11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής

Transcript

1 11 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Έργο Ισχύς στην περιστροφική κίνηση Στροφορμή Αρχή διατήρησης στροφορμής

2 Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Εφαπτομενική δύναμη που περιστρέφει τον τροχό κατά dθ dw F ds = F R dθ = τ dθ = tan tan Όπου τ η ροπή της εφαπτομενικής δύναμης Αν η δύναμη δεν είναι εφαπτομενική; dw =τ dθ

3 Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Εφαπτομενική δύναμη dw =τ dθ Έργο ροπής αν περιστραφεί από θ 1 σε θ : θ W = τ d θ θ 1 Αν τ σταθερή: W = τθ ( θ) = τ θ 1 Η ισχύς είναι ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται έργο dw dt dθ = τ P = τω dt

4 Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Παροχή ισχύος μηχανής αυτοκινήτου είναι 00hp στις 6000στροφές/λεπτό. Ποια η ροπή της μηχανής; Πόσο το έργο της μηχανής αν ο άξονας κάνει μία στροφή; P P τω τ = = ω P = 00hp = W = 1, W π rad rad ω = 6000rpm = 6000 = s s Άρα η ροπή είναι: 5 1, W τ = τ = rad 68 s 5 37,6Nm

5 Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Παροχή ισχύος μηχανής αυτοκινήτου είναι 00hp στις 6000στροφές/λεπτό. Ποια η ροπή της μηχανής; Πόσο το έργο της μηχανής αν ο άξονας κάνει μία στροφή; τ = 37,6Nm ( )( π ) W = τ θ = 37, 6Nm rad = 149J Επαλήθευση: ω = 6000rpm = 100rps Άρα χρόνος για μια περιστροφή είναι 0,01s P = 00hp = W = 1, W W = Pt = 1, W 0,01s = 149J 5 5

6 Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Έργο ροπής αν περιστραφεί από θ 1 σε θ : θ θ θ dω ω dθ ω = τ θ = α θ γ θ = θ = ω = ω ω 1 θ1 θ1 dt ω1 dt ω1 W d I d I d I d I d 1 1 Οπότε τελικά έχω: W = Iω Iω1 Σας θυμίζει κάτι; ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΡΓΟΥ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

7 Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Το έργο είναι: W = τ θ Η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού είναι: τ 10Nm rad αγ = αγ = α 5 I γ = kgr m s 1 1 rad 5 8 θ = αγ t θ = s θ = 160 rad s Άρα το έργο είναι: W = 10Nm160rad W = 1600J

8 Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Η κινητική ενέργεια είναι: Η γωνιακή ταχύτητα τροχού είναι: και rad ω = αγ t ω = 5 8s ω = 40 rad / s s K 1 = Iω 1 rad (40 ) 1600 K = kgr m K = J s W 1600J Η μέση ισχύς είναι: Pavg = Pavg = Pavg = 00W t 8s

9 Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση Ηλεκτρικό μοτέρ καταναλώνει 9kJ ηλεκτρικής ενέργειας σε 1λεπτό. Αν το 1/3 της ενέργειας γίνεται θερμότητα και το υπόλοιπο ωφέλιμη μηχανική ενέργεια ποιά η ροπή που αναπτύσει η μηχανή αν κάνει 500στρ./λεπτό; Το έργο που παράγει το μοτέρ σε 60s είναι: 9 kj 6 kj 3 = Άρα η ισχύς του μοτέρ είναι: στις 6kJ P = = 100W 60s π ω = 500rpm = 500 rad / s = 6 rad / s 60 Οπότε η ροπή είναι: 100W τ = = 0,38N m 6 rad / s

10 Στροφορμή Ορμή : γραμμική κίνηση Στροφορμή : περιστροφική κίνηση mυ p = Προσοχή: Για σώμα που περιστρέφεται γύρω από άξονα συμμετρίας του L = Iω

11 Στροφορμή υλικού σημείου Ορισμός: L = r p = r mυ L = rmυsin( ϕ) L = mυ[ rsin( ϕ)] = mυl Μονάδες: kgr m Προσοχή: Η στροφορμή έχει οριστεί ως προς σημείο Ο!!!!!! s

