Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
|
|
- Αγαθων Παπαστεφάνου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #8: Χώρος Κατάστασης: Μεταβλητές, Εξισώσεις, Κανονικές Μορφές Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε
2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
4 Σκοποί Ενότητας Συνάρτηση Μεταφοράς και εσωτερική δομή συστήματος. (σήματα) Χώρος Κατάστασης και εσωτερική δομή (σήματα) συστήματος - Σχέση με Συνάρτηση Μεταφοράς. Μεθοδολογία αναπαράστασης συστήματος στο Χώρος Κατάστασης - Χρήση τυποποιημένων μορφών. 4
5 Περιεχόμενα Ενότητας - 1 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State- Space) Παρατηρήσεις Παράδειγμα Επιλογή των μεταβλητών κατάστασης 5
6 Περιεχόμενα Ενότητας - 2 Κανονικές μορφές εξισώσεων κατάστασης (Canonical Forms) Controller Canonical Form (CCF) Observer Canonical Form (OCF) Παρατηρήσεις στις εξισώσεις κατάστασης Μετατροπή εξισώσεων κατάστασης σε συνάρτηση μεταφοράς 6
7 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) 7
8 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 1 Έστω σύστημα που μπορεί να περιγραφεί από τη διαφορική εξίσωση: n n-1 n-2 n yt () a n-1 yt () a n-2 yt ()... a yt () a yt () d d d d dt n 1 dt n 2 dt 1 dt 0 m m-1 b ut () + b m-1 ut () b ut () + b ut () m = d d d m dt m 1 dt 1 dt 0 (1) 8
9 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 2 Έστω σύστημα που μπορεί να περιγραφεί από τη διαφορική εξίσωση: n n-1 n-2 n yt () a n-1 yt () a n-2 yt ()... a yt () a yt () d d d d dt n 1 dt n 2 dt 1 dt 0 m m-1 b ut () + b m-1 ut () b ut () + b ut () m = d d d m dt m 1 dt 1 dt 0 Ο γνωστός, μέχρι τώρα, τρόπος αναπαράστασής του είναι η συνάρτηση μεταφοράς, έστω, G(s) με την ακόλουθη μορφή: (1) G(s) Y(s) b s + b s + b s b s + b = = U(s) s s s... s m m 1 m 2 m m 1 m n n 1 n 2 + an 1 + an a1 + a0 (2) 9
10 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 3 Η συνάρτηση μεταφοράς επιτρέπει την απ ευθείας εύρεση της συνάρτησης εξόδου y(t) για δεδομένη είσοδο u(t) μέσω: Υπολογισμού του Y(s) για το δεδομένο U(s) Ανάλυσης του Y(s) σε απλά κλάσματα και Χρήσης αντίστρ. μετασχηματισμών Laplace για υπολογισμό y(t). Δηλαδή, για δεδομένο u(t) μόνο η συγκεκριμένη επιλογή εξόδου είναι άμεσα υπολογίσιμη. 10
11 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 4 Π.χ έστω σύστημα μάζας- ελατηρίου- αποσβεστήρα Αν η συνάρτηση μεταφοράς θεωρεί ως είσοδο u(t) τη δύναμη και έξοδο y(t) τη μετατόπιση, μόνο η μετατόπιση είναι δυνατό να υπολογιστεί άμεσα. Σχ. 1: Σύστημα μάζας, ελατηρίου, αποσβεστήρα 11
12 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 5 Π.χ. έστω σύστημα μάζας- ελατηρίου- αποσβεστήρα Αν η συνάρτηση μεταφοράς θεωρεί ως είσοδο u(t) τη δύναμη και έξοδο y(t) τη μετατόπιση, μόνο η μετατόπιση είναι δυνατό να υπολογιστεί άμεσα. Σχ. 1 Σύστημα μάζας, ελατηρίου, αποσβεστήρα Η ταχύτητα και επιτάχυνση, παρότι εσωτερικά (άρα σημαντικά!) σήματα του συστήματος είναι υπολογίσιμα μόνο έμμεσα, θεωρώντας διαδοχικές παραγώγους της συνάρτησης εξόδου. 12
13 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 6 Εναλλακτικά, γίνεται αναπαράσταση της δομής του συστήματος, στον λεγόμενο χώρο κατάστασης (state-space): μάζα m, 2 d d m 2 yt B yt K yt f t 2 d dt 2 dt dt ελατήριο K, () + () + () = () B d K 1 yt () + dt yt () + yt () = f() t m m m αποσβεστήρας B είσοδος δύναμη f(t), έξοδος μετατόπιση y(t) (3) 13
