Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση Νίκος Θεοχαράκης Διάλεξη 3 Ιανουάριος 2014
Καμπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων ΚΠΔ Production possibility frontier PPF
Ορισμός Η ΚΠΔ είναι μια καμπύλη που δείχνει τα επίπεδα παραγωγής δύο αγαθών (έστω Χ και Ψ) τα οποία μπορεί να παράγει αποτελεσματικά μια οικονομία σε μία δεδομένη χρονική περίοδο με μία περιορισμένη ποσότητα παραγωγικών πόρων (ή συντελεστών παραγωγής) (έστω K και L, όπου με K συμβολίζομε το κεφάλαιο [capital] και με L την εργασία [labour]). Η ΚΠΔ δείχνει τη μέγιστη ποσότητα ενός αγαθού που μπορεί να παραχθεί για ένα δεδομένο επίπεδο παραγωγής του άλλου αγαθού με δεδομένη την διαθέσιμη τεχνολογία και τις διαθέσιμες ποσότητες παραγωγικών πόρων.
ΚΠΔ Η ΚΠΔ αποτελεί μία παιδαγωγική αφαίρεση που μας επιτρέπει να εξετάσουμε έννοιες όπως η σπανιότητα (scarcity) η αποτελεσματικότητα (efficiency) και το κόστος ευκαιρίας (opportunity cost)
ΚΠΔ Η ΚΠΔ αποτελεί μέρος ενός συγκεκριμένου θεωρητικού «παραδείγματος», της ορθόδοξης ή νεοκλασικής θεωρίας η οποία δίνει μεγάλη σημασία στην έννοια της σπανιότητας (ή στενότητας) των πόρων (scarcity) Έτσι ο Lionel Robbins (1898-1984) ορίζει την οικονομική επιστήμη ως την «επιστήμη που μελετά την ανθρώπινη συμπεριφορά ως σχέση μεταξύ στόχων και σπάνιων μέσων που έχουν εναλλακτικές χρήσεις» Economics is the science which studies human behaviour as a relationship between ends and scarce means which have alternative uses. An Essay on the Nature and Significance of Economic Science, 1932
ΚΠΔ Αντίθετα οι μετα-κεϋνσιανοί θεωρούν ότι τα παραγόμενα μέσα παραγωγής σε μια κυκλική παραγωγική διαδικασία δεν μπορούν να χαρακτηριστούν ως σπάνια και ότι η παραγωγή αποτελεί μια κοινωνική διαδικασία. Ενώ οι Μαρξιστές θεωρούν ότι η έννοια της στενότητας συσκοτίζει και τοποθετεί με λάθος τρόπο το οικονομικό πρόβλημα. Frederic S. Lee, Heterodox Economics, λήμμα στο S. Durlauf & L. Blume (eds.), Palgrave Dictionary of Economics.
ΚΠΔ Η ΚΠΔ κάνει αφαίρεση από: το πρόβλημα της διανομής (δεν την απασχολεί δηλ., σε ποιους κατανέμονται τα αγαθά) και τον τρόπο οργάνωσης της οικονομίας (αν είναι δηλ., ελεύθερη οικονομία, κεντρικά σχεδιασμένη ή μικτή) Μελετά την οικονομία μόνο σύμφωνα με το κριτήριο της αποτελεσματικότητας και όχι της δίκαιας κατανομής των αγαθών Μπορεί φυσικά πολιτικά μια κοινωνία να προτιμά μια κατανομή που συνολικά να είναι λιγότερο αποτελεσματική αλλά πιο «δίκαιη»
ΚΠΔ Η οικονομία παρίσταται λοιπόν ως μια δυνατότητα παραγωγής δύο (ομάδων) αγαθών, έστω καταναλωτικών αγαθών («βούτυρο») και δημοσίων αγαθών που προορίζονται για την άμυνα («κανόνια») Οι παραγωγικοί πόροι είναι δεδομένοι και περιορισμένοι. Το ίδιο και η τεχνολογία Υπάρχουν πολλοί εφικτοί (feasible) συνδυασμοί αγαθών. Αυτοί όμως που μας ενδιαφέρουν είναι οι αποτελεσματικοί (efficient) συνδυασμοί, δηλ., οι συνδυασμοί εκείνοι που δεν μας επιτρέπουν να αυξήσουμε την παραγωγή ενός αγαθού χωρίς να μειώσουμε την παραγωγή του άλλου Το σύνολο των αποτελεσματικών παραγωγικών συνδυασμών μας δίνει την ΚΠΔ
ΚΠΔ Μια τυπική ΚΠΔ έχει την εξής μορφή
ΚΠΔ Τι παρατηρούμε σε αυτή την καμπύλη; 1 ον έχει αρνητική κλίση 2 ον στρέφει τα κοίλα προς τα μέσα
