Σχολικό Έτος 08-09 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΟΡΜΗΣ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α. ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Όταν ένα σύνολο από σώματα οριστεί ότι αποτελεί σύστημα σωμάτων, τότε οι δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα του συστήματος διακρίνονται σε: Εσωτερικές, όταν ασκούνται από σώματα του συστήματος σε άλλα σώματα του συστήματος. Εξωτερικές, όταν ασκούνται από σώματα εκτός του συστήματος σε σώματα του συστήματος. Αφού οι δυνάμεις στην φύση εμφανίζονται πάντα κατά ζεύγη, σε ένα σύστημα σωμάτων, οι εσωτερικές δυνάμεις θα εξουδετερώνονται. Όταν στο σύστημα σωμάτων δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις ή αν ασκούνται έχουν συνισταμένη μηδέν το σύστημα ονομάζεται μονωμένο. Β. ΟΡΜΗ Ορμή υλικού σημείου, ονομάζεται το διανυσματικό φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο είναι ανάλογο της μάζας και του μέτρου της ταχύτητας του υλικού σημείου και η κατεύθυνσή του είναι ίδια με αυτήν της ταχύτητας (Σχήμα.). p m.υ (.) Σχήμα. Στο S.I. η ορμή έχει μονάδα μέτρησης kg.m/s Ορμή συστήματος σωματίων, ονομάζεται το διανυσματικό άθροισμα των ορμών κάθε σώματος (υλικού σημείου). p p p... (.)
Σχολικό Έτος 08-09 3 Γ. Η ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ. Γενίκευση του ου Νόμου του Newton Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος. Δp F = (.3) Δt Η κατεύθυνση του Δ p είναι ίδια με την κατεύθυνση του F. Πράγματι: F - m - m m. m. t t p p t - p t Για ένα σύστημα σωμάτων μας ενδιαφέρει η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων μόνο, αφού η εσωτερικές δυνάμεις αλληλοεξουδετερώνονται, οπότε θα ισχύει αντίστοιχα: ΔpΟΛ FΕΞ = (.4) Δt δηλαδή η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα σωμάτων ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ολικής ορμής του συστήματος.. Αρχή Διατήρησης της Ορμής Όταν σε ένα σώμα η συνιστάμενη δύναμη είναι ίση με μηδέν τότε η συνολική ορμή του σώματος παραμένει σταθερή. Πράγματι: Δp F = = 0 Δp = 0 p = σταθερή Δt Δηλαδή: F = 0 p = (.5) ΑΡΧ p ΤΕΛ Ομοίως όταν ένα σύστημα σωμάτων είναι μονωμένο, αφού η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι ίση με μηδέν τότε και η ολική ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή αφού: F Δp Δt Δp p ΟΛ ΕΞ = = 0 ΟΛ = 0 ΟΛ = σταθερή Δηλαδή για μονωμένο σύστημα: p ΑΡΧ p ΟΛ = ΤΕΛΟΛ (.6) Ένας άλλος τρόπος για να δείξουμε το παραπάνω είναι ότι σε μονωμένο σύστημα σωμάτων, όταν δηλαδή σε ένα σύστημα σωμάτων ασκούνται μόνο εσωτερικές δυνάμεις,
Σχολικό Έτος 08-09 33 τότε προφανώς για δύο σώματα του συστήματος με μάζες m και m που αλληλεπιδρούν θα ισχύει: F - F m. -m. t t p p p - p p p 0 t t p 0 p ή p ΑΡΧΟΛ = p ΤΕΛΟΛ Τα παραπάνω αποτελούν την αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.). Δ. ΚΡΟΥΣΕΙΣ Δ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΙΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ Κρούσεις ονομάζονται τα φαινόμενα κατά τα οποία μεταξύ δύο ή περισσοτέρων σωμάτων αναπτύσσονται δυνάμεις πολύ ισχυρές για πολύ μικρό χρονικό διάστημα, ακόμα και αν τα σώματα δεν έρχονται σε επαφή, επίσης π.χ. συμβαίνει με τα σωμάτια α όταν εκτοξεύονται εναντίον ακίνητων πυρήνων. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ:. Σε κάθε κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) ακόμα και αν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων δεν είναι μηδέν, διότι ο χρόνος κρούσης των σωμάτων είναι τόσο μικρός, ώστε οι εξωτερικές δυνάμεις δεν προλαβαίνουν να μεταβάλλουν την ορμή του συστήματος, αφού από την γενίκευση του θεμελιώδη νόμου επίσης μηχανικής σε ένα σύστημα σωμάτων γνωρίζουμε: ΔpΟΛ Fεξ = Δp = F.Δt Δt ΟΛ εξ Άρα αν Δt 0 τότε Δp ΟΛ 0, δηλαδή η μεταβολή της ολικής ορμής των σωμάτων είναι περίπου μηδέν και επομένως p ΟΛ=σταθερό.. Επειδή οι κρούσεις είναι στιγμιαία φαινόμενα, τα σώματα που συγκρούονται αμέσως πριν και αμέσως μετά την κρούση έχουν την ίδια θέση δηλαδή έχουν την ίδια βαρυτική δυναμική ενέργεια. Επομένως: ΔΕ=ΕΤΕΛ-ΕΑΡΧ=(ΚΤΕΛ+UΤΕΛ)-(ΚΑΡΧ+UΑΡΧ)= ΚΤΕΛ+UΤΕΛ-ΚΑΡΧ-UΑΡΧ Όπως όμως είδαμε: UΑΡΧ=UΤΕΛ οπότε τελικά: ΔΕ=Κ ΤΕΛ-Κ ΑΡΧ=ΔΚ (.7) δηλαδή αμέσως πριν και αμέσως μετά την κρούση η μεταβολή της ολικής ενέργειας ισούται με την μεταβολή της κινητικής ενέργειας. Η μεταβολή αυτή της ενέργειας είναι συνήθως κατά απόλυτη τιμή ίση με την εκλυόμενη ενέργεια κατά την διάρκεια της κρούσης (εκλύεται ενέργεια με την μορφή θερμότητας).
