1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )

Transcript

1 .5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων u (κ, λ) και να είναι ίσο µε µηδέν. Ποια η σχέση όλων των διανυσµάτων u στην περίπτωση αυτή; α ( ) (α ) ( 3 ) 6 (α ) α (, 3) (, 5) (, 3 5) ( 3, ) 3α + 3 (, 3) + (, 5) ( 3, 9) + (, 5) (, 4) Άρα (α ) (3α + ) ( 3, ) (, 4) u 0 κ + 5λ 0 Είναι u, άρα τα διανύσµατα u είναι µεταξύ τους συγγραµµικά.. Αν u (, ), v (4, ) και w (6, 0), να υπολογίστε τις παραστάσεις : u v w και ( u v ) w u (7 v + w ), u ( v w ), ( ) u v u + 5 u w w v w u (7 v + w ) 7( u v ) + u w u ( v w ) u v w 8 w 8 w ( ) ( u v ) w ( 5 v ) w 5 ( v w )

2 3. Αν α (, 0) και (, ), να ρείτε τον λ R ώστε: Τα διανύσµατα α και α + λ να είναι κάθετα. Τα διανύσµατα και α + λ να είναι κάθετα. α α + λ α (α + λ ) 0 α + λ(α ) 0 + λ( + 0) 0 + λ 0 λ α + λ (α + λ ) 0 α + λ 0 ( + 0) + λ ( + ) 0 + λ 0 λ λ 4. Να ρείτε τα διανύσµατα που είναι κάθετα στο u (3, ) και έχουν µέτρο ίσο µε. Έστω v (x, y) το ζητούµενο διάνυσµα. u v u v 0 3x y 0 y 3x y 3 x () v x + y ( ) x + y 9 x + x 4 3 x 4 x 4 x 3 3 Για x 3, η () y 3 3, και ή x 3 για x 3 θα είναι y 3 3 Άρα v ( 3, 3 3 ) ή v ( 3, 3 3 )

3 3 5. Αν α, 3 και ( α ) π, να υπολογίσετε τον κ R, ώστε τα 3 διανύσµατα u 3α και v κα + να είναι κάθετα. u v u v 0 (3α ) ( κα + ) 0 3κα + 6α κα 0 () Αλλά α α 4, 9 και α α συν 3 π 3 3 () 3κ κ κ + 8 3κ 8 0 9κ 0 κ 0.

4 4 6. Αν α (κ, ) και (4, 3), να ρείτε τον κ R ώστε να ισχύει : α 0 ( α ) π (iii) α 4 α 0 4κ κ 3 κ 3 4 α α συν 4 π 4κ + 3 κ + 8k κ + () Περιορισµός : 8κ κ 6 κ 3 4 () ( ) 8 6 κ+ 50( κ + ) 64κ + 96κ κ κ + 96κ 4 0 7κ + 48κ , κ ± ή 98 ή Λόγω του περιορισµού θα έχουµε κ 7 (iii) α κ κ 4 0 κ 4 3

5 5 7. Αν α και ( α ) 3 π, να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσµάτων u α + 4 και v α. Έστω θ η γωνία των διανυσµάτων u, v. Τότε u v (α + 4 ) (α ) α α + 4α 4 u v α + α 4 + ( ) 4 3 u ( 4 ) συνθ u.v u v () α α συν 3 π 4 ( ) α+ α+ 4( ) 4( α + 4α + 4 ) 4( + 4). Άρα u 3 α v ( ) α α Άρα v 3 () συνθ θ 3 π 8. Αν τα διανύσµατα α, είναι µη µηδενικά, να αποδείξετε ότι : α (α ) συν( α α ) α (α ) α (α ) 0 α α 0 α α α α συν( α ) συν( α ) α

6 6 9. Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα u α + α και v α α είναι κάθετα u v ( α + α ) ( α α ) α α ( α ) + α (α ) α α 0 u v α 0. Να αποδείξετε ότι για δύο µη µηδενικά διανύσµατα α και, το διάνυσµα v α (α ) είναι κάθετο στο. v [ α (α ) ]. (α ) (α )( ) (α ) (α ) 0 v. ίνονται τα σηµεία Α(3, ), Β(6, 4), Γ(, 5 ) και (, ). Να υπολογίσετε Το εσωτερικό γινόµενο ΑΒ Γ Τι συµπεραίνετε για τα διανύσµατα ΑΒ και Γ ; ΑΒ (6 3, 4 + ) (3, ) Γ (, 5) (, 3) ΑΒ Γ 3( ) + ( )( 3) ΑΒ Γ 0 ΑΒ Γ