ΚΠΔ Ποια από τις δύο αυτές ιδιότητες προκύπτει από τον ορισμό της ΚΠΔ; Απάντηση: Μόνον η πρώτη! Ερώτηση: Είναι δυνατόν μια ΚΠΔ να έχει έστω και σε ένα τμήμα της θετική κλίση; Απάντηση: Όχι διότι αυτό θα αντέφασκε με τον ορισμό της ΚΠΔ
ΚΠΔ Γενικά η ΚΠΔ είναι το όριο που χωρίζει τον χώρο των αγαθών σε συνδυασμούς που είναι εφικτοί, δηλ. μέσα στις παραγωγικές δυνατότητες της οικονομίας και σε συνδυασμούς που είναι ανέφικτοι, δηλ., έξω από τις παραγωγικές δυνατότητες της οικονομίας Όλοι οι συνδυασμοί αγαθών πάνω στην ΚΠΔ είναι αποτελεσματικοί
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Ας δούμε τώρα πιο αναλυτικά την έννοια της αποτελεσματικότητας (efficiency) Κάνουμε διάκριση μεταξύ περισσότερο αποτελεσματικού και αποτελεσματικού συνδυασμού
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Γενικά ένας συνδυασμός αγαθών Β είναι περισσότερο αποτελεσματικός από έναν συνδυασμό αγαθών Α εάν μεταβαίνοντας από τον Α στον Β μπορούμε να αυξήσουμε την παραγόμενη ποσότητα ενός αγαθού χωρίς να μειώσουμε την ποσότητα του άλλου Αν εκφράσουμε μαθηματικά τους δύο συνδυασμούς με διανύσματα έτσι ώστε Τότε: A X, Y A B X, Y B A B
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Ο συνδυασμός Β είναι περισσότερο αποτελεσματικός από τον συνδυασμό αγαθών Α εάν ισχύει ότι X X Y Y B A B A ή Y Y X X B A B A
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Για έναν συνδυασμό Α όλοι οι συνδυασμοί που βρίσκονται πάνω και δεξιά από τον Α είναι περισσότερο αποτελεσματικοί συνδυασμοί
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Τον ορισμό αυτόν μάλιστα μπορούμε να τον γενικεύσουμε ξεφεύγοντας από τον δισδιάστατο χώρο της ΚΠΔ και σε συνδυασμούς περισσότερων αγαθών, έστω Ν (i=1,2,,n) Για Ν αγαθά οι συνδυασμοί μας γίνονται A X,..., X,..., X 1 i N A A A B X,..., X,..., X 1 i N B B B
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Και ο ορισμός του περισσότερο αποτελεσματικού συνδυασμού γενικεύεται στον εξής: Ο συνδυασμός Ν αγαθών Β είναι περισσότερο αποτελεσματικός από τον συνδυασμό Ν αγαθών Α εάν μεταβαίνοντας από τον Α στον Β μπορούμε να αυξήσουμε την παραγόμενη ποσότητα τουλάχιστον ενός αγαθού χωρίς να μειώσουμε την ποσότητα κάποιου άλλου αγαθού Μαθηματικά αυτό εκφράζεται ως εξής: i 1,2,..., N έ ώ : X X i B j B X X i A j A j i, j 1,2,..., N
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Ο ορισμός του αποτελεσματικού συνδυασμού σχετίζεται με τον ορισμό του περισσότερο αποτελεσματικού ως εξής: Ο συνδυασμός Β είναι αποτελεσματικός αν δεν υπάρχει εφικτός συνδυασμός ο οποίος να είναι περισσότερο αποτελεσματικός από αυτόν Στο διάγραμμά μας ο συνδυασμός Α είναι περισσότερο αποτελεσματικός από τον Α, αλλά υπάρχουν άλλοι συνδυασμοί που είναι περισσότερο αποτελεσματικοί από αυτόν Άρα ο Α δεν είναι αποτελεσματικός συνδυασμός
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Πάνω όμως στην ΚΠΔ δεν υπάρχει συνδυασμός που να είναι και εφικτός και περισσότερο αποτελεσματικός
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Ερώτηση: έστω ο συνδυασμός Α που δεν είναι αποτελεσματικός και ο συνδυασμός Β που είναι αποτελεσματικός. Μπορούμε να πούμε ότι ο Β είναι αναγκαστικά περισσότερο αποτελεσματικός από τον Α; Απάντηση: ΟΧΙ! Δεν μπορούμε να κατατάξουμε όλους τους συνδυασμούς με το κριτήριο της μεγαλύτερης αποτελεσματικότητας Το επόμενο διάγραμμα εξηγεί το γιατί.
