Γυροσκόπια και εφαρμογές αυτών στην πλοήγηση

Γυροσκόπια και εφαρμογές αυτών στην πλοήγηση Διονύσης Στεφανάτος Ειδικός Επιστήμονας, Στρατιωτική Σχολή Ευελπίδων 1. Εισαγωγή Τα γυροσκόπια είναι μηχανισμοί που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση ή τη διατήρηση του προσανατολισμού. Η λειτουργία τους στηρίζεται στο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση: ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός στερεού είναι ίσος με την εφαρμοζόμενη ροπή, ενώ η στροφορμή διατηρείται όταν η ροπή είναι μηδέν. Πέρα από τα κλασσικά μηχανικά γυροσκόπια, υπάρχουν γυροσκόπια δακτυλίου laser (ring laser gyroscopes), μικροελεκτρομηχανικά γυροσκόπια (MEMS gyroscopes), γυροσκόπια οπτικής ίνας (fiber optic gyroscopes), ακόμα και κβαντικά γυροσκόπια (quantum gyroscopes) [1]. Οι μηχανισμοί αυτοί βρίσκουν πληθώρα εφαρμογών, και συγκεκριμένα: 1. Σε μη μαγνητικές πυξίδες και σε συστήματα πλοήγησης υποβρυχίων, πλοίων, αεροπλάνων, διαστημοπλοίων, βαλλιστικών πυραύλων. 2. Σε συστήματα σταθεροποίησης ιπτάμενων οχημάτων, όπως τηλεκατευθυνόμενα ελικόπτερα και μη επανδρωμένα αεροσκάφη (unmanned aerial vehicles), πλοίων, αλλά και του πυροβόλου αρμάτων μάχης, π.χ. Leopard. 3. Σε συστήματα εύρεσης προσανατολισμού έξυπνων κινητών, π.χ. iphone. 2. Γυροσκοπική κίνηση Το γυροσκόπιο είναι ένα περιστρεφόμενο στερεό σώμα του οποίου ο άξονας περιστροφής μεταβάλλει τη διεύθυνσή του ως προς το σώμα και το χώρο, αλλά διέρχεται από σταθερό σημείο. Θα περιοριστούμε σε συμμετρικά γυροσκόπια, όπου ο άξονας συμμετρίας είναι ταυτόχρονα και ο άξονας μέγιστης ροπής αδρανείας. Παράδειγμα τέτοιου γυροσκοπίου αποτελεί η κοινή σβούρα. Θεωρούμε γυροσκόπιο με γωνιακή ταχύτητα ιδιοπεριστροφής (spin) ω και ροπή αδρανείας Ι ως προς τον άξονα συμμετρίας x. Από το πείραμα παρατηρούμε ότι υπό προϋποθέσεις, ο άξονας περιστροφής x περιστρέφεται γύρω από την κατακόρυφο. Η κίνηση αυτή λέγεται μετάπτωση και θέλουμε να υπολογίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης Ω. Παρατηρούμε επίσης ότι ω >> Ω, οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε με καλή προσέγγιση ότι η στροφορμή του γυροσκοπίου είναι ίση με αυτή λόγω ιδιοπεριστροφής, με μέτρο L=Iω. Η παρακάτω ανάλυση ακολουθεί την [2], σελ. 183. Η μετάπτωση οφείλεται στην επίδραση της ροπής του βάρους M του γυροσκοπίου. Το διάνυσμα της στροφορμής L μεταβάλλεται υπακούοντας το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τη

στροφική κίνηση dl dt = M Η μόνη ροπή είναι από το βάρος με στιγμιαία διεύθυνση τον άξονα z και μέτρο Mz = mgrsinθ. Επειδή η ροπή αυτή είναι κάθετη στη στροφορμή, το μέτρο της τελευταίας παραμένει σταθερό: dl 2 dt = dl 2 dt = 2L dl dt = 2L M = 0 Το διάνυσμα της στροφορμής στρέφεται διαγράφοντας έναν κώνο. Η μεταβολή του για μικρο χρόνο Δt είναι Όμως Ω=Δφ/Δt, επομένως και Ω = ΔL Δt ΔL = Δφ Lsin θ ΔL Δt = Δφ Lsin θ Δt 1 L sin θ = ΔL = LΩsin θ Δt M z mgr sin θ = L sin θ L sin θ = mgr L