12 Στροφορμή υλικού σημείου Ο ρυθμός με τον οποίο αλλάζει η ορμή σωματίου είναι ίσος με τη συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα F = dp Όμοια Ο ρυθμός με τον οποίο αλλάζει η στροφορμή σωματίου είναι ίσος με τη ροπή της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα dl dr dυ = mυ + r m = υ mυ + r ma dt dt dt dt ( ) ( ) dl dt = r F =τ

13 Στροφορμή υλικού σημείου Ποια η γωνία ανάμεσα στην ορμή υλικού σημείου και την στροφορμή του; L = r p = r mυ Είναι κάθετα μεταξύ τους

14 Στροφορμή υλικού σημείου Το Β Σωμάτιο μάζας m κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος ευθείας γραμμής που περνά από το Ρ. Τι ισχύει ως προς τη στροφορμή του σωματίου ως προς το Ρ; Α) Η στροφορμή είναι mυr Β) Η στροφορμή είναι 0 Γ) Το μέτρο της στροφορμής αλλάζει πρόσημο όταν το σωμάτιο περάσει από το Ρ Δ) Το μέτρο της στροφορμής αυξάνει όσο το σωμάτιο πλησιάζει το Ρ. υ L = r p = r mυ Ρ

15 Στροφορμή υλικού σημείου Σωμάτιο μάζας m κινείται σε οριζόντιο τραπέζι με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος ευθείας γραμμής. Εξετάστε την μεταβολή της στροφορμής του ως προς σημείο Ρ καθώς περνά ο χρόνος. L = r p = r mυ r sin( ϕ) L r p r mυ L = m υ [ r sin( ϕ )] Μένει σταθερή

16 Στροφορμή υλικού σημείου Σωμάτιο μάζας m=kgr κινείται με σταθερή ταχύτητα 4,5m/s κατά μήκος ευθείας γραμμής προς τα ανατολικά. Ποια η στροφορμή του ως προς σημείο Ρ νότια της γραμμής σε απόσταση 6m. Η ίδια ερώτηση ως προς σημείο Ρ βόρεια της γραμμής και πάλι σε 6 m απόσταση L r sin( ϕ) L = r p = r mυ L = mυ[ r sin( ϕ)] = kgr 4,5 m / s 6m = 54 kgr m / s

17 Πέτρα kgr έχει οριζόντια ταχύτητα 1m/s όταν βρίσκεται στο σημείο Ρ. Τη χρονική αυτή στιγμή α) ποια η στροφορμή της ως προς το Ο; β) Αν στη πέτρα δρα μόνο το βάρος της ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής; L = r p = r mυ άρα L = mυr sin( ϕ) = ( kgr)(1 m / s)(8 m)sin(143,1) = 115 kgr m / s Κάθετη στη σελίδα με φορά προς τα μέσα

18 mg Πέτρα kgr έχει οριζόντια ταχύτητα 1m/s όταν βρίσκεται στο σημείο Ρ. Τη χρονική αυτή στιγμή α) ποια η στροφορμή της ως προς το Ο; β) Αν στη πέτρα δρα μόνο το βάρος της ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής; τ = r F = r mg άρα τ = mgr sin(16,9) = ( kgr)(9,81 m / s )(8 m) sin(16,9) = 15 kgr m / s dl dt = τ Κάθετη στη σελίδα με φορά προς τα έξω

19 Στροφορμή στερεού σώματος Έστω στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται λεπτή φέτα του σώματος στο επίπεδο xy. Η στροφορμή για σωμάτιο μάζας m i της λεπτής φέτας είναι: i = i i i = i( i ) i = i i L mυ r m rω r m r ω Η στροφορμή ολόκληρης της λεπτής φέτας είναι: ( ) ii = i= = L L mr ω Iω

