APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS

Transcript

1 II skrus APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS KREIVINĖS TRAPECIJOS PLOTAS IR APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS APIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS SU KINTAMA VIRŠUTINE RIBANIUTONO- LEIBNICO FORMULĖ KINTAMOJO PAKEITIMAS APIBRĖŽTINIAME INTEGRALE 7 5 INTEGRALAS ( ) d 8 6 APIBRĖŽTINIO INTEGRALO INTEGRAVIMAS DALIMIS 9 7 INTEGRALŲ s d r os d APSKAIČIAVIMAS 9 8 NETIESIOGINIAI INTEGRALAI 9 TRŪKIŲJŲ FUNKCIJŲ NETIESIOGINIAI INTEGRALAI ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo

2 KREIVINĖS TRAPECIJOS PLOTAS IR APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS Apskčuoke plotą gūros, kurą prėž tegos r toldžos tkrpoje [,] ukjos ( ) krevė, dvejų šos krevės tškų r ordtės, e šes tkrp Toką geoetrę gūrą vdse kreve trpej Kp pskčuot jos B plotą? Šos trpejos pgrdą, tkrpą M ( ), tšks,,,,, šdle į M (lgų r elgų) dlų Iš psrktų tškų,,, pkelke sttes, M prtęsd juos k suskrto su kreve M A Gue eleetrų krevų trpejų Iš gutų A, M, M,, M, M tškų urėžke sttes į grets ordtes Guse į krevę trpeją įrėžtą lptuotą gūrą (rėžje užrūkšuot), kuros eleetrus stčkpo plots us ordtės ( ) r pgrdo sdug Vsos lptuotos gūros plots r ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Q r trupu Q S ( )( ) S ( ) Iš rėžo toe, kd šos lptuotos gūros plots r žess už krevės trpejos plotą M B ( ) Dr pe krevę trpeją prėžke lptuotą gūrą Šos gūros plots r ddess už krevės trpejos plotą M M ( ) Q S () M A Trke, kd tkrpų skčų eprėžt dde td že eleetrų tkrpų lgį r lgusos š jų lgs rtėj pre ulo, t kst Tuoet įrėžtos lptuotos gūros plots ddėj, prėžtos žėj, todėl kekveos š jų plots rtėj į tą ptį ddį krevės trpejos plotą l S ( ) Q r S ( ) Q l Nurodtu ūdu sudrtos suos S ( ) r S ( ) vdos duotosos ukjos ( ), č,,,, tegrlės suos Šs tegrles sus glėjoe sudrt r ktp eleetrus stčkpo ukšte glėjoe psrkt ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo

3 tervlo et kuro trpo tško pts Tg krevės trpejos plotą rešk r š r Toku ūdu, et kur ukj ( ) ξ ordtę ( ξ ), (, ) ( ξ ) Q ξ Rezultts ūtų ts l S () gl turėt e glo dug tegrlų suų, kurų r, k r t pt krevės trpejos plots J, suprt, eprkluso uo to, kur tervle pts tšks ξ r kp tkrp šdlt į eleetrus tervlus Sudrd toldžosos ukjos ( ) tegrlę suą S ( ξ ) sutekėe tk ueruotų tervlo [, ] tškų,,,,,, tegrlės suos ru tveju ktss pere per vsus tervlo [ ], ktj rekšes Tuo trpu, tškus Tg, ru tveju gu tegrlės suos rekšė prkluso tk uo duotosos,, kure kt ktss ukjos ( ) r tervlo [ ] Itegrlės suos r žėt udose prėžto tegrlo žeklą, todėl ( ξ ) ( ) l S d, () č tk stlzuot S rdė Nuskke prėžto tegrlo egzstvo sąlgą: Skčų I vdse ktčos tervle [ ], toldžosos ukjos prėžtu tegrlu, jegu kekve, kek or ž, lsv prkt teg skču glėse gut pkk žą tegą skčų δ, prklustį tk uo, kd elgę < δ ttks elgė S ( ξ ) <, I eprklust uo tkrpos [ ] eleetrs tkrps r tškų ξ prko jose ūdo, dlo į K š sąlg r ptekt, ršse I ( ) d, č ( ) potegrlė ukj, ( )d potegrls rešks, ptė tegrvo r, vršutė tegrvo r, tegrvo ktss Svo ese eprėžts r prėžts tegrl r vsšk skrtgos sąvokos Pke tos pčos ukjos eprėžtį r prėžtį tegrlus ( ) d r ( ) Neprėžtu tegrlu pskčuojos vsos prkštės ukjos tegrvo rezultts r tegrvo ktojo ukj, t os d s C r os udu su C Tuo trpu prėžts tegrls rešk skčų, prklustį tk uo tegruojos ukjos r tegrvo rų d ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo

4 I d osudu os ostdt APIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS Fukjų lgerės suos prėžts tegrls r lgus šų ukjų prėžtų tegrlų lgere su, t [ ( ) ( ) ( ) ] d ( ) d ( ) d ( ) d () > Pudoke tegrlės suos rą: [ ( ) ( ) ( ) ] d S [ ( ) ( ξ ) ( ξ )] l l S ξ ξ ( ) l S ( ξ ) l S ( ξ ) ( ) d ( ) d ( ) d < Pstovų dugklį gl škelt preš prėžto tegrlo žeklą ( ) d C ( ) C d () l d < > C ( ) d S C ( ξ ) C l S ( ξ ) C ( ) Pketus vetos prėžto tegrlo tegrvo rs, tegrls pkeč žeklą d S > Kdg ( ) ( ) ( ) d ( ) d () l ξ, č < r > Tuo trpu, pketę vetos tegrvo rs, t tegruod uo ddeso k žeso, guse <, todėl Q Q ( ) ( ) d S ( ξ ) ( ) d ( ) d < l, t O Jegu tkrpą [, ] trpu tšku pdlse į dv tkrps [, ] r [, ], t ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo

5 > ( ) d ( ) d ( ) > Įrodą kvzdž toe š rėžo: Q ( ) d, Q ( ) d, ( ) Q Q Q d, ( ) d ( ) d ( ) d < d () Pst Š svė tk r tuo tveju, k tšks r šl tkrpos [, ], > ( ) d ( ) d ( ) d, ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d < 5 Aprėžts tegrls lgos tegrvo ros r lgus ulu, t > ljos plots r lgus ulu< ( ) d (5) APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS SU KINTAMA VIRŠUTINE RIBA NIUTONO- LEIBNICO FORMULĖ dt ) Tg, gue tegrlą todėl ( ) d ( t) X ξ X X Φ ( ) ( ξ) ( ) Φ Tegul prėžte tegrle ( ) ptė r r pstov, o vršutė kt Td kess r prėžto tegrlo rekšė, es š rekšė prkluso uo tegrvo rėžų Gle tvrtt, kd toks tegrls r vršuto tegrvo rėžo ukj Norėd šsugot us įprstus žėjus, pžėke, o kd šo esušt su tegrvo ktuoju, pstrąjį pvdke t (kp suprte, prėžto tegrlo rekšė eprkluso uo tegrvo ktojo, es prkluso tk uo tegruojos ukjos r tegrvo rėžų, ( ) ( t) dt () d ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo

6 Jegu () t r eeg, t ( ) AX plotu Apskčuoke ukjos ( ) pgl vršutį rėžį Φ svo skte rekše lg krevės trpejos Φ švestę pgl, t tegrlo () švestę I teore Je ( ) r told ukj r Φ( ) ( t) dt t ( ) ( ) Φ, t prėžto tegrlo švestė pgl vršutį rėžį lg potegrle ukj, kuroje vetoje tegrlo ktojo įršt vršuto rėžo rekšė (k potegrlė ukj told) > Arguetu suteke poktį Dėl prėžto tegrlo ketvrtos svės gue Φ ( ) () t dt () t dt () t dt Fukjos Φ ( ) pokts r Φ( ) Φ( ) Φ( ) ( t) r rešk krevės trpejos X ( X X )( ) trpeją X ( X X )( ) plotą Kdg r žs, krevę pkeske pprstąj trpej, o šos plotą pskčuoje ( ) ( ) dt Φ ξ, č < ξ < ( ) ( ξ ) Φ Dr pskčuoke stkį ( ξ ) r Φ ( ) ( ) ( ξ ) Φ l l l ( ξ ) Kdg, t es ( ) ξ, todėl ( ξ ) l ( ξ ) ( ) l, r told ukj Todėl ( ) ( ) ξ Φ < Pst Iš įrodtos teoreos sek, kd kekve told ukj tur prkštę Nutoo-Leo orulė II Teore Je ukj F ( ) r toldžosos ukjos ( ) ( ) d F( ) F( ) prkštė ukj, t Š orulė vd Nutoo-Leo orule (Gl pėt, kd e Les, e Nutos eužršė šos orulės ūtet tp, et je pr usttė ršį trp derejvo r tegrvo veksų, įgltį sudrt šą prėžtų tegrlų pskčvo tsklę) ukj Td pgl kstesę > Tegul F ( ) r et kur prkštė ukjos ( ) teoreą, ukj Φ( ) ( t) dt tp pt r ukjos ( ) prkštė ukj Dv prkštės ukjos gl ve uo ktos skrts tk pstovu dėeu C, todėl () t dt F( ) C ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo 5