Το σταθερό μέτρο της στροφορμής είναι L=Iω, οπότε τελικά βρίσκουμε Ω = mgr Iω Παρατηρούμε ότι η γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης είναι αντιστρόφως ανάλογη της γωνιακής ταχύτητας ιδιοπεριστροφής του γυροσκοπίου. 3. Γυροσκοπική πυξίδα 3.1. Αρχή λειτουργίας Μία σημαντική εφαρμογή του γυροσκοπίου είναι η γυροσκοπική πυξίδα, όργανο που χρησιμοποιείται για την εύρεση του προσανατολισμού στα πλοία. Το πλεονέκτημά της έναντι των κοινών μαγνητικών πυξίδων είναι ότι δείχνει τον πραγματικό Βορρά, αφού η λειτουργία της δεν στηρίζεται στο μαγνητικό πεδίο της Γης. Στην παρούσα παράγραφο περιγράφουμε την αρχή λειτουργίας της γυροσκοπικής πυξίδας ακολουθώντας την [3]. Θεωρούμε το γυροσκόπιο του σχήματος, που περιστρέφεται περί τον άξονα συμμετρίας του x με γωνιακή ταχύτητα ιδιοπεριστροφής ω. Επιπλέον, το σύστημα ανάρτησης επιτρέπει την περιστροφή του άξονα x γύρω από τον οριζόντιο άξονα z. Η συσκευή είναι τοποθετημένη πάνω σε πλατφόρμα που περιστρέφεται γύρω από την κατακόρυφο με γωνιακή ταχύτητα Ω << ω. Επισημαίνουμε ότι ο συμβολισμός που ακολουθούμε είναι ανάλογος με αυτόν της προηγούμενης παραγράφου, ώστε να μπορούμε να μεταφέρουμε εύκολα τα συμπεράσματα στο παρόν πλαίσιο. Κατά τη διεύθυνση του άξονα z δεν ασκείται κάποια ροπή (παρατηρήστε ότι, σε αντίθεση με προηγουμένως, εδώ το κέντρο βάρους του δίσκου βρίσκεται πάνω στον άξονα), δηλαδή

M z = 0 ( dl dt ) z = 0 Όμως λόγω της κατακόρυφης περιστροφής της πλατφόρμας με γωνιακή ταχύτητα Ω, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής (dl /dt)z περιέχει τον όρο μετάπτωσης (όπως προηγουμένως) LΩsinθ = IωΩsinθ όπου I = mr 2 /2 είναι η ροπή αδρανείας δίσκου μάζας m και ακτίνας R ως προς τον άξονα συμμετρίας x. Για να εξισορροπήσει αυτήν την αλλαγή, ο άξονας x του δίσκου στρέφεται περί τον άξονα z. Η γωνία θ αλλάζει με το χρόνο και αυτή η μεταβολή συνεισφέρει στη στροφορμή L την ποσότητα I0dθ/dt με κατεύθυνση τον άξονα z, όπου I0 = I/2 = mr 2 /4 είναι η ροπή αδρανείας του δίσκου ως προς τον κάθετο άξονα z. Η κίνηση αυτή προσθέτει στον (dl /dt)z την ποσότητα I0d 2 θ/dt 2. Για να είναι μηδενικός ο συνολικός ρυθμός μεταβολής (dl /dt)z θα πρέπει να αλληλοαναιρούνται οι δύο συνιστώσες του, δηλαδή d 2 θ Ι 0 + ΙωΩ sin θ = 0 dt2 Η παραπάνω εξίσωση είναι ανάλογη με αυτή του φυσικού εκκρεμούς και περιγράφει μία ταλάντωση της γωνίας θ [4], σελ. 11. Εύκολα επαληθεύεται ότι η ακόλουθη ποσότητα παραμένει σταθερή κατά την κίνηση 1 2 Ι 0 ( dθ 2 dt ) ΙωΩ cos θ Παρατηρήστε την ομοιότητα με την κίνηση σωματιδίου σε μονοδιάστατο δυναμικό V(θ) = - IωΩcosθ, [2], σελ. 90. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζουμε τη συνάρτηση -cosθ. Παρατηρούμε ότι η θ = 0 είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας (ομόρροπη περιστροφή γυροσκοπίουπλατφόρμας), ενώ η θ = π είναι θέση ασταθούς ισορροπίας (αντίρροπη περιστροφή γυροσκοπίου-πλατφόρμας). Στην εξιδανικευμένη περίπτωση που αγνοείται η τριβή στα σημεία στήριξης, ο άξονας του γυροσκοπίου εκτελεί ταλαντώσεις γύρω από τη θέση θ = 0. Στην πράξη υπάρχει τριβή και ο άξονας του γυροσκοπίου μετά από κάποιές ταλαντώσεις ευθυγραμμίζεται με τη γωνιακή ταχύτητα Ω της πλατφόρμας στη θέση θ = 0. Η ευθυγράμμιση του άξονα του γυροσκοπίου δεν παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον αν γνωρίζουμε εκ τον προτέρων τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής της πλατφόρμας. Αν όμως η συσκευή τοποθετηθεί πάνω σε ένα περιστρεφόμενο σώμα, όπως η Γη, ο άξονας του

