Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας

Transcript

1 Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας - Υποθέτουμε μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές 1,. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τις συναρτήσεις χρησιμότητας: U1( X1, A1) : Συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή 1 U( X, A) : Συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή - Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα περιουσιών: e1 = ( ex1, ea 1) = ( T1,0) : Διάνυσμα περιουσίας του καταναλωτή 1 e = ( e, e ) = ( T,0) : Διάνυσμα περιουσίας του καταναλωτή X A -Hσυνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: A = f( L). 1

2 - Ορισμός. Μια εφικτή κατανομή ( X1, A1),(( X, A),( L, A) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη εφικτή κατανομή ( X, A ),(( X, A ),( L, A ) τέτοια ώστε: ( ) 1 1 U j( X j, A j) U j( X j, Aj) για κάθε καταναλωτή j = AB, και U ( X, A ) > U ( X, A ) για κάποιον καταναλωτή j. j j j j j j ( ) - Δηλαδή: Δεν υπάρχει άλλη κατανομή που ωφελεί κάποιον καταναλωτή χωρίς ταυτόχρονα να ζημιώνει κάποιον άλλον. - Δεν υπάρχει δυνατότητα μετακίνησης από μια άριστη κατά Pareto κατανομή κατά τρόπο ώστε να ωφελούνται όλα τα άτομα στην οικονομία (ή: κατά τρόπο ώστε να ωφελείται κάποιος καταναλωτής χωρίς ταυτόχρονα να ζημιώνεται κάποιος άλλος). - Οποιαδήποτε μετακίνηση η οποία ωφελεί κάποιον καταναλωτή πρέπει αναγκαστικά να ζημιώνει κάποιον άλλον.

3 - Δηλαδή: Δεν υπάρχει δυνατότητα να γίνουν αμοιβαία επωφελείς ανταλλαγές μεταξύ των καταναλωτών (όλαταοφέληαπότις συναλλαγές έχουν εξαντληθεί). Υπολογισμός Άριστων κατά Pareto Κατανομών - Για να υπολογίσουμε μια άριστη κατά Pareto κατανομή, μεγιστοποιούμε τη χρησιμότητα του καταναλωτή 1 υπό τον περιορισμό ότι η χρησιμότητα του καταναλωτή είναι (τουλάχιστον) ίση με κάποιο επίπεδο (στόχο) χρησιμότητας U, ενώ ταυτόχρονα λαμβάνουμε υπόψη τους τεχνολογικούς περιορισμούς και τους περιορισμούς των πόρων στην οικονομία. ( ) - Πρόταση. Μια κατανομή ( X είναι άριστη 1, A1),(( X, A),( L, A) κατά Pareto αν και μόνο αν αποτελεί λύση του παρακάτω προβλήματος βελτιστοποίησης: 3

4 max U ( X, A) { X, A, X, A, L, A} st.. U( X, A) U (1) A f( L) () X1+ X + L T1+ T (3) A1+ A A (4) 0 X1 T1 (5) 0 X T (6) A, A, L, A 0 1 (PΟP) (Pareto Optimality Problem) Ο περιορισμός (1) απαιτεί να επιτυγχάνεται τουλάχιστον ο στόχος χρησιμότητας ( U ) για τον καταναλωτή. Ο περιορισμός () είναι ο τεχνολογικός περιορισμός της οικονομίας. Οι περιορισμοί (3) και (4) ονομάζονται περιορισμοί των πόρων (Resource Constraints) και εξασφαλίζουν ότι η λύση του POP είναι μια εφικτή κατανομή. 4

5 L = U ( X, A) + λ[ U ( X, A ) U ] + μ[ f( L) A] + ν ( T + T X X L) ν ( A A A ) + ρ ( T X ) + ρ ( T X ) FOCs : U 0, X 0 X X X 1 = ν1 ρ1 1 = U ν 0, A 0 A A A 1 = 1 = U = 0, = 0 X X X A λ ν1 ρ X U λ A = ν 0, A = 0 A = μ+ ν 0, A = 0 A A f = μ ν1 0, L = 0 5

6 = U( X, A) U 0, λ = 0 λ λ = f( L) A 0, μ = 0 μ μ ν ν = T + T X X L 0, ν = ν1 = A A A 0, ν = 0 1 ν = T X 0, ρ = 0 ρ ρ ρ1 = T X 0, ρ = 0 ρ Υπόθεση: 0 < X < T, 0 < X < T, A, A, L, A> 0. Τότε: X X < T ρ = < T ρ =

