. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα. Αν Β = 5, να βρείτε το µήκος του τµήµατος ΕΓ. 1.77 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι BΓ= 4. Η διάµεσος ΑΜ, προεκτεινόµενη, τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Ε. Να υπολογίσετε το γινόµενο AM ME. 1.78 Φέρνουµε µια χορδή ΑΒ ενός κύκλου µε κέντρο Ο και το απόστηµα ΟΜ αυτής. Μια άλλη χορδή Γ του κύκλου διέρχεται από το Μ. Να αποδειχθεί ότι: ΑΒ = 4ΜΓ Μ 1.79 Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος Σ = x. 1.80 Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το µήκος της χορδής E= x. 1.81 ίνεται κύκλος (Κ,6) και σηµείο Α, ώστε ΑΚ 14 φέρουµε τέµνουσα ΑΒΓ που τέµνει τον κύκλο κατά χορδή ΒΓ 6 = cm. Αν από το σηµείο Α = cm, να υπολογίσετε το ΑΒ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 73

1.8 Να αποδείξετε ότι η προέκταση της κοινής χορδής δύο τεµνόµενων κύκλων διχοτοµεί κάθε κοινό εξωτερικό εφαπτόµενο τµήµα τους. 1.83 Στο διπλανό σχήµα να αποδειχθεί ότι ΣA= Σ. 1.84 Θεωρούµε κύκλο (Ο,R) και τις χορδές του ΑΒ, Γ που τέµνονται στο Ρ. Αν ισχύει ΡΑ Ρ ότι =, να αποδείξετε ότι οι χορδές ΑΒ, Γ είναι ίσες. ΡΒ ΡΓ 1.85 Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ= 0, Γ = 19, ΑΟ= 6 και ΓΟ= 7. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα ση- µεία Α, Β και Γ διέρχεται επίσης από το σηµείο. 1.86 Στο διπλανό σχήµα είναι ΟΑ= ΟΕ. Να αποδειχθεί ότι: ΑΒ= 3ΒΟ. 1.87 ύο χορδές ΑΒ και Γ ενός κύκλου τέµνονται σε µέρη ανάλογα. Να αποδειχθεί ότι οι χορδές αυτές είναι ίσες. 1.88 Να αποδειχθεί ότι στο διπλανό σχήµα τα σηµεία, Ε, Ζ και Η είναι οµοκυκλικά (ανήκουν στον ίδιο κύκλο). 74

1.89 Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ= ΑΓ) είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Η ευθεία του ύψους Α τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. Αν ΑΒ= ΑΓ= 10 και ΒΓ= 1, να βρείτε: α) το µήκος του τµήµατος Ε, β) την ακτίνα R του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. 1.90 Στο διπλανό σχήµα είναι ΣΑ= 77, Σ = 33 και ΑΒ= 74. Να υπολογίσετε: α) το τµήµα ΣΓ, β) τη γωνία ˆΣ. 1.91 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε β + γ = α. Η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµ- µένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο. Να αποδειχθεί ότι: α 3 α 3 α) ΑΜ=, β) Μ =. 6 1.9 Τα ύψη Α, ΒΕ και ΓΖ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέµνονται στο σηµείο Η. Η προέκταση του Α τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι: α) HA H = ΗΒ ΗΕ= ΗΓ ΗΖ, β) ΑΖ ΑΒ= ΑΓ ΑΕ, γ) ΑΕ ΑΓ= ΑΗ Α, δ) Η = Η, ε) Β Γ= Η Α. 1.93 Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε ΑΒ= ΑΓ. Η Β είναι διχοτόµος της γωνίας ˆΒ. Να αποδειχθεί ότι: α) Α ΒΓ= Γ ΒΑ, β) Α = ΓΕ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 75

1.94 Έστω ΑΒ µια διάµετρος και ΑΓ µια χορδή ενός κύκλου. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουµε σηµείο τέτοιο, ώστε Α = ΑΒ. Αν το Ε είναι εφαπτόµενο τµήµα, να αποδειχθεί ότι: =, β) τα τµήµατα Β και Ε είναι ασύµµετρα. α) Β Ε R 1.95 ύο κύκλοι (Κ,R) και Λ, εφάπτονται εσωτερικά στο σηµείο Α. Από ένα ση- µείο Μ του µικρού κύκλου φέρνουµε µια χορδή Γ του µεγάλου. Να αποδειχθεί ότι: MΓ Μ = ΜΑ 1.96 Με τη βοήθεια του διπλανού σχήµατος να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Γ,, Ε και Ζ είναι οµοκυκλικά. 1.97 ίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ο (Αˆ = 90 ) και ο περιγεγραµµένος του κύκλος (Ο, R). Μια µεταβλητή ευθεία (ε) διέρχεται από το Γ και τέµνει το ύψος Α στο σηµείο Μ και τον κύκλο στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι ΓΜ ΓΗ= ΓΑ. 1.98 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ο κύκλος, που διέρχεται από το Α και τα µέσα Μ, Ν των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, εφάπτεται της ΒΓ στο, να αποδείξετε ότι: A = Β Γ 1.99 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραµµένος του κύκλος (O,R). Αν η διχοτόµος Α τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε και ισχύει Α = Β Γ να αποδειχθεί ότι: α) Α = Ε, β) τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΕΓ είναι όµοια, =. γ) ΑΕ ΕΓ 76