γυροσκοπίου θα ευθυγραμμιστεί με τον άγνωστο άξονα περιστροφής, υποδεικνύοντάς τη διεύθυνσή του (τον Βορρά στην περίπτωση της Γης). Παρακάτω δείχνουμε πως λειτουργεί μία ρεαλιστική γυροσκοπική πυξίδα τοποθετημένη στην επιφάνεια της Γης 3.2. Ρεαλιστικό μοντέλο στην επιφάνεια της Γης Θεωρούμε τη γυροσκοπική πυξίδα του σχήματος τοποθετημένη σε γεωγραφικό πλάτος λ στην επιφάνεια της Γης [5]. Ο άξονας z συμπίπτει με την κατακόρυφο και ο άξονας συμμετρίας x του γυροσκοπίου μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα (ροπή Μz = 0) γύρω από αυτόν. Η κίνηση του άξονα x περιορίζεται στο εφαπτόμενο στη γήινη επιφάνεια επίπεδο και η θέση του προσδιορίζεται από τη γωνία θ με την εφαπτόμενη διεύθυνση στο μεσημβρινό. Η Γη περιστρέφεται γύρω από το Βορρά με γωνιακή ταχύτητα ωe, οπότε η γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης του άξονα x περί την εφαπτόμενη του μεσημβρινού είναι Ω = ω e cos λ Ο συνολικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής (dl /dt)z είναι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση ίσος με I0d 2 θ/dt 2 + IωΩsinθ. Όμως η ροπή Μz = 0, άρα Ι 0 d 2 θ dt 2 + Ιωω e cos λ sin θ = 0 όπου χρησιμοποιήσαμε και την έκφραση της γωνιακής ταχύτητας μετάπτωσης σαν συνάρτηση της γωνιακής ταχύτητας της Γης και του γεωγραφικού πλάτους. Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει μία ταλάντωση του άξονα x του γυροσκοπίου περί τη διεύθυνση της εφαπτομένης του μεσημβρινού. Λόγω της τριβής, ο άξονας τελικά ισορροπεί στη θέση θ = 0, δείχνοντας τη διεύθυνση του Βορρά! Για μικρές τιμές της γωνίας θ, που επιτρέπουν την προσέγγιση sinθ θ, η παραπάνω εξίσωση

