فصل اول ماتریس و کاربردها

فصل اول ماتریس و کاربردها

اول فصل ماتریسها روی اعمال و ماتریس اول: درس ماتریس حقیقی عدد هر است. ماتریس یک ستون و سطر تعدادی شامل حقیقی عددهای از مستطیلی آرایش هر مینامیم. ماتریس آن درایة را ماتریس هر در واقع میکنیم. نامگذاری التین بزرگ حروف با را ماتریس معموال و محصور کروشه دو با را ماتریس درایههای م :لاث 4 5 6-3 A=, B=, C= - 0 7 0 π 0 0 D= 3, E=, F= 4 = 4-0 0 4 نگذاریم.( کروشه میتوانیم دارند درایه یک فقط که ماتریسهایی )برای 3 - A = 0 ماتریس مرتبة ببینید: را زیر ماتریس است. دوم سطر 0 و اول سطر - 3 ماتریس این در - است. ماتریس این سوم ستون و دوم ستون اول ستون 3 همچنین 0 دارد. ستون سه و سطر دو ماتریس این نتیجه در است. 3 مرتبة از ماتریس این میگوییم قرارداد طبق مرتبة از ماتریس است ستون n و س طر m دارای که ماتریس ی کلی حالت در است. ) n در m )بخوانید m n

)3( نمایش کلی یک درایه به ماتریس زیر توجه کنید: - 3 A = 4-6 0 عدد درایة روی س طر اول و س تون اول است و درایة 6- روی سطر دوم و ستون دوم است همچنین صفر درایة روی سطر دوم و ستون سوم است. a i نشان میدهیم. در حالت کلی درایة واقع در تقاطع سطر i ام و ستون ام ماتریس A را با a =, a =-, a3 = 3 a = 4, a =- 6, a3 = 0 یعنی در ماتریس باال واضح است كه در حالت كلي يك ماتريس m n را ميتوان به صورت زير نمايش داد: a a a3 a n a a a3 a n a a a a 3 3 33 3n am am am a 3 mn m A= [ ai] نمایش ميدهی م n) i m,.( به a i درایة عمومی ماتريس ف وق را اغلب به صورت n ماتریس A میگوییم. =A [ i را با درايههايش مشخص كنيد. ماتريس ] 3 - راهحل را در نظر میگيريم: صورت كلي ماتريس 3 a a a3 A = a a a 3 اکنون تكتك درايهها را بهدست ميآوريم: a =-= 0, a =- =-, a3 =- 3=- a = 4-= 3, a = 4- =, a3 = 4-3= پس 0 - - A = 3

)4( لصف :لوا سیرتام و اهدربراک bi i - i> = i درایههای با B= [ bi] 3 و ai = i+ i= درايههاي ا ب - i i< A= [ ai ] 3 ماتريسهاي است چقدر 3 a kbk k= حاصل مفروضاند. 64 )4 48 )3 5 ) 46 ) راهحل مینویسیم: سيگما تعريف به توجه با 3 a kbk = ab + ab + a3b3 k= ميآوريم: بهدست داريم الزم باال رابطة در كه را درايههايي اکنون a =+=, a = -= 3, a = 3 3 -= 8 b = =, b = = 4, b3 = 3 = 6 میدهيم: قرار رابطه در را درايهها اين سپس 3 a kbk= + 3 4+ 8 6= 64 k= است. درست )4( گزينة بنابراين خاص ماتریس چند معرفی میدهیم. نشان O با را صفر ماتریس است. صفر آن درایههای همة که است ماتریسی صفر ماتریس ۱( 0 0 0 0 0 O= 0 = 0, O=, O= 0 0 0 0 0 3 مانند است سطری ماتریس دارد سطر یک که ماتریسی سطری ماتریس ۲( A= =, B= -, C= - π 3 0 3 است. A= [ ai] n صورت به سطری ماتریس کلی صورت مانند است ستونی ماتریس دارد ستون یک که ماتریسی ستونی ماتریس ۳( - - A= - =-, B=, C= 3 3 π 0 4 است. A= [ ai ] m شکل به ستونی ماتریسهای کلی صورت مانند است مربعی ماتریس برابرند هم با آن ستونهای و سطرها تعداد که ماتریسی مربعی ماتریس ۴( - π - A= 5 = 5, B=, C= 0 0 3 0-0 5 33

اس ت n n مرتبة از ماتریس بگوییم اینکه ج ای به باش د n n مرتبة از مربعی ماتریس یک اگ ر مربعی B مرتبة از مربعی A قبلی ماتریسهای در مثال اس ت. n مرتبة از مربعی ماتریس ی میگوییم 0 9-3 3 6 8 5 )5( است. 3 مرتبة از مربعی C و مرتبة از كنيد: توجه مقابل مربعي ماتريس به روي درايههاي 5 و 3-0 درايهه اي ب ه 6 و 3- درايهه اي ب ه و اصل ي قط ر واضح ميگویيم. فرع ي قطر روی درايهه اي 9 و 3 درايههاي ماتريس این در كه است 8 درايههاي و اصلي قطر باالي درايههاي هستند. اصلي قطر پایين درايههاي 6 و داد: نشان زير صورت به را درايهها اين ميتوان كلي حالت در i= nh#nho #± H#o #Á»n ai i < nh#nho #± H#o #Á IM ai A= [ ai] n n : i > nh#nho #± H#o # ÃÄIQ ai i+ = n+ nh#nho # oî#o #Á»n ai ميشوند. تعريف مربعي ماتريسهاي براي فقط فرعي قطر و اصلي قطر كه كنيد دقت است. قطری ماتریس است صفر آن اصلی قطر پایین و باال درایههای همة که مربعی ماتریس قطری ماتریس ۵( SwH Áoõ uäoui A A = [ a i] n n, ( i a i =0) ریاضی زبان به هستند. قطری ماتریس از نمونههایی زیر ماتریسهای 5 0 0 0 0 0 0 A=, B= 0-0, C= 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 نباشند. یا باشند صفر میتوانند اصلی قطر روی درایههای قطری ماتریسهای در مانند است اسکالر ماتریس برابرند هم با آن اصلی قطر روی درایههای که قطری ماتریسی اسکالر ماتریس ۶( 3 0 0 0 0 0 0 A=, B= 0 3 0, C= 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 ماتریس اس ت برابر آن اصلی قطر روی درایههای که اس کالری ماتریس )واحد( همانی ماتریس ۷( میدهیم. نشان I n با را n مرتبة از همانی ماتریس است. همانی. δ i = 0 0 0 0 I=, I3 = 0 0 0 0 0 i= آن در که I i n = [ δ i] n n ریاضی زبان به مثال اصلی قطر باالی فرعی قطر اصلی قطر اصلی قطر پایین