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Ας γενικεύσουμε τώρα τον ορισμό του αποτελεσματικού συνδυασμού στις Ν διαστάσεις (δηλ., για Ν αγαθά): Ο εφικτός συνδυασμός Ν αγαθών Α είναι αποτελεσματικός εάν δεν υπάρχει άλλος εφικτός συνδυασμός Ν αγαθών Β για τον οποίο ισχύει ότι περιέχει μεγαλύτερη ποσότητα από ένα τουλάχιστον αγαθό και ποσότητα μεγαλύτερη ή ίση για όλα τα υπόλοιπα αγαθά. Μαθηματικά αυτό εκφράζεται ως εξής:
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα A X,..., X,..., X S 1 i N N A A A ό S ύ ώ ώ ό A ί ό ά B X,..., X,..., X S έ ώ : 1 i N B B B i 1, 2,..., N έ ώ : X X i B j B X X i A j A j i, j 1, 2,..., N
ΚΠΔ: αποτελεσματικότητα Είναι προφανές ότι έτσι μπορούμε να γενικεύσουμε την ΚΠΔ ως επιφάνεια παραγωγικών δυνατοτήτων για Ν αγαθά ως το σύνολο όλων των αποτελεσματικών παραγωγικών συνδυασμών. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει μια τέτοια περίπτωση στις τρεις διαστάσεις
Αποτελεσματικότητα: Λίγη ιστορία και ορολογία Η έννοια της αποτελεσματικότητας στα οικονομικά είναι συνδεδεμένη με το όνομα του Ιταλού οικονομολόγου και κοινωνιολόγου Vilfredo Pareto (1848-1923)
Αποτελεσματικότητα: Λίγη ιστορία και ορολογία Ο Pareto προσπάθησε με την έννοια της αποτελεσματικότητας να απαντήσει στο ερώτημα αν μπορούμε να αξιολογήσουμε διαφορετικές κοινωνικές κατανομές χωρίς να χρησιμοποιήσουμε πολιτικά ή αξιολογικά κριτήρια Το κριτήριο Pareto μπορεί να μην μπορεί να κατατάξει όλες τις πιθανές κατανομές σύμφωνα με αυτό, αλλά λέει το εξής: Αν υπάρχουν δύο κατανομές και η μία είναι πιο αποτελεσματική από την άλλη ceteris paribus, τότε μπορούμε να πούμε ότι η περισσότερη αποτελεσματική κατανομή είναι και η προτιμότερη Μπορούμε τότε να χρησιμοποιήσουμε άλλα κριτήρια για να ταξινομήσουμε τις αποτελεσματικές κατανομές μεταξύ τους αλλά τουλάχιστον έχουμε «ξεφορτωθεί» πολλές κατανομές από τις οποίες έχουμε να επιλέξουμε
Αποτελεσματικότητα: Λίγη ιστορία και ορολογία Είχαμε αναφέρει το θεώρημα του αόρατου χεριού του Adam Smith το οποίο έλεγε ότι «όταν κάθε άτομο δρα σύμφωνα με το ατομικό του συμφέρον χωρίς να επιθυμεί οι πράξεις του να είναι προς το «κοινό καλό», ή χωρίς να γνωρίζει πόσο το επηρεάζουν τότε το οικονομικό αποτέλεσμα που επέρχεται προωθεί το κοινό καλό περισσότερο από εάν τα άτομα δρούσαν προς το κοινό συμφέρον» Ποιο είναι όμως το «κοινό καλό»; Οι οικονομολόγοι (ισχυρίζονται ότι) αποφεύγουν τις αξιολογικές κρίσεις Η οικονομική ανάλυση λέει ότι αυτό που μπορώ να αποδείξω είναι ότι με δεδομένο ότι λειτουργεί ένα οικονομικό σύστημα τέλειου ανταγωνισμού το αποτέλεσμα που επέρχεται πληροί το κριτήριο Pareto