14 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 7 Αν θέλουμε συνάρτηση μεταφοράς, άρα υποθέτοντας μηδενικές αρχικές συνθήκες για τη μετατόπιση και την ταχύτητα: Y() s 1 K / m = Fs () K 2 B K s + s + m m Για την αναπαράσταση στο χώρο κατάστασης: Θεωρήσατε τόσες βοηθητικές μεταβλητές, όση και η τάξης της διαφορικής εξίσωσης: x() t = yt () 1 d 2 = dt x() t yt () (4) (5) 14
15 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 8 Για την αναπαράσταση στο χώρο κατάστασης: Θεωρήσατε τόσες βοηθητικές μεταβλητές, όση και η τάξης της διαφορικής εξίσωσης: x() t = yt () x() t yt () 1 d 2 = dt Πρακτικά, λοιπόν, οι ονομαζόμενες μεταβλητές κατάστασης αντιστοιχούν στις n-1 παραγώγους του συστήματος με διαφορική εξίσωση τάξεως n. (5) 15
16 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 9 Παραγωγίζοντας την (5) θα έχουμε: x () t = y() t = x () t = x () t d d d dt 1 dt dt 1 2 B K 1 x t yt x t yt yt f t m m m B K 1 = x2() t x1() t + f() t m m m 2 () = 2 () = () = () () + () d d d d dt 2 dt dt 2 dt (6) Η (6) γράφεται σε μητρωική μορφή ως εξής: d dt x1() t 0 1 x1() t 0 d = f() t dt xt () A xt () B f() t x () t + = + K / m B/ m x () t 1/ m 2 2 x1 () t yt () = ( 1 0) + ( 0 ) f() t yt () = C xt () + D f() t x2() t (7) 16
17 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 10 Στο Σχ. 2 δίδεται και το αναλογικό διάγραμμα του συστήματος: Σχ. 2: Το αναλογικό διάγραμμα του συστήματος μάζας m, ελατηρίου K, αποσβεστήρα B 17
18 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 11 Στην μητρωική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης (7) διακρίνουμε: το διάνυσμα κατάστασης x(t) που για ένα σύστημα n- οστού βαθμού (άρα με διαφορική εξίσωση n-οστής τάξης) θα περιέχει τις μεταβλητές κατάστασης x 1 (t),...,x n (t), και 18
19 Αναπαράσταση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης (State-Space) - 12 Στην μητρωική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης (7) διακρίνουμε: το διάνυσμα κατάστασης x(t) που για ένα σύστημα n- οστού βαθμού (άρα με διαφορική εξίσωση n-οστής τάξης) θα περιέχει τις μεταβλητές κατάστασης x 1 (t),...,x n (t), και τα μητρώα A, B, C και D, που για ένα σύστημα n-οστού βαθμού θα πρέπει να έχουν τις κατάλληλες διαστάσεις ώστε να ικανοποιείται η μητρωική εξίσωση (7). Το A θα έχει διάσταση n n, ενώ η αντίστοιχη του B θα είναι n 1. 19
20 Παρατηρήσεις 20
21 Παρατηρήσεις (1) Παρατηρήσατε ότι: Στην αναπαράσταση ενός συστήματος στο χώρο κατάστασης η μεταβλητή εξόδου προκύπτει σαν συνδυασμός όλων των μεταβλητών κατάστασης που εξελίσσονται και μπορούν να καταγραφούν κατά τη διάρκεια του πειράματος. 21
22 Παρατηρήσεις (2) Παρατηρήσατε ότι: Στην αναπαράσταση ενός συστήματος στο χώρο κατάστασης η μεταβλητή εξόδου προκύπτει σαν συνδυασμός όλων των μεταβλητών κατάστασης που εξελίσσονται και μπορούν να καταγραφούν κατά τη διάρκεια του πειράματος. Οι μεταβλητές κατάστασης αντιστοιχούν σε όλα τα «εσωτερικά» σήματα που υπάρχουν και εξελίσσονται κατά τη διάρκεια ενός πειράματος με το σύστημα. 22
