Provas Especialmente Adequadas Destinadas a Avaliar a Capacidade para a Frequência dos Cursos Superiores do Instituto Politécnico de Leiria dos Maiores de 23 Anos - 2011 Prova escrita de conhecimentos específicos de MATEMÁTICA Instruções gerais 1. A prova é constituída por dois grupos de questões, sendo o primeiro grupo de resposta obrigatória e o segundo grupo de resposta aberta; 2. A duração da prova é de 2 horas, estando prevista uma tolerância de 30 minutos; 3. Só pode utilizar para elaboração das suas respostas e para efectuar os rascunhos as folhas distribuídas pelo docente vigilante, salvo se previsto outro procedimento; 4. Não utilize qualquer tipo de corrector. Se necessário risque ou peça uma troca de folha; 5. Não é autorizada a utilização de quaisquer ferramentas de natureza electrónica (telemóvel, pda, computador portátil, leitores/gravadores digitais de qualquer natureza ou outros não especificados); 6. Deverá disponibilizar ao docente que está a vigiar a sala, sempre que solicitado, um documento válido de identificação (bilhete de identidade, carta de condução ou passaporte). 7. Admite-se que os candidatos utilizem nas respostas a este exame quer a antiga, quer a nova ortografia, sem nenhuma penalização, uma vez que ainda está em vigor o período de transição do novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa. Leiria, 4 de Junho de 2011
ςερσ Ο Α Νασυαφοληαδερεσποστασεσχρεϖα ςερσ ΟΑ. Ααυσ νχιαδεσταινδιχα οιµπλιχααανυλα οδετοδασασ θυεστ εσ δα εσχοληα µ λτιπλα. Ιδεντι θυεχλαραµεντεοσγρυποσεασθυεστ εσθυερεσπονδε. Ασφυν εστριγονοµ τριχασεστ οεσχριτασνοιδιοµαανγλο σαξ νιχο. Υτιλιζεαπενασχανεταουεσφερογρ χαδετιντααζυλουπρετα. ιντερδιτοουσοδε εσφερογρ χα λ πισ εδεχορρεχτορ. Απροϖαινχλυιυµφορµυλ ριοναπ γινα8. Ασχοτα εσδαπροϖαενχοντραµ σεναπ γινα9. 1