1.100 Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Μια ευθεία παράλληλη προς την πλευρά Γ τέµνει τις Β και ΑΓ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να α- ποδειχθεί ότι τα σηµεία Α, Β, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά. 1.101 Από ένα εξωτερικό σηµείο Σ ενός κύκλου φέρνουµε την τέµνουσα ΣΒΑ και το εφαπτόµενο τµήµα ΣΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας ˆΣ τέµνει την ΑΓ στο σηµείο, Α ΣΓ να αποδειχθεί ότι =. Γ ΣΒ 1.10 ίνεται κύκλος (Ο,R) και ένα σηµείο του Α. Έστω Β σηµείο της εφαπτοµένης (ε) του κύκλου στο σηµείο Α. Η παράλληλη από το σηµείο Β προς την ακτίνα ΟΑ τέ- µνει τον κύκλο πρώτα στο Γ και µετά στο. Να αποδειχθεί ότι: ΑΓ = ΒΓ + ΒΓ Γ 1.103 ίνεται η διάµετρος ΑΒ ενός κύκλου (O,R) και ένα τυχαίο σηµείο Ε της ΟΑ. Μια ο ο χορδή Γ διέρχεται από το Ε και σχηµατίζει µε την ΑΒ γωνία 45 ( ΕΒ ˆ = 45 ). Αν Ζ είναι το µέσο της Γ, να αποδειχθεί ότι: ΕΑ ΕΒ+ ΟΖ = R 1.104 Ένα τετράγωνο ΑΒΓ πλευράς α είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Αν Ε είναι το µέσο της Α και η ΒΕ προεκτεινόµενη τέµνει τον κύκλο στο Ζ, να α- ποδείξετε ότι: α 5 α) ΒΕ=, β) ΒΕ= 5ΕΖ. 1.105 Από σηµείο Α εκτός κύκλου (Ο,R) φέρουµε τέµνουσα ΑΒΓ και εφαπτόµενο τµήµα Α. Αν η διχοτόµος της γωνίας ˆΑ τέµνει τις Β, Γ στα Ε και Ζ α- ντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: ΕΒ ΖΓ= Ε Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 77

1.106 Αν η διάµεσος ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο Ε, να αποδείξετε ότι: ΒΓ α) ΑΜ ΜΕ=, β) ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ ΑΕ. 4 1.107 ίνεται κύκλος (Ο,R) και ευθεία (ε) που δεν τέµνει τον κύκλο. Από µεταβλητό σηµείο Μ της (ε) φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ, ΜΒ. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σηµείο. 1.108 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ο (Aˆ = 90 ), εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R) και το ύψος του Α. Αν µεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Γ τέµνει το ύψος Α στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι: α) ΓΜ ΓΗ= ΓΑ, β) ο περιγεγραµµένος κύκλος του AMH εφάπτεται µε την ΑΓ. 1.109 Αν η διχοτόµος Α, τριγώνου ΑΒΓ, τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο Ε και είναι Α = Β Γ, να αποδείξετε ότι ΑΕ = ΕΓ. 1.110 Από ένα εξωτερικό σηµείο Σ ενός κύκλου φέρνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΣΑ και ΣΒ. Η παράλληλη από το Α προς τη ΣΒ τέµνει τον κύκλο στο Γ. Έστω το σηµείο, στο οποίο η ΣΓ τέµνει τον κύκλο. Αν η Α τέµνει τη ΣΒ στο σηµείο Ε, να αποδειχθεί ότι: α) τα τρίγωνα ΣΕ και ΑΣΕ είναι όµοια, β) EΣ= EB. 1.111 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο ση- µείο. Αν Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και α = β + γ, τότε: α) να υπολογίσετε, συναρτήσει της πλευράς α, τα τµήµατα ΜΘ και Μ, β) να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΒΘΓ είναι παραλληλόγραµµο. 78