7 U U X > 0 = ν = 0 ν = > 0 X + X + L= T + T (7) X1 X1 X1 U U A > 0 = ν = 0 ν = > 0 A + A = A (8) A1 A1 A1 ν Επίσης: = ν U U / X / A = MRS 1 - Άρα: Για να είναι μια κατανομή άριστη κατά Pareto, οι περιορισμοί των πόρων πρέπει να ισχύουν με ισότητα (δηλαδή πρέπει να καταναλώνεται ολόκληρη η διαθέσιμη ποσότητα κάθε αγαθού). X U ν U / X > 0 = λ ν = 0 λ = = > X X U / X U / X U ( X, A ) = U (10) (10) ν U λ X 1 = 7 (9) (11)

8 - Άρα: Για να είναι μια κατανομή άριστη κατά Pareto, πρέπει να επιτυγχάνεται ακριβώς ο στόχος χρησιμότητας U. A U U > 0 = λ ν = 0 ν = λ (1) A A A ν U / X 1 (11),(1) = = MRS (13) ν U / A ν U / X U / X (9),(13) = = MRS = = MRS (14) ν U1/ A1 U/ A - Δηλαδή: Για να είναι μια κατανομή άριστη κατά Pareto, o οριακός λόγος υποκατάστασης πρέπει να είναι ο ίδιος για τους καταναλωτές 1 και. A> 0 = μ+ ν = 0 μ= ν > 0 A= f( L) (15) A - Δηλαδή: Για να είναι μια κατανομή άριστη κατά Pareto, πρέπει να παράγεται η μέγιστη δυνατή ποσότητα προϊόντος από κάθε δεδομένη 8 ποσότητα εργασίας.

9 f f f L > 0 = μ ν1 = 0 ν1 = μ = ν. Άρα: ν1 f = = MPL ν ν (16) 1 (14),(16) = MRS1 = MRS = MPL (17) ν - Δηλαδή: Για να είναι μια κατανομή άριστη κατά Pareto, o οριακός λόγος υποκατάστασης για τους καταναλωτές 1, πρέπει να είναι ίσος με το οριακό προϊόν της εργασίας. - Παρατήρηση: Στη λύση του POP, οι περιορισμοί (1) έως (4) θα ισχύουν με ισότητα. Συνθήκες ης Τάξης (Ικανές Συνθήκες Μεγιστοποίησης): Αν οι συναρτήσεις χρησιμότητας των καταναλωτών είναι οιονεί κοίλες και η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι κοίλη, τότε κάθε λύση 9 των FOCs αποτελεί ολικό μέγιστο του POP.

10 -Γνωρίζουμε ότι σε κάθε ανταγωνιστική ισορροπία πρέπει να ισχύει [βλ.week 9 (1 of ), σελ. 6]: w MRS 1 MRS MP L p = = = - Άρα: Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία ικανοποιεί τη συνθήκη βελτιστοποίησης κατά Pareto (δηλαδή τη συνθήκη 17). 1 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας (First Fundamental Theorem of Welfare Economics - FWT). Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto. - Μια πιο επίσημη διατύπωση του FWT είναι η εξής: ( ) Αν ( w*, p*),( X * * * * 1, A1),(( X, A),( L*, A*) ισορροπία, τότεηκατανομήισορροπίας είναι άριστη κατά Pareto. είναι μια ανταγωνιστική ( X *, A * ),(( X *, A * ),( L*, A*) ( )

11 Παρατηρήσεις για το 1 ο Θεώρημα Ευημερίας (1) Το FWT είναι η επίσημη διατύπωση της θέσης του Adam Smith για το αόρατο χέρι της αγοράς. - Μολονότι όλα τα άτομα στην οικονομία επιδιώκουν να ικανοποιήσουν μόνο το προσωπικό τους συμφέρον, μοιάζουν σαν να κατευθύνονται από ένα αόρατο χέρι που τα οδηγεί σε επιλογές οι οποίες μεγιστοποιούν την κοινωνική ευημερία. () Το FWT υποδεικνύει τις ανταγωνιστικές αγορές ως ένα γενικό μηχανισμό κατανομής των πόρων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίτευξη άριστων κατά Pareto αποτελεσμάτων στην οικονομία. Αφού κάθε ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, η μόνη δικαιολογία που υπάρχει για παρέμβαση στην οικονομία είναι η επίτευξη αναδιανεμητικών σκοπών. (3) Η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto αλλά δεν εξασφαλίζει κατ ανάγκη την ίση ( δίκαιη ) διανομή των οικονομικών οφελών μεταξύ των καταναλωτών. 11