23 Παρατηρήσεις (3) Παρατηρήσατε ότι: Στην αναπαράσταση ενός συστήματος στο χώρο κατάστασης η μεταβλητή εξόδου προκύπτει σαν συνδυασμός όλων των μεταβλητών κατάστασης που εξελίσσονται και μπορούν να καταγραφούν κατά τη διάρκεια του πειράματος. Οι μεταβλητές κατάστασης αντιστοιχούν σε όλα τα «εσωτερικά» σήματα που υπάρχουν και εξελίσσονται κατά τη διάρκεια ενός πειράματος με το σύστημα. 23
24 Παρατηρήσεις (4) Τα «εσωτερικά» σήματα είναι, τώρα, απολύτως παρατηρήσιμα σε αντίθεση με ότι συνέβαινε για τη συνάρτηση μεταφοράς. Έτσι π.χ. καταγράφουμε την ταχύτητα της μάζας για το δεδομένο σύστημα του Σχ. 1, με την επιλογή μητρώου C=[0 1]. Δεν υπάρχει μοναδικός τρόπος επιλογής μεταβλητών κατάστασης. Θα μπορούσαμε στο παράδειγμά μας να επιλέξουμε x 1 (t)=d/dt[y(t)], x 2 (t)=y(t). 24
25 Παρατηρήσεις (5) Δεν υπάρχει μοναδικός τρόπος επιλογής μεταβλητών κατάστασης. Θα μπορούσαμε στο παράδειγμά μας να επιλέξουμε x 1 (t)=d/dt[y(t)], x 2 (t)=y(t). Γενικά, όπως φαίνεται και από το Σχ. 2, μια τυπική επιλογή μεταβλητών κατάστασης αντιστοιχεί στις εξόδους των ολοκληρωτών, ή στις μεταβλητές των στοιχείων που συσσωρεύουν ενέργεια. 25
26 Παρατηρήσεις (6) Δεν υπάρχει μοναδικός τρόπος επιλογής μεταβλητών κατάστασης. Θα μπορούσαμε στο παράδειγμά μας να επιλέξουμε x 1 (t)=d/dt[y(t)], x 2 (t)=y(t). Γενικά, όπως φαίνεται και από το Σχ. 2, μια τυπική επιλογή μεταβλητών κατάστασης αντιστοιχεί στις εξόδους των ολοκληρωτών, ή στις μεταβλητές των στοιχείων που συσσωρεύουν ενέργεια. Σε πρακτικό επίπεδο, επιτυγχάνεται αναπαράσταση του συστήματος με n διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης που γράφονται σε μητρωική μορφή [βλ. σετ εξισώσεων (7)], αντί με μία διαφορική n-οστής τάξης 26
27 Παράδειγμα 27
28 Παράδειγμα (1) Δίδεται το παρακάτω ηλεκτρικό κύκλωμα του Σχ. 3 που θα πρέπει να γραφεί στο χώρο κατάστασης. Σχ. 3: Ηλεκτρικό κύκλωμα RL-RL Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εντάσεων βρόχων θα έχουμε την ακόλουθη μητρωική αναπαράσταση: R1+ s L1 s L1 I1() s U() s = s L1 R1 s L1 s L2 I2() s (8) 28
29 Παράδειγμα (2) και με αντικατάσταση των τιμών των αντιστάσεων και πηνίων: ενώ 1 + s s I1() s U() s = s 1 2 s I2() s + 0 y() t = L2 d i2() t Y() s = s L2 I2() s = s I2() s dt Από τις δύο εξισώσεις που προκύπτουν από την (9) με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace: (1 + s) I1() s s I2() s = U() s s I () s + (1+ 2 s) I () s = d d i () t + i () t i () t = u() t (9) (10) L dt dt (11) d d i1() t + i2() t + 2 i2() t = 0 dt dt 29
30 Παράδειγμα (3) λύνοντας την πρώτη των (11) ως προς d/dt[i 1 (t)] και αντικαθιστώντας στη δεύτερη των (11): d i 2() t = i 1() t i 2() t + u () t dt (12) οπότε και η δεύτερη των (11) θα γραφεί μέσω της (12) ως εξής: d i 1() t = 2 i 1() t i 2() t + 2 u () t dt (13) και, άρα, μέσω της (12) η (10) γίνεται: d d y() t = L2 i2() t = i2() t = i1() t i2() t + u() t dt dt (14) 30
31 Επιλογή των Μεταβλητών Κατάστασης 31
32 Επιλογή των Μεταβλητών Κατάστασης - 1 Επιλογή των μεταβλητών κατάστασης: Ποια στοιχεία συσσωρεύουν ενέργεια; Τα δύο πηνία, άρα σαν μεταβλητές κατάστασης επιλέγονται οι εντάσεις των ρευμάτων i 1 (t) και i 2 (t). Έτσι x 1 (t)=i 1 (t) και x 1 (t)= i 2 (t). 32
