ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA

Transcript

1 VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS Rts Srutės ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA (Pstų ospets II) III Poloų lger IV Sčų teorj Vlus 4

2 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Į V A D A S Šuo ledu tęse lgeros r sčų teorjos urso pstų eturų seestrų ptes clą Atrojoje ospetų dlyje pteos įvdės sčų teorjos r poloų teorjos žos uros pedr r es špleč oyles tetos žs Pteuose pstų ospetuose le dej r oretūros r redgvo e los ldų Esu dėgs olegos ju psteėjuses eletą pltų etsluų Į jų psts su dėguu tsžvelgsu styds psts Dr syį dėoju r geres recezets docets L Gruvee r GBreu RSrutės 5

3 P - ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst Sčų teorj Užduots: prtot pretų etų AST os ursą: svrusus tus tetę solą Ypč reoeduoču prst tes: Algerės strutūros r Sčų ės Ntūrlųjų sčų pusgrups N Ntūrlss sčs vde ės N tečos t trą soų ssteą (pvz DPeo) eleetus Ve š ę N usčų soų pgrdž svrų tetės ducjos prcpą Št jo pprsčuss vrts MIP Je predts P() tesgs = r š jo tesguo tūrlj sču = šplu d js tesgs r seč sču = t ts predts yr yr tesgs su vss tūrlss sčs Sveųjų sčų žeds Z Svess sčs vde eleetus outtyvus žedo Z urs yr lus tūrlųjų sčų pusgrupo N plėtys Sveųjų sčų ę žyėse rde Z (rts S ) Lyse tp pt d šos ės eleetus (ty sveuosus sčus) oe sudėt sudugt r tt Prėše d uo oylos lų įprstos šų vesų svyės (pvz toos: = ; ( ) = r tt ) yr grežt įrodoos Dr prste Archedo soą (AA) MSP DSP Še seestre ūsų studjų tsls us sveųjų sčų žeds Z r jo svyės Strupos Kp r projoje ospetų dlyje udose lą r vetą tupčs strups Svreses (š uj įvedų) ptee žeu: DLT dlyos su le teore; TP trpusvyje pr (sč); TPP trpusvyje pr poros(sč); DBD ddžuss edrs dlls; MBK žuss edrs rtots; EA Euldo lgorts; PAT pgrdė rtetos teore; AF rtetė ucj; GT grdė trupe; PLS ploj leų sste; RLS reduuotoj leų sste; KL vdrtė le; KL vdrtė ele; LS Leždro sols; ST ssteė trupe; BST gtė ssteė trupe; GPST gry perodė ssteė trupe; MPST šr perodė ssteė trupe; PT poloė trupe; TPT tsylgoj poloė trupe; PPT pprsčus poloė trupe;

4 P - ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA AN uščuss (poloo) rys; SP setrs polos; PSP pgrds (eleetruss) setrs polos; PSPT pgrdė setrų poloų teore; PALT pgrdė lgeros teore; ŠG Šturo grdė; ŠT Šturo teore Dluo sąryšs DLT Ap Je yr sveej sč r egzstuoj tos svess sčus q d = q t soe d sčus dljs š sčus r ršoe Μ Krts so : svess sčus dlj sveąjį sčų Td ršo: Ašu u ter r žyeys reš tą ptį Mes džu vrtose pstrąjį K t šršos = q sveej sč r q vd sčus dlls o sčus rtotu Pvyzdžu 6 8 et 5 / Sč 7-4 yr sčus 8 dll o sčus 8 yr (eveo š jų) rtots Rets ptetu dluo sąryšo prėžu esu įrodoos (reoeduoju t pdryt svrš) dluo sąryšo svyės: - ( ) - ( ) - ( = ) ( = ) - ± ± - ( c) c - ( ) - ( c) ± c - ( ) - ( c d) c d Kp toe š šų svyų sveojo sčus žels dluu įtos etur todėl džus dos tt tegs dlls ure vd tesog dlls Ves š svrusų sčų teorjos tų yr to teore (dlyos su le teore; sutrupt DLT) : Teore (DLT) ( Z )(! q r Z ) = q r r < Pvyzdžu 7 = 5 ( 6) 9 = = 7 4 r tt Gl psyt d DLT yr žoos sveųjų sčų dlyos pu teors pgrds Įr Glus Srse eletą tvejų ) N Td pgl Archedo soą (prste jos oruluotę!) egzstuoj tūrluss sčus q su uruo gloj elygyė: q < ( q ) r tp q : = r < Kdg šuo tveju = t įrodys tuo r gs

5 P - ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA ) < N Td N todėl pgl ) tvejį egzstuoj q N r r N {} toe d: = q r r < = K r = - įrodys tuo r gs K r t š preldos r gutue preštrą r todėl = ( q ) : r = q r r = r < c) N < Td vėl pgl ) tvejį egzstuoj toe q N r r N {} toe d: = ( ) q r = ( q ) r = : q r r < = d) < < ( q r ) = ( ) q r r < = K r = - įrodys vėl trvlus K r ture = q r = ( q ) ( ) r = : q r r < e) K = t = QED Vets Tre prešg - yr et dv srtgos poros sveųjų sčų q r r q r su uros gloj = q r r < r = q r r < Td: = ( q q ) r r r ( q q ) = r r Pstroj lygyė ju yr preštrg es jos roj pusė pgl dluo sąryšo prėžą dljs š tuo trpu dešoj pusė š dlts egl es r r r r < DBD MBK Euldo lgorts Tre r yr tūrlej sč Sčus dllų (tegų) ę žyėse D o tegų rtotų ę žyėse M Td gl lėt pe sčų r edrų dllų ę (tegų) rtotų ę D M : = M M D : = D D r edrų Kdg ės D yr gtės t r D yr gtė Pgl DSP ė D tur ddžusą eleetą d d = x δ δ D Ap Sčus d vds sčų r ddžusu edruoju dllu (sutrupt - DBD) r žy: d = D( ) Š svo vdurėje oyloje ju grdėt Prse oylį DBD prėžą: Ap Sčų r ddžusu edruoju dllu vds svess sčus d tets dv sąlygs: ) d D ; ) ( δ D ) ( δ d) Psrodo - u še prėž yr evvletūs Todėl est relu es udosės js e Svo ruožtu pgl MSP ė M tur žusą eleetą = µ Ap Sčus vds sčų r žusu edruoju rtotu (MBK) r žy: = M ( ) µ M

6 P - ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 4 Ptets prėžs rg yr evvletus oyloje grdėt: sčus vds sčų r žusu edruoju rtotu (MBK) je js te dv sąlygs: ) ; ) ( µ M ) ( µ ) M Pš gle prėžt r elų tūrlųjų sčų DBD r MBK (suoruluote ttus prėžus svrš) Td esu įrodoos toos reuretės svyės: d = D( ) : = D D ( ( ) ) ( M ( ) ) : : M ( ) : = M = Beje rts šos orulės DBD r MBK tesog prėž Ašu d DBD r MBK sąvoos sveeses euls sčs prėžos lyg tp pt Atsru tveju = t D ( ) = Pvz = = t D = { 4 5 } M = { 4 6 } D = D = { } = M { } 4 M 6 48 M D { } { } = Todėl d = 4 = 6 = = Kp rst DBD r MBK prtš? Ddesų sčų DBD r MBK rdu udot prėžą yr ercolu Š tslu dž tos vdss Euldo lgorts (EA) EA - t gtė lygyų guų uosel tt DLT se Būtet: ( Z )(! q r Z ) d: = q r r < Je r t svo ruožtu egzstuoj (! q r ) d: = r q r r < r Pš je r : r = r q r r < r r tt r r q r r r = < r = r q Process yr gts es leos p toe uosel žėj Psutė elyg ulu le yr r Tesg toe tvrt: teore D ( ) = Atsrs tvejs: D ( ) = D ( ) = M ( ) = r Įrodys šplu š EA r š leos: = q r ( D( ) = D( r) ) d = D( t ( x y Z ) teore (DBD tesės šršos svyė) K ) toe d x y = d Įrodys š teoreos r EA teore D ( ) = d ( N ) D( ) = d M ( ) = ( N ) M ( ) = 4 teore D ( ) = D ( ) = Ateč us udg įvest dr eletą ujų sąvoų Ap Je D ( ) = t sveej sč vd trpusvyje prs (sutrupt: TP)

7 P - ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 5 Ap Je ( j; j) D( j ) = t sveej sč vd trpusvyje poros prs (TPP) Pvz 7 8 yr TP et e TPP sč Tuo trpu sč yr TPP r TP Ptese els svreses TP sčų svyes uros vėlu e rtą udosės 5 teore TP ( x y Z ) x y = Įr Būtus se š teoreos Pus preštros ūdu 6 teore D ( ) = d D = d d Įr š DBD tesės šršos svyės 7 teore K c r D ( c) = t c Įr ( x y Z ) x cy = x cy = c 8 teore ( D( ) = c) ( c c) 9 teore ( D ( c) = D( c) = ) D( c) = Įr Tegul D ( c) = d > Td d c Bet: D ( c) = D( d ) = Dr psudod 7 teore legv gue preštrą: d d D c d > Išvd ( ) = ( N ) D( ) = D Dvejų elygų ulu sveųjų sčų DBD r MBK sej tos sąryšs: teore D ( ) M ( ) = Įr Ptogu rets oylu MBK prėžu Pžyėe = ; D( ) Td š to d ( l Z) = d = ld ture: d ld ) = = = ld = = l M ; D( ) d ) Le įstt d ( µ M ) µ Prus M ( s Z ) µ = s = ds D ( l ) = todėl l s ( Z ) s = l ds = Pvz ( ) M ( ) = 4 6 = 64 = µ Tolu: ( = ld µ = ds) l s Bet Td µ = dl = ld µ QED D Pst Pvyzdžs esuu įstt d trjų (r dugu) sčų tveju š D c M c = ) ju egloj: D M = 6 = = teore logšs tvrts (pvz c 4