)6( اهدربراک و سیرتام :لوا لصف تساوي دو ماتريس دو ماتريس A و B را مساوي ميگویيم هرگاه داراي دو شرط زير باشند: ( هممرتبه باشند. ( درايههاي نظير آنها با هم برابر باشند. B= [ bi] p q مساوي هستند اگر m= p و n= q و بهازاي هر m A= [ ai] و n به عبارتي دو ماتریس. A= B در اين حالت مينويسيم. ai = bi و i x-y 3y- + x y+ x = A و = B برابر باشند مقدار z+ k کدام است - z x اگر دو ماتريس + y k 3-3 )4 3 )3 ) - ) چون دو ماتريس از مرتبة هس تند ميتوان نتيجه گرفت كه ش رط اول تس اوي دو ماتریس را دارند. اکنون بايد تساوي درايههاي نظير به نظیر را بررسي كنيم: راهحل a = b x- y= + x x+ y=- x=- a = b 3y-= y+ x x- y=- y= 0 a3 = b3 - z= 3 z=- x=-, y= 0 a = b x 4 4 + y= k k= -=+-=k. +z بنابراین گزينة )( درست است. در نتیجه جمع ماتریسها برای جمع کردن یا کم کردن دو ماتریس هممرتبه کافی اس ت درایههای نظیر به نظیر را با هم جمع یا تفریق کنیم. - 3 - -+ + 3-0 4 ) + = = 0 4 7 6 + 7 0+ 6 4+ 8 6 6 - -7 5 -- ( 7) -- 5 9-6 ) - = = 3 4 9 0 3-9 4-0 -6 4 :لاث م توجه کنید که فقط ماتریسهای هممرتبه قابل جمع و تفریق هستند و در حالت کلی m B= [ bi] آنگاه n m A= [ ai] و n اگر A+ B= [ ai] + [ bi] = [ ai + bi] m n A- B= [ ai] -[ bi] = [ ai -bi] m n و

)7( ضرب یک عدد حقیقی در ماتریس ب رای ضرب کردن یک عدد حقیقی در یک ماتریس کافی اس ت آن عدد را در تمام درایههای ماتریس ضرب کنیم. به عبارت دیگر A= [ ai] m n ra = [ rai] m n r - = A آنگاه 0 3 :لاث ماگر - 4-3 3-6 A=, - 3A= 4 0 6-6 0-9 - - 0 0 0 - A=, 0A= = O - 0-3 0 0 0 قرینة یک ماتریس اگر ماتریس A را در عدد - ضرب کنیم ماتریس - A بهدست میآید که به آن قرینة ماتریس A میگوییم. A = [ a i] m n A uäoui ¾â ¹Äo =- A = [- a i] m n به عبارت دیگر خواص مهم جمع ماتریسها و ضرب عدد در ماتریس فرض کنید B A و C سه ماتریس هممرتبه و r و s دو عدد حقیقی باشند. در این صورت خواص زیر برقرارند. )۱ A A+ B= B+ )خاصیت جابهجایی جمع( B) A+ ( B+ C) = ( A+ )خاصیت شرکتپذیری جمع( + C )۲ )۳ A A+ O= O+ A= )عضو خنثی برای عمل جمع( A+- ( A) =- ( A) + A= O )۴ r( A ± B) = ra ± rb )۵ ( r ± s) A = ra ± sa )۶ ( rs) A = r( sa) )۷ A= A )۸ ro = O و 0 A= O )۹ )۱۰ اگر ra = rb و 0 r آنگاه. A= B )۱۱ اگر A= B آنگاه. ra = rb

)8( لصف :لوا سیرتام و اهدربراک A ماتريسهاي A B + = و A B + = 3 4 باشيم ته داش B و A ماتريس دو براي اگر بيابيد. را B و آورد: بهدست را B و A ميتوان سادگي به مجهول دو و معادله دو دستگاه يك مانند A+ B= 3 4 Hn#IÀÁ»IvU# ÃÎoŠ - 0 A = - = ù  # # À#pH 3 4 3 A+ B= ميآوریم: بهدست را B و ميدهيم قرار دوم معادلة در را A ماتریس اکنون راهحل - 0 B B - 0 3 + = = - = 3 3 - - ماتريسها ضرب حالت در كه بدانيم بايد ماتريس دو ضرب حاصل آوردن بهدست روش و ماتريس دو ضرب بيان از قبل چيست كرد ضرب يكديگر در بتوان را ماتريس دو اينكه شرط كلي ماتريس دو ضربپذيري شرط زماني ضرب اين و ميدهيم نش ان AB صورت به را B ماتریس در A ماتريس ضرب كلي حالت در دوم ماتريس س طرهاي تعداد با ) A ماتريس )يعني اول ماتريس س تونهاي تعداد كه اس ت انجامپذیر از بايد B ماتريس باش د m n مرتبة از A ماتريس اگر عبارتي به باش د. برابر ) B ماتريس )يعني عبارتي: به است. m p مرتبة از ماتريس يك ضرب اين حاصل و باشد n p مرتبة Am nbn p= Cm p آوريم بهدست بايد چگونه را C ماتريس درايههاي كه است اين دارد وجود که سؤالی اکنون دهيم. قرار بررسي مورد را ستوني ماتريس يك در سطري ماتريس يك ضرب سادگي براي مطلب اين بيان از قبل ستوني ماتريس در سطري ماتريس ضرب بگيريد: نظر در را B n ستوني ماتريس و b b A a a a n, B = = bn A n سطري ماتريس