33 Επιλογή των Μεταβλητών Κατάστασης - 2 Επιλογή των μεταβλητών κατάστασης: Ποια στοιχεία συσσωρεύουν ενέργεια; Τα δύο πηνία, άρα σαν μεταβλητές κατάστασης επιλέγονται οι εντάσεις των ρευμάτων i 1 (t) και i 2 (t). Έτσι x 1 (t)=i 1 (t) και x 1 (t)= i 2 (t). Με τον τρόπο αυτό οι (12), (13) και (14) λαμβάνουν τη μορφή: d x 2() t = x 1() t x 2() t + u () t dt d x 1() t = 2 x 1() t x 2() t + 2 u () t dt yt () = x() t x() t + ut () 1 2 (15) 33
34 Επιλογή των Μεταβλητών η τελικά σε μητρωική μορφή: Κατάστασης - 3 d dt x1() t 2 1 x1() t 2 d = ut () dt xt () A xt () B ut () x () t + = x () t x1 () t yt () = ( 1 1) + ( 1 ) ut () yt () = C xt () + Dut () x2() t (16) Παρατήρηση: Από τις εξισώσεις (11) με επίλυση του 2Χ2 συστήματος η συνάρτηση μεταφοράς Y(s)/U(s) προκύπτει ως ακολούθως: (1 + s) I1() s s I2() s = U() s s I () s + (1+ 2 s) I () s = Y() s s (17) = U s s s 2 ()
35 Επιλογή των Μεταβλητών Κατάστασης - 4 Παρατήρηση: Από τις εξισώσεις (11) με επίλυση του 2Χ2 συστήματος η συνάρτηση μεταφοράς Y(s)/U(s) προκύπτει ως ακολούθως: (1 + s) I1() s s I2() s = U() s s I () s + (1+ 2 s) I () s = Y() s s U s s s = (17) 2 () Συγκρίνοντας τις (14) και (17), διαπιστώνεται ότι όταν n=m, εμφανίζεται μη-μηδενικό μητρώο D στις αντίστοιχες εξισώσεις κατάστασης. 35
36 Κανονικές Μορφές Εξισώσεων Κατάστασης (Canonical Forms) 36
37 Κανονικές Μορφές Εξισώσεων Κατάστασης (Canonical Forms) - 1 Γενικά, ένα σύστημα θα έχει την ακόλουθη διαφορική εξίσωση και συνάρτηση μεταφοράς: n n-1 n-2 n () n-1 () n-2 ()... () () d d d d dt n 1 dt n 2 dt 1 dt 0 m m-1 b ut () + b m-1 ut () b ut () + b ut () m yt + a yt + a yt + + a yt + a yt = d d d m dt m 1 dt 1 dt 0 (18) G(s) Y(s) b s + b s + b s b s + b = = U(s) s s s... s m m 1 m 2 m m 1 m n n 1 n 2 + an 1 + an a1 + a0 37
38 Κανονικές Μορφές Εξισώσεων Κατάστασης (Canonical Forms) - 2 Για αποφυγή της χρονοβόρας επεξεργασίας των διαφορικών εξισώσεων ενός συστήματος για την αναπαράστασή του στο χώρο κατάστασης, υπάρχουν τυποποιημένοι τρόποι για τη γραφή μιας διαφορική εξίσωση n-οστής στο χώρο κατάστασης, εφόσον ισχύει ότι n>m. Οι μορφές μητρωικών εξισώσεων που προκύπτουν αναφέρονται ως κανονικές μορφές (Canonical Forms). 38
39 Κανονικές Μορφές Εξισώσεων Κατάστασης (Canonical Forms) Controller Canonical Form (CCF) 39
40 Controller Canonical Form (CCF) - (1) H κανονική μορφή αυτή έχει την ακόλουθη μορφή: x1( t) x1( t) 0 x ( t) x ( t) 0 = + ut ( ), M M 0 xn( t) a0 a1 a2... a n 1 xn( t) 1 x1 () t x2() t yt ( ) = ( b0 b bn 1) M M xn () t 2 2 d dt M M O M M (19) 40
41 Controller Canonical Form (CCF) - (2) Η (19) Controller Canonical Form (CCF), αν παραβλέψουμε την αναστροφή πρόσημων λόγω των ενισχυτών, έχει το αναλογικό διάγραμμα του Σχ. 4: Σχ. 4: Αναλογικό διάγραμμα της μορφής Controller Canonical Form (έχουμε παραβλέψει την αναστροφή πρόσημων λόγω των ενισχυτών) 41
42 Κανονικές Μορφές Εξισώσεων Κατάστασης (Canonical Forms) Observer Canonical Form (OCF) 42
43 Observer Canonical Form (OCF) - 1 Μια άλλη κανονική μορφή είναι αυτή που δίδεται στις εξισώσεις (20) και αναφέρεται ως Observer Canonical Form (OCF): x1( t) a0 x1( t) b0 x ( t) a x ( t) b = a + b ut ( ), M M MO... M M M x ( t) a x ( t) b d dt M 2 M 2 n n 1 n n 1 x1 () t x2() t yt ( ) = ( ) M M xn () t (20) 43
44 Observer Canonical Form (OCF) - 2 Το αναλογικό διάγραμμα της Observer Canonical Form (OCF) δίδεται στο Σχ. 5: Σχ. 5: Αναλογικό διάγραμμα της μορφής Observer Canonical Form (έχουμε παραβλέψει την αναστροφή πρόσημων λόγω των ενισχυτών) 44
