ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ στο Μάθημα: «Θεωρία Κυκλωμάτων Ια» - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ. Γεώργιος Ι. Τσεκούρας Λέκτορας ΣΝΔ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ Τομέας Ηλεκτροτεχνίας & Ηλ. Υπολογιστών Εργαστήριο Ηλεκτροτεχνίας ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ στο Μάθημα: «Θεωρία Κυκλωμάτων Ια» - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Παράρτημα : Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα : Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Γεώργιος Ι. Τσεκούρας Λέκτορας ΣΝΔ Ονοματεπώνυμο Ν.Δ.: Αριθμός Μητρώου: Τμήμα: Πειραιάς, Σεπτέμβριος 3, Έκδοση

2 ... Γεώργιος Ι. Τσεκούρας Διδάκτωρ, Διπλωματούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Ε.Μ.Π. Διπλωματούχος Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Copright Γεώργιος Ι. Τσεκούρας, 3 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, με οποιοδήποτε τρόπο, ηλεκτρονικό ή μηχανικό, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα, σύμφωνα με τις κείμενες διατάξεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Ι- Ι. Εισαγωγή Ι- Ι. Συστήματα Μονάδων Μέτρησης και το Διεθνές Σύστημα Μονάδων SI Ι- Ι.3 Βασικές Μονάδες του SI Ι-4 Ι.4 Παράγωγες Μονάδες του SI Ι-5 Ι.5 Πολλαπλάσια και Υποπολλαπλάσια Μονάδων του SI Ι- Ι.6 Δευτερεύουσες Μονάδες του SI Ι- Ι.7 Μονάδες πέρα του SI Ι-4 Ι.8 Μετατροπές Δευτερευουσών Μονάδων του SI & Μονάδων πέρα του SI Ι-6 Ι.8. Κλασικές μέθοδοι μετατροπής Ι-6 Ι.8. Μέθοδος μετατροπής μονάδων με χρήση διαγραμμάτων μετατροπής Ι-8 Ι.9 Κύριες Φυσικές Σταθερές Ι- Ι. Ερωτήσεις Αναγκαίων Γνώσεων Ι-5 Ι. Ασκήσεις Ι-9 Ι. Βιβλιογραφία Ι-36 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ ΙΙ- ΙΙ. Τριγωνομετρία ΙΙ- ΙΙ.. Ορισμοί τριγωνομετρικών συναρτήσεων ΙΙ- ΙΙ.. Κύριες μετρικές σχέσεις τριγώνου ΙΙ- ΙΙ..3 Τριγωνομετρικός κύκλος ΙΙ-4 ΙΙ..4 Τριγωνομετρικές ταυτότητες ΙΙ-9 ΙΙ. Συναρτησιακή Ανάλυση ΙΙ- ΙΙ.. Ορισμός συνάρτησης ΙΙ- ΙΙ... Ορισμός συνάρτησης μίας μεταβλητής ΙΙ- ΙΙ... Ορισμός συνάρτησης πολλών μεταβλητών ΙΙ-4 ΙΙ.. Όριο συνάρτησης ΙΙ-5 ΙΙ... Πεπερασμένο όριο συνάρτησης μίας μεταβλητής ΙΙ-5 ΙΙ... Άπειρο όριο συνάρτησης μίας μεταβλητής ΙΙ-6 ΙΙ...3 Όριο συνάρτησης μίας μεταβλητής που τείνει στο άπειρο ΙΙ-7 ΙΙ...4 Όριο συνάρτησης πολλών μεταβλητών ΙΙ-9 ΙΙ..3 Ορισμός συνέχειας συνάρτησης & μοτονονίας ΙΙ- ΙΙ..3. Ορισμός συνέχειας συνάρτησης μίας μεταβλητής ΙΙ- ΙΙ..3. Ορισμός συνέχειας συνάρτησης πολλών μεταβλητών ΙΙ- ΙΙ..4 Ορισμός παραγώγου ΙΙ- ΙΙ..4. Ορισμός παραγώγου μίας μεταβλητής ΙΙ- ΙΙ..4. Ορισμός παραγώγου πολλών μεταβλητών ΙΙ-7 ΙΙ..5 Ολοκλήρωμα ΙΙ-33 ΙΙ..5. Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος μίας μεταβλητής ΙΙ-33 Παρ- i

4 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας ΙΙ..5. Ορισμός αόριστου ολοκληρώματος μίας μεταβλητής ΙΙ-35 ΙΙ..5.3 Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος πολλών μεταβλητών ΙΙ-38 ΙΙ..6 Βασικές συναρτήσεις ΙΙ-4 ΙΙ..6. Ευθεία ΙΙ-4 ΙΙ..6. Απόλυτη τιμή ΙΙ-4 ΙΙ..6.3 Παραβολή ΙΙ-4 ΙΙ..6.4 Υπερβολή ΙΙ-44 ΙΙ..6.5 Κύκλος και έλλειψη ΙΙ-45 ΙΙ..6.6 Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση ΙΙ-46 ΙΙ..6.7 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ΙΙ-48 ΙΙ..6.8 Υπερβολικές συναρτήσεις ΙΙ-5 ΙΙ..6.9 Βηματική συνάρτηση ΙΙ-5 ΙΙ..6. Συνάρτηση ράμπας ΙΙ-5 ΙΙ..6. Συνάρτηση μοναδιαίου τετραγωνικού παλμού ΙΙ-53 ΙΙ..6. Κρουστική μοναδιαία συνάρτηση ΙΙ-55 ΙΙ.3 Πίνακες Ορίζουσες Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων ΙΙ-6 ΙΙ.3. Ορισμός πινάκων ΙΙ-6 ΙΙ.3. Πράξεις πινάκων ΙΙ-63 ΙΙ.3.. Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων ΙΙ-64 ΙΙ.3.. Πολλαπλασιασμός πίνακα με αριθμό ΙΙ-66 ΙΙ.3..3 Πολλαπλασιασμός πίνακα με πίνακα ΙΙ-67 ΙΙ.3..4 Αντιστρέψιμος πίνακας ΙΙ-69 ΙΙ.3.3 Ορισμός οριζουσών ΙΙ-7 ΙΙ.3.4 Ιδιότητες οριζουσών ΙΙ-76 ΙΙ.3.5 Αντίστροφος πίνακας με τη βοήθεια οριζουσών ΙΙ-78 ΙΙ.3.6 Ορισμός γραμμικού συστήματος ΙΙ-8 ΙΙ.3.7 Επίλυση γραμμικού συστήματος τάξης n με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss ΙΙ-8 ΙΙ.3.8 Επίλυση γραμμικού συστήματος τάξης n μέσω ΙΙ-88 αντίστροφου πίνακα ΙΙ.3.9 Επίλυση γραμμικού συστήματος τάξης n μέσω της μεθόδου Cramer ΙΙ-9 ΙΙ.4 Διανύσματα ΙΙ-98 ΙΙ.4. Ορισμός διανυσμάτων ΙΙ-98 ΙΙ.4. Βασικές πράξεις διανυσμάτων ΙΙ-99 ΙΙ.4.. Πρόσθεση διανυσμάτων ΙΙ- ΙΙ.4.. Αφαίρεση διανυσμάτων ΙΙ- ΙΙ.4..3 Διάνυσμα θέσης ΙΙ- ΙΙ.4..4 Μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων ΙΙ- ΙΙ.4..5 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ΙΙ- ΙΙ.4.3 Συντεταγμένες στο επίπεδο και στο χώρο ΙΙ-4 ΙΙ.4.3. Καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο ΙΙ-4 ΙΙ.4.3. Ορισμός διανύσματος στο καρτεσιανό επίπεδο ΙΙ-5 ΙΙ Πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο - Ορισμός διανύσματος ΙΙ-8 ΙΙ Καρτεσιανές συντεταγμένες στο χώρο ΙΙ- ΙΙ Ορισμός διανύσματος στο καρτεσιανό χώρο ΙΙ- Παρ- ii

5 Περιεχόμενα Παραρτημάτων ΙΙ Κυλινδρικές συντεταγμένες στο χώρο - Ορισμός ΙΙ- διανύσματος ΙΙ Σφαιρικές συντεταγμένες στο χώρο - Ορισμός διανύσματος ΙΙ-4 ΙΙ.4.4 Τελεστές ΙΙ-6 ΙΙ.4.4. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ΙΙ-6 ΙΙ.4.4. Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ΙΙ-8 ΙΙ Κλίση βαθμωτής συνάρτησης ΙΙ- ΙΙ Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα διανυσματικής συνάρτησης ΙΙ- ΙΙ Επιφανειακό ολοκλήρωμα διανυσματικής συνάρτησης ΙΙ-4 ΙΙ Απόκλιση διανυσματικής συνάρτησης ΙΙ-6 ΙΙ Περιστροφή στροβιλισμός διανυσματικής συνάρτησης ΙΙ-8 ΙΙ Τελεστής Laplace ΙΙ-3 ΙΙ Ταυτότητες με τον τελεστή ανάδελτα ΙΙ-3 ΙΙ.4.4. Θεώρημα απόκλισης Gauss ΙΙ-3 ΙΙ.4.4. Θεώρημα Stokes ΙΙ-33 ΙΙ.5 Μιγαδικοί Αριθμοί ΙΙ-34 ΙΙ.5. Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού ΙΙ-34 ΙΙ.5. Ιδιότητες και Πράξεις Μιγαδικών Αριθμών ΙΙ-38 ΙΙ.5.. Ισότητα μιγαδικών ΙΙ-38 ΙΙ.5.. Πρόσθεση και αφαίρεση μιγαδικών ΙΙ-39 ΙΙ.5..3 Πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών ΙΙ-4 ΙΙ.5..4 Συζυγής μιγαδικός αριθμός ΙΙ-4 ΙΙ.5..5 Διαίρεση μιγαδικών αριθμών ΙΙ-43 ΙΙ.5..6 Δυνάμεις μιγαδικών αριθμών ΙΙ-44 ΙΙ.5..7 Ρίζες μιγαδικού αριθμού ΙΙ-45 ΙΙ.5..8 Λοιπές ιδιότητες μιγαδικών αριθμών ΙΙ-45 ΙΙ.5..9 Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης με πραγματικούς ΙΙ-46 συντελεστές ΙΙ.5.. Πολυωνυμικές εξισώσεις στο σύνολο των μιγαδικών ΙΙ-46 αριθμών ΙΙ.5.. Υπερβολικές συναρτήσεις ΙΙ-47 ΙΙ.5.3 Στρεφόμενος Μιγαδικός Αριθμός ΙΙ-49 ΙΙ.5.3. Ορισμός στρεφόμενης μιγαδικής συνάρτησης - στροφέα ΙΙ-49 ΙΙ.5.3. Παράγωγος στροφέα ΙΙ-5 ΙΙ Ολοκλήρωμα στροφέα ΙΙ-5 ΙΙ.6 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΙΙ-54 ΙΙ.6. Γενικές μορφές διαφορικών εξισώσεων ΙΙ-54 ΙΙ.6. Γραμμική διαφορική εξίσωση ης τάξης ΙΙ-55 ΙΙ.6.3 Γραμμική διαφορική εξίσωση ν ης τάξης με σταθερούς ΙΙ-58 συντελεστές ΙΙ.6.3. Γενική λύση με ομαλές συναρτήσεις διέγερσης ΙΙ-58 ΙΙ.6.3. Γενική λύση με ανώμαλες συναρτήσεις διέγερσης ΙΙ-66 ΙΙ.7 Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων και Συνδυαστικής ΙΙ-7 ΙΙ.7. Ορισμοί & βασικοί κανόνες σχέσεις πιθανοτήτων ΙΙ-7 ΙΙ.7. Πυκνότητα πιθανότητας αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών ΙΙ-8 ΙΙ.7.3 Πυκνότητα κατανομής πιθανότητας συνάρτησης τυχαίας ΙΙ-83 Παρ- iii

6 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας μεταβλητής ΙΙ.7.4 Ορισμοί συνδυαστικής ΙΙ-9 ΙΙ.7.5 Δοκιμές Bernoulli ΙΙ-9 ΙΙ.7.6 Δεσμευμένες πιθανότητες και ανεξάρτητα ενδεχόμενα ΙΙ-95 ΙI.8 Ερωτήσεις Αναγκαίων Γνώσεων IΙ-99 IΙ.9 Βιβλιογραφία IΙ-5 Παρ- iv

7 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Περίληψη: Σ αυτό το παράρτημα παρουσιάζονται γενικά οι μονάδες μέτρησης και τα προθέματά τους δίνοντας έμφαση κυρίως στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (S.I.), καθώς και στις διάφορες μετατροπές μεταξύ των διαφόρων μονάδων του ίδιου μεγέθους. Επίσης καταγράφονται οι σπουδαιότερες παγκόσμιες σταθερές. Η ανάπτυξη του παρόντος παραρτήματος στηρίζεται κατά κύριο λόγο στα κλασικά βιβλία του Theodore Wildi [-] πέρα της λοιπής βιβλιογραφίας και των άφθονων στοιχείων στο διαδίκτυο. Σκοπός αυτού του κεφαλαίου μετά τη μελέτη από το σπουδαστή είναι να γνωρίζει: ποιος είναι ο λόγος ύπαρξης των μονάδων και του Διεθνούς Συστήματος Μονάδων ποιες είναι οι βασικές μονάδες και ποιες οι παράγωγες μονάδες, τη χρήση των μονάδων σε συνδυασμό με τα προθέματα πολλαπλάσιων και υποπολλαπλασίων, την υλοποίηση μετατροπών μεταξύ των διαφόρων μονάδων του ιδίου μεγέθους. Αναγκαίες Γνώσεις: - Παράγραφοι που μπορούν να παραληφθούν σε σύντομη ανάγνωση: I.8. I. Εισαγωγή Οι μονάδες διαδραματίζουν ένα σημαντικό ρόλο στην καθημερινή ζωή, καθώς οι ανθρώπινες δραστηριότητες, όπως οι αγοροπωλησίες και οι συγκρίσεις των διαφόρων μεγεθών πραγματοποιούνται με τη βοήθεια των μονάδων. Μερικές από αυτές τις μονάδες έχουν γίνει τόσο γνωστές που θεωρούνται ως δεδομένες, όπως είναι το μέτρο και το κιλό, χωρίς όμως να σκέφτεται κανείς πώς άρχισαν ή γιατί τους δόθηκαν τα μεγέθη που έχουν. Ως παράδειγμα αναφέρεται ότι στην αρχαία Ελλάδα οι μεγάλες αποστάσεις μετριούνταν σε στάδια, που είχε προκύψει από το μήκος της διαδρομής του αγώνα δρόμου του σταδίου της Αρχαίας Ολυμπίας. Το στάδιο είναι ίσο με 6 πόδια και σε σύγχρονες μονάδες μέτρησης ισοδυναμεί από 77,4 m (αθηναϊκό στάδιο) ως 9,7 m (στάδιο Ολυμπίας) λόγω του διαφορετικού ορισμού του ποδιού από περιοχή σε περιοχή. Αντίστοιχα το αγγλοσαξονικό πόδι είχε προκύψει από το ισοδύναμο μήκος που καταλάμβαναν 36 σπόροι κριθαριού δεμένοι στη σειρά με τη βοήθεια νήματος από άκρο σε άκρο και η ονομαστική ισοδύναμη τιμή σήμερα είναι ίση με,348 m (αντί των,9574 m του αθηναϊκού ποδιού). Από τα προαναφερθέντα γίνεται φανερή η ανάγκη να καθοριστούν με ακρίβεια οι μονάδες μέτρου του κάθε μεγέθους. Οι περισσότερες μονάδες είναι σήμερα βασισμένες σε φυσικούς νόμους, οι οποίοι είναι αμετάβλητοι και δύνανται να επαναληφθούν. Κατά συνέπεια το μέτρο [m] ως μονάδα μέτρησης του μήκους ορίζεται με τη χρήση της ταχύτητας του φωτός και του χρόνου που διαρκούν οι δονήσεις των ατόμων συγκεκριμένου Ι-

8 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας υλικού και έχει σφάλμα της τάξεως του. Στο παρελθόν, στο τέλος του 7 ου αιώνα, το μέτρο είχε καταρχήν ορισθεί ίσο με το μήκος εκκρεμούς με ημιπερίοδο ταλάντωσης δευτερολέπτου (s) ή εναλλακτικά μέσω συσχέτισής του με το μήκος ενός πρώτου λεπτού της μοίρας κατά μήκος ενός μεσημβρινού της γης. Όμως και οι δυο ορισμοί δεν ήταν ακριβείς, επειδή η μεν περίοδος ενός εκκρεμούς εξαρτάται από την επιτάχυνση της γήινης βαρύτητας, που μεταβάλλεται από τόπο σε τόπο, η δε απόσταση ενός πρώτου λεπτού της μοίρας κατά μήκος ενός μεσημβρινού της γης μεταβάλλεται ανάλογα το γεωγραφικό πλάτος καθ όσον το σχήμα της γης δεν είναι τέλεια σφαιρικό, αλλά πεπλατυσμένο. Το 793 το μέτρο ορίσθηκε ως το /.. της απόστασης από τον πόλο μέχρι τον ισημερινό της γης κατά μήκος ενός μεσημβρινού, απόσταση που προσδιορίστηκε, χωρίς να ληφθεί υπ όψιν το ακριβές σχήμα της γης, περιέχοντας ένα σφάλμα της τάξεως του 4. Το 799 κατασκευάστηκε ένα πρότυπο μέτρο από μια ράβδο από πλατίνα και το 899 από μίγμα πλατίνα-ιριδίου, που φυλάσσονταν υπό συγκεκριμένες συνθήκες θερμοκρασίας στη Γαλλία και το οποίο είχε σφάλμα της τάξεως του 7. Αυτή η βελτίωση στα πρότυπα μέτρησης είναι αλληλένδετη μαζί με την τεχνολογική ανάπτυξη. Αν και τα βασικά πρότυπα μέτρησης έχουν αναγνωριστεί από όλα τα κράτη του κόσμου, στην καθημερινή ζωή η χρήση τους δεν είναι καθολική. Παραδείγματος χάρη στις αγγλοσαξονικές χώρες ως μονάδα μέτρησης μήκους χρησιμοποιείται η ίντσα, το πόδι και η υάρδα, ενώ στην Ελλάδα και στα άλλα ηπειρωτικά ευρωπαϊκά κράτη το χιλιοστό και το μέτρο. Επίσης ανάλογα με τον κλάδο της επιστήμης επηρεάζεται και η αντίστοιχη μονάδα λόγω των μεγεθών που μετρώνται, όπως για το μήκος στην αστροφυσική χρησιμοποιείται το parsec (πολλαπλάσιο του μέτρου), ενώ στην ατομική φυσική το angstrom (υποπολλαπλάσιο του μέτρου). Αλλά αυτές οι μονάδες του μήκους μπορούν να συγκριθούν με τη μεγάλη ακρίβεια, επειδή το πρότυπο μέτρο του μήκους βασίζεται στην ταχύτητα του φωτός και στην περίοδο ταλάντωσης των ατόμων. Η σύγκριση των διαφορετικών μονάδων από τη μία χώρα στην άλλη ή από τον ένα επιστημονικό κλάδο στον άλλο είναι δυνατή, επειδή υπάρχουν τα πρότυπα μέτρησης, που έχουν ορισθεί μονοσήμαντα με επιστημονικό τρόπο. Οι τυποποιημένες μονάδες του μήκους, της μάζας, του χρόνου, της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος, της θερμοκρασίας, της φωτεινής έντασης και της ποσότητας της ύλης είναι οι βάσεις που συνδέουν τις μονάδες που χρησιμοποιούνται στον κόσμο σήμερα. I. Συστήματα Μονάδων Μέτρησης και το Διεθνές Σύστημα Μονάδων SI Κατά την πάροδο του χρόνου έχουν διαμορφωθεί αρκετά συστήματα μονάδων μέτρησης, προκειμένου να ικανοποιήσουν τις ανάγκες του εμπορίου, της βιομηχανίας, και της επιστήμης. Ως σύστημα μονάδων μέτρησης ορίζεται ένα σύνολο μονάδων που έχουν άμεση σχέση η μία μονάδα με την άλλη, συνήθως μέσω ενός αριθμού. Παραδείγματος χάρη στο αγγλικό σύστημα μονάδων μέτρησης μήκους, η ίντσα, το πόδι, και η υάρδα σχετίζονται η μία μονάδα με την άλλη μέσω των αριθμών 3, και 36, καθώς μία υάρδα είναι ίση με 3 πόδια ή με 36 ίντσες, ενώ ένα πόδι είναι ίσο με ίντσες. Ο ίδιος συσχετισμός υπάρχει στο σύστημα μέτρησης μήκους με βάση το μέτρο, εκτός από το γεγονός ότι οι μονάδες συσχετίζονται μέσω πολλαπλάσιων / υποπολλαπλασίων του δέκα. Παραδείγματος χάρη το χιλιοστό, το μέτρο και το χιλιόμετρο σχετίζονται με τους αριθμούς. και.., καθώς ένα χιλιόμετρο είναι ίσο με χίλια μέτρα ή με ένα εκατομμύριο Ι-

9 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι χιλιοστά. Ωστόσο η δεκαδική προσέγγιση είναι ένα από τα πλεονεκτήματα αυτού του συστήματος. Γενικότερα σ ένα Σύστημα Μονάδων Μέτρησης ορίζονται για ορισμένα μεγέθη οι μονάδες τους, που είναι οι βασικές μονάδες του συστήματος και από το συνδυασμό των οποίων ή και μέσω ενός αριθμού προκύπτουν οι παράγωγες μονάδες για άλλα ή τα ίδια μεγέθη. Παραδείγματος χάρη, στο λεγόμενο διεθνές σύστημα μονάδων οι μονάδες για το μήκος [m], τη μάζα [kg] και το χρόνο [s] είναι βασικές μονάδες, ενώ η μονάδα για την ενέργεια [J] είναι παράγωγη μονάδα και ισχύει J = kg m s -. Σήμερα το επίσημα αναγνωρισμένο σύστημα μέτρησης είναι το «Διεθνές Σύστημα Μονάδων», με την κοινή παγκόσμια αποδεκτή σύντμηση SI (Sstem International) και αναπτύσσεται αναλυτικά στις Ι.3 ως Ι.6. Το SI εισήχθη τυπικά το 96 κατά την ενδέκατη γενική διάσκεψη των βαρών και των μέτρων (Conférence générale des poids et mesures - CGPM) κάτω από το διεθνή επίσημο τίτλο Sstème international d unités, αν και οι απαρχές του μετρικού συστήματος χρονολογούνται στην Ευρώπη από τον 7 ο αιώνα. Το SI χρησιμοποιείται στην πολύ μεγάλη πλειοψηφία των χωρών, μεταξύ των οποίων στην Ελλάδα και στις άλλες χώρες της Ε.Ε., αλλά και στην Αγγλία σταδιακά από το 978 και σχεδόν ολοκληρωμένα από το Στις ΗΠΑ χρησιμοποιείται το «USA sstem of measurement», που μαζί με το «Imperial sstem of measurement» που έχει χρησιμοποιηθεί μέχρι πρόσφατα στην Αγγλία συχνά αποκαλούνται και τα δυο σαν το Imperial sstem (αγγλοσαξονικό σύστημα), παρόλο που έχουν διαφορές μεταξύ τους. Και τα δυο αυτά συστήματα βασίζονται στο παλιό English units of measurement, που άρχισε να διαμορφώνεται από τον ο αιώνα και μετά από διαδοχικές τροποποιήσεις πήρε το 84 την τελική του μορφή και μετονομάσθηκε σε Imperial sstem of measurement και διαδόθηκε και στις τότε αποικίες της Αγγλίας. Οι ΗΠΑ όμως είχαν ανεξαρτητοποιηθεί πιο πριν και είχαν ήδη αναπτύξει το δικό τους σύστημα μετρήσεων, βασισμένο βέβαια και αυτό στο παλιό English units of measurement. Στη Ι.7 δίνεται, μεταξύ άλλων, και ο τρόπος μετατροπής των μονάδων του αγγλοσαξονικού συστήματος σε μονάδες του συστήματος SI. Ωστόσο η επίσημη καθιέρωση του Διεθνούς Συστήματος Μονάδων και η υιοθέτησή του από τις περισσότερες χώρες του κόσμου δεν απέβαλε τα παλαιότερα συστήματα μονάδων λόγω των ανθρώπινων συνηθειών και της μακροχρόνιας χρήσης τους, όπως π.χ. το CGS, το ηλεκτροστατικό (ΗΣΜ)-CGS, το ηλεκτρομαγνητικό (ΗΜΜ)-CGS το MKS ή Φυσικό, το πρακτικό (ή ορθολογισμένο) MKSA, το τεχνικό σύστημα κ.α., την χρήση των οποίων συναντά κανείς σε πολλά αξιόλογα βιβλία. Όμως η χρησιμότητα του SI έγκειται και στη διασύνδεσή του με τα άλλα συστήματα μέτρησης με απλό και σαφή τρόπο. Τα βασικότερα χαρακτηριστικά γνωρίσματα του SI που δεν συναντιούνται όλα μαζί σε κανένα άλλο σύστημα των μονάδων αποτελώντας συγχρόνως και το κύριο πλεονέκτημά του είναι τα εξής: Αποτελεί ένα δεκαδικό σύστημα. Χρησιμοποιεί πολλές μονάδες που ήδη εφαρμόζονται στη βιομηχανία και το εμπόριο, όπως Volt, Ampere, kilogram και Watt κλπ. Είναι ένα συμπαγές σύστημα μονάδων που εκφράζει με τρομακτική απλότητα μερικές από τις πιο βασικές σχέσεις στον ηλεκτρισμό, στη μηχανική και στη θερμοδυναμική. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τον ερευνητή, το μηχανικό, τον τεχνίτη και τον απλό άνθρωπο καλύπτοντας τις θεωρητικές και τις πρακτικές ανάγκες των μετρήσεων. Ι-3

10 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Οι βασικές μονάδες είναι μόλις επτά (7), οι οποίες αφορούν το μήκος, τη μάζα, το χρόνο, την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος, τη θερμοκρασία, τη φωτεινή ένταση και την ποσότητα ύλης, ορίζονται μέσω βασικών νόμων της φυσικής. Οι παράγωγες μονάδες στηρίζονται στις βασικές μονάδες, σε αποδεκτούς φυσικούς νόμους και σε μοναδιαίες ποσότητες της ύλης, της ατομικής μάζας και της ενέργειας. Ωστόσο, παρά τα πλεονεκτήματα του SI δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί παντού. Σε εξειδικευμένους τομείς, όπως της ατομικής φυσικής ή της αστρονομίας, ακόμη και στην καθημερινή εργασία, άλλες μονάδες μπορούν να είναι καταλληλότερες. Π.χ. τις γωνίες στο επίπεδο συνεχίζουν να τις μετρούν σε μοίρες αντί των ακτινίων που είναι η μονάδα στο SI. Ομοίως στην καθημερινότητα ο χρόνος μετράται σε μήνες, μέρες, ώρες ή λεπτά και όχι σε δευτερόλεπτα που είναι η μονάδα του SI. I.3 Βασικές Μονάδες του SI Οι επτά βασικές μονάδες μέτρησης σύμφωνα με το Διεθνές Σύστημα Μετρήσεων (SI) δίνονται στον πίνακα Ι.. Πίνακας I.: Βασικές μονάδες SI Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο Μήκος μέτρο (metre) m Μάζα m χιλιόγραμμο (kilogram) kg Χρόνος t δευτερόλεπτο (second) s Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος Ι αμπέρ (ampere) Α Απόλυτη θερμοκρασία Τ βαθμοί Κέλβιν (Kelvin) K Φωτεινή Ένταση Ι καντέλα (candela) cd Ποσότητα ύλης n μολ (mole) mol Οι ορισμοί των βασικών μονάδων του SI καθορίζουν με εξαιρετική ακρίβεια τη βάση αυτού του συστήματος μέτρησης και παρουσιάζονται στη συνέχεια: Το μέτρο (metre m) είναι το μήκος που διανύει το φως στο κενό κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος ίσου με το / ενός δευτερολέπτου. Σημειώνεται ότι το 983 η ταχύτητα του φωτός καθορίστηκε για να είναι m/s ακριβώς. Το χιλιόγραμμο (kilogram kg) είναι η μονάδα μάζας που ισούται με τη μάζα του διεθνούς πρότυπου χιλιογράμμου (International Prototpe Kilogram, «IPK»). Το διεθνές πρότυπο χιλιόγραμμο κατασκευάστηκε το 879, ορίστηκε ως πρότυπο το 889 και είναι ένας κύλινδρος κράματος λευκόχρυσου-ιριδίου (9%-%) που συντηρείται σε έναν υπόγειο θάλαμο στις Σέβρες (Sevres) της Γαλλίας από το Διεθνές Γραφείο Μέτρων και Σταθμών έχοντας συγκεκριμένες διαστάσεις (περίπου ύψος 4 εκατοστά και διάμετρο 4 εκατοστά) κάτω από δεδομένες συνθήκες πίεσης θερμοκρασίας. Ακριβή αντίγραφα του πρότυπου υπάρχουν σε όλα τα σημαντικά εργαστήρια προτύπων στον κόσμο, τα οποία συγκρίνονται με το διεθνές πρότυπο χιλιόγραμμο κατά αραιά χρονικά διαστήματα (δεκαετίες). Το δευτερόλεπτο (second s) είναι η διάρκεια περιόδων της ακτινοβολίας που αντιστοιχεί σε μία καθορισμένη μετάπτωση του ατόμου του καισίου 33 χωρίς Ι-4

11 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι εξωτερική διέγερση. Ένας ταλαντωτής χαλαζία, που συντονίζεται στη συχνότητα ταλάντωσης των ατόμων καισίου, παράγει μια ιδιαίτερα ακριβή και σταθερή συχνότητα. Το αμπέρ (Ampere A) είναι ότι το σταθερό συνεχές ρεύμα που, εάν διαρρέει δύο ευθείς παράλληλους αγωγούς άπειρου μήκους που απέχουν m στο κενό, αμελητέας κυκλικής διατομής, θα αναπτυχθεί δύναμη ίση με -7 Ν/m μήκους, όπου το N=kg m/s. Ο βαθμός Kelvin (Kelvin K) είναι η μονάδα της απόλυτης θερμοκρασίας (ή θερμοδυναμικής θερμοκρασίας) και είναι ίση με το /73,6 της απόλυτης θερμοκρασίας του τριπλού σημείου του νερού. Έστω ότι το καθαρό νερό μέσα σε μία κενή κάψουλα ψύχεται ως ότου αρχίζει να διαμορφώνει ο πάγος. Τότε η θερμοκρασία όπου ο πάγος, το νερό και ο υδρατμός συνυπάρχουν καλείται τριπλό σημείο του νερού και είναι ίση με 73,6 Κ εξ ορισμού υπό πίεση 4,58 mmhg =6,6 Pa. Το τριπλό σημείο είναι ίσο με, o C (βαθμός Κελσίου). Οπότε η θερμοκρασία των o C είναι ίση με 73,5 K ακριβώς. Η καντέλα (candela cd) είναι η φωτεινή ένταση σε μια δεδομένη κατεύθυνση μιας πηγής που εκπέμπει μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας ίσης με 54 Ηz (=/s) και έχει μια ακτινοβόλο ένταση σε εκείνη την κατεύθυνση ίση με το /683 Watt ανά στερακτίνιο, όπου W = N m= kg m s -3. To μολ (mole mol) είναι η ποσότητα της ουσίας ενός συστήματος που περιέχει τόσες στοιχειώδεις οντότητες όσα είναι τα άτομα σε, kg του άνθρακα [] ή τα μόρια σε, kg του υδρογόνου [3]. Κατά τη χρήση του mole χρειάζεται να διευκρινιστούν τι είναι οι στοιχειώδεις οντότητες (άτομα, μόρια, ιόντα, ηλεκτρόνια ή ομάδες αυτών). I.4 Παράγωγες Μονάδες του SI Από τις επτά βασικές μονάδες μέτρησης δύνανται να προκύψουν οι μονάδες των άλλων μεγεθών σύμφωνα με το SI. Πρακτικά δεν υπάρχει περιορισμός, ωστόσο μία σειρά μονάδων συναντιούνται συχνά και σε ορισμένα έχουν δοθεί ιδιαίτερα ονόματα, όπως π.χ. η μονάδα μέτρησης της πίεσης είναι N/m, η οποία έχει μετονομαστεί σε pascal (Pa), για λόγους απλοποίησης διευκόλυνσης κατά τη χρήση. Ακολούθως στους Πίνακες Ι. ως Ι. δίνονται οι βασικές μονάδες ανάλογα με το κύριο πεδίο εφαρμογής τους, στους οποίους επαναλαμβάνεται η βασική μονάδα, η οποία είναι έντονα μαυρισμένη. Πίνακας I.: Μονάδες SI για μήκος, εμβαδόν, όγκο Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης SI Σχέση με βασικές Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες Μήκος, r metre m Εμβαδόν Όγκος Αντίστροφο μήκος Ε, Α V square metre (τετραγωνικό μέτρο) cubic metre (κυβικό μέτρο) Εξίσωση ορισμού μεγέθους m m E = m 3 m 3 V = s reciprocal metre /m m - s = / Επιμήκυνση ε metre per metre m/m m/m = - ε = / Ι-5

12 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Πίνακας I.3: Μονάδες SI για γωνία Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης SI Σχέση με βασικές Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες Εξίσωση ορισμού μεγέθους Επίπεδη γωνία ϕ, θ radian (ακτίνιο) rad m/m = - ϕ = / r Στερεή γωνία Ω Πίνακας I.4: Μονάδες SI για μάζα stereo-radian (στερεακτίνιο) A sr m /m = - Ω = r Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης SI Σχέση με βασικές Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες Μάζα Μάζα ανά μονάδα μήκος Πυκνότητα Ειδικός όγκος Ροπή αδράνειας m m ρ v Θ, J Πίνακας I.5: Μονάδες SI για χρόνο kilogram (χιλιόγραμμο) kilogram per metre kilogram per cubic metre cubic metre per kilogram kilogram - square metre kg Εξίσωση ορισμού μεγέθους kg/m kg m - m = m/ kg/m 3 kg m -3 ρ = m/ V m 3 /kg m 3 kg - v= V / m kg m kg m J = m r Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης SI Σχέση με βασικές Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες Χρόνος Περίοδος t T second (δευτερόλεπτο) second (δευτερόλεπτο) s Εξίσωση ορισμού μεγέθους s s T=/ f Συχνότητα f Hertz Hz s - f = / T Επαναλήψεις το δευτερόλεπτο Ταχύτητα Επιτάχυνση Γωνιακή ταχύτητα Γωνιακή επιτάχυνση n v, u γ, a ω ω,ω reciprocal second metre per second metre per second squared radian per second radian per second squared /s s - n = T d m/s m s - v = = t dt dv m/s m s - γ = dt π rad/s rad s - ω = T dω rad/s rad s - ω = dt Ι-6

13 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι Πίνακας I.6: Μονάδες SI για δύναμη, ισχύ και ενέργεια Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης SI Σχέση με βασικές Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες Εξίσωση ορισμού μεγέθους Δύναμη F,T newton N kg m s - F = m γ Ορμή J, P newton-second N s kg m s - J = m v Πίεση p pascal Pa kg m - s - p = F / A Μηχανική τάση (πίεση) σ,τ pascal, newton per square metre Έργο, ενέργεια W, E joule J Θερμότητα Q joule J Ισχύς, ροή θερμότητας, ροή ενέργειας Pa=N/m kg m - s - σ = F / A τ = T / A - kg m s (=N m) W = F - kg m s (=N m) P, N, Q watt W kg m s -3 (=J/s) Q= I R t Q= m c dt dw P = dt Ροπή M newton-metre N m kg m s - M = F Ροπή στρέψης T newton-metre N m kg m s - T = F r Ορμή στρέψης M newton-secondmetre N s m kg m s - M = J ω Πίνακας I.7: Μονάδες SI για κινηματικά μεγέθη Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης SI Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο Σχέση με βασικές μονάδες Δυναμική συνεκτικότητα Κινηματική συνεκτικότητα Εξίσωση ορισμού μεγέθους μ pascal-second Pa s kg m - s τ - μ = du d ν square metre per second Πίνακας I.8: Μονάδες SI για φωτομετρικά μεγέθη m /s m s - ν = μ / ρ Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης SI Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο Σχέση με βασικές μονάδες Φωτεινή Ένταση Λαμπρότητα Φωτεινή ροή (φωτεινή ισχύς) Ένταση φωτισμού Ι L a candela (καντέλα) candela per square metre cd Εξίσωση ορισμού μεγέθους cd/m cd m - La = I / Α Φ lumen lm cd sr Φ = I Δ Ω E lu l cd sr m - (lm/m ) E = Φ / A Ι-7