اين و اس ت عدد يك حقيقت در كه اس ت ماتريس يك ضرب اين حاصل قبل مطالب به توجه با )9( ميآيد: بهدست زير صورت به عدد b b AB a a a = n = a b + a b + + a nb n bn AB = ( A Ï»H â¾ähn ) ( B Ï»H ¾â ÄHn ) + ( A ³» ¾â ÄHn )( B ³» ¾â ÄHn ) + + ( A ³H n â¾ähn )( B ³H n ¾â ÄHn) داد: نمايش زیر صورت به را آن ميتوان سيگما خواص طبق نهايت در و n AB = a kbk k= و A = [ -3 ] ماتری س مدو :لاث 5 را AB ماتریس میخواهیم بگیرید. نظ ر در را B = 0 مینویسیم: ستونی ماتریس در سطری ماتریس ضرب تعریف به توجه با آوریم. بهدست 5 AB = [ - 3 ] 0 = ( )( 5) +- ( 3)( 0) + ( )( ) = 7 باشد 7- برابر آنها حاصلضرب که طوری به بزنید مثال ستونی و سطری ماتریس دو 3 و A = [ 0 7- ] نمونه عنوان به کرد ارائه میتوان متفاوتی مثالهای داشت خواهیم صورت این در 5 بگیرید. نظر در را B = 0 5 AB = [ 0-7 ] = ( 0)( 5) +- ( 7)( ) + ( )( 0) =-7 0 راهحل كلي حالت در ماتريسها ضرب ميتوانیم گرفتيم ياد شدن ضرب شرط به را ستوني ماتريسهاي در سطري ماتريسهاي ضرب كه اکنون دهیم. قرار بررسي مورد كلي حالت در را ماتريس دو ضرب ماتریس در A ماتريس ضرب كه ديديم بگيريد. نظر در را =B [ bi] n p و A= [ ai] m n ماتريسهاي عبارتي به است. m p مرتبة از C مانند ماتريسی B AB = C =[ c i ] m p

)0( اهدربراک و سیرتام :لوا لصف كه در آن هر درايه از ماتریس C را ميتوان به صورت زير تعريف كرد: ci = ( A ³H i oõw ) ( B³H ¼Tw) b b ai ai a = in = ai b + ai b + + ainb n bn n ci = aikbk k= و در نهايت طبق خواص سيگما داريم: در مثال زير به دراية سطر دوم و ستون سوم ماتریس حاصلضرب دقت كنيد: - 3 3 0 = - 4 - - - + + 3( - ) = + - 6=- :لاث مدو ماتري س - 4 = B را در نظر بگيريد. ميخواهيم حاصل 5 3 - = A و 7 AB را بهدست آوريم: 3 - - 4 AB = 7 5 3-3-5 6- - -8 4 = = - 7+ 5 4+ 8+ - 3 6 9 3 3 0 - - 0 0 = A و 0 0 = B مفروضان د. ميخواهي م دو - 3 0 :لاث مدو ماتري س ماتریس AB و BA را محاسبه كنيم: - 3 0 - - 3+ + 0+ 0- + 0+ 3 0-4 AB = 0 0 0 0 = 0+ + 0 0+ 0+ 0 0+ 0+ 0 = 0 0 - + + + + - + + - 0 3 3 4 0 0 0 0 0 0 7 0 3 0 - - - 3+ 0-3+ 0-3+ 0+ 0-4 3 BA = 0 0 0 0= - + 0+ 0 + 0+ 0 + 0+ 0= - - 3 0 - + 0+ 3 - + 6 + 0+ 0 5

)( رد يعني ندارد جابهجايي خاصيت ماتريسها ضرب كه فهميد س ادگي به ميتوان مثال دو اين بررس ي با AB = BA گفت: نميتوان كلي حالت A A يعني A 3 و A A يعني A از منظور آنگاه باشد n مرتبة از مربعي ماتريس يك A اگر ماتریس مثال عنوان به رساند. توان به میتوان را مربعی ماتریسهای فقط کنید دقت ضمن در آخر. الي و نمیکند. صدق ماتریس ضرب تعریف در A3 A3 زیرا رساند توان به نمیتوان را 3 مرتبة از A - ماتریسی A B حاصل که آورید بهدست طوری را b و a مقادیر B = 4 - و 5 a A = b - اگر 4 باشد. قطری راهحل میآوریم: بهدست را A B ماتریس 5 a - 0+ 4a -5-a A B= = b - 4 - b-8 - b+ 4 بنابراین هستند صفر اصلی قطر پایین و باال درایههای قطری ماتریس در میدانیم - 5 - a = 0 a =- 5 b- 8= 0 b= 4 اگر 3 0 آوريد. بهدست را A ماتريس دوم ستون درايههاي مجموع A = 0-5 نوشت ميتوان A = A A چون 3 0 3 0 c A = 0-0 - = c c 3 ميآيند بهدست زير صورت به دوم ستون درايههاي c = [ 3 0] 0= 3+ 0+ 0= 3, c = [ 0 - ] 0= + 0- = c3 = [ ] 0=++= 0 راهحل است. 6 برابر A ماتریس دوم ستون درایههای مجموع بنابراین

