ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας

2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο σε κάποιο σημείο τότε σε μια γειτονιά του σημείου θα είναι γνήσια αύξουσα φθίνουσα. Ως γειτονιά ενός σημείου εννοούμε ένα ανοικτό διάστημα, συνήθως μικρό, που περιέχει το σημείο.

3 Θεώρημα Rolle Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β], με μηδενικές τιμές στα άκρα του διαστήματος δηλ. fα=fβ= και η παράγωγός της είναι συνεχής στο εσωτερικό του δηλ. στο : α<<β, τότε σε κάποιο εσωτερικό σημείο θα έχουμε: f ξ= με α<ξ<β

4 Έστω μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε κάποιο διάστημα και έχει συνεχή παράγωγο στο εσωτερικό του. Τότε αν είναι αύξουσα f αν είναι φθίνουσα f σε όλα τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος. Ειδικότερα είναι γνήσια αύξουσα φθίνουσα αν ικανοποιεί f > f <, εκτός ίσως ενός πεπερασμένου πλήθους σημείων όπου η παράγωγος μπορεί να μηδενίζεται.

5 Παραδείγματα. f= + Επειδή f = < η f είναι γνησίως φθίνουσα.. f= Επειδή f = η f είναι γνησίως φθίνουσα για και γνησίως αύξουσα για. 3. f= 3 Επειδή f = 3 η f είναι γνησίως αύξουσα για όλα τα διότι μηδενίζεται μόνο σ ένα σημείο. 4. f=ln Επειδή f =/ και > η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

6 Στάσιμα σημεία Στάσιμα σημεία μιας συνάρτησης καλούνται τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η παράγωγος. Γεωμετρικά χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα ότι στα σημεία αυτά η εφαπτόμενη στο γράφημα της συνάρτησης είναι οριζόντια. Μια συνάρτηση μπορεί να έχει κανένα, ένα, ή περισσότερα στάσιμα σημεία ή και ολόκληρο διάστημα από στάσιμα σημεία αν έχει σταθερή τιμή στο διάστημα.

7 Αν η παράγωγος της συνάρτησης είναι συνεχής, τα στάσιμα σημεία χωρίζουν το πεδίο ορισμού της σε υποδιαστήματα, όπου σε κάθε υποδιάστημα η συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη διότι η παράγωγος θα έχει γνήσια το ίδιο πρόσημο. Ένα στάσιμο σημείο στο οποίο αλλάζει γνήσια το πρόσημο της παραγώγου είναι γνήσιο τοπικό ακρότατο, μέγιστο αν από θετική γίνεται αρνητική, ελάχιστο στην αντίθετη περίπτωση. Ένα στάσιμο σημείο στο οποίο η παράγωγος έχει γνήσια το ίδιο πρόσημο στις δύο πλευρές του δεν είναι τοπικό ακρότατο, αλλά σημείο καμπής.

8 Παράδειγμα f= 3 -α+β f =3 -α α< α= α>. Αν α< τότε f >,, επομένως f γνησίως αύξουσα.. Αν α= τότε f =3. Το πρόσημο της παραγώγου δεν αλλάζει στο στάσιμο σημείο =. Επομένως f είναι γνησίως αύξουσα με σημείο καμπής το =. 3. Αν α> τότε η f =3 -α έχει ρίζες α / 3, α / 3 Η συνάρτηση έχει δύο στάσιμα. Στο πρώτο στάσιμο το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει γνήσια από θετικό σε αρνητικό και επομένως είναι γνησίως τοπικό μέγιστο της συνάρτησης. Στο δεύτερο αλλάζει γνήσια από αρνητικό σε θετικό και είναι γνησίως τοπικό ελάχιστο.

9 Ασυνέχειες παραγώγου Μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής αλλά η παράγωγος της f να μην είναι συνεχής σε κάποιο. Θεωρώντας την συνάρτηση της παραγώγου διακρίνουμε δύο βασικές ασυνέχειες:. f = : άπειρη ασυνέχεια, όπου η εφαπτόμενη ευθεία στο γράφημα είναι κατακόρυφη με άπειρη κλίση.. f + -f - : βηματική ασυνέχεια, όπου το γράφημα έχει y=-5 y=5 γωνία. -5 5

10 Παράγωγος συναρτήσεων απροσδιόριστου ορίου Το όριο της f είναι προσδιορισμένο στο αν είναι πραγματικός αριθμός ή άπειρο. Το όριο του λόγου είναι απροσδιόριστο lim lim Σε αυτή την περίπτωση ισχύει f g ή f f lim lim g g

11 Παράδειγμα Έστω f=ln, g=/ και =. lim / / lim lim lim g f g f g f όταν = Αλλά

12 Γραμμική προσέγγιση Γραμμική προσέγγιση μιας συνάρτησης f σε κάποιο σημείο καλείται η γραμμική συνάρτηση g η οποία στο έχει την ίδια τιμή και την ίδια παράγωγο με την f. Η g δίνεται από τον τύπο: g = f + f - Πράγματι f = g f = g Το γράφημα της g είναι η εφαπτομένη της f στο σημείο. Η συνάρτηση g προσεγγίζει τις τιμές της συνάρτησης f για τιμές του γειτονικές στο.

13 Γραμμική προσέγγιση Ο παραπάνω τύπος μας δίνει γραμμικές προσεγγίσεις συναρτήσεων σε χαρακτηριστικά σημεία τους, π.χ. Η συνάρτηση f = e στο = προσεγγίζεται: ff +f - = e + e - = +. Επομένως e + Η συνάρτηση στο = προσεγγίζεται f.5.5 f f f

14 Γραμμική προσέγγιση - e