45 Παρατηρήσεις στις Εξισώσεις Κατάστασης 45
46 Παρατηρήσεις (1) Αν για τη διαφορική εξίσωση/ συνάρτηση μεταφοράς ισχύει n=m, όπως έγινε στην περίπτωση του κυκλώματος RL-RL του Σχ.3, η αναπαράσταση στο χώρο κατάστασης είναι δυνατή με τη χρήση των CCF (19) και OCF (20), ως εξής: Y s s s ± s+ s+ U s s s s s s s 2 2 ( ) (3 1) 3 1 = = = ( ) s + 1 Y() s = U() s U() s = U() s Y 2 1() s s + 3 s+ 1 (21) 46
47 Παρατηρήσεις (2) Αν για τη διαφορική εξίσωση/ συνάρτηση μεταφοράς ισχύει n=m, όπως έγινε στην περίπτωση του κυκλώματος RL-RL του Σχ.3, η αναπαράσταση στο χώρο κατάστασης είναι δυνατή με τη χρήση των CCF (19) και OCF (20), ως εξής: Y s s s ± s+ s+ U s s s s s s s 2 2 ( ) (3 1) 3 1 = = = ( ) s + 1 Y() s = U() s U() s = U() s Y 2 1() s s + 3 s+ 1 (21) Απλά, το Y(s) προκύπτει έτσι ως άθροισμα του γνωστού και καθορισμένου U(s) και του Y 1 (s) που έρχεται από ένα υποσύστημα που επίσης τροφοδοτείται από U(s). 47
48 Παρατηρήσεις (3) Άρα, αρκεί να θέσουμε σε CCF ή OCF το υποσύστημα που παράγει το Y 1 (s) και κατόπιν να κάνουμε την πράξη που επιβάλλει η δεύτερη από τις (21). Για το Y 1 (s) σε CCF θα έχουμε με βάση την (19) : d dt x1() t 0 1 x1() t 0 d = ut () dt xt () A xt () B ut () x () t + = x () t x1 () t y1() t = ( 1 3 ) y1() t = C y x() t 1 x2() t και εφόσον από την (21) x () t Y s U s Y s yt ut y t ut 1 () = () 1() () = () 1() = ( 1 3) + (1) () x2() t (22) (23) 48
49 Παρατηρήσεις (4) Τελικά συνδυάζοντας τα παραπάνω, για το συνολικό σύστημα Y(s)/U(s) τα μητρώα A, B, C και D δίδονται ως: A=, B=, C = ( 1 3 ), D= (1)
50 Παρατηρήσεις (5) Τελικά συνδυάζοντας τα παραπάνω, για το συνολικό σύστημα Y(s)/U(s) τα μητρώα A, B, C και D δίδονται ως: Προσοχή: A=, B=, C = ( 1 3 ), D= (1) Τα μητρώα A, B, C και D που μόλις υπολογίσαμε είναι διαφορετικά από αυτά που βρήκαμε στην (16). Γενικά δεν υπάρχει μοναδική έκφραση του συστήματος στο χώρο κατάστασης, αντιθέτως από ότι συμβαίνει για τη συνάρτηση μεταφοράς αυτού η οποία έχει μια και μοναδική μορφή. 50
51 Μετατροπή Εξισώσεων Κατάστασης σε Συνάρτηση Μεταφοράς 51
52 Μετατροπή Εξισώσεων Κατάστασης σε Συνάρτηση Μεταφοράς - 1 Έχοντας την έκφραση συστήματος στο χώρο κατάστασης, υπολογίζουμε εύκολα τη συνάρτηση μεταφοράς του. Έστω: d dt xt () = A xt () + B ut () yt () = C xt () + D ut () εφαρμόζοντας μετ/μο Laplace θα λάβουμε: s X() s x(0) = A X() s + B U() s Y() s = C X() s+ DUs () (24) 52
53 Μετατροπή Εξισώσεων Κατάστασης σε Συνάρτηση Μεταφοράς - 2 Από την πρώτη των (24) προκύπτει: X s s I A x s I A B U s 1 1 () ( ) = (0) + ( ) () (25) και μέσω της (25) η δεύτερη των (24) γίνεται: Y s C s I A x C s I A B D U s 1 1 () ( ) = (0) + { ( ) + } () (26) 53
54 Μετατροπή Εξισώσεων Κατάστασης σε Συνάρτηση Μεταφοράς - 3 Για τον υπολογισμό της συνάρτησης μεταφοράς συστήματος θεωρούμε μηδενικές αρχικές συνθήκες, οπότε και η (26) γίνεται: Y() s U() s 1 1 Y() s = { C ( s I A) B+ D} U() s = C ( s I A) B+ D (27) 54
55 Μετατροπή Εξισώσεων Κατάστασης σε Συνάρτηση Μεταφοράς - 4 Για τον υπολογισμό της συνάρτησης μεταφοράς συστήματος θεωρούμε μηδενικές αρχικές συνθήκες, οπότε και η (26) γίνεται: Y() s () = { ( ) + } () = ( ) + U() s 1 1 Y s C s I A B D U s C s I A B D (27) Οι πόλοι του συστήματος προκύπτουν από την εξίσωση της ορίζουσας det(s I -A)=0. 55