14 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Πίνακας I.9: Μονάδες SI για θερμοκρασία - θερμότητα Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης SI Σχέση με βασικές Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες Απόλυτη θερμοκρασία Διαφορά θερμοκρασίας Τ ΔΤ, t kelvin (βαθμοί Κέλβιν) kelvin, degree Celsius K Εξίσωση ορισμού μεγέθους K, o C K ΔΤ=Τ -Τ Θερμότητα Q joule J kg m s dq - mc p dt = Εσωτερική ενέργεια Γραμμομοριακή ειδική θερμότητα du U joule J kg m s mc - v dt = C v (v=const) C p (p=const) joule per molekelvin J mol K - kg m s - K Δ U= Q-W dq/ dt Cp = n du / dt Cv = n c v dq/ dt cp = Ειδική θερμοχωρητικότητα c p (v=const) joule per J - m m s - K kilogram-kelvin kg K du / dt cv = (p=const) m Ενθαλπία H, I joule J kg m s - H = U+ p V Εντροπία S joule per kelvin J/K kg m s - K - S =Δ Q/ T Μέση θερμοχωρητικότητα Ειδική θερμότητα Ειδική εσωτερική ενέργεια Ειδική ενθαλπία Ειδική εντροπία Συντελεστής θερμικής διάχυσης Συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας Συντελεστής θερμοπερατότητας c m joule per Kelvin J/K kg m s - K - cm q u h s Λ λ K joule per kilogram joule per kilogram joule per kilogram joule per kilogram-kelvin square metre per second watt per kelvin metre ΔQ = Δ T J/kg m s - q= Q/ m J/kg m s - u= U/ m J/kg m s - h= H/ m J kg K m s - K - s = S/ m m /s m s λ - Λ = cv ρ W K m watt per kelvin- W square metre K m - Q kg m s -3 K - Q kg s -3 K Δ λ = A Δ T Δ K = A Δ T Ι-8

15 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι Πίνακας I.: Μονάδες SI για ηλεκτρικά μαγνητικά μεγέθη Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης SI Σχέση με βασικές Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρική τάση, διαφορά δυναμικού Ηλεκτρική αντίσταση Ηλεκτρική αγωγιμότητα Πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Ι ampere (αμπέρ) Α Εξίσωση ορισμού μεγέθους (=διαφορά μαγνητικού δυναμικού) Q coulomb C A s Q= I t V volt V R, Z Ohm (ωμ) Ω G, Y siemens S J ampere per square metre - kg m s -3 A (=W/A) - kg m s -3 A (=V/A) kg - m - s 3 A (=A/V=Ω - ) P V = I V R= I I G= = V R A/m A m - I J = Α Ε volt per metre V/m kg m s -3 A - V E = Ηλεκτρική ροή Ψ Coulomb C A s Ψ = Q Διηλεκτρική coulomb per D C/m A s m - D = Ψ μετατόπιση square metre Α Ηλεκτρική Q C farad F C = χωρητικότητα V dφ Μαγνητική ροή Φ weber Wb V = dt Μαγνητική επαγωγή Μαγνητεγερτική δύναμη Μαγνητική αντίσταση Μαγνητική αγωγιμότητα Αυτεπαγωγή, αλληλεπαγωγή Ένταση μαγνητικού πεδίου Β tesla T - s 4 A kg - m (=C/V) - kg m s - A (=V s) - kg s - A (=Wb/m ) F, ΜΕΔ ampere-turn Α () Α (ή A t= (αμπερέλιγμα) (ή A t) A έλιγμα) R, s reciprocal henr H - A kg - m - s (=A/Wb) Λ henr H - A - kg m s (=Wb/A) L henr H - A - kg m s (=Wb/A) Η ampere per metre Φ Β= A F = N I R = N I Φ Λ = / R di V = L dt N I A/m A m - H = Σημείωση (): Η μαγνητεγερτική δύναμη έχει τυπικά μονάδες Α στο SI, αλλά για να μην υπάρχει σύγχυση με την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος γίνεται η χρήση του A t. Ι-9

16 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Διευκρινίζεται ότι σε ορισμένα σημεία των πινάκων Ι. ως Ι. επαναλαμβάνεται η βασική μονάδα, η οποία όμως είναι γραμμένη με έντονα γράμματα, για να ξεχωρίζει. Οι νέες μονάδες που εμφανίστηκαν σ αυτούς τους πίνακες ορίζονται ακολούθως: Το ακτίνιο [rad] είναι η μονάδα του μέτρου μιας γωνίας στο επίπεδο με κορυφή το κέντρο ενός κύκλου, η οποία βαίνει σε τόξο ίσο με το μήκος μίας ακτίνας. Ουσιαστικά ένας πλήρης κύκλος αντιστοιχεί σε π rad. (από Πίνακα Ι.3) Το στερεακτίνιο [sr] είναι η μονάδα του μέτρου μιας στερεάς γωνίας με κορυφή το κέντρο μιας σφαίρας που εσωκλείει έναν τομέα της σφαιρικής επιφάνειας ίσης με αυτήν ενός τετραγώνου με τις πλευρές του ίσες με το μήκος της ακτίνας. Ουσιαστικά μία πλήρης σφαίρα αντιστοιχεί σε 4 π sr. (από Πίνακα Ι.3) Το hertz [Hz] είναι η συχνότητα ενός περιοδικού φαινομένου του οποίου η περίοδος είναι δευτερόλεπτο. (από Πίνακα Ι.5) Το newton [N] είναι εκείνη η δύναμη που επιταχύνει μία μάζα ενός χιλιογράμμου κατά ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο κάθε δευτερόλεπτο. Αν και ορίζεται με τη βοήθεια της κίνησης μιας μάζας, ισχύει επίσης για στατικά αντικείμενα και για όλες τις εφαρμογές όπου περιλαμβάνονται δυνάμεις. (από Πίνακα Ι.6) Το pascal [Pa] είναι η μονάδα της πίεσης ή της τάσης ίσης με ένα Newton ανά τετραγωνικό μέτρο. (από Πίνακα Ι.6) Το joule [J] είναι το έργο που πραγματοποιείται όταν μετατοπίζεται το σημείο εφαρμογής μίας δύναμης ενός newton για απόσταση ενός μέτρου στην κατεύθυνση της δύναμης. Εναλλακτικά είναι η ενέργεια που χρειάζεται να δαπανηθεί για τη μεταφορά μίας μάζας ενός χιλιογράμμου με επιτάχυνση ενός μέτρου ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο για απόσταση ενός μέτρου κατά την κατεύθυνση της επιτάχυνσης. (από Πίνακα Ι.6) Το watt [W] είναι η ισχύς που προκαλεί την παραγωγή ενέργειας ενός joule ανά δευτερόλεπτο. (από Πίνακα Ι.6) Το lumen [lm] είναι η φωτεινή ροή που αποδίδεται από μία φωτεινή πηγή βρισκόμενη στο κέντρο μίας σφαίρας σταθερής ομοιόμορφης φωτεινής έντασης μίας candela σε μία στερεά γωνία της προαναφερθείσας σφαίρας ενός στερεακτινίου. (από Πίνακα Ι.8) Το lu [l] είναι η ένταση φωτισμού που προκύπτει όταν σταθερή ομοιόμορφη φωτεινή ροή ενός lumen πίπτει κάθετα σε επιφάνεια ενός τετραγωνικού μέτρου. (από Πίνακα Ι.8) Ο βαθμός Celsius [ o C] είναι ίσος με το βαθμό Kelvin και χρησιμοποιείται αντί του Kelvin για την έκφραση της διαφοράς θερμοκρασίας σε βαθμούς Κελσίου (σύμβολο t) που καθορίζεται από τη σχέση: t = T -T (I.) Όπου Τ είναι η απόλυτη θερμοκρασία και Τ = 73,5 Κ εξ ορισμού. (από Πίνακα Ι.9) Το coulomb [C] είναι η ποσότητα ηλεκτρικού φορτίου που μεταφέρεται σε ένα δευτερόλεπτο από ρεύμα έντασης ενός αμπέρ. (από Πίνακα Ι.) Το volt [V] είναι η διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού μεταξύ δύο σημείων ενός αγωγού που διαρρέεται από ρεύμα σταθερής έντασης ενός αμπέρ, όταν η ισχύς που καταναλώνεται μεταξύ αυτών των σημείων είναι ίση με ένα watt. (από Πίνακα Ι.) Το ohm [Ω] είναι η ηλεκτρική αντίσταση μεταξύ δύο σημείων ενός αγωγού, όταν κατά την εφαρμογή μίας σταθερής διαφοράς δυναμικού ενός volt μεταξύ των δύο αυτών σημείων αναπτύσσεται εντός του αγωγού ρεύμα έντασης ενός αμπέρ, εφόσον δεν υπάρχει καμία ηλεκτρεγερτική πηγή κατά μήκος αυτού του αγωγού. (από Πίνακα Ι.) Ι-

17 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι Το siemens [S] είναι η μονάδα της ηλεκτρικής αγωγιμότητας και είναι ίση με το αντίστροφο του ενός οhm. Γι αυτό το λόγο στο παρελθόν αποκαλείτο συχνά και mho. (από Πίνακα Ι.) Το farad [F] είναι η χωρητικότητα ενός πυκνωτή, όταν μεταξύ των οπλισμών του αναπτύσσεται μια διαφορά δυναμικού ενός volt και οι οπλισμοί του είναι φορτισμένοι με ίσο και αντίθετο ηλεκτρικό φορτίο του ενός coulomb. (από Πίνακα Ι.) Το weber [Wb] είναι η μαγνητική ροή που αναπτύσσεται σ ένα κύκλωμα μιας σπείρας και παράγει μια ηλεκτρεγερτική δύναμη ενός volt, όταν η ροή μειωθεί στο μηδέν ομοιόμορφα σε ένα δευτερόλεπτο. (από Πίνακα Ι.) Το tesla [T] είναι η μονάδα της πυκνότητας μαγνητικής ροής ίσης με ένα weber ανά τετραγωνικό μέτρο. (από Πίνακα Ι.) Το henr [H] είναι η αυτεπαγωγή ενός κλειστού κυκλώματος στο οποίο παράγεται μια ηλεκτρεγερτική δύναμη ενός volt, όταν μεταβάλλεται ομοιόμορφα η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος κατά ένα ampere ανά δευτερόλεπτο. (από Πίνακα Ι.) I.5 Πολλαπλάσια και Υποπολλαπλάσια Μονάδων του SI Τα πολλαπλάσια και τα υποπολλαπλάσια των μονάδων του SI παράγονται με την προσθήκη των κατάλληλων προθεμάτων του πίνακα Ι. στις μονάδες των μεγεθών. Πίνακας I.: Πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια μονάδων SI Πολλαπλάσιο Υποπολλαπλάσιο Πρόθεμα Διεθνώς Ελληνικά Σύμβολο Πολλαπλασιαστικός συντελεστής SI Εκθετική Δεκαδική μορφή otta γιότα- Υ 4... zetta ζέτα- Ζ... ea έξα- Ε 8... peta πέτα- Ρ 5... tera τέρα- Τ... giga γίγα- G 9... mega μέγα- Μ 6.. kilo χίλιο- k 3. hecto εκατό- h deca δέκα- da deci δέκατο- d -, centi εκατοστό- c -, milli χιλιοστό- m -3, micro μίκρο- μ -6, nano νάνο- n -9, pico πίκο- p -, femto φέμτο- f -5, atto άττο- a -8, zepto ζέπτο- z -9, octo γιόκτο- -4, Ι-

18 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Παλαιότερα υπήρχαν και άλλα προθέματα, όπως το ma, δηλαδή το μύριο- (mria-) που αντιστοιχούσε στο. ή υπήρχαν και σε ορισμένα άλλα σύμβολα, όπως το da, δηλαδή το δέκα- (deca-), συνυπήρχε με το D. Με βάση το πρόθεμα η τιμή του μεγέθους πολλαπλασιάζεται με τον αντίστοιχο συντελεστή του Πίνακα Ι.. Π.χ.: ka (ή kiloampere) = 3 A = A 5 μf (ή 5 microfarad) = -6 5 F =,5 F ή 5-6 F Αντίστοιχα, αν είναι επιθυμητή η μετατροπή της τιμής ενός μεγέθους σε τιμή με ένα συγκεκριμένο πρόθεμα, τότε διαιρείται η αρχική τιμή με τον αντίστοιχο συντελεστή του Πίνακα Ι.. Π.χ.: M W = 6 W = 6-6 ΜW = MW (ή megawatt) n,5 s =,5 s = ns = 5 ns (ή 5 nanosecond) 9 Ομοίως, αν είναι επιθυμητή η μετατροπή της τιμής ενός μεγέθους με πρόθεμα a σε τιμή με άλλο πρόθεμα b, τότε ο τελικός συντελεστής προκύπτει από τη διαίρεση του συντελεστή του προθέματος a με το αντίστοιχο του προθέματος b. Π.χ. παρουσιάζονται οι μεταβάσεις από το Μ στο n και από το k στο G : M = 6 = 6 n = 6 9 n = 5 n 9 k = 3 = 3 G 9 = 3-9 G = -6 G I.6 Δευτερεύουσες Μονάδες του SI Πέρα όμως των κύριων και των παράγωγων μονάδων του SI, που χαρακτηρίζονται και ως κύριες μονάδες, υπάρχουν ένα πλήθος δευτερευουσών μονάδων που έχουν γίνει αποδεκτές προς χρήση επισήμως, συνδεόμενες με τις κύριες μέσω πολλαπλάσιων υποπολλαπλάσιων και αριθμητικών τιμών. Στον Πίνακα Ι. αναφέρονται ορισμένες δευτερεύουσες μονάδες μέτρησης ενδεικτικά. Πίνακας I.: Δευτερεύουσες μονάδες στο SI Φυσικό μέγεθος Δευτερεύουσα μονάδα μέτρησης SI Σχέση με επίσημες Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες are a a = m Εμβαδόν Ε, Α hectare (εκτάριο) ha ha = 4 m Όγκος V litre l = dm 3 l (λίτρο) = -3 m 3 Αντίστροφο μήκος s dioptre (διοπτρία) dpt dpt = /m Σχόλιο Χρήση στην οπτική Ι-

19 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι Πίνακας I.: Δευτερεύουσες μονάδες στο SI (συνέχεια) Φυσικό μέγεθος Δευτερεύουσα μονάδα μέτρησης SI Σχέση με επίσημες Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες Επίπεδη γωνία Μάζα Μάζα ανά μονάδα μήκος Χρόνος Επαναλήψεις το λεπτό Ταχύτητα φ, θ m full angle (πλήρης γωνία / πλήρης κύκλος) right angle (ορθή γωνία) full angle = π rad = (π/) rad degree (μοίρα) ο o = (π/8) rad =9 o minute (λεπτό) second (δευτερόλεπτο) gon (βαθμός) gon = o /6 o = 6 = /6 = 6 gon= (π/) rad Σχόλιο Χρήση στην τοπογραφία gramme (γραμμάριο) g g = -3 kg tonne (τόνος) t t = 3 kg atomic mass unit (ατομική μονάδα μάζας) u u =, kg metric carat (καράτι) Kt Kt = mg =, -3 kg m te te te = g/km = -6 kg/m minute (λεπτό) min min = 6 s t hour (ώρα) h h = 6 min da (μέρα) d d= 4 h n v Χρήση για πολύτιμους λίθους Χρήση για νήματα ear (έτος) a a= 876 h Για Σ.Η.Ε. () reciprocal minute /min /(6 s) kilometre per hour km/h km/h = 3, 6 m/s Πίεση p bar bar bar = 5 Pa electron volt ev ev =,69 9 J Έργο, ενέργεια W, E Kilowatt-hour (Κιλοβατώρα) kwh kwh= 3,6MJ Θερμοκρασία t Celsius o C o C = K TοC=T K -73,5 (βλ. (I.)) Σημείωση (): Για τα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας (Σ.Η.Ε.) & τις εφαρμογές στη βιομηχανία θεωρείται πάντα στις μελέτες ότι το έτος περιέχει 365 ημέρες. Ι-3

20 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας I.7 Μονάδες πέρα του SI Πέρα όμως των μονάδων του Διεθνούς Συστήματος Μετρήσεων υπάρχουν πληθώρα μονάδων που χρησιμοποιούνται στην καθημερινή ζωή, όπως είναι η ίντσα (αγγλοσαξονική μονάδα μήκους). Στον Πίνακα Ι.3 αναφέρονται ορισμένες μονάδες μέτρησης ενδεικτικά. Πίνακας I.3: Συνήθεις μονάδες πέρα των μονάδων SI Φυσικό μέγεθος Μονάδα πέρα του SI Σχέση με Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες SI Μήκος ångström Å Å =, nm = m micron μ µ = µm inch (ίντσα) in," " = 5,4 mm mil mil mil =5,4μm foot (πόδι) ard (υάρδα) fathom (οργυιά) nautical mile (ναυτικό μίλι) mariner leaque (ναυτική λεύγα) statute mile (χερσαίο μίλι) international sea mile (διεθνές ναυτικό μίλι) tpographical point (τυπογραφικό σημείο) light ear (έτος φωτός) Parsec ft d Fathom naut mile mariner leaque stat mi n mile p Lj Pc ft = " =,348 m d = 3 ft =,944 m Fathom= d =,888 m naut mile = 6d = 853, m mariner leaque = 3 naut mile = 5556 m stat mi = 76 d = 69,35 m n mile = 85 m p=,333 m 66,4 mm Lj = 9,46 m Pc = 3 Lj = 3,89 m Σχόλιο Σε πυρηνική φυσική Αγγλοσαξωνικό Χρήση σε θαλάσσιες αποστάσεις Χρήση σε θαλάσσιες αποστάσεις Χρήση σε εκτυπώσεις χαρτιού Χρήση σε αστρονομία Εμβαδόν Ε, Α στρέμμα στρ. στρ.= 3 m circular mil cmil cmil = 57 μm = 5,7 4 mm Ι-4

21 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι Πίνακας I.3: Συνήθεις μονάδες πέρα των μονάδων SI (συνέχεια) Φυσικό μέγεθος Μονάδα πέρα του SI Σχέση με Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες SI gallon (UK) (αγγλικό γαλόνι) Όγκος V gallon (US) (αμερικανικό γαλόνι) Επίπεδη γωνία Μάζα ϕ, θ m Δύναμη F,T Πίεση p gal (UK) gal (US) gal(uk) 4, m 3 Σχόλιο gal(us) Χρήση για 3, m 3 υγρά centigon c c = cgon = 5 π 5 rad = / κύκλου milligon cc cc=, mgon =5π 7 rad hundredweight cwt cwt (long) 5,83 kg short sh cwt sh cwt hundredweight 45,359 kg Unit of mass ME ME = 9,8665 kg Pfund Pfd Pfd =,5 kg pound lb lb,45359 kg Zentner z z = 5 kg δύνη dn dn dn = 5 N CGS kilopond kp, kgf Τεχνικό σύστημα pond, gramforce poundal poundforce phsical atmosphere technical atmosphere metre water column millimeters of mercur (χιλιοστά στήλης υδραργύρου) p, gf pdl lbf atm at, ata mws mm Hg kp=9,8665n N p = 9, N pdl,3855 N lbf 4,448 N atm = 35 Pa at = 98 66,5 Pa mws = 986,65 Pa, bar mm Hg 33,3 Pa Πρότυπη ατμόσφαιρα pieze pz pz = mpa = 3 Pa psi psi psi = 6,8948 kpa torr Torr Torr 33,34 Pa Έργο, ενέργεια W, E erg erg erg = 7 J CGS Ι-5

22 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Πίνακας I.3: Συνήθεις μονάδες πέρα των μονάδων SI (συνέχεια) Φυσικό μέγεθος Μονάδα πέρα του SI Σχέση με Ονομασία Σύμβολο Ονομασία Σύμβολο μονάδες SI British thermal Q unit calorie (θερμίδα) horsepower (αγγλικός ίππος) Ισχύς P Pferdestärke, cheval-vapeur (γαλλικός ίππος) Θερμότητα Λαμπρότητα Κινηματική συνεκτικότητα Θερμοκρασία Διαφορά θερμοκρασίας Btu cal hp PS, CV L a stilb sb ν Τ ΔΤ, t Btu 55,56 J cal= 4,868 J hp 745,7 W PS = 735,49875 W Σχόλιο sb = 4 cd/m poise P P =, Pa s stokes St St = cm /s = 4 m /s degree (βαθμός) Fahrenheit degree (βαθμός θερμοκρασίας) F Τ Κ = 73,5+5/9 {ΤoF -3} deg, grd Μαγνητική ροή Φ mawell M, M Μαγνητική επαγωγή Διαφορά μαγνητικού δυναμικού Ένταση μαγνητικού πεδίου deg = K M = nwb = 8 Wb Β gauss G G = 4 T Ι gilbert Gb Η oersted Oe Gb = (/ (4 π)) A Οe = (5/π) A/m I.8 Μετατροπές Δευτερευουσών Μονάδων του SI & Μονάδων πέρα του SI I.8. Κλασικές μέθοδοι μετατροπής Για την πραγματοποίηση των αντίστοιχων μετατροπών από τις βασικές παράγωγες μονάδες του SI στις δευτερεύουσες μονάδες ή σε μονάδες άλλων μετρητικών συστημάτων μπορούν να χρησιμοποιηθούν είτε οι σχέσεις των πινάκων Ι. και Ι.3, είτε οι χάρτες μετατροπής μονάδων που θα παρουσιασθούν ακολούθως. Κατά τη μετατροπή μίας μονάδας από διαφορετικό σύστημα μονάδων στο SI γίνεται ο πολλαπλασιασμός με τον αντίστοιχο συντελεστή που αναγράφεται στη στήλη «Σχέση με τις μονάδες SI» του πίνακα Ι.3. Π.χ.: 5 G (ή 5 gauss) = 5-4 T = 5-3 T = 5 mt Btu = 55,56 J = 555,6 J ή 5,556 kj 8 ο F= 73,5+5/9 {8-3} K = 99,87 K (6,67 o C) Ι-6

23 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι Αντίστροφα κατά τη μετατροπή μίας μονάδας από το SI στο διαφορετικό σύστημα μονάδων γίνεται διαίρεση με τον αντίστοιχο συντελεστή της στήλης «Σχέση με τις μονάδες SI» του πίνακα Ι.3. Π.χ.: kw = 3 W = ( 3 / 745,7 ) hp = 34, hp kw = 3 W = ( 3 / 735,49875 ) CV = 35,96 CV Ομοίως πραγματοποιούνται και οι μετατροπές μεταξύ των δευτερευουσών μονάδων του SI και των επίσημων μονάδων του SI με χρήση της στήλης «Σχέση με τις επίσημες μονάδες» του πίνακα Ι.. Ωστόσο οι προαναφερθείσες μετατροπές μέσω των πινάκων Ι. και Ι.3 εμπλέκουν μία διαδικασία, η οποία δημιουργεί συνήθως την αμφιβολία της ορθότητας των αριθμητικών υπολογισμών. Εναλλακτικά οι αντίστοιχες μετατροπές δύνανται να υλοποιηθούν μέσω τυποποιημένων πινάκων, όπως ενδεικτικά είναι οι πίνακες Ι.4 ως Ι.6. Η εφαρμογή τους είναι πολύ εύκολη, καθώς με ανάγνωση βρίσκεται η σχέση των αντίστοιχων μονάδων (Από Προς). Πίνακας I.4: Τυποποιημένος πίνακας μετατροπής μονάδων μήκους στο SI, στο βρετανικό και Η.Π.Α. σύστημα μετρήσεων Προς kilometre metre millimetre mile ard foot inch Από km m mm mile d ft in (") km,63 93, m,,63 3,937 3,8 39,37 mm,,,63 6,94,38,3937 mile, , d,94,943 94,3, ft,35 3, ,79,894 3,3333 in ("),54 4,539 5,3997,58 4,777,833 Πίνακας I.5: Τυποποιημένος πίνακας μετατροπής μονάδων ενέργειας στο SI, στο αγγλοσαξονικό σύστημα μετρήσεων και άλλων συνήθων πρακτικών μονάδων Προς electron kilowatt British joule erg volt hour thermal unit calorie Από J ev kwh erg Btu cal J 6,4 8, ,478 4,38846 ev,69 9 4,459-6,6,59 3,87 kwh 3,6 6,47 5 3,6 3 34,8 8,598 5 erg 7 6,4, ,478, Btu 55,56 6,585,93-4,55 5, cal 4,868,63 9,63-3 4, ,968 3 Πίνακας I.6: Τυποποιημένος πίνακας μετατροπής μονάδων ισχύος στο SI, στο αγγλοσαξονικό σύστημα μετρήσεων και άλλων συνήθων πρακτικών μονάδων Προς chevalvapeur unit per hour per hour British thermal kilocalorie watt horsepower Από W hp CV Btu/h kcal/h W,34 3,36 3 3,44,85984 hp 745,7,45 545,8 64, CV 735,5, ,4 Btu/h,937,393 3,986 4,5 kcal/h,63,55958,58 3 3,968 Ι-7

24 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Π.χ. ζητείται η εύρεση της σχέσης μετατροπής μονάδων από hp σε kcal/h. Από τον πίνακα Ι.6 από τη διασταύρωση της γραμμής «hp» (Από) και της στήλης «kcal/h» (Προς) προκύπτει ο αριθμός 64,, δηλαδή η αντίστοιχη σχέση είναι: hp = 64, kcal/h Ωστόσο αυτή η μέθοδος παρουσιάζει τα προβλήματα της δυσχρηστίας στην περίπτωση πληθώρας μονάδων και της μη δυνατότητας να συμπεριλάβει όλες τις υπάρχουσες μονάδες σε διάφορα μεγέθη (π.χ. μήκος) λόγω και του περιορισμένου μεγέθους του χαρτιού, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί. I.8. Μέθοδος μετατροπής μονάδων με χρήση διαγραμμάτων μετατροπής Τα διαγράμματα μετατροπής περιορίζουν τα προβλήματα που παρουσιάζουν οι προηγούμενες μέθοδοι σε σημαντικό βαθμό. Όπως φαίνεται και στα σχήματα Ι. ως Ι.3 η μεγαλύτερη μονάδα είναι στην κορυφή, η μικρότερη στο κατώτατο σημείο, και οι ενδιάμεσες μονάδες χωροθετούνται ενδιάμεσα. Οι μονάδες συνδέονται με τα βέλη που δείχνουν προς τη μικρότερη μονάδα, καθένα από τα οποία φέρει έναν αριθμό, ο οποίος είναι η αναλογία της μεγαλύτερης προς τη μικρότερη μονάδα, οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους και είναι πάντα μεγαλύτερη της μονάδας [-]. Π.χ. στο σχήμα Ι.α παρουσιάζονται οι βασικότερες μονάδες μήκους, οι οποίες είναι διατεταγμένες κατά φθίνουσα σειρά, με το βέλος να δείχνει πάντα προς τη μικρότερη μονάδα. Οι αριθμοί παρουσιάζουν τη σχετική αναλογία μεταξύ των συνδεδεμένων μονάδων, όπως η υάρδα [ard] είναι 3 φορές μεγαλύτερη από το πόδι [foot], το πόδι φορές μεγαλύτερο από την ίντσα [inch], η ίντσα είναι 5,4 φορές μεγαλύτερη από το χιλιοστόμετρο [mm] κτλ. Με αυτήν τη μέθοδο μπορεί να γίνει η μετατροπή μιας μονάδας σε οποιαδήποτε άλλη, αρκεί να υπάρχει στο αντίστοιχο διάγραμμα. Η αντίστοιχη διαδικασία βασίζεται στους ακόλουθους κανόνες: Εάν η διαδρομή από τη μια μονάδα στην άλλη γίνεται στην κατεύθυνση του βέλους, πολλαπλασιάζεται με το σχετικό αριθμό. Εάν η διαδρομή από τη μια μονάδα στην άλλη γίνεται αντίθετα προς την κατεύθυνση του βέλους, τότε διαιρείται με το σχετικό αριθμό. Π.χ. αν ζητείται η μετατροπή 5 υαρδών σε χιλιοστόμετρα, τότε ξεκινώντας από την υάρδα [ard] με προορισμό το χιλιοστόμετρο [mm] διαπιστώνεται ότι η σχετική κίνηση είναι σύμφωνα με την κατεύθυνση του βέλους. Οπότε θα γίνει ο αντίστοιχος πολλαπλασιασμός των αριθμών, δηλαδή: 5 d = 5 3,54 mm = 457 mm Aν ζητείται η μετατροπή 3 μέτρων σε μίλια, τότε ξεκινώντας από το μέτρο [metre] με προορισμό το μίλι [mile] διαπιστώνεται ότι η σχετική κίνηση είναι αντίθετη προς την κατεύθυνση του βέλους, όποτε θα γίνει η αντίστοιχη διαίρεση με το γινόμενο των αριθμών: 3 m = 3 / (,69 ) mi =,865 mi Aν ζητείται η μετατροπή mil σε nm, τότε ξεκινώντας από το mil με προορισμό το nm διαπιστώνεται ότι η σχετική κίνηση είναι αντίθετη προς την κατεύθυνση του βέλους μέχρι το mm, όποτε θα γίνει η διαίρεση με το αριθμό 39,37, και από το mm μέχρι το nm σύμφωνα με την κατεύθυνση του βέλους, όποτε θα γίνει το γινόμενο με το 6, δηλαδή: mil = / (39,37 6 ) nm = 5,8 6 nm Ι-8

25 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι international sea mile n mile megagram Mg,85 mile mi tonne t,69, kilometre km ton ton metre m kilogram kg,936,5 ard d pound lb 3 foot ft gramme g 5 inch in metric karat Kt,54 6,449 3 centimetre cm Atomic mass unit u millimetre mm (β) μάζα 39,37 6 mil mil ear (μόνο για Σ.Η.Ε.) a 365 nanometre degree Celsius C/F,8 +3 nm angstrom (α) μήκος kelvin degree Fahrenheit (γ) θερμοκρασία Å o C +73,5 K o F Σχήμα I.: Διαγράμματα μετατροπής μονάδων (α) μήκους, (β) μάζας, (γ) θερμοκρασίας, (δ) χρόνου. da hour min second (δ) χρόνος d h min s Ι-9

26 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας kilopond kp pound force lbf 9,8665 4,448 newton (= kg m s - ) N 7,33 poundal pdl 5 dne dn (α) δύναμη megawatt MW kilotonne TNT,67 6 kilowatt hour kwh 3,6 megajoule MJ 77,8 watthour W h 3,4 British thermal unit Btu,55 kilojoule kj 5 3 kilowatt Btu per second,55 kw Btu/s callorie cal 3,86 foot-pound force ft lbf,356 3 horsepower Cheval-vapeur CV 735,5 kilocalorie per hour kcal/h,63 hp 745,7 joule (=N m = W s) 7 erg 6,4 8 electron volt ev (β) ενέργεια J erg watt (=J/s=N m/s) W 3,44 Btu per hour Btu/h 3 foot pound force per minute,4 milliwatt mw kilopond metre kpm 9,8665 pound force foot ft lb,366 newton metre N m 7 dne centimetre dn cm (γ) ισχύς (δ) ροπή Σχήμα I.: Διαγράμματα μετατροπής μονάδων (α) δύναμης, (β) ενέργειας, (γ) ισχύος, (δ) ροπής. Ι-

27 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι ampere hour A h 36 coulomb C 8 attacoulomb ac 6,864 Φορτίο ηλεκτρονίου (α) ηλεκτρικό φορτίο oersted Oe, ampere-turn per inch 79,6 39,37 ampere-turn per metre A t/m (β) ένταση μαγνητικού πεδίου tesla T weber Wb 6 microweber μwb mawell M Δυναμική γραμμή microtesla kilogauss kg gauss G 6,45 line per square inch 5,5 μt (γ) μαγνητική ροή (δ) μαγνητική επαγωγή ampere A eaohm metre 8 EΩ m ampere-turn A t ohm metre Ω m,57 Gilbert Gb 6 ohm centimetre (ε) μαγνητεγερτική δύναμη microhm metre μω m=ω mm /m 6,5 6 siemens S 3 ohm circular mil per foot,66 mho nanohm metre nω m (στ) αγωγιμότητα (ζ) ειδική αντίσταση Σχήμα I.3: Διαγράμματα μετατροπής μονάδων (α) ηλεκτρικού φορτίου, (β) έντασης μαγνητικού πεδίου, (γ) μαγνητικής ροής, (δ) μαγνητικής επαγωγής, (ε) μαγνητεγερτικής δύναμης, (στ) αγωγιμότητας, (ζ) ειδικής αντίστασης. Ι-

28 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Διευκρινίζεται ότι στα σχήματα Ι. ως Ι.3 τα ορθογώνια πλαίσια που περιέχουν τις κύριες / παράγωγες μονάδες SI είναι μαυρισμένες, ενώ αυτές που περιέχουν πολλαπλάσιες ή δευτερεύουσες μονάδες του SI εντός συνεχούς πλαισίου. Οι μονάδες εκτός SI είναι σε πλαίσιο με διακεκομμένη γραμμή. Επίσης κάθε πλαίσιο περιέχει το όνομα της μονάδας και το σύμβολό της. Σημείωση: Πλήθος τέτοιων διαγραμμάτων υπάρχουν στα [-]. I.9 Κύριες Φυσικές Σταθερές Ακολούθως παρουσιάζονται στον Πίνακα Ι.7 οι κυριότερες φυσικές σταθερές με το σύμβολό τους με τις αντίστοιχες τιμές και μονάδες τους. Πίνακας I.7: Κύριες φυσικές σταθερές με μονάδες στο SI Ονομασία Σύμβολο Τιμή Μονάδες σε SI Επιτάχυνση βαρύτητας (επίσημη τιμή) g 9,8665 m s - Σταθερά της παγκόσμιας έλξης G, γ 6, m 3 kg - s Ταχύτητα φωτός στο κενό c, m s - Σταθερά του Planck h 6, J s Μάζα ηρεμίας ηλεκτρονίου m e 9,9-3 kg Μάζα ηρεμίας ατόμου υδρογόνου m Η, kg Ακτίνα ηλεκτρονίου r e, m Ακτίνα Bohr a 5, m Στοιχειώδες φορτίο (Φορτίο ηλεκτρονίου κατ απόλυτη τιμή) e (=F/N A ), C = A s Ισοδύναμη ενέργεια μάζας ηλεκτρονίου m e c 8, J Διηλεκτρική σταθερά του κενού ε 8, F m - Μαγνητική διαπερατότητα του κενού μ 4 π -7 Η m - Σταθερά του Farada F 96485,3383 C mol - Σταθερά του Boltzmann k, J Κ - Σταθερά του Stefan-Boltzmann σ 5, W m - Κ Γραμμοριακός όγκος αερίων V m, m 3 mol Σταθερά του Avogadro N A 6,45 3 mol - Σταθερά του Loschmidt N L, m -3 Σταθερά των ιδανικών αερίων R 8, J K - mol Θερμοκρασία τήξης πάγου / Τ 73,5 Κ Θερμοκρασία απόλυτου μηδενός Τ Κ Κυματική αντίσταση κενού Ζ 376, Ω Σταθερά Weston για κυψέλη καδμίου E,86 V Σταθερά μετατόπισης Wien λ mat, b, m K Επίσης δίνονται οι ορισμοί των φυσικών σταθερών: Η επίσημη τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας (g) είναι ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της θάλασσας σε γεωγραφικό πλάτος 45 ο, δηλαδή ίση με 9,8665 m/s. Ι-

29 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι Η σταθερά της παγκόσμιας έλξης (G ή γ) είναι ίση με τη δύναμη έλξης σε newton που ενεργεί μεταξύ δύο μαζών, η καθεμία ίσης με ένα kg, που βρίσκονται σε απόσταση ενός μέτρου. Η ταχύτητα του φωτός στο κενό (c) είναι μέγιστη δυνατή ταχύτητα του φωτός στο κενό και συγχρόνως η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο κενό. Είναι ίση με m/s (προσεγγιστικά με 3. km/s). Η σταθερά του Planck (h) είναι ο αναλογικός παράγοντας συσχέτισης ενέργειας συχνότητας ενός φωτονίου και είναι ίσος με 6, J s. Η μάζα ηρεμίας ενός ηλεκτρονίου (m e ) είναι η μάζα ενός ηλεκτρονίου, το οποίο δεν υφίσταται καμία μεταβολή (μετάβαση μεταξύ ενεργειακών ζωνών κτλ.) Είναι ίση με 9,9-3 kg. Η μάζα ηρεμίας ενός ατόμου υδρογόνου (m Η ) είναι η μάζα ενός ατόμου υδρογόνου με πυρήνα από μόνο ένα πρωτόνιο (όχι ισότοπο υδρογόνου), το οποίο δεν υφίσταται καμία μεταβολή (μετάβαση ηλεκτρονίων μεταξύ ενεργειακών ζωνών κτλ.) Είναι ίση με, kg. Η ακτίνα ενός ηλεκτρονίου (r e ) είναι η ακτίνα που έχει ένα ισοδύναμο μοντέλο ηλεκτρονίου αν θεωρηθεί ότι είναι μία σφαίρα. Είναι ίση με, m. Η ακτίνα Bohr (a ) είναι η ακτίνα της πιο εσωτερικής τροχιάς ενός ηλεκτρονίου στο μοντέλο ατόμου κατά το Bohr. Είναι ίση με 5,9778 nm. Το στοιχειώδες φορτίο ή το φορτίο ενός ηλεκτρονίου κατ απόλυτη τιμή (e ) είναι το μικρότερο δυνατό φορτίο που μπορεί να έχει ένας ελεύθερος στοιχειώδης φορέας φορτίου (ηλεκτρόνιο ή πρωτόνιο) και είναι ίσο με, C. Η ισοδύναμη ενέργεια μάζας ηλεκτρονίου (m e c ) είναι η ισοδύναμη ενέργεια που περικλείει η μάζα ενός ηλεκτρονίου σύμφωνα με την εξίσωση του Einstein (E=m c ). Η διηλεκτρική σταθερά του κενού (ε ) είναι ο αναλογικός παράγοντας συσχέτισης μεταξύ της πυκνότητας φορτίου και της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Είναι ίση με 8, F m -. Η μαγνητική διαπερατότητα του κενού (μ ) είναι ο αναλογικός παράγοντας συσχέτισης μεταξύ της πυκνότητας μαγνητικής ροής και της έντασης του μαγνητικού πεδίου. Είναι ίση με 4 π -7 Η m -. Η σταθερά του Farada (F) είναι η ισοδύναμη ποσότητα φορτίου που μεταφέρει ένα μολ (mole) μονοσθενών ιόντων. Είναι ίση με ,3383 C/mol. Ουσιαστικά προκύπτει από το γινόμενο της σταθεράς Avogadro (N A - πλήθους μορίων / ιόντων ενός μολ (mole)) με το στοιχειώδες φορτίο (e ). Η σταθερά του Boltzmann (k) είναι το μέσο ενεργειακό κέρδος για ένα μόριο ή ένα άτομο για αύξηση θερμοκρασίας κατά Κ. Είναι ίση με, J/K. Η σταθερά του Stefan-Boltzmann (σ) είναι μία σταθερά ίση με 5, W m - Κ με τη βοήθεια της οποίας εκφράζεται η εκπεμπόμενη ενέργεια Ι του μελανού σώματος ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου σε συνάρτηση με την απόλυτη θερμοκρασία Τ: I( T) 4 = σ T (I.) Ο γραμμομοριακός όγκος των αερίων (V m ) είναι ο όγκος που καταλαμβάνει ένα μολ (mole) ενός ιδανικού αερίου υπό κανονικές συνθήκες ( o C, atm=.35 Pa). Είναι ίσος με,43996 m 3 /mol. Ι-3