Αποτελεσματικότητα: Λίγη ιστορία και ορολογία Έτσι μιλάμε για αποτελεσματικότητα ή άριστο κατά Pareto (Pareto efficiency ή Pareto optimality) Ένας αποτελεσματικός συνδυασμός είναι και κατά Pareto άριστος συνδυασμός Όταν ένας συνδυασμός Α είναι λιγότερο κατά Pareto αποτελεσματικός από έναν συνδυασμό Β λέμε ότι «ο Α κυριαρχείται κατά Pareto από τον Β» (Pareto dominated) Ας κάνουμε ένα παράδειγμα όπου μια κοινωνία παράγει τρία αγαθά: Αχλάδια, Βούτυρο και Γάλα
Αποτελεσματικότητα: Λίγη ιστορία και ορολογία Έχουμε τις εξής πέντε κατανομές: (i), (ii), (iii), (iv) και (v) A B Γ (i) 100 50 70 (ii) 150 60 70 (iii) 120 50 70 (iv) 100 40 80 (v) 200 100 79 Συγκρίνατε τις με το κριτήριο της αποτελεσματικότητας του Pareto
Αποτελεσματικότητα: Λίγη ιστορία και ορολογία A B Γ (i) 100 50 70 (ii) 150 60 70 (iii) 120 50 70 (iv) 100 40 80 (v) 200 100 79 Συγκρίνατε τις με το κριτήριο της αποτελεσματικότητας του Pareto Οι κατανομές (ii), (iii) και (v) είναι αποτελεσματικότερες κατά Pareto από την κατανομή (i) Η κατανομή (v) είναι αποτελεσματικότερη κατά Pareto από τις κατανομές (ii) και (iii)
Αποτελεσματικότητα: Λίγη ιστορία και ορολογία Άρα οι κατανομές: (i), (ii) και (iii) δεν είναι κατά Pareto αποτελεσματικές εφόσον κυριαρχούνται κατά Pareto από την (v) A B Γ (i) 100 50 70 (ii) 150 60 70 (iii) 120 50 70 (iv) 100 40 80 (v) 200 100 79 Ενώ η κατανομή (iv) δεν κυριαρχείται από καμία άλλη κατανομή Άρα οι κατανομές (iv) και (v) είναι κατά Pareto αποτελεσματικές ή άριστες
ΚΠΔ Ας έλθουμε τώρα στο προηγούμενο ερώτημα σχετικά με την κυρτότητα της ΚΠΔ Μπορεί η ΚΠΔ να έχει μεν αρνητική κλίση αλλά πρέπει οπωσδήποτε να έχει σχήμα κυρτό; Πρέπει αναγκαστικά να είναι έτσι;
Δεν μπορεί δηλ., να είναι έτσι; ΚΠΔ
Ή έτσι; ΚΠΔ
Ή γραμμική; ΚΠΔ
ΚΠΔ Η απάντηση είναι ότι όλα τα παραπάνω σχήματα είναι εφικτά και αντανακλούν τον τρόπο με τον οποίο οι πόροι που θυσιάζονται για την παραγωγή ενός αγαθού μπορεί να μετασχηματισθούν στο άλλο αγαθό. Έχει να κάνει δηλ., με το εναλλακτικό κόστος χρήσης των πόρων ή το κόστος ευκαιρίας (opportunity cost): ποια ποσότητα από το ένα αγαθό πρέπει να θυσιάσουμε για να παραχθεί μια μονάδα από το άλλο αγαθό Ας δούμε την «κλασική» ΚΠΔ
Αν η κοινωνία θυσιάσει μια μονάδα κανόνια στο σημείο Α (11 μονάδες κανόνια, 2 μονάδες βούτυρο) τότε θα μεταβεί στο σημείο Γ, όπου η παραγωγή είναι 6 μονάδες βούτυρο, δηλ., αντάλλαξε μία μονάδα κανόνια με 4 μονάδες βούτυρο