1.11 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του Α. Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ αποδειχθεί ότι ΒΑ ΑΓ. = και Γ = ΑΒ, να 1.113 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση: α + β β + γ γ + α + + 1R µ µ µ γ α β όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου. 1.114 ίνεται ρόµβος ΑΒΓ. Μια ευθεία που διέρχεται από την κορυφή Α τέµνει τη διαγώνιο Β στο σηµείο Ε, την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ και την προέκταση της Γ στο σηµείο Η. Να αποδειχθεί ότι: α) τα τρίγωνα ΕΓΖ και ΕΓΗ είναι όµοια, β) EΓ = ΕΖ ΕΗ, γ) ο κύκλος που διέρχεται από τα σηµεία Γ, Ζ και Η εφάπτεται στην ευθεία ΕΓ. 1.115 ίνονται δύο χορδές ΑΒ και Γ ενός κύκλου C που τέµνονται στο Σ, ώστε ΣΑ< ΣΒ. Έστω Ε το συµµετρικό του Α ως προς το Σ. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΕΒ τέµνει τη Γ στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι: ΣΓ= ΣΖ 1.116 Ένας κύκλος που είναι εγγεγραµµένος σε τετράγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ= 10, εφάπτεται µε την πλευρά ΑΒ στο σηµείο Μ. Οι Μ, ΜΓ τέµνουν τον κύκλο αυτό στα Ε και Ζ. Να υπολογίσετε το µήκος x του ΕΖ. 1.117 ίνεται κύκλος (Ο,R) και µια διάµετρός του ΑΒ. Στην προέκταση της διαµέτρου ΑΒ προς το µέρος του Β παίρνουµε τυχαίο σηµείο Γ και φέρνουµε την εφαπτο- µένη Γ. Η κάθετη πάνω στην ΑΓ, στο σηµείο Γ, τέµνει την προέκταση της Α στο σηµείο Ε. Να αποδειχθεί ότι: ΓΑ = Γ + Α ΑΕ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 79

1.118 ίνεται κύκλος (Ο,R) και τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ. Φέρνουµε την ΟΓ ε, όπου (ε) µια τυχαία ευθεία που διέρχεται από το Μ και δεν τέµνει τον κύκλο. Να αποδειχθεί ότι: α) τα σηµεία Μ, Α, Ο, Β και Γ είναι οµοκυκλικά, β) ΟΝ ΟΓ= R, όπου Ν το κοινό σηµείο των ΟΓ, ΑΒ. 1.119 Στην προέκταση της διαµέτρου ΑΒ, προς το σηµείο Β, ενός κύκλου µε κέντρο Ο παίρνουµε ένα σηµείο. Από το φέρνουµε την εφαπτοµένη Γ του κύκλου. Αν A = Γ, να αποδείξετε ότι: ΑΒ= 3Β 1.10 ίνεται κύκλος (Ο,R), µια διάµετρος ΑΒ και ένα σηµείο του Γ. Έστω Γ ΑΒ. Ο κύκλος (Γ,Γ ) τέµνει τον κύκλο (Ο,R) στα σηµεία Μ και Ν. Να αποδειχθεί ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΜΝ διχοτοµεί το τµήµα Γ. 1.11 Ένα σκαληνό οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο,R). Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα σηµεία Β και Γ τέµνονται στο. Αν η ευθεία Α τέµνει τον κύκλο στο Ε και Μ είναι το µέσο του ΒΓ, να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Α, Ο, Μ, Ε είναι οµοκυκλικά. 1.1 ύο χορδές ΑΓ και Β ενός ηµικυκλίου ΑΟΒ µε κέντρο Ο, τέµνονται στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: ΑΒ = ΑΕ ΑΓ+ ΒΕ Β 1.13 ίνεται κύκλος ακτίνας R= 10 και µια χορδή ΑΒ. Προς το εξωτερικό του κύκλου κατασκευάζουµε τετράγωνο ΑΒΓ και από την κορυφή φέρνουµε την εφαπτοµένη Ε. Αν E = Α, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου. 1.14 Έστω τυχαίο σηµείο της πλευράς ΒΓ ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Α Β και Α Γ τέµνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι: BΓ= ΒΖ+ ΖΕ 80

1.15 Η διάµεσος ΒΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: ΒΑ + ΒΓ + ΕΑ + ΕΓ = ΒΕ 1.16 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, µε β + γ = α. Αν η διάµεσος ΑΜ τέµνει τον περιγεγραµµένο κύκλο στο, να αποδείξετε ότι α 3 Μ =. 6 3 1.17 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι µ γ = β. Αν Μ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΜ εφάπτεται της ΒΓ στο Β. 1.18 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε µ β µ γ. Να αποδείξετε ότι: α) β + γ = 5α, β) αν Α ύψος και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΗ Α = α. 1.19 Στο διπλανό σχήµα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, µε ΑΒ= ΑΓ= 6. Αν Α = 4 και ΓΕ= 3, να αποδείξετε ότι: α) ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΒΕ εφάπτεται της ΑΒ, β) η ΒΓ είναι διχοτόµος της γωνίας ˆ ΒΕ. 1.130 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ, µε α= 3, β= και γ= 4 είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Στο Α φέρνουµε την εφαπτοµένη του κύκλου που τέµνει την προέκταση της ΒΓ στο. α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓ είναι όµοια. γ) Να εκφράσετε το µήκος του Α ως συνάρτηση του µήκους x του Γ. δ) Να υπολογίσετε τα τµήµατα Γ και Α. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 81