30 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Η σταθερά του Avogadro (N A ) είναι το πλήθος των μορίων που περιέχονται σε ένα μολ (mole) ενός ιδανικού αερίου. Είναι ίση με 6,45 3 /mol. Η σταθερά του Loschmidt (N L ) είναι το πλήθος των μορίων που περιέχονται σε ένα κυβικό μέτρο ενός ιδανικού αερίου υπό κανονικές συνθήκες ( o C, atm). Είναι ίση με, /m 3. Ουσιαστικά προκύπτει από τη διαίρεση της σταθεράς Avogadro N A προς το γραμμοριακό όγκο του ιδανικού αερίου V m. Η σταθερά των τέλειων αερίων (R) είναι το έργο που εκτελεί ένα μολ (mole) ενός ιδανικού αερίου υπό σταθερή πίεση atm (=35 Pa) κατά την ανύψωση της θερμοκρασίας από τους o C στο o C (μεταβολή ενός Kelvin). Είναι ίση με 8,3447 J K - mol -. Η θερμοκρασία τήξης πάγου (Τ / ) είναι η θερμοκρασία στην οποία γίνεται η τήξη του πάγου υπό πίεση atm=35 Pa=76 mmhg. Είναι ίση με o C ή 73,5 Κ. Η θερμοκρασία απόλυτου μηδενός (Τ ) είναι η θερμοκρασία στην οποία ο όγκος του ιδανικού αερίου γίνεται μηδέν ή αλλιώς η θερμοκρασία στην οποία όλα τα σώματα έρχονται σε κατάσταση απόλυτης τάξης συγκροτώντας απόλυτα τέλειους κρυστάλλους. Είναι ίση με Κ ή -73,5 o C. Ουσιαστικά είναι η ερμηνεία του τρίτου θερμοδυναμικού νόμου σύμφωνα με τον οποίο η εντροπία των ιδανικών κρυστάλλων όλων των χημικών στοιχείων και χημικών ενώσεων είναι ίση με το μηδέν στη θερμοκρασία του απόλυτου μηδενός []. Μικρότερη θερμοκρασία δεν μπορεί να υλοποιηθεί. Η κυματική αντίσταση κενού (Ζ ) είναι μία σταθερά που σχετίζεται με τη διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο κενό, η οποία είναι ίση με: Z μ = = 376, Ω (I.3) ε Η σταθερά Weston για την κυψέλη καδμίου (Ε ) είναι η σταθερή τάση των,86 V στους o C που παράγει μία βασική βολταϊκή μονάδα σε γυάλινο δοχείο μορφής «Η» που απαρτίζεται από μία κάθοδο κράματος καδμίου-υδραργύρου στο ένα πόδι, από μία άνοδο καθαρού υδραργύρου στο άλλο πόδι και από ηλεκτρολύτη κορεσμένου διαλύματος υδροξειδίου καδμίου που διασυνδέει τα δύο πόδια. Χρησιμοποιήθηκε ως διεθνές πρότυπο για την ηλεκτρεγερτική δύναμη από το 9 ως το 99. Η σταθερά μετατόπισης Wien (λ mat, b) είναι μία σταθερά που επιτρέπει τον υπολογισμό της θερμοκρασίας μίας πηγής φωτός με βάση το φάσμα ακτινοβολίας, η οποία είναι ίση με, m K. Ι-4

31 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι I. Ερωτήσεις Αναγκαίων Γνώσεων Ι-. Τι είναι ένα σύστημα μονάδων μέτρησης; Απάντηση: Σύστημα μονάδων μέτρησης ορίζεται ένα σύνολο μονάδων που έχουν άμεση σχέση η μία μονάδα με την άλλη, συνήθως μέσω ενός αριθμού. (βλ. Ι.) Ι-. Ποιο είναι το σημερινό κυρίαρχο σύστημα μονάδων μέτρησης; Ποια είναι η σύντμησή του; Απάντηση: Το σημερινό επίσημο σύστημα μονάδων μέτρησης είναι το «Διεθνές Σύστημα Μονάδων» με την κοινή παγκόσμια αποδεκτή σύντμηση SI. (βλ. I.) Ι-3. Ποια είναι τα βασικά γνωρίσματα του «Διεθνούς Συστήματος Μονάδων» έναντι των υπολοίπων συστημάτων μονάδων μέτρησης; Απάντηση: Τα βασικά γνωρίσματα του SI έναντι των άλλων συστημάτων μέτρησης είναι τα ακόλουθα: (α) Αποτελεί ένα δεκαδικό σύστημα. (β) Χρησιμοποιεί πολλές μονάδες που ήδη εφαρμόζονται σε βιομηχανία και εμπόριο. (γ) Είναι ένα συμπαγές σύστημα μονάδων που εκφράζει με απλότητα μερικές από τις πιο βασικές σχέσεις στον ηλεκτρισμό, στη μηχανική και στη θερμοδυναμική. (δ) Μπορεί να χρησιμοποιηθεί από κάθε άνθρωπο καλύπτοντας τόσο τις θεωρητικές, όσο και τις πρακτικές ανάγκες των μετρήσεων. (ε) Οι βασικές μονάδες, που αφορούν το μήκος, τη μάζα, το χρόνο, την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος, τη θερμοκρασία, τη φωτεινή ένταση και την ποσότητα ύλης, ορίζονται μέσω βασικών νόμων της φυσικής. (στ) Οι παράγωγες μονάδες στηρίζονται στις βασικές μονάδες, σε αποδεκτούς φυσικούς νόμους και σε μοναδιαίες ποσότητες της ύλης, της ατομικής μάζας και της ενέργειας. (βλ. Ι.) Ι-4. Ποιες είναι οι βασικές μονάδες του «Διεθνούς Συστήματος Μονάδων» (ονομασία φυσικού μεγέθους ονομασία μονάδας μέτρησης σύμβολο μονάδας μέτρησης); Απάντηση: Οι βασικές μονάδες μέτρησης του SI είναι οι ακόλουθες επτά: (α) το μέτρο (metre) με σύμβολο m για τη μέτρηση του μήκους, (β) το χιλιόγραμμο (kilogram) με σύμβολο kg για τη μέτρηση της μάζας, (γ) το δευτερόλεπτο (second) με σύμβολο s για τη μέτρηση του χρόνου, (δ) το αμπέρ (ampere) με σύμβολο A για τη μέτρηση της έντασης του ρεύματος, (ε) ο βαθμός κέλβιν (kelvin) με σύμβολο K για τη μέτρηση της απόλυτης θερμοκρασίας (ή αλλιώς της θερμοδυναμικής θερμοκρασίας), (στ) η καντέλα (candela) με σύμβολο cd για τη μέτρηση της φωτεινής έντασης, (ζ) το μολ (mole) με σύμβολο mol για τη μέτρηση της ποσότητας ύλης. Σημείωση: Εναλλακτικά μπορεί να δοθεί ο Πίνακας Ι.. (βλ. Ι.3) Ι-5. Σε τι διαφέρουν οι βασικές, οι παράγωγες και οι δευτερεύουσες μονάδες του SI; Απάντηση: Οι βασικές μονάδες μέτρησης του SI αφορούν τα μεγέθη του μήκους, της μάζας, του χρόνου, της έντασης του ρεύματος, της απόλυτης θερμοκρασίας, της φωτεινής ύλης και της ποσότητας ύλης και αποτελούν τη βάση σχηματισμού των μονάδων όλων των υπόλοιπων μεγεθών. Οι παράγωγες μονάδες είναι οι μονάδες των υπόλοιπων μεγεθών που κατασκευάζονται από τις βασικές με εφαρμογή αποδεκτών φυσικών νόμων και μοναδιαίων ποσοτήτων ύλης, ατομικής μάζας και ενέργειας. Οι δευτερεύουσες μονάδες είναι μονάδες Ι-5

32 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας που έχουν γίνει αποδεκτές προς χρήση από το SI επισήμως και συνδέονται με τις κύριες και τις παράγωγες μονάδες μέσω πολλαπλάσιων υποπολλαπλάσιων και αριθμητικών τιμών. (βλ. Ι.- Ι.6) Ι-6. Γιατί ορισμένες παράγωγες μονάδες του SI έχουν ιδιαίτερη ονομασία; Απάντηση: Ορισμένες παράγωγες μονάδες του SI, όπως kg m s - που αφορά το μέγεθος της δύναμης, έχουν ισοδύναμα πιο απλά ονόματα, όπως newton για τη δύναμη, για λόγους απλοποίησης και διευκόλυνσης στη χρήση. (βλ. Ι.4) Ι-7. Ποιες είναι οι μονάδες του SI με την ακόλουθη σειρά παρουσίασης ονομασία φυσικού μεγέθους ονομασία μονάδας μέτρησης σύμβολο μονάδας μέτρησης = σύνδεση με μονάδες SI στα εξής μεγέθη: (α) επίπεδη γωνία, (β) στερεά γωνία, (γ) συχνότητα, (δ) ταχύτητα, (ε) γωνιακή ταχύτητα, (στ) δύναμη, (ζ) πίεση, (η) ενέργεια, (θ) ισχύς, (ι) ροπή; Απάντηση: Οι αντίστοιχες μονάδες των προαναφερθέντων μεγεθών είναι: (α) επίπεδη γωνία radian (ακτίνιο) rad = m/m, (β) στερεά γωνία stereo-radian (στερεακτίνιο) sr= m /m, (γ) συχνότητα hertz Hz = /s, (δ) ταχύτητα - metre per second (μέτρο ανά δευτερόλεπτο) m/s = m s -, (ε) γωνιακή ταχύτητα radian per second (ακτίνιο ανά δευτερόλεπτο) rad/s = rad s -, (στ) δύναμη newton Ν = kg m/s, (ζ) πίεση pascal Pa = Ν/m = kg m - s -, (η) ενέργεια joule J = Ν m = kg m s -, (θ) ισχύς watt W = J /s = kg m s -3, (ι) ροπή newton metre Ν m = kg m s -. (βλ. Ι.4) Προσοχή: Η μονάδα της ροπής είναι ίδια με της ενέργειας, αλλά ΔΕΝ μετράται σε joule! Ι-8. Ποιες είναι οι μονάδες του SI με την ακόλουθη σειρά παρουσίασης ονομασία φυσικού μεγέθους ονομασία μονάδας μέτρησης σύμβολο μονάδας μέτρησης = σύνδεση με μονάδες SI στα εξής μεγέθη: (α) εσωτερική ενέργεια, (β) ενθαλπία, (γ) εντροπία, (δ) ειδική ενθαλπία, (ε) ειδική εντροπία; Απάντηση: Οι αντίστοιχες μονάδες των προαναφερθέντων μεγεθών είναι: (α) εσωτερική ενέργεια joule J = Ν m = kg m s -, (β) ενθαλπία joule J = Ν m = kg m s -, (γ) εντροπία joule per kelvin J/K = kg m s - K -, (δ) ειδική ενθαλπία joule per kilogram J/kg = m s -, (ε) ειδική εντροπία joule per kilogram-kelvin J/(kg K) = m s - K -. (βλ. Ι.4) Ι-9. Ποιες είναι οι μονάδες του SI με την ακόλουθη σειρά παρουσίασης ονομασία φυσικού μεγέθους ονομασία μονάδας μέτρησης σύμβολο μονάδας μέτρησης = σύνδεση με μονάδες SI στα εξής ηλεκτρικά μεγέθη: (α) ηλεκτρικό φορτίο, (β) ηλεκτρική τάση, (γ) ηλεκτρική αντίσταση, (δ) ηλεκτρική αγωγιμότητα, (ε) πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος, (στ) ένταση ηλεκτρικού πεδίου, (η) ηλεκτρική χωρητικότητα, (θ) μαγνητική επαγωγή, (ι) αυτεπαγωγή; Απάντηση: Οι αντίστοιχες μονάδες των προαναφερθέντων ηλεκτρικών μεγεθών είναι: (α) ηλεκτρικό φορτίο coulomb C = A s, (β) ηλεκτρική τάση (διαφορά δυναμικού) volt V = W/A = kg m s -3 A -, (γ) ηλεκτρική αντίσταση ohm (ωμ) Ω = V/A = kg m s -3 A -, Ι-6

33 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι (δ) ηλεκτρική αγωγιμότητα siemens S = A/V = kg - m - s 3 A, (ε) πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος ampere per square metre A/m A m -, (στ) ένταση ηλεκτρικού πεδίου volt per metre V/m kg m s -3 A -, (ζ) ηλεκτρική χωρητικότητα farad F= C/V = s 4 A kg - m -, (η) μαγνητική ροή weber Wb= V s = kg m s - A -, (θ) μαγνητική επαγωγή tesla T = Wb/m = kg s - A -, (ι) αυτεπαγωγή henr H= Wb/A = kg m s - A -. (βλ. Ι.4) Ι-. Ποιες είναι οι μονάδες του SI με την ακόλουθη σειρά παρουσίασης ονομασία φυσικού μεγέθους ονομασία μονάδας μέτρησης σύμβολο μονάδας μέτρησης = σύνδεση με μονάδες SI στα εξής ηλεκτρικά μεγέθη: (α) ηλεκτρική ροή, (β) διηλεκτρική μετατόπιση, (γ) μαγνητεγερτική δύναμη, (δ) μαγνητική αντίσταση, (ε) μαγνητική αγωγιμότητα, (στ) ένταση μαγνητικού πεδίου; Απάντηση: Οι αντίστοιχες μονάδες των προαναφερθέντων ηλεκτρικών μεγεθών είναι: (α) ηλεκτρική ροή coulomb C = A s, (β) διηλεκτρική μετατόπιση coulomb per square metre C/m = A m - s, (γ) μαγνητεγερτική δύναμη ampere-turn (αμπερέλιγμα) Α = Α (για να διακρίνεται είθισται να γράφεται ως A turn ή A t ή αμπερέλιγμα, αν και τυπικά δεν ανήκει σε SI), (δ) μαγνητική αντίσταση reciprocal henr H - = A/Wb = A s kg - m -, (ε) μαγνητική αγωγιμότητα henr H= Wb/A = kg m s - A -, (στ) ένταση μαγνητικού πεδίου Ampere per metre A/m = A m -. (βλ. Ι.4) Ι-. Να δοθούν τα πολλαπλάσια των μονάδων του SI για εύρος τιμών ως με την ακόλουθη μορφή: διεθνής ονομασία προθέματος ελληνική ονομασία προθέματος σύμβολο SI εκθετικός πολλαπλασιαστικός συντελεστής. Απάντηση: Τα πολλαπλάσια των μονάδων του SI ως το είναι τα εξής: (α) tera τέρα T, (β) giga γίγα G 9, (γ) mega μέγα M 6, (δ) kilo κίλο k 3, (ε) hecto εκατό h, (στ) deca δέκα da. (βλ. Ι.5) Ι-. Να δοθούν τα υποπολλαπλάσια των μονάδων του SI για εύρος τιμών ως - με την ακόλουθη μορφή: διεθνής ονομασία προθέματος ελληνική ονομασία προθέματος σύμβολο SI εκθετικός πολλαπλασιαστικός συντελεστής. Απάντηση: Τα υποπολλαπλάσια των μονάδων του SI ως το - είναι τα εξής: (α) deci δέκατο d -, (β) centi εκατοστό c -, (γ) milli χιλιοστό m -3, (δ) micro μίκρο μ -6, (ε) nano νάνο n -9, (στ) pico πίκο p -. (βλ. Ι.5) Ι-3. Γιατί η μέθοδος μετατροπής μονάδων με τη χρήση διαγραμμάτων μετατροπής μονάδων θεωρείται πιο εύκολη από τις παλαιότερες μεθόδους μετατροπής; Απάντηση: Η μετατροπή με τη χρήση σχέσεων μεταξύ των μονάδων δημιουργεί αμφιβολία περί της ορθότητας των αριθμητικών πράξεων. Η μετατροπή με τη χρήση Ι-7

34 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας τυποποιημένων πινάκων σε περίπτωση πληθώρας μονάδων λόγω του περιορισμένου μεγέθους χαρτιού δεν μπορεί να της συμπεριλάβει όλες. Αντίθετα τα διαγράμματα μετατροπής μονάδων μέσω απλών πολλαπλασιασμών διαιρέσεων που προκύπτουν από την ανάγνωσή τους επιτυγχάνουν πιο εύκολα το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα. (βλ. Ι.8) Ι-4. Να δοθούν τα διαγράμματα μετατροπής μονάδων χρόνου και ηλεκτρικού φορτίου; Απάντηση: Παρουσιάζονται αντίστοιχα τα διαγράμματα Ι.4α και Ι.4β. (βλ. τα αντίστοιχα σχήματα Ι.δ και Ι.3γ της Ι.8.) ear (μόνο για Σ.Η.Ε.) a 36 da d ampere hour A h 4 36 hour h coulomb C 6 8 min min attacoulomb ac 6 6,864 second s Φορτίο ηλεκτρονίου (α) χρόνος (β) ηλεκτρικό φορτίο Σχήμα I.4: Διαγράμματα μετατροπής μονάδων (α) χρόνου, (β) ηλεκτρικού φορτίου. Ι-8

35 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι I. Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΗ Ι-. Να εκφραστούν οι ακόλουθες μονάδες του SI υπό τη μορφή συμβόλων στο SI: () milliwatt, () megawatt, (3) gigajoule, (4) kilopascal, (5) megahertz, (6) kiloampere,(7) deciweber, (8) centimetre, (9) litre, () milligram, () megohm, () millitesla, (3) millisecond, (4) picofarad, (5) megapascal, (6) microvolt, (7) kilovolt, (8) nanometre, (9) milliradian, () decaweber. Λύση Με αντιστοίχηση των προθεμάτων και των μονάδων μέτρησης στο SI προκύπτουν τα εξής: () mw, () ΜW, (3) GJ, (4) kpa,(5) MHz, (6) ka,(7) dwb, (8) cm, (9) L, () mg, () MΩ, () mτ, (3) ms, (4) pf, (5) MPa, (6) μv, (7) kv, (8) nm, (9) mrad, () dawb. ΑΣΚΗΣΗ Ι-. Να προσδιορισθούν αναλυτικά οι παράγωγες μονάδες των ακόλουθων φυσικών μεγεθών με τις κύριες μονάδες στο SI και να ονομασθούν στην περίπτωση που φέρουν ειδική ονομασία: () της ταχύτητας, () της επιτάχυνσης, (3) της δύναμης, (4) της ενέργειας, (5) της ισχύος, (6) της πίεσης, (7) του φορτίου, (8) της τάσης, (9) της αντίστασης, () της χωρητικότητας, () της μαγνητικής ροής, () του συντελεστή αυτεπαγωγής. Λύση Για τον προσδιορισμό της παράγωγης μονάδας του εκάστοτε φυσικού μεγέθους πραγματοποιείται η ακόλουθη διαδικασία με χρήση βασικών νόμων της φυσικής: () Από τη φυσική είναι γνωστό ότι η ταχύτητα v είναι ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης l, δηλαδή: [ d] [ ] d d m v= [ v] = v dt = = = dt dt s - [ ] ms () Από τη φυσική είναι γνωστό ότι η επιτάχυνση γ είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας v, δηλαδή: [ dv] [ ] [ dv] dv dv γ = [ γ] = [ γ] dt = = dt dt s Η μονάδα μέτρησης της μεταβολής της ταχύτητας dv ταυτίζεται με τη μονάδα μέτρησης της ταχύτητας v, δηλαδή δίνεται από τη σχέση (I.4). Οπότε η μονάδα της επιτάχυνσης συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: [ γ ] [ dv] (I.4) (I.5) m/s m = = = = ms (I.6) s s s (3) Από τη φυσική είναι γνωστό ότι δύναμη F προκύπτει ως το γινόμενο της μάζας m επί την επιτάχυνση γ, που υπολογίστηκε από τη σχέση (I.6), οπότε: m - F = m γ [ F] = [ m γ] = [ m] [ γ] = kg = kg m s (I.7) s Ι-9

36 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Οπότε η μονάδα δύναμης (newton) συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: m - N = kg = kg m s (I.8) s (4) Από τη φυσική είναι γνωστό ότι η ενέργεια Ε (ή το έργο W) δίνεται από το γινόμενο της δύναμης F προς τη μετατόπιση l, που προκαλείται από την επίδραση αυτής της δύναμης κατά την κατεύθυνσή της, οπότε: [ ] [ ] [ ] [ ] N m W = F W = F W = (I.9) Η μονάδα δύναμης (newton) προκύπτει μέσω των σχέσεων (I.7) και (I.8), οπότε η μονάδα ενέργειας (joule) συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: m W = = = (I.) s - [ ] J kg m kg m s (5) Από τη φυσική είναι γνωστό ότι η ισχύς Ρ είναι ο ρυθμός μεταβολής του έργου W, οπότε: [ dw ] [ ] dw dw P= [ P] = [ P] dt = = dt dt J s (I.) Η μονάδα ενέργειας (joule) προκύπτει μέσω των σχέσεων (I.9) ως (I.), οπότε η μονάδα ισχύος (watt) συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: [ P] - J kg m s -3 = W = = = kg m s (I.) s s (6) Από τη φυσική είναι γνωστό ότι η πίεση p δίνεται από το πηλίκο δύναμης F προς εμβαδόν διατομής Α που εφαρμόζεται αυτή η δύναμη, οπότε: [ F ] N Pa [ ] m F F p= [ p] = A = = A A (I.3) Η μονάδα δύναμης (newton) προκύπτει μέσω των σχέσεων (I.7) και (I.8), οπότε η μονάδα πίεσης (pascal) συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: - kg m s - - Pa = = kg m s (I.4) m (7) Από τη φυσική είναι γνωστό ότι το ηλεκτρικό φορτίο Q δίνεται από το γινόμενο της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος Ι με το χρόνο t, οπότε η μονάδα φορτίου (coulomb) συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: Q= I t [ Q] = [ I t] = [ I] [ t] [ Q] = C= A s (I.5) (8) Από τη φυσική είναι γνωστό ότι η τάση V δίνεται από το πηλίκο της ισχύος Ρ προς την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος Ι, οπότε: [ P] [ ] P P P= V I V = [ V] = [ V] I = = I I W A (I.6) Ι-3

37 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι Η μονάδα ισχύος (watt) προκύπτει μέσω των σχέσεων (I.) ως (I.), οπότε η μονάδα τάσης (volt) συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: [ V ] -3 W kg m s -3 = V= = = kg m s A (I.7) A A (9) Από τη φυσική είναι γνωστό ότι η ωμική αντίσταση R δίνεται από το πηλίκο της τάσης V στα άκρα της αντίστασης, της οποίας η τιμή της μετράται, προς την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος Ι που τη διαρρέει, οπότε: [ V ] [ ] V V R= [ R] = [ R] I = = I I V A (I.8) Η μονάδα τάσης (volt) προκύπτει μέσω των σχέσεων (I.6) ως (I.7), οπότε η μονάδα αντίστασης (ohm) συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: [ R] -3 V kg m s A -3 =Ω= = = kg m s A (I.9) A A () Από τη φυσική είναι γνωστό ότι η ηλεκτρική χωρητικότητα C δίνεται από το πηλίκο του φορτίου Q στο θετικό οπλισμό του πυκνωτή, του οποίου η χωρητικότητα μετράται, προς την τάση V στα άκρα του πυκνωτή, οπότε: [ Q] [ ] Q Q C = [ C] = [ C] V = = V V C V (I.) Η μονάδα φορτίου (coulomb) προκύπτει μέσω της σχέσης (I.5) και η μονάδα τάσης (volt) προκύπτει μέσω των σχέσεων (I.6) ως (I.7), οπότε η μονάδα ηλεκτρικής χωρητικότητας (farad) συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: C A s V kg m s A 4 [ C] = F= = = kg m s A -3 (I.) () Από τη φυσική είναι γνωστό ότι η μαγνητική ροή Φ δίνεται μέσω της ακόλουθης σχέσης, όπου εμπλέκεται η τάση V στα άκρα του κλειστού βρόχου που διαπερνάται από τη μαγνητική ροή και ο ρυθμός μεταβολής της μαγνητικής ροής dφ/dt, οπότε: [ dφ] [ ] dφ dφ V = [ V] = d V dt dt = Φ = Φ = Φ = dt dt [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Vs (I.) Η μονάδα τάσης (volt) προκύπτει μέσω των σχέσεων (I.6) ως (I.7), οπότε η μονάδα της μαγνητικής ροής (weber) συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: -3 - [ ] Wb V s kg m s A s kg m s A Φ = = = = (I.3) () Από τη φυσική είναι γνωστό ότι ο συντελεστής αυτεπαγωγής (ή απλώς αυτεπαγωγή) L δίνεται μέσω της ακόλουθης σχέσης, όπου εμπλέκεται η τάση V στα άκρα του πηνίου του οποίου μετράται η αυτεπαγωγή και ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος di/dt, που διαρρέει αυτό το πηνίο, οπότε: Ι-3

38 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας di [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] di di V dt Vs V = L V = L = L [ L] = [ L] = dt dt dt di A (I.4) Η μονάδα τάσης (volt) προκύπτει μέσω των σχέσεων (I.6) ως (I.7), οπότε η μονάδα του συντελεστή αυτεπαγωγής (henr) συνδέεται με τις κύριες μονάδες στο SI ως εξής: [ L] -3 Vs kgm s A s - = H= = = kg m s A (I.5) A A Από το συνδυασμό είτε των φυσικών νόμων των σχέσεων (I.) και (I.4), είτε των μονάδων (I.3) και (I.5) προκύπτει ότι η μονάδα του συντελεστή αυτεπαγωγής (henr) και της μαγνητικής ροής (weber) συνδέονται ως εξής: H = Wb/A (I.6) ΑΣΚΗΣΗ Ι-3. Να πραγματοποιηθούν οι ακόλουθες μετατροπές μονάδων με χρήση βασικών σχέσεων των πινάκων Ι. ως Ι.3: () 3 ίντσες σε χιλιοστά, () τετραγωνικά μέτρα σε τετραγωνικές ίντσες, (3) 5 circular mils σε τετραγωνικά χιλιοστά, (4) 5 o C σε kelvin, (5) 3 o C σε Fahrenheit, (6) τετραγωνικά μέτρα σε στρέμματα, (7) ημέρες σε δευτερόλεπτα, (8) 5 χιλιοθερμίδες ανά ώρα σε kilowatt, (9) 9 Btu ανά ώρα σε kilowatt, () 5 κιλοβατώρες σε θερμίδες, () 5 αγγλικές θερμικές μονάδες (Btu) σε κιλοβατώρες, () αγγλικούς ίππους σε κιλοβάτ, (3) 3 κιλοβάτ σε γαλλικούς ίππους, (4) 3 psi σε bar, (5) 7 χιλιοστά της στήλης υδραργύρου σε φυσικές ατμόσφαιρες, (6) 5 αμπερώρια σε coulomb, (7) 3 gilbert σε αμπέρ, (8) 5 αμπέρ ανά μέτρο σε oerested, (9) 5 gauss σε millitesla, () 5 picoweber σε mawell. Λύση Σε κάθε μετατροπή αναφέρονται οι βασικές σχέσεις που συνδέουν τις εμπλεκόμενες μονάδες: () Από τον Πίνακα Ι.3 (μήκος): "=5,4 mm. Oπότε 3"=3 5,4 mm = 76, mm () Από τον Πίνακα Ι.3 (μήκος): "= 5,4 mm = 5,4-3 m (") = (5,4-3 m) = 6,456-4 m m = 55,3 square inches. Oπότε m = 55,3 square inches = 3,6 square inches (3) Από τον Πίνακα Ι.3 (εμβαδόν): cmil (circular mil)= 5,7-4 mm. Oπότε 5 circular mils = 5 5,7-4 mm = 6,75 mm (4) Με βάση τη σχέση (I.) ισχύει ότι: t=t-t, όπου T =73,5 Κ, Τ η θερμοκρασία σε Kelvin, t η θερμοκρασία σε βαθμούς Celsius. Οπότε T= t + T T= 5 +73,5 = 98,5 Κ (5) Με βάση τη σχέση (I.) ισχύει ότι: t=t-t, όπου T =73,5 Κ, Τ η θερμοκρασία σε Kelvin, t η θερμοκρασία σε βαθμούς Celsius. Από τον Πίνακα Ι.3 (θερμοκρασία) υπάρχει η σχέση Τ Κ = 73,5+5/9 {ΤοF -3}, δηλαδή ΤοF =3+9/5 {Τ Κ -73,5}= 3+9/5 {Τ Κ -Τ } ΤοF =3+9/5 t. Οπότε ΤοF =3+9/5 t = 3+9/5 3 = 86 o F (6) Από τον Πίνακα Ι.3 (εμβαδόν): στρέμμα = m m = -3 στρέμματα. Οπότε m = -3 στρ. = στρέμματα Ι-3

39 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι (7) Από τον Πίνακα Ι. (χρόνος): d (ημέρα) = 4 h (ώρες) = 4 6 min (λεπτά) d (ημέρα) = s = 864 s. Οπότε ημέρες = d = 78 s = 7,8 ks (8) Από Πίνακα Ι.3 (θερμότητα): cal = 4,868 J Από Πίνακα Ι. (χρόνος): h = 6 min = 6 6 s = 36 s Δηλαδή kcal/h = cal / h = 486,8 J / 36 s =,63 W =,63-3 kw Οπότε 5 kcal/h = 5,63-3 kw = 58,5 kw (9) Από Πίνακα Ι.3 (θερμότητα): Btu = 55,56 J Από Πίνακα Ι. (χρόνος): h = 6 min = 6 6 s = 36 s Δηλαδή Btu/h = 55,56 J / 36 s =,937 W =,937-4 kw Οπότε 9 Btu /h = 9,937-4 kw =,63764 kw,638 kw () Από Πίνακα Ι. (ενέργεια): kwh = 3,6 MJ Από Πίνακα Ι.3 (θερμότητα): cal = 4,868 J J = /4,868 cal =, cal Δηλαδή kwh = 3,6 MJ = 3,6 6 J= 3,6 6, cal =, Mcal Οπότε 5 kwh = 5, Mcal = 49,96 Mcal 49,9 Mcal () Από Πίνακα Ι.3 (θερμότητα): Btu = 55,56 J Από Πίνακα Ι. (ενέργεια): kwh = 3,6 MJ MJ =, kwh J =, kwh Δηλαδή Btu = 55,56 J = 55,56, kwh = 93,73-6 kwh Οπότε 5 Btu = 5 93,73-6 kwh =, kwh,465 kwh () Από Πίνακα Ι.3 (ισχύς): hp (αγγλικός ίππος)= 745,7 W = 745,7-3 kw hp =,7457 kw Οπότε hp=,7457 kw = 74,57 kw (3) Από Πίνακα Ι.3 (ισχύς): CV (γαλλικός ίππος)= 735,49875 W = 735, kw kw =,3596 CV Οπότε 3 kw = 3,3596 CV = 4,7886 CV 4,79 CV (4) Από Πίνακα Ι.3 (πίεση): psi = 6,8948 kpa = 6, Pa Από Πίνακα Ι. (πίεση): bar = 5 Pa Pa = -5 bar Δηλαδή psi = 6, Pa = 6, bar = 6, bar = 68,948 mbar Οπότε 3 psi = 3 6, bar = 6,844 - bar =,6844 bar,7 bar (5) Από Πίνακα Ι.3 (πίεση): mm Hg = 33,3 Pa Από Πίνακα Ι.3 (πίεση): atm = 35 Pa Pa = 9, atm Δηλαδή mm Hg = 33,3 Pa = 33,3 9, atm =, atm Οπότε 7 mm Hg =7, atm =,957 atm,9 atm (6) Από Πίνακα Ι. (χρόνος): h = 6 min = 6 6 s = 36 s Δηλαδή αμπερώριο = Α h = 36 A s = 36 C Οπότε 5 Α h =5 36 C = 8 C =8 kc (7) Από Πίνακα Ι.3 (διαφορά μαγνητικού δυναμικού): Gb =, A Οπότε 3 Gb = 3, A =, A,387 A (8) Από Πίνακα Ι.3 (ένταση μαγνητικού πεδίου): Oe = 79, A/m A/m =,56637 Oe Οπότε 5 A/m = 5,56637 Oe = π Oe 3,4 Oe (9) Από Πίνακα Ι.3 (μαγνητική επαγωγή): G (gauss) = -4 T = -4 3 mt =, mt Οπότε 5 G = 5, mt = 5 mt Ι-33

40 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας () Από Πίνακα Ι.3 (μαγνητική ροή): M (mawell) = -8 Wb = -8 pwb = 4 pwb pwb = -4 M Οπότε 5 pwb= 5-4 M =,5 M ΑΣΚΗΣΗ Ι-4. Να πραγματοποιηθούν οι ακόλουθες μετατροπές μονάδων με χρήση των τυποποιημένων πινάκων: () 3 ίντσες σε χιλιοστά, () 5 χιλιοθερμίδες ανά ώρα σε kilowatt, (3) 5 κιλοβατώρες σε θερμίδες, (4) 5 αγγλικές θερμικές μονάδες σε κιλοβατώρες, (5) αγγλικούς ίππους σε κιλοβάτ, (6) 3 κιλοβάτ σε γαλλικούς ίππους. Λύση Σε κάθε μετατροπή αναφέρονται οι βασικές σχέσεις που συνδέουν τις εμπλεκόμενες μονάδες, οι οποίες προκύπτουν από την ανάγνωση των τυποποιημένων Πινάκων Ι.4 (μήκους), Ι.5 (ενέργειας), Ι.6 (ισχύος). () Από τον Πίνακα Ι.4 με διασταύρωση της γραμμής «in (")» (Από) και της στήλης «mm» (Προς) προκύπτει ότι: "=5,3997 mm. Oπότε 3" =3 5,4 mm = 76, mm () Από τον Πίνακα Ι.6 με διασταύρωση της γραμμής «kcal/h» (Από) και της στήλης «Watt» (Προς) προκύπτει ότι: kcal/h =,63 W. Οπότε 5 kcal/h = 5,63 W = 585 W = kw = 58,5 kw (3) Από τον Πίνακα Ι.5 με διασταύρωση της γραμμής «kwh» (Από) και της στήλης «cal» (Προς) προκύπτει ότι: kwh = 8,598 5 cal. Οπότε 5 kwh= 5 8,598 5 cal = cal = Mcal = 49,9 Mcal (4) Από τον Πίνακα Ι.5 με διασταύρωση της γραμμής «Btu» (Από) και της στήλης «kwh» (Προς) προκύπτει ότι: Btu=,93-4 kwh. Οπότε 5 Btu = 5,93-4 kwh =,4655 kwh (5) Από τον Πίνακα Ι.6 με διασταύρωση της γραμμής «hp» (Από) και της στήλης «W» (Προς) προκύπτει ότι: hp= 745,7 W. Οπότε hp= 745,7 W = 7457 W = kw = 74,57 kw (6) Από τον Πίνακα Ι.6 με διασταύρωση της γραμμής «W» (Από) και της στήλης «CV» (Προς) προκύπτει ότι: W=,36-3 CV. Οπότε 3 kw = 3 W = 3,36-3 CV = 4,8 CV ΑΣΚΗΣΗ Ι-5. Να πραγματοποιηθούν οι ακόλουθες μετατροπές μονάδων με χρήση των διαγραμμάτων μετατροπής μονάδων: () 3 ίντσες σε χιλιοστά, () 5 o C σε kelvin, (3) 3 o C σε Fahrenheit, (4) ημέρες σε δευτερόλεπτα, (5) 5 χιλιοθερμίδες ανά ώρα σε kilowatt, (6) 5 κιλοβατώρες σε θερμίδες, (7) 5 αγγλικές θερμικές μονάδες (Btu) σε κιλοβατώρες, (8) αγγλικούς ίππους σε κιλοβάτ, (9) 5 pound σε γραμμάρια, () 3 gilbert σε αμπέρ. Λύση Σε κάθε μετατροπή αναφέρεται το αντίστοιχο διάγραμμα και η σχετική πράξη. () Από το διάγραμμα Ι.(α) με τη σχετική κίνηση σύμφωνα με την κατεύθυνση του βέλους προκύπτει ότι: 3" = 3,54 mm = 76, mm () Από το διάγραμμα Ι.(γ) με τη σχετική κίνηση σύμφωνα με την κατεύθυνση του βέλους προκύπτει ότι: 5 ο C= 5+73,5 K = 98,5 K (3) Από το διάγραμμα Ι.(γ) με τη σχετική κίνηση σύμφωνα με την κατεύθυνση του βέλους προκύπτει ότι: 3 ο C= 3,8 + 3 o F = 86 o F Ι-34