12 - Αν η αρχική διανομή των περιουσιών ευνοεί τον έναν από τους δύο καταναλωτές, τότε και η τελική κατανομή της ανταγωνιστικής ισορροπίας θα ευνοεί επίσης τον ίδιο καταναλωτή. - Γενικά: Η ανταγωνιστική ισορροπία (η οποία προκύπτει από ηθελημένες συναλλαγές στις ανταγωνιστικές αγορές) τείνει να αναπαράγει τις ανισότητες που χαρακτηρίζουν την αρχική διανομή των περιουσιών μεταξύ των καταναλωτών. Η επίτευξη μιας λιγότερο άνισης διανομής των οικονομικών οφελών προϋποθέτει κάποιου είδους παρέμβαση στην αγορά (π.χ. με τη χρήση ενός συστήματος φόρων και επιδοτήσεων) για την εκπλήρωση των επιθυμητών αναδιανεμητικών σκοπών. (4) Το FWT ισχύει υπό τις εξής υποθέσεις: (i) Οι αγορές είναι πλήρεις (κάθε τωρινό ή μελλοντικό αγαθό που αντιστοιχεί σε κάθε πιθανή κατάσταση του κόσμου αποτελεί αντικείμενο συναλλαγής σε μια αγορά). 1

13 (ii) Όλες οι αγορές είναι τέλεια ανταγωνιστικές (οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις θεωρούν δεδομένες τις τιμές όλων των αγαθών). - Αν υπάρχει ατελής ανταγωνισμός (δηλαδή αν κάποιοι καταναλωτές ή κάποιες επιχειρήσεις κατέχουν δύναμη στην αγορά και οι αποφάσεις τους επηρεάζουν τις τιμές), τότε η ισορροπία δεν είναι άριστη κατά Pareto. (iii) Δενυπάρχουνεξωτερικότητες(externalities) και δημόσια αγαθά στην οικονομία. - Αν υπάρχουν εξωτερικότητες ή / και δημόσια αγαθά, τότε η ανταγωνιστική ισορροπία δεν είναι άριστη κατά Pareto. (iv) Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις έχουν τέλεια πληροφόρηση για τις τιμές των αγαθών και οι επιχειρήσεις έχουν τέλεια πληροφόρηση για τις ενέργειες και τις δεξιότητες των παραγωγικών συντελεστών. - Αν υπάρχει ατελής ή ασυμμετρική πληροφόρηση στην αγορά, τότε η ανταγωνιστική ισορροπία δεν είναι άριστη κατά Pareto. 13

14 Το Όριο Pareto - Λύνουμε το POP και βρίσκουμε όλες τις άριστες κατά Pareto κατανομές ως συνάρτηση του στόχου χρησιμότητας U : ( X ( U ), A( U ), X ( U ), A ( U ), L( U ), AU ( )) 1 1 (Άριστες κατά Pareto Κατανομές) - Αντικαθιστούμε τις άριστες κατά Pareto ποσότητες X1( U), A1( U) στη συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή 1 και παίρνουμε το όριο Pareto ή σύνορο Pareto ή σύνορο δυνατοτήτων χρησιμότητας (Pareto Frontier ή Utility Possibilities Frontier UPF ): U ( U ) = U [ X ( U ), A( U )] Το όριο Pareto παριστάνει το σύνολο των συνδυασμών χρησιμοτήτων (U 1,U ) που αντιστοιχούν στις άριστες κατά Pareto κατανομές. ( ) - Πρόταση. Μια κατανομή X1, A1, X, A, L, A είναι άριστη κατά Pareto αν και μόνο αν ο συνδυασμός χρησιμοτήτων που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη κατανομή ανήκει στο όριο Pareto, δηλαδή: U ( X, A), U ( X, A ) UPF ( ) (UPF) 14

15 U 1 D E H UPF G F 0 U - Τα σημεία D, E, F είναι άριστα κατά Pareto (δηλαδή αντιστοιχούν σε άριστες κατά Pareto κατανομές), διότι βρίσκονται πάνω στο UPF. -To σημείο G δεν είναι άριστο κατά Pareto, διότι βρίσκεται κάτω από το UPF (οποιαδήποτε μετακίνηση από το σημείο G σε κάποιο σημείο εντός της γραμμοσκιασμένης περιοχής ωφελεί ταυτόχρονα και τους δύο καταναλωτές 1,). - Το σημείο H είναι ανέφικτο (δηλαδή αντιστοιχεί σε κάποια μη εφικτή κατανομή), διότι βρίσκεται πάνω από το UPF. 15