)( اهدربراک و سیرتام :لوا لصف اگر A ماتريسی مربعي باشد A = A و B= A-I ثابت كنيد A3+ B3 = A+ B با توجه به اینکه A = A ميتوان گفت. A3 = A اکنون بايد ثابت كنيم. B3 = B» H¼U#¾M#Hn# ÃÎoŠ B= A-I B= ( A- I) = 4A- 4A+ I úIwn 4 راهحل A = A B B= 4A- 4A+ I= I B3= B. A3+ B3 = A+ پس B I) ( A- حاصل A 4 برابر کدام است 5 اگر = O 8A-7 I )4 4A-3 I )3 3A- I ) I ) به کمک اتحاد مربع مینویسیم: H¼U ¾M ( A- I) = O A- A+ I= O A= A-I A4= ( A-I) راهحل A A I A4 = - = 4A+ I-4A A4= 4 ( A- I) + I-4A A4= 4A-3I پس گزینة )3( درست است. بین - چهار تیم فوتبال C B A و D مس ابقاتی برگزار ش ده اس ت و نتایج در نمودار زیر رس م ش ده است. ماتریسی بنویسید که نمایشگر این نمودار باشد. - i i< ai مشخص کنید. را که در آن = i + i A= [ ai درایههای - ماتریس 3 ] i< و برای ai 3-3 ماتریس 34 ai] A= [ مفروض اس ت. اگر برای i= داش ته باش یم = 7 i a برای i> داش ته باشیم = i+ ai ماتریس A را با درایههایش مشخص کنید. داشته باشیم - = i. ai مجموع درایههای قطر اصلی A را بهدست آورید. 4 در -4 ماتریس 33 ai] A= [ میدانیم = i-5 i -+ i i> ai تعریف شده باشد مجموع درایههای ماتریس A را تعیین کنید. = i- i= - i < 5 اگر 5- در ماتریس 5 A درایهها به صورت

)3( d a b c e و d e f f a هستند مساوی صورتی چه در b c بیابید. را x- y+3 z مقدار A= B و 3 x+ y B = - ماتریس مدو 6- x- y 5 A = م -7 z اگر کنید. پیدا را زیر عبارات محاصل 8-5 3-6 0 + -4 الف( - -4 - -3 0 - - -3 - + 0-3 - ب( - - - 0 4 5 3 4 i+ i آورید. بهدست را -3B I ماتریس است. مفروض bi = تعریف با =B bi م 9-3i- i< [ ] ماتریس آورید. بهدست را A ماتریس - 3 5 A - + 3 = 4 5 6 4 m - 0 n - 3 آورید. بهدست را m-4 n مقدار + = + - n 3 m - m تساوی از 00 تساوی از b 3a - آورید. بهدست را -a +b c حاصل میکنند. صدق B= ( A-I) تساوی در B = و A = ماتریسهای - c 0 4 3-4 - اوی تس در که کنید پیدا وری ط را C ماتریس د مانن 3 ماتریس ک ی. B = -4 5 و A = - 5 د کنی رض ف 33 0 6-3 کند. صدق 3A-B- =C O -m- n+ m- n را m+ n دار مق c = -c و c = 3 c 3 C= A-B B= m+ 3 A = 3 - م بدانی ر اگ 44-4 n آورید. بهدست 5 A+ 3B= - 4 0 3A- B= - آورید. بهدست را A ماتریس درایههای زیر ماتریسی دستگاه در 55 معین سال یک در بازار هر در محصول هر شدة فروخته واحدهای تعداد میفروشد. n و m بازار دو در را c و b a محصول سه کارخانهای 66 a b c 8 / m 5000 000 500 و فروش قیمت ترتیب به C = 35 / و B = 4 ماتریسهای است. شده خص مش A = ماتریس با n 5 / 3 000 000 000 کنید. تعبیر و تعیین را AB- AC و AC AB ماتریسهای از یک هر درایههای میدهند. نشان را c و b a از واحد هر شدة تمام قیمت

)4( لصف :لوا سیرتام و اهدربراک 3-5 - آورید. بهدست را BA و AB ماتریسهای B = و A = 0 3 4-0 اگر 77 - x x آورید. بهدست را x 0 + + x = 0 ماتریسی معادلة جوابهای مجموع 88 3 د باش ته داش جابهجایی خاصیت B و A ماتریس دو حاصلضرب اگر مفروضاند. =B [ bi ] و A - = س ماتری دو 99 است. صفر برابر B فرعی قطر روی درایههای مجموع دهید نشان آورید. بهدست را ab + a + b مقدار باشد داشته جابهجایی خاصیت 3 a B = b - و A = ماتریس دو ضرب اگر 00 x 3 - y+ 5 آورید. بهدست را 3 +x y مقدار = 4 y -3x x x کند. صدق A = y - y ماتریسی تساوی در تساوی در که کنید پیدا گونهای به را A ماتریس آورید. بهدست را A درایههای مجموع مقدار کمترین A = A اگر هستند. طبیعی اعدادی A ماتریس درایههای 33 0 0-4 a را +a b مقدار د باش قطری ماتریس AB ماتریس ر اگ د. بگیری ر نظ در را B = و A = 3 b - س ماتری دو 44 آورید. بهدست - 0 آورید. بهدست را ACB ماتریس C = - 5 4 و B = 3-4 A 3 = اگر 55-7 را BAB ماتریس دوم تون س و وم س طر س درایة دهاند. ش داده B 3 = 3-5 و A = 66 0 4 0 4 6 ماتریسهای - AB= BA= O A= OIÄ B= O آورید. بهدست است. نادرست زیر نتیجهگیری دهید نشان مثال یک با 77. AB = AC ولی B C که بزنید مثال گونهای به را C و B A ماتریسهای 88 - -4-3 -5 است. نادرست زیر نتیجهگیری دهید نشان آنها کمک به مفروضاند. B = - 3 4 و A = - 4 5 - - 3-3 -4 ماتریس دو 99 AB= A B= I

فصل اول درس اول: ماتریس و اعمال روی ماتریسها پرسش های چهارگزینه ای ماتريسهاي - A و B تعداد قبولي و مردودي در درس هندس ه و گسس ته در دو مدرس ه را نشان ميدهند. چند درصد از دانشآموزان اين دو دبيرستان در درس هندسه قبول شدهاند مردود قبول مردود قبول 8 4 هندسه 0 90 هندسه A= B= گسسته 89 0 40 گسسته / 4 % )4 88 % )3 86 % ) 4 % ) در - ماتریس ] A= [ i مجموع درایهها برابر کدام است ) صفر ) )3 )4 3 3 اگر -3 3 ] i A = [ و 33 ] ) B= [( i مقدار ab 3 a3b3 كدام است 0 )4 6 )3 0 ) 58 ) 3i i< bi مفروضاند. مجموع B= bi با تعری ف = 4-4 i i ai و ماتری س 33 ] [ ماتری س 33 ai] A= [ ب ا تعریف = i درایههای باالی قطر اصلی ماتریس A B چقدر است ) 4 ) 3 )3 صفر )4 4 5 = nb ma صدق میکنند. زوج مرتب ), mn ( برابر 3 0 = B در تساوی 3 3 0 A و = 5 ماتریسهای 5- ), ( )4 این تساوی ممکن نیست. )3 (, ) کدام است ) (,) ) +A كدام است B ماتريس B = [( ) i+ ] i ] A = [ و 6-6 اگر I )4 3 3 )3 3 0 0 3 3 3 ) 3 I ) 7 با 7- توجه به دستگاه ماتريسي زیر دراية واقع بر سطر اول و ستون دوم ماتريس A كدام است 3 A+ B=, A 3B= 0 0 3 )4 5 )3 ) 3 5 ) 3 = B و ضرب اين دو ماتريس خاصيت جابهجايي داشته باشد مقدار +a b كدام است b A = a 8 )4 7 )3 6 ) 5 ) 8 اگر 8-