Σχολικό Έτος 08-09 34 Δ. ΕΙΔΗ ΚΡΟΥΣΕΩΝ Α. ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΡΟΥΣΕΩΝ ΜΕ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΙΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΠΡΙΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΚΡΟΥΣΗ. Κεντρική ή μετωπική κρούση: Ονομάζεται η κρούση όταν τα σώματα πριν την κρούση, έχουν τις διευθύνσεις των ταχυτήτων των κέντρων μάζας τους πάνω στην ίδια ευθεία (Σχήμα.). Μάλιστα αν τα συγκρουόμενα σώματα είναι σφαίρες οι ταχύτητες των κέντρων μάζας πριν αλλά και μετά την κρούση θα είναι πάνω στην ίδια ευθεία. Σχήμα.. Έκκεντρη κρούση: Ονομάζεται η κρούση όταν τα σώματα πριν την κρούση έχουν ταχύτητες των κέντρων μάζας τους, να έχουν διευθύνσεις πάνω σε παράλληλες ευθείες (Σχήμα.). Σχήμα.3 3. Πλάγια κρούση: Ονομάζεται η κρούση όταν τα κέντρα μάζας των σωμάτων πριν την κρούση έχουν ταχύτητες με διευθύνσεις τυχαίες (δηλαδή υπό γωνία, Σχήμα.4). Σχήμα.4 Β. ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΚΡΟΥΣΕΩΝ ΜΕ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΙΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΤΟΥΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΚΡΟΥΣΗΣ. Ελαστικές: Ονομάζονται οι κρούσεις κατά τις οποίες διατηρείται η ολική μηχανική ενέργεια (άρα και η ολική κινητική ενέργεια, αφού ήδη έχουμε αναφέρει ότι κατά την διάρκεια κάθε κρούσης η ολική βαρυτική δυναμική ενέργεια δεν μεταβάλλεται). Δηλαδή στις ελαστικές κρούσεις: ΔΕ ΔΚ Κ Κ (.8) ΟΛ ΟΛ ή ΟΛαρχ = ΔΚ ή ΔΚ = -ΔΚ ΟΛτελ ΔΚ αφού ΔΚ ΟΛ = 0 (.8)
Σχολικό Έτος 08-09 35. Ανελαστικές: Ονομάζονται οι κρούσεις κατά τις οποίες η ολική μηχανική ενέργεια (άρα και η ολική κινητική ενέργεια) μειώνονται. Η απόλυτη τιμή της μεταβολής της ενέργειας ισούται (συνήθως) με την εκλυόμενη θερμότητα κατά την διάρκεια επίσης κρούσης. Δηλαδή στις ανελαστικές κρούσεις: Q ΔΕ ΔΚ Q K Κ (.9) ΟΛ ΟΛ ΟΛτελ ΟΛαρχ Ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης, είναι η πλαστική κρούση, στην οποία τα σώματα που συγκρούονται συσσωματώνονται και κινούνται ενιαία σαν ένα. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το ποσοστό μείωσης επίσης μηχανικής ενέργειας σε μία κρούση δίνεται από την σχέση: ΔΚΟΛ α%.00 (.0) Κ ΟΛαρχ Δ3 ** (ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ). ΜΕΤΩΠΙΚΗ (ΚΕΝΤΡΙΚΗ) ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΦΑΙΡΩΝ Σε μια κρούση ισχύει πάντα, όπως έχουμε ήδη δει, η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.). Αν συγκρουστούν μετωπικά και ελαστικά δύο σφαίρες με μάζες m και m και ταχύτητες των κέντρων μάζας τους υ και υ αντίστοιχα και μετά την κρούση οι ταχύτητές των κέντρων μάζας τους είναι αντίστοιχα υ και υ (όλες οι ταχύτητες θα είναι βέβαια συγγραμικές), τότε με εφαρμογή επίσης Α.Δ.Ο. θα έχουμε: p m.υ m.υ m.υ m.υ m.(υ υ ) m.(υ υ ) pολαρχ ΟΛτελ (.) Με εφαρμογή της αρχής διατήρησης της κινητικής ενέργειας (Α.Δ.Κ.Ε.) (στην ελαστική κρούση) θα έχουμε: KΟΛαρχ ΚΟΛτελ.m.υ.m.υ.m.υ.m.υ m.(υ υ ) m.(υ υ ) m.(υ υ ).(υ υ ) m.(υ υ ).(υ υ ) (.) Διαιρώντας επίσης σχέσεις (.) και (.) κατά μέλη θα έχουμε: υ υ υ υ (.3) Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (.) και (.3) θα έχουμε: m m.m υ.υ.υ (.4) m m m m υ.υ m m m m m m.m.υ (.5) Να τονίσουμε ότι σε όλη την διαδικασία έχουμε θεωρήσει ότι οι ταχύτητες κάποιας συγκεκριμένης φοράς είναι θετικές και της αντίθετης φοράς αρνητικές (π.χ. προς τα δεξιά θετικές και προς τα αριστερά αρνητικές). Α. ΑΝ ΟΙ ΣΦΑΙΡΕΣ ΕΧΟΥΝ ΙΣΕΣ ΜΑΖΕΣ: Αν m =m =m τότε οι σχέσεις (.4) και (.5) δίνουν: υ =υ και υ =υ δηλαδή τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες.
