Παρακαλούμε να διαβάσετε πρώτα τα παρακάτω:

36 th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 Θεωρητική Εξέταση 05-Ιουλίου-2005 Παρακαλούμε να διαβάσετε πρώτα τα παρακάτω: 1. Για τη θεωρητική εξέταση ο διαθέσιμος χρόνος είναι 5 ώρες. Υπάρχουν τρία θέματα. 2. Να γράψετε μόνο στην μπροστινή πλευρά του φύλλου. 3. Απαντήστε κάθε ερώτηση σε ξεχωριστές σελίδες. 4. Για κάθε ερώτηση, εκτός από το κενό φύλλο που γράφετε, υπάρχει ένα φύλλο απαντήσεων όπου πρέπει να συνοψίσετε τα αποτελέσματα στα οποία έχετε καταλήξει. Τα αριθμητικά αποτελέσματα πρέπει να γραφτούν με τόσα ψηφία όσα απαιτούνται σε σχέση με τα δεδομένα. 5. Να γράψετε στα κενά φύλλα γραψίματος οτιδήποτε θεωρείτε ότι απαιτείται για την απάντηση των ερωτήσεων. Παρακαλώ να χρησιμοποιήσετε όσο το δυνατόν λιγότερο κείμενο και να εκφραστείτε πρώτιστα με εξισώσεις, αριθμούς, σχήματα, και γραφήματα. 6. Να συμπληρώσετε στα πλαίσια που βρίσκονται στην αρχή κάθε φύλλου τον κωδικό της χώρας (Counrty Code), και τον αριθμό σπουδαστή (Student Code), τον αριθμό ερώτησης (Question Number), τον αριθμό σελίδας (Page Number), και το συνολικό αριθμό σελίδων που χρησιμοποιούνται για κάθε ερώτηση (Total Number of Pages). Να γράψετε τον αριθμό ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε υποερώτημα που απαντάτε, στην αρχή κάθε φύλλου. Εάν χρησιμοποιείτε φύλλα για σημειώσεις (πρόχειρα), τα οποία δεν επιθυμείτε να βαθμολογηθούν, να βάλετε ένα μεγάλο Χ σε ολόκληρο το φύλλο και μην το περιλάβετε στην αρίθμησή σας. 7. Στο τέλος του διαγωνισμού, να τακτοποιήσετε όλα τα φύλλα χωριστά για κάθε θέμα με την ακόλουθη σειρά: Το φύλλο απαντήσεων Τα χρησιμοποιημένα φύλλα με τη σειρά. Τις σελίδες που χρησιμοποιήσατε ως πρόχειρο Τα φύλλα γραψίματος που δε χρησιμοποιήσατε Να τοποθετήσετε τα έγγραφα μέσα στο φάκελο και να τα αφήσετε όλα στο γραφείο σας. Δεν επιτρέπετε να πάρετε κανένα φύλλο μαζί σας. Th 3 Page 1 of 5

