ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΕΣ

Transcript

1 Σχολή Χημικών Μηχανικών, 2 ο εξάμηνο ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΕΣ Γιώργος Μαυρωτάς, Επ. Καθηγητής Εργαστήριο Βιομηχανικής & Ενεργειακής Οικονομίας, Σχολή ΧΜ, ΕΜΠ

2 Εισαγωγή Σε όλα τα προβλήματα και τους υπολογισμούς που θα γίνονται στο μάθημα έχουμε να κάνουμε με μεγέθη, διαστάσεις και μονάδες μέτρησης. Για να συγκρίνουμε ή να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε μεγέθη πρέπει να έχουν τις ίδιες διαστάσεις και τις ίδιες μονάδες 4 m + 7 s 8 kg + 3 lb (μετά από αναγωγή σε ίδιες μονάδες) Συντελεστές μετατροπής

3 Μεγέθη, διαστάσεις, μονάδες μέτρησης Διάσταση: Ένα μέγεθος (μήκος, χρόνος κλπ) που μπορεί να μετρηθεί. Υπάρχουν μεγέθη που υπολογίζονται εμμέσως από άλλα μεγέθη (ταχύτητα = μήκος/χρόνος) Βασικές διαστάσεις Διάσταση Μονάδες μέτρησης Μήκος m, cm, km, ft, έτος φωτός Μάζα g, kg, tn, lb... Χρόνος s, min, h, day, yr... Θερμοκρασία o K, o C, o R, o F Ταχύτητα m/s, km/h, mi/h Πυκνότητα g/cm 3, kg/l, kg/m

4 Βασικές και παραγόμενες διαστάσεις Πυκνότητα Όγκος Επιφάνεια Ογκομετρική ροή ΧΡΟΝΟΣ Ταχύτητα Ροή μάζας ΜΑΖΑ ΜΗΚΟΣ Επιτάχυνση Δύναμη

5 Παραγόμενες (ή δευτερεύουσες) διαστάσεις Επιφάνεια = [μήκος] 2 Ογκος = [μήκος] 3 Πυκνότητα = [μάζα] / [όγκος] = [μάζα] / [μήκος] 3 Ταχύτητα = [μήκος] / [χρόνος] Επιτάχυνση = [ταχύτητα] / [χρόνος] = [μήκος] / [χρόνος] 2 Δύναμη = [μάζα] [επιτάχυνση] = [μαζα] [μήκος]/[χρόνος] 2 Ενέργεια = [δύναμη] [μήκος] Ισχύς = [ενέργεια] / [χρόνος]

6 Συστήματα μονάδων Σκοπός SI κοινή ορολογία στη μέτρηση των διαστάσεων CGS American Engineering System

7 Σύστημα μονάδων SI Βασικές μονάδες Μήκος m (μέτρο) Μάζα kg (χιλιόγραμμο) Χρόνος s (δευτερόλεπτο) Θερμοκρασία ο K (βαθμός Κέλβιν) Μοριακότητα mole (γραμμομόριο) Παραγόμενες μονάδες Δύναμη Ν (Νιούτον) kg m/s 2 Ενέργεια J (Tζάουλ) N m Ισχύς W (Bατ) J/s Πίεση Pa (Πασκάλ) N/m 2 Πυκνότητα kg / m 3 Ταχύτητα m/s Επιτάχυνση m/s 2 Θερμοχωρητικότητα J/(kg)( ο K)

8 Σύστημα μονάδων ΑΕS Βασικές μονάδες Μήκος ft (πόδι) Μάζα lb m (λίβρα) Δύναμη lb f (λίβρα) Χρόνος s, hr (δευτερόλεπτο, ώρα) Θερμοκρασία ο R (βαθμός Ράνκιν) Παραγόμενες μονάδες Ενέργεια Btu (Βρετ. Θερμ. Μονάδα) ft lb f Ισχύς hp (Ιππος) Πίεση lb f /in 2 Πυκνότητα lb m /ft 3 Ταχύτητα ft/s Επιτάχυνση ft/s 2 Θερμοχωρητικότητα Btu/(lb m )( o F)