Ασκήσεις για Ολυµπιάδες 1.131 Σε κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓ Ε οι διαγώνιοι Β και ΓΕ τέµνονται στο σηµείο Ο. Να αποδείξετε ότι η ΓΒ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΒΟΕ. 1.13 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και οι κύκλοι (Γ 1), (Γ ) µε διαµέτρους ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Το ύψος από το Β του ΑΒΓ, τέµνει τον (Γ ) στα σηµεία Ε και Ζ, ενώ το ύψος από το Γ του ΑΒΓ, τέµνει τον (Γ 1) στα Η και Θ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Η, Θ είναι οµοκυκλικά. (Αυστρία 005) 1.133 ίνεται κύκλος µε κέντρο Ο, µια ακτίνα του ΟΑ, ένα σηµείο αυτής και µια χορδή ΒΓ κάθετη προς την ΟΑ, η οποία διέρχεται από το. Έστω Μ Ν µια τυχαία χορδή του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο. Η εφαπτοµένη του κύκλου στο Β τέµνει την ευθεία ΟΑ στο σηµείο Ρ. Να αποδείξετε ότι η ΜΑ διχοτοµεί τη γωνία ΜΡ ˆ. 1.134 ίνεται κύκλος (Ο,R), µια ακτίνα του ΟΑ, το µέσο Σ της ΟΑ και µια χορδή ΒΓ η οποία διέρχεται από το Σ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Β και Γ τέ- µνονται στο. Αν Ε είναι η προβολή του πάνω στην ευθεία ΟΑ, να αποδείξετε ότι: α) ΑΟ= ΑΕ, β) καθώς η χορδή ΒΓ στρέφεται περί το Σ, το σηµείο κινείται σε µια σταθερή ευθεία. 1.135 Από σηµείο Α εκτός κύκλου φέρνουµε τις τέµνουσες ΑΒΓ και Α Ε. Η παράλληλη από το Α προς τη ΒΕ τέµνει την ευθεία Γ στο Ζ. Από το Ζ φέρνουµε την εφαπτοµένη ΖΗ προς τον κύκλο. Να αποδείξετε ότι ZA = ZH. 8

1.136 ίνεται ηµικύκλιο C 1 διαµέτρου ΑΒ και ένα σηµείο του τόξου ΑΒ. Φέρνουµε Γ ΑΒ. Στην ηµιευθεία Γ παίρνουµε τµήµα ΓΕ> Γ. Η ΑΕ τέµνει το C 1 στο σηµείο Ζ. Ένα ηµικύκλιο C µε διάµετρο το ΑΕ τέµνει το C 1 στο σηµείο Η και τη ΒΖ στο σηµείο Θ. Να αποδείξετε ότι A = ΑΘ. o 1.137 ίνεται γωνία xoy ˆ < 90 και δύο ηµιευθείες Ox 1 και Oy 1 στο εσωτερικό της, ώστε xox ˆ ˆ 1 = yoy1 και οι γωνίες αυτές να µην έχουν κοινά εσωτερικά ση- µεία. Από ένα σηµείο Α της Ox 1 φέρνουµε AΓ Ox και A Oy. Από ένα σηµείο Β της Oy 1, φέρνουµε BE Ox και BZ Oy. Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΟΓ και ΟΕΖ είναι όµοια, β) τα σηµεία Ε, Γ, Ζ, είναι κορυφές τετραπλεύρου εγγράψιµου σε κύκλο. 1.138 ίνεται ηµικύκλιο C διαµέτρου ΑΒ και κέντρου Ο. Έστω Γ τυχαίο σηµείο του ηµικυκλίου, διάφορο των Α, Β, και Μ το µέσο του τόξου ΑΓ. Η εφαπτοµένη του C στο Μ τέµνει την ευθεία ΒΓ στο. Η ευθεία Α τέµνει το C στο Ε και η ΒΕ τέµνει το Μ στο Η. Να αποδείξετε ότι ΗΜ = Η. 1.139 ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο και το σηµείο τοµής Ε των απέναντι πλευρών ΒΑ και Γ. Η παράλληλη από το Ε προς την ΑΓ τέµνει την ευθεία Β στο σηµείο Ζ. Αν ΖΗ είναι εφαπτόµενο τµήµα από το Ζ προς τον κύκλο, να αποδείξετε ότι ΖΕ = ΖΗ. 1.140 ύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ), µε R> ρ, τέµνονται στα Α και Β. Οι κοινές εφαπτοµένες Γ και ΕΖ τέµνονται στο Η. (Τα Γ και Ε είναι σηµεία του κύκλου (Κ, R)). Η ευθεία ΗΑ τέµνει τον κύκλο Κ στο Θ και η ΓΕ τέµνει την ΚΛ στο Ι. Να αποδείξετε ότι KΘΙ ˆ = ΚΑΙ ˆ. 1.141 ίνεται ένας κύκλος και δύο σηµεία του Α και Β όχι αντιδιαµετρικά. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Α και Β τέµνονται στο Γ. Η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέµνει τον κύκλο στο. Η Γ τέµνει τον κύκλο στο Ε και η ΑΕ τέµνει τη ΒΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι ΖΒ= ΖΓ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 83