8 - ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 5 Pst Pr r sudėt sč PAT Sveųjų sčų žeds Dluo sąryšs DBD MBK TP sč r jų svyės Keves elygus ulu svess sčus dljs š veeto r pts svęs Sčus (tegej) dll r vd trvlss dlls Ap Ntūrlej sč > turtys t trvluosus dllus vd prs sčs Kt tūrlej sč > vd sudėts Sčus elos e pru e sudėtu Pvz 7 yr pr o 9 4 sudėt Nusttyt r sčus prs r sudėts eret ū elegv Kol euvo PC tet sčus pruu įrodyt sugšdvo l dug lo Pvyzdžu XVII prcūzų tets MMerses tyrė su urs tūrlss sčus M = yr prs Avzdu d je M P t ūt P Ves ddžusų šol trstų prų Merseo sčų yr M 8594 Jo dešte užrše yr 5876 steų Tču šol ežo r Merseo prų sčų ė yr gtė r eglė Kts prcūzų tets PFer (Fert) doėjos dr specleso prs pvdlo sčs: = F N : = N Psrodo d prej pe Fer sč F = ; r F 4 = 6557 yr pr Fer spėjo (64 ) d tp yr su vss Pstoje 6 ju ėjoe d šą Fer hpotezę pegė LOlers 79 įrodęs d 64 F 5 Įdou d šol dugu erst ė veo pro Fer sčus Gl t pdryt pvys ors š Jūsų? teore Bet os ddess už veetą tūrluss sčus tur et veą prį dllį Įr M : = d : d d > Bet M M { } { } es Pgl MSP egzstuoj ės M žuss eleets p Je ūtų p P t preštrutų MSP P p P ( p p Iš trųjų je glotų = p r u Išvd ) dll ūtų ddes už t gutue preštrą : = p > = Pvyzdžu je re ptrt prs r sudėts yr sčus 59 t ere trt vsų dllų d 59 o t tuos prus dllus p ures p 59 ty : es 59 > Kdg ė ves š šų prų sčų edlj 59 t droe švdą: 59 yr prs sčus N

9 - ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 6 teore (Ertosteo III pe) Je tūrlųjų sčų sąrše 4 šruse eletą prųjų prų sčų r vsus jų rtotus t prs ešrutss sčus us prs Je šruse vsus tous prus p d p r jų rtotus t ls ešrut pr p toe d < p Įrodyą rste vdovėlyje Pvz sąrše šruus prus r jų rtotus / / 4 / 5 6 / 7 8 / 9 / / ešrut le pr sč yr 5 r 7 teore (PAT pgrdė rtetos teore) Keveą tūrlųjį sčų > gle vetelu ūdu (su tsluu duglų tvros) šsdyt į prų sčų sdugą: = p p p r Įr Glus Pudojt sustprtą MIP K = teoreos tvrts tesgs Preld: tegul teore tesg su vss tūrlss žess už Redes š preld prodyse d r pč teoreos tvrts gloj K P įrodys gts K P t pgl teoreą = p Č p P N < Td pgl preldą = p p pr p P = r Glus įrodyts Vets Preštros ūdu Iš preldos d (pgl MSP) yr tos žuss N šsdos prs et dve srtgs ūds: = p p pr = qq qs gu preštr jog yr dr žess su t pč svye Būtet: dg p ( q j tp vėlg preštr MSP) t pvz tveju p > q pgl DLT (! q r Z ) p = qh r r < q Iš č: = p = qc ( qh r) = qc q( c h) = r < r ture žesį už sčų r šsdoą everešš es q / r QED Pvz 6 = 5 Sudugę veodus prus dllus gue tūrlojo sčus oį r sdį = p p pr Pvz 4 = 7 7 = 7 Išvd Je = p p p r yr tūrlojo sčus os sdys r β β β t: d d = p p p r r β α Iš č esuu gut r ūsų ptetų e oyloje turėtų DBD r MBK prėžų evvletšuo įrodyą Be to tesgos toos orulės: 4 teore Tre N r r β β βr = p p pr o = p p p r γ α β λ := x α β = r ture : Td pžyėję := ( ) ( ) γ d = D( ) = p = M ( ) = λ p Pvz 6 = 5 o 6 = 7 Td d = = 6 = 5 7 = 6 Pdyte šs orules įrodyt svrš Istorės pstos pe prų sčų pssrstyą Dr žloje seovėje tet psteėjo d tūrlej sč sudryt š svotšų toų: prų sčų Tču žos pe prus sčus lgus žus

10 - ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 7 uvo egusos Tes dr Eulds IV pe įrodė d prų sčų ė P yr eglė Č es ptee e oderesį e Euldo šo to įrodyą Euldo teore Crd P = Crd N Įr Tre prešg d tėr r srtgų prų sčų: p p r Sudrye gtę sdugą: r r = = p = p p Vsos elutės slustuose yr soluč overguojčos todėl js gl pru sudugt r gutoj elutė rg tur overguot r = p p = Tuo trpu pgl PAT elutė dešėje yr hroė elutė ur p ž - dverguoj Preštr QED Pr sč tūrlųjų sčų elėje pssrstę l eveod Koų ors jų pssrstyo dėsguų lg esseė psteėt Ve vertus prų sčų p tėe yr e glo dug Kt vertus esuu prodyt d jų yr es žu e tūrlųjų Teore pe tervlus e prų Egzstuoj e ort lg tervl š elės ečų tūrlųjų sčų urų trpe ėr prų sčų Įrodys šplu suostrvus gtę seą!!! uroje yr sudėts sčus Ilg uvo do suostruot toį poloą su svess oecets urs geeruotų prus sčus Glus prodyt d polos urs su vso sveo rgueto rešė geeruotų t prus sčus - eegzstuoj Tču tet epluj ešot uo produtyveso prų sčų geertorus Ptee prcūzų teto FDress preš eletą etų suostruotą poloą: 5 4 = x 7x 4x x 876x 997 Jo rešės x { 4 4} yr pr sč Euldo teoreą pe ės P stuą pedr Drchle (PGL Drchlet žyus voečų tets) 87 įrodyt teore Drchle teore D( ) ( ) > CrdN = Crd { p p P p = Z} = D Ktp st t rtetės progresjos prss rys r srtus yr trpusvyje pr joje ūt yr e glo dug prų sčų Drchle teoreos tsr tvej Yr e glo dug prų sčų pvdlo 4 Ty Crd { p p P p = 4 Z} = CrdN Įr Preštros ūdu Sudroe sčų 4M Jo oe sdyje tur ūt et ves pvdlo 4 sčus p Bet š p 4M p M p Preštr Nesuu įrodyt d yr e glo dug pvdlo prų sčų tuo trpu edrosos Drchle teoreos įrodys yr g sudėtgs Gl ptet r dugu įdoų tų chrterzuojčų prų sčų pssrstyą: prų dvyų prole Goldcho proleos r t Tču vsos šos

11 - ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 8 žos etso į pgrdį lusą: p pr sč yr pssrstę tūrlųjų sčų seoje? T 85 dyds tslu pūdt prų sčų pssrstyą rusų tets PČeyševs įrodė d p ddeles x: x x < π < A log x log x Č ucj π yr lyg sču prų sčų evršjčų relus tego sčus x o A yr osttos r < < < A Be to Čeyševs prodė d osttos r A rtos veetu Iš č ju vzdž peršs hpotezė d ucjos π r x log x turėtų ūt sptotš lygos Tslu d: π l = x x log x Šį tą eprluso ves uo to įrodė prcūzs Adr s (JHdrd) r elgs Vlle Pusse s (CDe L Vllee Pouss) 896 Js vds sptotu prų sčų pssrstyo dėsu Be to pšėjo d rtetėse progresjose (Drchle teore) pr sč pssrstę t tr prse tolyg Būtet je solu π ( x q r) pžyėse sčų prų š rtetės progresjos q r D( q r) = = evršjčų relojo x > t su vss r tos d D ( q r) = yr tesg : π ( x q r) l = x x ϕ( q) log x Ape Ro dzet ucją Ap Kopleso tojo s = σ t ucją ζ ( s) srtyje > ζ () s = = vde Ro dzet ucj Svrus t pe ją: Ro dzet ucj yr lzė srtyje σ > ucj Srtyje σ > tesg lygyė: s σ prėžą lygye () = s ζ s = s = p p Š orulė ptvrt d ucj ζ () s susjus su prs sčs Fucją ζ () s gl lzš prtęst į pusploštuę σ > šsyrus tšą s = ure j tur pprstą polų su rezduu lygu Šą teoreą įrodo Aelo suvu gu orulė: du s ζ () s = s ([ u] u) s s u uroje tegrls soluč overguoj ju srtyje σ >