Σχολικό Έτος 08-09 36 Β. ΑΝ ΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΣΩΜΑ ΕΠΙΣΗΣ ΑΡΧΙΚΑ ΑΚΙΝΗΤΟ (υ =0): Τότε οι σχέσεις (.4) και (.5) θα δίνουν αντίστοιχα: m m υ.υ (.6) m m υ.υ m m.m (.7). Αν τα σώματα έχουν αρχικά ίσες μάζες δηλαδή m =m =m, τότε όπως ήδη έχουμε δει τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες δηλαδή: υ =0 και υ =υ. Αν η κινούμενη μάζα είναι πολύ μεγαλύτερη (m >>m ), τότε m +m m και m -m m, οπότε οι σχέσεις (.6) και (.7) αντίστοιχα θα είναι: m m m υ.υ.υ υ υ (.8) m m m.m.m υ.υ.υ υ.υ (.9) m m m δηλαδή η κινούμενη μάζα διατηρεί την ταχύτητά επίσης και η ακίνητη εκτινάσσεται με διπλάσια ταχύτητα. 3. Αν η ακίνητη μάζα είναι πολύ μεγαλύτερη (m <<m ), τότε m +m m και m -m -m και m /m 0, οπότε οι σχέσεις (.6) και (.7) αντίστοιχα θα είναι: m m m υ.υ.υ υ υ (.0) m m m.m.m υ.υ.υ υ 0 (.) m m m δηλαδή η κινούμενη μάζα αποκτά αντίθετη ταχύτητα ενώ η ακίνητη συνεχίζει να ακινητεί. Σημείωση: Να υπολογίσετε το ποσοστό επίσης κινητικής ενέργειας που μεταφέρεται από το ένα σώμα στο άλλο, στην περίπτωση επίσης κεντρικής ελαστικής κρούσεις μιας σφαίρας μάζας m με μια αρχικά ακίνητη σφαίρα μάζας m : Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μεταφέρεται από την κινούμενη σφαίρα m στην ακίνητη σφαίρα m θα είναι: ΔΚ α% = Κ ΟΛ ΔΚ.00% = Κ ΟΛ.00%.m.υ - 0 α% =.m.υ.00% (αφού ΔΚ = ΔΚ ).m Με χρήση επίσης σχέσης.7 (δηλαδή υ =.υ), η παραπάνω σχέση m + m γίνεται:
Σχολικό Έτος 08-09 37 4.m.υ.m. (m + m α% =.m.υ ).00% 4.m.m α% = (m + m ).00% (.) Παρατηρούμε ότι το ποσοστό επίσης κινητικής ενέργειας που μεταφέρεται από το ένα σώμα στο άλλο, στην περίπτωση της κεντρικής ελαστικής κρούσεις μιας σφαίρας μάζας m με μια αρχικά ακίνητη σφαίρα μάζας m είναι ανεξάρτητο της ταχύτητας που έχει το αρχικά κινούμενο σώμα και εξαρτάται μόνο από την σχέση των μαζών που έχουν οι σφαίρες που συγκρούονται. Ε. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ Ας θεωρήσουμε το σύστημα ενός αβαρούς ιδανικού ελατηρίου που στα άκρα έχει δύο αμαξίδια με μάζες m και m τα οποία μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο, όταν το ελατήριο αφεθεί ελεύθερο όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.5. Σχήμα.5 Από εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ορμής για το σύστημα έχουμε: p p 0 0 m. m. m. m. υ υ m = m (.3) Τα παραπάνω εφαρμόζονται και σε άλλες ανάλογες περιπτώσεις όπως π.χ. εκρήξεις βομβών κ.λ.π. και δείχνουν ότι τα σώματα με μικρότερη μάζα αποκτούν μεγαλύτερη ταχύτητα. Επίσης με εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ορμής ερμηνεύονται πληθώρα άλλων φαινομένων, όπως η προώθηση πυραύλου, η ανάκρουση του όπλου κ.λ.π.
