EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?

Transcript

1 EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O? Se AB = (, 2, 6) e B(, 0, ), acha as coordenadas de A 5 Se A(, 2, ), B(,, 5), C(0,, 2), acha as coordenadas doutro punto D, para que AB = CD 6 Acha o valor de x para que os puntos A(5, 2, ), B(0, 7, 2), C(x, 5, 2) sexan os vértices dun triángulo rectángulo en C 7 Sexan os puntos A(,, 2), B(,, 2) e C(,, ) a) Poden ser A, B e C os vértices consecutivos dun rectángulo? b) Acha as coordenadas do punto D para que o paralelogramo ABCD sexa un rectángulo 8 Escribe as ecuacións paramétricas da recta x 2 = y 2 z = 9 No segmento de extremos A(, 2, ) e B(, 2, ) acha as coordenadas do punto C que divide ao segmento en dúas partes, a primeira tres veces maior que a outra 0 Comproba se os puntos A(, 2, ), B(9,, ) e C(,, 2) están aliñados ou non Acha as ecuacións paramétricas e continua da recta que pasa por A(, 2, ) e é x 2 y z paralela á recta = = Estuda a posición relativa das rectas (x, y, z) = (, 2, ) + λ(,, 2) e x y 2 z = = 2 Determina o valor de m para que as rectas se corten nun punto e acha as coordenadas do punto de corte: x 2 y z x y z m = = e = = Atopa a ecuación dos seguintes planos: a) Plano que contén aos eixes de coordenadas OX e OY b) Plano que pasa polo punto A(0, 2, ) e é perpendicular á recta (x, y, z) = (5,, 2) + λ(, 2, )

2 5 Dado o plano x y + 2z + 5 = 0, atopa un punto por onde pasa e dous vectores paralelos a el 6 Acha as ecuacións paramétricas e xeral do plano que pasa polos puntos (2,, 0), (,, 5) e (, 0, ) 7 Acha as ecuacións paramétricas e xeral do plano que determinan o punto (2, 0, ) e a recta (x, y, z) = ( λ, + 2λ, 2 + λ) 8 Acha as ecuacións paramétricas e xeral do plano que determinan as rectas paralelas 2 x = y = z + e (x, y, z) = ( λ, 2λ, 2λ) x y z 9 Estuda a posición relativa das rectas = = e 2 2 (x, y, z) = ( + λ, 2 λ, + 2λ) Se se cortan, acha o punto de corte e as ecuacións paramétricas e xeral do plano que determinan 20 Acha a ecuación do plano que pasa polo punto A(, 5, 2) e é paralelo ao plano 2x + y + z + 5 = 0 2 Determina o plano que contén á recta r: plano π: x y + 2z = 0 x 2y 2z 7 0 x y z 0 e é perpendicular ao 22 Acha o valor de m para que os planos 2x y + z =, x y + z = 2 e x y mz = m se corten nunha recta x y 2 Determina a posición da recta r: = 6 a = z a e o plano π: ax + 2y 6z + 7 = 0 para os diferentes valores de a Acha o punto de corte da recta e o plano cando a = 5 2 Acha o punto simétrico de P(2,, 5) respecto á recta r: 2x y z 0 x 2y z Acha o simétrico do punto P(2, 0, ) respecto ao plano π: x + y z = 0 2

3 EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS (SOLUCIONARIO) Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O? 0 = (0, 0, 0), O(0, 0, 0) Se AB = (, 2, 6) e B(, 0, ), acha as coordenadas de A Como (, 2, 6) = ( x, y, z), entón = x, 2 = y e 6 = z E polo tanto, x = 2, y = 2 e z = 2, é dicir, A( 2, 2, 2)