περιγράφει απλή αρμονική ταλάντωση d 2 θ dt 2 + ω θ 2 θ = 0 με γωνιακή συχνότητα ω θ 2 = Ι Ι 0 ωω e cos λ Για να κάνουμε μία εκτίμηση του χρόνου που απαιτείται ώστε η πυξίδα να ευθυγραμμιστεί με το μεσημβρινό, υπολογίζουμε την περίοδο της ταλάντωσης Τ=2π/ωθ. Για ένα δίσκο, ο λόγος των ροπών αδρανείας γύρω από τον άξονα συμμετρίας και τον κάθετο άξονα είναι I/I0 = 2. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης είναι ωe = 7.29 10-5 rad/sec, ενώ η μία συνήθης τιμή για τη γωνιακή ταχύτητα ιδιοπεριστροφής του δίσκου είναι η ω = 10 3 rad/sec. Για γεωγραφικό πλάτος λ = 30 βρίσκουμε Τ = 17.7 sec, ενώ στον ισημερινό, όπου λ = 0, βρίσκουμε Τ = 16.4 sec. Παρατηρήστε ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτήν της Γης, ώστε ο επιθυμητός προσανατολισμός να είναι ικανοποιητικά γρήγορος. 4. Αδρανειακή πλοήγηση 4.1. Γενική περιγραφή και πλεονεκτήματα αδρανειακής πλοήγησης Με τον όρο πλοήγηση (navigation) αναφερόμαστε στην εκτίμηση της θέσης, του προσανατολισμού και της ταχύτητας ενός οχήματος. Είναι άμεσα συνδεδεμένη με την καθοδήγηση (guidance) και τον έλεγχο (control) του οχήματος, ώστε αυτό να ακολουθεί μια προκαθορισμένη τροχιά προς έναν τελικό προορισμό. Αδράνεια ονομάζεται η ιδιότητα των σωμάτων να διατηρούν σταθερή μεταφορική και περιστροφική ταχύτητα, όταν δεν ασκούνται σε αυτά δυνάμεις ή ροπές, αντίστοιχα (πρώτος νόμος του Νεύτωνα). Αδρανειακό σύστημα αναφοράς (inertial reference frame) είναι ένα σύστημα συντεταγμένων στο οποίο ισχύουν οι νόμοι του Νεύτωνα. Τα αδρανειακά συστήματα δεν επιταχύνονται ούτε περιστρέφονται, αλλά είτε ηρεμούν είτε κινούνται με σταθερή ταχύτητα. Στην αδρανειακή πλοήγηση, ξεκινώντας από μια γνωστή αρχική κατάσταση του οχήματος (θέση, προσανατολισμό, ταχύτητα), γίνεται διαρκώς μέτρηση των επιταχύνσεων και των ρυθμών αλλαγής προσανατολισμού (περιστροφής) χρησιμοποιώντας αδρανειακούς αισθητήρες (inertial sensors), επιταχυνσιόμετρα και γυροσκόπια αντίστοιχα, των οποίων η λειτουργία στηρίζεται στους νόμους του Νεύτωνα. Με βάση αυτές τις μετρήσεις, γίνεται στη συνεχεία εκτίμηση της στιγμιαίας κατάστασης του οχήματος. Η αδρανειακή πλοήγηση παρουσιάζει ορισμένα πολύ σημαντικά πλεονεκτήματα που αιτιολογούν την ευρεία χρήση της: 1. Είναι αυτόνομη, αφού δεν στηρίζεται σε εξωτερική πληροφορία ή καλές συνθήκες