16 - Παρατήρηση. Η έννοια της αποτελεσματικότητας κατά Pareto ενσωματώνει τις ακόλουθες αξιολογικές κρίσεις: (1) Αδιαφορία ως προς το μηχανισμό επίτευξης μιας κατανομής (Process Independence) -To POP εστιάζει στον υπολογισμό των άριστων κατά Pareto κατανομών χωρίς να ενδιαφέρεται για τη διαδικασία μέσω της οποίας η οικονομία φτάνει σε μια συγκεκριμένη κατανομή. Παράδειγμα 1: Η αγορά είναιέναςμηχανισμόςπουβασίζεταιστην αποκεντρωμένη λήψη αποφάσεων και επιτρέπει στα ίδια τα άτομα να επιλέγουν τις ποσότητες που παράγονται και καταναλώνονται από κάθε αγαθό στην οικονομία. Παράδειγμα : Ο κεντρικός σχεδιασμός είναι ένας μηχανισμός που βασίζεται στη συγκεντρωτική λήψη αποφάσεων και επιβάλλει στα άτομα τις ποσότητες που θα παράγουν και θα καταναλώσουν από κάθε αγαθό στην οικονομία. 16

17 () Ατομικισμός (Individualism) - Με δεδομένη την ποσότητα που παράγεται από κάθε αγαθό στην οικονομία, τo POP μεγιστοποιεί απλώς τις χρησιμότητες των καταναλωτών χωρίς να ενδιαφέρεται για τον τρόπο με τον οποίο είναι οργανωμένη η παραγωγή. Παράδειγμα: Το κριτήριο Pareto δεν ενδιαφέρεται αν μια δεδομένη ποσότητα προϊόντος παράγεται από μία μεγάλη επιχείρηση ή από πολλές μικρές επιχειρήσεις, αν η ιδιοκτησία των επιχειρήσεων είναι ιδιωτική ή δημόσια κ.λπ. (3) Απουσία Πατερναλισμού (Non-Paternalism) - Το κριτήριο Pareto αξιολογεί τις κατανομές σύμφωνα με τις προτιμήσεις των ατόμων (δηλαδή υποθέτει ότι τα ίδια τα άτομα είναι οι καλύτεροι κριτές της ευημερίας τους). Αλλά: Ίσως δε θα έπρεπε πάντα να γίνονται σεβαστές οι προτιμήσεις των ατόμων (π.χ. σε σχέση με την κατανάλωση ναρκωτικών ουσιών ή αλκοόλ, σε σχέση με τη φροντίδα που δείχνουν τα άτομα για την υγεία ή την εκπαίδευσή τους κ.λπ.). 17

18 (4) Καλή Προαίρεση έναντι των ατόμων (Benevolence) -To κριτήριο Pareto θεωρεί ότι η αύξηση της χρησιμότητας οποιουδήποτε ατόμου με δεδομένη τη χρησιμότητα των υπόλοιπων ατόμων αποτελεί βελτίωση της κοινωνικής ευημερίας. Παράδειγμα: Η αύξηση της χρησιμότητας ενός πολύ πλούσιου ατόμου (χωρίς ταυτόχρονα να ωφελείται κανένα άλλο άτομο) θεωρείται βελτίωση της κοινωνικής ευημερίας, έστω και αν κάποια άλλα άτομα στην οικονομία εξακολουθούν να είναι πολύ φτωχά. 18

19 - Παράδειγμα 1. Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Έναν καταναλωτή. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ (ή: την εργασία L) και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις του καταναλωτή παριστάνονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας: 1 U( L, A) = A L - Η περιουσία του καταναλωτή παριστάνεται από το διάνυσμα: e= ( e, e ) = (1,0) X A - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: ˆ ˆ 1 A = f( L) = Lˆ 4 19

20 - Έχουμε ήδη υπολογίσει την ανταγωνιστική ισορροπία για τη συγκεκριμένη οικονομία (βλ. Week 8, σελ. 1-19): ( w*, p*) = (1/4, 1) ( L*, A*) = ( Lˆ *, Aˆ *) = (1/ 4, 1/ 8) U* = 3/3 (Τιμές Ισορροπίας) (Ποσότητες Ισορροπίας) (Χρησιμότητα Ισορροπίας) - Παρατήρηση: Αν η οικονομία αποτελείται από έναν καταναλωτή, τότε υπάρχει μόνο μία άριστη κατά Pareto κατανομή στην οικονομία. - Υπολογίζουμε την άριστη κατά Pareto κατανομή λύνοντας το POP: 1 max U( L, A) = A L { LALA,, ˆ, ˆ} ˆ 1 st.. A Lˆ (1) 4 Lˆ L () A Aˆ (3) 0 0 L 1, A, Lˆ, Aˆ 0 (4)