56 Μετατροπή Εξισώσεων Κατάστασης σε Συνάρτηση Μεταφοράς - 5 Για τον υπολογισμό της συνάρτησης μεταφοράς συστήματος θεωρούμε μηδενικές αρχικές συνθήκες, οπότε και η (26) γίνεται: Y() s U() s 1 1 Y() s = { C ( s I A) B+ D} U() s = C ( s I A) B+ D (27) Οι πόλοι του συστήματος προκύπτουν από την εξίσωση της ορίζουσας det(s I -A)=0. Παρατηρώντας καλύτερα, η επίλυση του det(s I -A)=0 αντιστοιχεί στην εύρεση των ιδιοτιμών του μητρώου A: Οι ιδιοτιμές λ i, i=1,...,n του μητρώου A είναι οι πόλοι του συστήματος. 56
57 Τέλος Ενότητας
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #10: Λύση Εξισώσεων Εσωτερικής Κατάστασης με Χρήση Μεθόδου Ιδιοτιμών Δημήτριος Δημογιαννόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 5: Χρήση μετασχηματισμού Laplace για επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων Μέθοδοι εντάσεων βρόχων και τάσεων κόμβων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 5: Χρήση μετασχηματισμού Laplace για επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων Μέθοδοι εντάσεων βρόχων και τάσεων
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές) Δ. Δημογιαννόπουλος,
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα # 3: Ανάλογα Συστήματα-Αναλογικά Διαγράμματα Δ. Δημογιαννόπουλος, imogian@eipir.gr Επ. Καθηγητής Τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #1: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 2: Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου Διαφορικές Εξισώσεις Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 2
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 2 Ενότητα #1: Ποιοτικά χαρακτηριστικά συστημάτων κλειστού βρόχου Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 7: Άλγεβρα βαθμίδων (μπλόκ) Ολική συνάρτηση μεταφοράς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 7: Άλγεβρα βαθμίδων (μπλόκ) Ολική συνάρτηση μεταφοράς Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #2: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου - Μόνιμα Σφάλματα Δημήτριος Δημογιαννόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Κίνησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Πραγματοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #4: Μαθηματική εξομοίωση συστημάτων στο επίπεδο της συχνότητας Μετασχηματισμός Laplace και
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης
ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμ:
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 3: Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #9: Σύστημα ης τάξης: Χρονική Απόκριση και Χαρακτηριστικά Μεγέθη (Φυσικοί Συντελεστές) Δημήτριος
Διαβάστε περισσότεραΥδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Ενότητα # 6: Υδραυλικά Κυκλώματα Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Μετασχηματισμός Ζ (Ζ Transform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ενότητα 7:
ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ενότητα 7: Ανάλυση σύνθετων ηλεκτρικών κυκλωμάτων Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 4: Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 2: Μαθηματική αναπαράσταση φυσικών συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ενότητα #3: Φίλτρα Χ. ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Κίνησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Αυτόματος Έλεγχος Συστημάτων Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΠεριβαλλοντική Χημεία
