Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο

4.3. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 4.3.1. Αναλογικό διάγραμμα πρώτης τάξης Ένα φυσικό σύστημα πρώτης τάξης: έχει διαφορική εξίσωση: αy + by = c x(t) ή α dy(t) + by(t) = c x(t) (4.33) και αναλογικό διάγραμμα: Σχήμα 69: Αναλογικό διάγραμμα πρώτης τάξης φυσικού συστήματος Για x(t) = U: σταθερή η χρονική απόκριση γιά y0 = 0 είναι: MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 1

4.3.2. Φυσικό αναλογικό διάγραμμα πρώτης τάξης Η φυσική μορφή της διαφορικής εξίσωσης ενός συστήματος πρώτης τάξης είναι: όπου: Τn = 1/α : η φυσική σταθερά χρόνου του συστήματος ωn = 1/Tn = α : η φυσική συχνότητα του συστήματος Α = b/α : η ενίσχυση. Η φυσική μορφή του αναλογικού διαγράμματος είναι: (4.38) Σχήμα 70: Αναλογικό διάγραμμα πρώτης τάξης φυσικού συστήματος Για x(t) ή u(t) = U: σταθερή, η χρονική απόκριση είναι: (4.39) Η φυσική σταθερά χρόνου Tn καθορίζει τη μεταβατική και η ενίσχυση Α τη μόνιμη χρονική απόκριση. (Καλλιγερόπουλος & Βασιλειάδου, 2005, σ. 162) MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 2

4.3.3. Γενική Περιγραφή Σεναρίου Γνωστικό αντικείμενο: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου (ΣΑΕ)- Αναλογικός Υπολογιστής - Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 1 ης τάξης. Θεματική ταξινομία: Εξάμηνο: 8 Περιόδου: Εαρινού Εξαμήνου -Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στην Βιοϊατρική Εκπαιδευτικό πρόβλημα: Το παρόν σενάριο αποτελεί μια επαφή των φοιτητών με την επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 1 ης ταξης, με αναλογικό υπολογιστή. Οι ασκήσεις έχουν δημιουργηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε να παροτρύνουν τους φοιτητές, να πειραματιστούν και μέσω της διερεύνησης, να ανακαλύψουν έννοιες και σχέσεις που δεν γνώριζαν μέχρι τη στιγμή αυτή ή έννοιες που έχουν αναφερθεί σε θεωρητικό επίπεδο στα ΣΑΕ. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην ανακάλυψη της γνώσης και όχι στην αβασάνιστη προσφορά της από τον εκπαιδευτικό. Οι μαθητές εμπλέκονται στην κατασκευή κυκλωμάτων, στην λήψη μετρήσεων και στη διεξαγωγή συμπερασμάτων. Γενική περιγραφή περιεχομένου: Το σενάριο είναι δομημένο για δυο ώρες εργαστηρίου. Αρχικά θα γίνει αναφορά στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων πρώτου βαθμού σε «Αναλογικό Υπολογιστή» στα ΣΑΕ.. Η Μέθοδος επίλυσης διαφορικής εξίσωσης σε αναλογικό υπολογιστή και αντίστροφα. Πρακτική διαδικασία υλοποίησης κυκλωμάτων στον αναλογικό υπολογιστή, μετρήσεις σημάτων εξόδου και σχολιασμός των σημάτων εξόδου στον παλμογράφο. Διδακτικοί Στόχοι: Να διαπιστώσουν οι φοιτητές - σπουδαστές τη λειτουργία του αναλογικού υπολογιστής σε δυναμικά συστήματα 1 ης τάξης. Να υπολογίζουν την της απόκρισης συστήματος (δηλαδή της εξόδου), την διαφορική εξίσωση και την συνάρτηση μεταφοράς σε αναλογικό υπολογιστή. Να σχεδιάζουν το αναλογικό διάγραμμα του συστήματος και να το υλοποιούν στο ταμπλώ του feedback ACM347. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 3

Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: Εξομοίωση δυναμικών συστημάτων 1 ης τάξης Αναλογικό διάγραμμα Συνάρτηση Μεταφοράς Ηλεκτρικό κύκλωμα Υλικοτεχνική υποδομή Ψηφιακό υλικό: Αίθουσα Εργαστηρίου Η/Υ ή ΣΑΕ εφόσον διαθέτει Η/Υ με σύνδεση στο διαδίκτυο για όλες τις ομάδες μαθητών Βιντεοπροβολέας και Η/Υ με σύνδεση στο διαδίκτυο για τον διδάσκοντα Αναλογικός υπολογιστής ACM 347 (της FEEDBACK) Τροφοδοτικό ±15V DC Ψηφιακό Πολύμετρο Γεννήτρια συναρτήσεων Εκτιμώμενη Διάρκεια Ο εκτιμώμενος χρόνος που απαιτείται από τον φοιτητή σπουδαστή για την ολοκλήρωση της παρούσας εργαστηριακής άσκησης είναι 2 διδακτικές ώρες. Πνευματικά δικαιώματα ή άλλοι αντίστοιχοι περιορισμοί: 1. Αναλογικός Υπολογιστής feedback ACM 347 2. (ΠΑΝΤΑΖΗΣ, 1999) 3. (ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ, 2006) 4. (Καλλιγερόπουλος & Βασιλειάδου, 2005) Εκτιμώμενο Επίπεδο Δυσκολίας: Μέτριας δυσκολίας Τύπος διαδραστικότητας : Συνδυασμός παθητικής και ενεργητικής μάθησης Επίπεδο διαδραστικότητας : Υψηλό Προτεινόμενη ηλικιακή ομάδα του τελικού χρήστη: Άνω τον 18 Εκπαιδευτική βαθμίδα που απευθύνεται το σενάριο: Τριτοβάθμια Εκπαίδευση - Σχολές Θετικών Επιστημών & Τεχνολογίας Παράδοση Φύλλο έργου Το φύλλο έργου πρέπει να το ανεβάσετε στο free open e-class ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ, σύμφωνα με την ημερομηνία παράδοσης! MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 4

4.3.4. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Σ αυτή την ενότητα, αλλά και στις αμέσως επόμενες, θα μελετήσουμε, με τη βοήθεια του Αναλογικού Υπολογιστή, τον τρόπο επίλυσης: Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτης και Δευτέρας τάξης. Συστημάτων Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτης και Δευτέρας τάξης 4.3.4.1. Γενικός Τρόπος Επίλυσης Διαφορικής Εξίσωσης Πρώτης Τάξης 1. Έστω η Γραμμική Διαφορική Εξίσωση πρώτης τάξης με γενική μορφή: και με αρχικές συνθήκες χ(0 ) = d, για t= 0. Προκειμένου να την επιλύσουμε, με τη Βοήθεια του Αναλογικού Υπολογιστή, εργαζόμαστε ως εξής: αy + by = c x(t) ή α dy(t) όπου: y = dy και σταθερή τάση αναφοράς (είσοδος), x(t)= 1 και με αρχικές συνθήκες χ(0 ) = d, για t= 0. + by(t) = c x(t) (4.33) Προκειμένου να την επιλύσουμε, με τη Βοήθεια του Αναλογικού Υπολογιστή, εργαζόμαστε ως εξής: Λύνουμε την εξίσωση ως προς y. Δηλαδή απομονώνουμε στο πρώτο μέλος της εξίσωσης τη μεγαλύτερη παραγωγό. (Η ίδια διαδικασία ακολουθείται και για κάθε άλλη διαφορική εξίσωση μεγαλύτερου βαθμού). Οπότε έχουμε: c b y= a a Ξαναγράφουμε την εξίσωση (4.34) με τη νέα της ισοδύναμη μορφή: y (4.34) c b y = + a a y (4.35) Σημείωση: Οι όροι c/a και b/a μπορούν να δημιουργηθούν επάνω στον Αναλογικό Υπολογιστή με τη χρήση δύο ποτενσιομέτρων με λόγο υποβιβασμού c/a και b/a. Π.χ. Έστω c = 0,5. Η ρύθμιση γίνεται ως εξής: a Τροφοδοσία ποτενσιομέτρου ίση με 10V. Ρύθμιση ποτενσιομέτρου στις 5 στροφές. Από το πρώτο μέλος της εξίσωσης (4.35) θα υπολογίζουμε τους ολοκληρωτές. Η δύναμη της παραγώγου καθορίζει το πόσους ολοκληρωτές πρέπει να επιλέξουμε στο αναλογικό διάγραμμα, δηλαδή y =dy/ ισοδυναμεί με έναν ολοκληρωτή, MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 5