Αν η κοινωνία θυσιάσει μια μονάδα κανόνια στο σημείο Α (11 μονάδες κανόνια, 2 μονάδες βούτυρο) τότε θα μεταβεί στο σημείο Γ, όπου η παραγωγή είναι 6 μονάδες βούτυρο, δηλ., αντάλλαξε μία μονάδα κανόνια με 4 μονάδες βούτυρο Αυτό μας δίνει το κόστος ευκαιρίας μιας μονάδας κανόνια σε σχέση με μονάδες βούτυρο στο συγκεκριμένο σημείο Αν όμως από το σημείο Γ θυσιάσουμε ακόμα μια μονάδα κανόνια και πάμε στο σημείο Δ (9 μονάδες κανόνια, 8 μονάδες βούτυρο) βλέπουμε ότι η «θυσία» μιας μονάδας κανόνια μας έδωσε μόνο 2 επιπλέον μονάδες βούτυρο Αν προχωρήσουμε στο σημείο Ε θυσιάζοντας ακόμα μια μονάδα κανόνια η θυσία μας μας έδωσε λίγο παραπάνω από μια μονάδα βούτυρο Αν βρεθούμε στο σημείο Ζ και θέλουμε να αποκτήσουμε μία μονάδα βούτυρο επιπλέον θα πρέπει τώρα να θυσιάσουμε 2 μονάδες κανόνια Άρα όσο αυξάνουμε την παραγωγή του βουτύρου θα πρέπει να θυσιάζουμε ολοένα και περισσότερες μονάδες κανόνια
ΚΠΔ Στην περίπτωση αυτή ο μετασχηματισμός του ενός αγαθού στο άλλο γίνεται ολοένα και δυσκολότερος Σκεφθείτε διάφορες εξηγήσεις για αυτό το φαινόμενο Μπορούμε μαθηματικά να εκφράσουμε αυτή τη θυσία ως το λόγο ΔΥ/ΔΧ Εφόσον η ΚΠΔ έχει αρνητική κλίση ο λόγος αυτός θα είναι αναγκαστικά αρνητικός, διότι όταν το ΔΧ είναι θετικό το ΔΥ θα πρέπει να είναι αρνητικό Όταν το ΔΧ τείνει στο άπειρο ο λόγος αυτός μας δίνει την κλίση της ΚΠΔ: dy/dx Αν εκφράσουμε την ΚΠΔ ως συνάρτηση Υ=F(X) τότε ο λόγος αυτός είναι ίσος με την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης dy/dx= df(x)/dx=f (X)
ΚΠΔ Ο λόγος αυτός ονομάζεται Οριακός Λόγος Μετασχηματισμού (ΟΛΜ) Marginal Rate of Transformation (MRT)
ΚΠΔ Ο Οριακός Λόγος Μετασχηματισμού (ΟΛΜ) Περιγράφει αριθμητικά το βαθμό στον οποίο η ποσότητα παραγωγής ενός αγαθού μπορεί να μετασχηματισθεί (ανακατανέμοντας τους παραγωγικούς συντελεστές) σε ποσότητα παραγωγής του άλλου αγαθού Είναι επίσης το «κόστος ευκαιρίας» ενός αγαθού σε όρους του άλλου αγαθού στο όριο Δείχνει πόσο Υ θυσιάζεται (παραχωρείται) για μια επιπλέον μονάδα Χ και αντίστροφα Στην «κανονική» ΚΠΔ με τα κοίλα προς τα μέσα μας δείχνει ότι το κόστος ευκαιρίας αυξάνει όσο αυξάνει η παραγωγή του ενός αγαθού
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Ας δούμε τώρα κάποιες έννοιες που μπορούν να μας βοηθήσουν στην κατανόηση της συμπεριφοράς του ΟΛΜ και της ΚΠΔ Συνάρτηση παραγωγής Η συνάρτηση παραγωγής (σ.π.) (production function) μας δείχνει το μέγιστο επίπεδο παραγωγής ενός προϊόντος, έστω Χ, που μπορεί να παραχθεί με δεδομένα επίπεδα παραγωγικών συντελεστών έστω K, L ceteris paribus Q X =F(K,L) Δηλ., οι παραγωγικοί συντελεστές είναι οι ανεξάρτητες μεταβλητές και το παραγόμενο προϊόν η εξαρτημένη μεταβλητή Φυσικά μπορούμε να γενικεύσουμε τη σ.π. για περισσότερους (n) συντελεστές παραγωγής Q X =F(x 1,x 2,,x n )