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Περιβαλλοντική Χημεία Ενότητα 3: Ισοζύγιο Ενέργειας Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #6: Σχεδιασμός Ελεγκτών με Χρήση Αναλυτικής Μεθόδου Υπολογισμού Παραμέτρων Δημήτριος Δημογιαννόπουλος
Διαβάστε περισσότερα8 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 8 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Καταστατικές Εξισώσεις Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότερα11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: Μ/Σ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με
Διαβάστε περισσότεραΒιομηχανικοί Ελεγκτές
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #7: Ευφυής Ελεγκτής Μέρος Α Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 13a: Συνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών
Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Χαρακτηριστικά των Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΒιομηχανικοί Ελεγκτές
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #10: Μοντέρνες Μέθοδοι Αναλογικού Ελέγχου Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 17 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠροστασία Σ.Η.Ε. Ενότητα 3: Ηλεκτρονόμοι απόστασης. Νικόλαος Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Προστασία Σ.Η.Ε Ενότητα 3: Ηλεκτρονόμοι απόστασης Νικόλαος Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών
Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρικές Μηχανές ΙΙ Εργαστήριο
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ηλεκτρικές Μηχανές ΙΙ Εργαστήριο Ενότητα 2: Μέθοδοι Eκκίνησης Tριφασικών Aσύγχρονων Kινητήρων Ηρακλής Βυλλιώτης Τμήμα Ηλεκτρολόγων
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #4: Ευστάθεια Συστημάτων Κλειστού Βρόχου με τη Μέθοδο του Τόπου Ριζών Δημήτριος Δημογιαννόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου 203 4 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ
ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ Νικ. ΠΑΥΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ Τ.Ε. 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΛογιστικές Εφαρμογές Εργαστήριο
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Λογιστικές Εφαρμογές Εργαστήριο Ενότητα #7: Αναλυτικό Ημερολόγιο Διαφόρων Πράξεων Μαρία Ροδοσθένους Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΥδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Ενότητα # 2: Βαλβίδες Ελέγχου Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 20. Παρατηρητής Κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 10: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #6: Σχεδιασμός ελεγκτών με χρήση αναλυτικής μεθόδου υπολογισμού παραμέτρων 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #7: Άλγεβρα Βαθμίδων (μπλόκ) Ολική Συνάρτηση Μεταφοράς Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ᄃ Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων F Ασκήσεις Ενότητας: Φίλτρα και Επαναληπτικές Ασκήσεις Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική. Εργαστηριακή Ενότητα 3 η : Επεξεργασία Κελιών Γραμμών & Στηλών. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Εργαστηριακή Ενότητα 3 η : Επεξεργασία Κελιών Γραμμών & Στηλών Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Κίνησης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Ελεγκτές - Controller Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρισμός & Μαγνητισμός