)8( اهدربراک و سیرتام :لوا لصف - A مقدار B A - B - 0 + = -3 7 3-6 0 3 - α- = AB و 0 β+ باش ند 9- ماگر A و B دو ماتریس α+β برابر کدام است ) صفر ) 4 )3 )4 - BA) ( AB- کدام است - = B ماتریس 0 - A و = 0 B+ I )4 O )3 A+ I ) I ) 4-3 4 a = A B = و حاصلضرب A B ماتریس قطری باشد مقدار a- b برابر کدام است 3 - b - اگر 00 اگر 5 )4-9 )3-6 ) - 5 ) 3-5 - 0 0 مجموع درایههای قطر اصلی حاصلضرب دو ماتریس 0 و 0 4 برابر کدام است 0 0 7 0 6 5 )4 0 )3 30 ) 5 ) i- i< =B [ i مفروض هس تند. مجم وع درایههای ماتریس - ] 3 و ماتریس ai = i+ i= با تعریف A= ai 3 ] i - i > 33 AB کدام است -7 )4 7 )3-38 ) 38 ) 4 5-3 = C و D = ABC درای ة س طر دوم و س تون اول - 3 0 B = - 0 3 4 3 - A = 0 4-5 6 اگ 44 ر ماتریس D برابر کدام است 6 )4 7 )3-4 ) -6 ) اگر 55 A و B دو ماتريس مربعي باشند به طوريكه AB+ BA = O كدام گزينه صحيح است AB = -BA ) AB = AB ) A B = -BA )4 BA = A B )3 B+ A + 7 برابر کدام است اگر 66 A+ B=7 I ماتریس AB 49I )4 I )3 4I ) 7I ) A 77 و B دو ماتریس مربعی هممرتبه هستند و AB+ BA = O ماتریس AB حتما کدام است 4 BA )4-4 BA )3 BA ) - BA ) 88 اگر AB + BA = O و λ B 3 A = AB 3 مقدار λ كدام است - 8 )4-4 )3 4 ) 8 )

)9( است کدام حتما ( A I) 5 حاصل A A= O و باشد مربعی ماتریسی A اگر 99 A+ I )4 A I )3 A I ) I ) است کدام k مقدار A5 A4= ka ( I) و A = 3A I اگر 00 3 )4 6 )3 8 ) 4 ) است كدام برابر A 3 A = 4A 3 I اگر 3A+ I )4 6A I )3 3A I ) 6A+ 8 I ) است كدام mn مقدار A = ma ni و A = 3 4 / 5 )4 5 )3 5 / ) 5 ) اگر a b b ( a b) كداماست a+ b باشد مقدار A يكچهارممجموعدرايههايماتريس A= a b b اگرمجموعدرايههايماتريس 33 0 0 0 0 )4 8 )3 4 ) ) 9 5 a b ab A = 0 9 0 طوريكه به دارد وجود A= 0 a b 0 0 9 a 0 0 شكل به ماتريس چند 44 بیشمار )4 هيچ )3 ) ) 4 3 6 8 است کدام برابر A 4 ماتریس اصلی قطر درایههای مجموع A = 3 6 8 6 )4 6 )3 8 ) ) اگر 55 است كدام ( A+ I)( 3A I) حاصل A + A= O اگر 66 A I )4 A+ I )3 A I ) A ) است كدام برابر A 4 + I ماتريس A A+ I= O اگر 77 8A I )4 4A I )3 I ) 8A 3 I ) است كدام ( +A I) حاصل A 3 + A= I طوريكه به باشد مربعي ماتريسی A اگر 88 A+ I )4 A + I )3 A I ) A I ) 40 ) 0 0 0 )4 0 0 است كدام برابر A 0 ماتریس A = 99 0 اگر 0 ) 0 40 )3 0

)30( اهدربراک و سیرتام :لوا لصف A 00 cos كدام است α sin αcos α = A مجموع درايههاي ماتريس 3 اگر 030 sin α cos α sin α + cos α ) + sin α ) + cos α )4 + sin α )3 a b 0 A387 مقدار a+ b+ c+ d كدام است = A و = c d - 0 - )4 8 3 )4 )3 ) - ) 6 A كدام است = A مجموع درايههاي ماتريس 37 )3 3 6 ) 3 5 ) 0 0 6 A مجموع درايههاي ستون دوم كدام است 0 = A در ماتريس 7 )4 7 )3 6 ) ) 3 اگر 3 3 اگر 3 3 اگر 333 A+ A4- A3+ A- کدام است I -3-5 5-4 = A حاصل عبارت - - 3 4 3 اگر 434 A- I )4 I )3 A+ I ) O ) 3 ماتريس 535 33 ] -i =A [ مفروض است. مجموع درايههاي سطر دوم ماتريس A 5 كدام است 8 )4 8 )3 43 ) ) ( A3+ I )( A4 كدام است 3 -I3) آنگاه حاصل عبارت i+ i< ai = =A ai داشته باشیم 0 i [ ] 33 A5 -I 3 )4 A -A 3 اگر 636 در ماتريس 7 )3 A -A ) A-I 3 ) 0 0 395 A کدام است 0 0 - = A مجموع درایههای ماتریس - 0 0 ) 3 ) - )3 صفر )4-3 3-3 4 4 A كدام است )خارج از کشور ریاضی 9( 4-3 = A ماتريس - 0 ( اسکالر ( ماتریس صفر 3( قطري غيرهماني 4( هماني 3 اگر 737 3 اگر 838