7 Š lgė r tptė r gloj vses Apskčuoke C, prlgd () t dt F( ) C, o š č C F( ) Dr ju gue () t dt F( ) F( ) Prlge, todėl () t dt F( ) F( ) Vetoje t sugrąžke įprstą tegrvo ktąjį r guse Nutoo-Leo orulę Skrtus ( ) F( ) ( ) d F( ) F( ) () F eprkluso uo psrktos prkštės ukjos, kdg vsos prkštės ukjos skrs pstovu dėeu, kurs tt škst F F F, td Nutoo-Leo orulę glėse užršt Je pžėse ( ) ( ) ( ) ( ) d F( ) () Nutoo-Leo orulė l svr prktkoje J prplėtė tetkos tką tehkoje, ehkoje, stroojoje Aprėžtį tegrlą, kp tegrlės suos rą udojo ju Arheds, et šį etodą tkė tk ts eleetrs tvejs, k glėjo sudrt tegrlę suą Pvzdž Q d ( kv vt ) Q ( ) d ( ) ( ) ( kv vt ) - ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo 6

8 Q s d os s O KINTAMOJO PAKEITIMAS APIBRĖŽTINIAME INTEGRALE Teore Je tkrpoje [, ] toldžos ukjos ( ) ( ) d ktąjį pkeske pgl orulę ϕ( t) ϕ ( α ), ( β ) ϕ r () t prėžte tegrle (verekšs ttks), č ϕ r ϕ ( t) r toldžos tkrpoje [ α, β ], o ( ϕ( t) ) prėžt r told tkrpoje [ α, β ], t ( ) d ( ϕ( t) ) ϕ ( t) > Je F ( ) r ukjos ( ) Lgė () r tesg, es d dt r ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo 7 β α dt prkštė ukj, t gle užršt šs lges: ( ) d F( ) C r () ϕ t ϕ t dt F ϕ t () [ F( () t ) C] F( ϕ() t ) ( ( )) ( ) ( ( )) C ( ) d df d ϕ F ( ) ϕ ( t) ( ϕ( t) ) ϕ ( t) dt d dt Iš lgės () sek š () lgė ( ) d F( ) F( ) F( ) () Tuo trpu š () lgės užršoe β α ( ϕ() t ) ϕ ( t) dt F( ϕ( β )) F( ϕ( α )) F( ) F( ) Kdg lgų () r () dešosos pusės lgos, t lgos r jų krosos pusės, todėl ( ) d ( ϕ( t) ) ϕ ( t) β α () dt < (5) Pst Skčuod prėžtį tegrlą pgl (5) orulę, eture grąžt seojo ktojo, es šos orulės dešss r krss tegrl r lgūs t tkr skču, kekveo š šų prėžtų tegrlų rekše Pvzds Rske tegrlą

9 r r rst, d r ostdt, d, t ; r, t r r os t dt r t s t r r s t rostdt r os r O r tdt r Q Tkr, skrtulo ketvrtdlo plots r r r d r 5 INTEGRALAS ( ) Šo tegrlo tegrvo rėž r veod, et prešgo žeklo Tegul grėje tegrle ( ) [,] Td guse d trpu tšku d tkrpą [,] pdle į dv tkrps [,] ( ) d ( ) d ( ) r d () Lgės () dešosos pusės prje tegrle pkeske u, todėl ( ) d ( u) du ( ) d, et ( ) d ( u) du Iš reško () gue ( ) d ( u) du ( ) d Kdg prėžto tegrlo rekšė eprkluso uo solo, pudoto tegrvo ktj žėt, gle vsur įršt tą ptį tegrvo ktąjį Td gue ( ) d ( ) d ( ) d, r ( ) d [ ( ) ( ) ] d () Lge () prtkoe du skrtgus tvejus: d, () ) k ukj ( ) r lgė, todėl ( ) ( ) r ( ) d ( ) ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo 8

10 ) k ukj ( ) r elgė, todėl ( ) ( ) r ( ) d () Pvzds os d os s d ( ) O os 6 APIBRĖŽTINIO INTEGRALO INTEGRAVIMAS DALIMIS Tegul u r v r derejuojos ktojo ukjos Td ( uv )' u' v uv' Itegruoje tkrpoje [, ] šos lgės puses r gue Kdg ( uv )' d uv C, t ( ) todėl uv vdu udv r glus Pvzds ( uv ) d u' vd ' uv' d uv ' d uv, uv udv vdu () u, du d, d d d tg tg d l s s dv, v tg s s 6 ( 9 ) l l ( 9 ) l 6 7 INTEGRALŲ s d r os d APSKAIČIAVIMAS Prdžoje įrodke, kd u pvde urodt tegrl trpusvje r lgūs Tegul tegrluose s d r os d r sveks skčus ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo 9