21 - Παρατήρηση 1: Ο περιορισμός () είναι ο περιορισμός των πόρων για το αγαθό Χ (εκφρασμένος σε όρους εργασίας): X + Lˆ 1 Lˆ L - Παρατήρηση : Στη λύση του προβλήματος, οι περιορισμοί (1), () και (3) θα ισχύουν με ισότητα: ˆ 1 A= Lˆ (1 ) 4 Lˆ = L ( ) A = Aˆ (3 ) - Αντικαθιστούμε τις ( ), (3 ) στην (1 ) και παίρνουμε: ( ) 1 (1 ) A= L (1 ) (3 ) 4 - Άρα, το POP γράφεται: 1

22 1 max U( L, A) = A L { LA, } 1 st.. A= L 4 0 L 1, A max U( L) = L L { L} 4 st.. 0 L 1 (POP) -H λύση του POP (δηλαδή η άριστη κατά Pareto κατανομή) είναι: ( LA, ) = (1/ 4, 1/ 8) ( LA ˆ, ˆ) = (1/ 4, 1/ 8) (Άριστη κατά Pareto Κατανομή) - Αντικαθιστούμε τις άριστες κατά Pareto ποσότητες L,A στη συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή και παίρνουμε την άριστη κατά Pareto χρησιμότητα: P U = 3/3

23 Αξιολόγηση Ανταγωνιστικής Ισορροπίας - Επαληθεύουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto (δηλαδή ότι ισχύει το FWT). 1 ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι η χρησιμότητα ισορροπίας του καταναλωτή είναι ίση με την άριστη κατά Pareto χρησιμότητα: U P = 3/3 = U*, πράγματι. H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι η κατανομή ισορροπίας ταυτίζεται με την άριστη κατά Pareto κατανομή: i i i i L A Lˆ P Aˆ P P P = = * 1/4 L, πράγματι. = = * 1/8 A, πράγματι. = = ˆ * 1/4 L, πράγματι. = = ˆ * 1/8 A, πράγματι. H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. 3

24 - Παράδειγμα. Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Έναν καταναλωτή. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ (ή: την εργασία L) και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις του καταναλωτή παριστάνονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας: 1 U( L, A) = A L - Η περιουσία του καταναλωτή παριστάνεται από το διάνυσμα: e= ( e, e ) = (1,0) X A - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: Aˆ = f( Lˆ) = Lˆ 4

25 - Έχουμε ήδη υπολογίσει την ανταγωνιστική ισορροπία για τη συγκεκριμένη οικονομία (βλ. Week 8, σελ. 0-6): ( w*, p*) = (1, 1) ( L*, A*) = ( Lˆ *, Aˆ *) = (1,1) U* = 1/ (Τιμές Ισορροπίας) (Ποσότητες Ισορροπίας) (Χρησιμότητα Ισορροπίας) - Υπολογίζουμε την άριστη κατά Pareto κατανομή λύνοντας το POP: 1 max U( L, A) = A L { LALA,, ˆ, ˆ} st.. Aˆ Lˆ (5) Lˆ L (6) A Aˆ (7) 0 L 1, A, LA ˆ, ˆ 0 (8) - Στη λύση του προβλήματος, οι περιορισμοί (5), (6) και (7) θα ισχύουν με ισότητα: 5

26 Aˆ = Lˆ (5 ) Lˆ = L (6 ) A = Aˆ (7 ) - Αντικαθιστούμε τις (6 ), (7 ) στην (5 ) και παίρνουμε: (6 ) (5 ) A= L (5 ) (7 ) - Άρα, το POP γράφεται: 1 max U( L, A) = A L { LA, } st.. A= L 0 L 1, A 0 1 max U( L) = L L { L} st.. 0 L 1 (POP) -H λύση του POP (δηλαδή η άριστη κατά Pareto κατανομή) είναι: ( LA, ) = (1,1) ( LA ˆ, ˆ) = (1,1) (Άριστη κατά Pareto Κατανομή) 6

27 - Αντικαθιστούμε τις άριστες κατά Pareto ποσότητες L,A στη συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή και παίρνουμε την άριστη κατά Pareto χρησιμότητα: P U = 1/ Αξιολόγηση Ανταγωνιστικής Ισορροπίας - Επαληθεύουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto (δηλαδή ότι ισχύει το FWT). 1 ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι η χρησιμότητα ισορροπίας του καταναλωτή είναι ίση με την άριστη κατά Pareto χρησιμότητα: P U = 1/ = U*, πράγματι. H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι η κατανομή ισορροπίας ταυτίζεται με την άριστη κατά Pareto κατανομή: 7

28 i L P = = * 1 L, πράγματι. i i i A Lˆ Aˆ P P P = = * 1 A, πράγματι. = = ˆ * 1 L, πράγματι. = = Aˆ * 1, πράγματι. H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. - Παράδειγμα 3. Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Έναν καταναλωτή. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ (ή: την εργασία L) και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις του καταναλωτή παριστάνονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας: 1 U( L, A) = A L 8

