ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ"

Ἠώς Μαυρογένης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί ότι: i) ΓΕ+ΑΓ ii) +ΑΓ Μ iii) Β Μ. Σε τρίγωνο Γ φέρουµε την εσωτερική διχοτόµο Α κι την εξωτερική Α x της γωνίς A. Φέρουµε κι τις BE A κι ) το τετράπλευρο ΑΕΒΖ ορθογώνιο β) η ΖΕ είνι πράλληλη στη ΑΓ γ) η ΖΕ διέρχετι πό το µέσον Μ της ΒΓ δ) +ΑΓ ΖΜ BΖ Α x. Ν ποδείξετε ότι: 3. Σε έν τρίγωνο Γ είνι Β Γ ɵ κι γ. ) Ν ποδειχθεί ότι το Γ ορθογώνιο β) Ν βρεθούν οι γωνίες Β κι Γ. 4. ίνετι τρίγωνο Γ µε Α 0 ο κι οι διχοτόµοι Α, ΒΖ τέµνοντι στο Ι. Αν ΓΙ τέµνει τη Ζ στο Ε, ν ποδειχθεί ότι A 30 ο Ε (υποδ. πράκεντρ). 5. Στο εξωτερικό ενός τριγώνου Γ θεωρούµε τ τετράγων Ε κι ΑΓΖΗ. Αν Μ είνι το µέσο του Ζ, ν ποδειχθεί ότι το ΜΒΓ είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές. (Υποδ.: Ν θεωρήσετε σηµείο Σ το συµµετρικό του Β ως προς το Μ). 6. ίνετι πεντάγωνο Γ Ε κι τ µέσ Κ κι Λ των κι Γ κι τ µέσ Μ κι Ν των ΒΓ κι Ε ντίστοιχ. Αν Ζ είνι το µέσο του ΚΛ κι Η το µέσο του ΜΝ ν δείξετε ότι: i) ΖΗ ΑΕ ii) ΑΕ 4ΖΗ

Φέρουµε κι τις BE A κι ) το τετράπλευρο ΑΕΒΖ ορθογώνιο β) η ΖΕ είνι πράλληλη στη ΑΓ γ) η ΖΕ διέρχετι πό το µέσον Μ της ΒΓ δ) +ΑΓ ΖΜ BΖ Α x. Ν ποδείξετε ότι: 3. Σε έν τρίγωνο Γ είνι Β Γ ɵ κι γ.

2 7. Σε τρίγωνο Γ το Ι είνι το σηµείο τοµής των διχοτόµων των εξωτερικών γωνιών Β εξ, Γ ɵ εξ κι Ι το σηµείο τοµής των διχοτόµων Β κι Γ. Ν ποδείξετε ότι: ) ΒΙΓ ɵ 90+ β) ΒΙ ɵ Γ 90 ΙΑ ΙΑ γ) Ι Ι ΑΓ (ρµονική τετράδ) 8. Έστω ΒΓ χορδή ενός κύκλου κι το µέσο του τόξου ΒΓ. Από το Α φέρουµε δύο χορδές ΑΗ κι ΑΖ που τέµνουν τη ΒΓ στ σηµεί κι Ε ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗ εγγράψιµο. 9. ίνετι τρίγωνο Γ κι Α, ΒΕ, ΓΖ τ ύψη του. Αν Η το ορθόκεντρο τότε i) Β ΗΖ, Γ ΗΕ εγγράψιµ σε κύκλο ii) Τ ύψη Α, ΒΕ, ΓΖ διχοτόµοι του (Η τετράδ Α,Β,Γ,Η ονοµάζετι ορθόκεντρη ) ΕΖ (ορθικό τρίγωνο). 0. Θεωρούµε τον περιγεγρµµένο κύκλο του Γ κι Η το ορθόκεντρο του. Από την κορυφή Β φέρουµε τη χορδή Β του κύκλου κάθετη στη ΒΓ. Ν δειχθεί ότι: i) Α ΑΓ ii) Β ΑΗ iii) ΑΗ ΟΜ, όπου Μ µέσον της ΒΓ.. Θεώρηµ του Ορθόκεντρου Το συµµετρικό του ορθόκεντρου Η του Γ ως προς µι πλευρά του είνι σηµείο του περιγεγρµµένου κύκλου του.. Ευθεί Simson Οι προβολές κάθε σηµείου του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου στις πλευρές του είνι συνευθεικά σηµεί. (ισχύει κι το ντίστροφο)

Από το Α φέρουµε δύο χορδές ΑΗ κι ΑΖ που τέµνουν τη ΒΓ στ σηµεί κι Ε ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗ εγγράψιµο. 9. ίνετι τρίγωνο Γ κι Α, ΒΕ, ΓΖ τ ύψη του.