11 I u, d du, s k, t, d u os os udu d k, t u, Tg, sąlgoje urodt tegrl r lgūs Gle, todėl pskčuot tk veą š jų Šį tegrlą tegruoke dls s s d os s I s d () sd s ( ) u s, du s osd, dos dv sd, v sd os ( ) s os d ( ) s ( s ) ( ) s d ( ) s d ( ) I ( ) I Iš č ture I ( ) I ( ) I, I I I ( ) I r glus d I I () Šą orulę pudose keletą krtų r, prkluso uo to, r lgs r elgs skčus, duotąjį tegrlą redukuose į šuos tegrlus Tg, k I ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo I d, I s d (), () lgs skčus, 5 I s d K I ( ) 5!! K,!! č!! rešk sdugą vsų lgų, žesų už, o -, ttk, elgs tūrų skčų sdugą (pvz: 6!! 6 8, 9!! ) K elgs skčus, I I s d K I 5 Tg, gle užršt K 5 ( )!!!!

12 ( )!! I I s d os d, k!! r (5) I ( )!! I s d os d, k (6)!! ) ) Pvzdž s ) 7 os d 6!! 7!! u,, u, 6 d os os d, u 5!! 5 udu 6!! NETIESIOGINIAI INTEGRALAI Netesogs vdse tegrlus, kurų ors ves tegrvo rėžs r eprėžto dduo, t tegrlus ( ) d, ( ) d r ( ) Tokus tegrlus pskčuose rų pgl N d ( ) d l ( ) d, ( ) d l ( ) d r ( ) d l ( ) N M M N M N M Je pskčuots tegrlo rekšė r gto dduo, t skse, kd šs tegrls koverguoj, tuo trpu, je j r eprėžto dduo, t skse, kd šs tegrls dverguoj Pvzdž d l l rtg rtg, d koverguoj Šį uždvį lustruoj rėžs Gle pskčuot r tegrlą d d d, kurs tp pt koverguoj os d l os d l s, r eegzstuoj, tegrls dverguoj d O Kovergvo pož ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo

13 Prss kovergvo požs Je koverguoj, t koverguoj r ( ) d Be to ( ) d ( ) Pvzds Nusttt r ( e ) d > Psteėke, k, e > e r Be to d, todėl, o ( ) ϕ( ) r ( ) ϕ d koverguoj, r dverguoj e ( ) < ( e ) Atrss kovergvo požs Je t dverguoj r ( ) d Be to ( ) d ( ) Pvzds Nusttt, r > Pstee, kd, est, dverguoj, todėl dverguoj r d d - koverguoj <, o ϕ( ) ( ) r ( ) ϕ d d koverguoj, r dverguoj ϕ d ϕ d - dverguoj, d >, e to l - d < Trečss kovergvo požs Je ( ) tegrls ( ) d Td skse, kd ( ) s Pvzds Nusttt, r d d koverguoj, t koverguoj r d koverguoj soluč koverguoj Kdg d koverguoj, t koverguoj (r t soluč) r duotss tegrls s, o 9 TRŪKIŲJŲ FUNKCIJŲ NETIESIOGINIAI INTEGRALAI Tegul ture trūkąją tkrpoje [, ] ukją ( ), ( ), ( ), ( ), <, <, ( ) <,, č < < < < ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo

14 Td ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d > Pvzds ( ) d, k ( ), k, k <, ( ) d d ( ) d ( ) d ( ) k d < d d( ) d ( ) d ( ) d( ) ( ) ( ) Krts tek pskčuot ) toldžosos tervle [, ), et turčos trūkį tške, tegrlą ( ) ( ) d ( ) I d, td l d, () I d, td ) toldžosos tervle (, ], et turčos trūkį tške tegrlą ( ) ( ) d ( ) l d, () ) toldžosos tervluose [, ) r (, ], et turčos trūkį tške tegrlą I ( ) d Pvzdž ( ) d ( ) d ( ) d l ( ) d l ( ) O d () d l l d l ( ) ( ) d ( ) l d d d d [ r trūko tšks] l l ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo

15 ALuruts, DŠučūs Psktų prezts_tegrlsdo l l l l Suklstue, je tegruotue d, egs plots, etes! - O