9 Βάρος, μάζα Βάρος είναι η δύναμη που ασκείται στη μάζα ενός σώματος από τη βαρύτητα Mονάδα βάρους: 1 N = 1 kg m/s 2 Μονάδα μάζας: 1 kg Γη, επιφ. θάλασσας, γεωγραφικό πλάτος 45 ο (g=9.81 m/s 2 ) Πολλές φορές χρησιμοποιείται καταχρηστικά ο όρος βάρος αντί για μάζα Παράδειγμα Ενας άνθρωπος μάζας 80 kg έχει βάρος: 80 kg 9.81 m/s 2 = N Σε υψόμετρο 2000 m (g=9.79 m/s 2 ): 80 kg 9.79 m/s 2 = N Απόκλιση: ( )/784.8 = %

10 Πολλαπλάσια, υποδιαιρέσεις μονάδων Ονομασία Σύμβολο Συντελεστής Παράδειγμα tera T TJ giga G 10 9 GJ mega M 10 6 MW kilo k 10 3 kg, km centi c 10-2 cm milli m 10-3 mg, mm micro μ 10-6 μm nano n 10-9 ns

11 Συντελεστές μετατροπής Για να συγκριθούν, να προστεθούν ή να αφαιρεθούν κάποιες ποσότητες πρέπει να είναι εκφρασμένες στις ίδιες μονάδες Π.χ. 3m + 6ft =?, 4 kg + 5 lb m =? Για την αναγωγή (μετατροπή) των μονάδων σε κοινή βάση χρησιμοποιούνται οι συντελεστές μετατροπής των μονάδων. Π.χ. 1 ft= m ή 1 m= ft 3m ft m = ft Oι μετατροπές μονάδων πολύ συνηθισμένη εστία λαθών

12 Συντελεστές μετατροπής μάζας AES SI

13 Συντελεστές μετατροπής μήκους SI AES AES AES

14 Συντελεστές μετατροπής όγκου AES AES AES SI

15 Συντελεστές μετατροπής πίεσης SI

16 Συντελεστές μετατροπής ενέργειας AES SI

17 Συντελεστές μετατροπής ισχύος AES SI

18 Παράδειγμα μετατροπής μονάδων (1) Το παγκόσμιο ρεκόρ στα 100 m είναι 9.58 s. Ποια είναι η μέση ταχύτητα του αθλητή σε km/h; 100 m 1 km 3600 s 9.58 s 1000 m 1 h = km/h Το παγκόσμιο ρεκόρ στα 200 m είναι s. Ποια είναι η μέση ταχύτητα του αθλητή σε km/h; Eίναι μεγαλύτερη από ότι του ρέκορντμαν στα 100 m; Ενας μαραθωνοδρόμος κάνει τη διαδρομή του μαραθωνίου (42,192 m) σε 2h Ποια είναι η μέση ταχύτητα σε km/h;

19 Παράδειγμα μετατροπής μονάδων (2) Σε ένα σερβίς του τένις το μπαλάκι ταξιδεύει με 220 km/h. Πόση ώρα έχει ο τενίστας που υποδέχεται να αντιδράσει; (μήκος γηπέδου 25 m). 220 km 1000 m 1h h 1 km 3600 s = 61.1 m/s v = s / t => t = s / v => t = 25m/ 61.1 m/s = 0.41s

20 Παράδειγμα μετατροπής μονάδων (3) Σε ένα αυτοκίνητο ιπποδύναμης 98 hp το air condition έχει ισχύ 5000 Btu/h. Αν λειτουργεί το air condition πόσο % κόβει από τη μέγιστη ισχύ της μηχανής; 1 hp Btu/s 3600 s hp h = 2544 Btu/h 5000 Btu/h 1 hp 2544 Btu/h = 1.96 hp =2% της ισχύος του κινητήρα

21 Παράδειγμα μετατροπής μονάδων (4) Μια παραγγελία διαλύματος από τις ΗΠΑ γράφει στο δοχείο ότι η πυκνότητα είναι 60 lb/ft 3. To διάλυμα είναι βαρύτερο ή ελαφρύτερο από το νερό (ρ Η20 = 1g/cm3); 60 lb g ft 3 ft 3 lb (30.48) 3 cm 3 = 0.96 g/cm 3 Η παραγγελία είναι 50 US gal. Πόσο ζυγίζει σε kg; 50 US gal 1 ft 3 60 lb kg US gal ft 3 1 lb = kg