)3( a i تعریف شده است. مجموع درایههای ماتریس A - 4 A کدام است م = i= i A= [ ai به صورت 3 939 ماتریس 33 ] )خارج از کشور ریاضی - 96( )4 8 )3 5 ) ) - = A مجموع درایههای ماتریس A A کدام است )تجربی - )97 3 4 4 اگر 040 44 )4 4 )3 40 ) 36 ) C A کدام است م 4 3 6 4 6 = A B = و = C مجموع درایههای قطر اصلی ماتریس 4 4 B اگر 8 4 8 4 3 )ریاضی - )97 4 )4 0 )3 8 ) 6 )

اول فصل ها تمرین حل راه با است برابر A اصلی قطر درایههای مجموع پس a+ a + a33 =-3- + 3=- ش ده داده تعریف با را A 5 ماتری س 5 درایهه ای میآوریم. بهدست a = ()-=, a =- =- a3 = - 3=-, a4 = - 4=-3 a5 =- 5=- 4, a =-+=- a = ()- =, a3 = - 3=- a4 = - 4=- 3, a5 = - 5=-4 - - -3-4 A = - - -3-4 5 بنابراین است. 7- برابر A ماتریس درایههای مجموع پس 3 مرتبة از اولی نیس تند هممرتبه ماتریس دو ماین نمیتوانند صورتی هیچ در پس اس ت 3 مرتبة از دومی و ماتریس دو برابری شرط که باشید داشته توجه باشند. مساوی است. آنها نظیر به نظیر درایههای برابری و آنها بودن مرتبه هم دو به دو نظی ر درایههای مس اوی ماتری س دو مدر پس مساویاند. 3= x- y A= B x+ y= 5 z = - x- y= 3 x+ y= 5 + 4x= 8 x=, y=. x- y+ 3z = -+ 3( - ) 5-= بنابراین 6 7 تیم دو بین واصل منحنی یا خط هر روی پیکان جه ت ماتریس بنابراین است. بازنده تیم سمت به برنده تیم طرف از است. زیر صورت به اطالعرسانی شبکة این A B C D A 0 0 B 0 0 0 C 0 0 D 0 0 0 دارد. زیر صورت به درایه ۶ A ماتریس a = () += 3, a = ( )-= 3 a3 = () 3 -= 5, a = () += 5 a = () + = 6, a3 = () 3 - = 4 بنابراین A 3 3 5 = 5 6 4 با برابرند A ماتریس درایههای A تعریف 3 بنابر 3 a = 7, a = -= 0, a = 3 -= 0 a = 4 -= 0, a = + = 4, a = 7 a = 3 -= 3, a = 4 -= 3, a3 = 3+ = 5 a3 = 3+ 4= 7, a33 = 7, a = 34 3 -= 8 بنابراین 7 0 0 0 A = 4 7 3 3 5 7 7 8 میخواهیم را A اصلی قطر درایههای مجم وع 4 چون 4 میکنیم. پیدا ش ده داده تعریف با را درایهها همین فقط پ س هستند: A ماتریس اصلی قطر درایههای a 33 و a a a = ()() - 5 () =-3 a = ()() - 5 () =- a33 = 3 ()() 3-53 () = 3

)77( دو طرف تس اوی را حساب میکنیم سپس درایههای نظیر را مساوی هم قرار میدهیم: m - 0 n - 3 + = + - n 3 m - m m- n+ = n+ 3m بنابراین m- = n+ m- n= 3 n+= 3m 3m- n= ù ïâ m=- m=- در نتیجه -4 = n. پس m- 4n = ( -)-4 (- 4) =- + 6= 4 ماتریسهای A و B را در تساوی داده شده قرار میدهیم: b 3a - 0 B= ( A-I) = ( -) - c 0 4 0 b 3a- - = - c 0 3 b 6a- -4 = - c 0 6 اکنون درایههای نظیر این دو ماتریس را مساوی هم قرار میدهیم: 6a- = a= 4 = 6 3 b=- 4, c= 6 a- b+ c= 4 + 4+ 6= 34 3 3 بنابراین ماتریسهای 3 A و B را در تس اوی داده ش ده قرار میدهیم تا ماتریس C را پیدا کنیم: -4-3 3A-B- C= O 3-5 --4 5- C= O - 3 0 6 - -6 3-4 -9-3 5 -- 4 5 = C 0 = C - - 9 6 0 6 9 0-7 - 9 C = 5-9 0 8 ممیدانی م ماتریسهای هممرتبه قاب ل جمع و تفریق هستند بنابراین الف( 5 3-6 0 + -4 - -4 - -3 5 3-4 0 4 = + - - -4-8 - = -8 6 ب( 0 - - -3 - + 0-3 - - - - 0 4 5 3 4-0 - 4 = -3 - + 0-6 -4 - - - 0 4 5 6 8 0-5 = -3-4 -5 - - 3 9 مابتدا با تعریف داده ش ده درایهه ای ماتریس B را بهدست میآوریم: b = += 3, b = 3-4=- b = 4+= 5, b = 4+ = 6 پس 3 - B = 5 6 بنابراین 3-0 7-3 3B- I= 3- = 5 6 0 5 6 تس اوی 0 داده ش ده را به ص ورت زیر مینویس یم تا ماتریس A را پیدا کنیم: 5 - -3 3 3A= - 3A= 6 4 4 5 - A = 3-3 3