ορατότητας. Μπορεί να λειτουργήσει σε στοές ή υποβρύχια, καθώς και οπουδήποτε αλλού. 2. Είναι ιδανική για την ολοκληρωμένη πλοήγηση, καθοδήγηση και έλεγχο ενός οχήματος, αφού οι αισθητήρες και τα μετρούμενα μεγέθη μπορούν να αξιοποιηθούν για την πραγματοποίηση και των άλλων δύο λειτουργιών. 3. Έχει ανοσία στις παρεμβολές και είναι ουσιαστικά αόρατη. Δεν λαμβάνει ή εκπέμπει ανιχνεύσιμη ακτινοβολία και δεν έχει κάποια εξωτερική κεραία που θα μπορούσε να ανιχνευτεί από ραντάρ. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τη σχέση μεταξύ κόστους (δολάρια) και ακρίβειας (μοίρες/ώρα) συστημάτων αδρανειακής πλοήγησης για διαφορές εφαρμογές (κάμερες-παιχνίδια, αυτοκίνητα, καθοδηγούμενα βλήματα, εμπορικά και στρατιωτικά αεροσκάφη). Στις επόμενες παραγράφους παρουσιάζουμε με αρκετή λεπτομέρεια το πώς λειτουργεί ένα αδρανειακό σύστημα πλοήγησης. Ξεκινάμε περιγράφοντας τα βασικά όργανα ενός τέτοιου συστήματος, δηλαδή το επιταχυνσιόμετρο και το γυροσκόπιο. 4.2. Επιταχυνσιόμετρο Θεωρούμε κινούμενο όχημα του οποίου την επιτάχυνση θέλουμε να μετρήσουμε. Μέσα στο όχημα βρίσκεται επιταχυνσιόμετρο, το οποίο αποτελείται από δοκιμαστική μάζα m συνδεδεμένη με ελατήριο σταθεράς k, ενώ υπάρχει και δύναμη τριβής με σταθερά απόσβεσης b [6]. Έστω d η μετατόπιση του οχήματος από αδρανειακό σημείο αναφοράς και x η μετατόπιση της δοκιμαστικής μάζας από το σημείο ηρεμίας της. Η μετατόπιση της δοκιμαστικής μάζας ως προς το αδρανειακό σημείο αναφοράς είναι x + d. Εφαρμόζοντας το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τη μάζα m βρίσκουμε m d2 (x + d) dt 2 = b dx dt kx

Τονίζουμε ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το νόμο αυτό για τη μετατόπιση x ως προς το κινούμενο όχημα, αφού αυτό επιταχύνεται και άρα δεν αποτελεί αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Από την προηγούμενη εξίσωση βρίσκουμε m d2 x dt 2 + b dx dt + kx = m d2 d dt 2 Αν το όχημα κινείται με επιτάχυνση a = d 2 d/dt 2 τότε: m d2 x dt 2 + b dx + kx = ma dt Η παραπάνω εξίσωση αντιστοιχεί σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με απόσβεση, όπου το σήμα εισόδου είναι η επιτάχυνση του οχήματος. Στη μόνιμη κατάσταση (steady state), όπου d 2 x/dt 2 = dx/dt = 0, και για σταθερή επιτάχυνση a, βρίσκουμε x = m k a δηλαδή η ένδειξη του οργάνου (ένδειξη βαθμονομημένου κανόνα στο σχήμα) είναι ανάλογη της επιτάχυνσης. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το διάγραμμα συστήματος με έξοδο y την επιτάχυνση του οχήματος Ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η απόκριση του συστήματος όταν η επιτάχυνση του οχήματος δεν είναι σταθερή. Τυπικές τιμές της φυσικής συχνότητας ωn και του συντελεστή απόσβεσης ζ του επιταχυνσιομέτρου είναι [6]

ω n = k rad = 103 m sec, ζ = b km = 0.7 Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η απόκριση ενός συστήματος με αυτά τα χαρακτηριστικά σε βραχύ παλμό επιτάχυνσης 1g διάρκειας 20 msec [6] Η μεταβολή στην ταχύτητα του οχήματος ευρίσκεται με ολοκλήρωση της εξόδου του παραπάνω συστήματος, όπως απεικονίζεται στο παρακάτω διάγραμμα. Για τον προηγούμενο βραχύ παλμό επιτάχυνσης, η έξοδος αυτού του συστήματος φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου θεωρήθηκε μηδενική η αρχική ταχύτητα του οχήματος. Προσέξτε την καθυστέρηση της απόκρισης του συστήματος σε σχέση με την πραγματική ταχύτητα του οχήματος.