Γρυπο Ι Ασσετεθυεστ εσδεστεγρυποσ οδεεσχοληαµ λτιπλα. Εµχαδαθυεστ ο,σ οινδιχαδασθυατροαλτερνατιϖασδερεσποστα,δασθυαισσ υµα εστ χορρεχτα. Εσχρεϖανασυαφοληαδερεσποστασαπενασαλετραχορρεσπονδεντε αλτερνατιϖαθυε σελεχχιοναρ παρα ρεσπονδερ α χαδα θυεστ ο. Σεαπρεσενταρµαισδοθυευµαλετραουσεεσταφοριλεγ ϖελ,αθυεστ οσερ ανυλαδα. Ασρεσποστασινχορρεχταστερ οχοτα ονυλα. Ν οαπρεσεντεχ λχυλοσ,νεµϕυστι χα εσ. 1. Χονσιδερευµρεχτ νγυλοχυϕα ρεα ιγυαλα7χµ 2. Θυαλ δασ σεγυιντεσ εξπρεσσ εσ ρεπρεσεντα ο περ µετρο δο ρεχτ νγυλο, εµ φυν ο δο χοµπριµεντο, ξ, δε υµ δοσ σευσ λαδοσ? (Α) 2ξ+ 7 ξ (Χ) ξ+ 7 ξ χµ. χµ. (Β) 2ξ+14 ξ χµ. ( ) 2ξ+2ξ 7 χµ. 2. Αρεχταδεεθυα οψ=ξ τανγεντεαογρ χοδευµαχερταφυν οφ,ρεαλδεϖαρι ϖελ ρεαλ,νοποντοδεαβχισσα0. Θυαλδασσεγυιντεσεξπρεσσ εσποδεδε νιραφυν οφ? (Α) ξ 2 +ξ. (Χ) ξ 2 +2ξ. (Β) ξ 2 +ξ+3. ( ) ξ 2 ξ. 2
3. Οσπαρ µετροσρεαισπεθ,δεµοδοθυε σ ο: (Α) π=1εθ=2. ξ+π ξ 2 4ξ+3 = θ ξ 1 + 2 ξ 3 (Β) π=1εθ= 1. (Χ) π= 1εθ=1. ( ) π=1εθ=3. 4. Χονσιδερεαφυν ογ,ρεαλδεϖαρι ϖελρεαλ,δε νιδαπορ γ(ξ)= 2 ξ +λν 4 ξ 2 ονδελνδεσιγναολογαριτµοδεβασεεεεδεσιγναον µεροδενεπερ. Οδοµ νιοδαφυν ογ : (Α) γ =] 4;4[νφ0γ. (Χ) γ =] 1;0[. (Β) γ =] ε;ε[. ( ) γ =] 2;2[νφ0γ. 1 5. Οϖαλορδε λιµ ξ!3 + 9 ξ ιγυαλα: 2 (Α) 0. (Β) 1. (Χ) +1. ( ) 1. 6. Σεϕα υµ νγυλοαγυδοταλθυεσιν( )= 2 3. Οϖαλορδαεξπρεσσ οχοσ( )+ταν( ) ιγυαλα: 11 π π 5 (Α) 15. (Β) 11 5. 5 2 π π 5 5 (Χ) 3. ( ) 3. 3
7. Α γυρασεγυιντερεπρεσεντα,νυµρεφερενχιαλο.ν. ξοψ,ογρ χοδευµαφυν οη,ρεαλ δεϖαρι ϖελρεαλ,νοιντερϖαλο[ 3;3]. Θυαλδοσσεγυιντεσγρ χοσρεπρεσεντααφυν οσ,ρεαλδεϖαρι ϖελρεαλ,δε νιδαπορ σ(ξ)=5 ϕη(ξ)ϕ νοιντερϖαλο[ 3;3]? (Α) (Β) (Χ) ( ) 4
Γρυπο ΙΙ Νασθυεστ εσδεστεγρυποαπρεσεντεοσευραχιοχ νιοδεφορµαχλαρα,απρεσεντανδοτοδοσ οσχ λχυλοσθυεεφεχτυαρετοδασασϕυστι χα εσνεχεσσ ριασ. Ποδερεχορρερ συαµ θυιναδεχαλχυλαρπαραεφεχτυαρχ λχυλοσεοβτερρεπρεσεντα εσ γρ χασδεφυν εσ. Ατεν ο: θυανδο,παραυµρεσυλταδο,ν ο πεδιδαααπροξιµα ο,πρετενδε σεσεµπρε ο ϖαλορ εξαχτο. 1. Χονσιδερε ασ σεγυιντεσ φυν εσ ρεαισ δε ϖαρι ϖελ ρεαλ: αφυν οχ βιχαφ,δε νιδαπορφ(ξ)= ξ 3 2ξ 2 +ξ+ϕκ 3ϕ,χοµκ2Ρ; αφυν οραχιοναλγ,δε νιδαποργ(ξ)= φ(ξ) ξ 2 4. (α) ετερµινεοσδοµ νιοσ, φ ε γ,δασφυν εσφ εγ,ρεσπεχτιϖαµεντε. (β) ετερµινεοσϖαλορεσδοπαρ µετρορεαλκ,δεµοδοθυεορεστοδαδιϖισ οδεφ πορ ξ+2σεϕα3. (χ) Χονσιδερεκ=1: ι. Μοστρεθυεαφυν οφ διϖισ ϖελπορξ 1. ιι. ετερµινεαδεχοµποσι οεµφαχτορεσδο1 ο γραυδαφυν οφ. ιιι. ετερµινεοσϖαλορεσδεξπαραοσθυαισγ(ξ) 0. ιϖ. Μοστρε θυε ονδεγ 0 δεσιγνααφυν οδεριϖαδαδεγ. γ 0 (ξ)= ξ2 +4ξ 1 (ξ 2) 2, 8ξ2 γ ϖ. ετερµινευµαεθυα οδαρεχτατανγεντεαογρ χοδεγνοποντοδε αβχισσα 0. 5
