Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: 3 3 ( 8) ( 12) ( 8) ( 12) Α= + + 10 + 22. 3 3 2 2 2 ( 3) 2 ( 3) Στο διπλαό σχήμα το τρίγωο ΑΒΓ είαι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ), με, και ΑΔ είαι η διχοτόμος της γωίας Α ˆ. Επίσης τα τρίγωα ΑΒΕ και ΑΒΗ είαι ισοσκελή με ΕΑ = ΕΒ και ΑΒ = ΑΗ. Να αποδείξετε ότι: (α), (β) ΑΓΗ ˆ = 40, ˆ ΑΗΓ. (γ) η ΗΒ είαι η διχοτόμος της γωίας Σημείωση: Να κάετε το δικό σας σχήμα στη κόλλα με τις απατήσεις σας. Ο Νίκος επισκέφθηκε για ψώια 3 καταστήματα στη σειρά. Στο πρώτο κατάστημα ξόδεψε 30 ευρώ περισσότερα από το μισό τω χρημάτω που είχε μαζί του. Στο δεύτερο κατάστημα ξόδεψε 40 ευρώ περισσότερα από το μισό τω χρημάτω που του είχα μείει, ότα βγήκε από το πρώτο κατάστημα. Στο τρίτο κατάστημα ξόδεψε 50 ευρώ περισσότερα από το μισό τω χρημάτω που του είχα μείει, ότα βγήκε από το δεύτερο κατάστημα. Α μετά τη αγορά του στο τρίτο κατάστημα τελείωσα τα χρήματα του, α βρείτε πόσα χρήματα είχε μαζί του ότα ξεκίησε τις αγορές του. Τρεις θετικοί ακέραιοι αβ, και γ, με α < β < γ, έχου μέγιστο κοιό διαιρέτη το ακέραιο 72 και ελάχιστο κοιό πολλαπλάσιο το ακέραιο 1008. Α γωρίζετε ότι ο μέγιστος κοιός διαιρέτης τω αβ, ισούται με το μέγιστο κοιό διαιρέτη τω βγ,, α βρείτε τις δυατές τιμές τω αβγ.,,
Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: 11 11 20 20 ( 20) ( 25) 2 ( 8) 1 Α= + 11 11 ( 2018) + + 200. 20 4 ( 5) 2 4 Ο Νίκος αγόρασε 4 μήλα από τα οποία το βαρύτερο ζυγίστηκε πρώτο και ήτα 120 γραμμάρια. Στη συέχεια ζυγίστηκε το δεύτερο μήλο και ο μέσος όρος του βάρους τω δύο πρώτω μήλω ήτα 115 γραμμάρια. Στη συέχεια ζυγίστηκε το τρίτο μήλο και παρατήρησε ότι ο μέσος όρος του βάρους τω τριώ μήλω ήτα μικρότερος από το προηγούμεο μέσο όρο του βάρους τω δύο πρώτω μήλω κατά 10 γραμμάρια. Τέλος ότα ζυγίστηκε το τέταρτο μήλο παρατήρησε ότι ο μέσος όρος του βάρους τω τεσσάρω μήλω ήτα επίσης μικρότερος κατά 10 γραμμάρια από το προηγούμεο μέσο όρο του βάρους τω τριώ μήλω. Να βρείτε πόσα γραμμάρια ήτα καθέα από τα τρία μήλα που ζυγίστηκα μετά το πρώτο. α + α + + α 1 2... Σημείωση: Ο μέσος όρος αριθμώ α1, α2,..., α είαι ο αριθμός x 1 x α Να βρείτε όλες τις τιμές του ακεραίου α, για τις οποίες η εξίσωση = x 2 x 6 έχει ακέραιες λύσεις. Στο διπλαό σχήμα το τρίγωο ΑΒΓ είαι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) με και για το σημείο Δ ισχύει ότι: ΔΑ = ΔΒ = ΔΓ. Α η ΓΜ είαι παράλληλη στη ΑΔ και το τρίγωο ΑΒΕ είαι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΕ), α αποδείξετε ότι: (α) η ΑΔ είαι διχοτόμος της γωίας. (β). (γ) η ΑΜ είαι κάθετη στη ΓΕ. Σημείωση: Να κάετε το δικό σας σχήμα στη κόλλα με τις απατήσεις σας..