29 - Η περιουσία του καταναλωτή παριστάνεται από το διάνυσμα: e= ( ex, ea) = (1,0) - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: Aˆ = f( Lˆ) = Lˆ - Έχουμε ήδη δείξει ότι δεν υπάρχει ανταγωνιστική ισορροπία στη συγκεκριμένη οικονομία (βλ. Week 8, σελ. 7-30): - Υπολογίζουμε την άριστη κατά Pareto κατανομή λύνοντας το POP: 1 max U( L, A) = A L { LALA,, ˆ, ˆ} ˆ ˆ st.. A L (9) Lˆ L (10) A Aˆ (11) 0 L 1, ALA, ˆ, ˆ 0 (1) - Στη λύση του προβλήματος, οι περιορισμοί (9), (10) και (11) θα ισχύουν με ισότητα: 9

30 Aˆ = L ˆ (9 ) Lˆ = L (10 ) A= Aˆ (11 ) - Αντικαθιστούμε τις (10 ) και (11 ) στην (9 ) και παίρνουμε: (10 ) (9 ) A= L (9 ) (11 ) - Άρα, το POP γράφεται: 1 max U( L, A) = A L { LA, } st.. A= L 0 L 1, A max U( L) = L L = L { L} st.. 0 L 1 (POP) -H λύση του POP (δηλαδή η άριστη κατά Pareto κατανομή) είναι: ( LA, ) = (1,1) ( LA ˆ, ˆ) = (1,1) (Άριστη κατά Pareto Κατανομή) 30

31 - Αντικαθιστούμε τις άριστες κατά Pareto ποσότητες L,A στη συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή και παίρνουμε την άριστη κατά Pareto χρησιμότητα: P U = 1/ - Παρατήρηση: Στην περίπτωση των αυξουσών αποδόσεων κλίμακας (γενικά: αν η συνάρτηση παραγωγής ή/και οι συναρτήσεις χρησιμότητας δεν είναι οιονεί κοίλες), η άριστηκατάpareto κατανομή δεν μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπία. - Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή δεν ισχύει το ο Θεώρημα Ευημερίας, σύμφωνα με το οποίο κάθε άριστη κατά Pareto κατανομή μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπία (με τις κατάλληλες εφάπαξ μεταβιβάσεις). 31

32 - Παράδειγμα 4. Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Έναν καταναλωτή. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις του καταναλωτή παριστάνονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας: U( X, A) = ln A+ ln X - Η περιουσία του καταναλωτή παριστάνεται από το διάνυσμα: e= ( e, e ) = (1,0) X A - Ο καταναλωτής είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης. - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: Aˆ = f( Lˆ) = 4 Lˆ 3

33 - Έχουμε ήδη υπολογίσει την ανταγωνιστική ισορροπία για τη συγκεκριμένη οικονομία (βλ. Week 8, σελ ): ( w*, p*) = ( 5, 1) ( L*, A*, X*) = (1/5, 4 5/5, 4/5) ( Lˆ *, Aˆ *) = (1/5, 4 5/5) 64 5 U* = ln 15 (Τιμές Ισορροπίας) (Ποσότητες Ισορροπίας) (Χρησιμότητα Ισορροπίας) - Υπολογίζουμε την άριστη κατά Pareto κατανομή λύνοντας το POP: max U ( X, A ) = ln A+ ln X { X, A, Lˆ, Aˆ } st.. Aˆ 4 Lˆ (13) X + Lˆ 1 (14) A Aˆ (15) 0 X 1, ALA, ˆ, ˆ 0 (16) 33

34 - Παρατήρηση: Αν ισχύει ο περιορισμός (14), τότε ισχύει και ο (16). Μπορούμε να αγνοήσουμε τον περιορισμό (16). - Στη λύση του προβλήματος, οι περιορισμοί (13), (14) και (15) θα ισχύουν με ισότητα: Aˆ = 4 Lˆ (13 ) X + Lˆ = 1 Lˆ = 1 X (14 ) A= Aˆ (15 ) - Αντικαθιστούμε τις (14 ) και (15 ) στην (13 ) και παίρνουμε: (14 ) (13 ) A= 4 1 X (13 ) (15 ) - Άρα, το POP γράφεται: max U( X, A) = ln A+ ln X { X, A} st.. A= 4 1 X X, A 0 max U( X) = ln(4 1 X) + ln X { X } st.. X 0 (POP) 34