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Ας υποθέσουμε τώρα ότι μεταβάλλουμε το επίπεδο ενός μόνο παραγωγικού συντελεστή, έστω του L, και κρατάμε σταθερό το επίπεδο των υπολοίπων π.σ. Η συνάρτηση παραγωγής μπορεί να γραφεί ως Q X =F(L) Ορίζουμε ως οριακό προϊόν (marginal product) το επιπλέον προϊόν που παράγεται αν αυξήσουμε τον παραγωγικό συντελεστή κατά μία μονάδα Εναλλακτικά ως ΔQ X /ΔL ή σε οριακή μορφή ως dq X /dl = df(l)/dl =F (L), δηλ., είναι η πρώτη παράγωγος της σ.π. ως προς τον μεταβλητό παραγωγικό συντελεστή
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Ας εξετάσουμε μια ειδική μορφή σ.π. Έστω ότι αγαθό Χ παράγεται με ένα μόνο π.σ. μέσα από την σ.π. Χ=ΑL α Όπου τα Α και α είναι (θετικοί) παράμετροι Αν το α=1 τότε η σ.π. είναι γραμμική Χ=ΑL
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Αν το α<1 τότε η σ.π. έχει τη μορφή Χ=ΑL α
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Αν το α>1 τότε η σ.π. έχει τη μορφή Χ=ΑL α
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Χ=ΑL α Οι διάφορες τιμές του α αντιστοιχούν σε διαφορετικές αποδόσεις Αν α<1 τότε η σ.π. έχει φθίνουσες αποδόσεις. Το οριακό προϊόν (ΜΡ) βαίνει μειούμενο όσο αυξάνεται το επίπεδο χρήσης του παραγωγικού συντελεστή Αν α=1 τότε η σ.π. έχει σταθερές αποδόσεις. Το οριακό προϊόν (ΜΡ) παραμένει αμετάβλητο Αν α>1 τότε η σ.π. έχει αύξουσες αποδόσεις. Το οριακό προϊόν (ΜΡ) αυξάνεται όσο αυξάνεται το επίπεδο χρήσης του παραγωγικού συντελεστή
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Τώρα ας δούμε πως συνδυάζεται η συνάρτηση παραγωγής με την ΚΠΔ Έστω οι συναρτήσεις παραγωγής των δύο αγαθών Χ και Υ X και AL x Y BL y Όπου L x και L y οι ποσότητες του συντελεστή L που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή του Χ και του Υ αντίστοιχα
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Ο παραγωγικός συντελεστής όμως είναι δεδομένος και ίσος με Αν χρησιμοποιείται αποτελεσματικά ο παραγωγικός συντελεστής, όποιο μέρος του δεν χρησιμοποιείται για την παραγωγή του Χ, θα χρησιμοποιείται για την παραγωγή του Υ. Άρα ισχύει ότι: Lx Ly L Ly L Lx Και οι συναρτήσεις παραγωγής των Χ και Υ γίνονται αντίστοιχα: L Y και B L L x
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Βλέπουμε τώρα πως μπορούμε να εκφράσουμε το Υ σαν συνάρτηση του Χ Πρώτα εκφράζουμε το L x ως συνάρτηση του Χ X X ALx L x A Και αντικαθιστούμε στη συνάρτηση παραγωγής του Υ Y B L L x 1 X 1 Y BL X A Lx A 1
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Άρα η ΚΠΔ είναι: X Y F X BL A 1