12 - ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 9 Fucj ζ () s lzš prtęs r į vsą ploštuą e joų yptgų tšų šsyrus ėtąjį s = Psrodo l svrūs yr tervlo () tš uruose ucj ζ ( s) vrst ulu Voečų tets Rs (B Re ) XIX suorulvo grsą hpotezę tvrtčą: vs relej ucjos ζ ( s) ul gul tesėje σ = 5 Tslus r vsuot ptvrtto šos hpotezės įrodyo šol ėr žo Jegu j yr š trųjų tesg t sptots prų sčų pssrstyo dėss gl ūt suoruluots pvdlu: x du π = O( x log x) log u

13 P ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 8 Pst Artetės ucjos Sčų teorjos tyuose dž udojos tūro rgueto ucjos: N C ; tp st - oplesų sčų seos r dr oderu: et os N ės C eleets Toos ucjos vdos rtetės (sutrupt AF) Svresės š jų yr: τ - tūrlojo sčus dllų (tegų) sčus ; žy τ : = d - tūrlojo sčus prų dllų sčus; žy ϖ : = p ϖ - tūrlojo sčus dllų tųjų lpsų su ; žy σ : = d d σ - Olero (Euler o) ucj es tūrlųjų sčų evršjčų r ϕ trpusvyje prų su ; žy ϕ : = D ( ) Pvz τ ( ) = 4 σ 6 = 6 = ϕ ( 8 ) = 4 Sčų teorjos vdovėluose rts ptes edress AF prėžs: rtete vd ucj ur yr prėžt tūrlųjų sčų ėje Tuo pso d ucjos rtetšuu tere d glotų sąlyg: D N = 5 (žr p ) Tp suprtt dugu us žoų eleetrųjų ucjų p t: s x cos x exp x log x x yr tuo pt etu r AF Kt vertus ucj π h = tg x orl ėr AF es D( h) / N Ap AF vdse dtyv (tt ultpltyv) je et ur trpusvyje prų tūrlųjų sčų por špldo sąlyg = (tt = ) yr ultpltyvoj ucj o Iš šo prėžo šplu d = p p K g p r r yr sčus os sdys t: r α = ( p ) = yr dtyvoj ucj t: r α g = ( p ) = Olero tptyė K yr ultpltyvoj ucj o elutė

14 P ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 9 = soluč overguoj t tesg tptyė: = teore Fucjos = ( p ) p P = τ σ ϕ yr ultpltyvos Fucj ϖ dtyv Įrodys Tre D( ) = Td pgl TP sčų svyes: d d = dd ( d d ) Bet sčus dllų es yr τ sčus - τ Todėl pgl otorę dugyos tsylę sdugą d d glėse sudryt τ τ srtgų ūdų σ = d = ( dd ) = ( d ) ( d ) = ( d ) ( d ) = σ σ () d Fucjos d d d d d ϕ ultpltyvuo ol s eįrodėse (ptrte šą jos svyę orečs pvyzdžs); ucjos ϖ dtyvus šplu etrpš š sčus oo sdo šršos: je ( ) = d D t = p p p r o β β βt = q q q t r ( j) p q j Todėl sdug tur r t prų dllų ty ω ( ) = ω ω() teore K = p p p r t: r = τ = α α = α ; ( α ) = r σ p ( α ) p Įrodys Psutė orulė trvl Tolu dg τ ; ϖ ( ) = r σ yr MF t α α užte oėt psčuot jų rešes = p Sčus p dlls tegl ūt t p p p σ α ( p ) α = Jų yr α Pglu pgl GP rų suos orulę: p p p α = p p ( α ) QED Atsru tveju ucj σ žy tesog σ Sčų teorjoje dž pudojos r ucjos: - sčus x R sveoj dls; žy [ x ] r lyg ddžus svej sču evršjč x - e sčus x R trupeė dls žy { x } r prėž lygye {} x = x [ x] Pvz [ 7] = { 7} = 7 ( ) = Iš prėžo šplu d ( x R) { x} < r

15 P ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA x teore Je x > t tervle ( x] yr lyg d sčus d rtotų Įr Pgl AA sčus d tegų rtotų seoje d d qd ( q ) d yr tos q N d qd x < ( q )d Iš č x x q < q ty q = d d QED r r ( ) = Išvd K r α α = p p p t ϕ = p p Iš trųjų dg ucj α tere oėt psčuot ϕ yr ultpltyv t p r teoreoje α α ϕ p Tču trp sčų uo p eus TP su p t te ure dljs š p o pstrųjų pgl teoreą yr α α α = p p ϕ p α p = p p α Todėl Iš tų AF sčų teorjoje ger žo Mouso ucj µ ur prėž tp: je yr r p P p t = µ ; jegu g = p p t µ = Be to µ () = Pvz µ ( ) = o µ = ( ) = Psrodo šos ucjos svyės rg l tpr susjusos su prų sčų pssrstyo proleos Pvyzdžu pstoje pėt Re o hpotezė evvlet įverču c µ = O x x su et o teg ostt c < Forule ( g) : = g( d ) d d vsų ultpltyvųjų ucjų ėje M prėžus lgerę sąsuos opercją gl prodyt d AS ( M ) yr Aelo grupė p r

16 P - 4 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst 4 Dotės lygtys Sste sč Artetės ucjos Olero sdug Krts te ešot lygtes su dugu e veu tuoju F ( x y z) = spredų Džus toos eprėžtosos lygtys (seovės grų teto Doto gre jos dž vdos dotės) spredų tur e glo dug Pvz vdrtėje lygtyje x y = x-so rešę prę et p srt guse orečą y rešę K ešoe t sveųjų toų lygčų spredų t jų es r or įgu oretesį pvdlą Plču ptrse t pprsčusą projo lpso lygtį su dve tss x y = c c Z () Teore Je D ( ) = o por ( x y ) yr tsrss () lygtes spredys t jos edrss spredys yr tos: ( x t y t) t Z () Je D ( ) = d r d / c t () lygts spredų vs etur Įr Iš trųjų je tesgos teoreos preldos t pžyėję ( x y ) et urį () lygtes spredį ture: ( x y = c x y = c x x = y ) ( ) ( y ) Td sčus x x tur ūt dlus š ty x x = t t Z r tp: x = x t t Z Todėl t = ( y y ) y = y t t Z Le ptrt r tr sveųjų sčų por () te lygtį () Tesg r edresė teore: d = D( ) t eprėžtoj lygts su tųjų x x x = tur spredų td r tt td d Sčų teorjoje grėjos e t tesės dotės lygtys Bedroj dotų lygčų spredo etod ėr suurt tču ure tsr tvej yr šs šgrėt Užduots Atlte () spredo ptrą Perstyte 9 š vdovėlo II d Sste sč Yr dvejopos sčvo ssteos: pozcės r epozcės Iš epozcų sčvo ssteų šol yr šlus roėšoj (RS) Nepozcėse sčvo ssteose solo rešė eprluso uo jo vetos sčus užrše RS solu I žye veetą V 5 X L 5 C (cetu) D 5 M (lle) Užršt tūrluosus sčus RS los elų tsylų: ) sčus užršs stos š rės į dešę

17 P - 4 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA ) je press sols reš ddesį sčų e psess t jų rešės sudedos je tvršč tos Tre užršs IX styts o užršą VII suprte tp: 5 c) preš ddesį solį: š vso eršo vdej pgl sol ty V L D o et urs š pgrdų solų I X C M gl ūt pršyts t veą rtą Pvz užršs XC reš = 9 r yr oretšs tuo trpu užršs XXXC eudots r ests į LXX Roėšoj sste šuo etu ž udoj dg joje eptogu tlt vesus su ddess sčs e to ėr ptogu operuot trupeos ty rcolss sčs Pozcėse sčvo ssteose solo rešę pspredž jo vet sčus užrše Populrus šuo etu yr deštė sčvo sste Jos tsrdo prežsčų retų ešot žogus tojoje: r t rų r t ojų žogus tur po prštų Bet žojos storjoje ūt r toų sčvo ssteų: pvz ssteos pgrdu yr p ty sčus 6 r veos ros prštų sčus 5; ūt r toų pvyzdžų Beje solus suglvojo dr seovės r Yr tutų (pvz Grj) urose retsys udoj r toe sol tču seovės rų psūlytej šlo populrus šol T ereš d es prvloe juos udot Įte psulį d sols yr ptogess už solį solį pese d r tou o erogls Ξ l reš Turėse trs pruosus orglus solus Orgluu užgt įprstą pese želu & Ir eo etsts Tereės įtt vsus d vetoje = ptogu ršyt & =Ξ Žo vrgu r t pvys Mtetu psrt l svru suprst to r to teto to vetą įo edresės teorjos oteste jo strcjos lpsį Įprstą us deštį užršą 57 = 5 7 gl pest d r tou: 57 = r etyt joų prcpų preštrvų Beje psrę esperetuot udoje ršus steų žyes ors t p syt r eūt Pstrąją sčus 57 šršą sutrupt užršę pvdlu 57 = 5 6 turėse toį (soe: šešetį ) sčus 57 užršą Psrodo - t t ve š e glo dugelo sčus užršyo glyų! teore Keveą tūrlųjį sčų M gl vetelu ūdu užršyt pvdlu M = g g g g () urs vds sčus M ssteu g - tu užršu ( želu) Č g > yr et os suots tūrluss sčus vds sčvo ssteos pgrdu o sveej sč = vd sčus M g-ts vežels stes Įrodys Glus legv įrodos udojt sustprtą tetės ducjos prcpą K M = t su et ou tūrluoju g > : M = = = Tre teoreos tvrts gloj su vss sčs žess už tūrlųjį M > Įrodyse d () užršs gloj r pč M Pgl DLT egzstuoj sveej Q toe d M = Q g r g (4)

18 P - 4 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Kdg Q < M t j gloj ducjos preld ty Q užršos g-tu ssteu želu užršu : Q = g g g g Įsttę šą šršą į (4) r tt sutvrę žyes ( : = = : j = ) gue gluo įrodyą j j Vets šplu š DLT vetes r ducjos preldos Psteėse d g > t trdcų ršų veželų steų eužte Tuort trūstų steų žyes te suglvot uj Neret t dro pprsčus udojt slustelus Pvyzdžu M = 87 o g = t: M = Soe d dešts sčus 87 užršyts dvdeštėje ssteoje Sutrupt ršoe: 87 = () Solu ( ) pžyėts 4 tss vežels tės sčvo ssteos stuo Tp žyt psuts dvdešts stuo ūtų (9) Kp gut ssteį sčus užršą? Koretus sčus M veželus stes g-te sstee užrše () gl psčuot įvr Pvz rets žeu pte teore teore = M M g = g g Įr Iš ssteo sčus M užršo () šplu d su vss = M = g g g g g M = g g g g g Tču g g g < ( g ) = g g g g g g g g g todėl M = g g (5) g r tt M = g g (6) g Atėę š (5) čos lygyės (6) tą pdugtą š g ge teoreos įrodyą Pvz M = 87 o g = t = es Tolu = = = 4

19 P - 4 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA = = = = = 4 = = = 87 4 = Sveųjų sčų pervedu š veos sčvo ssteos į tą dr udoj dlyos r dugyos ūd Dlyos ūds grdžs tuo d () ssteį užršą pertvrus pvdlu M = ( g ) g = : Ag pstee jog stuo yr sčus M dlyos š g le Svo ruožtu sčų A dlt š g guse leos r tt Dugyos ūdu reoeduoju šsu psdoėt ptes (žr vdovėlį) Kp pvyzdį č ptese t to ptes sčus pervedą į 5 tę sčvo ssteą š prdžų dlyos o po to dugyos ūdu Dlyos ūds Ture (ves tle 9 tėje ssteoje!): 7759 = = 4 49 = 5 6 = 69 = 5 47 = 479 = 5 8 = 89 = 5 4 = 5 = Ats 7759 = 45 Dugyos ūds (Dr ves tle 5 tėje ssteoje!): 9 = = 6 = 5 = 5 7= = = 445 5= = 45 4 = Ats 7759 = 45 Speclus tvejs K pgrd g r p suset lygye g = p t pervedo procedūr yr žy pprstesė Tere psteėt d pgl teoreą g- tės sčvo ssteos vežel steys g užršo - žels p- ts sčs Kdg eves š jų yr grežt žess už ( { g } ) { } p t ( jl ) l = l p l p l p l l Pvyzdžu g = 8 p = t = Td pvz vežels stuo 6 užršos trželu dvejetu sču es 6 = Apsrt udg susdryt letelę vses vežels stes: = = = = 4= 5= 6= 7= Td ort 8-tį sčų pervest į dvejetę sčvo ssteą tere psudot sudrytąj letele: =

20 P - 4 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 4 Je ore dvejetį sčų pervest į štutę ssteą - elgės tvršč : susrstoee dvejetį sčų (š dešės) po trs r psudoje letele: = = 5568 Apsrt ort g-tėje sčvo ssteoje tlt rtetus vesus te susdryt ujs sudėtes r dugyos leteles r pre jų prprst

21 P 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst 5 Grdės trupeos Ngrėjoe teą Sste sč Vėlu tyse d vsš logš p r -ėje sčvo ssteoje gl įvest r g-tes trupes Bgtės grdės trupeos Dr oyloje sužoe d sč gl ūt įvr užršo Št rcoluosus sčus gl užršyt pprstųjų trupeų (tsylgų r e) pvdlu r deštės trupeos Užršs dešte trupe gl ūt gts r egls Įrodyt d rcolej sč užršo tt gtės r eglės et perodės deštės trupeos Bedresu tveju gl lėt pe sčus ssteį užršą et ou pgrdu g > g N Tuort sčus šršos tps prluso uo psrtojo pgrdo g Pvyzdžu rcoluss sčus (etsylgoj trupe) t = užršos 6 egle perode (tslu šr perode) dešte trupe: t = 666 = : ( 6) Jegu g psrse dvyltę sčvo ssteą t ts pts sčus užsršys ju gte dvylte trupe t = Yr dr ves relųjų sčų užršyo ūds ju eeprlusts uo š sto preo sčvo ssteos pgrdo o tt uo ptes sčus Prdėse uo orlus prėžo Tre q q yr relej sč r q > Lygyės: [ q ]: = q [ q q ]: = q q [ q q q q ]: = q q q q () q reuretš prėže solį urį vdse grde trupe (sutrupt GT) r žyėse [ q q q q ] Sč q = vd grdės trupeos eleets Nuosel tyd prėžą () GT gle užršyt to dugušte šrš: [ q q q q ] = q () q q Tolu es doėsės tt toos GT urose q yr tūrlej o q - svess sčus ors gls r edress sąvoos grdė trupe suprts Avzdu d tūrlųjų eleetų q sčus yr gts t GT yr t trs rcoluss sčus Šuo tveju GT vdse gte grde trupe (sutrupt BGT) K eleetų se q = yr eglė štos prėžs r šrš () ol s yr t orlūs es eš too rešo prsė: ešu e s prded pre e š o srt dls veets q Psrodo d BGT ė sutp su rcolųjų sčų e Q es et oį rcolųjį sčų rg gl šslest BGT

22 P 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Iš trųjų je t = Q t sveeses sčs r prtus (š dlyos su le teoreos šplutį) Euldo lgortą turėse: = q r < r < = r q r < r < r r = r q r < r < r r r q r < r r = < r = r q r Iš šų lygyų uosel šrešd sčus r = q r r r rcolus sčus t šršą ju tyt dugušte trupe: t = = q = [ q q q q ] () q q guse q q Nesuu ptrt d j te ušču ptetą () reuretį prėžą Td soe d rcoluss sčus t yr šrešts gte grde trupe Iš Euldo lgorto šplu d prss eleets q (sčus t sveoj dls) gl ūt lygus ulu r eg svej sču o t BGT eleet yr tūrlej sč Je psuts eleets yr lygus veetu t q q q = q = q ; q q q Todėl sustrt lyt d q Td esuu prodyt d šrš () oreč rcolj sču yr vetelė Rezuuod t s psyt gle suoruluot toą teoreą teore Keves rcoluss sčus t = yr verešš šsledžs pvdlo () BGT uros eleet yr eplej sty gut tt Euldo lgortą sčs r 75 Pvyzdžu šslese BGT rcolųjį sčų Sčs 75 r toe Euldo lgortą: 75 = = 8 = = 7 7 = 7 Neplej sty q = q = q4 = 7 r yr ešoo sledo eleet Todėl [ 7] Redut r jų svyės Ap Nutruus GT (gtę r eglę) tes jos r- tuoju (suprt d BGT Pr tveju r ) eleetu gutą rcolųjį sčų R r : = [ q q q qr ] = : Qr vde tos GT r- tosos elės (r: r- tuoju) redutu r BGT užršs tesog sutrupėj: [ ]

23 P 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Redutų stl r vrdl tur dug įdoų svyų įglčų eetyv tyt GT Psteėse d dugelu šų svyų GT eleetų svereššus ėr ūt sąlyg Gl įrodyt (pvz tetės ducjos etodu) d su vss GT - tojo reduto stl P r vrdl Q te reuretes šršs: P = q P P Q = qq Q P = r = Ptoguo dėle ppldo prėžus d Q reuretės orulės gloj su vss Iš trųjų je psteėse d pgl prėžą (): R = [ q q q q ] : = q q q q q t psudoję ducjos preld guse q P P q q ( q P P ) P q P P R = = = q qq Q ) Q q Q Q q Q Q q Iš šos redutų svyės šplu d vrdl Q yr tūrlej sč r sudro grežt ddėjčą seą Iducjos ūdu tpog esuu prodyt d N P Q P Q = GT redut yr esuprstos trupeos ty su vss D P Q = Trę jog D( P Q ) = d > pgl -ą svyę gutue preštrą d d 4 Redutų su lygs uers se ( R ) yr ddėjt o se ( R ) yr žėjt Š svyė šplu š lygyės l Pl Pl ( ) ql = Ql Ql QlQl įstčus vetoje l pelu tt r BGT tveju psuts reduts (lygs r elygs) sutp su šslestuoju rcoluoju sču 5 Su vss R < R r R < R Svyė įrodo du rtus pelu ( l = r l = ) pudojus lygyę P l Q l P Q l ( ) l = Q Q l l < Rl l 6 Su vss r l R Iš trųjų (t pvz tvejį > l ) š 4-5 svyų uosel gue: R < R < Rl 7 Bgtės GT tveju ture d su vss t R R R = QQ Q Bgtės r eglės GT redutus ptogu psčuot sudrt ttą letelę uroje redutų stl r vrdl rd rets reuretės orulės Pvz 75 rse vsus ūsų šslesto sčus = [ 7] redutus Sudroe letelę: 4 q 7