1.14 Από ένα εξωτερικό σηµείο Α ενός κύκλου C 1 φέρνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΑΒ και ΑΓ. Έστω το συµµετρικό του Α ως προς το Β. Ένας κύκλος C που εφάπτεται της ΑΒ στο Α, διέρχεται από το Γ και τέµνει τον C 1 στο Ε. Η ΑΕ τέµνει τον C 1 στο Ζ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΖ είναι εγγράψιµο. (GM) 1.143 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος Α και τα µέσα Μ, Ν των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων ΜΒ, ΓΝ ξανατέµνονται στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία Ε διέρχεται από το µέσο του ΜΝ. 1.144 Εξωτερικά των πλευρών ΑΓ, ΒΓ ενός οξυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούµε τα ηµικύκλια C 1, C µε διαµέτρους ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Φέρνουµε τα ύψη Α, ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ. Αν οι ευθείες Α, ΒΕ τέµνουν τα ηµικύκλια στα ση- µεία Ν και Μ, να αποδείξετε ότι ΓΜ = ΓΝ. (Βρετανία 005) 1.145 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα µέσα Μ, Ν των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα και σηµείο της πλευράς ΒΓ. Αν ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΜΝ διέρχεται από τα βαρύκεντρα Κ, Λ των τριγώνων Α Β, Α Γ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Μ= Ν, β) οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Α Β, Α Γ διέρχονται αντίστοιχα από τα Λ και Κ. 1.146 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε το ύψος Α, Ε ΑΒ και Ζ ΑΓ. Αν Ο είναι το περίκεντρο του ΑΒΓ και Α = R, όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου του ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ε, Ο, Ζ είναι συνευθειακά. (Βοσνία, tst 008) 84

1.147 Έστω Ρ, Μ, Ν τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ αντίστοιχα και Θ το βαρύκεντρο του ABΓ. Αν το τετράπλευρο ΡΘΜΒ είναι εγγράψιµο και 3 µ β = γ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (5 η Ολυµπιάδα Αλβανία) 1.148 ίνεται κύκλος (C) και σηµείο Α αυτού. ύο ευθείες διέρχονται από το Α και τέµνουν τον (C) στα σηµεία Β και Γ. Μια ευθεία παράλληλη προς τη ΒΓ τέ- µνει τις ηµιευθείες ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία, Ε αντίστοιχα και εφάπτεται του (C) στο Ρ. Τα τµήµατα Γ και ΕΒ τέµνουν τον (C) στα Ζ, Η αντίστοιχα. Οι ευθείες ΑΖ, ΑΗ τέµνουν τη Ε στα Κ, Λ. Να αποδείξετε ότι η ΑΡ διχοτοµεί τη γωνία ΑΕ ˆ. 1.149 ίνεται κύκλος (Ο,R) και σηµείο Α στο εσωτερικό του. Μια µεταβλητή ευθεία από το Α τέµνει τον κύκλο στα Κ, Λ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Κ, Λ τέ- µνονται στο Ν. Να αποδείξετε ότι καθώς η χορδή ΚΛ µεταβάλλεται διερχόµενη από το Α, το Ν κινείται σε µια ευθεία. 1.150 ίνονται δύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) που δεν έχουν κοινά σηµεία. Έστω ΚΑ, ΛΒ εφαπτόµενα τµήµατα προς τους δύο κύκλους. Η ευθεία ΑΒ τέµνει τους κύκλους (Κ), (Λ) στα σηµεία Γ και. Να αποδείξετε ότι ΒΓ= Α. 1.151 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του Β, ΓΕ και το ορθόκεντρο Η του ΑΒΓ. Η ευθεία Ε τέµνει την ευθεία ΓΒ στο Κ. Αν ΗΘ ΑΚ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΘΗ διέρχεται από το µέσο του ΒΓ. 1.15 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Με διάµετρο ΒΓ γράφουµε ηµικύκλιο που τέ- µνει την ΑΓ στο Ε. Το ύψος Α του τριγώνου ΑΒΓ τέµνει το ηµικύκλιο στο Κ. Στο τµήµα ΒΕ παίρνουµε σηµείο Ν, ώστε ΓΝ= ΓΚ. Να αποδείξετε ότι: α) το τµήµα ΓΝ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου Β Ν, ο β) ΑΝΓ ˆ = 90. (Κίνα 007) ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 85