4.3. Το γυροσκόπιο σαν αδρανειακός αισθητήρας Ο γυροσκοπικός μηχανισμός που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση της γωνιακής ταχύτητας Ω και της γωνίας περιστροφής φ γύρω από τον άξονα εισόδου (input). Θα δείξουμε παρακάτω ότι αυτό επιτυγχάνεται με παρατήρηση της γωνίας περιστροφής θ γύρω από τον άξονα εξόδου z (αυτή είναι η ένδειξη του οργάνου). Η εξίσωση που περιγράφει τη χρονική μεταβολή της γωνίας θ προκύπτει από την αντίστοιχη εξίσωση για τη γυροσκοπική πυξίδα, με κάποιες τροποποιήσεις. Σε προηγούμενες παραγράφους για να περιγράψουμε την κίνηση του γυροσκοπίου χρησιμοποιήσαμε τη γωνία μεταξύ του άξονα συμμετρίας x του δίσκου και του άξονα εισόδου (Ω). Στην προκειμένη περίπτωση, η γωνία θ είναι μεταξύ του άξονα x και του κάθετου στον άξονα Ω, άρα είναι η συμπληρωματική της γωνίας που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω. Επίσης, ο άξονας εξόδου z έχει αντίθετη κατεύθυνση από αυτήν που είχε παραπάνω, οπότε το δεξιόστροφο σύστημα τώρα είναι Ωzx, ενώ πριν ήταν Ωxz. Τέλος, υπάρχει ροπή στον άξονα z που αντιτίθεται στην περιστροφή, οφειλόμενη στα ελατήρια επαναφοράς και το ιξώδες του υγρού στο οποίο είναι βυθισμένο μέρος της συσκευής. Λαμβάνοντας υπόψιν όλα τα παραπάνω προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση του γυροσκοπίου (χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη για τη γυροσκοπική πυξίδα): η οποία γράφεται Ι 0 d 2 ( π 2 θ) dt 2 + ΙωΩ sin ( π 2 θ) = M z

Ι 0 d 2 θ dt 2 + ΙωΩ cos θ = M z Όμως για αρκετά μικρή γωνία θ μπορούμε να κάνουμε την προσέγγιση cosθ 1. Τελικά καταλήγουμε στην εξίσωση Ι 0 d 2 θ dt 2 = ΙωΩ + M z όπου υπενθυμίζουμε ότι I0 είναι η ροπή αδρανείας του δίσκου περί τον άξονα z, I είναι η ροπή αδρανείας και ω η γωνιακή ταχύτητα περί τον άξονα x. Η ροπή Mz έχει τη μορφή αρνητικής ανάδρασης: M z = k θ θ k ω ω θ όπου kθ είναι ο συντελεστής ροπής επαναφοράς των ελατηρίων, ωθ = dθ/dt είναι η γωνιακή ταχύτητα γύρω από τον άξονα z, και kω ο συντελεστής τριβής (αφού το γυροσκόπιο είναι εμβαπτισμένο σε υγρό) [7]. Το σχηματικό διάγραμμα του συστήματος με ανάδραση [7] δίνεται παρακάτω. Ανάλογα με τις τιμές των kθ, kω το σύστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση της γωνιακής ταχύτητας Ω ή της αντίστοιχης γωνίας φ = Ωdt. Για kθ >> kω, η εξίσωση του συστήματος είναι ανάλογη με του επιταχυνσιομέτρου d 2 θ I 0 dt 2 + k dθ ω dt + k θθ = ΙωΩ Στη μόνιμη κατάσταση (steady state), όπου d 2 θ/dt 2 = dθ/dt = 0, η ένδειξη του οργάνου (γωνία θ) είναι ανάλογη του Ω θ = Ιω k θ Ω δηλαδή το γυροσκόπιο μετρά τη γωνιακή ταχύτητα περί τον άξονα εισόδου (rate gyro). Για kθ = 0, απουσία δηλαδή επανορθωτικών ελατηρίων, η εξίσωση του συστήματος περιέχει μόνο τις παραγώγους της γωνίας θ, οι οποίες μπορούν να εκφραστούν με χρήση της γωνιακής