41 Μονάδες Μέτρησης Παράρτημα Ι (4) Από το διάγραμμα Ι.(δ) με τη σχετική κίνηση σύμφωνα με την κατεύθυνση του βέλους προκύπτει ότι: d= s = 78 s =7,8 ks (5) Από το διάγραμμα Ι.(γ) με τη σχετική κίνηση αρχικά σύμφωνα με την κατεύθυνση του βέλους (ως το Watt) και έπειτα αντίθετα προς την κατεύθυνση του βέλους προκύπτει ότι: 5 kcal/h = 5,63/ 3 kw = 58,5 kw (6) Από το διάγραμμα Ι.(β) με τη σχετική κίνηση αρχικά σύμφωνα με την κατεύθυνση του βέλους (ως το Joule) και έπειτα αντίθετα προς την κατεύθυνση του βέλους προκύπτει ότι: 5 kwh = 5 (3,6 )/(,356 3,86) cal = ,6 cal 43, Mcal Εναλλακτικά αν γίνει η κατάβαση από τα βέλη προς τα δεξιά του σχήματος Ι.(β), τότε η σχετική κίνηση είναι σύμφωνα με την κατεύθυνση του σχήματος, προκύπτει ότι: 5 kwh = 5 (3,6 77,8 3,4 5) cal = cal 49,9 Mcal Από τα ανωτέρω παρατηρούνται μικρές αποκλίσεις, όπως και στις σχετικές απαντήσεις των Ι-() και Ι-3(3), που οφείλονται στις διαφοροποιήσεις των εμπλεκόμενων συντελεστών. (7) Από το διάγραμμα Ι.(β) με τη σχετική κίνηση αντίθετα προς την κατεύθυνση του βέλους προκύπτει ότι: 5 Btu = 5/(3,4 77,8 3,6) kwh=,4653 kwh (8) Από το διάγραμμα Ι.(γ) με τη σχετική κίνηση αρχικά σύμφωνα με την κατεύθυνση του βέλους (ως το Joule) και έπειτα αντίθετα προς την κατεύθυνση του βέλους προκύπτει ότι: hp = 745,7 / kw = 74,57 kw (9) Από το διάγραμμα Ι.(β) με τη σχετική κίνηση αρχικά αντίθετα προς την κατεύθυνση του βέλους (ως το kg) και έπειτα σύμφωνα με την κατεύθυνση του βέλους προκύπτει ότι: 5 lb = 5 /,5 g = 67,57 g () Από το διάγραμμα Ι.3(ε) με τη σχετική κίνηση αντίθετα προς την κατεύθυνση του βέλους προκύπτει ότι: 3 Gb = 3/ (,57 ) A =,387 A Ι-35

42 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας I. Βιβλιογραφία [] Theodore Wildi: Electrical Machines, Drives, and Power Sstems, 5 η έκδοση, Εκδόσεις Pearson Prentice Hall, New Jerse, σελ. 86. [] Theodore Wildi: Metric Units and Conversion Charts, η έκδοση, Εκδόσεις Wile IEEE Press, New York, 995. [3] Hennig Gremmel, Gerald Kopatch: Switchgear Manual, η έκδοση, Εκδόσεις ΑΒΒ, 8, σελ [4] D. Hallida, R. Resnick: «Φυσική Μέρος Β» (Έκδοση η, 96), Εκδόσεις Γ.Α. Πνευματικός, 976, σελ. 66. [5] Κ. Α. Σαρρής: «Μονάδες Μετρήσεως Φυσικών Μεγεθών», η έκδοση, Εταιρεία Ελληνικών Εκδόσεων, 97, σελ. 96. [6] Ελευθερουδάκη: «Σύγχρονος Εγκυκλοπαίδεια», 3 η έκδοση, Εγκυκλοπαιδικαί Εκδόσεις, Ν. Νίκας & ΣΙΑ Ο.Ε., Αθήνα, 96. [7] Ι.Δημητρίου: «Ρευστομηχανική Τεύχος Εισαγωγή», η έκδοση, Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 997, σελ.754. [8] Φ.Β. Τοπαλής: «Φωτοτεχνία: Βασικές αρχές φωτομετρίας και μελέτες φωτισμού», η έκδοση, Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 994, σελ. 6. [9] Α. Μοδινός: «Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης», η έκδοση, Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 994, σελ. 6. [] Κ. Καγκαράκης: «Μαθήματα στα Ηλεκτροτεχνικά Υλικά», η έκδοση, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα 994, σελ.89. [] Π. Οδ. Σακελλαρίδης: «Γενική Χημεία:. Γενικό Μέρος», η έκδοση, Εκδόσεις Συμμετρία, 99, σελ [] Ν. Κ. Ουζούνογλου: «Εισαγωγή στα Μικροκύματα», η έκδοση, Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 994, σελ. 39. [3] Κ. Α. Μοστράτος, Ι. Κ. Χατζηλάου: «Ψυκτικαί Μηχαναί Θεωρία και Πράξις της Ψύξεως», Έκδοση Ε.Ν. Σταυριδάκη, Πειραιάς, Απρίλιος 977, σελ. 58 [4] Ι. Κ. Χατζηλάου: «Ηλεκτρικές Μηχανές», η έκδοση, Σ.Ν.Δ., 98, σελ. 5. [5] ( Bureau International des Poids et Mesures ) [6] [7] (U.S. s National Institute of Standards and Technolog (NIST)) [8] [9] [] [] [] Ι-36

43 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ II ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ Περίληψη: Σ αυτό το παράρτημα παρουσιάζονται ορισμένα στοιχεία μαθηματικών εννοιών και σχέσεων που είναι αναγκαία για την αντιμετώπιση των ζητημάτων της ηλεκτροτεχνίας, όπως βασικές σχέσεις τριγωνομετρίας, συναρτήσεις, παράγωγοι, ολοκληρώματα, πίνακες, ορίζουσες, συστήματα γραμμικών εξισώσεων, διανύσματα, μιγαδικοί αριθμοί, γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, πιθανότητες, συνδυαστική. Παράλληλα στις περισσότερες περιπτώσεις παρουσιάζονται χαρακτηριστικά παραδείγματα εφαρμογής από την επιστήμη της ηλεκτροτεχνίας. Τονίζεται ότι σε καμία περίπτωση το παρόν δεν αντικαθιστά τα σχετικά μαθήματα μαθηματικών, καθώς δεν συνοδεύεται ως επί το πλείστον από αποδείξεις και δεν διακρίνεται για την αναγκαία μαθηματική αυστηρότητα ή την πληθώρα των ασκήσεων, που χρειάζονται. Ουσιαστικά πρόκειται για μία σύνοψη αναγκαίων σχέσεων. Σκοπός αυτού του κεφαλαίου μετά τη μελέτη από το σπουδαστή είναι: να γνωρίσει τα αναγκαία μαθηματικά εργαλεία για την αντιμετώπιση των προβλημάτων ηλεκτροτεχνίας, να συνειδητοποιήσει την αναγκαιότητα των μαθηματικών σε πρακτικά ζητήματα. Αναγκαίες Γνώσεις: Μαθηματικά Λυκείου Παράγραφοι που μπορούν να παραληφθούν σε σύντομη ανάγνωση: ΙΙ..6.5, ΙΙ..6.8, ΙΙ.4.3.6, ΙΙ.4.3.7, ΙΙ ως ΙΙ.4.4., ΙΙ.5..6, ΙΙ.5..7, ΙΙ.5.., ΙΙ.6., ΙΙ.6.3., ΙΙ.7 II. Τριγωνομετρία II.. Ορισμοί τριγωνομετρικών συναρτήσεων Έστω το τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος ΙΙ., όπου ΟΑ, ΟΒ είναι οι δύο κάθετες πλευρές και ΑΒ η υποτείνουσα. Η γωνία «φ» σχηματίζεται έχοντας ως κορυφή την κορυφή Α του τριγώνου και ως πλευρές την ΟΑ, γνωστή ως προσκείμενη πλευρά, και την ΑΒ, ενώ η ΟΒ είναι η απέναντι πλευρά. Εναλλακτικά «φ» γράφεται και ως εξής: Β φ = OAB (II.) φ Ο Α Σχήμα ΙI.: Τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο προς ορισμό τριγωνομετρικών συναρτήσεων. ΙΙ-

44 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Με βάση το σχήμα ΙΙ. ορίζονται οι εξής τριγωνομετρικές συναρτήσεις: απέναντι πλευρά OB Ημίτονο: sin φ υποτείνουσα AB (II.) προσκείμενη πλευρά OΑ Συνημίτονο: cosφ υποτείνουσα AB (II.3) απέναντι πλευρά ΟB Εφαπτόμενη: tanφ = = προσκείμενη πλευρά ΟA (II.4) Συνεφαπτόμενη: προσκείμενη πλευρά ΟA cotφ = απέναντι πλευρά = ΟB (II.5) II.. Κύριες μετρικές σχέσεις τριγώνου Στο τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος ΙΙ. υπενθυμίζεται το πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ότι «το τετράγωνο της υποτείνουσας πλευράς του ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών»: Πυθαγόρειο θεώρημα σε τρίγωνο σχήματος ΙΙ.: AB =OA +OB (II.6) Αντίστοιχα με χρήση του τυχαίου τριγώνου του σχήματος ΙΙ. υπενθυμίζεται το θεώρημα του συνημιτόνου, σύμφωνα με το οποίο ισχύει ότι «το τετράγωνο της πλευράς ΑΒ είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ΑΓ και ΒΓ αφαιρώντας το διπλάσιο γινόμενο των δύο τελευταίων πλευρών (ΑΓ και ΒΓ) με το συνημίτονο της γωνίας που είναι απέναντι της ΑΓ»: Θεώρημα συνημιτόνων σε ΑΓΒ σχ. ΙΙ.: AB =A Γ +BΓ AΓ ΒΓ cos( ΑΓΒ ) (II.7) Αντίστοιχα με κυκλική εναλλαγή προκύπτουν τα εξής: Θεώρημα συνημιτόνων σε ΑΒΓ σχ. ΙΙ.: A Γ =AB +BΓ AB ΒΓ cos( ΑΒΓ ) (II.8) Θεώρημα συνημιτόνων σε ΓΑΒ σχ. ΙΙ.: Β B Γ =AB + AΓ AB AΓ cos( ΓΑΒ ) (II.9) Γ Σχήμα ΙI.: Τυχαίο τρίγωνο προς διατύπωση νόμων ημιτόνων και συνημιτόνων. Αντίστοιχα με χρήση του τυχαίου τριγώνου του σχήματος ΙΙ. υπενθυμίζεται το θεώρημα του ημιτόνου, σύμφωνα με το οποίο ισχύει ότι «τα τρία κλάσματα που προκύπτουν σε ένα τρίγωνο από το λόγο της εκάστοτε πλευράς προς το ημίτονο της απέναντι γωνίας προς αυτήν είναι ίσα μεταξύ τους»: φ Α Θεώρημα ημιτόνων σε σχέση με σχ. ΙΙ.: AB AΓ BΓ = = sin ( ΑΓΒ) sin ( ΑΒΓ ) sin ΓΑΒ (II.) ΙΙ-

45 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΙ- Στο τρίγωνο ισχύος του σχήματος ΙΙ.3 η ενεργός ισχύς είναι ίση με 8 Watt, η άεργος με 6 var. Να προσδιορισθεί η φαινόμενη ισχύς. S =? Q = 6 var Σχήμα ΙI.3: Τρίγωνο ισχύος. P = 8 Watt Λύση Ουσιαστικά πρόκειται για ένα «τρίγωνο» που έχει ως κάθετες πλευρές την ενεργό και την άεργο ισχύ και ως υποτείνουσα τη φαινόμενη, όπως παρουσιάζεται στο σχήμα ΙΙ.3. Οπότε με εφαρμογή του πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει ότι: S =P +Q S =8 +6 = S = VA = kva ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΙ- Δίνεται η πειραματική διάταξη του σχήματος ΙΙ.4α των τριών αμπερομέτρων και της αντίστασης εν παραλλήλω R / προς προσδιορισμό του άγνωστου συντελεστή ισχύος του φορτίου Z L. Με τα τρία αμπερόμετρα Α, Α, Α 3 μετριούνται οι ενεργές τιμές της έντασης I t, I R /, I Z. Το σχετικό διανυσματικό διάγραμμα (στην πραγματικότητα διάγραμμα φασιθετών) δίνεται στο σχήμα ΙΙ.4β. Να προσδιορισθεί ο συντελεστής ισχύος με βάση τις ενδείξεις των ρευμάτων των οργάνων. Α Α Α 3 + (β) Ανυσματικό διάγραμμα εντάσεων (α) Πειραματική διάταξη με Ζ επαγωγικό φορτίο Σχήμα ΙI.4: Μέτρηση συντελεστή ισχύος με τη χρήση τριών αμπερομέτρων και βοηθητικής αντίστασης εν παραλλήλω. Λύση Από την εφαρμογή του νόμου του συνημιτόνου στο τρίγωνο (ΑΒΓ) για τη γωνία της κορυφής Β ( ΑΒΓ ) του σχήματος ΙΙ.4β προκύπτει ότι: A Γ =AB +BΓ AB ΒΓ cos ( ΑΒΓ) R I ˆt I ˆ t / Z / Z R I ˆZ / + + I = I + I I I cos 8 o φ I = I + I + I I cos φ / / R Ê ~ R / Ζ t R Z R Z ( / Z) I I I cosφ = I I t + R R / Z Α I ˆZ φ I ˆ R/ Β I ˆt φ Γ Ê (II.) II-3

46 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας II..3 Τριγωνομετρικός κύκλος Ο τριγωνομετρικός κύκλος του σχήματος ΙΙ.5 είναι ένας κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των ορθογωνίων καρτεσιανών συντεταγμένων και ακτίνα μονάδα. sin / w / tan u cot + Β Ρ Ζ + u / Ν ΙΙ Λ Ι Μ Ε π-θ θ Κ + cos Γ Ο -θ Α / Η ΙΙΙ Σ IV Ξ Π Δ Σχήμα ΙI.5: Τριγωνομετρικός κύκλος. w Ο οριζόντιος άξονας / είναι ο άξονας των συνημιτόνων (cos) και ο κατακόρυφος άξονας / είναι ο άξονας των ημιτόνων (sin). Για τους άξονες αυτούς, η αρχή είναι το σημείο Ο και οι τιμές + και αντιστοιχούν στα σημεία Α και Γ για τον άξονα των συνημιτόνων και Β και Δ για τον άξονα των ημιτόνων, όπως φαίνεται στο σχήμα ΙΙ.5. Ο κατακόρυφος άξονας ww / είναι ο άξονας των εφαπτομένων (tan). Έχει αρχή το σημείο Α και το + αντιστοιχεί στο σημείο Ρ. Αντίστοιχα ο οριζόντιος άξονας uu / είναι ο άξονας των συνεφαπτομένων (cot). Έχει αρχή το σημείο Β και το + αντιστοιχεί στο σημείο Ρ. Τα τόξα θεωρούνται πάντα προσημασμένα και έχουν ως αρχή το σημείο Α. Δηλαδή το σημείο Α είναι η αρχή των τόξων και αντιστοιχεί στο + του άξονα των συνημιτόνων και στο του άξονα των εφαπτομένων. Κατά την κίνηση από το σημείο Α αριστερόστροφα (αντιωρολογιακά) διαγράφονται θετικά τόξα, ενώ κατά τη δεξιόστροφη (ωρολογιακή) κίνηση διαγράφονται αρνητικά τόξα. Τα τόξα μετρώνται σε μοίρες ( ο ) ή σε ακτίνια (rad). Ένα τόξο έχει τιμή σε ακτίνια ίση με το μήκος του τόξου διαιρεμένου με την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου. Επειδή ολόκληρος ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει μήκος περιφέρειας π, η γωνία των 36 ο είναι ίση με π /=π ακτίνια. Ένα τόξο θ που μετριέται σε μοίρες ( ο ) συνδέεται με τα ακτίνια (rad) μέσω της σχέσης: o θ 8 o = θ rad π rad (II.) ΙΙ-4

47 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Με βάση τη σχέση (II.) γίνεται η μετάβαση από μοίρες σε ακτίνια ή και αντίστροφα. Οι ο αντιστοιχούν σε rad, oι 3 ο σε π/6 rad, oι 45 ο σε π/4 rad, oι 6 ο σε π/3 rad, oι 9 ο σε π/ rad, oι 8 ο σε π rad και οι 7 ο σε 3π/ rad, όπως φαίνεται και στον πίνακα ΙΙ.. Το σημείο Α είναι το πέρας του τόξου rad, το σημείο Β είναι το πέρας του τόξου π/ rad, το σημείο Γ είναι το πέρας του τόξου π rad ή του τόξου π rad και το σημείο Δ είναι το πέρας του τόξου 3π/ rad ή του τόξου π/ rad. Έστω ότι το τόξο ΑΜ =θ. Επίσης η αντίστοιχη επίκεντρος γωνία ΑΟΜ συμβολίζεται με θ. Το πέρας Μ του τόξου θ προβάλλεται στον άξονα των συνημιτόνων και στον άξονα των ημιτόνων στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Ως συνημίτονο του τόξου θ ορίζεται το προσημασμένο μήκος του τμήματος ΟΚ και ως ημίτονο το προσημασμένο μήκος του τμήματος ΟΛ, δηλαδή: cosθ = ΟΚ = προσημασμένο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΚ sin θ = ΟΛ = προσημασμένο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΛ (II.3) (II.4) Ακολούθως προεκτείνεται η ακτίνα ΟΜ μέχρι αυτή να τμήσει τον άξονα των εφαπτομένων στο σημείο Ε και τον άξονα των συνεφαπτομένων στο σημείο Ζ. Η εφαπτόμενη και η συνεφαπτόμενη του τόξου θ ορίζονται ως εξής: tan θ = ΑΕ = προσημασμένο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΕ cot θ = ΒΖ = προσημασμένο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΒΖ (II.5) (II.6) Επειδή το σημείο Κ βρίσκεται πάντοτε μεταξύ των σημείων Γ και Α, που αντιστοιχούν στις τιμές και +, ισχύει πάντα cosθ +. Ομοίως, επειδή το σημείο Λ βρίσκεται πάντοτε μεταξύ των σημείων Δ και Β, που αντιστοιχούν στις τιμές και +, ισχύει πάντα sinθ +. Αντίθετα, τα σημεία Ε και Ζ μπορούν να βρίσκονται οπουδήποτε πάνω στους άξονες των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων αντίστοιχα. Για το λόγο αυτό δεν υπάρχουν περιορισμοί στις τιμές που μπορούν να πάρουν οι tanθ και cotθ. Όμως, αν το σημείο Μ συμπέσει με το σημείο Β ή με το σημείο Δ, η ΟΜ δεν τέμνει τον άξονα των εφαπτομένων. Επομένως, για τα τόξα π/ και π/ rad δεν ορίζεται η εφαπτόμενη. Ομοίως, αν το σημείο Μ συμπέσει με το σημείο Α ή με το σημείο Γ, η ΟΜ δεν τέμνει τον άξονα των συνεφαπτομένων. Επομένως, για τα τόξα και π rad δεν ορίζεται η συνεφαπτόμενη. Δηλαδή ισχύουν: cosθ (II.7) sinθ (II.8) tan θ : Δεν ορίζεται για π/ ή π/ rad cot θ : Δεν ορίζεται για π ή rad (II.9) (II.) Τα τόξα που βρίσκονται στο πρώτο τεταρτημόριο (τεταρτημόριο Ι) έχουν όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς θετικούς, τα τόξα που βρίσκονται στο δεύτερο τεταρτημόριο (τεταρτημόριο ΙΙ) έχουν θετικό ημίτονο και αρνητικούς όλους τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς, τα τόξα που βρίσκονται στο τρίτο τεταρτημόριο (τεταρτημόριο ΙΙΙ) έχουν αρνητικά συνημίτονο και ημίτονο και θετικές εφαπτόμενη και συνεφαπτόμενη και τα τόξα που βρίσκονται στο τέταρτο τεταρτημόριο (τεταρτημόριο ΙV) II-5

48 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας έχουν θετικό συνημίτονο και αρνητικούς όλους τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Τα τόξα θ και π+θ διαφέρουν κατά π. Έχουν την ίδια αρχή (σημείο Α) και το ίδιο πέρας (σημείο Μ). Επομένως, έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Γενικά, τα τόξα θ και k π+θ, k Z (Ζ είναι το σύνολο των προσημασμένων ακέραιων αριθμών), έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς, δηλαδή ισχύουν: cos θ = cos k π+θ :k Z (II.) sinθ = sin k π+θ :k Z (II.) tan θ = tan k π+θ :k Z (II.3) cot θ = cot k π+θ :k Z (II.4) Για το λόγο αυτό συνήθως η μελέτη περιορίζεται σε γωνίες του διαστήματος ( π, π] ή [,π) που καλύπτουν ολόκληρο τον τριγωνομετρικό κύκλο. Αν προεκταθεί η ακτίνα ΟΜ προς το μέρος του σημείου Ο μέχρι να τμήσει ξανά τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Η, τότε τα τόξα AM και AH διαφέρουν κατά π. Οπότε AH =θ+π ή AH =θ π και τα τόξα AM και AH έχουν ίσες εφαπτόμενες και συνεφαπτόμενες. Δηλαδή ισχύουν: tan θ = tan θ+π (II.5) tan θ = tan θ-π (II.6) cot θ = cot θ+π (II.7) cot θ = cot θ-π (II.8) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΕ και ΖΒΟ είναι όμοια (καθώς είναι ορθογώνια και οι γωνίες OEA και BOZ είναι ίσες ως εντός εναλλάξ γωνίες) και γι αυτό ισχύει: ΟΑ ΒΖ ΒΖ = = ΑΕ ΒΖ= ΑΕ ΒΟ ΑΕ Αν το τόξο θ βρίσκεται στο πρώτο ή στο τρίτο τεταρτημόριο τα ΑΕ και ΒΖ είναι θετικά και ίσα με ΑΕ και ΒΖ αντίστοιχα. Επομένως, η σχέση ΑΕ ΒΖ= γράφεται και ως ΑΕ ΒΖ =. Αν το τόξο θ βρίσκεται στο δεύτερο ή στο τέταρτο τεταρτημόριο τα ΑΕ και ΒΖ είναι αρνητικά και ίσα με ΑΕ και ΒΖ αντίστοιχα. Επομένως, η σχέση ΑΕ ΒΖ= γράφεται και ως ( ΑΕ ) ( ΒΖ )= ΑΕ ΒΖ =. Οπότε τελικά προκύπτει ότι: ΑΕ ΒΖ = tan θ cot θ = (II.9) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΚΜ και ΟΑΕ είναι όμοια (καθώς είναι ορθογώνια και έχουν κοινή τη γωνία ΚΟΜ ) και γι αυτό ισχύει: ΙΙ-6

49 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ ΚΜ ΑΕ ΚΜ ΑΕ ΚΜ ΚΜ=ΟΛ ΟΛ = = ΑΕ= ΑΕ= ΟΚ ΟΑ ΟΚ ΟΚ ΟΚ Η τελευταία σχέση ισχύει σε όποιο τεταρτημόριο και αν βρίσκεται το τόξο θ. Αν το τόξο θ βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, τα ΑΕ, ΟΚ και ΟΛ είναι θετικά και ίσα με ΑΕ, ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα, οπότε ισχύει ότι: ΟΛ ΑΕ = ΟΚ Η τελευταία σχέση ισχύει σε όποιο τεταρτημόριο και αν βρίσκεται το τόξο θ. Π.χ. αν βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, ΑΕ και ΟΚ είναι αρνητικά και ίσα με ΑΕ και ΟΚ αντίστοιχα, και το ΟΛ θετικό και ίσο με ΟΛ επιβεβαιώνοντας την τελευταία σχέση. Οπότε, εφόσον το ΟΛ δεν είναι μηδενικό (δηλαδή το αντίστοιχο συνημίτονο δεν μηδενίζεται), προκύπτει τελικά: Ομοίως αποδεικνύεται ότι: sin θ tan θ = : θ k π + π/ (II.3) cos θ cos θ cot θ = : θ k π (II.3) sin θ Εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΜ λαμβάνεται ότι: ΚΜ=ΟΛ ΟΚ + ΚΜ = ΟΜ = = ΟΚ + ΟΛ = Ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το τόξο θ, ισχύει ότι ΟΚ =ΟΚ ή ΟΚ = ΟΚ και ΟΛ =ΟΛ ή ΟΛ = ΟΛ. Οπότε προκύπτει ότι: ΟΚ +ΟΛ = sin θ + cos θ = (II.3) Όσον αφορά τα αντίθετα τόξα, έστωσαν τα τόξα θ και θ που έχουν αρχή το σημείο Α και καταλήγουν στα σημεία Μ και Ξ αντίστοιχα, τα οποία είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα των συνημιτόνων. Επομένως, οι προβολές τους στον άξονα των συνημιτόνων ταυτίζονται στο σημείο Κ και οι προβολές τους στον άξονα των ημιτόνων Λ και Σ, αντίστοιχα, είναι συμμετρικές ως προς το σημείο Ο. Επομένως προκύπτουν: cos( -θ) = cosθ (II.33) sin (-θ) = sinθ (II.34) Ομοίως τα σημεία Ε και Π που ορίζουν την εφαπτόμενη tanθ και την εφαπτόμενη tan( θ) αντίστοιχα είναι συμμετρικά ως προς την αρχή Α του άξονα των εφαπτομένων λαμβάνοντας τη σχέση: tan (-θ) = tanθ (II.35) II-7

50 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Η τελευταία μπορεί να προκύψει με αξιοποίηση της σχέσης (II.3), όπου συσχέτιζονται εφαπτόμενη ημίτονο συνημίτονο, των σχέσεων (II.33) και (II.34), όπου συνδέονται συνημίτονα και ημίτονα αντίθετων τόξων. Ομοίως προκύπτει ότι: cot (-θ) = cotθ (II.36) Με ακριβώς παρόμοια διαδικασία μπορούν να προσδιοριστούν οι σχέσεις των τόξων των παραπληρωματικών γωνιών (γωνιών που το άθροισμα τους είναι π rad, δηλαδή 8 ο ), των συμπληρωματικών γωνιών (γωνιών που το άθροισμα τους είναι π/ rad, δηλαδή 9 ο ), των γωνιών που διαφέρουν κατά π rad και των γωνιών που διαφέρουν κατά π/ rad. Τέλος στον πίνακα ΙΙ. συνοψίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων, οι οποίοι εύκολα δύνανται να προκύψουν μέσω του τριγωνομετρικού κύκλου. Πίνακας ΙI.: Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών τόξων θ ( ο ) o 3 o 45 o 6 o 9 o 8 o 7 o 36 o θ (rad) π/6 π/4 π/3 π/ π 3 π/ π sinθ / / 3/ - cosθ 3/ / / - tanθ 3/3 3 ctanθ 3 3/3 Εναλλακτικά τα μεγέθη των τριγωνομετρικών αριθμών των 3 ο, 45 ο και 6 ο εύκολα μπορούν να προκύψουν από το σχήμα ΙΙ.6 μέσω των ορθογωνίων τριγώνων ΟΑΒ (με κάθετες πλευρές, 3 και υποτείνουσα, το οποίο έχει προκύψει ουσιαστικά από το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς, με συνέπεια οι γωνίες ΟΒΑ και ΟΑΒ να είναι των 3 ο και των 6 ο αντίστοιχα) και ΔΕΖ (με κάθετες πλευρές ίσες με και υποτείνουσα, που ουσιαστικά είναι ισοσκελές). Π.χ. o ΟΒ 3 Τρίγωνο ΟΑΒ: sin 6 = = ΑΒ o ΟΒ 3 Τρίγωνο ΟΑΒ: tan 3 = = = 3 ΟΑ o Τρίγωνο ΔΕΖ: ( ΔΖ cos 45 = cos ΔΖΕ ) = = = ΕΖ Β Ε 3 3 ο 45 ο Γ = 6 ο 45 ο Ο Α / = Δ Ζ Σχήμα ΙI.6: Τρίγωνα προς εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών 3 ο, 45 ο και 6 ο. ΙΙ-8

51 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ II..4 Τριγωνομετρικές ταυτότητες Στη συνέχεια παρατίθενται το βασικό σύνολο των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων άνευ αποδείξεων, οι οποίες βρίσκονται σε βιβλία τριγωνομετρίας [-4] και δύνανται να προκύψουν από τον τριγωνομετρικό κύκλο ή από αξιοποίηση των ήδη υπαρχόντων ταυτοτήτων. Για λόγους απλοποίησης δεν γράφονται τυχόν περιορισμοί που πρέπει να ισχύουν κατά την εφαρμογή των κατωτέρω σχέσεων. Γενικές σχέσεις tan θ cot θ = (II.9) sin θ tan θ = cos θ (II.3) cos θ cot θ = sin θ sin θ + cos θ = Παραπληρωματικές γωνίες cos( π -θ) sin ( π -θ) tan ( π -θ) cot ( π -θ) Συμπληρωματικές γωνίες π cos -θ = sin θ π sin -θ = cosθ π tan -θ = cot θ (II.3) (II.3) = cosθ (II.37) = sinθ (II.38) = tan θ (II.39) = cotθ (II.4) (II.45) (II.46) (II.47) π cot -θ = tan θ (II.48) Τριγωνομετρικά αναπτύγματα Αντίθετες γωνίες cos( -θ) = cosθ (II.33) sin (-θ) = sinθ (II.34) tan (-θ) = tanθ (II.35) cot (-θ) = cotθ (II.36) Γωνίες που διαφέρουν κατά π rad cos( π+ θ) = cosθ (II.4) sin ( π+ θ) = sinθ (II.4) tan ( π+θ) = tan θ (II.43) cot ( π+ θ) = cotθ (II.44) Γωνίες που διαφέρουν κατά π/ rad π cos + θ = sin θ π sin + θ = cosθ π tan + θ = cot θ π cot + θ = tan θ (II.49) (II.5) (II.5) (II.5) sin ( a+b ) = sin a cos b + cos a sin b (II.53) cos a+b = cos a cos b sin a sin b (II.54) tan a + tan b tan ( a+b ) = (II.55) tan a tanb cot a cot b cot ( a+b ) = cot a + cot b (II.56) sin ( a b ) = sin a cos b cos a sin b (II.57) cos( a b ) = cos a cos b + sin a sin b (II.58) II-9

52 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Μετατροπές γινομένων σε αθροίσματα Μετατροπές αθροισμάτων σε γινόμενα tan a tan b tan ( a b ) = + tan a tanb cot a cot b + cot ( a b ) = cot b cot a (II.59) (II.6) sin a cos b = sin ( a+b ) +sin ( a b) (II.6) cos a cos b = cos ( a+b ) +cos( a b) (II.6) sin a sin b = cos( a b) cos( a+b) (II.63) a+b a b sin a + sin b = sin cos a b a+ b sin a sin b = sin cos a+b a b cos a + cos b = cos cos a+b a b cos a cos b = sin sin (II.64) (II.65) (II.66) (II.67) Τριγωνομετρικά αναπτύγματα διπλάσιων γωνιών sin a = sin a cos a = tan a + tan a (II.68) cos a sin a tan a cosa = cos a = tan a + sin a tana tana = tan a cot a tan a cot a = = cota tana Τριγωνομετρικά αναπτύγματα τριπλάσιων γωνιών (II.69) (II.7) (II.7) 3 sin 3a = 3 sin a 4 sin a (II.7) 3 cos3a = 4 cos a 3 cos a (II.73) ΙΙ-

53 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ tan 3a = cot 3a = 3 3 tan a tan a 3 tan a 3 cot a 3 cot a 3cot a (II.74) (II.75) Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών από διπλάσιες γωνίες ή από εφαπτομένη cosa tan a sin a = ± = ± + tan a + cos a cos a = ± = ± + tan a (II.76) (II.77) tan a = ± cosa + cosa (II.78) ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΙ-3 Να προσδιορισθεί η καταναλισκόμενη στιγμιαία ισχύς πάνω σε μία σύνθετη αντίσταση σε ένα μονοφασικό δίκτυο στα άκρα της οποίας αναπτύσσεται μία εναλλασσόμενη τάση vt () = V cos( ω t+ ψ v ), όταν διαρρέεται από ρεύμα έντασης it () = I cos ( ω t+ ψ ). i Η στιγμιαία ισχύς δίνεται από τη σχέση: Οπότε προκύπτει: Λύση p() t = v() t i() t ( ω ψ ) ( ω ψ ) pt = V cos t+ I cos t+ v ( ω ψ ) ( ω ψ ) pt () = V I cos t+ cos t+ Με εφαρμογή της σχέσης (II.6) προκύπτει: pt () = V I cos( ( ω t+ ψv) ( ω t+ ψi) ) + cos( ( ω t+ ψv) + ( ω t+ ψi) ) ( ψ ψ ) ( ω ψ ψ ) v pt () = V I cos v i + cos t+ v + i v ( φ) ( ω φ ψ ) pt () = V I cos + cos t+ + i i i φ= ψ ψ Όπου φ = ψv ψi είναι η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και της έντασης του στοιχείου. Ουσιαστικά παρατηρείται η στιγμιαία ισχύς ενός μονοφασικού δικτύου έχει μία σταθερή V I cos φ και μία κυμαινόμενη συνιστώσα ως προς το χρόνο συνιστώσα ( ω t φ ψ ) V I cos + + i διπλάσιας συχνότητας από την επιβαλλόμενη τάση ή το επιβαλλόμενο ρεύμα. i II-

54 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας II. Συναρτησιακή Ανάλυση II.. Ορισμός συνάρτησης II... Ορισμός συνάρτησης μίας μεταβλητής Η πραγματική συνάρτηση μίας μεταβλητής με πεδίο ορισμού Α (υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών ) είναι μία διαδικασία (ή αλλιώς ένας κανόνας) f, σύμφωνα με την οποία κάθε στοιχείο Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο, που αποτελεί και την τιμή της f στο και συμβολίζεται ως = f(). Δηλαδή: f : A = f() (II.79) Διευκρινίζονται τα εξής: Το σύνολο όλων των στοιχείων του, που το καθένα είναι αντίστοιχο ενός τουλάχιστον στοιχείου του πεδίου ορισμού Α, ονομάζεται σύνολο τιμών της συνάρτησης f και συμβολίζεται με f(a). Δηλαδή: = { } f A : υπάρχει A τέτοιο, ώστε = f() (II.8) Η χρήση της ανεξάρτητης μεταβλητής ως, της εξαρτημένης μεταβλητής ως και του κανόνα ως f δεν είναι μοναδικές ή υποχρεωτικές. Δηλαδή μπορεί να υπάρξει και διαφορετικός συσχετισμός συμβόλων. Π.χ. το εμβαδόν Ε ενός τετραγώνου πλευράς διάστασης α δίνεται από τη συνάρτηση g: g : + α E=g α =α Στην περίπτωση της ηλεκτροτεχνίας η ένταση Ι ενός εναλλασσόμενου ημιτονοειδούς ρεύματος συναρτήσει του χρόνου t δίνεται από τη συνάρτηση i: i : + () I ( ω θ ) t I = i t = cos t + Όπου Ι είναι το πλάτος σε Α, ω η κυκλική συχνότητα σε rad/s και θ η αρχική γωνία σε rad. Δύο συναρτήσεις f και g θεωρούνται ίσες, όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε Α ισχύει ότι f()= g(). Δηλαδή: f = g όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α & A : f()=g() (II.8) Οι πράξεις που επιτρέπονται μεταξύ δύο συναρτήσεων f και g για το κοινό τμήμα του πεδίων ορισμού τους είναι το άθροισμα, η αφαίρεση, το γινόμενο και το πηλίκο αντιστοίχως με τις σχέσεις: Άθροισμα: Αφαίρεση: f+g = f + g (II.8) f-g = f g (II.83) ΙΙ-