1.153 ύο κύκλοι (C 1,ρ), (C,R), µε ρ< R, εφάπτονται εξωτερικά. Μια ευθεία (ε 1) εφάπτεται µε τον C 1 στο Α και τον C στο Β. Μια ευθεία ε // ε 1 εφάπτεται στον C 1 και τέµνει τον C στα Γ και. Μια ευθεία διέρχεται από το Β και τέ- µνει τη Γ στο Ε και τον κύκλο C στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε 1) εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΑΕΖ. (Ρουµανία, tst 003) 1.154 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σηµείο στην πλευρά ΒΓ τέτοιο, ώστε ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α Β να περνάει από το βαρύκεντρο Λ του τριγώνου Α Γ και συγχρόνως ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Α Γ να περνάει από το βαρύκεντρο Κ του τριγώνου Α Β. Να αποδείξετε ότι οι διάµεσοι Μ, Ν των τριγώνων Α Β, Α Γ που άγονται από το είναι ίσες. (Κροατία 008) 1.155 ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Ο κύκλος µε διάµετρο ΑΓ τέµνει τη Β στα Ε και Ζ. Η κάθετη προς την ΑΓ στο σηµείο Γ τέµνει τις ευθείες ΑΒ και Α στα σηµεία Κ και Λ. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Κ, Λ είναι οµοκυκλικά. (Baltic way 008) 1.156 Στο διπλανό σχήµα οι δύο µικροί κύκλοι είναι τυχαίοι και εφάπτονται του ΑΒ καθώς και του τόξου ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) οι ευθείες Γ, ΖΕ τέµνονται επί του κύκλου, β) τα σηµεία Γ,, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά. 1.157 ίνεται κύκλος C, µια χορδή Κ αυτού και ένα σηµείο Α στην προέκταση του Κ, ώστε ΚΑ= Κ. Η εφαπτοµένη του C στο τέµνει τις εφαπτοµένες του C που άγονται από το Α στα σηµεία Β και Γ. Αν ο C εφάπτεται µε την πλευρά ΑΓ στο Ε και η ΓΚ τέµνει τον κύκλο C ξανά στο Ζ, να αποδειχθεί ότι ΕΖ // Α. 86

1.158 ίνεται κύκλος (C) και µια χορδή του ΑΒ. ύο κύκλοι που εφάπτονται µεταξύ τους εξωτερικά, εφάπτονται επίσης της ΑΒ στα Γ, και του κύκλου (C) στα Ε, Ζ. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Γ,, Ε, Ζ είναι οµοκυκλικά. 1.159 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο στην πλευρά ΒΓ. Ο κύκλος που διέρχεται από το Α και εφάπτεται της ΒΓ στο τέµνει την πλευρά ΑΒ στο Ν και την ΑΓ στο Μ. Η ΒΜ ξανατέµνει τον κύκλο στο Ρ και η ΓΝ τον ξανατέµνει στο Κ. Αν η ευθεία ΑΡ διχοτοµεί το τµήµα Β, να αποδείξετε ότι η ΑΚ διχοτοµεί το τµήµα Γ. 1.160 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο C. Ένας κύκλος Ω εφάπτεται της πλευράς ΒΓ στο Γ και της πλευράς ΑΒ στο σηµείο. Αν Ζ ΑΓ, να αποδειχθεί ότι ΑΕΖ ˆ = ΒΑΓ ˆ. (Crux, problem 18) 1.161 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος Α, το µέσο Μ της ΑΒ και το µέσο Ν της ΑΓ. Οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Β Ν και Γ Μ ξανατέµνονται στο Ρ. Να αποδείξετε ότι η Ρ διέρχεται από το µέσο του τµήµατος ΜΝ. (All Russian 007) 1.16 ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ). Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Α, εφάπτεται της ΒΓ στο Ε. Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Β, Γ εφάπτεται της Α στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι: α) τα τετράπλευρα ΑΒΕΖ και Γ ΖΕ είναι εγγράψιµα, β) Ε // ΖΒ και ΓΖ // ΕΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 87