3 3. Ευθεί Euler Το βρύκεντρο G, το ορθόκεντρο Η κι το περίκεντρο Ο ενός τριγώνου είνι συνευθεικά σηµεί. 4. Έστω Γ έν εγγεγρµµένο τετράπλευρο. Από την κορυφή Α φέρουµε µι ευθεί, η οποί τέµνει τη Γ στο Ρ ώστε i) ΒΑΓ ΑΡ κι ii) Α Β ΑΓΡ κι Α ΒΓ Ρ ΑΓ Β ΓΡ ΒA Γ A Ρ. Ν ποδείξετε ότι: iii) ΑΓ Β Γ +Α ΒΓ.. (Θεώρηµ του Πτολεµίου) 5. Έστω τρίγωνο Γ κι µι ευθεί που τέµνει τη ΒΓ στο, την στο Ε κι την (προέκτση) ΑΓ στο Ζ. Αν η πράλληλη πό το σηµείο Γ προς τη ΕΖ τέµνει την στο Η ν ποδείξετε ότι: ) Β ΒΕ Γ ΕΗ Β ΓΖ ΕΑ β) Γ ΖΑ ΕΒ Β... Γ... Α Α... Β... Θεώρηµ Ceva (Θεώρηµ Μενελάου) Ισχύει κι το ντίστροφο Έστω τρίγωνο Γ κι Ρ σηµείο του επιπέδου. Αν ΑΡ, ΒΡ, ΓΡ τέµνουν ΒΓ, ΓΑ, στ Α, Β, Γ ντίστοιχ, τότε: ΓΑ ΒΓ ΓΒ ΑΓ ΒΑ (Ισχύει κι το ντίστροφο γι συντρέχουσες). 6. Αν έν κυρτό τετράπλευρο Γ είνι εγγράψιµο σε κύκλο τότε ισχύει ΑΓ Α +ΓΒ Γ Β ΒΑ ΒΓ+ Α Γ [( ο Θεώρηµ Πτολεµίου) βγ Ε ] 4R 3

Έστω τρίγωνο Γ κι µι ευθεί που τέµνει τη ΒΓ στο, την στο Ε κι την (προέκτση) ΑΓ στο Ζ. Αν η πράλληλη πό το σηµείο Γ προς τη ΕΖ τέµνει την στο Η ν ποδείξετε ότι: ) Β ΒΕ Γ ΕΗ Β ΓΖ ΕΑ β) Γ ΖΑ ΕΒ Β... Γ... Α...... Α... Β... Θεώρηµ Ceva (Θεώρηµ Μενελάου) Ισχύει κι το ντίστροφο Έστω τρίγωνο Γ κι Ρ σηµείο του επιπέδου.

4 7. Σε έν τρίγωνο Γ φέρουµε τη διάµεσο ΑΜ κι τη διχοτόµο Α. Ο περιγεγρµµένος κύκλος του Α Μ τέµνει τις πλευρές κι ΑΓ στ Ε κι Ζ ντίστοιχ. Ν ποδειχθεί ότι BEΓΖ. 8. Έν τρίγωνο Γ είνι εγγεγρµµένο σε κύκλο µε κέντρο Ο κι κτίν R. Αν Α ΒΓ, Ε κι Α R, ν ποδειχθεί ότι o AOE ίνετι έν τρίγωνο Γ, η διάµεσός του ΑΜ κι το βρύκεντρό του Θ. Αν ΘΒ +ΘΓ ΘΑ, ν ποδειχθεί ότι περιγεγρµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΘΓ εφάπτετι στη πλευρά ΒΓ. 0. Α. Θεώρηµ Stewart Αν τυχίο σηµείο της ΒΓ του Γ τότε β Β +γ Γ [ Α + Β Γ ] (Υποδ.: Θεώρηµ οξείς κι µβλείς γωνίς) Β. Με βάση το θεώρηµ υτό ποδείξτε ότι δ β+γ βγτ( τ ), δεσωτερική διχοτόµος της Α β γ ( )( ) βγ τ β τ γ, εξωτερική διχοτόµος της Α.. Έν τρίγωνο Γ έχει περιγεγρµµένο κύκλο ( Ο, R) κι εγγεγρµµένο (I, ρ ). Ν δείξετε ότι ΟΙ R R ρ θεώρηµ Εuler Υποδ.: Αν Μ το σηµείο τοµής της ΑΙ µε τον κύκλο, ν εφρµόσετε τη γενίκευση του Πυθγόρειου Θεωρήµτος.. Αν ΑΖ, Γ κι ΒΕ οι διχοτόµοι του τριγώνου Γ ν ποδείξετε ότι ( ΕΖ) Γ βγ ( ) ( +β)( β+γ)( γ+) 4

Αν ΘΒ +ΘΓ ΘΑ, ν ποδειχθεί ότι περιγεγρµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΘΓ εφάπτετι στη πλευρά ΒΓ. 0. Α. Θεώρηµ Stewart Αν τυχίο σηµείο της ΒΓ του Γ τότε β Β +γ Γ [ Α + Β Γ ] (Υποδ.

5 3. Έστω τρπέζιο Γ κι Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων του. Αν είνι ( Γ ) Ε, ( ΑΟΒ ) Ε κι ( ΟΓ ) Ε ν ποδείξετε ότι Ε + Ε Ε. 4. ύο κύκλοι C κι C εφάπτοντι εξωτερικά στο Α. Ένς τρίτος κύκλος C 3 τέµνει τον C στ Β, Γ κι τον C στ κι Ε. Ν ποδειχθεί ότι οι ευθείες ΒΓ κι Ε τέµνοντι πάνω στην κοινή εξωτερική εφπτοµένη των C κι C. (Υποδ.: Ριζικός άξονς δύο κύκλων) 5

Σχετικά έγγραφα

Θέµα 7 ο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Να δειχθεί ότι: ΒΕ 2 = ΕΓ Ε

Θέµα 7 ο. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Να δειχθεί ότι: ΒΕ 2 = ΕΓ Ε 0 ΓΕΝΙΚΕΣ Θέµ ο Τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Φέρνουµε Ε // ΒΓ ( ΒΓ, Ε ΑΓ). Ν δειχθεί ότι: ΒΕ = ΕΓ Ε Θέµ ο Στη διγώνιο Β τετργώνου ΑΒΓ πίρνουµε τυχίο σηµείο Ο. Ν δειχθεί ότι: Γ - ΓΟ = Ο Ο Θέµ ο