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός Αυτεπαγωγή Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #5: Σχεδιασμός ελεγκτών με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης
ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητς: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμ: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #7: Αρμονικά κριτήρια ευστάθειας κατά Nyquist και BODE 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρικές Μηχανές ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ηλεκτρικές Μηχανές ΙΙ Ενότητα 7: Μέθοδοι Εκκίνησης και Πέδησης Ασύγχρονων Τριφασικών Κινητήρων Ηρακλής Βυλλιώτης Τμήμα Ηλεκτρολόγων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με
Διαβάστε περισσότερα5o Εργαστήριο Σ.Α.Ε Ενότητα : Ελεγκτές PID
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 5o Εργαστήριο Σ.Α.Ε Ενότητα : Ελεγκτές PID Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16. Ανάστροφο εκκρεμές (ανάδραση κατάστασης) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Συνάρτηση Μεταφοράς Σ.Δ.Δ. Διακριτοποίηση Συν. Μεταφοράς Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών
Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών
Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα : Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 6 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΝΘΕΣΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΙΧΜΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ ntua ACADEMIC OPEN COURSES ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ II Β. ΤΣΟΥΡΑΣ Επίκουρος Καθηγητής Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ενότητα : Εισαγωγή στη Διαμόρφωση Συχνότητας (FΜ) Όνομα Καθηγητή: Δρ. Ηρακλής Σίμος Τμήμα: Ηλεκτρονικών
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΔομημένος Προγραμματισμός
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Δομημένος Προγραμματισμός Ενότητα: Αλφαριθμητικά θεωρία Δ. Ε. Μετάφας Τμ. Ηλεκτρονικών Μηχ. Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα9 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 9 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρικές Μηχανές ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ηλεκτρικές Μηχανές ΙΙ Ενότητα 6: Επίδραση της Μεταβολής της Συχνότητας στη Χαρακτηριστική Ροπής - Στροφών Ηρακλής Βυλλιώτης Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΒιομηχανικοί Ελεγκτές
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #12: Παραδείγματα Αναλογικών Συστημάτων Ελέγχου Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016
ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακός Έλεγχος Συστημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 3: Χρήσιμες Κατανομές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων
Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα : Περιγραφή Δυναμικών Συστημάτων Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότερα