ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA

Transcript

1 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS Rmts Srbutės ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA (Pstų ospets I) I Logos r bų teorjos elemet Algebrės strutūros r sčų sstemos II Tesės lgebros pgrd Vlus 4

2 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Ledys psvrstyts r reomeduots spud VPU Mtemtos r formtos fulteto lgebros r sttstos tedros posëdyje geguþës d protoolo Nr 5 Ktedros utrms ptvrtts VPU Mtemtos r formtos fulteto trybos posëdyje brþelo protoolo Nr 9 Recezvo: doc dr Lucj Gruveë doc dr Gtuts Bres Vlus pedgogs uverstets 4 Rmts Srbutės 4

3 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Þ O D I S S K A I T Y T O J U I Algebros r sèø teorjos urss bûsmesems mtemtos r formtos moytojms stoms ju els deðmtmeèus Ð dcpl yr ves ð bzø uðtosos mtemtos dlyø suteèø Mtemtos r formtos fulteto studetms profeso ðslvmo pgrdus Metms bëgt urso progrm etës: t surëjo t vël plëtës tèu jà dëstæ tedros dëstytoj vsd stegdvos ðryðt t tmprø lgebros be sèø teorjos dlyo ryðá su moylu mtemtos ursu Ðo ledo utorus lgebros r sèø teorjos psts studetms - mtemtms sto bemþ trs deðmts metø Atsþvelgdms á mûsø Uversteto tslus r è stojèøjø rels glmybes stegus esusþvët dbr mdgu moderuoju dëstymo stlum uðts bstrcjos lpss svoø r termø gus jum þmogu (dþ mûsø poþûru turèm epmà psruoðmà studjoms uðtojoje moyloje) uþgoþ dlyo esmæ ju elbt pe mëts sàsjs su moyle mtemt Ptems pstø ospets egl pest vdovëlø r uþdvyø srtø ðsmoms lgebros r sèø teorjos studjoms Ðs ospets lyts pglbe studjø drbà sstemè premoe Tèu tuos d ledys bus udgs e t studetms bet r mtemtos - formtos moytojms Kospet pgl tsruose semestruose dëstomà temtà sàlyg pdlyt á eturs dls urø eve sudryt ð tsrø ttm suumeruotø pstø Jose svo ruoþtu ðsrt potem Pgl tujtà studjø progrmà lgebrà umtom dëstyt II r IV semestruose sèø teorjà III semestre prmjme semestre ptet áþgá dsreèosos mtemtos (mtemtës logos elemet bø teorjos r ombtoros pgrd) modulá Be to prmuosuose semestruose dr supþdme su svrbusoms lgebrëms strutûroms be jø bedrosoms svybëms Tuo pgrdu vëlu somtð ptrmos sèø sstemos yptgà dëmesá srt reløjø sèø luo plëtu omplesms sèms Atrme semestre studjuojm tesës lgebros pgrd (tesø lygèø sstemos mtrcos r determt vetorës erdvës r tes opertor) supþdm su pprsèuss optmzvmo uþdvs Treème semestre studjuojme sèø teorjà

4 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Ketvrts semestrs srms polomø teorj Árodom pgrdë lgebros teorem vël gráþtt pre prmme semestre prdëtos lgebrø lygèø temtos Vsà per eturs semestrus dëstomà medþgà pjugme bedru pvdmu lgebr r sèø teorj Nuoðrdþ dëoju recezetms docetms Lucj Gruvee r Gtutu Breu urø gerorðos rtës pstbos m buvo lb udgos Autorus 4

5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst Prmoj užduots: prtot moylės mtemtos ursą Nemyte d moylės mtemtos žos tolu bus erelgos Kp t tvršč: te s dr moyloje ger įssvo mtemtos pgrdus žym tvrču juss r studjuodm mtemtą - formtą Uverstete Mž to būsmss moytojs tur eblog šmyt r dugelį tų dlyų o ypč svo gmtąją lbą Je ger šlėte vlstybį mtemtos egzmą t lb tėt jog mtemtos studjoms psruošt orml Bet prtot moyles mtemtos žs ptrču vsems Strumpos Tupt lą r vetą ospete dž udojmos strumpos Nors teste dugum š jų pšmos bet svrbuss švrdjme ju dbr: Ap pbrėžms; Įr įrodyms; LF logė formulė (form); KNF ojucė ormloj form; DNF dsjucė ormloj form; PF predtė formulė (form); BS brs sąryšs; ES evvletumo brs sąryšs; FS fucs brs sąryšs (fucj); AO lgebrė opercj; AS lgebrė strutūr; KAD omuttyvums soctyvums r dstrbutyvums; MIP mtemtės ducjos prcp; AA Archmedo som; MSP mžusojo sčus prcps; DSP ddžusojo sčus prcps; DP Dededo pjūvs; KS ompless sčus; TF ompleso sčus trgoometrė form; PŠ prmtyvoj (veeto) šs; TLS tesų lygčų sstem; THLS tesų homogeų lygčų sstem; EP elemetrej pertvr; TN tesš eprlusoms (vetorų rys); TP tesš prlusoms (vetorų rys); VE vetorė erdvė; EE Euldo erdvė; TO tess opertorus 5

6 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Mtemtës lbos pgrd Mtemtės logos elemet Pprst r sudėt teg Mtemtoje plč udojm tm tr žymeų sstem be formlosos logos smprotvmo tsylės T sutrump užršus sstem mtemtų ftų (teoremų) įrodymus Mtemtoje smprotujm tegs Ap Tegu vdms tegmojo pobūdžo sys urs šreš tesą rb etesą Tegus žymėsme rdėms p q r Krts udosme r desus Je tegys p yr tesgs sutrumpt ršysme τ ( p) je ldgs - τ ( p) (Dž ršom dr trumpu: p r ttm p ) Yr pprst r sudėt teg Pprsts (elemetrss) vdm teg urų eglm susdyt į sudėtes dls uros vėl būtų teg Pvyzdžu tegys lue dbr sg yr pprsts (vsrą ldgs) tegys Tuo trpu tegys Letuv yr eprlusom vlstybė r Pryžus yr jos sostė yr ju sudėts es jį sudro pprst teg Letuv yr eprlusom vlstybė r Pryžus yr jos sostė sujugt žodelu r Toų sudėtų tegų tesgumą tr mtemtė log G pprstų tegų tesgumo rešmę usttome remdmes moslo žoms svo ptrtm r stebėjmo būdu Pstrjme pvyzdyje prmss š sudėtį tegį sudrčų tegų yr tesgs trss ldgs o vso sudėto tego tesgumo rešmė ol s eš Mtemtėje logoje tsrbojm uo tegų turo r domms t jų tesgumu Td sudėts tegys gl smbėt r eįprst Pvyzdžu durt du yr pe rb Pryžus ėr Letuvos sostė Logės jugtys r opercjos Sudėt teg gum š pprstųjų pudojt loges jugts Yr peos logės jugtys šrešmos žodžs: rb r je t td r t td etes d Js tt peos pgrdės logės opercjos: dsjucj ojucj mplcj evvlecj egys Tm d smprotvmuose glėtume usttyt sudėtų tegų tesgumo rešmes įrodyt įvrus evzdžus ftus udojme logų opercjų pbrėžmus logos dėsus r švedmo tsyles Ap Je p q - bet oe teg t jų dsjucj yr vdms ujs tegys p rb q urs loms ldgu t bu dsjucjos r p q yr ldg Žymm p q Pš pbrėžmos r tos eturos logės opercjos Jų pbrėžmus suformuluote ptys Nudojm logų opercjų žymėjm r (ttmu pbrėžmu usttomos) jų tesgumo rešmės ptemos šoje letelėje: 6

7 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Dsjucj Kojucj Implcj Evvlecj Negys p rb q p r q je p t q p td r t td q etesd p p q p q p q p q p q p Dbr ju šu d mūsų sudryts sudėts tegys Letuv yr eprlusom vlstybė r Pryžus yr jos sostė pgl tegų ojucjos pbrėžmą yr ldgs o tegys durt du yr pe rb Pryžus ėr Letuvos sostė pgl tegų dsjucjos pbrėžmą yr tesgs ors bem tvejs t ves š sudėtį tegį sudrčų pprstų tegų yr tesgs Logės formulės Iš letelėje švrdtų pgrdų formulų pudojt p r pprstoje lgebroje slustus glm sudryt ts sudėtes loges formules (sutrumpt: LF) urų tesgums usttoms remts ptets letelėje pbrėžms LF sudryms grdžms tm trs relvms urų vsum gl būt lom formlu LF pbrėžmu Ap Bgtė smbolų se š bės { p q r )( } sudryt lts relvmų: ) p q r lom LF (pprsčusoms); b) P r Q yr LF t ( P Q) ( P Q)( P Q)( P Q) P rg yr LF; c) toų LF ėr vdm LF Be to sustrsme eršyt šorų slustų Pvyzdžu šrš q ( p ( w r)) yr LF o se q ( p ( w r)) ėr LF es pgl pbrėžmą žel r egl stovėt gret Tegus žymčos rdės p q r vdmos propozcėms rdėms K formulėje yr toų rdžų t sudrt jos tesgumo letelę š vso re šgrėt tvejų Pvyzdžu dg formulėje q ( p ( w r)) yr eturos propozcės rdės p q r r w t jos tesgumo letelėje 6 tvejų Veu š jų p q r w š LF yr tesg LF ur vss glms tvejs yr tesg vdm tutologj r žymm o LF ur vss glms tvejs yr ldg vdm preštr r žymm Pvyzdžu formulė ( p q) ( p q) yr tutologj es jos tesgumo letelėje vsose eturose elutėse yr veet: 7

8 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Ap Dv logės formulės P r Q vdmos evvlečoms je jų tesgumo rešmės vss glms tvejs sutmp Žymėsme: P Q Pvyzdžu p q q p Ap Some d formulė Q yr formulės P logė švd je Q yr tesg vss ts tvejs tesg P Žymėsme: P Q Pvyzdžu p q p q Nesuu prodyt d : p q ( p q) ( p q) - dv logės formulės P r Q yr evvlečos td r tt td jų evvlecj P Q yr tutologj - formulė Q yr formulės P logė švd td r tt td mplcj P Q yr tutologj Tegų logos dės Dv evvlečos LF uso mtemtės logos dėsį Logos dėss r grdžm mtemt smprotvm įrodymuose Št elets džus vrtojmų dėsų: 8 p q q p p q q p dsjucjos omuttyvumo dėss ojucjos omuttyvumo dėss p ( q r) ( p q) r dsjucjos soctyvumo dėss p ( q r) ( p q) r ojucjos soctyvumo dėss p p p p p ( q r) ( p q) ( p r) p dempotecjos dės prmss dstrbutyvumo dėss p ( q r) ( p q) ( p r) trss dstrbutyvumo dėss ((p q) (q r)) ( p r ) slogzmo dėss p q p q p q ( p q) ( q p) p q p q p q p q p q (p q) (r r) mplcjos etmo dsjucj dėss evvlecjos etmo mplcj dėss prmss de Morgo dėss trss de Morgo dėss suvedmo į preštrą dėss p q q p otrpozcjos dėss p p eglmo trečojo dėss

9 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA p p preštrvmo dėss p p dvgubo egmo dėss r tt Č r p mėjome reš ttm vss tvejs tesgą r vss tvejs ldgą logę formulę Vs še dės legv įrodom sudrt ttmų LF tesgumo leteles Td tegų logoje tutologjos sąvo yr lb svrb Norėdm ptrt r formulė yr tutologj glme sudryt jos tesgumo letelę tču propozcų rdžų yr dug t sudrėt tesgumo letelę yr ercolu (pvyzdžu jų yr retų štrt et 4 tvejus) Tos tvejs dž udojms ts metods Trump pmėsme veą š jų Normlosos formos Norėdm usttyt r LF yr tutologj r preštr užršome j evvlečs ojucę ormląją formą (KNF) rb ttm dsjucę ormląją formą (DNF) Ap Propozcų rdžų rb jų egų dsjucj vdm elemetrąj dsjucj Propozcų rdžų rb jų egų ojucj vdm elemetrąj ojucj Ap Formulė sudryt š elemetrųjų ojucjų dsjucjos r evvlet duotąj LF vdm pstrosos DNF Formulė sudryt š elemetrųjų dsjucjų ojucjos r evvlet duotąj LF vdm jos KNF Pvyzdž Formulė p q r yr elemetroj dsjucj formulė p q r - elemetroj ojucj Formulė ( p q) ( p q) ( p q) formulės ( p q) ( r q) KNF yr ( p r) ( q q) yr formulės p q DNF o Psrodo d eve LF tur (dž et e veteles) r KNF r DNF Be to esuu įstt d : - LF yr tutologj td r tt td į eveą jos KNF elemetrąją dsjucją įe ors ve propozė rdė rtu su svo egu - LF yr preštr td r tt td į eveą jos DNF elemetrąją ojucją įe ors ve propozė rdė rtu su svo egu Pvyzdžu orėdm užršyt ju mėtos LF ( p q) ( p q) ojucę ormląją formą uosel psudosme dėss: P Q ( P Q) ( Q P) P Q P Q P P P P Q P Q P Q P Q 9

10 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA ( P Q) R ( P R) ( Q R) r turėsme: p q ( ) ( p q) ( p q) ( p q ) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q ) ( p q) ( p q) ) ( p q) ( p q) ( ) ( p q ) ( p q) ( p q) ( p q) ( p p q) ( q p q) T r yr ešomoj KNF Kdg eveoje jos elemetrojoje dsjucjoje yr propozcė rdė rtu su svo egu t LF yr tutologj Pstebėsme d t ėr vetels KNF rdmo els Šuo tveju glėjome elgts e rcolu ty š rto pest mplcją dsjucj r psudot dėsu P P P P Predt Ap Tegmojo pobūdžo sys su tmųjų urs vrst tegu vetoje vsų tmųjų įsttomos orečos rešmės vdms - veču predtu Pvyzdžu sys mests x ddess už mestą y yr dvvets predts Šs sys yr tegmojo pobūdžo bet ėr tegys es ežom jo tesgumo rešmė Jegu vetoje x įršysme žodį Igl o vetoje y žodį Brusels t gusme ldgą tegį: mests Igl ddess už mestą Bruselį Ašu d e su vsoms tmųjų rešmėms predts vrst prsmgu tegmojo pobūdžo su uro tesgumo rešmę vep r tp glm usttyt Pvyzdžu predts x y z x su suteus rešmę Vlus y u rešmę mtemt o z tu rešmę Nemus vrst beprsmu su Vlus vdrts evršj mtemtos r Nemuo ubų sumos o e tegu Tg eves predts tur tm trą pbrėžmo (prsmgumo) srtį Mūsų pvyzdyje pe mestus to srtm glėtų būt vsos glmos mestų poros Atrjme pvyzdyje t glėtų būt sveųjų sčų trejetų bė Keveu oreču tveju to bė rb urodom rb yr š š otesto Predtus žymėsme tp: P () x Q ( x y) T ( x yz) r tt Bet ur lygts r elygybė su tmųjų yr -vets predts Pvyzdžu elygybė x y < y s x yr dvvets predts urį glme pžymėt Q ( x y) A ( x x x ) P( x x x ) yr vdm predto Ap Abė { } P : P ( x x x ) tesgumo be Krts t pt bė A P vdm predtu P ( x x x ) pbrėžm be Pvyzdžu predto P(x): x x tesgumo bė yr A P { } Td š moylos pžįstms vdrtės lygtes x x spredmo uždvys šoje termologjoje yr predto P(x) tesgumo bės A usttymo uždvys P

11 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Kvtor Predts vrst (tesgu rb ldgu) tegu je : - vsus tmuosus pečme orečoms (glmoms predto pbrėžmo srč prlusčoms) rešmėms rb - pudojme vsuotumo be egzstecjos vtorus ure ttm reš žodžus su eveu be egzstuoj r žymm smbols Pvyzdž Sys x 4 yr predts o sys ( x R) x 4 yr ldgs tegys Sys s x 5 yr vevets predts urį sujugus su egzstecjos vtorum gume tesgą tegį: ( R) s x 5 x Nesuu suvot too tpo tegų egmo tsyles Tere tdž perstyt mtemts smbols užršytą sį r suprst ą js tvrt Pvyzdžu tegys ( R) x x tvrt d e su vss relss x tesg x Perfrzvus šplu d yr relųjų x sų su urs x yr ldg ty yr relųjų x sų su urs x Smbols: ( ) x R x ( R) x ( x R) x x Td bedru tveju vevečm predtu P () x yr tesgos tsylės: ( x) P( x) ( x) P( x) ; ( x) P( x) ( x) P( x) Pstebėsme d ves vtorus surš t veą tmąjį Todėl P (x) Q ( x y) T ( x x x ) yr predt t sys ( x) P( x) yr ju tegys o s P x : y Q x y x x x x ) : T x x x ) yr predt Be to () ( ) ( ) () x T ( ) ( 4 ( x x x4 x x y z x ( P yr vevets o T ) - - vets predts Pvyzdžu trvets predts suršus tmąjį x vsuotumo vtorum vrst dvveču predtu Q ( y ) : ( x ) x y z prdėjus dr veą vsuotumo vtorų z P Pglu jegu predto veveču predtu () z : ( x)( y) x y z pbrėžmo srtm lysme bę R R R x y z ( x )( y)( z) x y z ju yr tesgs tegys t sys Predtės formos Predt gl būt jugm mėtų logų jugčų pglb tp gut sudėtus predtus predtes forms (sutrumpt: PF) Je P (x) r Q (x) yr du veveč predt t pš p tegų lgebroje logų jugčų pglb gume pgrdes PF: P () x P( x) Q( x) P( x) Q( x) P( x) Q( x) P( x) Q( x) Kts PF gume š šų pgrdų formų pgl tsyles logšs LF sudrymu ty: bgtį sčų rtų pvrtoję predtus žymčs rdes loges jugts be slustus Pvyzdžu šršos P() x Q() x yr PF ( ) Q x) P() x ( ( ) be Q() x T () x ( ) P( x) T() x ( )

12 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Lyg tp pt pbrėžme r dugvetes predtes forms Atsru tveju več predt P ( x x x ) r Q ( x x x ) P x x x Q ( x x x ) elygybės t PF ( ) sstem r žymm: o predtė form P ( x ) vsum r žymm: P( x x x ) Q( x x x ) x x Q ( x x x ) P( x x x ) Q( x x x ) Ap Dv vetės PF P ( x x x ) r Q ( x x x ) je jų tesgumo bės sutmp yr lygtys r vdm lygčų r elygybų (r mšr) vdm lygčų elygybų (r mšr) vdmos evvlečoms Ršome: P ( x x x ) Q ( x x x ) Pvyzdžu š dvvečų predtų P ( x y) : x y Q ( x y) : x y r T ( x y) : ( x ) ( y ) sudrytos predtės formos P( x y) Q( x y) r T ( x y) yr evvlečos es A A {( ) } P Q T Ape soms teorems r įrodymus Keve mtemtė teorj prsded uo pgrdų (dž suprtmų tutyv) sąvoų šsyrmo r pbūdmo Jos rts vdmos prmėms Pvz toos sąvoos geometrjoje yr: tšs tesė ploštum Ktos relgos sąvoos (pvz geometrjoje: trp lužtė trmps ) ju grežt pbrėžmos Teg ure uso esmus pgrdėms sąvooms pbrėžmų objetų bruožus r ure yr prmm be įrodymo vdm somoms Atsros mtemtos srtes somų vsum vdm tos srtes somų sstem Td glme lbėt pe plmetrjos somų sstemą stereometrjos somų sstemą tmybų teorjos somų sstemą r tt Asomų sstemos suformulvms oreč mtemte teorj ėr pprsts uždvys Krts lg r esėmg bdom oos ors somos tssyt ją įrodt p teoremą Pvyzdžu els šmtmečus buvo bdyt įrodyt d ploštumoje per tšą estį šl tesės teglm ubrėžt vetelę t tese lyggretę tesę To įrodyt epvyo Dr dugu pšėjo d geometrj prmt r to som: toų lyggrečų yr dugu e ve Srtums ts d td gume toą mums eįprstą (tp vdmąją eeuldę) geometrją uroje trmpo vdus mpų sum ju ėr lyg 8 o Pgrd somų sstem elm relvm yr: sstemos mmlums epreštrgums plums r eprlusomums

13 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Je pvyst suostruot bę uros elemetms yr tesg oret somų sstem t t bė vdm tos somų sstemos terpretcj Vėlu šme semestre somu būdu ostruosme įvrs sčų sstems: tūrlųjų sčų sstemą sveųjų rcolųjų relųjų sčų sstems r č ptrts sąvos dr rtą prsmsme Tegys uro tesgums ėr vzdus o reluj tm tro logo pgrdmo (įrodymo) dž vdms teorem Pglbės teoremos dr vdmos lemoms Teoremos pprst formuluojmos logės formulės p q pvdlu Too pvdlo teorem vdm tesoge Tegys p vdms preld (sąlyg) tegys q švd Td teorem q p vdm tvršte Attm teoremos pvdlo p q be q p vdmos prešgąj r prešgąj tvršte Pvyzdžu teoremą Je trmps yr sttuss t jo sttų vdrtų sum lyg įžmbės vdrtu lt tesoge j prešgoj teorem smbės tp: Je trmps ėr sttuss t joų jo dvejų rštų vdrtų sum ebus lyg trečosos rštės vdrtu Psrodo šos eturos teoremos sudro dv evvlečų LF pors Tslu yr tesg to teorem Teorem pe teorems Tesogė teorem yr evvlet prešgąj tvršte o tvrštė - prešgąj Trumpu: p q q p q p p q Įrodymu p plygt ttms tesgumo leteles Dž tst d teoremą q p glm įrodyt pprsču egu tesogę teoremą p q Remts teorem pe teorems štos suetms yr logš tesėts r d vdms etesogu įrodymu K teoremą p q pečme ve š j evvlečų logų formų: ( p q) ( r r) ( p q) p ( p q) q t some d įrodėjme suvedt į preštrą (lot reducto d bsurdum) Pvz teoremą je sveųjų sčų r b sum yr elygs sčus t ves š sčų b yr elygs o ts - lygs įrodysme suvedmo į preštrą metodu Trme d p: sveųjų sčų r b sum yr elygs sčus bet q : etes d ves š sčų b yr elygs o ts lygs Pstrss tegys evvletus tegu: rb b bu lyg (ty ' b b' ) rb b bu elyg ( ' b b' ) Tču r prmuoju tveju dėsu b ( ' b' ) p r truoju tveju b ( ' b' ) p Bele psudot p q Teoremą pvdlo p q pmumo ( p q) p Teorem įrodyt ( p q) ( q p) p q vdme teorem su būt r pm sąlyg Kdg t toų teoremų įrodyms pprst susded š dvejų dlų: p q r būtumo q p

14 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Teoremos įrodyms - t mąstymo process uro metu udojts somoms logos dėss r švedmo tsylėms š duotų preldų bgto žgsų sčus pglb švedme teoremoje suformuluotus tegus Pmėsme pprsčuss too mąstymo schems Tesgos švdos dėss (lot modus poes): je teg p r p q tesg t r q yr tesgs Kldgos švdos dėss (lot modus tolles): je tegys p q yr tesgs o q etesgs t r p yr etesgs Ves svrbusų mtemtuose įrodymuose yr slogzmo dėss: je teg p q r q r yr tesg t r tegys p r yr tesgs Arb: mplcj (( p q) ( q r) ) ( p r) yr tutologj Neglmo trečojo dėss: š dvejų tegų p r p ves r t ves yr tesgs Preštrvmo dėss: tegys p p yr preštr 4

15 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst Abø teorjos elemet Abės Tegų lgebr logšs svybes tur r bų lgebr Abės sąvo mtemtoje yr prmė epbrėžm bet lb svrb Abų lygybė bės pobs be bų vesm ju grežt pbrėžm o tų vesmų svybės r įrodomos remts ju ptrts mtemtės logos dėss Abes įprst žymėt ddžosoms rdėms: A B C ApAbė A yr vdm bės B pobu eves A elemets yr tuo pt metu r B elemets Žymm A B Smbols ts pts pbrėžms užršoms tp: Ap A B ( A) ( B) Pstebėsme d žels č reš e mplcją o logės švdos sąryšį Pvyzdžu VPU Mtemtos r formtos fulteto studetų bė M yr vsų VPU studetų bės V pobs ty M V Krts udojms terms vršbs Ršom V M Apbrėšme bų lygybę (žymm A B) Ap A B (( A) ( B) ) Arb tp: A B ( A B B A) Abę glm usyt švrdjt jos elemetus rb predtu urodt jos elemetms būdgą požymį dėsgumą Pvz A { } B { π } C { 5 5 } Beje užršs C { 5 N} yr tsless e elemetų vrdms urs ypč beglės bės tveju vsd ple everešmšumo glmybę Rde žymme tuščą (eturčą ė veo elemeto) bę o rde U žymme uverslą bę ty bę ur tesg svybė: ( A) A U Krts uversl bė žymm rde I r dr tp Uversloj bė ėr usom verešmš T prluso uo to ooms bėms operuojme Moys moydmss temą sveųjų sčų dugyb grėj t sveųjų sčų bės pobus todėl js gl lyt d U Z Socologs tr tm trs žmoų grupes todėl jm uversl bė yr tos vetovės gyvetojų bė Abų vesm Apbrėžm še vesm: bų sudėts bų dugyb bų tmts bų Derto dugyb Atrepme dėmesį d logų opercjų r jų rezulttų pvdm buvo veod o bėms ju srtg Pvz bų A r B sudėtes rezultts vdms bų sum (sąjug) Žymm A B Ap A B : { A B} Žodžs šį pbrėžmą glm suformuluot štp: bų A r B sum yr uj bė sudryt š vsų elemetų prlusčų bet ve š bų A B Pvyzdžu A { 5} o B { 5} t B { 5} A 5

16 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Atrepte dėmesį d vrddm bės elemetus psrtojčus pžymme t veą rtą Abų dugybos tmtes Derto dugybos rezultt vdm ttm: bų srt (pjūvu) r žymm A B bų srtumu urs žymms A \ B r bų Derto sdug ur žymm A B T ujos bės uros pbrėžmos tp: Ap A B { A B} Ap A \ B { A B} Ap A B {( b) A b B} (Užduots: šuos pbrėžmus suformuluote žodžs) Srtums U \ A vdms bės A ppldu r žymms A Ap A : U \ A : { U A}{ A} Pvyzdž Abėms A B gusme: A B { 5} \ B { } {( ) ( ) ( ) ( 5)( ) ( ) ( ) ( 5)( 5 ) ( 5 ) ( 5) ( 55) } A B A Norėdm užršyt bes A r B turme psspręst o (mūsų stucjoje) yr uversloj bė U Je trme U { b c 4 5} A \ A { b c 4} B { b c 4} U t: Abų vesmų svybės Ptesme eletą įprstų bų vesmų svybų Pbrėžme d vsos svybės yr įrodomos remts ju ptrts mtemtės logos fts Atrepte dėmesį r į t d žemu švrdtos svybės yr logšos logos dėsms A A A A A - dempotecjos svybės A B B A A B B A - omuttyvumo svybės A (B C) (A B) C - soctyvumo svybės A (B C) (A B) C (A B) C (A C) (B C) - dstrbutyvumo svybės (A B) C (A C) (B C) (A \ B) C (A C) \ (B C) (A B) C (A C) (B C) A A U A A (A B) (C D)(A C) (B D) A B A B A B A B - de Morgo dės Bet : A B B A (A B) C A (B C) 6

17 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pvyzdžu įrodysme d su bet ooms bėms A B C yr tesg lygybė (A B) C (A C) (B C) Trme yr bet os bės (A B) C elemets Td psudoję bų sąjugos r srtos pbrėžms glėsme užršyt d: ( A B) C ( A B) ( C) ( A B) ( C) Dbr psudosme dėsu: ( p q) r ( p r) ( q r) r dr syį - bų sąjugos r srtos pbrėžms: ( A B) ( C) ( A C) ( B C) ( A C) ( B C) ( A C) ( A C) Td gvome d ( A B) C ( A C) ( A C) su vss O t pgl bų lygybės pbrėžmą r reš d (A B) C (A C ) (B C) Tes dr reėtų ptrt stucją bė (A B) C yr tušč Bet td vėl remdmes sąjugos r srtos pbrėžms legv švedme d tur būt tušč r bė (A C) (B C) Įrodyms bgts Vesmus su bėms r tų vesmų svybes dž lustruoj brėžs uruose uversloj bė U vzduojm o ors ploštumos fgūr (vdrtu stčmpu r srtulu) o vsos bės tos fgūros dlms Pvyzdžu: Toe peš vdm Olero Veo dgrmoms (Užduots: dr eletą š ptetų svybų įrodyte remdmes mtemtės logos dėss; ubržyte ttms Olero Veo dgrms ) Abė A A vdm bės A Derto vdrtu r žymm: A A A Abų sąjugos (sumos) srtos Derto sdugos sąvos esuu pbedrt r dugu e dvejų bų tveju Pvyzdžu A A A yr bet oos bės t jų sum yr uj bė ur pbrėžm tp: U A { A A A } : A A A Pmėgte svrš pbrėžt elų bų srtą r Derto sdugą 7

18 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA K š otesto šu d rdės A B C D F H reš būtet bes vetoje smbolų A B D F C \ H vrtojm įprst žymeys: A B DF C H Br sąryš Sąryšo trp oų ors objetų (bų elemetų) sąvo r relme gyveme r mtemtoje esu suprtm tutyv Je turme os ors bes A B t jų elemetus (eveą tsr r elemetų pors r trejetus ) gl set oe ors sąryš (ty bedros svybės požym) Je sąryšs sej bų A r B elemetus t js vdms sąryšu trp bų A r B Je sąryšs sej bės A elemetus t js vdms sąryšu bėje A Atsrus elemetus sejts sąryšs vdms uru elemetų pors sejtį sąryšį vdsme bru sąryšu (BS) trejetus terru r tt BS žymėsme ve rde σ τ ω f r p Pvyzdžu je bėje N pbrėšme brį sąryšį σ žodžs: du tūrlej sč m r suset sąryšu σ je m t glėsme užršyt: 4 σ 5 σ 5 bet : 5 σ 5 6 σ 7 Pudojt bų Derto sdugos sąvoą BS glm pbrėžt grežču Ap Bru sąryšu trp bų A r B vdme bet oį bės A B pobį σ Ap Bru sąryšu bėje A vdme bet oį bės A pobį τ Aušču pršyts brs sąryšs σ σ : N Svrbesej BS tp Svybės Ap BS σ A A vdms reflesyvu je ( A) σ N pbrėžms tp: {( ) } Pvz tesų lyggretums yr reflesyvus BS es eve tesė yr lyggret pt su G tesų sttmeumo BS vzdu ėr reflesyvus BS vdms treflesyvu ė ves bės A elemets ėr tuo sąryšu susets pts su svm Pvyzdžu studetų bėje įvedę sąryšį mžess (ūgo prsme) turėsme treflesyvus BS pvyzdį Ap BS σ A A vdms smetršu je tesg ( b A) ( σ b) ( bσ ) Pvz tesų sttmeumo BS yr smetršs Nudojms r terms tsmetršs BS: t tos BS urm tesg: ( b A) ( σ b) ( bσ ) Pvz žmoų bėje BS vyress (mžus prsme) yr tsmetršs Ap BS σ A A vdms trztyvu je tesg ( b c A) (( σ b) ( bσ c)) ( σ c) Pvz dlumo sąryšs sveųjų sčų bėje yr trztyvus Tuo trpu drugystės sąryšs žmoų bėje ėr trztyvus ( 8

19 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Ap Some d BS σ A A tur trchotomjos svybę je bet urems b A tesgs ves r tt ves š tegų: ) σ b; ) bσ ; ) b Pvz dlumo sąryšs sveųjų sčų bėje trchotomjos svybės etur Tuo trpu sąryšs mžu relųjų sčų bėje tur trchotomjos svybę Evvletumo sąryš r bės ftorzvms Ap BS σ A A vdms evvletumo sąryšu (ES) je js yr reflesyvus smetrs r trztyvus veu metu Pvz tesų lyggretums yr ES Tolu mes dž udosmės š svrb teorem Ftorzvmo teorem Je bėje A yr pbrėžts ES σ t jo pglb bę A glm susdyt į pobus (evvletumo lses) eturčus bedrų elemetų Įr Susdymo glmums K A pžymėme : K { b b A bσ } Tuort vzdu d A U K A ty bės K A r yr teoremoje įvrdt pob evvletumo lsės Bele pset d vsos evvletumo lsės s dv eturėtų bedrų elemetų ty srtgoms lsėms K K b glotų sąlyg: K Kb Psrodo tm p t prelut d lses geeruojtys elemet b būtų esuset ES σ Iš trųjų jegu pmtume σ b bet trtume d : ( c A) c K c K b t psudoję sąryšo σ trztyvumu gutume: ( σ c) ( cσ b) ( σ b) o t preštruj prde preld σ b QED Ap Iš vsų evvletumo lsų sudryt bė A : { K K K } ftorbe / b c σ vdm Pstb Rdės QED užbgčos teoremos įrodymą yr so lotyų lb quod ert demostrdum (t r reėjo įrodyt) strump Fuc sąryš Ap BS f A B vdms fucu sąryšu (sutrumpt: FS) rb tvzdžu rb tesog fucj je tesg: (( x y ) f ( x y ) f ) y y 9

20 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Term r žymeys: je f A B yr FS r ( x y) f t some d y yr x so f f vzds o x yr y o prmvzds (orgls) Žymme: A B x y rb įprsču y f(x) Fucją glm pbrėžt lb įvr: formule letele žodžs grfu Ve š pprsčusų yr tesė fucj: y x b Jos grfs yr tesė Krts som d fucj yr pbrėžt bėje A o rešmes įgyj bėje B Je tsyle f į bę B tvzduojme t bės A pobį A t some d fucj f pbrėžt bėje A A rb: fucjos f pbrėžmo srts yr bė A Fucjos f pbrėžmo srtį žymėsme smbolu D ty: f { x x A ( y B)( x y) f } D f : A Tuo tveju fuco sąryšo f pbrėžmo srts D f sutmp su be A dž vrtojm term pbūdtys speclus FS (tvzdžus): surjecją jecją r bjecją Įvesme žymeį: Abę { y B ( x A) f ( x) y} E f E f vdsme fuco sąryšo f rešmų srtm Tuo tveju D f A rešmų E f f A srtį vdsme (pluoju) bės A vzdu r žymėsme ( ) Ap Je f ( A) B t FS f vdms surjecj Ap Je f ( A) B r evem vzdu yr tt ves prmvzds t FS f vdms jecj Psyme tslu: eves bės B elemets tur e dugu p veą prmvzdį Tuo orm pbrėžt: je y f ( A) t jo prmvzds x yr tt ves Jegu g y f ( A) t y ėr vzds todėl prmvzdžo psrt etur Ap FS f vdms bjecj (rb: bpus verešmšu tvzdžu) je js yr r surjecj r jecj tuo pt metu Pvyzdž Jegu A [ π ] [ ] bjecj; mt A [ π π ] [ ] B [ ] t t pt tsylė cos B o f cos t tvzds A cos B yr B tsylė cos A π f yr surjecj o [ ] f yr jecj Dbr prsmme moylį fucjos pbrėžmą: Ap Tsylė rb dėss f pgl urį evem bės X elemetu x prsrms vetels bės Y elemets y vdm tvzdžu rb fucj Ar pstebte šs pbrėžms reluj to ptes p r fuco BS pbrėžms? Tg bu pbėžm yr evvletūs Tvros sąryš Ap BS τ A A vdms tesės tvros sąryšu je js yr treflesyvus trztyvus r tur trchotomjos svybę

21 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Jegu bėje A yr pbrėžts tesės tvros sąryšs t bė vdm sutvryt Pvyzdžu žodyo žodžų bė sutvrom įvedt lesogrfį tvros sąryšį prdžoje žodž grupuojm pgl prmąją rdę po to pgl trąją r tt Sutvrytose bėse įvedmos sąvoos: elemets e preš elemetą b prmss r psuts elemet elemets c yr trp elemetų r b tvrs r uždrs tervl gretm elemet tršt bė dsrečoj bė (plču žr vdovėlo I d psl) Abės gl Nort plygt dv bgtes bes pgl jų elemetų gusumą tere susčuot e eve š jų tur elemetų T bė uros elemetų sčus ddess r yr gusesė Som: jos gl yr ddesė Td bgtės bės gl glm lyt jos elemetų sčų Beglėms bėms tos metods et Iš prmo žvlgso tūrlųjų sčų bė N lyg r gusesė už bę N 5 : { 5 N} Tču too tego euo pgrįst eglme es elygybė < 5 yr beprsmė Be to pmtysme d tuodv beglės bės yr veod gusos! Beglų bų plygmu pudosme bų evvletumo sąvoą Ap Je trp bų A r B glme usttyt ors veą bjecją t štos bes vdme evvlečoms rb veodos glos bėms Žymm: A ~ B Štos pbrėžms pm r bgtų bų tvejį es trp bgtų bų td r tt td glm usttyt bjecją jos tur po te pt elemetų Abės A (bgtės r beglės) gl žymm smbolu Crd A Dbr orėdm begles bes plygt pgl elemetų gusumą turėsme sustrt dėl etloo ty bės su ur lygsme ts bes Pš mtuodm tstumą t drome sutrts (etlos) veets: metrs lometrs sess prses r sprdžs Tou etlou psrem svo pprstumu šssrt bė N Ap Beglės bės evvlečos tūrlųjų sčų be N vdmos sčoms Pvyzdžu dg tvzds ϕ : 5 yr bjecj t bės N r N 5 yr evvlečos Tuo įrodėme d bė N 5 yr st ty toos pt glos p r tūrlųjų sčų bė N Suformuluosme eletą teoremų pe sčs bes teorem Keve beglė bė tur stų pobį teorem K A yr sčø bų se t st yr r bė U Išvd Rcolųjų sčų bė Q yr st teorem Itervlo [ ] Ap Beglės bės evvlečos tervlo [ ] otumo glos bėms A relųjų sčų bė ėr st relųjų sčų be vdmos

22 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Legv įstt d bų evvletumo sąryšs yr ES Td jo pglb vsos bės (r bgtės r beglės) susrstomos į evvletumo lses Keve lse prsrme bet uros jos bės glą žymtį speclų smbolį urį vdsme bės rdlu sčum Bgtėms bėms js sutmp su bės elemetų sčum Psrodo rdlus sčus glm plygt o t svo ruožtu įgl sutvryt bes pgl jų elemetų gusą Je bų A r B rdl sč yr ttm α r β t: ) α β je A ~ B Some: bų A r B rdl sč yr lygūs (bės yr veodos glos) ) α < β je A ~/ B bet A ~ B B B Some α yr mžess už β (rb β yr ddess už α ) 4 teorem (Ktoro)(Georg Ctor žymus voečų mtemts) Keveos bės A vsų pobų gl yr ddesė už bės A glą Išvd Egzstuoj e ort ddel rdl sč Algebrės opercjos Trme A r B yr bet oos bės Fucj f A A B vdm opercj (vesmu) pbrėžt bėje A K f pbrėžmo srts yr A A o rešmų srts f ( A A) yr os ors A pobs (ty f ( A A) A ) t fucją f vdme lgebre opercj (sutrumpt AO) pbrėžt bėje A Beje f ( A A) A t som d bė A yr uždr opercjos f tžvlgu Todėl glms r tos lgebrės opercjos suprtms: opercj bėje vdm lgebre jegu bė jos tžvlgu yr uždr Pstrss pbūdms dž bū ptogess re prtš ptrt opercjos lgebršumą Pvyzdžu je A R t sudėtes vesms rg gl būt suprsts p fucj (opercj) ur schemtš usom štp: R R R; pvz ( ) Itutyv suprtme d t - lgebrės opercjos pvyzdys Kt vertus je A N o opercj usom tsyle: ( m N) m m t ju ėr lgebrė opercj Žodžs t smbėtų tp: e su vss tūrlss m sčus m yr tūrluss Tr je m t m N f Prtome: opercj f bėje A t fucj: A A B I šol mes buvome įprtę d A B sčų bės o f džus rešė sudėtį tmtį dugybą dlybą Dbr Jums orm pšt d opercjos sąvo žym pltesė: bės A r B gl būt bet oos fucj f rg Pvyzdžu A gl būt vsų letuvų lbos žodžų bė Bet uruos du žodžus žymėme rdėms x y o tsylę f usyme tp: eveą porą

23 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA ( x y) A A f tvzduoj į tūrlųjį sčų m urs yr lygus sumrm blsų bejuose žodžuose sču Smbolš: f f A A N rb ( x y) m rb f ( x y) m Ašu d tp pbrėžus turme: f ( ors mosls) 4 ( r uverstets) 7 ( Europ Letuv) 8 f r tt f Svrbu: bėje A pbrėžt opercj vdm lgebre jegu ją tlus opercjos rezultts vėl prluso be A T ą mūsų pbrėžt opercj ėr lgebrė es tūrlej sč forml ėr letuvų lbos žodž Jegu opercją h pbrėšme tsyle: ( ( x y) A) h( x y) Letuv t turėsme ju lgebrės opercjos pvyzdį

24 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst Kombtoros pgrd Prtėje veloje dž te sudrėt įvrų objetų rus pgl ous ors požymus Pvyzdžu t gl būt: gėlų puoštės ompovmo uždvys Semo delegcjos (syme vztu į užseo vlstybę) sudryms utomšos telefoo umero prms r tt Toe (oos ors) bės elemetų r vdm jugs Džus domms e pčs jugs o jų sèum Jugus sudrtys elemet veose stucjose gl rtots tose - e Tg sudrėjm rtot r ttm ertot (pprst) jug Pvyzdžu prlmetr Semo delegcjoje rtots egl o utomoblo umero rdės r stmeys gl Sudrt jugus prlusom uo orečos stucjos rts svrbūs t juos sudrtys elemet rts tų elemetų šsdėstymo tvr o d - r ve r t Pvz utomoblo umeryje svrbūs r jį sudrtys elemet (rdės r stmeys) r jų šdėstymo tvr Numer ARS 4 ARS 4 RSA 74 r LRS 4 prluso srtgems utomoblms Prdžoje suformuluosme dv ombtoroje dž udojms vzdžs tsyles Kombtorė sudėtes tsylė pprsčusu dvejų bų tveju formuluojm tp: Je š dvejų bgtų bų A r B eturčų bedrų elemetų re šrt veą elemetą t št glm pdryt m būdų È Crd A m o Crd B Kombtorė dugybos tsylė smb tp: Je š dvejų bgtų bų A r B re šrt elemetų porą (x y) tp d būtų x A r y B t št glm pdryt m būdų Ab šos tsylės pbedrmos elų bų tveju Pvz turme r bgtų bų A r r m r urme A r glm sudryt m m m būdų r Dbr jugų sudrymo stucjs pršysme detlu Prdžoje ptrsme pprstus (ertotus) jugus CrdA t rį š r elemetų ( ) Pprst jug Trme turme bę A { } sudrytą š elemetų urų prgmts mums ėr svrb Ap Jugus sudrytus š bės A elemetų po elemetų (šu ) ure srs ves uo to rb pčs elemets rb jų šdėstymo tvr vdme grets 4

25 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Gretų š elemetų po elemetų sčus žymms smbolu A r psèuojms pgl formulę! A ( )( ) ( ) () ( )! Formulės () įrodyms legv šplu š ombtorės dugybos tsylės Pvz je sudrt Semo rų delegcją sustrsme d ją sudrys trys r be to ves š jų bus vdovs ts - jo pvduotojs o trečs - tesog pprsts rys t (lt d Seme yr 4 rys) delegcjos sudrymo vrtų es bus pršoms () formule Tg glėsme sudryt A srtgų delegcjų Ap Jugus sudrytus š elemetų po elemetų ure srs ves uo to t pčs elemets o jų šdėstymo tvr yr esvrb vdme ders Derų š elemetų po elemetų sčus žymms smbolu C r psèuojms pgl formulę! ( )( ) C ()!( )! ( ) Pvz je š VPU prmursų (ure ger mo glų lbą) trpo pžte eloe į Roterdmo uverstetą sudrome eturų studetų delegcją t svrbūs t ptys smeys o e jų prmo tvr Todėl tooms sąlygoms glm sudryt 4! C ! 9! 4 srtgų delegcjų Krts objet jugyje sudrytme š elemetų eečm o ečm t jų šdėstymo tvr ty grėjme gretus š elemetų po elemetų Toe ertot jug tur svo tsrą pvdmą Ap Jugus sudrytus š elemetų po elemetų ure ves uo to srs tt elemetų šdėstymo tvr vdme ėls Ktp st ėl yr gret š elemetų po Kėlų š elemetų sčus žymms P r psèuojms pgl formulę P A! () Pvz je pes gerus drugus orte smet per svo gmtdeį vs tp susodt pre stlo t vsems vrtms šbdyt prres P 5! metų 5 Krtot jug K grėjme rtotus jugus t stucj srs tuo d bės A elemet juose gl rtots Todėl gume dr trs jugų rūšs: rtotus gretus rtotus derus r rtotus ėlus 5

26 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Ap Krtotus jugus sudrytus š bės A elemetų po elemetų ure srs ves uo to rb pčs elemets rb jų šsdėstymo tvr vdme rtots grets Krtotų gretų š elemetų po elemetų sčus žymms A r psèuojms pgl formulę: A (4) Tr dg mums re prt elemetų bet je gl rtots t eveą š jų glme prt būdų Td pgl ombtorę dugybos tsylę vsą elemetų rį glėsme prt būdų rtų Pvz š stmeų 579 sudrysme vsus glmus peželus sčus Nesuu suprst d šuo tveju svrbu r ptys stmeys r jų užršymo tvr Be to stmeys gl rtots Td turėsme rtotus gretus š 4 elemetų po pes elemetus Pgl (4) formulę toų sčų es yr lygus 5 A K rtotuose juguose elemetų tvr esvrb t some d turme rtotus derus Krtotų derų š elemetų po elemetų sčus žymms C r psèuojms pgl formulę: ( )! C C (5)!( )! Pglu m rūšų ( m ) elemet š bės A { } rtotme jugyje eseè (tur pstovus rtotumus m) o ečs t jų šsdėstymo tvr t lbme pe rtotus ėlus š m elemetų Jų sčus žymms smbolu P ) r psèuojms pgl formulę: ( P( m ( ) m! ) (6)!!! Pvyzdžu turme štuos trjų rūšų stmes t pgl (6) formulę š jų glm sudryt P ( ) ( )! 8! 56 srtgų štuoželų!!! 6 sčų Kombtorės tptybės Yr dug jugus sejčų sąryšų uruos įprst vdt ombtorėms tptybėms Št elos š jų: A P C ; C C ; m 6

27 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA C C C ; C C C m C m Formulė A P C šplu š ombtorės dugybos tsylės suvous d eves derys š po elemetų jį sutvrus vrs srt uju gretu š elemetų po elemetų Bet elemetų sutvrymų (ėlų) yr P! Tuo įrodėme r () formulę Vėlu mes udosme tptybę C C C Įrodysme ją Pgl derų sčus formulę pudodm ftorlo svybę turėsme: C C!!! ( )! ( )!( )! ( )!( )!!! ( )! ( ) ( ) ( ) C!! ( )!! Nudojt prmosose pstose įvestus termus jugus glm pbrėžt tslu Ap Deru (ertotu) š elemetų turčos bės A po elemetų vdme bet oį bės A pobį turtį elemetų Td C šreš bės A pobų sčų Ap Gretu (ertotu) š elemetų turčos bės A po elemetų vdme bet oį sutvrytą bės A pobį turtį elemetų Tuo būdu A reš sutvrytų bės A pobų sčų Ap Kėlu (ertotu) š bės A elemetų vdme bet oį bės A pobo turčo elemetų sutvrymą Td P šreš bet uro bės A pobo turèo elemetų srtgų sutvrymų sčų 7

28 4 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pst 4 Algebrës strutûros Prsmme termus: fucj (tvzds) fucjos pbrėžmo srts plss vzds rešmų srts prmvzds vzds opercj lgebrė opercj Algebrė opercj lgebrė strutūr f Prtome: fucj A A A vdm lgebre opercj (sutrumpt AO) pbrėžt bėje A Tolesems žgsms lgebrės opercjos sąvo yr lb svrb todėl psstete ją įssvt! Pvyzdžu bėje A{ 4 5} letelų pglb pbrėžme dv opercjs urs sustrme žymėt žels r : Nesuu pstebėt d opercj ėr lgebrė es f ( A A) A Pvyzdžu 5 8 A tuo trpu yr AO es ( b A) b A Trme A yr bet o bė o f f - joje pbrėžtos lgebrės opercjos Ap Abę A rtu su joje pbrėžtoms AO f f vdsme lgebre strutūr (rb lgebr; sutrumpt - AS) r žymėsme A: (A f f ) Abė A dž vdm lgebrės strutūros A bze be Pvyzdžu t ą šgrėtme pvyzdyje turėtume lgebrę strutūrą A: (A ) o Z (Z ) žymėtų sveųjų sčų strutūrą 8

29 Algebrų opercjų svybės ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 4 Dž mums bus svrbu r trmosos AO yr : - omuttyvos - soctyvos - trpusvyje dstrbutyvos Suformuluosme ttmus pbrėžmus Ap Trme A: (A ) yr bet o lgebrė strutūr o yr jos AO Je ( b A) b b t some d opercj yr omuttyv Pvz tūrlųjų sčų sudėts yr omuttyv o tmts e Ap Je ( b c A) ( b c) ( b) c t some d AO yr soctyv Pvz sveųjų sčų dugyb yr soctyv o tmts šos svybės etur Ap Trme A: (A ) yr lgebrė strutūr su dvem AO r Je ( b c A) ( b c) ( b) ( c) t some d opercj yr dstrbutyv š rės opercjos tžvlgu Pvz rcolųjų sčų dugyb yr dstrbutyv š rės tmtes tžvlgu AO gl būt omuttyv bet esoctyv r tvršč: eomuttyv bet soctyv (Užduots Suformuluote dstrbutyvumo š dešės pbrėžmą ) K opercj yr omuttyv t dstrbutyvumo š rės r dešės sąvoos sutmp Tuort some: opercj yr dstrbutyv opercjos tžvlgu Pvyzdž Sveųjų sčų bėje Z tsylėms: b b b b () pbrėžme e eįprsts sudėtį r dugybą Avzdu d t lgebrės opercjos es jų rezultt vsd yr sveej sč Kdg: b b b b o b b b b t to dugyb yr omuttyv o to sudėts ėr omuttyv Tsyle * b b sveųjų sčų bėje pbrėžt opercj * vzdž yr omuttyv Įstt tuo d j ėr soctyv glm r pvyzdžo (otrpvyzdžo) pglb: *(( ) * 4) * (( ) 4 ) * ( * ( )) * 4 (9 4) * 4 * Bet Drome švdą opercj * ėr soctyv 9

30 4 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Ap K A: (A ) yr AS su AO r egzstuoj tos bzės bės A elemets e d ( A) e e t some d e yr eutrluss bės A elemets opercjos tžvlgu Glm syt r tp: e yr opercjos eutrluss elemets teorem Je bė A tur eutrlųjį ( tžvlgu) elemetą t tt veą Įr Trę prešg d toų elemetų yr bet du ty e r e turėtume: e e e r e e e ty e e Preštr QED Dbr trme A: (A ) yr to AS uros bzė bė A tur eutrlųjį opercjos tþvlgu elemetą e Ap Je yr bet urs bzės bės A elemets r egzstuoj tos elemets x A d x x e t some d x yr elemets smetršs elemetu (opercjos tžvlgu) Arb : elemets tur su smetršą elemetą Žymme: x Pvz strutūros ( Z ) bzėje bėje yr eutrluss elemets o eves bzės bės elemets tur su smetršą: ' 7 ' 7 Lyme d lgebrės strutūros A: (A ) opercj yr soctyv Td glm įrodyt eletą svrbų ftų teorem Je soctyvos lgebrės opercjos tžvlgu elemets A tur su smetrį elemetą t tt veą Įrodymo dėj t pt p r pretoje teoremoje Trę d toų elemetų yr bet du (ty r ) turėtume: ( ) e r ( ) e Iš č: Preštr QED Ap K su eve bės A ( e A!) elemetų por r b šspredžmos lygtys x b y b () t some d: bėje A įvydom opercj tvrštė opercj Pstebėme d bedruoju tveju x y r d x y surdm vere m teorem Je bėje A yr eutrluss soctyvos lgebrės opercjos tžvlgu elemets e r eves A elemets tur su smetršą t bėje A įvydom opercj tvrštė opercj Įrodyms Išspręsme pvyzdžu lygtį x b Pėmę x b A turme: soc ( b) ( ) b e b b x Įstte d elemets y b A yr lygtes y b spredys QED Išvd K opercj yr omuttyv t () lygèų spred x r y sutmp

31 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 4 Aptrsme svrbesus lgebrų strutūrų tpus lsfuodm js pgl jose pbrėžtų lgebrų opercjų svybes Pusgrups grupė Ap Algebrė strutūr A: (H ) su ve soctyv AO vdm pusgrupu Je be to opercj yr r omuttyv t pusgrups A vdms omuttyvuoju Je bzėje bėje yr eutrluss elemets t pusgrups vdms moodu Pvz AS A: (Z ) yr omuttyvuss pusgrups o strutūr B: (Z ) - ėr pusgrups es (žr () formule usytą pbrėžmą) : tuo trpu ( b c Z ) ( b c) ( b c) ( b c) b 4c ( b c Z )( b) c ( b) c b c Tg strutūros B opercj ėr soctyv Ap AS G: (A ) su ve soctyv lgebre opercj ur įvydom tvrštė opercj vdm grupe (vo - Gruppe gl- group rus группа) Je be to opercj yr r omuttyv t grupė vdms omuttyvąj rb Abelo grupe 4 teorem Je G: (A ) yr grupė t bzėje bėje A yr vetels eutrluss (opercjos tžvlgu) elemets e r bet urm A vetels smetršs elemets A Įrodyms Kdg pgl pbrėžmą grupėje įvydom tvrštė opercj t lygtys () yr šspredžmos su vss b A Todėl ( y A) y b Be to tsru tveju b: ( x A) x Pžymėme x e Tču: b y b e ( y ) e y ( e ) y b Td drome švdą d e eb : e r elemetą e vdme bės A eutrluoju elemetu š dešės Alogš smprotudm prodytume d egzstuoj eutrluss bės A elemets š rės; žymėme jį e Bet td: e e e r e e e ty e e : e r e te eutrlus elemeto pbrėžmą Neutrlus elemeto e vets šplu š teoremos Pš įrodoms r teoremos tvrtms pe smetro elemeto A egzstecją Vets šplu š teoremos QED

32 4 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pstbos Ape du grupės pbrėžmus Je grupę pbrėžme tp p šme ospete t elemetų e r A egzstecj r vets yr įrodom (4 teorem ) Jegu pbrėžmą pteme pgl vdovėlį (79 psl) t td įrodoms lygčų () šspredžmums (ospete: teorem; vdovėlyje: 4 svybė 8 psl) Glm elgts p mums šu ptogu Ape termus: dcė multplcė grupė K grupės opercj yr sudėts (r žuo pš į sudėtį) t pčą grupę vdme dce jos eutrlųjį elemetą ulu o smetršąjį prešguoju (žymm: ) K opercj vdm dugyb t grupė vdm multplce jos eutrluss elemets vdms veetu o smetršss tvrštu (žymm: ) Ape lbos lsvę Krts lošumo dėle grupe (luu žedu) pvdm grupės (luo žedo) bzė bė; žodį šplu mtemtėje ltertūroje įprst žymėt mplcjos smbolu " " ors mo uomoe oretšu būtų udot logės švdos smbolį " " Opercjų žel pprstumo dėle rg dž edetlzuojm Pvyzdžu sudėtes vesms sčų fucjų vetorų bėse pbrėžms srtg bet jm pžymėt udojme tą ptį želą 4 Ape opercjos oretumo svrbą Grupės sąvo bzę bę etsejm surš su joje pbrėžt lgebre opercj Pvz strutūr (Q ) yr dcė Abelo grupė o strutūr ( ) Q grupės somų ju ete f 5 Algebrės opercjos sąvoą udg e šplėst AO A A A vdm f vde o opercj B A A vdm šore bre (lgebre) opercj Pvz vetorų sudėts ploštumoje yr vdė lgebrė brė opercj o vetorus dugyb š sčus šorė

33 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 5 Pst 5 Algebrës strutûros (tæsys) Prmeme: Ap Algebrė strutūr G: (A ) su ve soctyv lgebre opercj ur įvydom tvrštė opercj vdm grupe Je be to opercj yr dr r omuttyv t grupė vdms omuttyvąj rb Abelo grupe Ap (Altertyvus) Algebrė strutūr G: (A ) su soctyv lgebre opercj turt eutrlųjį r evem elemetu smetršą elemetus vdm grupe Je opercj yr omuttyv t grupė vdm Abelo grupe Pstebėme: bu pbrėžm yr evvletūs Žed Suspžome su lgebrėms strutūroms uros vdmos grupėms T yr svrbus tps strutūrų su ve AO Kts mus domts AS tps yr tp vdmej žed (vo Rg gl rg rus кoльцо) Ap AS Ž: (A ) (su dvem lgebrėm opercjom urs lbos sldumu sustrme vdt: - sudėtm - dugyb) vdm žedu je yr špldytos toos sąlygos: - strutūr (A ) yr dcė Abelo grupė - bems opercjoms gloj omuttyvumo be soctyvumo svybės; be to opercj yr dstrbutyv opercjos tžvlgu (sutrumpt: KAD) Pvyzdž Je grėsme AS uros bzė bė yr lygų sveųjų sčų bė Z o opercjos įprstės sčų sudėts r dugyb t ( Z ) yr žeds Abėje L 6 { 4 5} pbrėžme sudėtį r dugybą įprst t sustrme d tldm sudėtes tmtes r dugybos vesmus rezulttą pddsme r sumžsme sčus 6 rtotu tp d js vėl prlusytų be L 6: r tt Legv ptrt d strutūr ( L 6 ) yr omuttyvus žeds su ulu elemetu Krts grėjm žed uruose dugybos vesms ėr omuttyvus Toe žed vdm eomuttyvss Žed su esoctyv dugyb vdm esoctyvss žeds Neomuttyvų žedų pvyzdžų ptesme trme semestre o esoctyvų žedų egrėsme

34 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Pprsčusos žedų svybės Ptogumo dėle svybų formulvmuose opercjs r žymėme įprst: r Kdg žeds yr rtu r dcė grupė t jme yr vetels uls (eutrluss sudėtes tžvlgu ) elemets Jį žymėsme O A Keves žedo bzės bės A elemets tur vetelį su prešgą elemetą urį žymėsme A Gloj prstmo tsylė ty b c b c 4 Egzstuoj vetels lygtes b x spredys urs vdms elemetų r b srtumu r žymms b 5 ( A) ( ) 6 ( ) ( b) ( b) Nudojmos r įprstos strumpos - Detlu: žr vdovėlo 87 psl 7 O A O A 8 ( ) b ( b) 9 ( )( b) b ( b c A) ( b c) b c D dėss tmtes opercj Vsos svybės yr įrodomos 6 sv įrodyms Prmus svybę suformuluome žodžs td r įrodymo eg bus šesė Turme prodyt d: elemetų r b prešgųjų elemetų sum yr sumos b prešgss Prsmę d elemeto s prešguoju vdms tos elemets x su uruo gloj s x x s O trme: A K A ( b) ( ) ( b ) ( b ( b ) ( ) O ( ) O QED 8 sv įrodyms Dbr turme prodyt d: elemetų r b sdug yr sdugos b prešgss elemets Iš trųjų dstrb 7 sv ( ) b ( ( ) b O b OA b QED A Pbrėžt d žeds gl r eturėt veeto elemeto Pvz ( Z ) Lu Apbrėšme dr veą svrbų AS tpą : luus (gl feld rus поле) Beje tuose ltertūros šltuose vrtojms žedu devtus terms: ūs (gl sold vo Körper rus тело) A A 4 Ap AS L: (A ) (su dvem AO urs vėlg sustrme vdt: sudėtm dugyb) vdm luu je yr špldytos toos sąlygos:

35 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 5 - bzė bė A tur bet du srtgus elemetus - strutūr (A ) yr dcė Abelo grupė - strutūr (A\{ O A } ) yr multplcė Abelo grupė - dugyb sudėtes tžvlgu yr dstrbutyv Pvyzdžu: rcolųjų sčų strutūr ( ) Q yr lus Luų svybės ddele dlm šplu š to d strutūros (A ) (A\{ O A } ) yr omuttyvos grupės Td lue yr: vetel uls r veets be evem elemetu prešgss r (e ulu) tvršts gloj dstrbutyvumo dėss tmč be vsos tos ju ptrtos grupų r žedų svybės Tču lu tur r specfų svybų Ve š svrbusų yr t d lus etur ulo dllų Ty eulų luo elemetų sdug vsd elyg O A Teorem Dvejų luo elemetų r b sdug td r t td lyg ulm luo elemetu O bet ves š dugmųjų lygus A O A Įr Metods suvedms į preštrą Trme d yr du toe eul luo elemet r b d b OA Tču td luo bzėje bėje yr r elemeto b tvršts b Pdugę b lygybės b O puses š to b turme: A soc; 7sv ( b) b OA b ( b b ) OA b OA A OA OA T preštruj preld d euls luo elemets QED Žeduose bedruoju tveju š teorem ėr tesg Ap Komuttyvuss žeds be ulo dllų vdms tegrlumo srtm Pvyzdžu strutūr ( L 6 ) ėr tegrlumo srts es 4 o strutūr Z ) yr tegrlumo srts ( Luo chrterst Luo bzės bės elemet gl būt r e sč Toų luų svtums usoms ujos sąvoos luo chrterstos pglb Ap Mžusą tūrlųjį sčų m su uruo gloj lygybė m e L O vdme L luo L chrterst r žymme m chrl Je too m urodyt eglm t some d lus yr ulės chrterstos r ršome chrl Pvyzdys Abėje A{ b c} letelų pglb įvesme sudėtį r dugybą b c b c b c b b c b b c c c b c c b 5

36 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Nesuu pstebėt d strutūr L: (A ) te luo soms be to: OA ea b Bet b b b b (b b) b c b O A chr L Glm prodyt d: chrl chrl P Č P sveųjų prmų sčų bė Neulės chrterstos lu tur emž eįprstų svybų Pvz je chrl p t p p p ( b L) ( b) b 6 Algebrų strutūrų homomorfzm r zomorfzm Krts dv AS turčos srtgos prgmtes bzes bes r svts lgebres opercjs vsg (būtet tų opercjų svybų prsme) yr lb pšos r srs ebet t mtmems ty bzės bės gl rb yr r vs detšos Trme( A Ω ) r ( A Ω ) yr dv AS su bgtėms opercjų σ j bėms Ω Č σ j Ω ; j ; Ap AS ( A Ω ) r ( A Ω ) vdmos homomorfšoms (ttm: zomorfšoms) jegu trp jų bzų bų glm usttyt toą surjecją (ttm: bjecją) ϕ d glotų sąlygos: ( b A )( j) ( σ b) ϕ() σ ϕ() b ϕ j j () Pvyzdžu je ve š opercjų bejose bzėse bėse yr sudėts t () sąlyg trodo tp: ( b A ) ϕ ( b) ϕ( ) ϕ( b) ty sumos vzds tur būt lygus vzdų sum Homomorfšos (r zomorfšos) grupės žed r lu tur pšs svybes todėl veos tyrėjmą glm pest tos (pvz su pprstese bze be) tyrėjmu A vdmos homomorfšoms (ttm: zomorfšoms) jegu trp jų bzų bų glm usttyt toą surjecją (ttm: bjecją) ϕ d glotų sąlygos: Ap Dv grupes ( ) A r ( ) ( b A ) ( b) ϕ( ) ϕ( b) ϕ (Užduots: suformuluote homomorfšų be zomorfšų žedų r luų pbrėžmus) Mėt surjecj (ttm: bjecj) ϕ dž vdm tesog homomorfzmu (zomorfzmu) Tesg to teorem (tesą st - et šešos teoremos) pe pgrdų mūsų pbrėžtų r ptrtų AS homomorfšus vzdus Teorem Homomorfšs (zomorfšs) grupės (žedo; luo) vzds yr grupė (žeds; lus) Įr Pometuome formuluotę lbme pe grupų zomorfzmą Td teoremos duomeys (preldos sąlygos) yr toe: turme grupę G ( A ) r tą AS ( A o) bzų bų usttyt to bjecj ϕ : A A d b A ϕ b ϕ oϕ b ( ) ( ) ( ) ( ) ; trp

37 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 5 Re įrodyt d AS ( o ) A yr grupė Įrodymu vert prsmt grupės pbrėžmą (veoį r toį) r ptrt r strutūr ( A o ) te grupės soms Ptrsme opercjos o lgebršumą (t dryt ebūt; tuo t prodome jog strutūros ( A o) opercjos o lgebršums gl būt r epostuluots) zomorf ( b A )( b A ) ϕ() b ϕ() b o b ϕ() oϕ() b ϕ( b) A es ϕ yr bjetyvus tvzds Aptrsme opercjos o soctyvumą zomorf o c ( b c A )( b c A ) ( ) b ( b) c ( c) ( o b ϕ ϕ ϕ ) zomorf zomorf soc ( ϕ() oϕ() b ) oϕ() c ϕ( b) oϕ() c ϕ( ( b) c) ϕ( ( b c) ) zomorf zomorf ϕ() oϕ( b c) ϕ() o ( ϕ() b oϕ() c ) o ( b o c ) zomorf Le prodyt d bėje A įvydom opercj o tvrštė opercj T glm pdryt dvejop: rb įrodt d su bet os bės A elemets b yr šspredžmos lygtys o x b y o b rb įrodt d bėje A yr eutrluss r evem prešgs (opercjos o tžvlgu) elemet Ptru šbdyt bu būdus Č mes prodysme lygčų šspredžmumą Pvyzdžu grėme lygtį o x b (t stucj ptrm logš) Jos vzds (ttmuo) x b grupės G bzėje bėje A tur spredį x (es G grupė) Kdg trp bų t egzstuoj x A tos d () x x ϕ Todėl: zomorf x b () () x ϕ( x) ϕ() b b o x ϕ oϕ A r A yr usttyt bjecj ϕ o t r reš d lygtes spredu yr elemets x A QED Pvyzdys Prsmme luo uro chrterst lyg pvyzdį: L (A ) Jo bzė bė buvo A{ b c} o opercjs r pbrėžėme letelų pglb Ngrėme strutūrą L (B ) uros bzė bė yr B { } o vesm r rg pbrėžt letelėms: Vėlg legv įstme d L te luo soms Kdg bjecj ϕ : ; b ; c ; te zomorfzmo relvmus (ptrte!) t lu L r L yr zomorfš Žymme: L L 7

38 5 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA AS pob Krts trs bzės bės pobs yr svo ruožtu grupė (žeds lus) tų pčų opercjų tžvlgu Ap Je G ( A ) r G ( ) A A t grupę G ( A ) vdme grupės G ( A *) Pvz lygų sveųjų sčų dcė grupė ( ) ( Z ) pogrups A yr dv grupės (tos pčos opercjos tžvlgu) o pogrupu Z yr vsų sveųjų sčų dcės grupės Svrš suformuluote požedžo r poluo pbrėžmus Teorem (Pogrupo rterjus) Tm d pobs būtų pogrupu būt r pm d js būtų uždrs grupės tesogės r tvrštės opercjų tžvlgu Įr Būtums Duot grupė ( A ) r jos pogrups ( H ) tesogės opercjos r j tvrštės opercjos tžvlgu Tču ( ) š sąlyg yr špldyt Pmums Duot d strutūros ( ) H A Re įrodyt d ( ) tvrštės opercjos tžvlgu be to tetrūst ptrt opercjos bėje H soctyvumą Bet H A ( b c H ) b c A ( b c) ( b) c Re įrodyt d H uždr H yr grupė todėl H bzė bė uždr opercjos r j H yr grupė I įrodymo QED Teorem Kelų pogrupų (požedžų poluų) srt yr pogrups (požeds polus) Įr Pudojt pogrupo rterjų Svrš (Užduots Suformuluot r įrodyt požedžo r poluo rterjus) 8

39 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 6 Pst 6 Sčų sstemos Pbdysme įvestų sąvoų pgrdu susstemt r šplėst moyles mtemtos žs pe sčus Ntūrlųjų sčų bė N Mtemtė ducj Pprsčus sčų bė trodytų yr tūrlųjų sčų bė Tču šmous sudėt r tsyt į lusmą odėl sum yr 5 - lb elegv Dr suu pšt s t yr te rodos įprst smbol (sč) 5 Prmoje pstoje ju mėjome d sstemt grežtt mtemtes žs elgms veod: prdžoje šsrmos pgrdės tutyv suprtmos epbrėžmos sąvoos Jų pglb formuluojm ts relgs sąvos pbūdtys pbrėžm Td ptrm oe pgrd teg ft yr svme suprtm r prmm be įrodymo Juos vdme somoms Nuspręst ą vdt som oe ft įtrut į somų sąršą dž bū rg elegv problem O suformulvus somų sstemą šyl elegvesė somų sstemos terpretcjos ty bės ur gloj t somų sstem ostrucjos užduots Tolu vystom pt mtemtė teorj: įrodėjmos teoremos formuluojmos tsylės Iešom rcolusų orečos mtemtės teorjos šdėstymo elų todėl te šdėstym eret srs je tslm tobulm Norėdm grežt pbrėžt tūrluosus sčus dugelo rtų ~ mtemt rg svrstė s prmt be įrodymo o s įrodyt Šuo metu vsuot prmt tlų mtemto DPeo (Guseppe Peo 859 9) somų sstem Abės sąvo p mėjome yr pgrdė epbrėžm Tuo trpu sąryšus ju glm pbrėžt bų teorjos terms Ntūrlųjų sčų strutūr pbrėžt š esmės r p šų dvejų sąvoų Ap Ntūrlss sčs vdme elemetus bet uros etuščos bės N uroje pbrėžts elemetų urs sąryšs e po tets eturs soms Yr tos N elemets (vdme jį veetu r žymėme ) urs e po joo elemeto Po eveo elemeto e ves r tt ves elemets Jį žymėsme Keves elemets e e dugu p po veo elemeto 4 (Iducjos som) Kevem pobu M N tom d M r tesg M M gloj: M N Ašu tuoj pt yl lusms: r yr oret bė tet šą somų sstemą? 9

40 6 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA Psrodo d tp Be to tą bę glm suostruot e vetelu būdu Kostrucjos elms vsoms tūrlųjų sčų svybėms ptrt r įrodyt retų mž lo T drom specluose mtemtos ursuose o mes psrbosme t osttvmu d bų tečų Peo somų sstemą tr yr r ptrsme els svrbeses bės N svybes K š tsrų ftų dromos pbedrtos švdos t som d smprotujm dutyv Idutyvus mąstyms (ducj) būdgs žmogu: št ryte teme į trolebuso stotelę r po elų mučų sulume trolebuso vežčo mus rem ryptm Tp elgmės šedm š to d žome tsrus ftus: trolebusų judėjmo grfą mršrutus t d meste urme esme remme mršrute evyst remoto drb r p Iš tų tsrų s rytą pstvrtčų ftų drome bedrą (mums svrbą) švdą: s rytą tm troje vetoje tuo pču lu sustoj mums relgs trolebuss Ktos yr dedutyvuss mąstymo būds (deducj) tvršč: š bedros formcjos usttoms tsrų orečų tegų tesgums Pvz š lgmetės ptrtes žome: vdurdeį yr švesu Drome švdą: vdurdeį bus švesu r šde r rytoj r poryt Abu mąstymo būd udojm relme gyveme: eoomoje sporte rmlstoje r tt Dej mtemt jų ep es mtemt tsluss mosls r je ju os fts įrodoms t js tesgs vsd: pvz Ptgoro teorem yr tesg vsems sttesems trmpms Jos tesgums grežt įrodyts o e ptrts Kd r e stčųjų trmpų šmtuotume Ptgoro teorem tuo ebus įrodyt Glėsme (dutyv mąstydm) t suformuluot hpotezę: grečus vsems sttesems trmpms įžmbės vdrts lygus sttų vdrtų sumtuo trpu mtemts įrodyms eple joų šlygų grečus Be to dutyvus (r dedutyvus) mąstymo elu suformuluot hpotezė gl psrodyt etesg: trolebuss gl tesog sugest o vdurdeį toje vetovėje įvyt pls sulės užtemms 64 m prcūzų mtemts PFerm (Fermt) suformulvo hpotezę d sč F : su vss tūrlss yr prm Tp js uspredė betrpš ptręs prmuosus pes š jų: F F 5 F 7 F 57 F Je tr psrodė besą prm Tču sčus F ptrt (ts ls sčuolų dr ebuvo ) Ferm esugebėjo T 7 m 6 grsus švecrų mtemts LOlers (Euler) pegė Ferm hpotezę r prodė d: F Ketvrtoj š bę N usčų somų pgrdž svrbų mtemtės ducjos prcpą (MIP) plč vrtojmą grežtm mtemtų ftų įrodymu Trme P() yr vevets predts o jo pbrėžmo srts yr N Pprsčuss yr tos MIP vrts 4