ΘΕΜΑ 3: ΝΕΤΡΟΝΙΑ ΣΕ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Στον κόσμο της κλασσικής Φυσικής, μια ελαστική μπάλα που αναπηδά στην επιφάνεια της Γης είναι ένα ιδανικό παράδειγμα διαρκούς κίνησης. Η μπάλα παγιδεύεται: Δεν μπορεί να βρεθεί κάτω από την επιφάνεια της Γης ή πάνω από το σημείο επαναφοράς, δηλαδή το σημείο που η ταχύτητα αλλάζει φορά. Η μπάλα θα παραμείνει δεσμευμένη σε αυτή την κατάσταση, επιστρέφοντας πίσω στο έδαφος και αναπηδώντας στον αέρα ξανά και ξανά, για πάντα. Μόνο η αντίσταση του αέρα ή μη ελαστικές κρούσεις με το έδαφος μπορούν να σταματήσουν τη συνεχή κίνηση της μπάλας, παράγοντες οι οποίοι θα αγνοηθούν στη συνέχεια. Μια ομάδα φυσικών από το Ινστιτούτο Laue - Langevin στη Grenoble παρουσίασε 1 το 2002 πειραματικά δεδομένα για τη συμπεριφορά των νετρονίων στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Στο πείραμα, νετρόνια κινούμενα προς τα δεξιά μπορούσαν να κινηθούν προς μια οριζόντια ανακλαστική επιφάνεια στην οποία αυτά, μετά από ελαστικές κρούσεις, αναπηδούσαν στο ίδιο σημείο ξανά και ξανά. Στο Σχ. 1 φαίνεται διαγραμματικά η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε. Αποτελείται από το άνοιγμα W, την ανακλαστική επιφάνεια Ε (σε ύψος Z = 0), ο απορροφητής νετρονίων Α (σε ύψος z = H και μήκους L) και ο ανιχνευτής νετρονίων D. Τα νετρόνια, τα οποία σχηματίζου δέσμη, κινούνται με σταθερή οριζόντια ταχύτητα, v x από το W στο D μέσα από την κοιλότητα μεταξύ του Α και Ε. Όλα τα νετρόνια που φτάνουν στο Α απορροφούνται και εξαφανίζονται από το πείραμα. Τα νετρόνια που φτάνουν την επιφάνεια Ε ανακλώνται ελαστικά. Ο ανιχνευτής D καταμετρά το ρυθμό μεταφοράς N(H), δηλαδή, το συνολικό αριθμό νετρονίων που φτάνουν σε αυτόν ανά μονάδα χρόνου. Οι μονάδες βαθμολογίας σημειώνονται, σε παρένθεση, στην αρχή κάθε υποερώτησης. Τα νετρόνια εισέρχονται στην κοιλότητα με ένα εύρος ταχυτήτων με θετικές και αρνητικές κατακόρυφες ταχύτητες, v z. Καθώς βρίσκονται μέσα στην κοιλότητα, κινούνται μεταξύ της ανακλαστικής επιφάνειας κάτω και του απορροφητή πάνω. 1. (1.5) Υπολογίστε, σύμφωνα με την κλασσική μηχανική, τις τιμές των κατακόρυφων ταχυτήτων v z (z) των νετρονίων τα οποία εισέρχονται σε ύψος z, μπορούν να φτάσουν στον ανιχνευτή D. Υποθέστε ότι το μήκος L είναι πολύ μεγαλύτερο από κάθε άλλο μήκος που υπεισέρχεται στο πρόβλημα. W g A Ε D Z X A Ε v z z v x L H D Σχ. 1 2. (1.5) Υπολογίστε, σύμφωνα με την κλασσική μηχανική, το ελάχιστο μήκος L c της κοιλότητας, έτσι ώστε όλα τα νετρόνια με ταχύτητες διαφορετικές από αυτές που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο ερώτημα, ανεξάρτητα από τις τιμές του z, απορροφούνται από το A. Χρησιμοποιείστε: v x = 10 m s -1 και H = 50 µm. 1 V. V. Nesvizhevsky et al. Quantum states of neutrons in the Earth s gravitational field. Nature, 415 (2002) 297. Phys Rev D 67, 102002 (2003). Th 3 Page 2 of 5