Σχολικό Έτος 08-09 38. Β ΘΕΜΑΤΑ Α. ΟΡΜΗ (665) (664) 3 (65)
Σχολικό Έτος 08-09 39 4 (606) Β. ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 5 (636) 6 (673) B) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα A.
Σχολικό Έτος 08-09 40 7 (654) 8 (689) B) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα A. 9 (678) B) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα A.
Σχολικό Έτος 08-09 4 Γ. ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ - ΚΡΟΥΣΗ 0 (694) (66) (67) Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας 3 (67) Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας
Σχολικό Έτος 08-09 4 4 (693) Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας 5 (658) Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας 6 (670) 7 (60) Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας
Σχολικό Έτος 08-09 43 8 (660) Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας 9 (67) Β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας 0 (66)
Σχολικό Έτος 08-09 44 (63) (63) 3 (63) 4 (66)
Σχολικό Έτος 08-09 45 5 (55) 6 (68) 7 (6)
Σχολικό Έτος 08-09 46 8 (63) 9 (64) 30 (643) 3 (646)
Σχολικό Έτος 08-09 47 3 (65) 33 (6338) 34 (74)
Σχολικό Έτος 08-09 48 35 (343) 36 (367) 37 (75)
Σχολικό Έτος 08-09 49 3. Γ ΚΑΙ Δ ΘΕΜΑΤΑ Α. ΟΡΜΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΙΩΝ 38. Ένα σώμα, μάζας m= kg που κινείται με ταχύτητα 8 m/s, αρχίζει να κινείται με επιτάχυνση α= m/s. Να βρεθεί η ορμή του σώματος στις χρονικές στιγμές 0 s, s, 3 s. (Απ.: 6 kg.m/s, 4 kg.m/s, 8 kg.m/s) 39. Ένα σώμα, μάζας m=0 kg που κινείται με ταχύτητα 0 m/s, αρχίζει να κινείται με σταθερή επιβράδυνση α= m/s. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα που δείχνει την μεταβολή της ορμής του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο, μέχρι την στιγμή που η ορμή του μηδενίζεται. 40. Δύο πατινέρ έχουν μάζες m =80 kg και m =60 kg και κινούνται με ταχύτητες ίσου μέτρου υ =υ =υ=5 m/s. Να βρεθεί η ορμή του συστήματος των πατινέρ όταν: α. κινούνται ομόρροπα β. κινούνται αντίρροπα γ. κινούνται κάθετα μεταξύ τους (Απ.: 700 kg.m/s, 00 kg.m/s, 500 kg.m/s-εφθ=0.75) 4. Ένα σύστημα σωμάτων, αποτελείται από δύο σφαίρες με μάζες m = kg και m =4 kg οι οποίες κινούνται ευθύγραμμα ομαλά σε οριζόντιο επίπεδο, με ταχύτητες μέτρου υ =3 m/s και υ = m/s αντίστοιχα. Οι διευθύνεις των ταχυτήτων είναι κάθετες μεταξύ τους. Να βρείτε το μέτρο της ολικής ορμής του συστήματος. (Απ.: 0 kg.m/s) 4. Ένα βλήμα, καθώς κινείται διασπάται σε τρία κομμάτια με μάζες m =0 g, m =30 g, m 3=50 g. Αν τα κομμάτια μετά την έκρηξη, κινούνται με ταχύτητες που έχουν μέτρα υ =00 m/s, 00 3 m/s, υ3=00 m/s αντίστοιχα και σε διευθύνσεις που δείχνει το ακόλουθο σχήμα, να υπολογιστεί η ολική ορμή του συστήματος. (Απ.: 3 kg.m/s, 3 ) 3
Σχολικό Έτος 08-09 50 Β. ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ-ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ NEWTON 43. Μία μπάλα του τένις μάζας m=0, kg, κινείται με ταχύτητα υ =0 m/s, όταν δέχεται χτύπημα από ρακέτα κατά την διεύθυνση και φορά της κίνησής της οπότε αποκτά ταχύτητα υ =8 m/s. Η χρονική διάρκεια του χτυπήματος ήταν 0, s. Να βρείτε: α. Την δύναμη που δέχεται η μπάλα. β. Την ταχύτητα της μπάλας, αν δεχτεί δεύτερο χτύπημα, όμοιο με το πρώτο. (Απ.: 8 Ν, 6 m/s) 44. Αυτοκίνητο μάζας m=800 kg, κινείται σε οριζόντιο δρόμο, με ταχύτητα 08 km/h και ο οδηγός σβήνει την μηχανή. Το αυτοκίνητο μετά από χρόνο t=0 s, κινείται με ταχύτητα 36 km/h. Να βρεθεί η συνισταμένη δύναμη, που επιβραδύνει το αυτοκίνητο. (Απ.: -600 Ν) 45. Ένα βλήμα μάζας m=0 g, κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ ο=00 m/s και κτυπά σε κορμό δέντρου. Να υπολογισθεί η μεταβολή της ορμής του, αν: α) ακινητοποιηθεί μέσα στον κορμό, β) βγαίνει με ταχύτητα 0 m/s από τον κορμό. (Απ.: - N.s, -.8 N.s) 46. Βλήμα μάζας m=0,5 kg, που κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ =0m/s, διαπερνά ακλόνητη κατακόρυφη σανίδα και βγαίνει με οριζόντια ταχύτητα υ =5 m/s. Το χρονικό διάστημα που το βλήμα κινήθηκε μέσα στην σανίδα είναι Δt=0,0s. Να υπολογίσετε την μεταβολή της ορμής του βλήματος από την σανίδα και τη μέση δύναμη που του άσκησε η σανίδα. (Απ.: -7.5 N.s, -750 N) 47. Μια παίκτρια του βόλεϊ πηδά και βρίσκει την μπάλα που έρχεται οριζόντια, με ταχύτητα υ =8 m/s, πάνω από το φιλέ. Μετά το κτύπημα της μπάλας από το χέρι της κοπέλας, αυτή φεύγει πάλι οριζόντια με αντίθετα φορά και με ταχύτητα που έχει μέτρο υ = m/s. Αν η επαφή της μπάλας με το χέρι της κοπέλας είναι Δt=0, s να υπολογισθεί η μέση δύναμη που δέχεται η μπάλα. Η μάζα της μπάλας είναι 300 g. (Απ.: 60 Ν) 48. Σφαίρα μάζας m= kg πέφτει κατακόρυφα από ύψος h=5 m κάνοντας ελεύθερη πτώση. Η σφαίρα χτυπά στο οριζόντιο έδαφος με ταχύτητα υ και αναπηδά με ταχύτητα υ =5 m/s. Να βρείτε: α. τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας, β. τη μέση δύναμη που ασκεί η σφαίρα στο έδαφος, αν ο χρόνος επαφής της με αυτό είναι Δt=0 - sec. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s. (Απ.: 30 kg.m/s, 300 N) 49. Άνθρωπος μάζας 70 kg, πηδάει από ύψος,45 m. Τη μία φορά σε τσιμέντο, οπότε ο χρόνος που κάνει να μηδενισθεί η ταχύτητά του, είναι 0, s και την άλλη σε άμμο, οπότε ο χρόνος, για να μηδενισθεί η ταχύτητά του είναι 0,5 s. Να υπολογιστεί η μέση δύναμη που δέχεται κάθε φορά ο άνθρωπος. Δίνεται g=0 m/s. (Απ.: 4900 Ν, 980 Ν)
Σχολικό Έτος 08-09 5 50. Μπάλα του μπιλιάρδου, μάζας m=0, kg, κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ =40 m/s. Η μπάλα δέχεται οριζόντια δύναμη από τη στέκα και τελικά κινείται πάλι οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ =30 m/s σε διεύθυνση κάθετη στην διεύθυνση της υ. Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής της μπάλας. (Απ.: 5 kg.m/s, εφθ=0.75) 5. Σώμα μάζας m= kg κινείται ευθύγραμμα πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ =6 m/s. Οριζόντια δύναμη μέτρου F=80 N ασκείται στο σώμα για χρονικό διάστημα Δt=0, s με σταθερή διεύθυνση κάθετη στην διεύθυνση υ. Να υπολογίσετε την τελική ταχύτητα του σώματος. (Απ.: 0 m/s, 4/3) 5. Σωματίδιο με μάζα m που κινείται με ταχύτητα υ χτυπάει σε οριζόντιο τοίχο υπό γωνία 60 ο και ανακλάται από αυτόν τελείως ελαστικά, έτσι ώστε η γωνία πρόσπτωσης να ισούται με την γωνία ανάκλασης. Βρείτε την μεταβολή της ορμής του σωματιδίου. Βαρύτητα δεν υπάρχει. (Απ.: m.υ) 53. Στο ακόλουθο διάγραμμα δίνεται η μεταβολή της ορμής ενός σώματος με τον χρόνο. Να σχεδιάσετε την μεταβολή της συνιστάμενης δύναμης που δέχεται το σώμα με τον χρόνο. 54. Στα ακόλουθα σχήματα δίνονται για ένα σώμα η αρχική και η τελική ορμή του καθώς και ο χρόνος μέσα στον οποίο έλαβε χώρα αυτή η μεταβολή της ορμής. Να βρείτε την μέση συνιστάμενη δύναμη που δέχεται κάθε φορά το σώμα. (Απ.: 0000 Ν, 00 Ν-εφθ=0.75, 0 3 Ν-30 ο )
Σχολικό Έτος 08-09 5 55 (YLIKONET). Ένα σώμα μάζας kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με ταχύτητα υ=0 m/s σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. α. Να υπολογίσετε την ορμή του σώματος στη θέση Α. β. Να βρείτε τη μεταβολή της ορμής μεταξύ των θέσεων Α και Β αν οι ακτίνες ΟΑ και ΟΒ είναι κάθετες μεταξύ τους. (Απ.: 0 kg.m/s, 8, kg.m/s) 56 (ΣΑΒΒΑΛΑΣ). Σφαίρα μάζας m= kg πέφτει κατακόρυφα. Η σφαίρα χτυπά στο οριζόντιο έδαφος με ταχύτητα υ =0 m/s και αναπηδά με ταχύτητα υ =5 m/s. Να βρείτε: α. τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας, β. τη μέση δύναμη που ασκεί η σφαίρα στο έδαφος, αν ο χρόνος επαφής της με αυτό είναι Δt=0 - sec. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s. (Απ.: 30 kg.m/s, 300 N) 57 (ΣΑΒΒΑΛΑΣ). Άνθρωπος μάζας m=70 kg πέφτει από ύψος h=,45 m, τη πρώτη φορά σε τσιμέντο και τη δεύτερη σε άμμο. Ο χρόνος που χρειάζεται για να μηδενιστεί η ταχύτητά του είναι αντίστοιχα Δt =0, sec και Δt =0,5 sec. Να υπολογίσετε τη μέση δύναμη που κάθε φορά δέχεται ο άνθρωπος από το έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s. (Απ.: 5600 Ν, 680 Ν) 58 (ΣΑΒΒΑΛΑΣ). Σωμάτιο μάζας m= kg κινείται στον άξονα xοx και έχει εξίσωση κίνησης: x=5-8.t+4.t (S.I.) α. Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος και την εξίσωση της ταχύτητάς του. β. Πως μεταβάλλεται η ορμή του σωματίου σε συνάρτηση με το χρόνο; Να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση. γ. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σωματίου τη χρονική στιγμή t=3 s. (Απ.: 8 m/s,-8+8.t(s.i.), -6+6.t(S.I.), 6 kg.m/s ) Γ. ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ 59. Ένα καροτσάκι με μάζα Μ έχει ταχύτητα υ ο πριν συγκρουστεί με άλλο καροτσάκι μάζας 3Μ το οποίο είναι ακίνητο. Τα δύο καροτσάκια μετά την σύγκρουση κινούνται μαζί παραμένοντας ενωμένα. Ποια θα είναι η ταχύτητά τους και ποια η μεταβολή της ορμής κάθε καροτσιού; Να θεωρήσετε τα Μ και υ ο γνωστά. 6 6 (Απ.: υo, Mυo, - Mυo ) Πανελλήνιος Διαγωνισμός Φυσικής 006 5 5 5 60. Ένα κανόνι μάζας m=00 kg, αρχικά ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, ρίχνει οριζόντια βλήμα μάζας m = kg με ταχύτητα υ β=300 m/s. Να υπολογιστεί η ταχύτητα που θα αποκτήσει το κανόνι. (Απ.: -.5 m/s)
Σχολικό Έτος 08-09 53 6. Πυροβόλο μάζας Μ=9 kg, κινείται με ταχύτητα V=0 m/s, έχοντας στην κάνη του βλήμα μάζας m= kg. Να υπολογίσετε την ταχύτητα που πρέπει να εκτοξεύσει οριζόντια το βλήμα ώστε το πυροβόλο να ακινητοποιηθεί. (Απ.: 00 m/s) 6. Κανόνι μάζας M=50 kg, κινείται με ταχύτητα υ =0 m/s, έχοντας στην κάνη του βλήμα μάζας m= kg. Κάποια στιγμή εκτοξεύει οριζόντια το βλήμα με ταχύτητα υ =400 m/s. Να υπολογίσετε την ταχύτητα V που θα έχει το κανόνι, μετά την εκτόξευση του βλήματος και την μέση δύναμη που το βλήμα δέχεται από το κανόνι αν ο χρόνος εκτόξευσης του βλήματος είναι 0, sec. (Απ.:.4 m/s, 3800 N) 63*. Δύο σφαίρες έχουν μάζες m = kg και m =4 kg και κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις, με ταχύτητες υ =30 m/s και υ =0 m/s αντίστοιχα. Αν μετά την σύγκρουση οι σφαίρες γίνονται ένα σώμα, να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος αυτού. (Απ.: 0 m/s-4/3) 64*. Μια οβίδα μάζας M=0 kg, κινείται με ταχύτητα V=0 m/s. Κάποια χρονική στιγμή διασπάται σε δύο κομμάτια, όπου το μεγαλύτερο κομμάτι έχει ταχύτητα υ =350 m/s και κινείται στη διεύθυνση και φορά της αρχικής ταχύτητας. Το μικρότερο έχει ταχύτητα υ =450 m/s και κινείται αντίθετα. Να υπολογίσετε τις μάζες των δύο κομματιών. (Απ.: 8.5 kg,.75 kg) 65*. Ένα βλήμα διασπάται σε δύο κομμάτια, με μάζες m =4 kg και m =6 kg, που κινούνται κάθετα μεταξύ τους. Οι ταχύτητες έχουν μέτρα υ =00 m/s και υ =50 m/s. Ποια ορμή είχε το βλήμα, πριν σπάσει στα δύο κομμάτια; (Απ.: 500 kg.m/s-εφθ=0.75) 66. Πάνω σε μία παγωμένη λίμνη βρίσκονται δύο παιδιά με μάζες m =40 kg και m =60 kg. Αν το ένα παιδί σπρώξει το άλλο, θα αρχίσουν να απομακρύνονται μεταξύ τους. Μετά από χρόνο 0 s, τα παιδιά βρίσκονται 50 m το ένα μακριά από το άλλο. Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο παιδιών. Πόσο διάστημα έχει διανύσει κάθε παιδί; Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. (Απ.: 3 m/s, m/s, 30 m, 0 m) 67. Ένας σωλήνας μάζας m= kg είναι κρεμασμένος με νήμα μήκους L= m από την κορυφή και ανοικτός στο ένα άκρο του. Στον σωλήνα τοποθετούμε λίγες σταγόνες αιθέρα και κλείνουμε το ανοικτό άκρο του μ ένα κομμάτι φελλού μάζας m =50 g. Θερμαίνουμε τον σωλήνα, με αποτέλεσμα ο φελλός να εκτιναχθεί με ταχύτητα μέτρου υ =50 m/s. Με ποια ταχύτητα υ θα εκτιναχθεί ο σωλήνας και ποια θα είναι η τάση του νήματος. Δίνεται g=0 m/s. (Απ.:.5 m/s, 3.3 Ν) 68. Αυτοκίνητο μάζας m =5000 kg κινείται σε κεντρικό δρόμο με ταχύτητα υ =0 m/s. Σε μία διασταύρωση το αυτοκίνητο συγκρούεται πλαστικά με άλλο αυτοκίνητο μάζας m =000 kg, που μπήκε στον κεντρικό δρόμο, με ταχύτητα υ =5 m/s κάθετη στην ταχύτητα υ. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συσσωματώματος των δύο αυτοκινήτων αμέσως μετά την σύγκρουση. (Απ.: 0, m/s, 45 o )