ταχύτητας ωθ = dθ/dt. Η εξίσωση παίρνει τη μορφή Ι 0 dω θ dt = ΙωΩ k ωω θ Στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας (steady state), όπου dωθ/dt= 0, είναι ω θ = Ιω k ω Ω Στην περίπτωση αυτή, η ένδειξη του οργάνου (γωνία θ) είναι θ = ω θ dt = Ιω k ω Ωdt = Ιω k ω φ δηλαδή ανάλογη της γωνίας περιστροφής φ γύρω από τον άξονα εισόδου (rate integrating gyro). 4.4. Αρχή λειτουργίας συστήματος αδρανειακής πλοήγησης Ο υπολογισμός της ταχύτητας v και της θέσης r ενός οχήματος μπορεί να γίνει με τη χρήση επιταχυνσιομέτρων για τη μέτρηση της επιτάχυνσης a και δύο διαδοχικές μαθηματικές ολοκληρώσεις: v(t) = v(0) + a(τ)dτ r(t) = r(0) + v(τ)dτ Όμως για να μετρούν σωστά τα επιταχυνσιόμετρα την επιτάχυνση του οχήματος σε σχέση με αδρανειακό σύστημα αναφοράς, θα πρέπει να διατηρείται σταθερός ο προσανατολισμός τους, ανεξάρτητα από τις τυχόν περιστροφές του οχήματος. Η περιστροφική κίνηση ενός οχήματος ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς μπορεί να μετρηθεί με χρήση γυροσκοπικών αισθητήρων, και αυτή η πληροφορία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διατήρηση του προσανατολισμού των επιταχυνσιομέτρων. Ο μηχανισμός με τον οποίο επιτυγχάνεται αυτό απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα [8]. Τρία επιταχυνσιόμετρα, ένα για κάθε άξονα, τοποθετούνται πάνω σε πλατφόρμα η οποία στηρίζεται από σύστημα δακτυλίων που της επιτρέπει να περιστρέφεται στο χώρο (αδρανειακή πλατφόρμα). Πάνω στην πλατφόρμα τοποθετούνται και τρία γυροσκόπια, καθένα από τα οποία μετρά την περιστροφή του οχήματος γύρω από έναν άξονα, ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Η έξοδος κάθε γυροσκοπίου, που είναι ανάλογη της περιστροφής γύρω από τον άξονα εισόδου του, συνδέεται με κινητήρα που περιστρέφει τον αντίστοιχό δακτύλιο έτσι ώστε 0 0 t t

να διατηρείται σταθερός ο προσανατολισμός της πλατφόρμας (και των επιταχυνσιομέτρων) ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Έτσι εξασφαλίζεται ότι η ένδειξη των επιταχυνσιομέτρων αντιστοιχεί πράγματι στην επιτάχυνση του οχήματος ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς, που εν συνεχεία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της ταχύτητας και της θέσης, αν φυσικά γνωρίζουμε τις αρχικές τους τιμές. 4.5. Σύστημα αδρανειακής πλοήγησης αεροσκάφους Μια αδρανειακή πλατφόρμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διατήρηση του τοπικού προσανατολισμού (διευθύνσεις Βορρά, Ανατολής και κατακόρυφου) στην εκάστοτε θέση ενός αεροσκάφους, αναπαράγοντας ουσιαστικά τον τοπικό ορίζοντα μέσα σε αυτό. Η πλατφόρμα παραμένει κάθετη στην τοπική κατακόρυφο, ακόμα κι αν το αεροπλάνο εκτελεί απότομες μανούβρες. Αυτό επιτυγχάνεται με την κατάλληλη περιστροφή της πλατφόρμας ώστε να αντισταθμίζει την περιστροφή της Γης αλλά και την κίνηση του αεροσκάφους γύρω από αυτήν. Για παράδειγμα, αν ω e είναι η γωνιακή ταχύτητα της Γης και το αεροσκάφος κινείται ανατολικά ή δυτικά ώστε το γεωγραφικό του μήκος να αλλάζει με ρυθμό dl/dt, για να διατηρεί η πλατφόρμα σταθερό τον προσανατολισμό της πρέπει να στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω e + dl/dt γύρω από το βόρειο πόλο (βλέπε παρακάτω σχήμα). Αν το αεροσκάφος βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος λ, τότε οι γωνιακές ταχύτητες της πλατφόρμας περί το Βορρά (Ν) και την κατακόρυφο (V) πρέπει να είναι [6] ω N = (ω e + dl ) cos λ, dt ω V = (ω e + dl ) sin λ dt Αν το αεροπλάνο κινείται βόρεια ή νότια, τότε η πλατφόρμα θα πρέπει να περιστρέφεται περί την Ανατολή (E) με το ρυθμό αλλαγής του γεωγραφικού πλάτους λ.