55 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Γινόμενο: f g = f g (II.84) Πηλίκο: f f = g g (II.85) Η σύνθεση της συνάρτησης f με τη g είναι μία νέα συνάρτηση που έχει προκύψει ως εξής: Αν f είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και g είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού B, όπου το πεδίο τιμών f(a) είναι υποσύνολο του Β (ή γενικότερα για το κοινό σύνολο του f(a) με το Β) ορίζεται ως σύνθεση της f με τη g η νέα συνάρτηση: gf : A ( ) g f ()=g f (II.86) Π.χ. έστω ότι δίνονται οι συναρτήσεις f() = sin, με f(a)=[-,] και g() = 3 -, B, B=. Οπότε, αφού f(a) B, η σύνθεση της f με τη g ορίζεται στο και για κάθε ισχύει: ( ) g f =g f =g sin =3 sin - sin =3 sin -sin Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α είναι μία συνάρτηση «ένα προς ένα», όταν για κάθε, A ισχύει: αν, τότε f f ή αν f = f, τότε = Πρακτικά κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα τέμνει τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης «ένα προς ένα» το πολύ σε ένα σημείο. Στην περίπτωση μίας συνάρτησης f «ένα προς ένα» ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f - με πεδίο ορισμού το f(a) και πεδίο τιμών Α, καθώς κάθε στοιχείο f(a) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό αρχέτυπο του Α. Δηλαδή: - f : f(a) - = f () (II.87) Πρακτικά ισχύει ότι: - = f () = f() (II.88) Επίσης οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία =, δηλαδή τη διχοτόμο των ορθών γωνιών του ου και του 3 ου τεταρτημορίου των καρτεσιανών αξόνων στο επίπεδο. Π.χ. έστω η συνάρτηση f() = e, με f(a)=[, ). Η συνάρτηση αυτή είναι «ένα προς ένα», καθώς, αν f( )= f( ) e = e =. Οπότε η αντίστροφη της είναι: [ ) - - f :,, = f () = ln Δηλαδή ουσιαστικά η αντίστροφη συνάρτηση της e είναι πρακτικά η ln. II-3

56 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Μία συνάρτηση f λέγεται άρτια, όταν ισχύει: f : A Α: f()=f(-) f άρτια (II.89) Μία συνάρτηση f λέγεται περιττή, όταν ισχύει: f : A Α: f()= f( ) f περιττή (II.9) Μία συνάρτηση f λέγεται περιοδική με περίοδο Τ, όταν ισχύει: f : A Α: f()=f(+τ) f περιοδική με περίοδο Τ (II.9) II... Ορισμός συνάρτησης πολλών μεταβλητών Πέρα όμως από τη συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής μπορεί να υπάρξει συνάρτηση μιγαδικών μεταβλητών, όπου τόσο το πεδίο ορισμού, όσο και το πεδίο τιμών μπορεί να ανήκουν στο μιγαδικό επίπεδο (ουσιαστικά είναι συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών). Γενικότερα, ορίζεται μία συνάρτηση F πολλών μεταβλητών,, 3,, v, με πεδίο ορισμού υποσύνολο του ν-διάστατου χώρου ν, που απεικονίζει τις μεταβλητές,, 3,, μ με πεδίο τιμών υποσύνολο του μ-διάστατου χώρου μ. Δηλαδή: F : A ν μ όπου,,,...,,,,..., = F(,,,..., ) 3 ν 3 μ 3 ν f : A j ν,,,..., = f (,,,..., ) 3 ν j j 3 ν (II.9) Όσον αφορά τη χρήση των συμβόλων ισχύουν τα όσα αναφέρθηκαν στη συνάρτηση μίας μεταβλητής. Π.χ. το εμβαδόν Ε ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου πλευρών διάστασης και δίνεται από τη συνάρτηση g: + + g :, E=g, = Στην περίπτωση της ηλεκτροτεχνίας η θερμότητα Q που αποδίδει μία ωμική αντίσταση τιμής R, που διαρρέεται από συνεχές ρεύμα έντασης Ι για χρονικό διάστημα t δίνεται από τη συνάρτηση q: i : R, I, t Q = q R, I, t = I R t Οι ιδιότητες περί ισότητας των συναρτήσεων και των πράξεων μεταξύ των συναρτήσεων επεκτείνονται άμεσα και αντίστοιχα. Άλλα στοιχεία ξεφεύγουν από το πλαίσιο του παρόντος παραρτήματος. ΙΙ-4

57 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ II.. Όριο συνάρτησης II... Πεπερασμένο όριο συνάρτησης μίας μεταβλητής Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε σύνολο της μορφής ( -α, )U(, +α). Η συνάρτηση f έχει στο σημείο όριο, όταν για κάθε ε> υπάρχει δ> τέτοιο ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με < - <δ να ισχύει ότι f()- <ε, δηλαδή: ( a ) ( a) ε δ :, U, lim f()= και < δ f ε > > + < < (II.93) Ομοίως η συνάρτηση f έχει στο σημείο δεξιό όριο, όταν για κάθε ε> υπάρχει δ> τέτοιο ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με <- <δ να ισχύει ότι f()- <ε, δηλαδή: ( a) ε δ :, lim f()= + και < δ f ε > > + < < (II.94) Ομοίως η συνάρτηση f έχει στο σημείο αριστερό όριο, όταν για κάθε ε> υπάρχει δ> τέτοιο ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με < -<δ να ισχύει ότι f()- < ε, δηλαδή: ( a ) ε δ :, lim f()= και < < δ f < ε > > Διευκρινίζονται τα εξής: Για μία συνάρτηση f ισχύει η ισοδυναμία: + (II.95) lim f()= lim f()= lim f()= (II.96) Αν μία συνάρτηση f έχει στο σημείο όριο, αυτό είναι μοναδικό. Αν lim f()= και lim g()= m με, m, τότε: [ ] lim f()+g() = + m (II.97) [ ] : c ( =σταθερό) lim c f() =c [ ] (II.98) lim f() g() = m (II.99) f() lim = : m (II.) g() m [ ] ν lim f() = ν (II.) ν ν lim f() = : f() (II.) II-5

58 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας lim f()= ( a ) ( a) lim f() = (II.3), U, + : f() g() & lim g()= lim f() = (II.4) ( a ) ( a) Αν, U, + : f() g() ( a ) ( a) lim f() lim g() (II.5) Αν, U, + : h() f() g() lim h()= & lim g()= lim f()= (II.6) Σύνθεση συναρτήσεων: Έστω ότι δίνονται οι συναρτήσεις u=f() και =g(u). Αν για κάθε ισχύει ότι lim f() = u, f() u, ενώ lim g(u)=, τότε προκύπτει ότι: u u lim f(g())= lim g(u)= u u (II.7) II... Άπειρο όριο συνάρτησης μίας μεταβλητής Πάλι έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε σύνολο της μορφής ( -α, )U(, +α). Η συνάρτηση f έχει στο σημείο θετικό άπειρο όριο, όταν για κάθε Μ> υπάρχει δ> τέτοιο ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με < - <δ να ισχύει ότι f()>μ, δηλαδή: ( a ) ( a) M > δ > :, U, + lim f()=+ και < < δ f > M (II.8) Ομοίως η συνάρτηση f έχει στο σημείο αρνητικό άπειρο όριο, όταν για κάθε Μ> υπάρχει δ> τέτοιο ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με < - <δ να ισχύει ότι f()<-μ, δηλαδή: ( a ) ( a) M > δ > :, U, + lim f()= και < < δ f < M (II.9) Όμοια με ορισμούς σχέσεων (II.94) και (II.95) επεκτείνονται οι ορισμοί των πλευρικών ορίων σε τιμές απείρου. Δηλαδή για μία συνάρτηση f ισχύουν οι ισοδυναμίες: lim f()= lim f()=+ lim f()=+ (II.) + + lim f()= lim f()= lim f()= (II.) Αντίστοιχα ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες / προτάσεις: [ ] lim f()= lim f() =+ (II.) lim f()=+ ή lim f()= lim f() =+, lim κ f() =+ (II.3) [ g ] lim f()=+ & lim g()=+ lim f() + () =+ (II.4) ΙΙ-6

59 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ [ g ] lim f()= & lim g()= lim f() + () = (II.5) [ g ] lim f()=+ & lim g()= lim f() + () =+ (II.6) [ g ] lim f()= & lim g()= lim f() + () = (II.7) [ g ] lim f()=+ & lim g()=+ lim f() () =+ (II.8) [ g ] lim f()= & lim g()= lim f() () = + (II.9) [ g ] lim f()= + & lim g()= lim f() () = (II.) +, αν > lim f()=+ & lim g()= \{} lim [ f() g() ] = (II.), αν <, αν > lim f()= & lim g()= \{} lim [ f() g() ] = (II.) +, αν < lim f()=+ ή lim f()= lim = (II.3) f() f() +, αν > lim f()= & lim g()= & g()> lim = g(), αν < f(), αν > g() < lim f()= & lim g()= & g()< lim = +, αν (II.4) (II.5) f() g() & lim f()=+ lim g()=+ (II.6) f() g() & lim g()= lim f()= (II.7) II...3 Όριο συνάρτησης μίας μεταβλητής που τείνει στο άπειρο Όσον αφορά τα όρια όταν το τείνει στο + ισχύουν τα ακόλουθα: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε σύνολο της μορφής (α, + ). Η συνάρτηση f έχει στο θετικό άπειρο, τιμή ορίου, όταν για κάθε ε> υπάρχει Κ> τέτοιο,ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με >Κ να ισχύει ότι f()- <ε, δηλαδή: ( a ) ε > K > :, + και > K f < ε lim f()= (II.8) + Η συνάρτηση f έχει στο θετικό άπειρο, τιμή ορίου θετικό άπειρο, όταν για κάθε Μ> υπάρχει Κ> τέτοιο ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με >Κ να ισχύει ότι f()>μ, δηλαδή: M > K > : a, + και > K f > M lim f()=+ (II.9) + II-7

60 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Η συνάρτηση f έχει στο θετικό άπειρο, τιμή ορίου αρνητικό άπειρο, όταν για κάθε Μ> υπάρχει Κ> τέτοιο ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με >Κ να ισχύει ότι f()<-μ, δηλαδή: M > K > : a, + και > K f < M lim f()= (II.3) + Ομοίως όσον αφορά τα όρια όταν το τείνει στο - ισχύουν τα ακόλουθα: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε σύνολο της μορφής (-,α). Η συνάρτηση f έχει στο αρνητικό άπειρο, τιμή ορίου, όταν για κάθε ε> υπάρχει Κ> τέτοιο ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με <-Κ να ισχύει ότι f()- < ε, δηλαδή: ( a) ε > K > :, και < K f < ε lim f()= (II.3) Η συνάρτηση f έχει στο αρνητικό άπειρο, τιμή ορίου θετικό άπειρο, όταν για κάθε Μ> υπάρχει Κ> τέτοιο ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με <-Κ να ισχύει ότι f()>μ, δηλαδή: M > K > :, a και < K f > M lim f()=+ (II.3) Η συνάρτηση f έχει στο αρνητικό άπειρο, τιμή ορίου αρνητικό άπειρο, όταν για κάθε Μ> υπάρχει Κ> τέτοιο ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με <-Κ να ισχύει ότι f()<-μ, δηλαδή: M > K > :, a και < K f < M lim f()= (II.33) Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες των ορίων στο άπειρο για λ θετικό ακέραιο: λ lim = + λ +, λ άρτιο lim =, λ περιττό λ lim = ± + (II.34) (II.35) (II.36) Στην περίπτωση των πολυωνύμων P() = α ν ν + α ν- ν- + α ν- ν α + α με α ν και Q() = b κ κ + b κ- κ- + b κ- κ b + b με b κ προκύπτει ότι: lim P()=α ± ν ν lim (II.37) ± lim = ν lim ± κ ± ν P() α (II.38) μ Q() b Οι σχέσεις (II.97) ως (II.6), (II.) ως (II.7) ισχύουν και στην περίπτωση που η ανεξάρτητη μεταβλητή τείνει στο οποιοδήποτε άπειρο και όχι σε πεπερασμένο αριθμό. Σημείωση: Όταν κατά τη διάρκεια υπολογισμών ορίων ή άλλων πράξεων προκύψουν οι επόμενες περιπτώσεις πράξεων, τότε υπάρχει απροσδιοριστία: ±,,, ± ( + ) + ( ) ( ± ) = απροσδιόριστο (II.39) ΙΙ-8

61 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ II...4 Όριο συνάρτησης πολλών μεταβλητών Στην περίπτωση της συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι δυνατό να οριστεί ομοίως το όριο της συνάρτησης. Συγκεκριμένα έστω μία συνάρτηση f j πολλών μεταβλητών,, 3,, v, με πεδίο ορισμού υποσύνολο του ν-διάστατου χώρου ν, όπου η f j αποτελεί ουσιαστικά συνιστώσα της συνάρτησης F πολλών μεταβλητών της (II.9), και ένα σημείο συσσώρευσης a (=a, a, a 3,,a v ) του πεδίου ορισμού Α ν, δηλαδή γύρω από το σημείο a υπάρχουν και άλλα σημεία του Α διάφορα του a. Η συνάρτηση f j έχει στο σημείο a όριο, όταν για κάθε ακολουθία σημείων m Α με α m α, η αντίστοιχη ακολουθία τιμών f j ( m ) έχει όριο. Εναλλακτικά για κάθε ε> υπάρχουν δ, δ, δ 3,..., δ ν > τέτοια, ώστε για όλα τα i του πεδίου ορισμού της συνάρτησης με σύγχρονη ικανοποίηση των ν ανισοτήτων της μορφής < i -a i <δ i να ισχύει ότι f j ()- <ε, δηλαδή: a ρ,a U a,a + ρ & < a < δ ε > δ,...,δ,...,δ > : a ρ,a U a,a + ρ & < a < δ i v i i i i i i i i i i v av ρ v,av U a v,av + ρ v & < v av < δ v f() < ε j lim f j ()= (,,..., ) ( a,a,...,a ) v v (II.4) Οι βασικές ιδιότητες των πράξεων με όρια, δηλαδή πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού με σταθερό αριθμό, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης συνεχίζουν να ισχύουν (σχέσεις (II.97) ως (II.)). Αν υπάρχει το πολλαπλό όριο της σχέσης (II.4) μπορεί να υπολογισθεί με την εφαρμογή των επάλληλων ορίων (με οποιαδήποτε σειρά διαδοχής), δηλαδή: lim f j ()= lim lim lim f j ()= (II.4) (,,..., ) ( a,a,...,a ) a a a v v v v ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΙ-4 Κατά την εκφόρτιση ενός πυκνωτή μέσω μίας ωμικής αντίστασης R σε ένα απλό R-C κύκλωμα η τάση στα άκρα του πυκνωτή χωρητικότητας C αρχικής τάσης V είναι ίση με: Vt () = V e RC : t Να υπολογισθεί η τάση τη χρονική στιγμή μηδέν και μετά την πάροδο «άπειρου χρόνου». Λύση Ουσιαστικά ζητούνται η τάση για t= και για t=+. Δηλαδή: t V() = V e = V t t t = RC RC RC t + t + t + V = lim V( t) = lim V e = V lim e = V lim e = V = + Πρακτικά ο πυκνωτής τη χρονική στιγμή μηδέν έχει τάση V, ενώ μετά την πάροδο «άπειρου χρόνου» η τάση του μηδενίζεται. Σημείωση: Η συμπεριφορά της εκθετικής συνάρτησης αναλύεται στη.6.6. II-9

62 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας II..3 Ορισμός συνέχειας συνάρτησης & μοτονονίας II..3. Ορισμός συνέχειας συνάρτησης μίας μεταβλητής Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και Δ. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, όταν ισχύει: lim f()=f (II.4) Δηλαδή η συνέχεια μίας συνάρτησης έχει νόημα μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της, ενώ η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο, όταν ορίζεται στο, αλλά δεν υπάρχει το όριο ή ισχύει: lim f() f Εναλλακτικά η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο, όταν για κάθε ε> υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε για κάθε του πεδίου ορισμού της με - < δ να ισχύει ότι f()- f( ) <ε, δηλαδή: ε > δ > : Δ και < < lim f()=f( ) δ f() f ε (II.43) Όταν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της Δ, τότε λέγεται ότι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. Όταν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε κάθε σημείο ενός υποσυνόλου Ε του πεδίου ορισμού της Δ, τότε λέγεται ότι είναι συνεχής στο Ε. Συναρτήσεις, όπως οι πολυωνυμικές μορφής P() = α ν ν +α ν- ν- +α ν- ν α +α με α ν, ρητές (πηλίκο πολυωνυμικών συναρτήσεων), τριγωνομετρικές, όπως sin, cos, tan, cot, είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο, τότε και οι συναρτήσεις () f+g, () α f, α, (3) f g, (4) f/g με g( ), (5) f, (6) f /k με f( ), είναι συνεχείς στο. Για την περίπτωση σύνθεσης συναρτήσεων ισχύει ότι: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f( ), τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο. Ακολούθως συνοψίζονται τα εξής βασικά σχετικά θεωρήματα: Θεώρημα Bolzano: Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και f(α) f(β)<, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=, δηλαδή η εξίσωση f()= έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (α,β). Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής: Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και f(α) f(β), τότε για κάθε αριθμό k μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)= k. Θεώρημα Μέγιστης - Ελάχιστης Τιμής: Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β], τότε υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία ε, μ [α,β] τέτοια, ώστε να ισχύει f( ε ) f() f( μ ) για κάθε [α,β], δηλαδή η f λαμβάνει στο [α,β] ελάχιστη τιμή f( ε ) και μέγιστη τιμή f( μ ). Μία συνάρτηση f είναι αύξουσα στο διάστημα Δ (όπου Δ=[α,β] ή [α,β) ή (α,β] ή (α,β)), όταν για κάθε < με, Δ ισχύει ότι f( ) f( ). Μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, όταν για κάθε < με, Δ ισχύει ότι f( )<f( ). Μία συνάρτηση f είναι φθίνουσα στο διάστημα Δ, όταν για κάθε < με, Δ ισχύει ότι ΙΙ-

63 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ f( ) f( ). Μία συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ, όταν για κάθε < με, Δ ισχύει ότι f( )>f( ). Συνοπτικά οι συναρτήσεις που είναι φθίνουσες ή αύξουσες ονομάζονται και μονότονες, ενώ οι συναρτήσεις που είναι γνησίως φθίνουσες ή γνησίως αύξουσες ονομάζονται και γνησίως μονότονες. Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και συνεχής στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της f - είναι συνεχής στο διάστημα f(δ). II..3. Ορισμός συνέχειας συνάρτησης πολλών μεταβλητών Στην περίπτωση της συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι δυνατό να οριστεί ομοίως η συνέχεια της συνάρτησης. Συγκεκριμένα έστω μία συνάρτηση f j πολλών μεταβλητών,, 3,, v, με πεδίο ορισμού υποσύνολο του ν-διάστατου χώρου ν και ένα σημείο συσσώρευσης a (=a, a, a 3,,a v ) του πεδίου ορισμού Α ν. Η συνάρτηση f j είναι συνεχής στο σημείο a, όταν για κάθε ακολουθία σημείων m Α με α m α, η αντίστοιχη ακολουθία τιμών f j ( m ) έχει όριο το f j (a). Εναλλακτικά για κάθε ε> υπάρχουν δ, δ, δ 3,..., δ ν > τέτοια ώστε για όλα τα i του πεδίου ορισμού της συνάρτησης με σύγχρονη ικανοποίηση των ν ανισοτήτων της μορφής i -a i <δ i να ισχύει ότι f j ()- f j (a) <ε, δηλαδή: a ρ,a+ ρ & a < δ ε > δ,...,δ i,...,δv > : i ( ai ρ i,ai + ρ i) & i ai < δi f j f j(a) < ε v ( av ρ v,av + ρ v) & v av < δ v lim f j()=f j(a) (II.44) (,,..., ) ( a,a,...,a ) v Ομοίως επεκτείνονται οι βασικές πράξεις των συνεχών συναρτήσεων, δηλαδή πρόσθεση, πολλαπλασιασμός με σταθερό αριθμό, πολλαπλασιασμός και διαίρεση. II..4 Ορισμός παραγώγου II..4. Ορισμός παραγώγου μίας μεταβλητής Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και Δ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, όταν υπάρχει το όριο f() f lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της f στο και συμβολίζεται ως εξής: / f() f( ) f ( ) = lim (II.45) Ισοδύναμα η παράγωγος μπορεί να γραφεί και ως εξής: v f() f( ) df() Δf( ) Δ lim = = lim = lim / d Δ = Δ Δ Δ f ( ) = f( + Δ) f( ) f( +h) f( ) = lim = lim Δ Δ h h (II.46) II-

64 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Ισχύει ότι: Αν το δεν είναι άκρο του διαστήματος Δ, τότε η f είναι παραγωγίσιμη, όταν και μόνο όταν ισχύει: f() f f() f f lim lim / = = + (II.47) Αν το είναι το αριστερό άκρο του διαστήματος Δ, τότε η f είναι παραγωγίσιμη, όταν και μόνο όταν υπάρχει το αντίστοιχο όριο, δηλαδή: f() f / = f ( ) lim + (II.48) Αν το είναι το δεξιό άκρο του διαστήματος Δ, τότε η f είναι παραγωγίσιμη, όταν και μόνο όταν υπάρχει το αντίστοιχο όριο, δηλαδή: f() f / = f ( ) lim (II.49) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι συνεχής στο. Επίσης, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, που ουσιαστικά αντιστοιχεί στο σημείο Α(,f( )) της γραφικής παράστασης f(), όπως φαίνεται στο σχήμα ΙΙ.7, τότε ορίζεται η εφαπτόμενη στο σημείο Α και η αντίστοιχη σχέση της ευθείας δίνεται από τη σχέση: / =f() + f() (II.5) =f() A (,f( )) εφαπτόμενη ω: tanω= f / ( )) Σχήμα ΙI.7: Εφαπτομένη σε σημείο Α της συνάρτησης f() Προσοχή: Η εφαπτομένη της γωνίας ω είναι ίση με την παράγωγο της f στο σημείο Α(,f( )) μόνο από μαθηματικής σκοπίας, όχι στην περίπτωση γραφικών παραστάσεων φυσικών μεγεθών με μονάδες, π.χ. σε μετρήσεις κτλ. Εναλλακτικά η φυσική έννοια της παραγώγου είναι ο ρυθμός μεταβολής. Δηλαδή αν δύο μεταβλητά μεγέθη και συνδέονται με τη σχέση =f() και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η παράγωγος f / ( ) ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του ως προς το στο σημείο. Π.χ. η ταχύτητα ενός σώματος είναι ουσιαστικά ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης που διανύεται ως προς το χρόνο. Αντίστοιχα στην ηλεκτροτεχνία η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος είναι ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου που διέρχεται από μία κάθετη τομή του αγωγού ως προς το χρόνο. ΙΙ-

65 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Έστω μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της Δ, τότε η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. Όταν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ενός υποσυνόλου Ε του πεδίου ορισμού της Δ, τότε λέγεται ότι είναι παραγωγίσιμη στο Ε. Οι βασικότεροι κανόνες παραγώγισης είναι οι ακόλουθες θεωρώντας ότι f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο Δ: Παράγωγος αθροίσματος: Παράγωγος γινομένου: / / / f+g ( )=f ( )+g ( ) (II.5) / / / f g =f g + f g (II.5) Παράγωγος γινομένου με σταθερό πραγματικό αριθμό c: Παράγωγος πηλίκου: / / c f =c f (II.53) / / / ( )= [ ] f f g f g g g : g( ) (II.54) Στην περίπτωση σύνθεσης συναρτήσεων, αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο f( ), τότε και η σύνθεσή της g f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: / / / g f =g (f) f (II.55) Στην περίπτωση αντίστροφης συνάρτησης, αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με f / ( ), Δ, τότε υπάρχει η συνάρτηση f - και είναι παραγωγίσιμη στο f( ). Εναλλακτικά στην περίπτωση που οι f, g είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε επεκτείνονται οι σχέσεις (II.5) ως (II.55) για κάθε Δ ως εξής: / / / f+g ()=f ()+g () (II.56) / / c f ()=c f () (II.57) / / / f g ()=f () g() + f() g () (II.58) / / / f f () g() f() g () ()= g [ g() ] / / / g f : g() (II.59) ()=g (f()) f () (II.6) Ειδικά για την περίπτωση της σύνθετης συνάρτησης, αν χρησιμοποιηθούν τα σύμβολα d/d (σύμβολο Leibniz), όπου d καλείται διαφορικό του (δηλαδή είναι μία στοιχειώδης II-3

66 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας μεταβολή του), τότε για τη σύνθετη συνάρτηση =g(f()) με u=f() και =g(u) προκύπτει ότι: d d du = (II.6) d du d Η τελευταία σχέση μπορεί να επεκταθεί σε όσο πλήθος συναρτήσεων είναι επιθυμητό σχηματίζοντας τον κανόνα της αλυσίδας. Π.χ. στην περίπτωση σύνθετης συνάρτησης =g(f(z())) με τρεις βασικές συναρτήσεις v=z(), u=f(v) και =g(u) προκύπτει ότι: d d du dv = (II.6) d du dv d Ακολούθως παρουσιάζονται οι παράγωγοι των κυριότερων βασικών συναρτήσεων. ν / v v ρ / ρ ρ ( c ) / = (II.63) ( ) / = (II.64) = : v \{} (II.65) = : ρ \{}, > (II.66) / = : > (II.67) ( ln ) / ( log ) / log e a = : > (II.68) = a = : > (II.69) ln a ( ln ) / ( e ) / = (II.7) / ln = e (II.7) a = a a (II.7) ( sin ) / ( cos ) / ( tan ) / = cos (II.73) = sin (II.74) = cos (II.75) = sin (II.76) ( cot ) / Από τις σχέσεις (II.63) ως (II.76) εύκολα μπορούν να προκύψουν οι παράγωγοι σύνθετων συναρτήσεων, όπως: ν / v / v f() = f() f () : v \{} (II.77) Πέρα από την πρώτη παράγωγο f / της συνάρτησης f δύνανται να υπάρξουν παράγωγοι ανώτερης τάξης. Δηλαδή, αν η συνάρτηση f / είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και η δεύτερη παράγωγος της f στο δίνεται από τη σχέση: / / () // f () f ( ) df() = = = d = f () f () lim (II.78) Ομοίως αν η συνάρτηση f (ν-) είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η συνάρτηση f είναι ν φορές παραγωγίσιμη στο και η ν-ιοστή παράγωγος της f στο δίνεται από τη σχέση: ( v ) (v-) v ( v) f () f ( ) df() = = v d = f lim (II.79) Ουσιαστικά η σχέση (II.79) προκύπτει από τη διαδοχική παραγώγιση της συνάρτησης f για ν φορές, εφόσον αυτό είναι δυνατό. ΙΙ-4

67 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Ακολούθως συνοψίζονται τα εξής βασικά σχετικά θεωρήματα: Θεώρημα Rolle: Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f / (ξ)=. Θεώρημα Μέσης Τιμής: Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε: / f(β) f(α) f (ξ) = β α (II.8) Επίσης με τη βοήθεια της παραγώγου διευκολύνεται η μελέτη της συμπεριφοράς της συνάρτησης όσον αφορά τη μονοτονία της και την κυρτότητά της βρίσκοντας τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία καμπής αντίστοιχα. Ειδικότερα στην περίπτωση μίας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ παρουσιάζει στο Δ τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ> τέτοιο ώστε για κάθε ( -δ, +δ) Δ να ισχύει f() f( ). Αντίστοιχα παρουσιάζεται στο Δ τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε για κάθε ( -δ, +δ) Δ να ισχύει f() f( ). Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat αν μία συνάρτηση f:δ παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο, τότε f / ( )=. Οι θέσεις των πιθανών ακροτάτων είναι τα άκρα του διαστήματος και τα κρίσιμα σημεία, δηλαδή είτε τα σημεία που δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος, είτε τα στάσιμα σημεία που είναι τα σημεία για τα οποία ισχύει f / ()=. Λαμβάνοντας υπόψη τα περί μονοτονίας για κάθε συνάρτηση f συνεχή στο διάστημα [α,β] ισχύουν ότι: Αν f / ()> για κάθε (α,β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β]. Αν f / ()< για κάθε (α,β), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α,β]. Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο (α,β) και είναι συνεχής στο (α,β), τότε ισχύουν ότι: Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, ) και γνησίως φθίνουσα (,β), τότε το f( ) είναι μέγιστο της f στο (α,β). Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, ) και γνησίως αύξουσα (,β), τότε το f( ) είναι ελάχιστο της f στο (α,β). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (α, ) (,β) και συνεχής στο, τότε: Αν η f / ()> για κάθε (α, ) και f / ()< για κάθε (,β), τότε το f( ) είναι μέγιστο της f στο (α,β). Αν η f / ()< για κάθε (α, ) και f / ()> για κάθε (,β), τότε το f( ) είναι ελάχιστο της f στο (α,β). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και το εσωτερικό σημείο του Δ για το οποίο ισχύει f / ( )= και υπάρχει f // ( ), τότε: Αν η f // ( )<, τότε το f( ) είναι τοπικό μέγιστο της f στο Δ. Αν η f // ( )>, τότε το f( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f στο Δ. Όσον αφορά την κυρτότητα στην περίπτωση μίας συνάρτησης f συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β), τότε λέγεται ότι: Η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο [α,β], αν f / είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β). Η f είναι κοίλη ή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο [α,β], αν f / είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β). II-5

68 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Εναλλακτικά, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β), τότε λέγεται ότι: Η f είναι στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο [α,β], αν f // ()> για κάθε (α,β). Η f είναι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο [α,β], αν f // ()< για κάθε (α,β). Ένα σημείο Ρ(,f( )) ονομάζεται σημείο καμπής της παράστασης f, όταν: () η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, () υπάρχει η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο Ρ(,f( )) και (3) η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω αριστερά του και προς τα κάτω δεξιά του ή αντίστροφα. Στην περίπτωση ύπαρξης σημείου καμπής Ρ(,f( )) στη γραφική παράσταση της f, τότε f // ( )= ή δεν υπάρχει f // στο. Ουσιαστικά οι θέσεις των σημείων καμπής μιας συνάρτησης αναζητούνται μεταξύ των ριζών της εξίσωσης f // ()= και των σημείων που δεν υπάρχει η f //, αρκεί να υπάρχει εφαπτομένη στα σημεία αυτά. Κατά τη μελέτη μίας συνάρτησης =f() μπορούν να προκύψουν και οι ασύμπτωτες ευθείες, δηλαδή ευθείες που προσεγγίζουν τη γραφική παράσταση της f σε συγκεκριμένες περιοχές (π.χ. στο άπειρο ή σε ανώμαλα / μη οριζόμενα σημεία του πεδίου ορισμού). Ειδικότερα: Η ευθεία =β είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, όταν: lim f() = β ή lim f() = β (II.8) + Η ευθεία =a είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, όταν τουλάχιστον ένα από τα δύο όρια είναι: lim f() =+ ή a + ή lim f() = + ή (II.8) a Η ευθεία =λ +μ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, όταν: ( ) = ή ( ) lim f()-λ μ + lim f()-λ μ = (II.83) Ειδικά για τον προσδιορισμό της απλής ασύμπτωτης ευθείας =λ +μ δύνανται να χρησιμοποιηθούν οι (II.84) και (II.85) σχέσεις που αποτελούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξή της: f() lim = λ και lim ( f()-λ ) = μ (II.84) + + f() lim = λ και lim ( f()-λ ) = μ (II.85) Αν το λ των σχέσεων (II.84) και (II.85) είναι, τότε ουσιαστικά έχει προκύψει μία οριζόντια ασύμπτωτη. Με τη βοήθεια της παραγώγου είναι δυνατό να διευκολυνθεί ο υπολογισμός απροσδιόριστων μορφών σε όρια (της μορφής / ή / ) με τη βοήθεια των κανόνων του de L Hospital. Συγκριμένα ισχύουν ότι: Αν lim f() =, α lim g() α πεπερασμένο ή άπειρο, τότε: = με α {, + } και υπάρχει το όριο lim α g() / / f () ΙΙ-6

69 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ / f() f () lim = lim (II.86) α α / g() g() Αν lim f() =+, α lim g() + α πεπερασμένο ή άπειρο, τότε: = με α {, + } και υπάρχει το όριο lim α g() / / f () / f() f () lim = lim (II.87) α α / g() g() Ο τελευταίος κανόνας ισχύει και για τις μορφές +,, +. Επίσης οι σχέσεις (II.86) και (II.87) επεκτείνονται και στις περιπτώσεις των πλευρικών ορίων ( α +, α - ) για α. Μορφές απροσδιοριστίας, όπως (± ), + -,, (+ ),, ενδεχομένως μπορούν να αντιμετωπιστούν αναγόμενες κατά περίπτωση σε κάποια από τις μορφές των (II.86) και (II.87). Τέλος υπενθυμίζονται τα βασικά στοιχεία / βήματα για τη μελέτη και τη χάραξη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης: Προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της συνάρτησης (έστω Α). Αναζήτηση συμμετριών (άρτια, περιττή, περιοδική). Εξέταση συνέχειας στο Α. Εύρεση και προσδιορισμός προσήμου παραγώγων f / και f // (όπου υπάρχουν). Προσδιορισμός της μονοτονίας και των τοπικών ακρότατων της f (αν υπάρχουν). Προσδιορισμός των κοίλων και των σημείων καμπής της f (αν υπάρχουν). Εύρεση ασύμπτωτων (αν υπάρχουν). Εντοπισμός σημείων τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες / και /. II..4. Ορισμός παραγώγου πολλών μεταβλητών Όσον αφορά τις παραγώγους συναρτήσεων πολλών μεταβλητών είναι δυνατό να οριστεί ομοίως η μερική παράγωγος της συνάρτησης. Συγκεκριμένα έστω μία συνάρτηση f j πολλών μεταβλητών,, 3,, v, με πεδίο ορισμού υποσύνολο του ν-διάστατου χώρου ν και ένα σημείο συσσώρευσης a (=a, a, a 3,,a v ) του πεδίου ορισμού Α ν. Ονομάζεται μερική παράγωγος της f j ως προς στο σημείο a, και συμβολίζεται με f j /, την παράγωγο, εφόσον αυτή υπάρχει, στο σημείο =α της f(, a, a 3,,a v ) θεωρώντας τη ως συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή μόνο το. Δηλαδή: f(,,..., ) f(,a,...,a ) f(a,a,...,a ) = lim (II.88) v v v a a (,,..., v) = (a,a,...,a v) Εναλλακτικά μπορεί η μερική παράγωγος f j ως προς στο σημείο a να συμβολιστεί ως: f(,,..., v) f(a,...,a v) = = f (a,...,a v) = D f(a,...,a v) (,,..., ) = (a,a,...,a ) v v (II.89) Ομοίως προσδιορίζεται η μερική παράγωγος της f j ως προς i στο σημείο a, και συμβολίζεται με f j / i, την παράγωγο, εφόσον αυτή υπάρχει, στο σημείο =α της f(a, a, II-7

70 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας, a i-, i, a i+,,a v ) θεωρώντας τη ως συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή μόνο το i. Δηλαδή: f(,..., i-, i, i+,..., v) f(a,...,a v) = = f (a i,...,a v)= D f(a,...,a ) v i i = a (,,..., ) = (a,a,...,a ) v v f(a,..., a i-, i, a i+,...,a v) f(a,a,...,a v) lim i i -a i i i (II.9) Πέρα από τις προαναφερθείσες μερικές παραγώγους πρώτης τάξης μπορούν να διαμορφωθούν αντίστοιχα και οι μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης. Γενικά, αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι των μερικών παραγώγων πρώτης τάξης, τότε σχηματίζονται οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης. Αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι των μερικών παραγώγων μ- τάξης προκύπτουν οι μερικές παράγωγοι μ-τάξης. Για να γίνει αντιληπτό, έστω μία συνάρτηση δύο μεταβλητών f(, ) με f: A για την οποία υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης, δηλαδή οι f/ και f/. Αν παραγωγιστεί η f/ ως προς στο σημείο a, τότε προκύπτει η μερική παράγωγος δεύτερης τάξης ως προς, δηλαδή: (, ) = (a,a ) f(, ) f(a,a ) = = f (a,a ) = D f(a,a ) (II.9) Ομοίως αν παραγωγιστεί η f/ ως προς στο σημείο a, τότε προκύπτει η μερική παράγωγος δεύτερης τάξης ως προς, δηλαδή: (, ) = (a,a ) f(, ) f(a,a ) = = f (a,a ) = D f(a,a ) (II.9) Όμως, αν παραγωγιστεί η f/ ως προς στο σημείο a, τότε προκύπτει η μερική μικτή παράγωγος δεύτερης τάξης ως προς,, δηλαδή: f(, ) f(a,a ) = = f (a,a ) = Df(a,a ) (, ) = (a,a ) (II.93) Ουσιαστικά η συνάρτηση f(, ) παραγωγίζεται πρώτα ως προς και έπειτα ως προς, για να προκύψει αυτή η μικτή παράγωγος. Ομοίως, αν παραγωγιστεί η f/ ως προς στο σημείο a, τότε προκύπτει η μερική μικτή παράγωγος δεύτερης τάξης ως προς,, δηλαδή: f(, ) f(a,a ) = = f (a,a ) = Df(a,a ) (, ) = (a,a ) (II.94) Επισήμανση: Δεν ισχύει υποχρεωτικά η ισότητα των μικτών μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης. Αν η συνάρτηση f(, ) είναι συνεχής στο ανοικτό σύνολο Α, οι μερικές παράγωγοι f, f, σε κάθε σημείο του Α. f υπάρχουν και είναι συνεχείς στο Α, τότε ισχύει f = f ΙΙ-8