Ο ρυθμός μεταφοράς νετρονίων N(H) μετρείται στο D. Αναμένεται ότι αυτός αυξάνεται μονότονα με το Η. 3. (2.5) Υπολογίστε το ρυθμό μεταφοράς, κατά την κλασσική μηχανική, N c (H) υποθέτοντας ότι τα νετρόνια φτάνουν στην κοιλότητα με κατακόρυφες ταχ`ύτητες v z στο ύψος z, με τις τιμές v z και z με ίσες πιθανότητες. Δώστε την απάντηση σε σχέση με το τον σταθερό αριθμό νετρονίων ανά μονάδα χρόνου, ανά μονάδα κατακόρυφης ταχύτητας, ανά μονάδα ύψους, που εισέρχονται στην κοιλότητα με κατακόρυφες ταχύτητες v z στο ύψος z. Τα πειραματικά αποτελέσματα που αποκτήθηκαν από την ομάδα της Grenoble είναι σε διαφωνία με τις παραπάνω κλασσικές προβλέψεις, αντιθέτως φαίνεται ότι η τιμή του N(H) παρουσιάζει απότομη αύξηση όταν το H περνά από κάποιες κρίσιμες τιμές ύψους H 1, H 2 (Στο Σχ. 2, φαίνεται ένα σχέδιο). Με άλλα λόγια, το πείραμα έδειξε ότι η κατακόρυφη κίνηση των νετρονίων που αναπηδούν στον καθρέπτη είναι κβαντισμένη. Με τη γλώσσα την οποία οι Bohr και Sommerfeld χρησιμοποίησαν για να καταλήξουν στις N(H) ενεργειακές στάθμες του ατόμου του υδρογόνου, αυτό μπορεί να γραφεί ως εξής: Η δράση S αυτών των νετρονίων κατά μήκος της κατακόρυφης διεύθυνσης ισούται με ένας ακέραιο πολλαπλασιασμένο επί τη σταθερά δράσης h του Planck. Η S δίνεται από τη σχέση H 1 H 2 H S pz ( z) dz nh, n 1, 2, 3... Σχ.2 (κανόνας κβάντωσης των Bohr-Sommerfeld) όπου p z είναι η κατακόρυφη συνιστώσα της κλασσικής ορμής, και το ολοκλήρωμα καλύπτει έναν ολόκληρο κύκλο αναπήδησης. Μόνο νετρόνια με αυτές τις τιμές του S επιτρέπονται στην κοιλότητα. 4. (2.5) Υπολογίστε τα ύψη καμπής H n και τα ενεργειακά επίπεδα E n (που συσχετίζονται με την κατακόρυφη κίνηση) χρησιμοποιώντας τη συνθήκη κβάντωσης των Bohr-Sommerfeld. Δώστε το αριθμητικό αποτέλεσμα για το H 1 σε m και για το E 1 σε ev. Η ομαλή αρχική κατανομή ρ των νετρονίων κατά την είσοδο μεταβάλλεται, κατά τη διάρκεια της πτήσης μέσω της μακρόστενης κοιλότητας, σε μια κατά βήματα κατανομή που ανιχνεύεται στο D (Βλέπε Σχ. 2). Από δω και κάτω, για απλότητα θεωρούμε την περίπτωση μιας μακρόστενης κοιλότητας με H < H 2. Κλασσικά, για όλα τα νετρόνια με ενέργειες του εύρους που θεωρήθηκε στην ερώτηση 1 επιτρεπόταν η διέλευση μέσω αυτής, ενώ κβαντομηχανικά μόνο στα νετρόνια στο ενεργειακό επίπεδο E 1 επιτρέπεται. Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg για το χρόνο και την ενέργεια, αυτός ο μετασχηματισμός απαιτεί έναν ελάχιστο χρόνο πτήσεως. Η αβεβαιότητα στην ενέργεια της κατακόρυφης κίνησης; Θα είναι σημαντική εάν το μήκος της κοιλότητας είναι μικρό. Αυτό το φαινόμενο θα προκαλέσει αύξηση στο εύρος των ενεργειακών σταθμών. 5. (2.0) Εκτιμήστε τον ελάχιστο χρόνο πτήσεως t q και το ελάχιστο μήκος L q της κοιλότητας το οποίο είναι αναγκαίο για να παρατηρείται η πρώτη απότομη αύξηση στον αριθμό των νετρονίων στο D. Χρησιμοποιείστε v x = 10 m s -1. Th 3 Page 3 of 5

Δεδομένα: Σταθερά δράσης του Planck h 6.6310 J s Ταχύτητα του φωτός στο κενό 8-1 c 3.00 10 m s Στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο -19 e 1.60 10 C Μάζα νετρονίου -27 M 1.67 10 kg Επιτάχυνση της βαρύτητας g = 9.81 m s -2 Αν είναι αναγκαίο, χρησιμοποιείστε την έκφραση: 1 x -34 21 dx 3 1 / 2 x 3 / 2 Th 3 Page 4 of 5

COUNTRY CODE STUDENT CODE PAGE NUMBER TOTAL No OF PAGES ΘΕΜΑ 3 ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Ερώτηση Βασικοί τύποι που χρησιμοποιήσατε Αναλυτικά αποτελέσματα Αριθμητικά αποτελέσματα Μονάδες βαθμολόγησης 1 v z (z) 1.5 2 L c = L c = 1.5 3 N c (H)= 2.5 H n = H 1 = μm 4 E n = E 1 = ev 2.5 t q = t q = 5 2.0 L q = L q = Th 3 Page 5 of 5