2. Χονσιδερεαφυν οη,ρεαλδεϖαρι ϖελρεαλ,δε νιδαπορ 8 >< 3ξ 2 +κ σε ξ 2 η(ξ)= ξ 3 >: σε ξ> 2 2ξ+5 ετερµινε: : (α) οπαρ µετρορεαλκδεµοδοθυεαφυν οησεϕαχοντ νυαεµτοδοοσευδοµ νιο. (β) απαρτιρδαδε νι οδεδεριϖαδαη 0 ( 10). (χ) λιµ ξ!+1 η(ξ). (δ) αφυν οδεριϖαδαδαφυν οη. 3. Α γυρααολαδορεπρεσενταοτρι νγυλο[αβχ]: Σαβε σε θυε: ξ ααµπλιτυδεδο νγυλοβχα; [Β ] ααλτυραρελατιϖααοϖ ρτιχεβ; Α =ΒΧ=2. Ρεσολϖα, ρεχορρενδο α µ τοδοσ εξχλυσιϖαµεντε αναλ τιχοσ, οσ δοισ ιτενσ σεγυιντεσ. (α) Προϖεθυεα ρεαδοτρι νγυλο[αβχ] δαδα,παραθυαλθυερξ2 Α(ξ)=2σιν(ξ)+σιν(2ξ). ι 0; η,πορ 2 (β) ετερµινεοϖαλορδεξπαραοθυαλα ρεαδοτρι νγυλο µ ξιµα. 6
4. Ο µεστρε Χυχα πρεπαρου υµ πυδιµ εσπεχιαλ, παρα σερϖιρ χοµο σοβρεµεσα αο ϕανταρ. εποισ δε ο τερ χονφεχχιοναδο, ο µεστρε Χυχα δειξου ο πυδιµααρρεφεχερ να βανχα δα χοζινηα. Υµαηοραδεποισ,χολοχου ονοφριγορ χο,παρα χαρβεµφριο. Αδµιτα θυε α τεµπερατυρα δο πυδιµ, εµ γραυσ Χελσιυσ, τ µινυτοσ δεποισ δε τερ σιδο χολοχαδοναβανχα, δαδα,παραυµχερτοϖαλορδε,πορ 8 < 20+80 2 0:05τ σε 0 τ<60 Τ(τ)= : 6+ 2 0:05(τ 60) σε τ 60 : Ρεσολϖα, ρεχορρενδο α µ τοδοσ εξχλυσιϖαµεντε αναλ τιχοσ, οσ δοισ ιτενσ σεγυιντεσ. (α) Σαβενδοθυεαφυν οτ χοντ νυα,µοστρεθυε =24. (β) Θυαντοτεµποδεϖερ οπυδιµεσταρνοφριγορ χοπαραθυεασυατεµπερατυρα θυε ιγυαλα12 ο Χ? Απρεσεντε ο ρεσυλταδο εµ µινυτοσ. 7
ΦΟΡΜΥΛIΡΙΟ Ρεγρασ δε δεριϖα ο (υ+ϖ) 0 =υ 0 + ϖ 0 (υ ϖ) 0 =υ 0 ϖ+υ ϖ 0 υ ϖ 0= υ 0 ϖ υ ϖ 0 ϖ 2 υ κ 0 =κ υ κ 1 υ 0 (κ2ρ) (σιν(υ)) 0 =υ 0 χοσ(υ) (χοσ(υ)) 0 = υ 0 σιν(υ) (ε υ ) 0 =υ 0 ε υ (α υ ) 0 =υ 0 α υ λν(α) (α2ρ + νφ1γ) (λν(υ)) 0 = υ0 υ (λογ α (υ)) 0 = υ 0 υ λν(α) (α2ρ + νφ1γ) Τριγονοµετρια σιν 2 (α)+χοσ 2 (α)=1 ταν(α)= σιν(α) χοσ(α) σιν(α+β)=σιν(α) χοσ(β)+σιν(β) χοσ(α) σιν(2 α)=2 σιν(α) χοσ(α) χοσ(α+β)=χοσ(α) χοσ(β) σιν(α) σιν(β) χοσ(2 α)=χοσ 2 (α) σιν 2 (α) 8
ΧΟΤΑ ΕΣ ΓρυποΙ 70 Χαδαρεσποσταχερτα 10 Χαδαρεσποσταερραδα,ανυλαδαουν ορεσπονδιδα 0 ΓρυποΙΙ 130 1. 50 (α) 4 (β) 8 (χ) 38 ι. 4 ιι. 8 ιιι. 10 ιϖ. 10 ϖ. 6 2. 40 (α) 10 (β) 8 (χ) 8 (δ) 14 3. 20 (α) 10 (β) 10 4. 20 (α) 10 (β) 10 Τοταλ 200 9