y =d 2 y/ 2 ισοδυναμεί με δυο ολοκληρωτές κ.λπ. Το δεύτερο μέλος της εξίσωσης (4.35) αποτελεί το σήμα εξόδου(f) του αθροιστή. Για τον Αθροιστή ισχύει ο γενικός τύπος: - Έξοδος= Αλγεβρικό Άθροισμα των Εισόδων του (4.36) Για τον Ολοκληρωτή ισχύει ο γενικός τύπος: - d (Έξοδος)= Αλγεβρικό Άθροισμα των Εισόδων του (4.37) Σχεδιάζουμε το πλήρες Αναλογικό Διάγραμμα Προσομοίωσης της εξίσωσης (4.35). y Σχήμα 71: Πλήρες αναλογικό διάγραμμα προσομοίωσης της διαφορικής εξίσωσης αy + by = c x(t) Σχεδιάζουμε το Απλοποιημένο Αναλογικό διάγραμμα προσομοίωσης της εξίσωσης (4.33) εφόσον δεν επιθυμούμε την εμφάνιση της y, οπότε οι λειτουργιές του Αθροιστή και του Ολοκληρωτή μπορούν να αντικατασταθούν από έναν Αθροιστικό - Ολοκληρωτή- με δύο εισόδους (Σχ. 72). y Σχήμα 72: Λύση της εξίσωσης (4.35) χωρίς την εμφάνιση της y. Διαπιστώνουμε ότι από τη μη εμφάνιση της ανώτερης παραγώγου y, επιτυγχάνεται εξοικονόμηση δύο μονάδων και απλούστευση του προς καλωδίωση διαγράμματος. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 6

2. Έστω δίνεται το κύκλωμα στο εκπαιδευτικό ταμπλώ του αναλογικού υπολογιστή(feedback ACM 347). Σχήμα 73: Κύκλωμα στον αναλογικό υπολογιστή(acm347) Αρχικά το μετατρέπουμε το κύκλωμα του σχήματος 74 σε αναλογικό διάγραμμα το οποίο αποτελείται από τα συμβολικά διαγράμματα των διατάξεων του. Σχήμα 74: Το Αναλογικό Διάγραμμα του κυκλώματος ACM 347 Η επίλυση του Α.Δ. του σχήματος 74, γίνεται πιο εύκολη από την έξοδο y(t) του προς την είσοδο x(t) του. Αρχικά υπολογίζουμε αναλυτικά τις εξισώσεις κάθε ολοκληρωτή,(θυμίζουμε ότι Ολοκληρωτής κατά την κανονική του φορά κάνει την πράξη της ολοκλήρωσης και κατά την αντίθετη φορά την πράξη της παραγώγισης), μέχρι την είσοδο του τελευταίου ολοκληρωτή. Υπολογισμός εξόδου αθροιστή(f), και την εξισώνουμε με την εξίσωση που έχει προκύψει από στην είσοδο του τελευταίου ολοκληρωτή με φορά από την y(t) x(t). u(t) ή Σχήμα 75: Το Αναλογικό Διάγραμμα με τις παραμέτρους του κυκλώματος ACM 347 MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 7

Συνεπώς από το σχήμα 75 προκύπτει η παρακάτω η εξίσωση 1 ου βαθμού: F=-0,25x(t)+0,5y(t)= -dy(t)/=> 0,25x(t)=dy(t)/ +0,5y(t) 3. Υπολογισμός Συνάρτησης Μεταφοράς(καλείται το πηλίκο της εξόδου προς την είσοδο) Εφαρμόζουμε Μ/Σ laplace * για τον υπολογισμό της Συνάρτησης Μεταφοράς(Σ.Μ.) L {0, 25x(t) = dy(t) L{0, 25x = L{dy(t)/} + L{0, 5y(t)} + 0, 5y(t)} => εφαρμόζοντας ιδιότητες** Μ/Σ Laplace έχουμε: 0, 25L{x(t)} = L { dy(t) } + 0, 5L{y(t)} => 0, 25x(s) = sy(s) + 0, 5y(s) => 0, 25x(s) = (s + 0, 5)y(s) => λύνουμε την εξίσωση ως προς y/x, δηλαδή έξοδος προς είσοδο, που αποτελεί την Σ.Μ. του 1 ου βαθμού συστήματος. y(s) x(s) = 0, 25 (s + 0, 5) *στην 2.5 ο Μ/Σ Laplace, **στην 2.5.3 ιδιότητες του Μ/Σ Laplace MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 8