1.163 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο Κ στην πλευρά ΑΒ τέτοιο, ώστε ΒΚ= ΒΓ. Ένας κύκλος C έχει το κέντρο του Ο στην πλευρά ΑΓ και εφάπτεται της ΑΒ στο Κ. Από το Γ φέρουµε το εφαπτόµενο τµήµα ΓΕ προς τον C έτσι, ώστε το Ε να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι το ύψος ΒΗ του τριγώνου ΑΒΓ διχοτοµεί το τµήµα ΓΕ. 1.164 ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ). Ένας κύκλος που διέρχεται από τα Α, εφάπτεται της ΒΓ στο Ε. Ένας άλλος κύκλος που διέρχεται από τα Β, Γ εφάπτεται της Α στο Ζ. Να αποδείξετε ότι η κοινή χορδή ΚΛ των δύο αυτών κύκλων διχοτοµεί το τµήµα ΕΖ. 1.165 ύο κύκλοι τέµνονται στα σηµεία Α και Β, ενώ µια ευθεία που διέρχεται από το Α τους τέµνει στα Γ και. Έστω Ε, Ζ δύο σηµεία των δύο κύκλων. Αν η ΕΑ τέµνει τη ΓΒ στο Ν, η ΖΑ τέµνει την Β στο Μ, Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΒΓ και τα σηµεία Μ, Ε, Ζ, Ν είναι οµοκυκλικά, να αποδείξετε ότι: ΟΑ ΜΝ 1.166 Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Οι ευθείες ΓΒ, Α τέ- µνονται στο Ρ και οι ΒΑ, Γ τέµνονται στο Σ. Σχηµατίζουµε το παραλληλόγραµµο ΑΒΓΕ. Αν η ευθεία ΓΕ τέµνει την ευθεία ΡΣ στο Ζ, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ζ, Σ,, Ε είναι οµοκυκλικά. (Ρουµανία 008) 1.167 Ένα τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Οι ευθείες AD, BC τέµνονται στο Ρ και οι DC, AB τέµνονται στο Q. Σχηµατίζουµε το παραλληλό- 88

γραµµο ABCE. Η CE τέµνει την PQ στο F. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία D, E, F, Q είναι οµοκυκλικά. 1.168 ίνεται κύκλος C, µια διάµετρος ΑΒ και µια χορδή Γ ΑΒ, µε ΓΑΒ ˆ < ΓΒΑ ˆ. Η εφαπτοµένη του C στο Γ τέµνει την ΑΒ στο Ε. Αν ΓΚ Α, Μ είναι το µέσο του ΓΚ και η ΑΜ τέµνει τον C στο Σ, να αποδείξετε ότι η ΑΒ εφάπτεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΓΣΕ. ο = και ˆΒ = 90. Αν ΒΗ ΑΓ και Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΟΑ Η. 1.169 Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ΑΒ Α 1.170 Οι διαγώνιες ΑΓ και Β ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ τέµνονται στο σηµείο Μ. Η διχοτόµος της γωνίας ΑΓ ˆ τέµνει την ευθεία ΒΑ στο σηµείο Κ. Αν: να αποδείξετε ότι ΜΑ ΜΓ+ ΜΑ Γ = ΜΒ Μ ΒΚΓ ˆ = Γ Β ˆ. 1.171 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του Α, ΒΕ, ΓΖ και η διάµεσος ΑΜ. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΕΖ τέµνει την ΑΜ ξανά στο Θ. Η ΑΜ τέµνει τη ΓΖ στο Κ και η Α τέµνει τη ΒΘ στο Ν. Να αποδείξετε ότι ΚΝ // ΒΓ. 1.17 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε έγκεντρο Ι. Η ευθεία ΑΙ τέµνει τη ΒΓ στο και τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ στο Ε. Έστω Μ το µέσο του τόξου ΑΒΕ. Αν η ΜΙ τέµνει τον κύκλο (Α, Β, Γ) στο Ρ, η Ρ τέµνει τον (Α, Β, Γ) στο Ζ και η ευθεία ΜΖ τέµνει την Α στο Ν, να αποδείξετε ότι: α) τα σηµεία Β, Ι, Γ, Ν είναι οµοκυκλικά, β) το Ν είναι το παράκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΒΓ. 1.173 Σε ένα εγγράψιµο τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ΒΓ= Γ. Οι διαγώνιες ΑΓ και Β τέµνονται στο Ε. Αν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα έγκεντρα των τριγώνων ΑΒΕ, Α Ε, ΑΒΓ, Α Γ αντίστοιχα και τα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν είναι οµοκυκλικά, να αποδείξετε ότι ΑΒ= Α. (Hong Kong 005, tst) ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 89