35 -H λύση του POP (δηλαδή η άριστη κατά Pareto κατανομή) είναι: ( X, A) = (4/5,4 5/5) ( LA ˆ, ˆ) = (1/5,4 5/5) (Άριστη κατά Pareto Κατανομή) - Αντικαθιστούμε τις άριστες κατά Pareto ποσότητες L,A στη συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή και παίρνουμε την άριστη κατά Pareto χρησιμότητα: U P 64 5 = ln 15 Αξιολόγηση Ανταγωνιστικής Ισορροπίας - Επαληθεύουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto (δηλαδή ότι ισχύει το FWT). 1 ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι η χρησιμότητα ισορροπίας του καταναλωτή είναι ίση με την άριστη κατά Pareto χρησιμότητα: 35

36 64 5 P U = ln = U*, πράγματι. 15 H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι η κατανομή ισορροπίας ταυτίζεται με την άριστη κατά Pareto κατανομή: i X P = = * 4/5 X, πράγματι. i i i A Lˆ Aˆ P P P = = * 4 5 / 5 A, πράγματι. = = Lˆ * 1/5, πράγματι. = = Aˆ * 4 5 / 5, πράγματι. H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. 36

37 - Παράδειγμα 5. Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές: 1 και. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τις συναρτήσεις χρησιμότητας: 1/ 1/ U1( X1, A1) = X1 A1 U( X, A) = A - Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα: e1 = ( ex1, ea 1) = (1,0) e = ( ex, ea) = (0,0) - Ο καταναλωτής είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης. - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: A= f( L) = L 37

38 - Έχουμε ήδη υπολογίσει την ανταγωνιστική ισορροπία για τη συγκεκριμένη οικονομία [βλ. Week 9 (1 of ), σελ. 7-1]: ( w*, p*) = (1, 1) ( * * * * * * ( X ) 1, A1),( X, A),( L, A ) = ((1/, 1/ ), (0,0), (1/, 1/) ) ( * * U ) 1 U, = (1/, 0) (Τιμές Ισορροπίας) (Χρησιμότητες Ισορροπίας) (Κατανομή Ισορροπίας) - Υπολογίζουμε τις άριστες κατά Pareto κατανομές λύνοντας το POP: 1/ 1/ max U ( X, A) = X A { X, A, A, L, A} st.. U( A) = A U (17) A L (18) X1 + L 1 ( 19) A1+ A A (0) 0 X1 1 (1) A1, A, L, A 0 - Παρατήρηση: Αν ισχύει ο περιορισμός (19), τότε ισχύει και ο (1). 38 Μπορούμε να αγνοήσουμε τον περιορισμό (1).

39 - Στη λύση του προβλήματος, οι περιορισμοί (18), (19) και (0) θα ισχύουν με ισότητα: A = L 1 (18 ) X1+ L= 1 L= 1 X1 (19 ) A + A = A (0 ) - Αντικαθιστούμε τις (19 ), (0 ) στην (18 ) και παίρνουμε: (19 ) (18 ) A + A = 1 X (18 ) (0 ) Άρα, το POP γράφεται: max U ( X, A) = X A { X, A, A } 1 1 1/ 1/ st.. U ( A ) = A U A + A = 1 X X 1 1, A, A (POP) 39

40 - Βοηθητικό βήμα: Βρίσκουμε το διάστημα των τιμών που μπορεί να πάρει η παράμετρος Η ελάχιστη τιμή της U min U. U = 0 (για A = 0) Η μέγιστη τιμή της είναι: είναι: U (18 ) max 1 1 U = 1 (για X = A = 0 A = 1) U 0 1 -H λύση του POP (δηλαδή οι άριστες κατά Pareto κατανομές) είναι: 1 U 1 U ( X, A ) = (0, U ) ( X1, A1) = (, ) 1+ U 1+ U ( LA, ) (, ) =, όπου 0 U 1 (Άριστες κατά Pareto Κατανομές) 40

41 - Αντικαθιστούμε τις άριστες κατά Pareto ποσότητες Χ 1,A 1 στη συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή 1 και παίρνουμε το όριο Pareto: U 1 U =, 0 U 1 (UPF) 1 U 1 1/ Ε UPF : U 1 1 U = 0 1 U Αξιολόγηση Ανταγωνιστικής Ισορροπίας - Επαληθεύουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto (δηλαδή ότι ισχύει το FWT). 41

42 1 ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι o συνδυασμός χρησιμοτήτων * * ισορροπίας ( U1, U ) = (1/,0) ικανοποιεί την εξίσωση του ορίου Pareto (δηλαδή ότι η ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στο UPF). i Για U = U = 0, η άριστη κατά Pareto τιμή της U είναι : U * 1 1 U = = 1/ = U, πράγματι. * Άρα, ο συνδυασμός χρησιμοτήτων ισορροπίας (σημείο Ε στο διάγραμμα της σελ. 41) ανήκει στο όριο Pareto. H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι η κατανομή ισορροπίας είναι άριστη κατά Pareto. i Για U = U = 0, οι άριστες κατά Pareto ποσότητες είναι : * 4