Α ΛΥΚΕΙΟΥ Να προσδιορίσετε τους ακέραιους x που ικαοποιού συγχρόως τη εξίσωση ( x 1)( x 2 7x+ 10) = 0 και τη αίσωση x( x 1) x( x 5) 2< + 6. Α οι πραγματικοί αριθμοί αβ, είαι τέτοιοι ώστε δυατές τιμές της παράστασης Να συγκριθού οι αριθμοί α β Κ=. α + β 5αβ 4 4 α 36β = 1, α βρείτε τις και Δίεται ισοσκελές τρίγωο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με. Εξωτερικά του τριγώου κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωο ΒΓΔ και τετράγωο ΑΓΕΖ. Α το σημείο Μ είαι το μέσο της ΑΔ και το σημείο Κ είαι το συμμετρικό της κορυφής Β ως προς το σημείο Μ, α αποδείξετε ότι: (α) Tο τρίγωο ΑΔΕ είαι ισόπλευρο. (β) Οι ευθείες ΑΚ, ΕΜ και ΔΓ περάε από το ίδιο σημείο.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3 3 26αβ Α οι πραγματικοί αριθμοί αβ, είαι τέτοιοι ώστε 6 6 α 27β = 1, α βρείτε τις δυατές τιμές της παράστασης α β Κ=. α + β Α οι πραγματικοί αριθμοί xyzw,,, είαι όλοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 1 και μικρότεροι ή ίσοι του 5 και επιπλέο ισχύει ότι x+ y+ z+ w= 8, α βρείτε τη μέγιστη δυατή τιμή της παράστασης Α= x + y + z + w. 3 2 Α ο τετραψήφιος ακέραιος Α= αααα 3 2 1 0 = α3 10 + α2 10 + α1 10 + α0 έχει ψηφία τέτοια ώστε α0 > α1 > α2 > α3 > 0. α προσδιορίσετε το άθροισμα τω ψηφίω του αριθμού 9 Α. Δίεται τρίγωο (με ) εγγεγραμμέο σε κύκλο. Η παράλληλη από το προς τη τέμει τη στο σημείο. Ο περιγεγραμμέος κύκλος, έστω του τριγώου τέμει τη στο σημείο και το κύκλο στο σημείο. Έστω ότι η τέμει το κύκλο στο Να αποδείξετε ότι: (α) Τα τρίγωα ΟΑΔ και ΟΓΕ είαι ίσα. (β) Τα τρίγωα ΟΖΕ και ΟΓΕ είαι ίσα. (γ) Τα σημεία είαι συευθειακά.
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης 4 3 2 x x 18x + 3x+ 9 = 0, στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ. 4 3 2 Α ο πεταψήφιος ακέραιος Α= ααααα 4 3 2 1 0 = α4 10 + α3 10 + α2 10 + α1 10 + α0 έχει ψηφία τέτοια ώστε α0 > α1 > α2 > α3 > α4 > 0. α προσδιορίσετε το άθροισμα τω ψηφίω του αριθμού 9 Α. Α οι αριθμοί xyz,, είαι θετικοί ακέραιοι, α λύσετε το σύστημα: x+ 2y = 3z y+ 2z = 3x z+ 2x = 3y Δίεται ισοσκελές τραπέζιο (με ΑΒ Γ και ) εγγεγραμμέο σε κύκλο. Η εφαπτομέη στο του κύκλου τέμει τη ευθεία στο σημείο. Έστω Μ είαι το σημείο τομής τω διαγωίω του τραπεζίου ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι: (α) Η ευθεία ΑΔ είαι εφαπτομέη του περιγεγραμμέου κύκλου, έστω ( c 1), του τριγώου ΔΒΕ. (β) Το σημείο Μ αήκει στο περιγεγραμμέο κύκλο, έστω ( c 2 ), του τριγώου ΟΒΓ. (γ) Οι περιγεγραμμέοι κύκλοι τω τριγώω και έχου κοιή εφαπτομέη στο σημείο Β.