7 7. ίνονται τα διανύσµατα α (, 4) και ( 8, 5). Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη προς το α. Έστω u, v οι συνιστώσες, µε u α, v α και u α u λα v α v α 0 u + v α α ( u + v ) ( 8) + ( 4) 5 α ( λα + v ) 6 0 λα + α v 36 λ (4 + 6) λ λ 9 5 Άρα u 9 α 9 8, u + v (, 4) ( ) u + v v u ( 8, 5) ( 8, 36 ) ( 8 + 8, 5 36 ) (, ) Να υπολογίσετε τα µήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράµµου που κατασκευάζεται µε τα διανύσµατα 5α + και α 3, αν α, 3 και ( α ) 45 ο. α α συν 45 ο 3 δ δ ( ) δ ( 5 α+ ) + ( α 3 ) ( 6α ) 36α α δ 5 ( 5 α 3 ) ( 4α+ 5 ) 6α + 40α δ ( ) ( ) δ 593

8 8 4. Για τα διανύσµατα του διπλανού σχήµατος, να υπολογίσετε την παράσταση ΑΒ ΑΓ + ΑΒ Γ Β Γ ΑΒ ΑΓ + ΑΒ Γ ΑΒ (ΑΓ + Γ ) Ε Α ΑΒ Α Α προ ΑΒ Α Α ΑΕ (Α ) (ΑΕ) Άλλος τρόπος, µε συντεταγµένες. ΑΒ ( 3, 4), ΑΓ (, 3), Γ (4, 3) ΑΒ ΑΓ 3 + 9, ΑΒ Γ 4 Άρα ΑΒ ΑΓ + ΑΒ Γ Να εξετάσετε πότε ισχύει : α+ α + α+ α+ (α + ) ( α+ ) (α + ) α + α + α + α α α α + α + α α+ α α+ α α α+ ( α+ ) α α + α α α + α + α

9 9 Β Oµάδας. Τα διανύσµατα α και είναι µη µηδενικά και µη συγγραµµικά. Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς λ και µ ισχύει : Πότε ισχύει το ; λ λ α + λµ(α ) + α + λµ(α ) + λ µ µ Αν ήταν λ 0, τότε α α + λµ(α ) + µ λα+µ 0 0 ( ) 0 ( ) 0 που ισχύει για κάθε λ, µ R λα+µ 0 λα + µ 0 λα µ µ λ α που είναι άτοπο. Άρα λ 0 Οµοίως αν ήταν µ 0 οπότε το ισχύει όταν λ µ 0. Να αποδείξετε ότι : u + v + u v u + u + v + u v ( u v ) + ( u v ) + u + u v + u + v v u v 4 v + u u v + 4 u + v v u v u + v u v ( u + v ) 4 ( u v ) 4 ( u + u v + 4 ( u + u v + 4 4( u v ) u v v ) 4 ( u u v + v u + u v v ) v )

10 0 3. ίνονται τα µη µηδενικά και µη συγγραµµικά διανύσµατα α και. Να αποδείξετε ότι : Ο φορέας του διανύσµατος u α + α διχοτοµεί τη γωνία των διανυσµάτων α και. Ο φορέας του διανύσµατος v α α διχοτοµεί την παραπληρωµατική γωνία των διανυσµάτων α και. Αρκεί να δειχθεί ότι συν( u α ) συν( u ) u α u u α u u α u α ( α+ α ) α ( α+ α ) α α + α ( α) ( α ) + α α α + α ( α) ( α ) + α α α + ( α ) (α ) + α που ισχύει Αρκεί να δειχθεί ότι v u, δηλαδή v u 0 v u ( α α ) ( α + α ) ( α ) (α ) α α α α 0

11 4. Αν α,, γ 3 και α + +γ 0, να υπολογίσετε τα : α, γ, γ α συν( α ), συν( γ ), συν( γ α ), και να αποδείξετε ότι α και γ 3 α + +γ 0 α + γ (α + ) ( 4α + 4α + γ) α + 9 γ 4α 8 α Οµοίως ρίσκουµε γ 3 και γ α 6 συν( α ) α και οµοίως συν( γ ), συν( γ α ), α. συν( α ) ( α ) 80 ο α, Οµοίως αποδεικνύουµε ότι γ 3. οπότε η σχέση α γίνεται α. 5. Αν τα διανύσµατα α (κ, λ) και (µ, ν) είναι κάθετα και έχουν µέτρα ίσα µε τη µονάδα, να δείξετε ότι (κν λµ ). α α 0 κµ + λν 0 (κµ + λν ) 0 κ µ + κµλν + λ ν 0 () α α κ + λ λ κ µ + ν ν µ () κ ( κ ( κ + κ ν ) + κµλν + ν + κµλν + λ ) ( κ λ ( λ λ ν κµλν + µ ) 0 µ 0 λ µ ) 0 (κν λµ ) 0 (κν λµ )