71 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Στην περίπτωση σύνθετης συνάρτησης η σύνδεση των παραγώγων είναι η ακόλουθη: έστω η συνάρτηση f(, ) με f: A, Α ανοικτό σύνολο, όπου οι μεταβλητές, δεν είναι ανεξάρτητες, αλλά συναρτήσεις του t, δηλαδή ισχύουν (t), (t) ορισμένα στο διάστημα a t b. Αν η συνάρτηση έχει συνεχείς μερικές παραγώγους στο Α και οι συναρτήσεις (t), (t) είναι παραγωγίσιμες στο [a,b], τότε η σύνθετη συνάρτηση f( (t), (t)) της μεταβλητής t είναι παραγωγίσιμη στο [a,b] και δίνεται από τη σχέση: Κανόνας αλυσίδας: df f d f d d d = + = f + f dt dt dt dt dt (II.95) Στην περίπτωση που η σύνθετη συνάρτηση f(, ) συνδέεται με δύο άλλες μεταβλητές, δηλαδή (u,v), (u,v) ορισμένα σε κατάλληλο χωρίο, τότε οι αντίστοιχες σχέσεις είναι: Κανόνας αλυσίδας: f f f u u u f f f = + = u + u = + = f v + f v v v v f f (II.96) Όσον αφορά την εύρεση τοπικών ακρότατων της f(, ) πέρα των πιθανών σημείων των άκρων των διαστημάτων και των σημείων που δεν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι, ικανές συνθήκες είναι οι ακόλουθες: Τοπικό ελάχιστο: Τοπικό μέγιστο: f (a,a )= f (a,a )= & f (a,a )f (a,a ) f (a,a ) < f (a,a )= f (a,a )= & f (a,a )f (a,a ) f (a,a ) > (II.97) (II.98) Η εξέταση ακρότατων συναρτήσεων περισσότερων μεταβλητών των δύο εμπλέκουν τη χρήση ερμιτιανών πινάκων και αντίστοιχων οριζουσών ξεφεύγοντας από το πλαίσιο αυτού του παραρτήματος (για περαιτέρω [6: 7]). ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΙ-5 (Απόδειξη θεωρήματος μέγιστης μεταφοράς ισχύος στο συνεχές) Έστω το κύκλωμα του σχήματος ΙΙ.8, το οποίο απαρτίζεται από μία πηγή τάσης ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε, μία ισοδύναμη I V R R + αντίσταση πηγής R και μία αντίσταση φορτίου R L, όπου Ε και R είναι δεδομένα. Η ισχύς Ρ L που καταναλώνεται πάνω στην Ε R L V L αντίσταση του φορτίου δίνεται από τη σχέση: Σχήμα ΙI.8: Κύκλωμα για απόδειξη θεωρήματος μέγιστης μεταφοράς ισχύος. Ισχύς: PL = VL I = I RL I = I R L RL P = E Επίλυση κυκλώματος: E = I R+ R R+ R L ( L ) Ζητείται να μεγιστοποιηθεί η μεταφερόμενη ισχύς στην αντίσταση φορτίου. L (II.99) II-9

72 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Λύση Ουσιαστικά ζητείται η εύρεση του ακρότατου της συνάρτησης P L (R L ), όπου στη θέση της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι το R L. Αν παραγωγιστεί η σχέση (II.99), προκύπτει ότι: ( + R ) dr d R L L ( R+ RL) RL ( R+ RL) RL L L L ( R+ RL) E E 4 4 L ( + L) ( + L) dp dr dr = = dr R R R R ( R+ RL) ( R RL) L E ( + ) ( + ) dp R R dr R R R R L = = E 4 3 L L L Αν απαιτηθεί η πρώτη παράγωγος να είναι μηδέν, τότε προκύπτει ότι: (II.) dp R R = E = R = R L L 3 drl ( R+ RL ) L (II.) Για να ελεγχθεί η ύπαρξη τοπικού μεγίστου, πρέπει η δεύτερη παράγωγος να είναι αρνητική στο ίδιο σημείο. Όμως από τη σχέση (II.) προκύπτει: ( ) 3 ( + ) dp d R R d R R d P dr dr dr = = E d R R R L L L d R+ RL R RL L L L L 6 L drl ( + L ) 3 3 R+ RL R RL 3 R+ RL RL R L = E = E 6 4 L + L + L d P d R R R R R ( R R) E ( R+ R) ( R) d P R E = = = < d R L E L 8 R R = R L (II.) (II.3) Συνεπώς, για να είναι η ισχύς μέγιστη πάνω στο φορτίο, πρέπει να ισχύει R L =R. Με απλή αντικατάσταση στη σχέση (II.99) υπολογίζεται η αντίστοιχη μέγιστη ισχύς προκύπτοντας ίση με: R E PLma = PL( R) = E = 4 R ( R+ R) (II.4) ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΙ-6 Με βάση την εφαρμογή ΙΙ-5 και τη σχέση (II.99) ζητείται να πραγματοποιηθεί αναλυτικά η γραφική παράσταση της ισχύος φορτίου P L σε συνάρτηση με την αντίσταση R L. Λύση Για να πραγματοποιηθεί τυπικά η γραφική παράσταση του P L σε συνάρτηση με την αντίσταση R L, ακολουθούνται τα εξής βήματα: Πεδίο ορισμού: R L [, ), καθώς αρνητικές αντιστάσεις δεν υπάρχουν. Συμμετρία: Δεν υπάρχει καμία συμμετρία, καθώς δεν ισχύουν P L (R L )= P L (-R L ) ή P L (R L )= -P L (-R L ) και P L (R L )= P L (R L +Τ). ΙΙ-3

73 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Η συνάρτηση P L (R L ) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού R L [, ), καθώς είναι πηλίκο πολυωνυμικών συναρτήσεων και εντός του πεδίο ορισμού δεν υπάρχει το R, αφού το τελευταίο λαμβάνει μόνο αρνητικές τιμές. Οι παράγωγοι P L / (R L ) και P L // (R L ) έχουν ήδη υπολογιστεί από τις σχέσεις (II.) και (II.), οπότε με τον πίνακα ΙΙ. προσδιορίζεται η μονοτονία, τα κοίλα, οι θέσεις των τοπικών ακρότατων και των σημείων καμπής της P L. Πίνακας ΙI.: Πίνακας εύρεσης μονοτονίας και λοιπών στοιχείων προς χάραξη της P L (R L ) R L R R + P L / (R L ) P L // (R L ) P L (R L ) Μέγιστο Σημείο καμπής Με βάση τα αποτελέσματα του πίνακα ΙΙ. η P L (R L ) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,R) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (R, ). Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο R L = και είναι ίσο με το μηδέν, μέγιστο στο R και είναι ίσο με E /(4R) σύμφωνα με τη σχέση (II.4). Με βάση τα αποτελέσματα του πίνακα ΙΙ. η P L (R L ) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστημα (, R), ενώ στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστημα (R, ). Παρουσιάζει σημείο καμπής στο R. Ως προς τις ασύμπτωτες παρουσιάζει οριζόντια ασύμπτωτη P L (R L )= στο +, καθώς: / ( RL ) (( L ) ) R = = R+ R R+ R de L' Hospital L lim PL( RL) lim E E lim R / L + RL + R L + L R E lim PL( RL) = E lim = = L + RL + + ( R R ) Η P L (R L ) τέμνει τους άξονες μόνο στην αρχή των αξόνων για R L =. Στο σχήμα ΙΙ.9 παρουσιάζεται η αντίστοιχη γραφική παράσταση της P L (R L ). E P L 4R L R R Σχήμα ΙI.9: Γραφική παράσταση συνάρτησης ισχύος φορτίου στην περίπτωση του βασικού θεωρήματος μέγιστης μεταφοράς ισχύος στο συνεχές ρεύμα. R L II-3

74 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Προσοχή: Αν ζητείται «ποιοτικά», «προσεγγιστικά» ή «συνοπτικά» η σχεδίαση της παράστασης, τότε η αντίστοιχη ανάλυση πραγματοποιείται πιο περιληπτικά και βασικό ζητούμενο είναι μόνο η παράσταση μαζί με τις θέσεις των ακρότατων της. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΙ-7 (Προσδιορισμός διαφορικών στοιχείων επιφανείας όγκου) Δίνονται τα γεωμετρικά στοιχεία του σχήματος ΙΙ., δηλαδή ένας κύβος, ένας κύλινδρος και μία σφαίρα. Να προσδιοριστούν τα διαφορικά των στοιχειωδών επιφανειών και των στοιχειωδών όγκων. L L ds dv ds dl L ds dv r ds dv dr dr r dv d (α) (β) (γ) Σχήμα ΙI.: Στοιχεία επιφανειών όγκων (α) ορθογώνιου παραλληλόγραμμου πρίσματος, (β) κύλινδρου, (γ) κάτοψης σφαίρας. Λύση (α) Για το πρίσμα ισχύουν ότι οι στοιχειώδεις επιφάνειες δίνονται από τις σχέσεις, καθώς πρόκειται για ορθογώνια παραλληλόγραμμα: ds = L d (II.5) ds = L d (II.6) Ο στοιχειώδης όγκος προκύπτει από το εμβαδό του ορθογωνίου παραλληλογράμμου L L πολλαπλασιασμένο με τη μεταβολή του ύψους d: dv = L L d (II.7) (β) Για τον κύλινδρο αναπτύσσονται δύο περιπτώσεις: της μεταβολής της ακτίνας κατά dr και της μεταβολής του ύψους κατά dl. Κατά τη μεταβολή της ακτίνας dr η στοιχειώδης μεταβολή της επιφάνειας είναι ίση με το μήκος της περιφέρειας επί τη στοιχειώδη μεταβολή της ακτίνας: ds = π r dr (II.8) Η αντίστοιχη στοιχειώδης μεταβολή του όγκου είναι ίση με τη στοιχειώδη μεταβολή του εμβαδού επί το ύψος L, δηλαδή: dv = L dv = π r L dr (II.9) Κατά τη μεταβολή του ύψους dl η στοιχειώδης μεταβολή της επιφάνειας είναι ίση με το μήκος της περιφέρειας επί τη στοιχειώδη μεταβολή του ύψους dl: ds = π r dl (II.) ΙΙ-3

75 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Η αντίστοιχη στοιχειώδης μεταβολή του όγκου είναι ίση με τo εμβαδόν του κυκλικού δίσκου επί τη στοιχειώδη μεταβολή του ύψους dl, δηλαδή: dv = π r dl (II.) (γ) Για την περίπτωση της σφαίρας η μεταβολή της επιφάνειας προκύπτει από τη διαφορά των εμβαδών των σφαιρών ακτίνας (r+dr) και ακτίνας r αγνοώντας την παράμετρο dr : ds = π r+dr π r = π r dr (II.) Η στοιχειώδης μεταβολή του όγκου είναι ουσιαστικά το εμβαδόν της σφαίρας ακτίνας r επί τη στοιχειώδη μεταβολή της ακτίνας dr: dv = 4 π r dr (II.3) II..5 Ολοκλήρωμα II..5. Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος μίας μεταβλητής Έστω μία συνεχής συνάρτηση f στο κλειστό διάστημα [α,β]. Πραγματοποιείται η «διαμέριση» του διαστήματος [α,β] σε πεπερασμένο πλήθος σημείων {,,., ν } του [α,β] για το οποίο ισχύουν α= < <.< ν- < ν =β. Με τη διαμέριση αυτή το διάστημα [α,β] έχει χωριστεί σε ν υποδιαστήματα δ κ =[ κ-, κ ] μήκους Δ κ = κ - κ-, κ=,,...ν. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορεί να θεωρηθούν ότι τα μήκη των υποδιαστημάτων είναι ίσα μεταξύ τους και ισοδυναμούν με (β-α)/ν, όπως φαίνεται στο σχήμα ΙΙ.. Σε κάθε υποδιάστημα δ κ του [α,β] η συνάρτηση f λαμβάνει στα σημεία ε κ και μ κ την ελάχιστη f(ε κ ) και τη μέγιστη τιμή της f(μ κ ) αντίστοιχα. Συγχρόνως για κάθε ξ κ με κ- ξ κ κ ισχύει ότι f( κ- ) f(ξ κ ) f( κ ), όπως φαίνεται και στο μεγεθυμένο τμήμα του σχήματος ΙΙ.. =f() μεγέθυνση f(ε κ ) f(ξ κ ) f(μ κ ) α= κ- κ... ν- ν =β κ- κ Σχήμα ΙI.: Διαμέριση διαστήματος [α,β] και καμπύλης =f() προς ορισμό ορισμένου ολοκληρώματος. Για να προσδιοριστεί το προσημασμένο εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης =f(), του άξονα των /, των ευθειών =α και =β μπορούν να υπολογιστούν: = Δ + Δ + + Δ = Δ (II.4) Ανώτερο άθροισμα: S f( μ ) f ( μ )... f ( μ ) f ( μ ) ν ν ν κ κ κ= Ενδιάμεσο άθροισμα: R f( ξ ) f ( ξ )... f ( ξ ) f ( ξ ) = Δ + Δ + + Δ = Δ ν ν ν κ κ κ= ν ν (II.5) II-33

76 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας = Δ + Δ + + Δ = Δ (II.6) Κατώτερο άθροισμα: s f( ε ) f ( ε )... f ( ε ) f ( ε ) ν ν ν κ κ κ= Ορίζεται ως ορισμένο ολοκλήρωμα της f στο [α,β] το κοινό όριο των τριών αθροισμάτων S v, R v, s v των σχέσεων (II.4) ως (II.6) αντίστοιχα, όταν το πλήθος των διαμερίσεων ν τείνει στο άπειρο (δηλαδή όταν όλα τα στοιχειώδη διαστήματα Δ κ τείνουν στο μηδέν), δηλαδή: β = ν = ν = ν f d lim S lim R lim s (II.7) α v v v Ουσιαστικά η μοναδική απαίτηση είναι η f να είναι συνεχής στο διάστημα [α,β]. Το ορισμένο ολοκλήρωμα εκφράζει το προσημασμένο εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης =f(), του άξονα των /, των ευθειών =α και =β, που αποτελεί συγχρόνως και τη φυσική του ερμηνεία. Οι βασικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος για δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες στο [α,β] και συνεχείς είναι οι ακόλουθες: Αν α=β, δηλαδή ολοκλήρωμα με την ίδια αρχή και το ίδιο τέλος του διαστήματος ολοκλήρωσης: Αν α>β, τότε το ολοκλήρωμα είναι ίσο: β a f d = (II.8) α α f d = f d (II.9) α Άθροισμα συναρτήσεων πολλαπλασιασμένων με οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς λ, μ: β β β λ f + μ g d = λ f d+ μ g d ( ) α α α β (II.) Αν α,β,γ Δ, όπου Δ πεδίο ορισμού της f στο οποίο είναι συνεχής: β γ β f d = f d+ f d (II.) α α γ Αν για κάθε [α,β] ισχύει f(), τότε: β f d Αν για κάθε [α,β] ισχύει f() g(), τότε: (II.) α β β f d g d (II.3) α α ν ΙΙ-34

77 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Σχέση ολοκληρώματος απόλυτης συνάρτησης f() με συνάρτηση f(): β β f d f d α (II.4) Με βάση τη σχέση (II.3) προκύπτει το θεώρημα της μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού, σύμφωνα με το οποίο, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], τότε: (α) υπάρχουν minf(), maf() τέτοια ώστε: α β min f() ( β α) f d maf() ( β α) (II.5) (β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ τέτοιο ώστε: ( ) α β f d f ξ β α (II.6) II..5. Ορισμός αόριστου ολοκληρώματος μίας μεταβλητής Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και ζητείται μία συνάρτηση F παραγωγίσιμη στο Δ τέτοια ώστε για κάθε Δ να ισχύει ότι: α / F () = f() (II.7) Η ζητούμενη συνάρτηση F ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος της f στο διάστημα Δ. Επίσης ισχύουν ότι: Αν υπάρχει μία αρχική συνάρτηση F της f στο διάστημα Δ, τότε υπάρχουν άπειρες αρχικές συναρτήσεις της μορφής F+c, c και μόνο αυτές. Αν F και G είναι οι αρχικές συναρτήσεις των f και g αντίστοιχα, τότε ισχύουν: (α) Η α F είναι η αρχική συνάρτηση της α f, α. (β) Η F+G είναι η αρχική συνάρτηση της f+g. Ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f στο διάστημα Δ το σύνολο των αρχικών συναρτήσεών της και συμβολίζεται ως εξής: f d = F()+c : c (II.8) Ορισμένες βασικές ιδιότητές του αόριστου ολοκληρώματος είναι οι εξής: Ισχύει ότι: f / d = f()+c : c (II.9) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ και α Δ, τότε η συνάρτηση F είναι μία αρχική συνάρτηση της f στο Δ: Εναλλακτικά γράφεται ως εξής: () F() = f t dt : Δ (II.3) α d f () t dt = f() d : Δ (II.3) α II-35

78 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Επεκτείνεται δε ως εξής: d d g() / f () t dt = f(g()) g () : g() Δ (II.3) α Αν F είναι μία αρχική συνάρτηση της συνεχούς συνάρτησης f στο διάστημα Δ και α,β Δ, τότε: Οπότε με βάση τη (II.33) προκύπτει ότι: β β f d = F(β) F(α)= F() (II.33) α α β / f d = f(β) f(α) (II.34) α Αν η αρχική τιμή μίας παραγωγίσιμης συνάρτησης f είναι γνωστή ως f(α) και είναι επίσης γνωστή η παράγωγός της f /, τότε η f() προσδιορίζεται ως εξής: f() = f(α) + f t dt / () (II.35) α Ακολούθως παρουσιάζονται τα αόριστα ολοκληρώματα των κυριότερων βασικών συναρτήσεων, όπου c. d = c (II.36) c d = c +c (II.38) cos( a ) d = sin( a )+c (II.37) a sin( a ) d = cos( a )+c (II.39) a ν + ν d = +c: ν \{} (II.4) d = tan( a )+c (II.4) ν + cos ( a ) a d =ln c + : > ή < (II.4) d = cot( a )+c (II.43) sin ( a ) a e d = e +c (II.44) tan( a ) d = ln ( cos( a ) ) + c (II.45) a a a e d = e +c a cot d = ln sin +c (II.47) a : <α (II.46) a ( a ) a a d = +c: < a (II.48) ln a ln ( a + b) d= +c (II.49) a + b a γ ( a + b) a ( γ + ) + γ a + b d = +c : γ (II.5) ΙΙ-36

79 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ γ γ a + b γ b γ : a + b d = + a + b d +c γ + γ + γ (II.5) d= ln a + a ± b +c (II.5) a ± b a d= +c a (II.53) a + b 3/ a + b + d= ln +c: ± (II.54) / d f() d=f() d (II.55) f () d=lnf()+c : f()> για κάθε Δ (II.56) f() Ακολούθως συνοψίζονται οι βασικοί κανόνες ολοκλήρωσης: Ολοκλήρωση κατά παράγοντες: Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν συνεχείς παραγώγους στο [α,β], τότε ισχύει: β / / β f g d = f g f g d (II.57) α Για το αόριστο ολοκλήρωμα, αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγώγισιμες στο Δ, τότε ισχύει: / / a f g d = f g f g d : Δ (II.58) Ολοκλήρωση με αλλαγή της μεταβλητής: Αν η f() είναι συνεχής στο [α,β] και με τη βοήθεια της συνάρτησης =φ(u) αντικαθίσταται η μεταβλητή με τη μεταβλητή u και το διαφορικό d με το διαφορικό φ / (u) du, τότε ισχύει: β λ β α / f d = f( φ( u) ) φ ( u) du (II.59) α κ Όπου τα όρια κ, λ ορίζονται από τις ισότητες α=φ(κ), β=φ(λ). Εναλλακτικά στην περίπτωση της αρχικής συνάρτησης F για τη f διατυπώνεται η σχέση (II.59) ως εξής: λ φ( λ ) / f ( φ( u) ) φ ( u) du = f d = F φ( λ ) F φ φ( κ) ( ( κ )) (II.6) κ Για το αόριστο ολοκλήρωμα ο αντίστοιχος κανόνας διαμορφώνεται ως εξής: / f ( φ ( )) φ ( ) d = f ( u ) du=f ( u ) + c = F ( φ ( )) + c : c (II.6) II-37

80 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας II..5.3 Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος πολλών μεταβλητών Στην περίπτωση ολοκλήρωσης συνάρτησης f πολλών μεταβλητών ως προς μία μεταβλητή, με την προϋπόθεση ότι είναι ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες μεταβλητές, τότε προκύπτει ότι το αντίστοιχο ολοκλήρωμα μπορεί να προσδιορισθεί μέσω της αρχικής συνάρτησης F για τη συνάρτηση f ως προς, εφόσον είναι συνεχής ως συνάρτηση στο αντίστοιχο πεδίο ορισμού της συνάρτησης: β = f,,..., v d F,,..., v (II.6) = a α Αν παραγωγιστεί το ολοκλήρωμα της σχέσης (II.6) ως προς οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή πέρα της, έστω ως προς το, τότε ισχύει: β β β f,,..., = β v f,,..., v d = d = f,,..., v d (II.63) α α α Στην περίπτωση ολοκλήρωσης συνάρτησης f(, ) ως προς τη μεταβλητή, αλλά τα όρια ολοκλήρωσης εξαρτώνται από τη μεταβλητή μέσω των συναρτήσεων u( ) και v( ) για το κάτω και άνω όριο ολοκλήρωσης αντίστοιχα, τότε προκύπτει ότι το αντίστοιχο ολοκλήρωμα μπορεί να προσδιορισθεί μέσω της ακόλουθης σχέσης, εφόσον η f(, ) είναι συνεχής ως προς και παραγωγίσιμη ως προς στο αντίστοιχο πεδίο ολοκλήρωσής της: v f (,) d+ f (,) d = u( ) (II.64) v u / / ( ) ( ) f v, v f u, u Στην περίπτωση ολοκλήρωσης συνάρτησης f(, ) ως προς τη μεταβλητή μεταξύ των ορίων α και β και ως προς τη μεταβλητή μεταξύ των ορίων α και β αρκεί η f(, ) να είναι συνεχής ως προς και στο αντίστοιχο πεδίο ολοκλήρωσής της. Η διπλή ολοκλήρωση μπορεί να γίνει ως προς τη μία ή προς την άλλη μεταβλητή ανάλογα με την ολοκλήρωση που είναι πιο βολική, καθώς ισχύει ένα είδος αντιμεταθετικής ιδιότητας ως προς τη σειρά ολοκλήρωσης, δηλαδή: f (, ) d d = f (, ) d d = f (, ) d d β β β β β β (II.65) α α α α α α Το διπλό ολοκλήρωμα βρίσκει εφαρμογή κυρίως στον υπολογισμό επιφανειών. Αντίστοιχα μπορεί να επεκταθεί η σχέση (II.65) σε τριπλά ολοκληρώματα ή μεγαλύτερης τάξης. Τα τριπλά ολοκληρώματα βρίσκουν εφαρμογή στον υπολογισμό όγκων. Η μορφή τους είναι η ακόλουθη: β f (,, ) d d d = f (,, ) d d d β β β β β 3 3 (II.66) α α α α α α 3 3 Μορφές διπλών ολοκληρωμάτων ή ανώτερης τάξης αντίστοιχων με όρια εξαρτώμενα από τις ανεξάρτητες μεταβλητές,,..., ν χρειάζονται να αναζητηθούν σε πιο εξειδίκευενη βιβλιογραφία [6]. ΙΙ-38

81 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΙ-8 Δίνεται η εναλλασσόμενη περιοδική τάση πλάτους V, συχνότητας f, αρχικής γωνίας φάσης θ και συνεχούς συνιστώσας V dc με βάση τη σχέση: () sin ( π θ ) v t = V + V f t+ (II.67) dc Όπου η συχνότητα f είναι ίση με το αντίστροφο της περιόδου Τ, δηλαδή f=/t. Ζητούνται να υπολογιστούν η μέση τιμή του σήματος επί της περιόδου T και η ενεργός του τιμή που δίνονται από τις σχέσεις: T Vmean = v() t dt T (II.68) T (II.69) V = v () t dt T Λύση Με βάση τις σχέσεις (II.67) και (II.68) υπολογίζεται η μέση τιμή ως εξής: T T Vmean = v() t dt ( Vdc V sin( π f t θ) ) dt T = + + T T T Vmean = V dt+ V sin ( π f t+ θ) dt T dc T ( π f t+ θ ) T cos Vmean = Vdc t + V T T π f ( π ( T) T + θ) ( θ) π ( / ) cos / cos Vmean = Vdc T + V T T T ( θ ) ( π + θ ) ( θ ) ( θ ) cos cos cos cos V V V V V V π π mean = dc + = dc + = dc Με βάση τις σχέσεις (II.67) και (II.69) υπολογίζεται η ενεργός τιμή ως εξής: T T V = v () t dt = ( V ) dc + V sin π f t+ θ dt T T V = T ( V dc + V sin ( π f t+ θ) + Vdc V sin ( π f t+ θ) ) dt T V = T T T ( Vdc ) dt+ ( V sin ( π f t+ θ) ) dt+ ( Vdc V sin ( π f t+ θ) ) dt T V = T T T cos( π f t+ θ) cos( π f t+ θ) V dc t + V dt+ Vdc V T π f T II-39

82 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας T ( π ( T) t+ θ ) 4 π ( / T ) cos( π + θ) cos( θ) dc π ( / T) T sin 4 / t V = Vdc T + V + V V T ( π + θ) ( θ) 4 π ( / T ) sin 4 sin T V = Vdc T + V + Vdc V T T V dc dc V = V T + V = V + T II..6 Βασικές συναρτήσεις Στη συγκεκριμένη παράγραφο αναλύονται οι μορφές, τα χαρακτηριστικά και ορισμένες ιδιότητες των κυριότερων στοιχειωδών μαθηματικών συναρτήσεων, ομαλών (ευθείες, παραβολές, τριγωνομετρικές κα.) και ανώμαλων (βηματικής, ράμπας, τετραγωνικής και κρουστικής). II..6. Ευθεία Με βάση το σχήμα ΙΙ. οι βασικότερες μορφές ευθείας είναι οι εξής: Ευθεία παράλληλη προς τον άξονα / : Ευθεία παράλληλη προς τον άξονα / : = (II.7) = (II.7) Ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων Ο(,) (συγχρόνως είναι και περιττή): = a (II.7) Γενική ευθεία: = a + β : a (II.73) Η κλίση μίας ευθείας ταυτίζεται ουσιαστικά με την πρώτη της παράγωγο ή εναλλακτικά με το συντελεστή α και ουσιαστικά γεωμετρικά ισούται με την αντίστοιχη εφαπτόμενη της γωνίας ω. ( β ) / tanω = a = a + (II.74) Τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες / και / είναι αντίστοιχα: Σημείο τομής / : = a + β = β / a (II.75) Σημείο τομής / : = a + β = (II.76) ΙΙ-4

83 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ = =α α> = =α <α< = =α -<α< =α α<- =- = α +β, α> β = α +β, α< β ω: tanω= α ω: tanω= α -β/α -β/α Σχήμα ΙI.: Γραφική παράσταση ευθειών. II..6. Απόλυτη τιμή Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού συμβολίζεται με και ορίζεται ως εξής:, αν =, αν < (II.77) Η παράσταση της απόλυτης τιμής παρουσιάζεται στο σχήμα ΙΙ.3. Η συνάρτηση = διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι άρτια (καθώς = - ) και συμμετρική ως προς τον άξονα /. Οι βασικές της ιδιότητες είναι: = (II.78) και (II.79) = (II.8) Ο (,) Σχήμα ΙI.3: Γραφική παράσταση απόλυτης τιμής. = θ > = θ ή = θ (II.8) = θ = θ ή = θ (II.8) = (II.83) = (II.84) + + (II.85) II-4

84 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας II..6.3 Παραβολή Η συμμετρική παραβολή ως προς τον άξονα / ορίζεται ως εξής: = f = a (II.86) Η παραβολή αυτή διέρχεται από το Ο(,), είναι άρτια και συμμετρική ως προς τον άξονα /. Αν ο συντελεστής α είναι θετικός αριθμός, η συνάρτηση f() τοποθετείται στο θετικό ημιεπίπεδο κατά, αλλιώς, αν ο α είναι αρνητικός, στο αρνητικό, όπως φαίνεται και στο σχήμα ΙΙ.4. Όσο πιο μεγάλος είναι ο συντελεστής α, τόσο πιο απότομη είναι η μεταβολή της παράστασης. Σχήμα ΙI.4: Γραφική παράσταση παραβολής =α. Γενικότερα ως παραβολή προσδιορίζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από μία σταθερή ευθεία (τη διευθετούσα) και ένα σταθερό σημείο (την κορυφή) που δεν ανήκει στην ευθεία. Η μορφή της παραβολής είναι η ακόλουθη. Αν θεωρηθεί ότι η κορυφή τοποθετείται στο σημείο (p/,) και η ευθεία είναι η =-p/: = f = p : p>, > ή p<, < (II.87) Ο (,) =α =α <α < α =α =α >α > α Η αντίστοιχη μορφή παρουσιάζεται στο σχήμα ΙΙ.5. = p : p> = = =-p/ (p/,) Ο (,) Ο (,) = = Σχήμα ΙI.5: Γραφική παράσταση παραβολών = p, =, =-. Όμως για να ισχύει ο ορισμός της συνάρτησης (σχέση (II.79)) πρέπει κάθε να αντιστοιχεί σε μία τιμή και όχι σε δύο, οπότε η κάθε παραβολή «διασπάται σε δύο κλάδους», με συνέπεια να ορίζονται οι ακόλουθες συναρτήσεις: = f() = p (II.88) = f() = p (II.89) Ο εκάστοτε κλάδος της παραβολής διέρχεται από το Ο(,), αλλά δεν υπάρχει καμία συμμετρία λόγω του πεδίου ορισμού του (εκτείνεται είτε στο [,+ ), είτε στο (-,] ανάλογα με την τιμή του p). ΙΙ-4

85 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Αν οριστούν οι παραβολές = & = -, όπως φαίνεται και στο σχήμα ΙΙ.5, τότε με βάση την προηγούμενη διαδικασία προκύπτουν ότι: = = f() = ή = f() = : (II.9) = = f() = ή = f() = : (II.9) Αν συνδυαστούν οι σχέσεις (II.9) και (II.9) μπορεί να προκύψουν οι επόμενες άρτιες συναρτήσεις που εμπλέκουν ρίζα και απόλυτη τιμή όντας ουσιαστικά σκέλη παραβολής:, = f() = =, < (II.9), = f() = =, < Γενικότερα η μορφή της παραβολής δίνεται από τη σχέση: (II.93) = fπ = a + β + γ : α (II.94) Από τη μελέτη της συνάρτησης αυτής προκύπτει ότι, αν α>, η παράστασή της έχει τα κοίλα στραμμένα προς τα άνω, ενώ, αν α<, τότε έχει τα κοίλα στραμμένα προς τα κάτω, όπως φαίνονται στο σχήμα ΙΙ.6. Όσον αφορά το ακρότατο (ελάχιστο για α> και μέγιστο για α<) προκύπτει ότι: β β = fπ = γ a 4 a (II.95) Η σχέση (II.94) είναι ουσιαστικά η δευτεροβάθμια εξίσωση, οπότε τέμνει τον άξονα των / σε: σημεία (δύο ρίζες ρ και ρ ), όταν η διακρίνουσα Δ = β 4 α γ > : β Δ ρ = α σημείο (διπλή ρίζα), όταν η διακρίνουσα & β + Δ ρ = α Δ = β 4 α γ = : (II.96) β ρ = (II.97) α Κανένα σημείο (καμία ρίζα) στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, όταν η διακρίνουσα Δ= β 4 α γ <. Επισήμανση: Στην περίπτωση ύπαρξης δύο ριζών η σχέση γράφεται ως εξής: ( ρ ) ( ρ ) = a, α (II.98) όπου η συνάρτηση = f() λαμβάνει τιμές ομόσημες του α για τιμές του εκτός της περιοχής που ορίζουν οι δύο ρίζες ρ και ρ, και ετερόσημες του α για τιμές εντός της περιοχής αυτής. II-43

86 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Δ>, α> Δ=, α> Δ<, α> Ο ρ ρ ρ Α (-β/( α), γ- β /(4 α)) Α Ο ρ ρ ρ Α Δ>, α< Δ=, α< Δ<, α< Σχήμα ΙI.6: Γραφική παράσταση γενικής μορφής παραβολής. II..6.4 Υπερβολή Η υπερβολή είναι μία περιττή συμμετρική συνάρτηση, η οποία ορίζεται ως εξής: a = f = : (II.99) Όπως φαίνεται και στο σχήμα ΙΙ.7 καταλαμβάνει το ο και το 3 ο τεταρτημόριο, όταν το α>, και το ο και το 4 ο τεταρτημόριο για α<. Για τιμές του κοντά στο άπειρο η f() τείνει ασύμπτωτα στον άξονα /, ενώ για τιμές κοντά στο μηδέν τείνει ασύμπτωτα στον άξονα /. Η γενικότερη μορφή της υπερβολής, δηλαδή του γεωμετρικού τόπου των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε / (τις εστίες) είναι σταθερή, ίση με α, και μικρότερη της απόστασης αυτών των δύο σημείων ίσης με γ, δηλαδή της εστιακής απόστασης, δίνεται στην περίπτωση που οι εστίες είναι πάνω στο / συμμετρικά τοποθετημένες γύρω από την αρχή των αξόνων: a = : β β = γ α, α, βγ>, (II.3) Για να ισχύει ο ορισμός της συνάρτησης (σχέση (II.79)) πρέπει κάθε να αντιστοιχεί σε μία τιμή και όχι σε δύο, οπότε η κάθε υπερβολή «διασπάται σε δύο κλάδους», με συνέπεια να ορίζονται οι ακόλουθες συναρτήσεις: β = f() = a : a, (II.3) α β = f() = a : a, (II.3) α ΙΙ-44

87 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Στο σχήμα ΙΙ.7 παρουσιάζονται οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις της γενικής μορφής υπερβολής της σχέσης (II.3), όπου φαίνονται οι ξεχωριστοί δύο κλάδοι, οι οποίοι τείνουν στις ευθείες = (β/α) και = -(β/α) για τιμές του τείνοντας στο άπειρο. α< =α/, α> = -(β/α) =(β/α) = β a α Ο α> α< -α Ο α Ε(-γ,) Ε / (γ,) = β a α Σχήμα ΙI.7: Γραφική παράσταση μορφής υπερβολής =α/ και υπερβολής σχέσης (II.3). II..6.5 Κύκλος και έλλειψη Η γενικότερη μορφή ενός κύκλου, δηλαδή του γεωμετρικού τόπου των σημείων του επιπέδου τα οποία απέχουν σταθερή απόσταση ίση με ρ (την ακτίνα) από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού (το κέντρο με συντεταγμένες (, )), δίνεται από τη σχέση: + = ρ (II.33) Για να ισχύει ο ορισμός της συνάρτησης (σχέση (II.79)) πρέπει κάθε να αντιστοιχεί σε μία τιμή και όχι σε δύο, οπότε ο κάθε κύκλος «διασπάται σε δύο κλάδους», με συνέπεια να ορίζονται οι ακόλουθες συναρτήσεις: ρ = f() = + :, + ρ (II.34) ρ = f() = :, ρ (II.35) Ουσιαστικά η κάθε συνάρτηση εκ των (II.34) και (II.35) είναι συμμετρική γύρω από την ευθεία =. Οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις παρουσιάζονται στο σχήμα ΙΙ.7. Η γενικότερη μορφή της έλλειψης, δηλαδή του γεωμετρικού τόπου των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε / (τις εστίες) είναι σταθερό, ίσο με α, και μεγαλύτερο της απόστασης αυτών των δύο σημείων ίσης με γ, δηλαδή της εστιακής απόστασης, δίνεται στην περίπτωση που οι εστίες είναι πάνω στο / συμμετρικά τοποθετημένες γύρω από την αρχή των αξόνων: a + = : β β = γ α, α, βγ>, (II.36) II-45