از BA ماتری س و ۳ ۳ مرتب ة از AB ماتری س 7 است: ۲ ۲ مرتبة ۳ 5 5 6 ۲ 5 AB = ۲ 4 = 8 0 0 0 ۳ 0 ۲ ۲ 0 6 ۳ ۲ 5 6 ۲0 BA = ۲ 4 = 0 ۳ ۳ 7 0 ۲ شده داده تس اوی اول طرف ماتریسهای ضرب ابتدا 8 میآوریم: بهدست را x۲ x + x۲ 0 + x ۲ ۲ ۲ ۳ x۲ + x = x۲ x+ ۲ ۲ ۲ ۳ = ( x۲ ۲x+ ۲)( x۲+ ۲x) + ۳.( x۲ ۲x+ ۲)( x۲+ ۲x) + ۳= 0 بنابراین x۲ + ۲ x= t میکنیم فرض معادله این حل برای ( t+ ۲)( t) + ۳= 0 t۲+ ۲t+ ۳= 0 t۲ ۲t ۳= 0 ( t ۳)( t+ ) = 0 t= ۳IÄ t= x۲+ ۲x= ۳ x۲+ ۲x ۳= 0 نتیجه در ( x+ ۳)( x ) = 0 x= ۳, x= یا x ۲ + ۲x= x ۲ + ۲x+= 0 ( x+ ) ۲ = 0 x= x = ۳ x = برابر ماتریسی معادلة این جوابهای بنابراین است. ۳ برابر جوابها مجموع نتیجه در هستند x = و a b بنابر صورت این در. B = میکنیم ف رض 9 c d سؤال فرض AB = BA ۲ a b a b ۲ = ۲ c d c d ۲ ۲a c ۲b d ۲a+ b a+ ۲b = a+ ۲c b+ ۲d ۲c+ d c+ ۲d نتیجه در برابرند ماتری س دو این نظی ر درایههای بنابرای ن بنابرای ن. b+ c=0 یعن ی c= b پ س. ۲a c= ۲a+ b است. صفر B ماتریس فرعی قطر درایههای مجموع )78( لصف :لوا سیرتام و اهدربراک میکنیم: پیدا را C ماتریس درایههای ابتدا 4 m n۲ m n+ ۲ C= ۲A B= ۲ ۳ m+ ۲ ۳ ۲ n 4 ۲ ۳m ۲n۲ n ۲ = 4 m 5 0 ۲n + ۲ سؤال فرض بنابر اکنون c = c۲۲ ۳m = ( 5) ۳m= 6 m= ۲ c۲ = ۳c۳۲ 4 m= ۳۲ ( n+ ۲) m= ۲ ۲= 6n+ 6 n= 4 = ۲ 6 ۳ بنابراین ۲m+ n= 4 ۲ = 0 ۳ ۳ ض رب ۳ در را دوم تس اوی و ۲ در را اول تس اوی 5 ماتریس تا میکنیم جمع هم با را آنها طرفین س پس میکنیم آید: بهدست A ۲ 5 4A+ 6B= ۲ 4 0 9A 6B= ۳ ۲ ۲ + 4 0 ۳ 0 ۳A = + ۲ 8 6 6 7 0 7 0 ۳A= A= ۳ ۳ 4 ۲ 4 ۲ ۳ ۳ میدهد: نشان را بازار هر در فروش قیمت AB ماتریس 6 ۲ 5000 ۲000 500 ۲۲500 AB = 4 = ۲000 ۲000 000 5000 ۳ میکند: مشخص را بازار هر در شده تمام قیمت AC ماتریس 8 / 5000 ۲000 500 9750 AC = ۳5 / = ۲000 ۲000 000 ۳00 ۲5 / میدهد: نشان را بازار هر در سود میزان AB AC ماتریس پس AB AC ۲۲500 9750 = = ۲750 5000 ۳00 900

اول فصل ای چهارگزینه های پرسش پاسخ دانشآم وزان تع داد A ماتري س در 3 - ةنیزگ دانشآم وزان تع داد B ماتري س در و +90 =0 00 دانشآموزان كل تعداد = +00 =50 50 همچنین است. 4+ 8 = 50 هندسه درس در شده قبول دانشآموزان تعداد = +90 =4 3 دو در هندسه درس در شده قبول دانشآموزان درصد بنابراين 3 00 = 88 % 50 با است برابر مدرسه را A= [ i- ] ماتری س درایهه ای 3 - ةنیزگ - A= [ i- ] = 3 0 میکنیم: تعیین است. - + 3+ 0= برابر A ماتریس درایههای مجموع پس B و A ماتريس دو تعريف به توجه با 3 - ةنیزگ 3 a = -=, a3 = 6-= 5, b =, b3 = 4 بنابراین ab - 3a3b 3 = ( )( ) - 3( 5)( 4) = - 60=-58 ب ا را B و A ماتریسه ای درایهه ای 4 - ةنیزگ 4 میآوریم: بهدست شده داده تعریفهای ش ده داده تس اوی در را B و A ماتریسهای 45 - ةنیزگ 5 میدهیم: قرار -4 5 ma - nb = 3 0-3 0-4 5 m- n = - 3 3 - n=-4 n= 4 بنابراین - 3m = 5 m =- 5 3 m+ n= 3 m - 3n = دیگر معادلة دو در n و m ب رای آمده بهدس ت مقادیر چون ندارند. وجود ای n و m چنین پس نمیکنند صدق B و A ماتريسهای تعري ف به توجه ب ا 6 - ةنیزگ 6 ميآوريم: بهدست را ماتريس دو اين درايههاي a = 0=, a = - = A = a = =, a = 0 = b = (- ) =, b = (- ) 3 =- - B = b = (- ) 3 =-, b = (- ) 4= - آوريم: بهدست را +A B ماتريس ميتوانيم اکنون - A B 3 0 + = + = - 3 3 ميآوريم: بهدست را A ازدستگاهدادهشدهماتريس 7 - ةنیزگ 7 3-9 -6 3 A+ B= 3A+ 3B= 0 3 0 A- 3B= A- 3B= 0 3 0 3 + -5-5A= A= 5 3 3 3 3 5 5 است. - برابر A ماتریس دوم ستون و اول سطر درایة بنابراین 3 5-3 A= [ - i] 33 = 0 4, B= 0-0 - - - 3 3 بنابراین 3 5-3 A- B= 0 4-0 - 0 - - - 3 3 3 - = 0 6 4-3 3 9 برابر -A B ماتریس اصلی قطر باالی درایههای مجموع پس. -+ 4= با 4 است