4 5 Se A(, 2, ), B(,, 5), C(0,, 2), acha as coordenadas doutro punto D, para que AB = CD AB = (, 5, 2), CD = (x, y +, z 2) Como deben ser iguais (, 5, 2) = (x, y +, z 2), logo x =, y = 6, z = O punto D(, 6, ) 6 Acha o valor de x para que os puntos A(5, 2, ), B(0, 7, 2), C(x, 5, 2) sexan os vértices dun triángulo rectángulo en C O triángulo ABC é rectángulo en C se os vectores CA e CB son perpendiculares, o seu produto escalar será cero: CA CB = 0 (5 x,, ) ( x, 2, 0) = 0 x 2 5x 6 = 0 x = 6 e x = Entón, hai dous valores de x para os cales o punto C é o vértice do ángulo recto no triángulo ABC 7 Sexan os puntos A(,, 2), B(,, 2) e C(,, ) a) Poden ser A, B e C os vértices consecutivos dun rectángulo? b) Acha as coordenadas do punto D para que o paralelogramo ABCD sexa un rectángulo a) Son vértices consecutivos dun rectángulo se AB e BC son perpendiculares AB = (0,, 0), BC = (0, 0, ), AB BC = (0,, 0) (0, 0, ) = 0 Son perpendiculares, logo son os vértices consecutivos dun rectángulo b) As coordenadas de D cumpren que AB = DC logo: (0,, 0) = ( x, y, z), entón x =, y =, z = O punto D(,, ) 8 Escribe as ecuacións paramétricas da recta x 2 = y 2 z = Igualando cada fracción a λ e despexando as incógnitas obtéñense as ecuacións x 2 paramétricas seguintes: y 2 z 9 No segmento de extremos A(, 2, ) e B(, 2, ) acha as coordenadas do punto C que divide ao segmento en dúas partes, a primeira tres veces maior que a outra Trátase de achar as coordenadas dun punto C(x, y, z) tal que o segmento AC é tres veces maior que CB (x, y, z) = (, 2, ) + (, 2 ( 2), ) =,, 0 As coordenadas de C son,, 0

5 0 Comproba se os puntos A(, 2, ), B(9,, ) e C(,, 2) están aliñados ou non AB = (8, 2, 2), AC = (,, ) Dividindo: = = = 2 É dicir, AB = 2 AC Son proporcionais, teñen a mesma dirección; logo os puntos están aliñados Acha as ecuacións paramétricas e continua da recta que pasa por A(, 2, ) e é x 2 y z paralela á recta = = 2 6 A recta pedida pasa por A(, 2, ) e ten como vector director v = (, 2, 6), logo x x y 2 z 2 serán: y 2 2 e = = 2 6 z 6 2 Estuda a posición relativa das rectas (x, y, z) = (, 2, ) + λ(,, 2) e x y 2 z = = 2 Os vectores de dirección son v = (,, 2) e w = (,, 2) e as rectas pasan polos puntos A(, 2, ) e B(, 2, 0), respectivamente, logo AB = ( 7, 0, ) Estúdase rango( v, w 2 ) = rango = 2 e 2 rango( v, w 2, AB) = rango 2 = 7 0 As rectas crúzanse Determina o valor de m para que as rectas se corten nun punto e acha as coordenadas do punto de corte: x 2 y z x y z m = = e = = Córtanse nun punto se rango( v, w ) = rango( v, w, AB) = 2 Sábese que v = (,, 5), w = (2, 2, ) e AB = (, 0, m + ) Logo, tense: rango( v, w 5 ) = rango = 2 e 2 2 rango( v, w 5 5, AB) = rango 2 2 = 2 se m 0 m m = 2 Para m = 2 córtanse nun punto = 6m 2 = 0 5