4.3.5. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΒΑΘΜΟΣ 4.3.5.1. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΟΥ 2 A. Επίλυση Αναλογικού Διαγράμματος 1 ης τάξης σε Διαφορική Εξίσωση-Σ.Μ. Απαιτούμενα Όργανα και Υλικά: Μονάδα Αναλογικού Υπολογιστή ACM347(Feedback). Παλμογράφος διπλής δέσμης με μνήμη. (Βλέπε Παράρτημα Β) Καλώδια συνδεσμολογίας. Γεννήτρια χαμηλών συχνοτήτων. (Βλέπε Παράρτημα Β) Τροφοδοτικό ±15V DC Ψηφιακό Πολύμετρο Πορεία Εργασίας 1. Πραγματοποιήστε την συνδεσμολογία του σχήματος 76 του ταμπλώ του αναλογικού υπολογιστή ACM347*. Συνδέστε, στην είσοδο Χ του κυκλώματος (δηλαδή στα σημεία X και G1) την έξοδο (τετραγωνικών παλμοσειρών) της γεννήτριας συναρτήσεων καθώς και το ένα κανάλι του παλμογράφου, ενώ στην έξοδο Υ του κυκλώματος(δηλαδή στα σημεία Υ και G2) το άλλο κανάλι του παλμογράφου. Στη συνέχεια ανοίξτε τις τροφοδοσίες των συσκευών με σήμα εισόδου τετραγωνική παλμοσειρά 10V (peak to peak), 0.5 Hz. Τοποθετήστε αρχικά τους δυο διακόπτες της μονάδας ελέγχου (που βρίσκεται στο δεξιά μέρος του ταμπλώ) ως εξής. Τον αριστερά διακόπτη στη θέση hold και τον δεξιό διακόπτη στη θέση reset. Στη συνέχεια μετακινείστε τον δεξιά διακόπτη στη θέση compute. * από τις σχέσεις 4.25 και 4.31 υπολογίζουμε τις αντίστοιχες αντιστάσεις ώστε να προκύπτουν τα γνωστά κέρδη του αθροιστή και του ολοκληρωτή. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 9

. Σχήμα 76: Αναλογικό Διάγραμμα με ανάδραση 2. Παρατηρείστε στην οθόνη του παλμογράφου την είσοδο και την έξοδο του κυκλώματος και σχεδιάστε τις κυματομορφές. 3. Να υπολογίσετε την διαφορική εξίσωση που προκύπτει από το αναλογικό διάγραμμα του σχήματος 76 4. Να υπολογίσετε την Συνάρτηση Μεταφοράς που προκύπτει από την παραπάνω διαφορική εξίσωση του Α.Δ. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 10

B. Φυσικό αναλογικό διάγραμμα πρώτης τάξης (από Σ.Μ σε Α.Δ ACM347) Πορεία Εργασίας 1. Δίνεται στο σχήμα 77 το ηλεκτρικό κύκλωμα RC που είναι ένα φυσικό σύστημα πρώτης τάξης η διαφορική εξίσωση: RC dy + y(t) = x(t) (4.39) Σχήμα 77 :κύκλωμα RC Φυσική σταθερά χρόνου : Τn = RC Ενίσχυση : Α = 1 2. Να σχεδιάσετε το Αναλογικό Διάγραμμα από την διαφορική εξίσωση(4.38). 3. Να Πραγματοποιήστε την συνδεσμολογία του Αναλογικού Διαγράμματος στο ταμπλώ του αναλογικού υπολογιστή ACM347. 4. Να υπολογίσετε την συνάρτηση μεταφοράς(σ.m.) του κυκλώματος RC 5. Επαναλάβετε την διαδικασία του βήματος 1 της προηγούμενης ενότητας(α). 6. Παρατηρείστε στην οθόνη του παλμογράφου την είσοδο και την έξοδο του κυκλώματος και σχεδιάστε τις κυματομορφές. MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 11

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1: ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ ΙΙ (Feedback ACM347) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΒΑΘΜΟΣ 1.1.1.1. ΦΥΛΛΟ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (Ν ο...) ΟΔΗΓΙΕΣ: Να πραγματοποιήσετε τις παρακάτω ασκήσεις και να τις ανεβάσετε στο Free open e-class: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ /Εργασίες. Τα Αναλογικά Διαγράμματα θα υλοποιηθούν στο έντυπο φύλλο του αναλογικού υπολογιστή (feedback ACM 347), Παράρτημα Α. Άσκηση 1 η α)να υπολογίσετε την Σ.Μ. του παρακάτω Αναλογικού Διαγράμματος. β)να υλοποιήσετε το Α.Δ στο έντυπο φύλλο του αναλογικού υπολογιστή (feedback ACM 347). Άσκηση 2 η Συγκρίνετε θεωρητικά ένα πραγματικό ηλεκτρικό κύκλωμα RC με ένα απλό αναλογικό διάγραμμα πρώτης τάξης. Να υλοποιήσετε το Α.Δ. στο έντυπο φύλλο του feedback,( Παράρτημα Α). (Καλλιγερόπουλος & Βασιλειάδου, 2005, σ. 169) MSC. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΟΣ 12