43 1 U * X1 = = 1/ = X1, πράγματι. 1 U * A1 = = 1/ = A1, πράγματι. A = U = 0 = A, πράγματι. L A * 1+ U 1+ U * = = 1/ = L, πράγματι. * = = 1/ = A, πράγματι. H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. 43

44 - Παράδειγμα 6. Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές: 1 και. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τις συναρτήσεις χρησιμότητας: 1/ 1/ U1( X1, A1) = X1 A1 U( X, A) = A - Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα: e1 = ( ex1, ea 1) = (1,0) e = ( ex, ea) = (0,0) - Ο καταναλωτής είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης. - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: A= f( L) = L 44

45 - Έχουμε ήδη υπολογίσει την ανταγωνιστική ισορροπία για τη συγκεκριμένη οικονομία [βλ. Week 9 (1 of ), σελ ]: ( w*, p*) = (, 1) 1 1 (, ),(, ),(, ) = (, ), (0, ), (, ) ( * * * * * * X ) 1 A1 X A L A ( U ) 1 U, = (, ) * * 3/4 1/ (Τιμές Ισορροπίας) (Χρησιμότητες Ισορροπίας) (Κατανομή Ισορροπίας) - Υπολογίζουμε τις άριστες κατά Pareto κατανομές λύνοντας το POP: max U ( X, A) = X A { X, A, A, L, A} 1 1 1/ 1/ st.. U( A) = A U () A L (3) X1 + L 1 ( 4) A1+ A A (5) 0 X1 1 (6) A, A, L, A

46 - Παρατήρηση: Αν ισχύει ο περιορισμός (4), τότε ισχύει και ο (6). Μπορούμε να αγνοήσουμε τον περιορισμό (6). - Στη λύση του προβλήματος, οι περιορισμοί (3), (4) και (5) θα ισχύουν με ισότητα: A= L (3 ) X1+ L= 1 L= 1 X1 (4 ) A + A = A (5 ) 1 - Αντικαθιστούμε τις (4 ), (5 ) στην (3 ) και παίρνουμε: (4 ) (3 ) A + A = 1 X (3 ) (5 ) Άρα, το POP γράφεται: max U ( X, A) = X A { X, A, A } 1 1 1/ 1/ st.. U( A) = A U A + A = 1 X X, A, A (POP) 46

47 - Βοηθητικό βήμα: Βρίσκουμε το διάστημα των τιμών που μπορεί να πάρει η παράμετρος U. Η ελάχιστη τιμή της U min U = 0 (για A = 0) Η μέγιστη τιμή της είναι: είναι: U (3 ) max 1 1 U = (για X = A = 0 A = ) U 0 -H λύση του POP (δηλαδή οι άριστες κατά Pareto κατανομές) είναι: ( U U ) U + 1 U ( X1, A1) = 1, 36 3 ( X, A ) = (0, U ) ( U U) U + 1+ U ( LA, ) =, 36 3 όπου 0 U (Άριστες κατά Pareto Κατανομές) 47

48 - Αντικαθιστούμε τις άριστες κατά Pareto ποσότητες Χ 1,A 1 στη συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή 1 και παίρνουμε το όριο Pareto: U [36 ( U U ) ] [ U + 1 U ] =, 0 (UPF) 6 3 1/ 1/ 1 U Αξιολόγηση Ανταγωνιστικής Ισορροπίας - Επαληθεύουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto (δηλαδή ότι ισχύει το FWT). 1 ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι o συνδυασμός χρησιμοτήτων * * 3/4 1/ ισορροπίας ( U ικανοποιεί την εξίσωση του ορίου 1, U) = (, ) Pareto (δηλαδή ότι η ανταγωνιστική ισορροπία ανήκει στο UPF). i Για U = U =, η άριστη κατά Pareto τιμή της U είναι : U * 1/ 1 [36 ( U U ) ] [ U + 1 U ] 1/ 1/ 3/4 * 1 = = = U1 6 3, πράγματι. 48

49 - Άρα, ο συνδυασμός χρησιμοτήτων ισορροπίας ανήκει στο όριο Pareto. H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι η κατανομή ισορροπίας είναι άριστη κατά Pareto. i Για U = U =, οι άριστες κατά Pareto ποσότητες είναι : * 1/ X ( U U ) 1 1/, πράγματι. 36 * 1 = = = X1 U + 1 U * A1 = = / = A1, πράγματι. 3 A = U = 0 = A, πράγματι. * H ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto, δηλαδή ισχύει το FWT. 49