6 x 2 x 2 Póñense as dúas rectas en paramétricas, y e y 2, e resólvese o z 5 z sistema 2 Operando: A solución é λ =, μ = 2 Substituíndo nas ecuacións paramétricas atópanse as coordenadas do punto de corte (, 7, ) Atopa a ecuación dos seguintes planos: a) Plano que contén aos eixes de coordenadas OX e OY b) Plano que pasa polo punto A(0, 2, ) e é perpendicular á recta (x, y, z) = (5,, 2) + λ(, 2, ) a) As ecuacións dos eixes OX e OY son: (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(, 0, 0) e (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(0,, 0), respectivamente O plano que se busca é o que pasa pola orixe e ten por vectores de dirección os vectores (, 0, 0) e (0,, 0): (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(, 0, 0) + μ(0,, 0) b) O plano buscado ten como vector normal n = (, 2, ), o de dirección da recta, e pasa polo punto A(0, 2, ), logo: x + 2y z + d = ( 2) + d = 0 d = 5 O plano que se busca é x + 2y z + 5 = 0 5 Dado o plano x y + 2z + 5 = 0, atopa un punto por onde pasa e dous vectores paralelos a el Escríbense as ecuacións paramétricas deste plano, para iso despéxase x e chámase λ x 5 2 a y e μ a z: y z Son as ecuacións paramétricas do plano que pasa por A( 5, 0, 0) e ten como vectores paralelos v = (,, 0) e w = ( 2, 0, ) 6 Acha as ecuacións paramétricas e xeral do plano que pasa polos puntos (2,, 0), (,, 5) e (, 0, ) Necesítanse un punto do plano (pode ser calquera dos tres) e dous vectores de dirección (os que van dun punto aos outros dous): v = (2,, 0) (, 0, ) = (,, ) e w = (,, 5) (, 0, ) = ( 2,, ) x 2 As ecuacións paramétricas son: y z x 2 A ecuación xeral é: y z = 0 x + 9y z + = 0 x + y z + = 0 6

7 7 Acha as ecuacións paramétricas e xeral do plano que determinan o punto (2, 0, ) e a recta (x, y, z) = ( λ, + 2λ, 2 + λ) Co punto P(2, 0, ) e o punto A(,, 2) da recta fórmase PA = (,, ) Tomando P(2, 0, ) e como vectores paralelos v = (, 2, ), da recta, e PA, tense unha determinación lineal do plano buscado x 2 As ecuacións paramétricas son: y 2 z x 2 A ecuación xeral é: y z 5x + y + 7z = 0 2 = 0 0x + 8y + z 6 = 0 8 Acha as ecuacións paramétricas e xeral do plano que determinan as rectas paralelas 2 x = y = z + e (x, y, z) = ( λ, 2λ, 2λ) Unha recta pasa por A(0, 0, ) e o seu vector de dirección é v = (2,, ), e a outra pasa por B(,, ) e o seu vector de dirección é w = (, 2, 2) Co punto A e os vectores v e AB = (,, ) tense unha determinación lineal do plano buscado x 2 As ecuacións paramétricas son: y z x 2 A ecuación xeral é: y z = 0 7y + 7z + 2 = 0 y z = 0 x y z 9 Estuda a posición relativa das rectas = = e 2 2 (x, y, z) = ( + λ, 2 λ, + 2λ) Se se cortan, acha o punto de corte e as ecuacións paramétricas e xeral do plano que determinan Unha recta pasa por A(0,, 2) e o seu vector de dirección é v = (, 2, ), e a outra pasa por B(, 2, ) e o seu vector de dirección é w = (,, 2) Logo, tense: rango( v, w 2 ) = rango = 2 e 2 rango( v, w 2 2, AB) = rango 2 = 2 posto que 2 = 0 Polo tanto, as dúas rectas córtanse nun punto 7