24 P 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 4 P Q 4 Todėl R = R = R = R = R4 = Šuo tveju pts sčus 4 sutp su lygės elės redutu R 4 Je ture rcolojo sčus sledį o ore žot ptį sčų t psuts štp psčuots reduts r us tsys Be to pgl čą redutų svyę tsyą guse esuprstos trupeos pvdlu Pvz sču β = [ 7 5 9] guse: 4 q P Q Todėl β = R 4 = r D( 99 ) = Beglės grdės trupeos Art Dr ptre p suprts užršs () eleetų se ( yr eglė ( ) Ap Je redutų se R yr overguojt t jos r α vd GT () reše r ršo α = [ q q q q ] = q q q R vsd overguoj teore Beglės GT redutų se Įr Prodyse d toos GT redutų se R te Košy rterjų: os eūtų ε > gl urodyt te ddelį uerį M d su vss tūrlss ddess už M glotų: R R < ε Gle lyt d R R j= R > Kdg j R j = = < j= Q jq j j= j( j ) t įrodyu tere psrt M > ε Svru yr t d gte r egle GT gl užršyt et oį relųjį sčų T užršs () td gl ūt r egts Tslu yr tesg to teore teore Bet oį relųjį sčų α gl verešš šslest GT T GT yr gtė α yr rcoluss r eglė α rrcoluss sčus Įr Iš prdžų prse d eves reluss sčus x verešš užršos p svo sveosos dles [ x ] r trupeės dles { x } su ty x = [ x] { x} Č {} x < Je q := [ α] o := { α} t α = q = [ q r ] r je t α ėr svess sčus r r t r > Tolu pžyėję [ ] r = : q o : = { r } glėse užršyt : r r > q )

25 P 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 5 α = q = [ q q r ] q r Štą procesą gl tęst tolu K - e žgsyje r > t pžye [ ] r : = { r } Be to su eveu gloj tos užršs r = : q r α = [ q q q q r ] (4) Kp tėe sču α yr rcoluss t pršyts process yr gts - t šplu š EA K α yr rrcoluss sčus pršyts process egl ūt gts es gutue preštrą: rcoluss sčus yr lygus rrcolj Td rrcolus sčus α tveju gue jo sledį egle GT [ q q q q ] Sledo vets šplu š sčus sveosos dles vereššuo QED Įvestųjų sąvoų prsė ypč pšėj psteėjus d GT rešė sutp su pču sču α 4 teore Seos ( R ) r yr ūtet šslestss sčus α Įr Iš trųjų dg sč P P r Q Q eprluso uo GT eleetų urų des yr ddes už t š (4) gue: P r P P P P Q P Q α = = Q r Q Q Q Q r Q Q Iš č psudoję redutų svyės r tuo d α R = Q r q > ( r Q Q ) Q ( q Q Q ) Q Q Q < Kdg Q t š č r šplu jog P α = l Q = gue (5) Teore įrodyt Relus sčus α sledo GT redutus įprst vdt tesog sčus α reduts Išvd Irrcolus sčus α lygės elės redut yr žes o elygės elės ddes už α Nelygyė (5) ur p tėe yr tesg r BGT (7-t sv) įgl prosuot relųjį sčų α rcoluoju sču R oru tsluu Tere t pt redutą su p ddelu ueru Psrodo d tos įverts yr t tr prse geruss Ptslse šą sąvoą trupeos Ap Rcoluss sčus vds gerusu relus sčus α rtu je ėr p q q su ur glotų: p α < α q 5 teore Relus sčus sledo GT redut yr jo gerus rt Teoreos įrodyą prledže Prėžt d sąvo geruss rtys ereš tsluss rtys es rrcolus sčus tveju tsluso rto pprsčus ėr Š sąvo prėž

26 P 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 6 d tslus ėr vetels rterjus pret sčus rtį Dž ptogu vetoje tsleso et greėzdšo rto udot žu tslų et pprtesės šršos sčų Grdės trupeos susdoėt po to grsus vduržų oldų zs stroos r tets Hugess (Ch Huyges ) dyds suurt pletų judėjo echį odelį susdūrė su dtrčų urų dtuų stys tur ūt uo rtess duotj sču pro prole Dtuų sčus dtrtyje egl ūt t ddels todėl reėjo ešot dvejų plygt eddelų tūrlųjų sčų urų stys ūtų rts t sču Šteču vėlu sstegą GT teorją suūrė žyus švecrų tets LOlers (LEuler 77 78) jo drus prtęsė grsus prcūzų tets Ž Lgržs (JLLgrge 76 8) GT plč toos prosvo uždvuose Pvyzdžu žo d vduts prų sčus stroouose etuose α yr rrcoluss sčus Apsčuot elets jo sledo egle GT eleetų: = 65 4 = [ ] α 7 8 Prej redut yr toe: R = 65 R = 65 R = 65 R = Ju Seovės Rooje uvo žos reduts R = 65 ; juo rets lg udots vdss 4 Juljus Cezro ledorus uvo lo d etuose yr 65 r dr etvrts pros Tuo rets s etvrt (elej) et uvo plg ve pr Tču R ėr l tslus α rtys todėl ju XV žuje Cezro ledorus uvo urypęs uo tslus Sulės lo et prų 589 popežus Grglus ptslo Cezro ledorų elss elyds štečų urų prej du steys sudro dvželį sčų esdljtį š 4 Pvz 5 pgl Grglus ledorų ėr elej Bet r Grglus ledorus euvo l tslus Jo pld pros per etų Persų poets r tets Ors Chjs pe 79 uvo sudręs dr tslesį ledorų lyds d elej et yr s etvrt 8 et 7 rtus š elės o štutą rtą elej yr petej et T rešė d α 65 o t yr R OChjo ledorus pld žesė t pros per etų Pls sčus π sledys ėr žos tču žo g dug jo GT eleetų r redutų Be to ddels tslus pses g gret Yr psčuot d π = [ ] Td psudoję tuo d sčus = [ 7 5 9] β sledo eleet sutp su prss π eleets ture pruosus 5 sčus π redutus gerusus rtus R = R = R = R = R4 = Įdou t d sč po π rt uvo žo gero GT teorjos 7 6 tsrdo Artį žojo dr Archeds (Archedes 87-7 pe) o preš 5 etų Seovės Kjoje 7 55 sčvs ju uvo udoj r rt Iš (5) elygyės tyt d ju R srs uo π 6 žu e Kdg π sledyje q = 4 9 t redut R r ypč R yr l tslūs rt 7 Pvyzdžu π R < GT plč toos e t proscjos et r dotės (eprėžtosos) lygts lygs spręst Mes ese švedę (žr P 4) pprsčusos dotės lygtes su svess oecets c x y = c edrojo spredo ( x y) psčvo orules: x = x t ; y = y t

27 P 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 7 D = Č ( x y ) yr tsrss lygtes x y = c spredys Legv prodo d tą tsrą spredį gl rst š orulų: cq y cp Č = Q x = ; = P R yr sčus sledo BGT prešpsuts reduts Perodės grdės trupeos Dej dugu relųjų sčų sleds GT ėr pprsts uždvys Ddesų proleų eel t rcolej sč r dr ve g sur rrcolųjų sčų lsė - vdrtės rrcolyės urs sledžt gue tp vdąss perodes GT Ap Beglė GT α = [ q q q q ] vd perode je egzstuoj toe tūrlej sč r h d su et uruo gloj lygyė q = q h Tuort sutrupt ršoe [ q q q q q q ] α = h Kp r deštų trupeų teorjoje gl lėt pe gry perodes r šrs perodes egles GT Je = t GT vd gry perode Ap Relųjį et ercolųjį vdrtės lygtes x x c = su svess oecets c spredį α vdse vdrte rrcolye Pvz 7r yr vdrtės rrcolyės es yr tt vdrtų lygčų x 7 = r x x = šys Slesd vdrtę rrcolyę GT uosel gue: = [ ] { } = ( ) = Tolu: = = ( ) = = r process rtots Td [ ] = [ ] = Apsčvę R = R = R = R4 = pstee d ju R yr g tslus 5 7 sčus rtys es pgl (5): 7 < < 7 Psrodo d štos sledo rezultts yr dėsgs Dr 77 Ž Lgržs įrodė d perodų eglų GT ė sutp su vdrtų rrcolyų e 6 teore (Lgržo) Keveos perodės GT rešė yr lyg vdrte rrcolye Ir tvršč: eve vdrtė rrcolyė šsledž perode (gryąj r šrj) GT Jegu ore pgl turą sčus α sledį gry perode GT (ty = ) α = [ q q q qh q q qh ] surst vdrtę rrcolyę urą ts sledys šreš t ptogus t dryt udojts orule αph Ph α = (6) αqh Qh Č h yr GT eleetų es perode (perodo lgs)