88 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Για να ισχύει ο ορισμός της συνάρτησης (σχέση (II.79)) πρέπει κάθε να αντιστοιχεί σε μία τιμή και όχι σε δύο, οπότε η κάθε έλλειψη «διασπάται σε δύο κλάδους», με συνέπεια να ορίζονται οι ακόλουθες συναρτήσεις: β = f() = a : a, β (II.37) α β = f() = a : a, β (II.38) α Στο σχήμα ΙΙ.8 παρουσιάζονται οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις της γενικής μορφής έλλειψης, ενώ σημειώνεται ότι ο ένας κύριος άξονας της έλλειψης έχει μήκος α και βρίσκεται πάνω στην ευθεία /, ενώ ο άλλος κύριος άξονας της έλλειψης έχει μήκος β και βρίσκεται πάνω στην ευθεία /. Επίσης ο λόγος γ/α ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης και χαρακτηρίζει τη μορφή της έλλειψης, καθώς όσο τείνει προς τη μονάδα, τόσο η έλλειψη είναι πιο επιμήκης. Αν οι δύο εστίες συμπέσουν, τότε η έλλειψη μεταπίπτει σε κύκλο, ενώ η αντίστοιχη εκκεντρότητα είναι μηδέν. ρ = + ρ β β = a α Ο (, ) ρ = -α Ο Ε(-γ,) Ε / (γ,) α -β β = a α Σχήμα ΙI.8: Γραφική παράσταση γενικής μορφής κύκλου και έλλειψης. II..6.6 Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση Η γενική μορφή της εκθετικής συνάρτησης είναι της μορφής: = f = a : a > (II.39) Υπενθυμίζονται οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων α με εκθέτη με τις προϋποθέσεις α, β να είναι θετικοί και,, να ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών: a a = a + (II.3) a : a = a (II.3) ( a ) a = (II.3) a β a β = (II.33) ΙΙ-46

89 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ a a = β β (II.34) Χαρακτηριστικές εκθετικές συναρτήσεις είναι με βάση το και με βάση το e, των οποίων οι αντίστοιχες εκθετικές συναρτήσεις δίνονται από τις σχέσεις: = f = (II.35) = f = e (II.36) Επισήμανση η : Η συνάρτηση με βάση το e καλείται απλώς εκθετική, σε αντίθεση με τις υπόλοιπες συναρτήσεις που πάντα αναφέρεται η αντίστοιχη βάση. Επισήμανση η : Ο άρρητος αριθμό Euler e ορίζεται μέσω του επόμενου ορίου: e = lim +, 788 ν v v (II.37) Για την εκθετική συνάρτηση βάσης α, που δίνεται γενικά από τη σχέση (II.39), αν το α>, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Αν το <α<, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, όπως φαίνεται άλλωστε στο σχήμα ΙΙ.9. Στις γνησίως αύξουσες εκθετικές συναρτήσεις ανήκουν οι εκθετικές και e. Το αντίστροφο συμβαίνει αν αντί της συνάρτησης α χρησιμοποιηθεί η α -, που ουσιαστικά είναι η συμμετρικής της α ως προς τον άξονα των. Οπότε η συνάρτηση α - είναι γνησίως φθίνουσα για α> (με χαρακτηριστικά παραδείγματα τις εκθετικές - και e - ) και γνησίως αύξουσα για <α<. Η εκθετική συνάρτηση οποιασδήποτε βάσης α ως γνησίως μονότονη, είναι ένα προς ένα και μπορεί να βρεθεί η αντίστροφή της που καλείται λογάριθμος, δηλαδή: = a = log, a > (II.38) Οπότε ο λογάριθμος του βάσης α log α είναι ο εκθέτης στον οποίον πρέπει να υψωθεί η βάση α ώστε να βρεθεί το. Υπενθυμίζονται οι βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων του βάσης α με τις προϋποθέσεις α, β να είναι θετικοί και διάφοροι του και,, να ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών: log a a log a a a = (II.39) = (II.3) log a = (II.3) loga a = a a a (II.3) log = log + log (II.33) = (II.34) loga loga loga log a k = k log : k (II.35) a II-47

90 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας log β loga = (II.36) log β Χαρακτηριστικές λογαριθμικές συναρτήσεις είναι με βάση το και με βάση το e, οι οποίοι καλούνται αντίστοιχα δεκαδικός λογάριθμος ή απλώς λογάριθμος και φυσικός λογάριθμος των οποίων οι αντίστοιχες συναρτήσεις δίνονται από τις σχέσεις: a = f = log= log (II.37) = f = ln = log e (II.38) Οι λογαριθμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το [, ) και πεδίο τιμών όλο το σύνολο πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεται και στο σχήμα ΙΙ.9. Για τη λογαριθμική συνάρτηση βάσης α, που δίνεται γενικά από τη σχέση (II.38), αν το α>, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Αν το <α<, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Στις γνησίως αύξουσες λογαριθμικές συναρτήσεις ανήκουν ο δεκαδικός λογάριθμος log και ο φυσικός λογάριθμος ln. όμοια -, e - =α - =α =+ =- = -+ =log α = όμοια, e Ο =log α Ο =α όμοια e - όμοια log, ln α> <α< = Σχήμα ΙI.9: Γραφική παράσταση εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων. II..6.7 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν οριστεί σε ΙΙ... Ακολούθως παρουσιάζονται υπό τη μορφή συναρτήσεων μαζί με τις πιο συνήθεις ισοδύναμες ονομασίες τους, χωρίς όμως να αλλάζουν ούτε οι ορισμοί τους, ούτε το σύνολο των ιδιοτήτων τους που καταγράφηκαν στο ΙΙ.: Ημίτονο: sin φ= ημφ (II.39) Συνημίτονο: cosφ= συνφ (II.33) Εφαπτόμενη: tanφ= εφφ= tnφ = tgφ (II.33) Συνεφαπτομένη: cotφ= σφφ= ctanφ = ctnφ = ctgφ (II.33) Οι γραφικές παραστάσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου παρουσιάζονται στο σχήμα ΙΙ. για πεδίο ορισμού [,π], καθώς είναι περιοδικές συναρτήσεις περιόδου π. Το μεν ημίτονο είναι περιττή συνάρτηση, το δε συνημίτονο άρτια. Η αντιστροφή αυτών των ΙΙ-48

91 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ συναρτήσεων είναι δυνατή μόνο μέσα σε κατάλληλο διάστημα μίας ημιπεριόδου π, ώστε η αρχική συνάρτηση να είναι ένα προς ένα. Οπότε προκύπτει ότι: Τόξο ημιτόνου: Τόξο συνημιτόνου: - π π φ = arcsin = τοξημ=sin : [,], φ, (II.333) φ = arccos = τοξσυν=cos : [,] -, φ [, π] (II.334) π/ = =sin -π -π/ Ο π/ π - π =sin - -π/ π/ Ο =cos - = =cos - π/ π 3π/ π - Σχήμα ΙI.: Γραφική παράσταση ημίτονου sin, συνημίτονου cos και των αντίστοιχων αντίστροφων συναρτήσεων sin -, cos -. Η εφαπτομένη παρουσιάζεται στο σχήμα ΙΙ. με πεδίο ορισμού (-π/,π/), η οποία είναι περιττή, περιοδική περιόδου π και μη οριζόμενη στα σημεία k π+π/, k Z. Η συνεφαπτομένη παρουσιάζεται στο σχήμα ΙΙ. με πεδίο ορισμού (,π), η οποία είναι περιοδική περιόδου π και μη οριζόμενη στα σημεία k π, k Z. Η αντιστροφή αυτών των συναρτήσεων είναι δυνατή μόνο μέσα σε κατάλληλο διάστημα μίας περιόδου, ώστε η αρχική συνάρτηση να είναι ένα προς ένα. Οπότε προκύπτει ότι: Τόξο εφαπτομένης: φ arctan = arctg - - τοξεφ=tan =tn = = π π +, φ, : (, ) (II.335) Τόξο συνεφαπτομένης: arc cot = arcctg= τοξσφ φ = =cot =ctan =ctn : (, + ), φ (, π) (II.336) II-49

92 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας π/ = -3π/ -π -π/ Ο =tan - -π/ =tan π/ π 3π/ =cot - π π/ -π -π/ Ο π/ π 3π/ π =cot Σχήμα ΙI.: Γραφική παράσταση εφαπτομένης tan, συνεφαπτομένης cot και των αντίστοιχων αντίστροφων συναρτήσεων tan -, cot -. II..6.8 Υπερβολικές συναρτήσεις Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται ως εξής: e e Υπερβολικό ημίτονο: sinh = sh = : (II.337) e + e Υπερβολικό συνημίτονο: cosh = ch = : (II.338) Υπερβολική εφαπτομένη: e e sinh tanh = th = = : (II.339) e + e cosh Υπερβολική συνεφαπτομένη: e + e cosh coth = cth = = e e sinh : \{} (II.34) Στο σχήμα ΙΙ. παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις των υπερβολικών συναρτήσεων. Οι βασικότερες ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι οι ακόλουθες: cosh sinh = (II.34) tanh coth = (II.34) sinh + = sinh cosh + cosh sinh (II.343) ΙΙ-5

93 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ =cosh =coth =sinh =tanh Ο (,) Ο (,) = = - =coth Σχήμα ΙI.: Γραφική παράσταση του υπερβολικού ημιτόνου sinh, του υπερβολικού συνημιτόνου cosh, της υπερβολικής εφαπτομένης tanh, της υπερβολικής συνεφαπτομένης coth. sinh = sinh cosh cosh sinh (II.344) cosh + = cosh cosh + sinh sinh (II.345) cosh = cosh cosh sinh sinh (II.346) tanh tanh tanh + tanh + = (II.347) + tanh tanh ( ) tanh tanh = (II.348) tanh tanh ( ) coth coth + coth coth + = coth + coth ( ) coth coth = coth coth ( ) + sinh + sinh = sinh cosh + sinh sinh = sinh cosh + cosh + cosh = cosh cosh + cosh cosh = sinh sinh (II.349) (II.35) (II.35) (II.35) (II.353) (II.354) II-5

94 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Η μορφή τους μεταβάλλεται στην περίπτωση τιμών μιγαδικών αριθμών, όπως παρουσιάζεται στη ΙΙ.5... II..6.9 Βηματική συνάρτηση Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση (ή αλλιώς συνάρτηση βαθμίδας ή συνάρτηση βήματος ή συνάρτηση άλματος) ορίζεται ως εξής:, < u = ε (, ), =, > (II.355) Η βασική μορφή της παρουσιάζεται στο σχήμα ΙΙ.3. Όμως μπορεί να μετατοπιστεί κατά τον άξονα των, δηλαδή να υπάρξει αλλαγή της θέσης του βήματος. Οπότε η γενική μορφή της μετατοπισμένης μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης είναι του σχήματος ΙΙ.4 και δίνεται από τη σχέση:, < u ( ) = ε (, ), =, > Σχήμα ΙI.3: Απλή μοναδιαία βηματική συνάρτηση. (II.356) Σχήμα ΙI.4: Μοναδιαία μετατοπισμένη βηματική συνάρτηση. Ο (,) u() u(- ) (,) : > Αν μεταβληθεί το πλάτος ύψος της μετατοπισμένης βηματικής συνάρτησης κατά Α, τότε παύει να είναι μοναδιαία και μεταπίπτει στη γενική μορφή του σχήματος ΙΙ.5. Οπότε η αντίστοιχη σχέση είναι:, < Α u ( ) = ε (, Α ), = Α, > (II.357) II..6. Συνάρτηση ράμπας Η μοναδιαία συνάρτηση ράμπας ή αναρρίχησης ή επικλινής συνάρτηση r() του σχήματος ΙΙ.6 ορίζεται ως εξής:, < r =, (II.358) Προκύπτει από την αντίστοιχη ολοκλήρωση της u(): () r = ut dt (II.359) Σχήμα ΙI.5: Γενική μορφή βηματικής συνάρτησης. Α Ο (,) Α u(- ) (,) : > r() Α> 45 ο : tan45 o = Σχήμα ΙI.6: Μοναδιαία συνάρτηση ράμπας. ΙΙ-5

95 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Ωστόσο μπορεί να μεταβληθεί το σημείο έναρξης της αναρρίχησης, που στο βασικό ορισμό είναι το (,). Οπότε η αντίστοιχη μορφή της μετατοπισμένης ράμπας είναι του σχήματος ΙΙ.7 με σχέση:, =, r < (II.36) Συνδέεται με την αντίστοιχη μεταοπισμένη βηματική συνάρτηση u(- ) ως εξής: r ( ) = ut dt (II.36) Στη γενικότερη περίπτωση μπορεί να μεταβληθεί τόσο η κλίση της ράμπας, όσο και το σημείο έναρξης της αναρρίχησης. Οπότε η αντίστοιχη μορφή της μετατοπισμένης ράμπας είναι του σχήματος ΙΙ.8 με σχέση: Σχήμα ΙI.7: Μετατοπισμένη συνάρτηση μοναδιαίας ράμπας. r(- ) λ r(- ) 45 ο (,): > (,): > ω: λ=tanω Σχήμα ΙI.8: Γενική μορφή συνάρτησης ράμπας. λ r ( ) =, < = u λ λ ( ), (II.36) Η σχέση (II.36) μπορεί να προκύψει από την ολοκλήρωση της γενικής μορφής της βηματικής συνάρτησης Α u(- ) ως εξής: λ r ( ) = Α ut dt (II.363) λ r ( ) =Α ut dt {(II.36)} λ r ( ) =Α r ( ) λ =Α (II.364) Εναλλακτικά μπορεί η βηματική συνάρτηση να προκύψει από τη συνάρτηση ράμπας μέσω της αντίστοιχης παραγώγου, δηλαδή ισχύει: II..6. Συνάρτηση μοναδιαίου τετραγωνικού παλμού Ο μοναδιαίος τετραγωνικός παλμός είναι ένας τετραγωνικός παλμός πλάτους - ύψους /α που τοποθετείται γύρω από την αρχή των αξόνων σε εύρος -διάρκεια α με μορφή του σχήματος ΙΙ.9 και σχέση:, >,5 a pa = ε (, / a), =±,5 a(ii.366) / a, <,5 a dr( ) u( ) = (II.365) d /α (-,5 α,) p a () (,5 α,) Σχήμα ΙI.9: Μοναδιαίος τετραγωνικός παλμός. II-53

96 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Το εμβαδόν που περικλείει ο τετραγωνικός παλμός είναι ίσος με τη μονάδα και εξ αυτού ο ορισμός του ως μοναδιαίος. Δηλαδή ισχύει ότι: + p / / ( a a ) d = p ( ) d = d = α (II.367) a a/ a a/ Ακόμη συνδέεται με τη μοναδιαία βηματική συνάρτηση ως εξής: Στη συνέχεια μπορεί να σχηματιστεί ο μετατοπισμένος μοναδιαίος τετραγωνικός παλμός που ουσιαστικά τοποθετείται γύρω από το σημείο συμμετρικά έναντι της αρχής των αξόνων. Έχει πάλι πλάτος /α και εκτείνεται ουσιαστικά μεταξύ των σημείων -,5 α και +,5 α. Η μορφή του παλμού παρουσιάζεται στο σχήμα ΙΙ.3, ενώ η αντίστοιχη σχέση είναι: pa = { u( +,5 a) u(,5 a) } (II.368) α /α p a (- ) Σχήμα ΙI.3: Μετατοπισμένος μοναδιαίος τετραγωνικός παλμός. α ( -,5 α,) ( +,5 α,), < a/ ε (, / a), = a/ / a, a/ < < + a/ = ε ( a) = + a p ( ) a, /, /, < + a/ (II.369) Η αντίστοιχη σύνδεση με τη μετατοπισμένη βηματική συνάρτηση είναι η εξής: { ( ) ( )} pa ( ) = u,5 a u +,5 a (II.37) α Στη γενικότερη μορφή ο τετραγωνικός παλμός δεν χρειάζεται να έχει μοναδιαίο εμβαδό, όπως φαίνεται στο σχήμα ΙΙ.3. Σ αυτήν την περίπτωση τοποθετείται γύρω από το σημείο συμμετρικά με πλάτος Α και εκτείνεται μεταξύ των σημείων -,5 α και +,5 α. Η γενική μορφή του είναι του σχήματος ΙΙ.3, ενώ η αντίστοιχη σχέση είναι: Α (Α/α) p a (- ) ( -,5 α,) ( +,5 α,) Σχήμα ΙI.3: Γενική μορφή τετραγωνικού παλμού. α, < a/ ε (, Α ), = a/ Pa(, A) =Α a pa( ) = Α, a/ < < + a/ ε (, Α ), = + a/, < + a/ (II.37) ΙΙ-54

97 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Το εμβαδόν που περικλείει η γενική μορφή τετραγωνικού παλμού είναι ίσο με Α α σύμφωνα με το ακόλουθο ολοκλήρωμα: + a/ P a (, A ) d = d a Α =Α (II.37) a/ Η αντίστοιχη σύνδεση με τη μετατοπισμένη βηματική συνάρτηση είναι η εξής: { ( )} P, A =Α u,5 a u +,5 a (II.373) a II..6. Κρουστική μοναδιαία συνάρτηση Η κρουστική μοναδιαία συνάρτηση ή αλλιώς η συνάρτηση Dirac ή συνάρτηση δέλτα προκύπτει από το μοναδιαίο τετραγωνικό παλμό, αν το α τείνει στο μηδέν. Δηλαδή το πλάτος /α τείνει στο άπειρο, το εύρος του στο μηδέν και το εμβαδόν του παραμένει μονάδα. Στο σχήμα ΙΙ.3 παρουσιάζεται η αντίστοιχη μορφή του, που ουσιαστικά πρόκειται για ένα σύμβολο (βέλος), καθώς το άπειρο δεν μπορεί να παρασταθεί. Οι αντίστοιχες σχέσεις που ισχύουν είναι: δ() Ο (, ) Σχήμα ΙI.3: Μοναδιαία κρουστική συνάρτηση. δ p,, = lim a = a = (II.374) + + a d = δ d = δ : a>, a (II.375) a Εναλλακτικά στον ορισμό της σχέσης (II.374) στη θέση του απείρου υπάρχει το σύμβολο της απροσδιοριστίας. Αν ληφθεί υπόψη ο ορισμός της παραγώγου (από τη σχέση (II.46)) και ο ορισμός του τετραγωνικού παλμού (από τη σχέση (II.368)) προκύπτει ότι: δ = lim pa = lim { u( +,5 a) u(,5 a) } = lim { u( + a) u } a a α a α Αντίστοιχα ορίζεται η μετατοπισμένη κρουστική συνάρτηση ως εξής: δ = lim p ( ) (II.377) a a du δ = (II.376) d δ(- ) δ ( ), =, = (II.378) Η αντίστοιχη μορφή της παρουσιάζεται στο σχήμα ΙΙ.33. (, ) Σχήμα ΙI.33: Μετατοπισμένη μοναδιαία κρουστική συνάρτηση. II-55

98 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Ομοίως αν αντί μοναδιαίο εμβαδόν, το εμβαδόν είναι Α, τότε η κρουστική συνάρτηση έχει τη μορφή του σχήματος ΙΙ.34 και δίνεται από τις σχέσεις: Α δ = lim Α p ( ) (II.379) δ a a ( ) Α = = + & δ,, (II.38) Α d = Α (II.38) (, ) Α δ(- ) Σχήμα ΙI.34: Γενική μορφή κρουστικής συνάρτησης μετατοπισμένη στον άξονα κατά και εμβαδού ίσου με Α. Οι βασικές ιδιότητες της κρουστικής συνάρτησης είναι οι ακόλουθες: du u = t dt d (II.38) δ = δ δ δ δ = : (II.383) = : a (II.384) a ( a ) δ δ δ f = f (II.385) + f δ ( ) d= f ( ) (II.386) ( ) n n + d δ n d f f d= ( n ) (II.387) n d d = Σημείωση: Από τη σχέση (II.383) προκύπτει ότι η κρουστική συνάρτηση είναι άρτια. Επισήμανση η : Από τις σχέσεις (II.36), (II.365) και (II.38) προκύπτει ότι η παράγωγος ως τελεστής οξύνει τις ασυνέχειες, ενώ το ολοκλήρωμα τις εξομαλύνει. Συνοπτικά η διασύνδεση μεταξύ της κρουστικής, της βηματικής και της επικλινούς συνάρτησης έχει ως εξής: δ du ( ) ( ) = & u( ) d ( ) dr = (II.388) d ( ) δ ( ) & ( ) ( ) u = t dt r = u t dt (II.389) Επισήμανση η : Η πρώτη παράγωγος της κρουστικής συνάρτησης καλείται Doublet και συμβολίζεται ως δ / (). Ισχύουν οι εξής σχέσεις: + / + / d= δ ( ) d= δ (II.39) / δ = : (II.39) ΙΙ-56

99 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΙ-9 Δίνεται η κυματομορφή του σήματος τάσης (t) του σχήματος ΙΙ.35. Ζητείται να γραφεί υπό τη μορφή βασικών ομαλών ή ανώμαλων συναρτήσεων. (t) [V] t [s] Σχήμα ΙI.35: Κυματομορφή τάσης (t) της εφαρμογής ΙΙ-9. Λύση Επισήμανση ως προς τη διαδικασία επίλυσης: Κατά την εύρεση της αντίστοιχης μαθηματικής σχέσης της γραφικής παράστασης παρατηρούνται τα σημεία του άξονα t στα οποία παρουσιάζεται κάποια αλλαγή. Διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: Αλλαγή κλίσης: Π.χ. αυτό συμβαίνει τη χρονική στιγμή t=s στην κυματομορφή του σχήματος ΙΙ.35. Επιδρά ουσιαστικά μία συνάρτηση ράμπας με κλίση ίση με τη διαφορά μεταξύ της τελικής και της αρχικής κλίσης, καθώς το ζητούμενο είναι να γίνει η μετάβαση από την αρχική κλίση στην τελική, όπως φαίνεται στο σχήμα ΙΙ.36. Η συνάρτηση εφαρμόζεται στο σημείο της μεταβολής : Αλλαγή επιπέδου ύπαρξη «σκαλοπατιού»: Π.χ. αυτό συμβαίνει τη χρονική στιγμή t= 4s στην κυματομορφή του σχήματος ΙΙ.35. Επιδρά ουσιαστικά μία βηματική συνάρτηση με πλάτος ίσο με τη διαφορά μεταξύ του τελικού και του αρχικού πλάτους, καθώς γίνεται η μετάβαση από το αρχικό πλάτος στο τελικό, όπως φαίνεται στο σχήμα ΙΙ.36. Η συνάρτηση εφαρμόζεται στο σημείο της μεταβολής : ω : λ =tanω Σχήμα ΙI.36: Γενική περίπτωση αλλαγή κλίσης με χρήση συναρτήσεων ράμπας. ( λ λ ) αλλαγή κλίσης = r (II.39) Α Σχήμα ΙI.37: Γενική περίπτωση αλλαγή ύψους με χρήση βηματικών συναρτήσεων. αλλαγή βήματος = Α Α u (II.393) Α ω : λ =tanω II-57

100 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Εμφάνιση κρουστικής συνάρτησης: Η κρουστική συνάρτηση παρουσιάζεται υπό τη μορφή συμβόλου βέλους επί της γραφικής παράστασης ή συνήθως ως μέγεθος που προκύπτει από την παραγώγιστη αντίστοιχης βηματικής συνάρτησης. Στην παρούσα περίπτωση διαπιστώνονται τα εξής χαρακτηριστικά σημεία: Χρονική στιγμή t=s: Παρατηρείται αλλαγή κλίσης με αρχική τιμή λ - = και τελική τιμή λ - (κλίση τμήματος ΑΓ), όπου ο ος δείκτης του λ i-j δηλώνει την αρχική / τελική τιμή και ο ος τον αύξοντα αριθμό αλλαγής κλίσης που υπολογίζεται από το τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος ΙΙ.38 με κορυφές τα σημεία Α(,), Β(,), Γ(,6). Δηλαδή: ΓΒ 6 = = = = 6 ΑΒ λ Γ Β tβ tα Οπότε το αντίστοιχο τμήμα της συνάρτησης είναι το εξής: (t) [V] Α ( λ λ ) r( t ) = ( ) r( t ) = r( t ) 6 6 Γ Β Ε Σχήμα ΙI.38: Κυματομορφή τάσης (t) της εφαρμογής ΙΙ-9 - επίλυση. Δ Κ 3 4 5t [s] Ζ Η Θ Ι Λ Μ Χρονική στιγμή t=s: Παρατηρείται αλλαγή κλίσης με αρχική τιμή λ - = λ - =6 (κλίση τμήματος ΑΓ) και τελική τιμή λ - = (λόγω οριζόντιου τμήματος ΓΔ). Οπότε το αντίστοιχο τμήμα της συνάρτησης είναι το εξής: ( λ λ ) r( t ) = ( ) r( t ) = r( t ) 6 6 Χρονική στιγμή t=4s: Παρατηρείται αλλαγή ύψους μεταξύ του αρχικού ύψους Α - =6 (λόγω του σημείου Δ(4,6)) και του τελικού ύψους Α - = (λόγω του σημείου Ε(4,)), οπότε το αντίστοιχο τμήμα της συνάρτησης είναι το εξής: ( Α Α ) u( t ) = ( ) u( t ) = u( t ) Χρονική στιγμή t=6s: Παρατηρείται τόσο αλλαγή ύψους μεταξύ του αρχικού ύψους Α - = (λόγω του σημείου Ζ(6,)) και του τελικού ύψους Α - =4 (λόγω του σημείου Η(6,4)), όσο και αλλαγή κλίσης με αρχική τιμή λ -3 = (λόγω οριζόντιου τμήματος ΖΕ) και τελική τιμή λ -3 (κλίση τμήματος ΗΚ) που υπολογίζεται από το αντίστοιχο τρίγωνο ΗΘΚ του σχήματος ΙΙ.38 με κορυφές τα σημεία Η(6,4), Θ(8,4), Κ(8,-4). Δηλαδή ισχύει ότι: λ 3 Κ Θ tθ tη ( ) ΚΘ 4 4 = = = = 4 (αρνητική τιμή λόγω καθοδικής κλίσης) ΗΘ 8 6 ΙΙ-58

101 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Εναλλακτικά προσδιορίζεται η απόλυτη τιμή της κλίσης του τμήματος ΚΗ ως το πηλίκο των μηκών ΚΘ και ΗΘ και λόγω καθόδου τοποθετείται το πρόσημο «-». Σε κάθε περίπτωση το αντίστοιχο τμήμα της συνάρτησης είναι το εξής: ( λ λ ) 3 3 r t 6 + Α Α u t 6 = 4 r t u t 6 ( λ λ ) r( t 6) + ( Α Α ) u( t 6) = 4 r( t 6) 6 u( t 6) 3 3 Χρονική στιγμή t=8s: Παρατηρείται αλλαγή κλίσης με αρχική τιμή λ 4- =-4 (κλίση τμήματος ΚΗ) και τελική τιμή λ -4 (κλίση τμήματος ΛΚ) που υπολογίζεται από το αντίστοιχο τρίγωνο ΛΚΙ του σχήματος ΙΙ.36 με κορυφές τα σημεία Κ(8,-4), Λ(,), Ι(8,). Δηλαδή ισχύει ότι: λ 4 Ι Κ tλ tι ΚΙ 4 = = = = ΛΙ 8 6 Εναλλακτικά προσδιορίζεται η απόλυτη τιμή της κλίσης του τμήματος ΚΛ ως το πηλίκο των μηκών ΚΙ και ΛΙ και λόγω ανόδου τοποθετείται το πρόσημο «+». Οπότε το αντίστοιχο τμήμα της συνάρτησης είναι το εξής: ( λ λ ) 4 4 r t 8 = 4 r t 8 = 6 r t 8 Χρονική στιγμή t=s: Παρατηρείται αλλαγή κλίσης με αρχική τιμή λ 5- = (κλίση τμήματος ΚΛ) και τελική τιμή λ -5 = (λόγω οριζόντιου τμήματος ΛΜ). Οπότε το αντίστοιχο τμήμα της συνάρτησης είναι το εξής: ( λ λ ) r( t ) = ( ) r( t ) = r( t ) 5 5 Συνολικά η αντίστοιχη μαθηματική σχέση της κυματομορφής μέσω των βασικών ανώμαλων σημάτων είναι η εξής: ( t) = 6 r t 6 r t + 4 u t 4 4 r t 6 6 u t r t 8 r t Προσοχή: Δεν χρειάζεται να γίνεται όλη η ανωτέρω ανάλυση, αρκεί συνοπτικά να προσδιορίζεται η αντίστοιχη παράσταση. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΙΙ- Να πραγματοποιηθεί η κυματομορφή του σήματος που δίνεται από τη σχέση: vt () = 5 e cos t ut ut 9 4,5 t π { } (II.394) Λύση Επισήμανση ως προς τη διαδικασία επίλυσης: Όταν δίνεται η μαθηματική σχέση της γραφικής παράστασης είτε σχεδιάζονται οι επιμέρους βασικές συναρτήσεις και ακολούθως συνδυάζονται, είτε γίνεται η αντίστοιχη αριθμητική αντικατάσταση σε χαρακτηριστικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Κατά τον ο τρόπο επίλυσης: Η συνάρτηση v(t) διασπάται στις εξής τρεις συναρτήσεις: (α) την εκθετική συνάρτηση f (t)=ep(-,5 t), η οποία λόγω αρνητικού II-59

102 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας εκθέτη παρουσιάζει κατερχόμενη συμπεριφορά (σε αντίθεση με την κλασική μορφή εκθετικής συνάρτησης), (β) τη συνάρτηση συνημιτόνου f (t)=cos( π t/4), το οποίο παρουσιάζει περίοδο Τ= 4s και (γ) τη συνάρτηση τετραγωνικού παλμού f 3 (t)=u(t-)- u(t-9), που έχει μοναδιαίο ύψος και εκτείνεται στο διάστημα [, 9]. Οπότε διαμορφώνονται οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις στο σχήμα ΙΙ.39. Αν πολλαπλασιαστούν οι αντίστοιχες συναρτήσεις μαζί με τον πολλαπλασιαστικό συντελεστή 5 προκύπτει η συνάρτηση της σχέσης (II.394) και του σχήματος ΙΙ.39δ, δηλαδή ισχύει ότι: vt () = 5 f t f t f t (II.395) 3 f,5,,75,5,5, 3 4 (α) t [s] f,5,,75,5,5, -,5 -,5 -,75 -, -,5 t [s] (β) f 3,5,,75,5,5, (γ) t [s],,5 v(t), -,5 -, -,5 -, t [s] (δ) Σχήμα ΙI.39: Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων: (α) f (t)=ep(-,5 t), (β) f (t)= cos( π t/4), (γ) f 3 (t)=u(t-)-u(t-9), (δ) v(t)=5 f (t) f (t) f 3 (t). ΙΙ-6

103 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Δηλαδή βασικά σχηματίζονται οι τρεις βασικές συναρτήσεις που μέσω της αντίστοιχης θεωρίας είναι σχεδόν άμεση η σχεδίασή τους και έπειτα γίνεται το αντίστοιχο γινόμενο, δηλαδή ουσιαστικά χαράσσεται μία συνημιτονοειδή συνάρτηση της οποίας το πλάτος ακολουθεί τον κατερχόμενο κλάδο της εκθετικής και λαμβάνει μη μηδενικές τιμές στο διάστημα [, 9]. Αυτή η διαδικασία είναι κατάλληλη για ποιοτική σχεδίαση. Κατά τον ο τρόπο επίλυσης: Παρατηρώντας το πολλαπλασιαστικό παράγοντα {u(t-)- u(t-9)} η συνάρτηση v(t) λαμβάνει μη μηδενικές τιμές στο διάστημα [, 9]. Οπότε από s ως 9 s με χρονικό βήμα, s υπολογίζονται οι αριθμητικές τιμές της συνάρτησης v(t) είτε απευθείας, είτε μέσω των συναρτήσεων f (t), f (t), f 3 (t) και του επακόλουθου γινομένου τους με το 5 σύμφωνα με τη σχέση(ii.395), σύμφωνα με τα αποτελέσματα του πίνακα ΙΙ.3. Με τη βοήθεια των αντίστοιχων αριθμητικών τιμών προσδιορίζεται η γραφική παράσταση του σχήματος ΙΙ.39δ μέσω γραμμικών παρεμβολών των αντίστοιχων σημείων. Πίνακας ΙI.3: Αριθμητικά αποτελέσματα τιμών συναρτήσεων f (t), f (t), f 3 (t) και v(t) της εφαρμογής ΙΙ-. t f (t) f (t) f 3 (t) v(t) t f (t) f (t) f 3 (t) v(t), -,368 -,, 5,5,639 -,77 -,6,,3679 -, -,8394 5,6,68 -,89 -,46,,3499 -,9877 -,78 5,7,578 -,89 -,577,,339 -,95 -,589 5,8,55 -,95 -,67,3,366 -,89 -,46 5,9,53 -,9877 -,585,4,3 -,89 -,84 6,,498 -, -,489,5,865 -,77 -,9 6,,474 -,9877 -,339,6,75 -,5878 -,8 6,,45 -,95 -,4,7,59 -,454 -,5885 6,3,49 -,89 -,99,8,466 -,39 -,38 6,4,48 -,89 -,649,9,346 -,564 -,835 6,5,388 -,77 -,37 3,,3,, 6,6,369 -,5878 -,84 3,,,564,66 6,7,35 -,454 -,796 3,,9,39,39 6,8,334 -,39 -,56 3,3,9,454,4359 6,9,37 -,564 -,48 3,4,87,5878,5369 7,,3,, 3,5,738,77,644 7,,87,564,5 3,6,653,89,6686 7,,73,39,4 3,7,57,89,75 7,3,6,454,59 3,8,496,95,7 7,4,47,5878,77 3,9,43,9877,76 7,5,35,77,83 4,,353,,6767 7,6,4,89,95 4,,87,9877,6357 7,7,3,89,948 4,,5,95,583 7,8,,95,963 4,3,65,89,589 7,9,93,9877,95 4,4,8,89,448 8,,83,,96 4,5,54,77,376 8,,74,9877,86 4,6,3,5878,947 8,,66,95,788 4,7,954,454,65 8,3,58,89,7 4,8,97,39,4 8,4,5,89,67 4,9,863,564,675 8,5,43,77,54 5,,8,, 8,6,36,5878,399 5,,78 -,564 -,6 8,7,9,454,93 5,,743 -,39 -,48 8,8,3,39,9 5,3,77 -,454 -,64 9,,,, 5,4,67 -,5878 -,975 9, +,,, II-6

104 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας II.3 Πίνακες Ορίζουσες Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων II.3. Ορισμός πινάκων Μία διάταξη m n το πλήθος των αριθμών σε μορφή ορθογωνίου σχήματος με m γραμμές και n στήλες ονομάζεται πίνακας τύπου m n ή m n πίνακας και συμβολίζεται ως εξής: a a a j an a a a j an a a an a a a A = = = am am amn a m am amj a mn n aij a m n i ai aij ain (II.396) Ένας πίνακας που όλα του τα στοιχεία είναι μηδενικά λέγεται μηδενικός και συμβολίζεται ως Ο: Ο = = [ ] m n (II.397) Δύο πίνακες Α, Β που έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών και τον ίδιο αριθμό στηλών και έχουν ίσα τα αντίστοιχα στοιχεία λέγονται ίσοι και γράφονται ως εξής: A= B a = b i, j με i m, j n: a = b (II.398) ij m n ij m n ij ij Δηλαδή δύο πίνακες διαφορετικού τύπου δεν μπορεί να είναι ίσοι. Αν ένας πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών (n=m), δηλαδή είναι τύπου n n λέγεται τετραγωνικός. Σε έναν τετραγωνικό πίνακα τα στοιχεία α, α,..., α nn, δηλαδή τα στοιχεία α ii, σχηματίζουν την κύρια διαγώνιο. Αν τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα Α που δεν βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο είναι όλα μηδενικά, τότε ο Α λέγεται διαγώνιος. Στην περίπτωση που ένας διαγώνιος πίνακας έχει όλα τα διαγώνια στοιχεία του ίσα με τη μονάδα καλείται μοναδιαίος και συμβολίζεται με Ι, δηλαδή: I n = In n = (II.399) Ένας πίνακας που έχει μία μόνο γραμμή λέγεται πίνακας γραμμή, ενώ ένας πίνακας που έχει μόνο μία στήλη λέγεται πίνακας στήλη. Αν οι γραμμές ενός πίνακα Α γίνουν στήλες με την ίδια σειρά (δηλαδή η πρώτη γραμμή γίνει πρώτη στήλη, η δεύτερη γραμμή δεύτερη στήλη κτλ), τότε ο πίνακας που προκύπτει λέγεται ανάστροφος πίνακας του Α και συμβολίζεται με Α Τ. T aij a m n ji n m A = A = (II.4) ΙΙ-6