ةنیزگ - 3 ابتدا حاصلضرب A B را پیدا میکنیم: 4 a 4-3 A B= b - 3-6+ 3a --a = 4b-6-3b+ 4 )0( اهدربراک و سیرتام :لوا لصف 8 ةنیزگ - 38 ميدانيم ضرب دو ماتري س در حالت كلي خاصيت جابهجايي ندارد. در اين مسئله فرض بر اين است كه AB = BA. AB = BA بنابراین b - 3-3 b = a - - a -+ b 3-b 5 - b+ 3a = - + a 6-a - b-a -+ b= 5 b= 6 -+ a =- a = توج ه کنید ک ه = a و 6= b در دو معادلة دیگر نیز صدق میکنند پس این مقادیر قابل قبول هستند. بنابراين 7=b. +a 9 ةنیزگ - 9 از تس اوی داده شده از سمت چپ ماتریس A و از سمت راست ماتریس B را فاکتورگیری میکنیم: - - - 0 A B+ A B= -3 7 3-6 0 3 - - - 0 A( + ) B= -3 7 3-6 0 3 I - 0 AIB = AB = 0 3 - α- از طرف دیگر طبق فرض = AB. در نتیجه 0 β+ α- = 0 α=, β+ = 3 β=. α+β= + = بنابراین 4 0 ةنیزگ -0 ابت دا ماتریسهای AB و BA را بهدس ت میآوریم: - - - AB = = 0 0 - - - - BA = = 0 0 0 پس - - - 0 AB- BA = - = - 0 - بنابراین - - ( AB- BA) 0 0 0 = = - - 0 در ماتری س قطری درایههای باال و پایین قطر اصلی همیش ه صفر هستند پس برای اینکه AB ماتریس قطری باشد باید 4b- 6= 0 b= 3 -- a= 0 a=-6 a- b=-6-3=-9 بنابراین ةنیزگ - 4 مجم وع درایهه ای قط ر اصل ی ماتریس حاصلضرب مورد نظر اس ت پس فق ط درایههای روی قطر اصلی ماتریس ضرب را بهدست میآوریم: 3-5 - 0 0 0 4 0 0 0 7 0 6-3- + 0?? =? 0+ 4+??? + + 0 0 4 پس مجموع درایههای قطر اصلی این ماتریس برابر است با - 5+ 6+ 4= 5 3 ةنیزگ -3 درایهه ای ماتریسهای A و B را بهدس ت - -3 - - A=, B= - 0 0 4 7 5 میآوریم: اکنون میتوانیم ماتریس AB را بهدست آوریم: - -3 - - AB = - 0 0 4 7 5-8 -6 = -5 بنابراین مجموع درایههای ماتریس AB برابر است با -8-6+- 5 =-38

)03( میگیری م نتیج ه A - A= O ف رض از 3-9 9 ةنیزگ ستون دوم سطر درایة آوردن بهدست برای -4 4 ةنیزگ ضرب B ماتریس در را A دوم س طر بای د D ماتری س اول س ایر )به کنیم ضرب C اول س تون در را حاص ل س پس و نداریم(: احتیاجی D ماتریس درایههای d = A ³» oõw B uäoui C Ï»H ¼Tw d = 0 4-0 - 3 4 = 0 6 = 0-6=-6 - زير ص ورت به AB+ BA = O ف رض از 3-5 5 ةنیزگ ميكنيم: استفاده Oa#pH Hn A AB+ BA = O AB+ ABA = O ù  #Jo SwHn#pH Hn A AB+ BA = O ABA + BA = O ù  #Jo AB- BA= O AB = BA ماتریس ضرب پخشی خاصیت از استفاده با 4-6 6 ةنیزگ AA ( + B) ص ورت ب ه را A + AB ماتری س جم ع در A + 7B+ AB = A( A + B) + 7B 7I نتیجه در مینویسیم. = 7A+ 7B= 7( A + B) = 49I 7I میگیریم نتیجه AB+ BA = O ف رض از 4 7-7 ةنیزگ پس. AB = -BA AB = A( AB) = A( - BA) =-( AB) A =-( - BA) A = 4BA است. 4 BA برابر AB بنابراین ميگيريم نتيجه AB+ BA = O ف رض از 4 8-8 ةنیزگ ضرب ش ركتپذيري خاصيت به توج ه با. AB = - BA مینویسیم: ماتريسها AB3 = ( AB) B= (- BA) B=- B( AB) B =- B( - BA) B = B( AB) 4 = B( - BA) =- B3A 4 8. λ=- نتيجه در AB3 B A 8 = - 3 پس 8 A توان هر یعنی اس ت خودتوان ماتریس A پ س. A = A ماتریس ابت دا ( A (I محاس بة ب رای اس ت. A برابر - 5 میآوریم: بهدست را ( A (I ( A- I) = 4A+ I- 4A= 4A+ I- 4A= I ( A- I) 5 = [( A-I) ] ( A-I) I = I( A- I) = A-I - را A 4 ماتری س A = 3A- I رابط ة از 3 0-0 ةنیزگ میآوریم: بهدست A # H¼U = 3A-I A4= 9A+ 4I-A A = 3A-I A4 = 9( 3A- I) + 4I-A A4= 7A- 8I+ 4I-A A4= 5A-4I میآوریم: بهدست را A 5 ماتریس اکنون A A4 Jo n# = 5A-4I A5= 5A-4A ù  ### A = 3A-I A5 = 5( 3A-I) -4A A5 = 45A-30I-4A A5 = 3A-30I با است برابر A5-A4 ماتریس بنابراین A5- A4= ( 3A-30 I) -( 5A-4I) = 6A- 6I= 6( A-I) A 5 - A 4 = ka ( -I) رابطة و آمده بهدست تساوی مقایسة با. k =6 میگیریم نتیجه A در را A = 4A-3 I ف رض طرفي ن - ةنیزگ A A = 4A- 3I A3= 4A- 3A A = 4A-3I A3 = 44 ( A-3I) -3A A3= 6A-I-3A A3 = 3A-I ميكنيم: ضرب