22 Υπολογισμοί και σημαντικά ψηφία Η ακρίβεια που απαιτείται στους υπολογισμούς εξαρτάται από την εφαρμογή των αποτελεσμάτων Στους υπολογισμούς κρατάμε τόσα δεκαδικά ψηφία όσα μας επιτρέπει η ακρίβεια των σχετικών μετρήσεων Το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο καθορίζει το εύρος της αβεβαιότητας στη μέτρηση ± [14.315, ] Σημαντικά ψηφία είναι τα ακέραια μαζί με τα δεκαδικά ψηφία που παριστάνουν έναν αριθμό = 4 σημαντικά ψηφία, 2 δεκαδικά Σύμβαση: υποδιαστολή είναι η τελεία και χωρισμός χιλιάδων με κόμμα Στο αποτέλεσμα των πράξεων κρατάμε τον αριθμό σημαντικών ψηφίων του όρου με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία (δεν μπορούμε να έχουμε μεγαλύτερη βεβαιότητα από αυτήν του πιο αβέβαιου όρου)

23 Διαστασιακή συνέπεια Κάθε όρος μιας εξίσωσης πρέπει να έχει τις ίδιες διαστάσεις και μονάδες με κάθε όρο που προστίθεται αφαιρείται ή εξισώνεται Μας βοηθάει να υπολογίζουμε τις τιμές των σταθερών διαφόρων εξισώσεων ανάλογα με τις μονάδες που έχουν οι όροι της εξίσωσης Π.χ. Εξίσωση τελείων αερίων: PV = nrt Διαστάσεις του R: [πίεση] [όγκος]/[mole] [θερμοκρασία] (lt atm / mol o K) Ερώτηση: Ποια είναι η τιμή του R σε (psi ft 3 / lbmol o R); Συνεπής διαστασιολόγηση σημαντική στους αδιάστατους αριθμούς που χρησιμοποιούνται στη Χημική Μηχανική Π.χ. Αριθμός Reynolds N re = D u ρ / μ (cm) (cm/s) (g/cm 3 ) / (g/(cm s))

24 Προβλήματα Ενα επιβατικό αεροπλάνο καταναλώνει 5320 gal κηροζίνης ανά ώρα πτήσης. Για ένα ταξίδι Παρίσι Σύδνεϋ χρειάζεται 12 h. Ποιός πρέπει να είναι ο όγκος των δεξαμενών καυσίμου του αεροπλάνου σε m 3 (υπολογίστε ένα περιθώριο ασφαλείας 20% σε σχέση με το ταξίδι Παρίσι-Σύδνεϋ); Συγκρινετέ τον με τον όγκο της αίθουσας διδασκαλίας. Αν η πυκνότητα της κηροζίνης είναι g/cm 3, πόσο ζυγίζουν τα καύσιμα του αεροπλάνου όταν είναι γεμάτες οι δεξαμενές; Ενα αμερικάνικο αυτοκίνητο κοστίζει 19,000 $ και έχει κατανάλωση βενζίνης 28 mi/gal. Ενα ευρωπαϊκό αυτοκίνητο κοστίζει 18,000 και έχει κατανάλωση 19 km/lt. Αν η βενζίνη κοστίζει 3 $/gal και ο υποψήφιος αγοραστής υπολογίζει ότι κάνει 25,000 km το χρόνο, σε πόσα χρόνια θα καλύψει τη διαφορά της τιμής (θεωρήστε 1 =1.20$);

25 Λύσεις προβλημάτων Πρόβλημα gal/h 12h = gal gal 1m 3 /264.2 gal = m m = 290 m 3 (όγκος αίθουσας 28 ~ 6m 15m 3m = 270 m 3 ) 290m t/m 3 = 280 t Πρόβλημα 2 Διαφορά τιμής: 18, $/ - 19,000$ = 2,600$ Ετήσια κατανάλωση: Αμερικάνικο: 25,000 km 1 mi/1.61km = 15,528 mi 15,528 mi 1 gal/ 28 mi = gal gal 3$/gal = $ Ευρωπαϊκό: 25,000 km 1 lt/19km = 1316 lt 1316 lt 1 gal/3.785 lt = gal gal 3$/gal = 1043 $ Διαφορά: $ 1043$ = $/yr. 2600$/620.8$/yr = 4.2 yr