1.174 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη Β και ΓΕ, καθώς και τα ηµικύκλια C 1, C µε διαµέτρους ΑΒ, ΑΓ που ξανατέµνονται στο εσωτερικό της γωνίας Â. Αν τα τµήµατα Β, ΓΕ τέµνουν τα ηµικύκλια C, C 1 στα σηµεία Ζ και Η, να α- ποδείξετε ότι AZ= AH. 1.175 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ορθόκεντρο Η και οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΗΒ, ΑΗΓ που τέµνουν την ευθεία ΒΓ στα σηµεία Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ. 1.176 ύο κύκλοι C 1 και C τέµνονται στα σηµεία Μ και Ν. Έστω ΑΒ η κοινή εφαπτοµένη των C 1, C που βρίσκονται πιο κοντά στο Μ (το Α ανήκει στον C 1). Η παράλληλη από το Μ προς την ΑΒ τέµνει τους C 1, C στα Γ, αντίστοιχα. Οι ευθείες ΓΑ, Β τέµνονται στο Ε, ενώ οι ΑΝ, ΒΝ τέµνουν τη Γ στα Ρ και Σ. Να αποδείξετε ότι EP= ΕΣ. (ΙΜΟ 000) 1.177 ύο άνισοι κύκλοι µε κέντρα Κ, Λ τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Μια κοινή εφαπτοµένη Γ των δύο κύκλων (το Γ στον (Κ) και το στον (Λ)) τέµνει τη διακεντρική ευθεία ΚΛ στο Σ. Αν Μ, Ν είναι οι προβολές των Γ, αντίστοιχα πάνω στην ΚΣ, να αποδειχθεί ότι ΚΑΜ ˆ = ΛΑΝ ˆ. (ΙΜΟ 1983) 1.178 Έστω Ι το έγκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ. Μια ευθεία που διέρχεται από το Ι τέµνει τον εγγεγραµµένο κύκλο στα σηµεία, Ε και τον περιγεγραµµένο κύκλο του ΑΒΓ στα Ζ, Θ ώστε το να είναι ανάµεσα στα Ι και Ζ. Να αποδειχθεί ότι: Ζ ΕΘ ρ όπου ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. ( η ΒΜΟ 1986) 1.179 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω C 1 ο κύκλος που διέρχεται από τα Α, Β και εφάπτεται µε την ΑΓ στο Α και C ο κύκλος που διέρχεται από τα Α, Γ και εφάπτεται µε την ΑΒ στο Α. Οι κύκλοι C 1, C τέµνονται στο Ζ. Αν Μ είναι το µέσο του ΒΓ, να αποδειχθεί ότι BAZ ˆ = MAΓ ˆ. 90

1.180 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ορθόκεντρο Η και περίκεντρο Ο. Στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ παίρνουµε αντίστοιχα τα σηµεία Μ, Ν ώστε το ΑΜΗΝ να είναι παραλληλόγραµµο. Να αποδειχθεί ότι ΟΜ= ΟΝ. ο 1.181 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τη διχοτόµο Α. Αν Α Β 45 Α = Β Γ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ˆ = και ισχύει ότι 1.18 ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η. Αν Ρ είναι η προβολή του Η πάνω στη διάµεσο ΑΜ του ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι το Ρ βρίσκεται στον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ΗΒΓ. 1.183 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η. Ο κύκλος µε κέντρο Κ το µέσο του ΑΒ που διέρχεται από το Η τέµνει την ΑΒ στα Ε και Ζ. Ο κύκλος που διέρχεται από το µέσο Λ του ΑΓ και διέρχεται από το Η τέµνει την ΑΓ στα σηµεία Θ και Ι, ενώ ο κύκλος µε κέντρο το µέσο της ΒΓ που διέρχεται από το Η την τέµνει στα Μ και Ν. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Θ, Ι, Μ, Ν είναι οµοκυκλικά. (ΙΜΟ 008) 1.184 ύο χορδές ΑΒ και Γ ενός κύκλου (Ο) τέµνονται στο σηµείο Ρ. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Α, Β τέµνονται στο Ε, ενώ οι εφαπτοµένες στα σηµεία Γ, τέ- µνονται στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι ΟΡ ΕΖ. (Singapore Olympiad) 1.185 ύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΡΣΤ είναι τοποθετηµένα µε τέτοιο τρόπο, ώστε το Ρ να είναι µέσο του ΒΓ, το Α να είναι µέσο του ΤΣ, η ΤΣ να διχοτοµεί τη γωνία ΒΑΓ και η ΒΓ να διχοτοµεί τη γωνία ΤΡΣ. Να αποδειχθεί ότι: α) τα σηµεία Τ, Β, Γ, Σ είναι οµοκυκλικά, β) ΑΒ+ ΑΓ= ΡΤ+ ΡΣ. (Ιαπωνία 001) ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 91

1.186 ίνεται κύκλος C και δύο σηµεία του Α, Β. Οι εφαπτοµένες του C στα Α, Β τέ- µνονται στο Ρ. Έστω Γ, δύο σηµεία του κύκλου ώστε Β ΓΑ και τα Ρ,, Γ να είναι συνευθειακά. Η Β τέµνει την ΓΑ στο Ζ. Αν οι ΑΒ, ΡΓ τέµνονται στο Θ και η µεσοκάθετος της PΘ τέµνει τη Β στο Η, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ρ, Η, Θ, Ζ είναι οµοκυκλικά. (Ιαπωνία 005) 1.187 Ένας κύκλος k 1 βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου k. Το σηµείο Ρ βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου k 1 και το σηµείο Q βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου k. Φέρουµε µια µεταβλητή ευθεία e από το Ρ που δεν περνάει από το Q. Έστω ότι η e τέµνει τον k 1 στα Α και Β. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ABQ τέµνει τον k στα C και D. Να αποδείξετε ότι όλα τα τµήµατα CD που προκύπτουν µε αυτόν τον τρόπο, καθώς η ευθεία e µεταβάλλεται δηλαδή γύρω από το Ρ, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. (Kömal competition 003) 9