Σχολικό Έτος 08-09 54 69 (YLIKONET). Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί σώμα Α μάζας Μ= kg. Ένα βλήμα μάζας m=0, kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ ο=00 m/s, συγκρούεται με το σώμα Α, το διαπερνά σε χρόνο Δt=0, sec και εξέρχεται με ταχύτητα υ =0 m/s. α. Να βρείτε την αρχική ορμή του βλήματος. β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος Α μετά την κρούση. γ. Ποια είναι η μεταβολή της ορμής του βλήματος; δ. Βρείτε τη μέση δύναμη που δέχτηκε το βλήμα κατά το πέρασμά του μέσα από το σώμα Α. ε. Σε μία στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Α είναι 50 kg.m/s, ποιος είναι αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ορμής του βλήματος την ίδια χρονική στιγμή; στ. Αν το σώμα παρουσιάζει με το έδαφος συντελεστή τριβή ολίσθησης μ=0,, πόση απόσταση θα διανύσει το σώμα Α, μετά την κρούση, μέχρι να σταματήσει; Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s. (Απ.: 0 kg.m/s, 4 m/s, -8 kg.m/s, -40 Ν, -50 kg.m/s, 4 m) 70* (ΣΑΒΒΑΛΑΣ). Ξύλο μάζας Μ=9,9 kg είναι κρεμασμένο από νήμα μήκους l= m. Βλήμα μάζας m=0, kg, που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ =00 m/s προς τα κάτω σε διεύθυνση που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ=45 ο, σφηνώνεται στο ξύλο, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Αν ο χρόνος κίνησης του βλήματος μέσα στο ξύλο είναι t=0,0 sec, να βρείτε: α. Την ανύψωση του κέντρου μάζας του ξύλου μετά την κρούση. β. Την τάση του νήματος τη στιγμή που το βλήμα ηρεμεί ως προς το ξύλο. γ. Τη μέση τάση του νήματος κατά τη διάρκεια της κρούσης. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s. (Απ.:,5 cm, 05 N, 00(5 + ) N) Δ. ΜΕΓΕΘΗ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΑΤΗΡΟΥΝΤΑΙ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΚΡΟΥΣΗ 7. Βλήμα μάζας m=0, kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ=00 m/s και σφηνώνεται σε ακίνητο ξύλο μάζας Μ=,8 kg που βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Να βρεθούν: α. Η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση. β. Η μετατόπιση του συσσωματώματος μέχρι να σταματήσει αν δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ=0, και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s. (Απ.: 0 m/s, 50 m) 7. Βλήμα μάζας m=0, kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ=400 m/s και διαπερνά ένα αρχικά ακίνητο κιβώτιο μάζας Μ= kg που βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το βλήμα εξέρχεται με ταχύτητα υ =00 m/s σε χρόνο Δt=0, sec. Να βρεθούν:
Σχολικό Έτος 08-09 55 α. Η ταχύτητα του κιβωτίου μετά την κρούση. β. Η μέση δύναμη που το βλήμα ασκεί στο κιβώτιο. γ. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ κιβωτίου και οριζοντίου επιπέδου, αν το κιβώτιο σταματά μετά από απόσταση x=,5 m και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=0 m/s. (Απ.: 5 m/s, 300 N, 0.) 73. Δύο σώματα με μάζες m =5 g και m =0 g συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά έχοντας αμέσως πριν την κρούση ταχύτητες υ = m/s και υ =0,5 m/s αντίστοιχα. Να υπολογίσετε: α. Την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β. Την μηχανική ενέργεια του συστήματος η οποία μετατρέπεται σε θερμότητα λόγω της κρούσης. (Απ.: 7 m/s, 9,64.0-3 J) 74. Ένα σώμα μάζας m =5 kg είναι ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο. Ένα άλλο σώμα με μάζα m =8 kg, που κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, συγκρούεται με το πρώτο έχοντας τη στιγμή της σύγκρουσης ταχύτητα υ. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει διανύει στο οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο έχει συντελεστή τριβής ολίσθησης 0,04, διάστημα 0,7 m μέχρι να σταματήσει. Να υπολογίσετε: α. Την ταχύτητα υ. β. Το ποσοστό της ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμότητα κατά την κρούση. Τι συμπεραίνετε; Δίνεται g=0 m/s. (Απ.:,6 m/s, 38,46%) 75 (YLIKONET). Ένα σώμα Σ μάζας m =4 kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l= m και αφήνεται να κινηθεί από ύψος h=0, m, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα, από τη θέση Α. Μόλις το νήμα γίνεται κατακόρυφο, το Σ συγκρούεται μετωπικά με ένα δεύτερο σώμα Σ μάζας m = kg. Αμέσως μετά την κρούση το Σ έχει ταχύτητα ίδιας κατεύθυνσης και μέτρου υ =, m/s. α. Να βρεθεί η ταχύτητα υ, του σώματος Σ αμέσως πριν τη κρούση. β. Να βρεθεί η ταχύτητα υ, του σώματος Σ αμέσως πριν τη κρούση. γ. Να βρεθεί η τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση. δ. Η ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμότητα κατά την κρούση. Σχολιάστε. ε. Το έργο της δύναμης που ασκήθηκε στο Σ κατά την διάρκεια της κρούσης. στ. Τη μέση δύναμη που ασκήθηκε στο σώμα Σ κατά τη διάρκεια της κρούσης, αν ο χρόνος κρούσης είναι Δt=0, sec. ζ. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του Σ και του οριζοντίου επιπέδου είναι μ=0,, να βρεθεί η απόσταση από την θέση που ξεκίνησε, στην οποία φτάνει το Σ μετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s. (Απ.: m/sec, 3, m/sec, 0,4 J, 0 J, 5, J, -6 Ν, 5, m/sec)
Σχολικό Έτος 08-09 56 Ε. ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ 76. Ένα σώμα μάζας m =4 kg συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m =8 kg με ταχύτητα υ = m/s. Να βρεθούν αμέσως μετά την κρούση οι ταχύτητες των σωμάτων καθώς και οι μεταβολές των ορμών τους. (Απ.: -4 m/s, -64 kg.m/s και 8 m/s, 64 kg.m/s) 77. Ένα σώμα μάζας m =4 kg συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m = kg με ταχύτητα υ =6 m/s. Να βρεθούν αμέσως μετά την κρούση οι ταχύτητες των σωμάτων καθώς και οι μεταβολές των ορμών τους. (Απ.: m/s, -6 kg.m/s και 8 m/s, 6 kg.m/s) 78. Δύο αμαξίδια με μάζες m = kg και m =,5 kg συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά, έχοντας τη στιγμή της σύγκρουσης το καθένα ταχύτητα 4 m/s, αντίθετης κατεύθυνσης. Αμέσως μετά τη σύγκρουση το αμαξίδιο μάζας m έχει ταχύτητα 4 m/s ίδιας κατεύθυνσης με αυτή που είχε το m πριν τη κρούση. Να βρείτε την ταχύτητα που έχει το m αμέσως μετά την κρούση. (Απ.: 8 m/s αντίθετης κατεύθυνσης) 79. Σώμα Σ με μάζα m κινείται σε οριζόντιο επίπεδο ολισθαίνοντας προς άλλο σώμα Σ με μάζα m =.m, το οποίο αρχικά είναι ακίνητο. Έστω υ Ο η ταχύτητα που έχει το σώμα Σ τη στιγμή t Ο=0 και ενώ βρίσκεται σε απόσταση d= m από το σώμα Σ. Αρχικά, θεωρούμε ότι το σώμα Σ είναι ακίνητο πάνω στο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου με αμελητέα μάζα και σταθερά ελατηρίου k, και το οποίο έχει το φυσικό του μήκος l Ο. Το δεύτερο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο, όπως φαίνεται στο σχήμα: Αμέσως μετά τη κρούση, που είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ αποκτά ταχύτητα με μέτρο υ = 0 m/s και φορά αντίθετη της αρχικής ταχύτητας. Δίνεται ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των δύο σωμάτων με το οριζόντιο επίπεδο είναι μ=0,5 και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=0 m/s. Γ. Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα υ ο του σώματος Σ. (Μονάδες 6) Γ. Να υπολογίσετε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μεταφέρθηκε από το σώμα Σ στο σώμα Σ κατά την κρούση. (Μονάδες 6) Γ3. Να υπολογίσετε το συνολικό χρόνο κίνησης του σώματος Σ από την αρχική χρονική στιγμή t ο μέχρι να ακινητοποιηθεί τελικά. Δίνεται: 0 3,. (Μονάδες 6) Γ4. Να υπολογίσετε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, αν δίνεται ότι m = kg και k= 05N/m. (Μονάδες 7) Θεωρήστε ότι η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και ότι τα δύο σώματα συγκρούονται μόνο μία φορά. (Απ.: 0 m/s, 88,9%, 0,7 sec, 0,57 m) (ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ -5-03)