8 x x Póñense as dúas rectas en paramétricas, y 2 e y 2, e resólvese o z 2 z 2 sistema 2 2 Operando: A solución é λ =, μ = Substituíndo nas ecuacións paramétricas atópanse as coordenadas do punto de corte (,, ) 20 Acha a ecuación do plano que pasa polo punto A(, 5, 2) e é paralelo ao plano 2x + y + z + 5 = 0 Se é paralelo a 2x + y + z + 5 = 0, o plano pedido ten de ecuación 2x + y + z + d = 0; como ten que pasar por A(, 5, 2), entón 2 + ( 5) d = 0, logo d = Polo tanto, a ecuación do plano buscado é 2x + y + z + = 0 2 Determina o plano que contén á recta r: x 2y 2z 7 0 x y z 0 plano π: x y + 2z = 0 e é perpendicular ao No feixe: x + 2y + 2z 7 + δ(x y z + ) = 0 búscase aquel plano que sexa perpendicular a π: x y + 2z = 0 Se isto ocorre, os vectores normais dun e doutro son ortogonais e, polo tanto, o seu produto escalar é cero Chamando n = ( + δ, 2 δ, 2 δ) ao vector normal do feixe e n 2 = (,, 2), entón: ( + δ, 2 δ, 2 δ) (,, 2) = 0 + 2δ = 0 δ = 2 O plano buscado é: x + 2y + 2z 7 2 (x y z + ) = 0 7x 7y 7z + 7 = 0 22 Acha o valor de m para que os planos 2x y + z =, x y + z = 2 e x y mz = m se corten nunha recta 2x y z Discútese o sistema para os diferentes valores de m: x y z 2 x y mz m Calcúlase o determinante da matriz dos coeficientes: 2 det(a) = m = m +, m + = 0 m = Para que os tres planos se corten nunha recta ten que ocorrer: rango(a) = rango( A ) = 2 Se m =, rango(a) = 2 Calcúlase o rango da matriz ampliada para m = : 8

9 2 2 = 0 rango( A ) =2 Polo tanto, para m = os planos córtanse nunha recta A súa ecuación vén dada por dous planos diferentes que se corten nesa recta Pódense coller dous calquera dos do sistema x y 2 Determina a posición da recta r: = 6 a = z a e o plano π: ax + 2y 6z + 7 = 0 para os diferentes valores de a Acha o punto de corte da recta e o plano cando a = 5 Áchase o produto escalar do vector director da recta, v = (6, a, ), co vector normal ao plano, n = (a, 2, 6): v n = (6, a, ) (a, 2, 6) = 8a 2 = 0 a = Para a = a recta e o plano son paralelos porque o punto da recta (0,, ) non pertence ao plano x + 2y 6z + 7 = 0 Para a a recta corta ao plano x 6 Se a = 5, as ecuacións paramétricas da recta son: y 5 Substitúense en z x + 2y 6z + 7 = 0: 5 6λ + 2( + 5λ) 6(5 + λ) + 7 = 0 6λ 25 = 0 λ = O punto de corte é,, Acha o punto simétrico de P(2,, 5) respecto á recta r: 2x y z 0 x 2y z 6 0 Sexa P'(x, y, z) o simétrico de P respecto á recta dada Sexa M un punto da recta que é o punto medio do segmento PP' Escríbense as ecuacións paramétricas da recta, para iso despéxanse x e y e chámase x λ a z: y 5 O punto M ten de coordenadas ( λ, 5 + λ, λ) z Ademais, o vector PM = (2 λ, 2 + λ, λ 5) é perpendicular ao vector director da recta v = (,, ), logo PM v = 0: (2 λ, 2 + λ, λ 5) (,, ) = 0 λ 9 = 0 λ = Áchanse as coordenadas de M(, 2, ) 2 x y 5 z Da igualdade (, 2, ) =,, obtense x = 0, y = e z = O punto buscado é P'(0,, ) 9

10 25 Achar o simétrico do punto P(2, 0, ) respecto ao plano π: x + y z = 0 Sexa P'(x, y, z) o simétrico de P(2, 0, ) respecto a π Áchase a ecuación da recta r que pasa por P e é perpendicular a π As ecuacións paramétricas de r: (x, y, z) = (2 + λ, λ, λ) Áchase M, o punto de corte de r e π: 6 (2 + λ) + λ ( λ) = 0 λ + 6 = 0 λ = Entón M Da igualdade 6 5,, 6 5,, 2 x y z =,, obtense x =, y = 2 e z = 2 O punto P' ten de coordenadas,, 0