28 P 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 8 Š orulė šplu š (4) šršos ur šuo tveju trodo tp: α q q q q α Pertvrus (6) orulę gue vdrtę lygtį α tžvlgu: [ ] Q α ( Q P ) α P = h h h h h = (7) K ture sledį šr perode GT su lgo prešperodžu α q q q q q q q q q [ ] = h h t ptogus prdžoje š orulės (7) rst vdrtę rrcolyę α šreščą ttą gry perodę GT o td ju sčų α psčuot š šršos: α P P α = (8) α Q Q Pvyzdžu α = [ ] t = h = Td sudroe letelę tt gry perode trupe α = [ ] psčuot: q P 7 Q 4 Įsttę gutuosus sčus į orulę (7) gue: 7α = α r α α = 4α 7 Iš č α = Dr psčuoje α Tuo tslu vėl sudroe letelę t dr ju 4 pgl prešperodžo eleetus: q P Q Pgl orulę (8) glut gue: α α = = = α 7 4 Ape vdrtų rrcolyų sledą perodės GT yr gut dug įdoų p d rezulttų Pvz įrodyt d pvdlo α = vdrtė rrcolyė (č p q q sveej d tūrluss r d N ) šsledž gry perode GT td r tt td p d α > o sčus α := pte į tervlą ( ) q Nors edro lgorto r ėr et svresų rrcolųjų osttų sled yr ger štyrėt Ju lėjoe pe sčus π sledį Pžyėt d dr 685 uvo psčuot (JWlls) prej 4 sčus sledo eleet Šuo etu jų žo vrš 77 LOlers rdo r t svros tetoje osttos sčus e = 788 sledį: e = 4 6 [ ]

29 P 6 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst 6 Lyg sveųjų sčų žede Prse d sveųjų sčų žede yr įrodyt DLT Jos dė su eveu tūrluoju sču > ę Z gl susdyt į poų K r : = { Z = q r} r = Še po vd leų lsės odulu Aę L K K K ju ese ptrę syruje Algerės strutūros : = { } } Mtėe d strutūr { L yr žeds Še syruje dr syį sugrįžte pre žedų L Aptrse gerų lygčų spredo gtuose žeduose (luuose) lusą Ap Je sveuosus sčus r dljt š tūrlojo sčus gue veods les t soe d sč r lygst odulu r ršoe : ( od ) Yr vrtojs r tero lygst sos: yr ogruetūs Pvz 7 ( od6) et / 6( od5) K = t š sąvo yr trvl todėl džus lyse d > Išvd Vs tos pčos leų lsės K r sč yr plyg trpusvyje teore ( od ) td r tt td Įr Je ( od ) t pgl prėžą = q r = q r Tču td: = ( q q ) = : q Je tvršč t reš d yr tos svess q d = q = q Td je dlt š gue = q r t = q = q q r = ( q q ) r o t r prodo d r sčus dlyos š le yr ts pts sčus r QED Dž AST os vdovėluose lyguo prėžs yr ečs t ą įrodyt teore; td ūsų suoruluots prėžs yr įrodos ty pts tp teore Lygų svyės Lyguo (ogruecjos) sąryšs yr evvletuo sąryšs Išvd Z = L Lygus tuo pču odulu gl pru sudėt tt dugt Įrodyse pvyzdžu d š ( od ) c d( od ) šplu c d( od ) Turėd d = q r c d = q gue: c d = c c c d = = ( ) c ( c d ) = qc q = : q c d( od ) Pvz 7( od 4) ( od 4) 4 6( od 4) 8 8( od 4) 7( od 4) Je d = D( ) = : dd r D ( d ) = d t lygo ( od ) puses gl

30 P 6 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA suprstt š d o odulį š Ktp st lyg od r d d od yr evvletūs d D d Iš trųjų je ( od ) t = q Kdg duot d: ' d = ' d d = d d r = 'd t = ' = q ' d d ' dd = q' d ' d ' d = q' od d d d es š D( d ) = šplu d d q Atvrščs tvrts šplu dr pprsču: ' ' = q' ' d ' d = q' d d = qd = ( qd ) ( od ) Išvd Je D ( ) = d r D ( d ) = t lygo ( od ) puses gl suprstt š d eečt odulo Pvz tesgs lygys 78( od8) suprstus pus š 6 o odulį š vrst tesgu lygu 7 ( od 4) Tuo trpu tesgą lygį 7 ( od 5) prstt jo puses š reslt čos tsylės gutue: 7 ( od 5) ty - etesą 4 Je t ( od ) ( od ) 5 (od ) D = D = x x x Z ( od ) ( )( od ) 6 Je t PLS r RLS od svyės Ap Rį sčų ptų lyg po veą š eveos leų lsės od vdse pląj leų sste odulu (sutrupt: PLS od) Pvz rys 6-4 yr PLS od 4 teore Je D( ) = r rys x x x sudro PLS od t su vss svess rys x x x rg sudro PLS od Įr Koetuojt PLS od prėžą pstee jog t d sčų rys ūtų PLS od re: ) d sčų ūtų lyg ) je ūtų s du eplyg Šs oetrs r geeruoj įrodyą es ledus d x x j ( od ) š lygų svyų šplu d x x ( od ) de Ap D( K ) = D( ) j Pvz D K5 = D 5 = Tos prėžs yr oretšs es š DBD svyų žoe d K D = D Ap Je K = t lsę K vdse trpusvyje pre su odulu D

31 P 6 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pvz leų lsė K 5 odulu yr trpusvyje prė su odulu Tuo trpu = 9 = lsė K 9 ėr trpusvyje prė su es D( K 9 ) Ap Rį sčų ptų lyg po veą š eveos leų lsės od trpusvyje prės su odulu vdse reduuotąj leų sste odulu (sutrupt: RLS od ) Koetuojt prėžą še: t d sčų rys ūtų RLS od re: ) d tų sčų ūtų lyg ϕ ) je ūtų s du eplyg ) eves ro sčus ūtų trpusvyje prs su odulu (Grežt lt retų įrodyt d )-) relv r ptets RLS prėžs šplu ves š to tset yr evvletūs) teore Je D ( ) = r rys x x xϕ sudro RLS od t rys x x xϕ rg sudro RLS od Įr Iš oetro lygų r trpusvyje prų sčų svyų Dr ju gle įrodyt d syrelyje Artetės ucjos įvestoj Olero ucj ϕ yr ultpltyv 4 teore Olero ucj yr ultpltyv Įr Tre D ( ) = Ture įrodyt d ϕ ( ) = ϕ ϕ ( ) Tuo tslu vsus sčus - suršoe į toą letelę turčą elučų r stulpelų: (-) (-) (-) (-) - Iš DLT šplu d vs -tojo stulpelo eleet (ty sč pvdlo c c ) dljt š duod tą pčą leą Todėl je D( ) > t r D( c ) > Rets Olero ucjos prėžu gue d stulpelų uruose estys sč yr TP su yr lyg ϕ Kevee š toų stulpelų yr sčų pgl teoreą sudrčų PLS od Jų trpe TP su yr ϕ ( ) Td letelėje yr ϕ ϕ ( ) sčų TP su r Bet š TP sčų svyų žoe d teg D ( ) = r D ( ) = D ( ) = yr evvletūs tegu D ( ) = Todėl ϕ ( ) = ϕ ϕ ( ) 5 teore (Olero) Je D ( ) = t ϕ od Įr Tre x x xϕ yr RLS od Td pgl teoreą rys x x x rg yr RLS od Todėl x x od o š č sudugus ϕ j vsus tous lygus gue : ϕ x x x x x x ϕ od ϕ ( )

32 P 6 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 4 Bet š D x = šplu d D x x xϕ = todėl pstrąjį lygį gl suprstt QED Išvd (Fer teore) Je p P r D ( p) = t p ( od p) Išvd Su vss svess p ( od p) Leų lsų pru odulu lus 6 teore K p P t leų lsų od p žeds L yr lus = p p : = p Įr Iš to s ju žo pe gtį žedą { K K K } L droe švdą d teoreos įrodyu p prodyt d je šspredž lygts K K x = K je t K K Išet š leų lsės prėžo tos tegys evvletus t jog egzstuoj svess sčus x tos d x ( od p) je t / ( od p) ty D( p) = Bet je sčus x prėg PLS od p t pgl teoreą sč x rg prėg PLS od p todėl tsrs tsl ves š jų ptets į tą pčą lsę od p p r sčus Teore įrodyt Lus L p p P yr lss gto luo pvz; jo chrterst lyg p Išvd Žedo L pos G : = { K D( ) = } yr jo ϕ elės ultplcs pogrups Lygų ty Svršos studjos: vdovėlo s prgrs psl Č es ptrse t dluo požyų švedo etodą Moyloje suspžoe su eletu dešto sveojo sčus dluo š tūrlojo požyų Nudojts lygų svyės gl švest r ju ėtus požyus (š ) r dugelį tų Teore (BPslo*) Ntūrluss sčus M uro g-ts užršs yr M = g g g g dljs š tūrlojo td r tt td š dljs sčus M = r r r j j Č yr leos gutos dljt sčus g š ty g r ( od ) j = r j Teoreos įrodys šplu š lygų svyų j j Pvz g = = t ( ) ( od ) todėl dluo š požys deštėje sčvo ssteoje oruluojs tp: Ntūrluss sčus M uro dešts užršs yr M = 9 dljs š td r tt td š dljs sčus M = ( ) ( ) Pgl šį požyį sčus M = 647 yr dlus š es š dljs M = Iš tro: 647= 5764 j

33 P 6 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 5 Lyg su veu tuoju K = x x x Z r / ( od ) t lygį ( od ) () vde - tojo lpso lygu su veu tuoju Č N Iš 6-tos lygų svyės šplu d je sčus te () lygį t et urs su plygs sčus ( ( od ) ) tp pt te lygį () Todėl () lygo spredu įprst vdt vsą leų lsę K Ap Du lygus vde evvlečs je juos te te ptys sveej sč Pvz lyg x 4( od5) r x ( od5) yr evvletūs es juos te pvdlo ± 5t t Z sč r joe toe Kd tuo įsttue tere ptrt PLS od 5 Dr pgrėse pprsčusą projo lpso lygį: x ( od ) / ( od ) () 7 teore Je D ( ) = d r d / t () lygys spredų etur; je d t () lygys tur lyg d spredų od Įr ) Tre D ( ) = d r d / Td trę d egzstuoj spredys x x ( od ) gutue: x = t d - preštr ) Tegul D( ) = Td sč x prėg PLS od t x rg prėg PLS od Tg yr vetels PLS tstovs tre x su uruo gloj x ( od ) Todėl lsė K x = { x x x ( od ) } yr vetels lygo () spredys ) K D ( ) = d d t pgl lygų svyes () lygį gle š d suprstt r gue j evvletų lygį x od () d d d Tču () lygu ju t pute ) įrodyts tvrts Todėl () tur vetelį spredį x x od Le psteėt d je sčus te () t js te d r () lygį Tču sč x x x x ( d ) pte į srtgs d d d lses od r jų yr tsl d Teore įrodyt pvz Išspręse lygį : 5x 5( od5) Kdg D( 55) = t duotss lygys evvletus to: x 5( od 7) Ptrę PLS od 7 tstovus rde vetelį pstrojo lygo spredį x 4( od5) Je ore pršyt prdo lygo tsyą odulu 5 t pstee

34 P 6 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 6 d tts leų lses duod sč: Td prdo lygo 5 spred yr šos leų lsės: x 4; ; 8; 5; ( od5) pvz Lygys x 5( od 44) spredų etur es D( 44) = r / 5

35 P 7 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst 7 Projo lpso lygų spredo lgort Z Pree: x = x x x r / od t predtą ( od ) () vde - tojo lpso lygu su veu tuoju Č N Ap Du lygus vde evvlečs je juos te te ptys sveej sč Tolu grėse pprsčusą projo lpso lygį: x ( od ) / ( od ) () Avzdu d lyg x ( od ) / ( od ) r x od yr d d d evvletūs todėl vsd gl lyt d D ( ) = Td pgl pstos 6 7-tąją teoreą lygys x ( od ) tur vetelį spredį leų lsę od Kp jį rst? Yr elets lgortų K eddels sčus t tesog etrpš ptr PLS od Soe d lygu x ( od ) toe evvletūs pertvr (EP) je: - pre oecetų prdede sčų t t Z - lygo pusės r odulį prste pgl syrelyje Lygų svyės (P 6) ptrtą tsylę - lygį x ( od ) sudede pru su tesgu lygu od Nesuu įrodyt d EP lygį x ( od ) eč j evvleču Be to š prdo vsd gl gut j evvletų lygį pvdlo Ax Ax ( od ) Td x x ( od ) r yr tsys Iš trųjų d vetoje sčų t t Z r sed d t dltųs š turėse ešot too t su uruo ūtų tesgs lygys t ( od ) Tču tos lygys t tžvlgu tur vetelį spredį es D( ) = Todėl uosel trd ūt rse toį rtotį su uruo t = x Beje proceso pgretu odulo rtots pprst prdėlojs r pre oeceto Pvz šspręse EP etodu lygį 7x ( od5) ; č D ( 7 5) = todėl yr t vetels spredys od 5 Nuosel gutue: 7x ( od5) ( 7x ( 5) ( od5) 7x 7( od5) ; 7x 5( od5) 7x 8( od5) ; 7x ( 5) ( od5) 7x ( od5) ; 7x ( 4 5) ( od5) 7x 8( od5) ; 7x ( 5 5) ( od5) 7x 5( od5) ; 7x ( 6 5) ( od5) 7x 68( od5) 7x 4 7( od5) ;

36 P 7 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Todėl ts x 4 od5 Bet dug greču ūtų sčuot štp: 7x ( od5) ( 7 5) x ( 5) ( od5) x 8( od5) x 4( od5) Č (r žeu) žels reš evvletu r pudots vetoje želo vegt dvprsyės Mt lėd pe lygus solu žye lyguo sąryšį Je rcolus sčus (preu d: D ( ) = ) sledo BGT prešpsuts reduts yr P Q t pgl redutų svyes: : P r pdugus šos lygyės puses š sveo sčus ( ) : Q = ( ) P = ( ) Q ( ) P od Todėl vetels lygo () spredys yr x ( ) P ( od ) Pvz šspręse lygį x 75( od ) 7x 5( od7) Kdg 7 = [ 8 4 ] t P = = [ 8 ] = 7 x ( ) 6 5( od7) 99( od7) es ( od7) 6 Ats Q 9 Psteėse d prds lygys od tur ju trs spredus (žr 7 t-ą): x 99; 6; od 4 Nesuu ptrt d sčus x : = ϕ tp pt yr lygo x ( od ) vetelo spredo (leų lsės) tstovs Iš trųjų pgl Olero teoreą r lygų svyes: ϕ ϕ x = = ( od ) Td ts x ϕ ( od ) Dr veą toų lygų spredo ūdą ptrse e vėlu Projo lpso lygų ssteos Bedruoju tveju l pe ojucją vevečų predtų x (od ) = : x ( od ) x ( od ) () x ( od ) () lygų ssteos spreds vd sč ure te vsus ssteos lygus rtu Psrodo te sč je t jų psrt yr sudro leų lses od M Č M : = M ( ) teore Tre tss () ssteos lygys tur T spredų od Td vs () lygų sste r etur spredų r tur edugu p T : = TT T spredų - leų lsų od M Įr Prdėe uo pprsčuso tvejo uo dvejų lygų ssteos:

37 P 7 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA ( od ) ( od ) x (4) x Keves š (4) ssteos lygų spredžs ušču pršyts ūds Je et ves š jų spredų etur t r vs sste jų egl turėt Išspredę eveą ssteos lygį edru tveju gue d ( ) = = D sste (4) yr evvlet spredų todėl pgl otorę dugyos tsylę (KDT) d d x x ssteų pvdlo: c ( od ) c ( od ) Le Pžyėe M = M ; D ( ) = d Je d c c t (5) sste tur vetelį spredį - leų odm lsę Je d / c c t sste spredų etur Leos įrodys Prąjį (5) ssteos lygį tetys sč yr šreš lygyės x = c t t Z pvdlu Nort d je tuo pt etu tetų r trąjį (5) lygį turėtų glot lygys: c t c ( od ) Ktp st sčus t tur tet lygį : t c c ( od ) Tču pstrss lygys d / c c vs etur spredų K d c c t suprstę lygį pgl lygų prsto tsylę guse toį j evvletų lygį: c c t od d d d Js tur vetelį spredį od tre lsę t α od uros sčus d d užršus lygyės pvdlu turėse: t = α y y Z Todėl u (5) ssteos d lygus te sč : x = c t c α y = ( c α ) y : = β ym y Z d d r leų lsės pvdlu ture vetelį spredį x β ( od M ) Le įrodyt Teoreos įrodys šplu š ducjos tt leą KDT r MBK svyę: M ( ) = M (( ) ) Mslus spredų sčus yr T et š leos šplu d urs tvejs (5) sste gl eturėt spredų td edrs spredų sčus gl sužėt QED Išvd Je yr TPP sč t () lygų sste tur lyg T spredų leų lsų od M Č M : = Iš trųjų sste () yr evvlet T ssteų pvdlo (5)

38 P 7 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 4 ( od ) ( od ) x c x c (6) x c ( od ) urų eve šuo tveju tur vetelį spredį odulu M Aptrse dr veą ūdą stdrtzuot lygų sste (6) spręst tveju yr TPP sč Kp r šol žyėe M = Be to įvese tous žyes: M = o sč y rd š lygų: M y od = Psteėse d eves š šų lygų tur vetelį spredį - leų lsę ttu odulu Sčus y yr et urs tos spredų lsės tstovs (ptogus rts - žusą solutu dduu tstovą) teore (etšoj) Je ssteos (6) odul yr TPP sč t sste tur vetelį spredį x Č M o spredo lsės tstovs x = M yc M yc M yc x ( od M ) psčuojs pgl orulę: : = x Įrodys šplu š to d pgl teoreos yr t vetels spredys od Bet sčus x te eveą ssteos (6) lygį todėl js r yr vetelės M M lsės spredų lsės od tstovs Pvz spręsd ssteą x ( od 7) x ( od9) x 4 ( od8) uosel gue: M = 7 M = 56 6 M = Td M y ( od ) 7y ( od 7) y ( od 7) y = Pš M y ( od ) 56y ( od9) y ( od9) y = 5 ; 6y ( od8) y ( od8) y = Todėl x = 7 ( ) ( ) ( ) 4 = 956 r vetels duotosos ssteos spredys yr: x 956( od7 9 8) 5( od54)