Ενώ ο ρυθμός περιστροφής της Γης είναι γνωστός με μεγάλη ακρίβεια, το αδρανειακό σύστημα πρέπει να υπολογίζει συνεχώς τη θέση και την ταχύτητα του αεροσκάφους, ώστε να διατηρείται ο προσανατολισμός της πλατφόρμας και να γνωρίζουν οι χειριστές το γεωγραφικό μήκος και πλάτος. Τα επιταχυνσιόμετρα που είναι τοποθετημένα πάνω στην πλατφόρμα παρέχουν μετρήσεις των επιταχύνσεων στις τρεις κατευθύνσεις (Βορρά, Ανατολή και κατακόρυφο διεύθυνση). Αυτές οι επιταχύνσεις ολοκληρώνονται μαθηματικά, οπότε προκύπτουν οι ταχύτητες του οχήματος στις αντίστοιχες κατευθύνσεις. Περεταίρω ολοκλήρωση παρέχει το γεωγραφικό πλάτος λ και μήκος L, καθώς και το ύψος h του αεροπλάνου από την επιφάνεια της Γης. Το απλοποιημένο διάγραμμα του συστήματος που απεικονίζεται παρακάτω [8], βασίζεται στις ακόλουθες σχέσεις που προκύπτουν εύκολα από τη γεωμετρία της πτήσης γύρω από τη Γη dλ dt = v N R, dl dt = v E R cos λ όπου vn, ve είναι οι ταχύτητες στη διεύθυνση του Βορρά και της Ανατολής, αντίστοιχα, ενώ R = Re + h είναι η απόσταση του αεροσκάφους από το κέντρο της Γης. Στην πράξη, τα σφάλματα των γυροσκοπίων και επιταχυνσιομέτρων υποβαθμίζουν την απόδοση του αδρανειακού συστήματος με την πάροδο του χρόνου. Για το λόγο αυτό, ένας δέκτης GPS χρησιμοποιείται για την περιοδική διόρθωση των σφαλμάτων [6]. Αδρανειακό σύστημα και GPS εργάζονται συμπληρωματικά: το πρώτο υλοποιεί τη βραχυπρόθεσμη πλοήγηση του αεροσκάφους (αισθητήρας υψηλής συχνότητας), ενώ το δεύτερο πραγματοποιεί τις μεσοπρόθεσμες διορθώσεις (αισθητήρας χαμηλής συχνότητας).

Βιβλιογραφία [1] http://en.wikipedia.org/wiki/gyroscope [2] Α. Χαρτά και Γ. Κυριακάκη, Μαθήματα Φυσικής, Μέρος Πρώτο (Μηχανική 1), Έκδοση Σ.Σ.Ε., 2005. [3] S. Widnall and J. Peraire, MIT OpenCourseWare, Subject 16.07 (Dynamics), Lecture 30. [4] Α. Χαρτά, Γ. Μαριολόπουλου και Κ. Ξαπλαντέρη, Μαθήματα Φυσικής, Μέρος Δεύτερο (Ταλαντώσεις και Μαγνητισμός), Έκδοση Σ.Σ.Ε., 1987. [5] Α.Γ. Μαυραγάνη, Κινηματική και Δυναμική των Στερεών, Έκδοση Ε.Μ.Π., 1994. [6] S. Widnall and J. Peraire, MIT OpenCourseWare, Subject 16.07 (Dynamics), Lecture 31 [7] Σ.Γ. Τζαφέστα, Μαθήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Τόμος 1 (Τεχνικές Ανάλυσης και Σχεδίασης), Έκδοση Ε.Μ.Π., 1992. [8] A.D. King, Inertial navigation-forty years of evolution, GEC Review, vol. 13, no. 3, pg 140-149, 1998.