12 6. Να αποδείξετε ότι αγ+δ α + γ +δ Θεωρούµε τα διανύσµατα u (α, ) και v (γ, δ). αγ+δ Τότε συν( u v ) α + γ +δ αγ+δ Αλλά συν ( u v ) α + γ +δ 7. Σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ και κέντρου Ο παίρνουµε σηµείο Μ. Να εκφράσετε τα διανύσµατα MA, MB ως συνάρτηση των α,. Να ρείτε το γινόµενο MA MB. Τι συµπεραίνετε για τη γωνία των διανυσµάτων MA και MB ; Ποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωµετρίας έχει αποδειχθεί; MA OA OM α MB OB OM α M α O α MA MB (α + )(α ) ( α ) α α 0 MA MB άρα ΜΑ ΜΒ Εποµένως αποδείχθηκε η πρόταση της Ευκλείδειας Γεωµετρίας : H γωνία, που αίνει σε ηµικύκλιο, είναι ορθή. 90 ο.

13 3 8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ τα δύο ύψη του ΒΕ και ΓΖ τέµνονται στο Η. Έστω ΗΑ α, ΗΒ και ΗΓ γ. Να εκφράσετε τα διανύσµατα ΑB, ΑΓ και ΒΓ ως συνάρτηση των α, και γ. Να αποδείξετε ότι γ α γ και B Γ γ α (iii) Από το προηγούµενο ερώτηµα προκύπτει ότι γ α α. Με τη οήθεια της ισότητας αυτής να δείξετε ότι ΑΗ ΒΓ. Ποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωµετρίας έχει αποδειχθεί; ΑB ΗΒ ΗΑ α ΑΓ ΗΓ ΗΑ γ α ΒΓ ΗΓ ΗΒ γ ΗΓ ΑB Οµοίως ΗΓ ΑB 0 γ ( α ) 0 γ γ α 0 γ γ α () ΗΒ ΑΓ γ α () (iii) (), () γ α α γ α α 0 α.(γ ) 0 ΗΑ (ΗΓ ΗΒ ) 0 ΗΑ ΒΓ 0 ΑΗ ΒΓ. Αποδείχθηκε ότι : τα ύψη τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σηµείο A α H γ

14 4 9. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εξωτερικώς αυτού Θ κατασκευάζουµε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΑΓΗΘ. Να εκφράσετε τα διανύσµατα γ ΒΘ και ΖΓ ως συνάρτηση των Ζ,, γ, γ και να Α υπολογίσετε το εσωτερικό γ γινόµενο ΒΘ ΖΓ. Ε Τι συµπεραίνετε για τα Β Γ τµήµατα ΒΘ και ΓΖ; ΒΘ ΑΘ ΑΒ γ ΖΓ ΑΓ ΑΖ γ ΒΘ ΖΓ ( γ ) ( γ ) γ γ γ γ + 0 γ συν( γ ) γ Η συν( γ ) + 0 (ΑΓ) (ΑΒ) συν(π ˆΑ ) (ΑΒ) (ΑΓ) συν ˆΑ Συµπεραίνουµε ΒΘ ΓΖ. (ΑΒ) (ΑΓ) συν ˆΑ (ΑΒ) (ΑΓ) συν ˆΑ 0 0. Στο διπλανό σχήµα, το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο και τα Β, οι προολές του Γ στις ΑΒ και Α αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι ΑB ΑB + Α Α ΑΓ Γ Α ΑB ΑB + Α Α ΑB προ ΑΒ ΑΓ + Α προ Α ΑΓ ΑB ΑΓ + Α ΑΓ ( ΑB + Α ) ΑΓ ΑΓ ΑΓ ΑΓ Β B

15 5. ίνεται κύκλος (Ο, R) και σηµείο Μ του επιπέδου του. Αν µεταλητή ευθεία που διέρχεται από το Μ τέµνει τον κύκλο στα Α και Β, να αποδείξετε ότι το γινόµενο ΜΑ. ΜB είναι σταθερό. (Το γινόµενο αυτό λέγεται δύναµη του σηµείου Μ ως προς τον κύκλο Ο). Φέρουµε τη διάµετρο ΒΟΓ και τα τµήµατα ΓΑ, ΓΜ, ΟΜ. ˆΑ 90 ο ΜΑ προ ΜΒ ΜΓ Άρα ΜΑ ΜB ΜB ΜΓ ( Ο B ΟΜ )(ΟΓ ΟΜ ) ( ΟΓ ΟΜ )(ΟΓ ΟΜ ) (ΟΓ +ΟΜ )(ΟΓ ΟΜ ) ( ΟΓ ΟΜ ) (ΟΜ ) Β R σταθερό. Ο Α Γ Μ