39 P - 8 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst 8 Lygų odulu = α p spreds Projo lpso lygų ssteos etšoj teore Grįžte pre -tojo lpso lygo edrusu pvdlu : x od () Č = x x x Z r ( od ) teore Lygys x) ( od ) { x) p / ( yr evvletus lygų sste: α ( od ) ( = r () Č = p r p pr yr sčus os sdys Įr Pžyėe () lygo spredų ę S o () - S Prodyse d = S S α ) Su et ou S tesgs tegys s Bet p = r todėl š α dluo sąryšo trztyvuo šplu: p ( s) = r ty s S r S S ) Atvrščs tvrts gus pudojt TP sčų svyes: je s S t š p α s = r to d α α j D p p = j šplu : r = s r ( s ) α p = ty s S Ty: S S o š č S = S Jegu ūtų S = t : ) S ; ) Trę d egzstuoj s S r prtoję teoreos sprotvus gutue s S - preštr QED K eves š ssteos () lygų tur spredų t vsus ssteos lygus šspredę tsr gue prete syrelyje ptrtą (6) pvdlo veą r dugu ssteų urs šspredže uosel r ou tu etodu O eveo tsro ssteos () lygo spredo etodą ptrse dr α Je odul p yr plygt eddel sč t gl tesog ptrt α ttą PLS od p Pvz šspręse lygį x 5x 7x 5 ( od8) x 5x 7x 5 ( od ) j Js evvletus sste ( od ) x x x Nesuu ptrt d projo šos ssteos lygo vetels spredys yr x ( od ) Vetels trojo ssteos lygo spredys yr x ( od9) Todėl tolu le šspręst ssteą: x ( od ) x ( od9) Jos vetels spredys yr x ( od8) Tos r yr gluts tsys

40 P - 8 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA α Suspžse su reuretu lygo x) ( od p ) α esreču dėj d jo spred tur ūt š lygo ( od p ) ( spredo etodu spredų trpo K α = t preš spręsd lygį ( od p) () prus jį suprste suvesd į lygį uro lpss r oecetų odul evršj p Reės lygų svyės r Fer teore š uros šplu d pq r p q r r ( x Z )( N ) x x = ( x ) x x ( od p) Pvz lygys 9 6 x 54x 777x 587 yr evvletus žy pprstes lygu x x 7x 4 od ( od) 9 es x ( x ) x x = x x x ( od) x ( od) ( od) 54 ( od) 777 7( od) 587 4( od) Je () lygo spredys yr lsė x x ( od p) r p x 6 x x od ; t tolu ju štų sčų trpe ešose lygo ( od p ) (4) spredų Droe tp: x x ( od p) x = x tp x x = tp t Z Išslese poloą (x) Teloro elute tše x = x Turėse: ( x ) ( x ) ( x ) = ( x ) ( x x ) ( x x ) ( x x )!!! Kdg su vss tūrlss - ( ) ( x ) Z r x od! e - ( x x ) = ( tp) ( od p ) ( x ) ( x ) tp ( p ) t lygys (4) vrst tou: od (5) T projo lpso lygys t tžvlgu Psudod tuo d x te () lygį ty ( x ) ( od p) suprste (5) lygį š p r tyd preto syrelo žs gue d tuo tveju D ( ( x ) p) = (6) (5) lygys evvletus to: ( x ) ( x ) t ( od p ) (5) p Lygys (5) tur vetelį spredį tre t t (od p) ty t = t lp l Z Tuort sč x = x tp = x ( t lp) p = : x lp t Z lsė tp st leų x x (od p ) ju yr lygo (4) spredys

41 P - 8 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Tolu spredo procedūr vyst reuretš pudojt (6) sąlygą Č t psteėse d š sąlygos (6) šplu D ( ( x ) p) = Todėl treče etpe lygo (5) logs ( x ) ( x ) t ( od p ) (5) p rg tur vetelį spredį Pvyzdžu šspręse lygį : x x 5x 4 ( od 7) Prus rde d lygo x x 5x 4 x x x ( od) spred yr lsės x ( od) r x ( od) ty sč pvdlo x = t t Z r x = Z Aptrse prąjį š spredų Rde ( x) = x 4x 5 Sudroe (5) pvdlo lygį: dg = 4 = D( 4 ) = t ture 4t ( od) 4t ( od) t ( od) Todėl sč x = t = ( l ) = 9l l Z r lsė x ( od9) yr (4) lygo spredys Sudroe (5) pvdlo lygį tše x = Kdg x = x t tts lygys r jo spredys trodo tp: 4l ( od) l ( od) 9 Td prdo lygo spredys yr sč x = 9l = 9( ) = 7 Z ty leų lsė x ( od 7) Dr veo tsyo ešoe prdėd uo spredo x ( od) Tču dg ( ) = o ( ) = D( ) = t (5) lygys šuo tveju yr tos: t ( od) t 4( od) Tču js p toe spredų etur Td lsė x ( od 7) le vetelu prdo lygo spredu Apsrt eveu tveju sąlyg (6) egloj stdrtų lygų (5 5 ) spreds ptrs tsr Detlu žr P 9

42 P 9 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst 9 Kvdrt lyg Leždro sols α Reurets lygo ( od p ) spredo ūds prets dėj d jo spred α α tur ūt š lygo ( od p ) spredų trpo Tre lygo ( od p ) α spredys ju sursts Tegul t yr lsė x x α ( p ) ty sč pvdlo od α x = xα tp t Z Td ju šų sčų trpe ešoe lygo α ( od p ) (*) spredų Išsledę poloą (x) Teloro elute tšo x x ploje turėse toį (*) lygo pvdlą: = α α α ) tp ( od p ) α x ( od p ) ( xα ) ( xα (**) ty Psudod tuo d te lygį α α α ( x α ) od p suprste (**) lygį š p Kdg š prdės sąlygos D ( ( x ) p) = D( xα p)= t evee žgsyje stdrts lygys ( xα ) ( xα ) t ( od p) (5) α p vsd šplu d * * tur vetelį spredį tre t t (od p) r tp t = t lp l Z Tuort sč * α ( t lp) p = : x lp t Z α x = xα tp = xα α tp st leų lsė x x (od α α p ) yr ju lygo (*) spredys Psteėse d prje žgsyje sąlyg ( ( x ) p) D = gl r eglot Td tts stdrts lygys (5) vrst stu lygu Je js yr tesgs t vs lygo x) ( od p spred te r lygį od p Jegu (5) ( ) yr etesgs t r lygys ( od p ) α ( od p ) α > spredų etur r šu vs lyg pvz Spręsd lygį x x ( od 5) prus rde lygo x x ( od5) spredus : x ( od5) r x ( od5) Kdg ( x) = 6x 4x r = e = 5 t sudrę (5) lygį tttį spredu x ( od5) gue t ( od5) ty eturtį spredų lygį es D ( 5) = 5 / Tuo trpu spredį x ( od5) tttų = 5 = r (5) lygys t 5( od5) tur vetelį spredį t ( od5) todėl sč

43 P 9 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 5t = ( 5l ) 5 = 5l l Z (r tp: lsė ( od 5) x = x ) yr vetels lygo x x ( od 5) spredys pvz Je spręstue lygį 4 x x ( od 7) 4 t prdėję reuretį spredą uo vetelo lygo x x ( od) spredo x ( od) gutue uosel: ( x) = 4x x = = r (5) lygys vrstų tesgu stu lygu t ( od) urį te vs sveej sč t Droe švdą d lsė x ( od) yr r lygų 4 4 x x ( od9) r pš sprotujt x x ( od 7) spredys Tes užršt spredį x ( od) leų lsės od7 gutue d toų lsų (ty spredų prdu odulu) yr et 9 Būtet: x ; ; 6; 9; ; 5; 8; ; 4; ( od) Kvdrt lyg Dr ptrse trojo lpso (trupu : vdrtus) lygus Bedrusu tveju t lygys pvdlo x x c ( od ) c Z / ( od ) α Mtėe d toe lyg evvletūs lygų odulu p sste o eves š α lygų od p spredžs reuretš prdedt uo lygo od p Td re oėt spręst lygį x x c ( od p) p P D ( p) = () Be to lyse d p > K p = teretų ptrt t du sčus r teore Kvdrtį lygį () vsd gl suvest į dvrį vdrtį lygį pvdlo y A ( od p) A Z () Įr Gl lyt d yr lygs sčus ty = B (tp prdėtue odulį p) Lygyje () tlee EP : - pduge jį š lygo ( od p) - šsre plą vdrtą Gue uosel: x Bx c od p x Bx B c B od p ( x B) B c( od p) Pžyėję y = x B r A = B c ge įrodyą QED teore Kvdrts lygys x ( od p) D( p) = r tur du spredus (leų lses od p ) r ė veo Įr Pree d p Je lsė x x ( od p) yr lygo spredys t r lsė x x ( od p) rg yr spredys Šos lsės yr srtgos Iš x x ( od p) gutue preštrą d p Jegu egzstuotų dr trečs spredys x x ( od p) t šetų d x x ( od p) ty ( x x )( x x ) ( od p) Kdg ese įrodę d