20 Στροφορμή στερεού σώματος Στο διπλανό σχήμα φαίνεται λεπτή φέτα του σώματος πάνω από το επίπεδο xy και παράλληλη σε αυτό. Η στροφορμή για κάποιο σωμάτιο μάζας m 1 της λεπτής φέτας εκτός από συνιστώσα στην κατεύθυνση του άξονα περιστροφής z έχει και συνιστώσα κάθετη στον άξονα z. Η στροφορμή ολόκληρης της λεπτής φέτας είναι πάνω στον άξονα z αν ο άξονας αυτός είναι άξονας συμμετρίας του σώματος και τότε ισχύει και πάλι L = Iω

21 Στροφορμή στερεού σώματος Επομένως για στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από άξονα συμμετρίας του η στροφορμή του έχει διεύθυνση τον άξονα περιστροφής και το μέτρο της είναι: L = Iω Η γωνιακή ταχύτητα έχει διεύθυνση πάνω στον ίδιο άξονα οπότε η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί διανυσματικά: L = Iω

22 Στροφορμή στερεού σώματος Για στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από άξονα ισχύει η γενική σχέση τ = dl dt Αν το στερεό περιστρέφεται γύρω από άξονα συμμετρίας και ο άξονας περιστροφής δεν αλλάζει κατεύθυνση L = Iω και dl dt dω = I = Iα άρα τ = Iα dt

23 α) Υπολογίστε τη στροφορμή της γης ως προς το κέντρο του ήλιου λόγω της περιφοράς της γύρω από τον ήλιο και β) τη στροφορμή της λόγω της περιστροφής της γύρω από τον εαυτό της θεωρώντας την ομογενή σφαίρα. Μάζα γης: Μ=5,97x10 4 Kg Απόσταση γης - ήλιου: r=1,5x10 11 m α) 4 11 π Lorbit = Mr ω = (5,97 10 kgr)(1,5 10 m) = 7 3, s 40 =, kgr m / s

24 α) Υπολογίστε τη στροφορμή της γης ως προς το κέντρο του ήλιου λόγω της περιφοράς της γύρω από τον ήλιο και β) τη στροφορμή της λόγω της περιστροφής της γύρω από τον εαυτό της θεωρώντας την ομογενή σφαίρα με ακτίνα R=6380km. β) 4 6 π Lspin = Iωs = MR ω (5,97 10 kgr)(6,38 10 m) 5 = = s 33 = 7, kgr m / s

25 Στροφορμή και ροπή Σχεδιάζεις μοτέρ που περιστρέφει τροχό αγγειοπλαστικής. Ένα κομμάτι του αποτελείται από ομογενή κύλινδρο μάζας 90kgr και ακτίνας 0,4m (ροπή αδράνειας 1/mr ). O κύλινδρος περιστρέφεται με τη βοήθεια ιμάντα που ασκεί σταθερή ροπή στην περιφέρειά του. Τη χρονική στιγμή t=0s, ο κύλινδρος ξεκινά από ηρεμία και για t=5s, η γωνιακή ταχύτητα είναι 500στρ/λεπτό. α) Ποια η στροφορμή του κυλίνδρου για t=5s; β) Με ποιο ρυθμό αυξάνει η στροφορμή; Γ) ποια η ροπή που ασκείται στον κύλινδρο; Δ) Ποια η τριβή στο χείλος του κυλίνδρου; 1 1 π rad m L = Iω = mr ω = 90 kgr(0, 4 m) kgr = 60 s L 377 kgr m / s = = 15,1 kgr m / s t 5s dl L τ = = = 15,1 kgr m / s dt t f τ 15,1Nm = = = 37,7N r 0, 4m s

26 Στροφορμή και ροπή Γυναίκα μάζας 50kgr στέκεται στο χείλος δίσκου που περιστρέφεται με 0,5στρ./s γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο του. Αν η μάζα του δίσκου είναι 110kgr και η ακτίνα του 4m υπολογίστε την συνολική στροφορμή του συστήματος δίσκου γυναίκας θεωρόντας τη γυναίκα ως υλικό σημείο. 1 I = I + I = m R + m R = kg m disk woman disk woman 1680 ω = 0,5 στρ / s = 3,14 rad / s m L = Iω = (1680 kgr m )(3,14 rad / s) = 580kgr s