, δημιουργώντας με αυτόν τον τρόπο υπερκόμβους (supernote). Κάθε υπερκόμβος εσωτερικά έχει μόνο θετικές σχέσεις ενώ εξωτερικά συνδέονται με άλλους υπερκόμβους με αρνητικές σχέσεις.

23 αρακτηρίζοντας την ισορροπία σε ίκτυα Απόδειξη

24 πόδειξη - 2 ο Βήμα Δυο πιθανά τα αποτελέσματα : μια διαίρεση των κόμβων σε δύο σύνολα ή έναν κύκλο περιττού μήκους αρνητικών ακμών

25 πόδειξη - 2 ο Βήμα αρμογή BFS Αν όλες οι ακμές συνδέουν κόμβους σε γειτονικά επίπεδα τότε το γράφημα είναι ισορροπημένο. Αν υπάρχει σύνδεση μεταξύ δύο κόμβων στο ίδιο επίπεδο τότε το γράφημα δεν είναι ισορροπημένο.

26 ερίπου ισορροπημένα δίκτυα ρωτότυπο Θεώρημα Ισορροπίας Αν όλα τα τρίγωνα σε ένα πλήρες γράφημα με ετικέτες στις ακμές είναι ισορροπημένα, τότε είτε (α) όλα τα ζεύγη των κόμβων είναι φίλοι, ή αλλιώς (β) οι κόμβοι μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, Χ και Υ, έτσι ώστε (i) κάθε ζεύγος κόμβων στο X αρέσει ο ένας στον άλλον, (ii) κάθε ζεύγος κόμβων στο Υ αρέσει ο ένας στον άλλον, και (iii) ο κάθε ένας στο Χ είναι ο εχθρός του κάθε ενός στο Υ

27 εώρημα Αν τουλάχιστον 99.9% από όλα τα τρίγωνα σε ένα πλήρες γράφημα με ετικέτες στις ακμές είναι ισορροπημένα, τότε είτε (α) υπάρχει ένα σύνολο που αποτελείται από τουλάχιστον 90% από τους κόμβους στα όπου τουλάχιστον το 90% από όλα τα ζευγάρια είναι φίλοι, ή αλλιώς (β) οι κόμβοι μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, Χ και Υ, έτσι ώστε (i) τουλάχιστον 90% των ζευγών κόμβων στο X αρέσει ο ένας στον άλλον, (ii) τουλάχιστον 90% των ζευγών κόμβων στο Υ αρέσει ο ένας στον άλλον, και (iii) τουλάχιστον 90% των ζευγών κόμβων με το ένα άκρο στο Χ και το άλλο άκρο στο Υ είναι εχθροί

28 εώρημα Γενίκευση Έστω ε ένας αριθμός τέτοιος ώστε 0 ε < 1/8 και ορίζουμε ως δ = ε. Αν τουλάχιστον 1-ε από όλα τα τρίγωνα σε ένα πλήρες γράφημα με ετικέτες στις ακμές είναι ισορροπημένα, τότε είτε (α) υπάρχει ένα σύνολο που αποτελείται από τουλάχιστον 1-δ από τους κόμβους όπου τουλάχιστον το 1-δ από όλα τα ζευγάρια είναι φίλοι, ή αλλιώς (β) οι κόμβοι μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, Χ και Υ, έτσι ώστε (i) τουλάχιστον 1-δ των ζευγών κόμβων στο X αρέσει ο ένας στον άλλον, (ii) τουλάχιστον 1-δ των ζευγών κόμβων στο Υ αρέσει ο ένας στον άλλον, και (iii) τουλάχιστον 1-δ των ζευγών κόμβων με το ένα άκρο στο Χ και το άλλο άκρο στο Υ είναι εχθροί

29 ρχικά Έστω Ν το πλήθος των κορυφών τότε: Το πλήθος των ακμών είναι : Το πλήθος των τριγώνων είναι :

30 πόδειξη 1 ο Βήμα ρεση του καλού κόμβου Έχουμε : Τότε Τότε Επειδή ισχύει

31 πόδειξη 2 ο Βήμα Διαχωρισμός του αφήματος σύμφωνα με τον καλό κόμβο Υπάρχουν το πολύ : στο Χ στο Υ αρνητικές ακμές αρνητικές ακμές θετικές ακμές με το ένα άκρο στο Χ και το άλλο στο Υ

32 πόδειξη 2 ο Βήμα Διαχωρισμός του αφήματος σύμφωνα με τον καλό κόμβο Έχουμε ότι ο ισχυρισμός ισχύει : για σχεδόν το σύνολο των Χ ή Υ Οπότε έστω x οι κόμβοι του Χ και y οι κόμβοι του Y, αλλά και Οπότε αν ο Χ περιέχει τουλάχιστον(1-δ)ν κόμβους θα έχει τουλάχιστον 1-δ ζεύγη φίλων Ομοίως για τον Y

33 πόδειξη 2 ο Βήμα Διαχωρισμός του αφήματος σύμφωνα με τον καλό κόμβο Έχουμε ότι ο ισχυρισμός ισχύει : για έναν αμελητέο αριθμό κόμβων Οπότε έστω xy οι ακμές που έχουν το ένα άκρο στο Χ και το άλλο στο Y, αλλά και με κάθε x, y πολύ μικρότερο από Οπότε θα έχει τουλάχιστον 1-δ ζεύγη κόμβων με το ένα άκρο στο Χ και το άλλο άκρο στο Υ που θα είναι εχθροί

34 πόδειξη 2 ο Βήμα Διαχωρισμός του αφήματος σύμφωνα με τον καλό κόμβο Τελικά, για το ποσοστό των αρνητικών σχέσεων στο Χ ή Υ έχουμε Το πλήθος τον ακμών στο Χ να είναι ενώ ισχύει ότι Οπότε θα έχει τουλάχιστον 1-δ ζεύγη κόμβων στο X που θα αρέσει ο ένας στον άλλον Ομοίως και για το Y

35 Σας ευχαριστούμε!

Σχετικά έγγραφα

The DeGroot model for Social Influence and Opinions

The DeGroot model for Social Influence and Opinions An Example Περιεχόμενα Το βασικό μοντέλο DeGroot Το μοντέλο DeGroot με πεισματάρηδες κόμβους Ένα παράδειγμα Έστω ένα κοινωνικό δίκτυο με τρεις κόμβους