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Ας δούμε αν η συνάρτηση αυτή είναι εύλογη Αν ολόκληρος ο παραγωγικός συντελεστής διατεθεί για την παραγωγή του Χ θα έχουμε: L L X AL AL x Το Υ σε αυτήν την περίπτωση θα είναι μηδέν 1 1 X AL Y F X BL BL BL L 0 A A x
ΚΠΔ: συνάρτηση παραγωγής Ας απαντήσουμε τώρα την ερώτηση για το σχήμα της ΚΠΔ Πρώτον: Τι κλίση έχει η ΚΠΔ; Αυτό θα το δούμε από τον ΟΛΜ 1 1 1 1 dy X X X F X B L B L L dx A A A 1 1 1 1 1 1 1 1 X 1 X 1 B X X B L L A A A A A A Άρα η καμπύλη έχει αρνητική κλίση για όλα τα Α, Β, α, β >0
Ας δούμε τι συμβαίνει αν έχουμε σταθερές αποδόσεις. Τα α και β είναι ίσα με την μονάδα. Η εξίσωση γίνεται: 1 1 1 X X X B Y B L B L B L BL X A A A A 1 Δηλ., είναι γραμμική και το Β/Α είναι ο ΟΛΜ αφού dy/dx=-b/a
Η δεύτερη παράγωγος είναι πιο πολύπλοκη να υπολογιστεί. Μπορεί όμως να αποδειχτεί ότι αν α, β<1 τότε είναι αρνητική, άρα θα στρέφει τα κοίλα προς την αρχή των αξόνων, ενώ αν και τα δύο είναι μεγαλύτερα της μονάδος τότε θα στρέφει τα κοίλα μακριά από την αρχή των αξόνων. Μπορείτε να «παίξετε» με το spreadsheet που παραθέτω σε άλλο αρχείο και να δείτε πως γίνεται η ΚΠΔ για διαφορετικούς παραμέτρους. Τα επόμενα διαγράμματα έχουν γίνει για διαφορετικές τιμές των α και β
Για α=β=1
Για α, β <1
Για α, β >1
Για α<1, β >1
Μετακίνηση πάνω στην ΚΠΔ και μετατόπιση της ΚΠΔ Όταν η διαθέσιμη τεχνολογία και οι διαθέσιμοι πόροι είναι σταθεροί μετακινούμαστε πάνω στην ΚΠΔ
Μετακίνηση πάνω στην ΚΠΔ και μετατόπιση της ΚΠΔ Όταν μεταβληθεί η τεχνολογία ή αλλάξουν οι ποσότητες των διαθέσιμων πόρων η ΚΠΔ μετατοπίζεται
Μετακίνηση πάνω στην ΚΠΔ και μετατόπιση της ΚΠΔ Ερώτηση: Τι θα συμβεί αν μειωθούν οι πόροι ή αν υποβαθμισθεί η τεχνολογία; Ερώτηση: Τι θα συμβεί αν βελτιωθεί ή υποβαθμισθεί η τεχνολογία ενός μόνο αγαθού ενώ η τεχνολογία παραγωγής του άλλου αγαθού παραμείνει αμετάβλητη;
Παράδειγμα Έχω 72 αυγά και 10 κιλά αλεύρι. 72 10kg
Παράδειγμα Για να φτιάξω μια ομελέτα θέλω 6 αυγά και για να φτιάξω ένα κέικ θέλω μισό κιλό αλεύρι και 3 αυγά. 1 ομελέτα => 6 αυγά =>
Παράδειγμα Για να φτιάξω μια ομελέτα θέλω 6 αυγά και για να φτιάξω ένα κέικ θέλω μισό κιλό αλεύρι και 3 αυγά. 1 κέικ => ½ kg αλεύρι + 3 αυγά => +
Παράδειγμα Ποια είναι η ΚΠΔ; Αν χρησιμοποιήσω όλο το αλεύρι μου μπορώ να φτιάξω 20 κέικ για τα οποία θα χρειαστώ 60 αυγά. Άρα το μέγιστο που μπορώ να φτιάξω είναι 20 κέικ και θα περισσέψουν αυγά για 2 ομελέτες. Αν χρησιμοποιήσω όλα τα αυγά για ομελέτες θα φτιάξω 12 ομελέτες. Στο ενδιάμεσο για κάθε ομελέτα θα πρέπει να θυσιάσω δύο κέικ. Αν Χ είναι οι ομελέτες και Υ τα κέικ, τότε η ΚΠΔ είναι: Y 726X 3 24 2 X, 2 X 12