105 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Π.χ. έστω ο πίνακας ΙΙ.4 που περιέχει τους ναυτικούς δόκιμους της ομώνυμης σχολής όλων των τάξεων και όλων των τμημάτων. Πίνακας ΙI.4: Ναυτικοί δόκιμοι ανά τάξη ανά τμήμα Έτος Τμήμα ο τμήμα μάχιμων ο τμήμα μάχιμων Τμήμα μηχανικών ο ο ο ο Αν γραφεί ως μαθηματικός πίνακας, έστω Α, θα έχει διαστάσεις 43 και θα έχει την εξής δομή: A = Ο ανάστροφος πίνακας Α Τ, δηλαδή ο πίνακας που η κάθε γραμμή θα αντιστοιχεί σε ένα από τα τμήματα ( ο τμήμα μάχιμων, ο τμήμα μάχιμων, τμήμα μηχανικών) και η κάθε στήλη θα αντιστοιχεί σ ένα έτος είναι ο ακόλουθος με διαστάσεις 34: A T = Αν από τον πίνακα Α ληφθεί η πρώτη γραμμή, δηλαδή το πρώτο έτος, θα προκύψει ο πίνακας γραμμή Α / : A / = [ 3 4 9] Αν από τον πίνακα Α ληφθεί η τρίτη στήλη, δηλαδή οι μηχανικοί όλων των ετών, θα προκύψει ο πίνακας στήλη Α // : A // 9 8 = = 7 5 [ ] T II.3. Πράξεις πινάκων Οι βασικές πράξεις πινάκων είναι: Η πρόσθεση / αφαίρεση μεταξύ πινάκων ίδιων διαστάσεων. Ο πολλαπλασιασμός πίνακα με αριθμό. Ο πολλαπλασιασμός μεταξύ πινάκων κατάλληλων διαστάσεων. Η αντιστροφή τετραγωνικού πίνακα. II-63

106 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας II.3.. Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων Το άθροισμα δύο m n πινάκων Α, Β ονομάζεται ένας m n πίνακας του οποίου κάθε στοιχείο είναι το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων των Α και Β και συμβολίζεται ως Α+Β. Δηλαδή ισχύει ότι: A B = a + b = a + b (II.4) + ij m n ij m n ij ij m n Σε κάθε περίπτωση πρόσθεση μεταξύ δύο πινάκων διαφορετικών διαστάσεων δεν μπορεί να γίνει. Οι βασικότερες ιδιότητες της πρόσθεσης είναι: Αντιμεταθετική ιδιότητα: Προσεταιριστική ιδιότητα: A + B= a + b = b + a = B + A (II.4) ij ij m n ij ij m n = a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = A+ B+ C A+ B + C (II.43) ij ij ij ij ij ij m n Ο μηδενικός πίνακας Ο είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης πινάκων: m n A+ Ο= Ο+ A= A (II.44) Ο αντίθετος πίνακας -Α ενός m n πίνακα Α είναι ένας πίνακας που όλα τα στοιχεία του είναι τα αντίθετα των αντίστοιχων στοιχείων του Α. Δηλαδή: A = a ij (II.45) m n Ισχύουν ότι: ( ) ( ) A+ A = A + A =O (II.46) ( A) = A (II.47) O= O (II.48) A+ X= A X= O (II.49) A+ X= O X= A (II.4) Όμοια με το άθροισμα ορίζεται η διαφορά. Συγκεκριμένα η διαφορά δύο m n πινάκων Α, Β ονομάζεται ένας m n πίνακας του οποίου κάθε στοιχείο είναι η διαφορά των αντίστοιχων στοιχείων των Α και Β και συμβολίζεται ως Α-Β. Δηλαδή ισχύει ότι: ij ij m n ij m n ij m n A B= a b = a + b = A+ B (II.4) Οι βασικότερες ιδιότητες της αφαίρεσης (πέρα των ιδιοτήτων της πρόσθεσης) είναι: A+ C= B+ C A = B (II.4) X+ B= A X= A B (II.43) ( + ) A B = A B (II.44) ΙΙ-64

107 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Π.χ. έστω ο πίνακας ΙΙ.5 που περιέχει την κατανάλωση διαφόρων ειδών κρέατος ανά κατηγορία ατόμων σ ένα νοσοκομείο για τους μήνες Απρίλιο και Μάιο. Πίνακας ΙI.5: Κατανάλωση διαφόρων ειδών κρέατος σε νοσοκομείο (σε kg) Άτομα Κρέας Ιατρικό προσωπικό Απρίλιος Λοιπό προσωπικό Ασθενείς Ιατρικό προσωπικό Μάιος Λοιπό προσωπικό Ασθενείς Αρνί Βοειδή Χοιρινό Πουλερικά Ιχθύς Αν θεωρηθούν οι μαθηματικοί πίνακες, έστωσαν Α και Β, που αντιστοιχούν στις καταναλώσεις των μηνών Απριλίου και Μαΐου με διαστάσεις 53, τότε ισχύει ότι: A = και B = Οπότε η συνολική κατανάλωση για τους δύο μήνες δίνεται από τον πίνακα C: C= A+ B = = C= A+ B = Αντίστοιχα η διαφορά στις καταναλώσεις για τους δύο μήνες (Απρίλιος-Μάιος) δίνεται από τον πίνακα D: D= A B = = II-65

108 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας D= A B = II.3.. Πολλαπλασιασμός πίνακα με αριθμό Το γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με έναν m n πίνακα Α ονομάζεται ένας m n πίνακας του οποίου κάθε στοιχείο προκύπτει από το γινόμενο κάθε στοιχείου του Α με το λ και συμβολίζεται ως λ Α ή λα. Δηλαδή ισχύει ότι: λ A = λ aij (II.45) Οι βασικότερες ιδιότητες αυτής της πράξης έχοντας δύο πίνακες Α και Β ίδιων διαστάσεων και δύο πραγματικούς αριθμούς κ και λ είναι οι ακόλουθες: m n κ+λ A = κ Α+λ A (II.46) λ A+ B = λ A+λ B (II.47) κ λ A = κ λ A (II.48) A= A (II.49) ( ) A = A (II.4) λ A = λ A = λ A (II.4) A = O (II.4) λ O= O (II.43) λ A= O λ = ή A= O (II.44) λ A = λ Β λ= ή A = Β (II.45) λ A= κ A λ= κ ή A= O (II.46) Π.χ. αν θεωρηθεί ως τυπική κατανάλωση κρέατος ενός μήνα οι καταναλώσεις κρέατος του πίνακα ΙΙ.5 για το μήνα Απρίλιο, μπορεί να γίνει η εκτίμηση της συνολικής ποσότητας κρέατος για όλο το έτος πολλαπλασιάζοντας με το (για τους μήνες), δηλαδή: A = = = ΙΙ-66

109 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ II.3..3 Πολλαπλασιασμός πίνακα με πίνακα Αν Α είναι ένας m n πίνακας και Β είναι ένας n k πίνακας, τότε ορίζεται ως γινόμενο του πίνακα Α με τον πίνακα Β και συμβολίζεται με Α Β ή ΑΒ τον m k πίνακα, του οποίου κάθε στοιχείο c ij είναι το άθροισμα των γινομένων των n στοιχείων της i-ιοστής γραμμής του Α με τα αντίστοιχα n στοιχεία της j-ιοστής στήλης του Β. Δηλαδή ισχύει ότι: Αναλυτικότερα ισχύει ότι: a a a c = a b + a b a b = a b (II.47) ij i j i j in nj ip pj p= n j k b b b j b a a a n k c c c j ck b b b j b k n c c c c = (II.48) ai ai ain ci ci cij cik bn bn bnj bnk a c m am amn m cm cmj cmk Όπου: c = a b + a b an bn c = a b + a b an bn cij = ai bj + ai bj ain bnj c = a b + a b a b mk m k m k mn nk Σε κάθε περίπτωση για να οριστεί το γινόμενο των πινάκων Α Β πρέπει ο αριθμός των στηλών του πίνακα Α να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα Β. Δηλαδή: A, B A B m n n k m k (II.49) Επίσης από τη σχέση (II.49) φαίνεται άμεσα ότι η πράξη Β Α μπορεί να μην εκτελείται (αν m k). Γενικότερα στον πολλαπλασιασμό πινάκων δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, ακόμη και είναι δυνατή η εκτέλεση του πολλαπλασιασμού τόσο του πίνακα Α με τον Β, όσο και του Β με τον Α, δηλαδή: AB BA (II.43) Π.χ. έστω ο πίνακας Α διαστάσεων 4 περιέχει το πλήθος των ναυτικών δοκίμων, όπου σε κάθε γραμμή καταγράφονται ανά τάξη ( η γραμμή Α έτος, η γραμμή Β έτος κτλ.), ενώ σε κάθε στήλη ανά ειδικότητα ( η στήλη οι μάχιμοι και η στήλη οι μηχανικοί), δηλαδή: A = II-67

110 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Ο πίνακας Β διαστάσεων 3 περιέχει τα κόστη (σε ευρώ) που αφορούν τους ναυτικούς δόκιμους όσον αφορά την εκπαίδευσή τους ανάλογα με την ειδικότητα, όπου κάθε γραμμή αντιστοιχεί στην ειδικότητα ( η γραμμή οι μάχιμοι και η γραμμή οι μηχανικοί), ενώ κάθε στήλη αντιστοιχεί στο είδος δαπάνης ( η στήλη βιβλία γραφική ύλη, η στήλη φωτοτυπίες, 3 η στήλη χάρτες όργανα κτλ.), δηλαδή: 5 6 B = 7 5 Για να υπολογιστεί το κόστος ανά τάξη ναυτικών δοκίμων και ανά είδος δαπάνης πραγματοποιείται ο πολλαπλασιασμός του πίνακα Α με το πίνακα Β σχηματίζοντας ένα νέο πίνακα C τύπου 43, δηλαδή: AB = = = C Δηλαδή το κόστος των φωτοτυπιών για τους ναυτικούς δόκιμους του Γ έτους είναι ίσο με 344 ευρώ έχοντας προκύψει από: c3 = a3 b + a3 b = = 344 Π.χ. έστω ότι δίνονται ο πίνακας Α διαστάσεων 33 και ο πίνακας Χ διαστάσεων 3: A a a a 3 = a a a 3 a a a X = 3 Από το γινόμενο του Α με το Χ προκύπτει ο πίνακας Β, δηλαδή: b a a a a + a + a B= = A X b a a a 3 a a a3 = = b3 a3 a3 a33 3 a3 + a3 + a33 3 Ουσιαστικά, αν ο Α είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων,, 3, Χ ο πίνακας των αγνώστων,, 3 και Β ο πίνακας των σταθερών όρων, έχει προκύψει ένα σύστημα 33 γραμμικών εξισώσεων: Π.χ. έστω ότι δίνονται οι εξής πίνακες: a + a + a = b 3 3 a + a + a = b 3 3 a + a + a = b A = B = 4 6 Τότε προκύπτει ότι: ΙΙ-68

111 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ AB = 4 = & B A = 4 6 = Δηλαδή πράγματι δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό πινάκων. Οι βασικότερες ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων είναι: Προσεταιριστική ιδιότητα: Επιμεριστική ιδιότητα: A ( B C) = ( A B) C (II.43) A ( B+ C) = A B+ A C και Πολλαπλασιασμός αριθμού με γινόμενο πινάκων: B+ C A= B A+ C A (II.43) λ AB = λ A B= A λ B (II.433) Όποιος πίνακας πολλαπλασιαστεί με το μηδενικό πίνακα Ο κατάλληλων διαστάσεων, θα προκύψει πάλι μηδενικός πίνακας, δηλαδή: A O = O και Onk Ak m = O nm (II.434) m n nk mk Ο μοναδιαίος πίνακας Ι είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού πινάκων: A I = A και In An m= A n m (II.435) m n n m n n n n n n n n n A I = I A = A (II.436) Αν ο πίνακας Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας διαστάσεων nn, τότε ορίζεται η δύναμη πινάκων ως εξής: v A = A A A με A = A (II.437) v θετικό ακέραιο πλήθος Αν p, q είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί, τότε ισχύουν ότι: p q p+ q q p A A = A = A A (II.438) p q p q q = = p A A A (II.439) II.3..4 Αντιστρέψιμος πίνακας Έστω Α ένας τετραγωνικός πίνακας διαστάσεων nn. Αν υπάρχει ένας τετραγωνικός πίνακας Χ διαστάσεων nn, τέτοιος ώστε να ισχύει: A X= In = X A (II.44) Τότε ο Α λέγεται αντιστρέψιμος πίνακας και ο Χ λέγεται αντίστροφος του Α. Π.χ. έστω ότι δίνονται οι πίνακες: A = 4 B =,5,5 Τότε προκύπτει ότι: II-69

112 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας AB = 4 =,5,5 & B A = =,5,5 4 Δηλαδή ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α. Αν ένας τετραγωνικός πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, τότε ο αντίστροφός του είναι μοναδικός και συμβολίζεται ως Α -. Δηλαδή ισχύει ότι: - - n A A = I = A A (II.44) Οι βασικότερες ιδιότητες των αντιστρέψιμων πινάκων είναι οι ακόλουθες: Αν ο nn πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, τότε και ο Α - είναι αντιστρέψιμος και ισχύει: - ( A ) = A (II.44) Αν οι nn πίνακες Α και Β είναι αντιστρέψιμοι, τότε και ο Α Β είναι αντιστρέψιμος και ισχύει: = Αν ο nn πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, τότε ισχύει: AB B A (II.443) = k k k A A = A (II.444) Η ιδιότητα της διαγραφής δεν ισχύει στον πολλαπλασιασμό των πινάκων (αντίθετα με την ιδιότητα της διαγραφής στους πραγματικούς αριθμούς). Δηλαδή: Μόνο αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, τότε ισχύει ότι: AB = AC B C (II.445) AB = AC A AB = A AC A A B= A A C B= C (II.446) Αν το γινόμενο δύο πινάκων Α και Β ισοδυναμεί με τον μηδενικό πίνακα, δεν οδηγεί υποχρεωτικά στο μηδενικό πίνακα ενός εκ των Α και Β (αντίθετα με ό,τι ισχύει στους πραγματικούς αριθμούς που α β= α= ή β=). Δηλαδή: AB = O A = O ή Β = O (II.447) Μόνο αν ένας εκ των δύο πινάκων είναι αντιστρέψιμος, τότε ο άλλος είναι ο μηδενικός, δηλαδή: Αν Α είναι αντιστρέψιμος: Αν Β είναι αντιστρέψιμος: AB =Ο A AB =Ο B = Ο (II.448) AB =Ο AB Β =Ο Α = Ο (II.449) Ο αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα Α μπορεί να προσδιορισθεί ως εξής: Έστω ότι δίνονται ο πίνακας Α και ο πίνακας Χ που είναι ο αντίστροφός του, δηλαδή: Αν α α A = α α και Χ =, τότε ΙΙ-7

113 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ α α a + a a + a A X = α α = = a + a a + a Δηλαδή προκύπτει το σύστημα εξισώσεων: a a a a = a = a a a a a + a = a a = = a + a = a a a a a a + a = a a = = a + a = a a a a a a a + a = a a = a a a a (II.45) Οι σχέσεις της (II.45) ισχύουν, εφόσον α α -α α, α, α. Στην περίπτωση που δεν ισχύει μία εκ των α και α, τότε προκύπτουν πιο ειδικές απλές επιλύσεις του συστήματος (II.45). Επίσης αν γίνει το γινόμενο Χ Α, τότε προκύπτει ότι: α α a + a a + a X A = α α = = a + a a + a Δηλαδή προκύπτει το σύστημα εξισώσεων: a a a a = a = a a a a a + a = a a = = a + a = a a a a a a + a = a a = = a + a = a a a a a a a + a = a a = a a a a (II.45) Ουσιαστικά οι σχέσεις (II.45) και (II.45) ταυτίζονται. Σε κάθε περίπτωση για την πραγματοποίηση της αντιστροφής πρέπει να ισχύει: a a a a (II.45) Οπότε ο αντίστροφος Α - για τον πίνακα Α δίνεται από τη σχέση: Π.χ. έστω ο πίνακας C: A a a = a a a a a a (II.453) C = 4 3 II-7

114 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Τότε, αφού 3-4=, τότε υπάρχει ο αντίστροφος C - και είναι ίσος με: 3 3,5,5 C = = = Η ίδια διαδικασία μπορεί να ακολουθηθεί και για τετραγωνικούς πίνακες μεγαλύτερων διαστάσεων. Στις ΙΙ.3.5 και ΙΙ.3.8 θα παρουσιαστούν άλλοι τρόποι εύρεσης αντιστροφής των πινάκων. II.3.3 Ορισμός οριζουσών Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Α διαστάσεων (ή αλλιώς ης δίνεται από τη σχέση: τάξης), ο οποίος a a A = a a (II.454) Τότε ορίζεται ως ορίζουσα του Α ης τάξης ο αριθμός a a a a και συμβολίζεται ως εξής: Π.χ. έστω ο πίνακας Α: a a A = a a a a a a = (II.455) Τότε η αντίστοιχη ορίζουσα είναι ίση με: A = 4 3 A = = 3 ( 4) = 4 3 Αντίστοιχα η ορίζουσα του μοναδιαίου πίνακα Ι είναι ίση με: I = = = Αντίστοιχα η ορίζουσα του μηδενικού πίνακα Ο είναι ίση με: O = = = Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Α διαστάσεων 33 (ή αλλιώς 3 ης δίνεται από τη σχέση: τάξης), ο οποίος a a a A (II.456) 3 = a a a 3 a a a ΙΙ-7

115 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Τότε ορίζεται ως ορίζουσα του Α 3 ης τάξης ο αριθμός a a a a a a a a + a και συμβολίζεται ως εξής: a3 a33 a3 a33 a3 a3 a a a 3 a a3 a a3 a a 3 3 a3 a33 a3 a33 a3 a A = a a a = a a + a (II.457) a a a Η σχέση αυτή καλείται ανάπτυγμα της Α ως προς τα στοιχεία της πρώτης γραμμής. Οπότε μετά την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει ότι: A = a a a a a a a a a a + a a a a a A = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a (II.458) Εναλλακτικά μπορεί να υπάρξει και το ανάπτυγμα της Α ως προς τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής ως εξής: A a a a 3 a a3 a a3 a a 3 3 a3 a33 a3 a33 a3 a A = a a a = a + a a... a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a (II.459) Εναλλακτικά μπορεί να υπάρξει και το ανάπτυγμα της Α ως προς τα στοιχεία της τρίτης γραμμής ως εξής: A a a a 3 a a3 a a3 a a a a3 a a3 a a A = a a a = a a + a... a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a (II.46) Δηλαδή ανεξάρτητα ως προς ποια γραμμή θα αναπτυχθεί η ορίζουσα θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα. Σε κάθε περίπτωση αν πρόκειται να αναπτυχθεί ως προς τη k γραμμή, τότε είναι το άθροισμα των γινομένων του κάθε στοιχείου της k-ιοστής γραμμής επί την ορίζουσα δεύτερης τάξης που προκύπτει αν κοπεί η γραμμή και η στήλη αυτού του στοιχείου επί το (-) εις το άθροισμα της στήλης και της γραμμής του στοιχείου. Εναλλακτικά το γινόμενο του πρώτου στοιχείου της k-ιοστής γραμμής επί την αντίστοιχη ορίζουσα προστίθεται αν είναι περιττή η γραμμή και αφαιρείται αν είναι άρτια η γραμμή. Τα υπόλοιπα γινόμενα βαίνουν με εναλλασσόμενο πρόσημο μεταξύ «+» και «-». Π.χ. έστω ο πίνακας Α: 3 A = Τότε η αντίστοιχη ορίζουσα (με ανάπτυγμα ως προς την η γραμμή) είναι ίση με: II-73

116 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας A = = + 3 = ( ) = Επισήμανση - μνημονικός τρόπος εύρεσης οριζουσών 3 ης τάξης (και μόνο γι αυτές): Αρχικά προστίθενται στο τέλος της ορίζουσας οι δύο πρώτες στήλες. Η ορίζουσα προκύπτει από το άθροισμα των γινομένων των διαγωνίων των τριών στοιχείων που βαίνουν από αριστερά προς τα δεξιά και αφαιρώντας τα γινόμενα των τριών διαγωνίων των τριών στοιχείων που βαίνουν από δεξιά προς τα αριστερά. Δηλαδή: a a a a a a a a a a a a a A = a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A = a a a33 + a a3 a 3 η η η η η η + a3 a a3 a3 a a3 a3 a3 a a33 a a διαγώνιος διαγώνιος 3 διαγώνιος διαγώνιος διαγώνιος 3 διαγώνιος προς δεξιά προς δεξιά προς δεξιά προς αριστερά προς αριστερά προς αριστερά (II.46) Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Α διαστάσεων nn (ή αλλιώς n ης δίνεται από τη σχέση: a a an a a a n A = am am amn τάξης), ο οποίος (II.46) Τότε η ορίζουσα του Α n ης τάξης συμβολίζεται και υπολογίζεται ως εξής: A a a a n a a an = = a Α + a Α a Α a a a m m mn n n (II.463) i+ j Α = M (II.464) ij Όπου Α ij καλείται αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου α ij, M ij είναι η ελάσσων ορίζουσα του στοιχείου α ij, η οποία είναι ορίζουσα (n-) τάξης του πίνακα που προκύπτει από τον πίνακα Α αν παραληφθεί η γραμμή και η στήλη του στοιχείου α ij. Η σχέση (II.463) καλείται ανάπτυγμα της Α ως προς τα στοιχεία της πρώτης γραμμής. Γενικότερα για οποιαδήποτε γραμμή i ενός nn πίνακα Α το ανάπτυγμα της Α ως προς τα στοιχεία της i-ιοστής γραμμής δίνεται από τη σχέση: i i i i... in in ij A = a Α + a Α + + a Α (II.465) Για να βρεθεί το αλγεβρικό συμπλήρωμα Α ij του στοιχείου α ij ενός τετραγωνικού nn πίνακα Α, βρίσκεται η ελάσσονα ορίζουσα Μ ij του α ij και πολλαπλασιάζονται με + ή με -, ανάλογα αν το άθροισμα i+j είναι άρτιος ή περιττός αριθμός αντίστοιχα. ΙΙ-74

117 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Ο μνημονικός κανόνας για την εύρεση του κανόνα (-) i+j δίνει το εξής: (II.466) Π.χ. έστω ο πίνακας Β διαστάσεων 44: B = Τότε η αντίστοιχη ορίζουσα μπορεί να υπολογιστεί εύκολα με ανάπτυγμα ως προς την 3 η γραμμή (λόγω των μηδενικών) και είναι ίση με: B = = ( ) 3 + ( ) Με βάση το μνημονικό κανόνα της σχέσης (II.46) προκύπτουν ότι: = = Οπότε η ορίζουσα του πίνακα Β είναι ίση με: B 4 7 = = 7 5 = 7 3 = 37 Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται τριγωνικός άνω, αν όλα τα στοιχεία του κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά, δηλαδή α ij =, όταν i>j. Λέγεται τριγωνικός κάτω, αν όλα τα στοιχεία του πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά, δηλαδή α ij =, όταν i<j. Τριγωνικός άνω A a a a a a a a a a 3 n 3 n = 33 3n a nn (II.467) II-75

118 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Τριγωνικός κάτω A a a a = a3 a3 a33 an an an3 a nn (II.468) Σε κάθε περίπτωση η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα διαστάσεων nn ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του πίνακα: n = & τριγωνικός... nn nn = i= A a a a a (II.469) Π.χ. έστω ο πίνακας D, ο οποίος είναι τριγωνικός κάτω: Οπότε η αντίστοιχη ορίζουσα είναι ίση με: 4 D = D = 3 ( ) ( 6) = 7 ii II.3.4 Ιδιότητες οριζουσών Οι βασικές ιδιότητες των οριζουσών, οι οποίες μπορούν να διευκολύνουν τους υπολογισμούς τους, είναι οι ακόλουθες: Για έναν πίνακα Α διαστάσεων nn και τον ανάστροφο του Α Τ ισχύει ότι: A T = A (II.47) Δηλαδή μία ορίζουσα μπορεί να αναπτυχθεί και ως προς τα στοιχεία μίας στήλης. Επίσης κάθε γενική ιδιότητα των οριζουσών που ισχύει στις γραμμές ισχύει και για τις στήλες της. Π.χ. για έναν πίνακα 33 ισχύει ότι: a a a a a a 3 3 A = a a a = a a a = A 3 3 a a a a a a Αν ένας πίνακας Β διαστάσεων nn προκύπτει από τον πίνακα Α διαστάσεων nn με εναλλαγή δύο γραμμών ή δύο στηλών του Α, τότε ισχύει ότι: Π.χ. για πίνακες διαστάσεων 33 ισχύει ότι: T B = A (II.47) ΙΙ-76

119 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ B a a a a a a 3 3 = a a a = a a a = A 3 3 a a a a a a Αν τα στοιχεία δύο γραμμών (ή δύο στηλών) ενός πίνακα Α είναι ίσα, τότε ισχύει ότι: A = (II.47) Διότι σ αυτήν την περίπτωση με εναλλαγή των δύο γραμμών ισχύει: A = A A = A = Αν ένας πίνακας Β διαστάσεων nn προκύπτει από τον πίνακα Α διαστάσεων nn με πολλαπλασιασμό των στοιχείων μίας γραμμής (ή μίας στήλης) με έναν αριθμό λ, τότε ισχύει ότι: Π.χ. για πίνακες διαστάσεων 33 ισχύει ότι: B = λ A (II.473) B a a a a a a 3 3 = λ a λ a λ a = λ a a a = λ A 3 3 a a a a a a Αν τα στοιχεία δύο γραμμών (ή δύο στηλών) ενός πίνακα Α είναι ανάλογα, τότε ισχύει ότι: Διότι: a a a a a a A = (II.474) 3 3 λ a λ a λ a = λ a a a = λ = 3 3 a a a a a a Αν ένας πίνακας Α είναι διαστάσεων nn, τότε ισχύει ότι: n λ A = λ A, λ (II.475) Αν κάθε στοιχείο μιας γραμμής (ή μίας στήλης) ενός πίνακα Α διαστάσεων nn είναι άθροισμα δύο προσθετέων, τότε η Α εκφράζεται ως άθροισμα των δύο οριζουσών. Π.χ. για έναν πίνακα 33 ισχύει ότι: a + b a + b a + b a a a b b b a a a = a a a + a a a a a a a a a a a a Αν ένας πίνακας Β διαστάσεων nn προκύπτει από τον πίνακα Α διαστάσεων nn με πρόσθεση των στοιχείων μιας γραμμής (ή μίας στήλης), πολλαπλασιασμένων με τον ίδιο αριθμό λ, στα αντίστοιχα στοιχεία μίας άλλης γραμμής (ή στήλης), τότε ισχύει ότι: B = A (II.476) II-77

120 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας Π.χ. για έναν πίνακα 33 ισχύει ότι: a + λ a a + λ a a + λ a a a a λ a λ a λ a a a a = a a a + a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = a a a + λ a a a = a a a + λ = a a a a a a a a a a a a a a a 3 3 a a a Ουσιαστικά με την τελευταία ιδιότητα είναι δυνατό να σχηματιστούν μηδενικά σε γραμμές ή στήλες διευκολύνοντας τον υπολογισμό των σχετικών οριζουσών. Αν δύο πίνακες Α και Β διαστάσεων nn, τότε ισχύει ότι: AB = A B (II.477) II.3.5 Αντίστροφος πίνακας με τη βοήθεια οριζουσών Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Α διαστάσεων nn είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν Α. Αν είναι Α, τότε ο αντίστροφος του Α είναι: A A A An A A A = = A A An An Ann n adja (II.478) Όπου Α ij είναι το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου α ij. A A An A A A n Ο πίνακας λέγεται προσαρτημένος ή adjoint του Α και An An Ann συμβολίζεται με adja. Π.χ. έστω ένας πίνακας Α διαστάσεων : a a A = a a Τότε, εφόσον η ορίζουσα του Α είναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή: A = a a a a Υπολογίζεται ο αντίστροφος του πίνακα Α έχοντας ως αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων α, α, α, α τα εξής: A ( ) + = = + A a a a a = a = a + A = = + A a a a a = a = a ΙΙ-78

121 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Δηλαδή: A A A A a a = A A = a a a a a a A Η τελευταία σχέση ταυτίζεται με τη σχέση (II.453). Π.χ. έστω ένας πίνακας Α διαστάσεων 33: A a a a 3 = a a a 3 a a a Τότε, εφόσον η ορίζουσα του Α είναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή: = a a a33 + a a3 a3 + a3 a a3 a a3 a3 a a a33 a3 a3 a Υπολογίζεται ο αντίστροφος του πίνακα Α έχοντας τα αλγεβρικά συμπληρώματα όλων των στοιχείων του πίνακα Α: a a a A = = a a a a a3 a33 a a a A = = a a + a a a3 a33 a a a A = = a a a a a3 a3 a a a A = = a a + a a a3 a33 a a a A = = a a a a a3 a33 a a a A = = a a + a a a3 a3 a a a A = = a a a a a a3 a a a A = = a a + a a a a3 a a a A = = a a a a a a Οπότε ο αντίστροφος πίνακας δίνεται από τη σχέση: II-79

122 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας A = A A A A A A A A A A Στην περίπτωση ενός αριθμητικού παραδείγματος έστω ότι δίνεται ο πίνακας Α διαστάσεων 33: A = Η ορίζουσα του Α είναι διάφορη του μηδενός, καθώς: A αφαίρεση ανάπτυξη ως προς ης ης η - γραμμής τη γραμμή + = = 3 = ( 3) ( ) = ( 3) ( ) = 3 Ακολούθως υπολογίζονται τα αλγεβρικά συμπληρώματα: + A = ( ) = + A = = 3 A + A3 = = + = = + A = = + 3 A3 = = 3 + A3 = = 3 A3 A33 = = = = Οπότε ο αντίστροφος πίνακας υπολογίζεται από τη σχέση: 3 3 A A A3 3 A = A A A 3 = = A A3 A3 A Με βάση τα τελευταία παραδείγματα γίνεται αντιληπτό ότι η αντιστροφή πινάκων ης τάξης είναι σχεδόν άμεση, 3 ης τάξης είναι κοπιώδης (λόγω του υπολογισμού 9 οριζουσών ης τάξης), ενώ για 4 ης τάξης θα χρειαστεί να υπολογιστούν 6 ορίζουσες 3 ης τάξης, διαδικασία εξαιρετικά επίπονη και ούτω καθ εξής. Ουσιαστικά η χρήση της σχέσης (II.478) απαιτεί έναν πολύ μεγάλο αριθμό πράξεων. Τέλος, αν οι Α, Β είναι τετραγωνικοί πίνακες διαστάσεων nn, τότε: AB = I n αν και μόνο αν = n B A I (II.479) II.3.6 Ορισμός γραμμικού συστήματος Κάθε εξίσωση της μορφής: a + a + + a = b (II.48) n n ΙΙ-8

123 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Όπου α, α,..., α n και b είναι πραγματικοί αριθμοί και,,..., n άγνωστοι λέγεται γραμμική εξίσωση με n αγνώστους. Οι συντελεστές α, α,..., α n καλούνται συντελεστές των αγνώστων, ενώ το b λέγεται σταθερός όρος. Π.χ. η εξίσωση = είναι μία γραμμική εξίσωση δύο αγνώστων. Η εξίσωση z = 5 είναι μία γραμμική εξίσωση τριών αγνώστων. Αντίθετα η εξίσωση z = 5 δεν είναι γραμμική εξαιτίας των και. Λύση μίας γραμμικής εξίσωσης με n αγνώστους λέγεται κάθε διατεταγμένη n-άδα αριθμών (s, s,, s n ) τέτοια ώστε η εξίσωση να επαληθεύεται, αν τεθεί =s, =s,, n =s n. Π.χ. το διατεταγμένο ζεύγος (, ) είναι μία λύση της εξίσωσης +3 = 5, καθώς για =, = ισχύει ότι +3 =5. Ένα πεπερασμένο πλήθος m γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους, των οποίων ζητούνται οι κοινές λύσεις, καλείται γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους ή γραμμικό σύστημα mn, το οποίο έχει την ακόλουθη μορφή: a + a + + a = b a + a + + a = b a + a + + a = b n n n n m m mn n m (II.48) Όπου α ij είναι οι συντελεστές των αγνώστων, ενώ το b i οι σταθεροί όροι, όπου i=,,,m και j=,, n. Ο πρώτος δείκτης του α ij δείχνει σε ποια εξίσωση ανήκει ο συντελεστής, ενώ ο δεύτερος δείκτης δείχνει με ποιον άγνωστο είναι πολλαπλασιασμένος. Με τη βοήθεια πινάκων το γραμμικό σύστημα mn της (II.48) γράφεται ως εξής: a a an b a a a n b = A X= B a a a b m m mn n m (II.48) Όπου Α είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, Χ ο πίνακας-στήλη των αγνώστων και Β ο πίνακας-στήλη των σταθερών όρων. Λύση ενός γραμμικού συστήματος mn λέγεται κάθε διατεταγμένη n-άδα αριθμών που επαληθεύει όλες συγχρόνως τις εξισώσεις του συστήματος, ενώ η διαδικασία εύρεσης της λύσης καλείται επίλυση του συστήματος. Ένα σύστημα που έχει τουλάχιστον μία λύση λέγεται συμβιβαστό, αλλιώς αδύνατο. Δύο γραμμικά συστήματα λέγονται ισοδύναμα, όταν έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις, δηλαδή η λύση του πρώτου συστήματος είναι λύση και του δευτέρου και το αντίστροφο. Αν οι σταθεροί όροι ενός γραμμικού συστήματος είναι όλοι ίσοι με το μηδέν, τότε το σύστημα λέγεται ομογενές και γράφεται ως εξής: A X= O (II.483) Σε ένα γραμμικό σύστημα mn ο πίνακας των αγνώστων συμπληρωμένος με τη στήλη των σταθερών όρων, δηλαδή ο πίνακας τάξης m(n+) καλείται επαυξημένος: II-8

124 Θεωρία Κυκλωμάτων Ι (Συμπληρωματικές Σημειώσεις) Γ. Ι. Τσεκούρας [ A B] a a an b a a an b a a an b a a an b = = a a a b a a a b m m mn m m m mn m (II.484) Η κατακόρυφη γραμμή έχει προστεθεί για να ξεχωρίζει η στήλη των σταθερών όρων από τον πίνακα των αγνώστων. Ο επαυξημένος πίνακας είναι χρήσιμος για την επίλυση του συστήματος. Π.χ. έστω το σύστημα 3: Οπότε γράφεται ως εξής: Υπό τη μορφή πινάκων: + 3 = = = 3 3 Υπό μορφή επαυξημένου πίνακα: Π.χ. έστω το σύστημα : = + = Πρόκειται για ένα ομογενές σύστημα, το οποίο γράφεται ως εξής: Υπό τη μορφή πινάκων: Υπό μορφή επαυξημένου πίνακα: = II.3.7 Επίλυση γραμμικού συστήματος τάξης n με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss Αν σ ένα γραμμικό σύστημα εφαρμοστούν μία από τις ακόλουθες διαδικασίες, αποδεικνύεται ότι το σύστημα που προκύπτει είναι ισοδύναμο του αρχικού: Εναλλαγή της θέσης δύο εξισώσεων. Πολλαπλασιασμός των μελών μίας εξίσωσης με ένα μη μηδενικό αριθμό. Πρόσθεση των μελών μίας εξίσωσης (πολλαπλασιασμένων με έναν αριθμό) στα μέλη μίας άλλης. Π.χ. έστω το σύστημα 33: + 3 z = + + z = z = 4 ΙΙ-8

125 Μαθηματικό Υπόβαθρο Ηλεκτροτεχνίας Παράρτημα ΙΙ Στον πίνακα ΙΙ.6 παρουσιάζεται η επίλυσή του γραμμικού συστήματος περιγράφοντας τις διαδικασίες που εφαρμόζονται στο σύστημα, το συμβολισμό και τις σχετικές πράξεις. Πίνακας ΙI.6: Επίλυση γραμμικού συστήματος με πράξεις Περιγραφή πράξεων Σύμβολο πράξης Σύστημα Αρχικό σύστημα Εναλλαγή των δύο πρώτων εξισώσεων Ε και Ε του συστήματος. Πολλαπλασιασμός της Ε με το (-) και πρόσθεσή της στην Ε με σκοπό την απαλοιφή του. Πολλαπλασιασμός της Ε με το 3 και πρόσθεσή της στην Ε 3 με σκοπό την απαλοιφή του. Πολλαπλασιασμός της Ε με το (-/4) με σκοπό ο συντελεστής να γίνει. Πολλαπλασιασμός της Ε με το (-) και πρόσθεσή της στην Ε με σκοπό την απαλοιφή του. Πολλαπλασιασμός της Ε με το (-4) και πρόσθεσή της στην Ε 3 με σκοπό την απαλοιφή του. Πολλαπλασιασμός της Ε 3 με το /6 με σκοπό ο συντελεστής z να γίνει. Πολλαπλασιασμός της Ε 3 με το (-,5) και πρόσθεσή της στην Ε με σκοπό την απαλοιφή του z. Πολλαπλασιασμός της Ε 3 με το,5 και πρόσθεσή της στην Ε με σκοπό την απαλοιφή του z. E E E E E E3 E3+ 3 E E E 4 E E E E3 E3 4 E E E E E,5 E3 E E +,5 E3 + 3 z = + + z = z = z = z = z = z = z = z = z = z = z = + + z = 6,5 z =, z = +,5 z = 3,5,5 z =, z = +,5 z = 3,5,5 z =,5 6 z = +,5 z = 3,5,5 z =,5 z = =, 5 z =,5 z = = = 3 z = Ουσιαστικά η λύση του συστήματος είναι η τριάδα (, 3, ). II-83