Β22. Μέτρηση Ροπής Αδράνειας

Β22. Μέτρηση Ροπής Αδράνειας Α. Σκοπός της άσκησης Στο εργαστήριο αυτό θα μελετήσουμε την περιστροφική κίνηση που εκτελεί ένα υλικό σημείο ή ένα στερεό σώμα, σταθερού μεγέθους και σχήματος, υπό την παρουσία σταθερής ροπής. Πιο συγκεκριμένα θα εξετάσουμε πειραματικά α) πώς εξαρτάται η γωνιακή επιτάχυνση υλικού σημείου από την απόσταση του από τον άξονα περιστροφής, εισάγοντας την έννοια της ροπής αδράνειας, β) ποια είναι η ροπή αδράνειας διαφόρων στερεών σωμάτων και πως εξαρτάται από την θέση του άξονα περιστροφής και γ) πως μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας ενός σώματος κατά την παράλληλη μετατόπιση του άξονα περιστροφής του (απόδειξη του νόμου του Steiner). Β. Θεωρητικό μέρος Έστω ένα υλικό σημείο μάζας, m, το οποίο εκτελεί στο επίπεδο περιστροφή σταθερής ακτίνας, r, υπό την παρουσία σταθερής δύναμης, F. Η κίνηση αυτή ονομάζεται ομαλά επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση και μπορεί να περιγραφεί από την σχέση τ = Ια (1) που αποτελεί το ανάλογο του δευτέρου νόμου του Νεύτωνα, F= ma, για την ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Οι ποσότητες που υπεισέρχονται στην παραπάνω σχέση είναι (Σχήμα 1): τ α r F θ F Σχήμα 1: Παράμετροι κυκλικής κίνησης 1

α) η (σταθερή) ροπή, τ, που ασκείται στη μάζα και αποτελεί το αίτιο της κίνησης. τ = rf θ (2) όπου, F θ, η εφαπτομενική συνιστώσα της δύναμης F β) η (σταθερή) γωνιακή επιτάχυνση, α, που ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας ω: a= dω/dt (3) όπου, ω = dθ/dt, και θ η στιγμιαία γωνία. γ) η ροπή αδράνειας, Ι, που αποτελεί ιδιότητα του συστήματος, ανάλογη της μάζας στην ευθύγραμμη κίνηση, και είναι συνάρτηση των m, r. Στην περίπτωση περιστροφής ενός υλικού σημείου μάζας m με στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από σταθερό άξονα που απέχει από αυτό απόσταση r (ακτίνα περιστροφής), αποδεικνύεται η σχέση: Ι = mr 2 (4) Στην περίπτωση όπου έχομε πολλά υλικά σημεία, m i, τα οποία περιστρέφονται με την ίδια στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα, ω, σε αποστάσεις, r i, από κοινό ακλόνητο άξονα περιστροφής θα ισχύει η ίδια σχέση με την (1) όπου πλέον, α: θα είναι η κοινή (σταθερή) γωνιακή επιτάχυνση όλων των σημείων, τ: η συνισταμένη των (σταθερών) ροπών κατά μήκος του άξονα περιστροφής και Ι: το άθροισμα των στοιχειωδών ροπών αδρανείας: 2 Ι = Σm i r i (5) Ένα στερεό σώμα, μπορεί να θεωρηθεί σαν σύνολο στοιχειωδών μαζών dm. Έτσι όταν ασκηθεί μια δύναμη F σε σημείο του που βρίσκεται σε απόσταση r o από ακλόνητο άξονα περιστροφής, τότε εκείνο θα εκτελέσει ομαλά επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση που περιγράφεται και πάλι από την (1) με την διαφορά ότι στο Ι το παραπάνω άθροισμα θα πρέπει να αντικατασταθεί από το ολοκλήρωμα Ι = r 2 dm (6) σε όλο τον όγκο του σώματος. Η ροπή που ασκείται στο σώμα θα δίδεται από την τ = r o F θ (7) όπου, F θ, η εφαπτομενική συνιστώσα της δύναμης, F. Προσέξτε ότι η ροπή αδρανείας στερεού σώματος δεν ορίζεται μονοσήμαντα αλλά πάντα γύρω από ορισμένο άξονα περιστροφής, ως προς τον οποίο υπολογίζεται το ολοκλήρωμα. Άρα ένας δίσκος έχει διαφορετική ροπή αδράνειας Ι όταν περιστρέφεται γύρω από άξονα που διαπερνά κάθετα το κέντρο του και διαφορετική όταν περιστρέφεται γύρω από μια διάμετρό του. Επίσης, η ίδια δύναμη έχει διαφορετικό αποτέλεσμα όταν δρα κοντά ή όταν 2

δρα μακριά από τον άξονα γιατί η ροπή είναι διαφορετική. Για παράδειγμα, χρειάζεται πολύ περισσότερη δύναμη να κλείσει κανείς το ίδιο γρήγορα μια πόρτα όταν την ασκεί κοντά στους μεντεσέδες από όση θα καταβάλλει όταν τη ασκήσει κοντά στο πόμολο. Τέλος όπως φαίνεται τόσο από το άθροισμα όσο και από το ολοκλήρωμα, όσο πιο μακριά από τον άξονα κατανέμεται η μάζα ενός σώματος τόσο πιο μεγάλη ροπή αδρανείας έχει. Έτσι εάν ασκήσουμε την ίδια δύναμη στην άκρη ενός δακτυλίου και ενός δίσκου ίδιας μάζας και ακτίνας τότε ο πρώτος θα περιστραφεί γύρω από το κέντρο του πολύ πιο αργά από τον δεύτερο επειδή έχει μεγαλύτερη ροπή αδράνειας. Όλες οι παραπάνω παρατηρήσεις θα επιδειχθούν πειραματικά στο δεύτερο μέρος της άσκησης. Πειραματική διάταξη Για να βρούμε πειραματικά τη ροπή αδράνειας, Ι, ενός σώματος, εφαρμόζουμε μια γνωστή ροπή, τ, στο σώμα και μετράμε την γωνιακή επιτάχυνση, α, που οφείλεται στη ροπή αυτή. Επειδή τ=ια η ροπή αδράνειας θα είναι, I (8) Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση θα βρίσκουμε, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αυτή, τη ροπή αδράνειας διαφόρων σωμάτων και θα την συγκρίνουμε με την αντίστοιχη θεωρητική τιμή. Περιστρεφόμενο Σώμα Πολυ-τροχαλία Άξονας Περιστροφής Ρουλεμάν Βάση Σχήμα 2: Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιείται για την περιστροφή των διαφόρων σωμάτων Για την εφαρμογή της παραπάνω μεθόδου χρησιμοποιούμε το περιστρεφόμενο σύστημα που φαίνεται στο Σχ. 2. Αποτελείται από μια σταθερή βάση σχήματος Α με ρουλεμάν χαμηλής 3

τριβής το οποίο χρησιμοποιείται για την περιστροφή διαφόρων αντικειμένων μέσω ενός κατακόρυφου άξονα περιστροφής. Σε κάποιο σημείο του άξονα αυτού είναι στερεωμένη μια πολυτροχαλία με τρεις εσοχές διαφορετικής ακτίνας. Το σώμα το οποίο θέλουμε να περιστρέψουμε (π.χ. η ράβδος του σχήματος) στερεώνεται στο πάνω μέρος του άξονα αυτού. Πριν γίνει όμως οποιαδήποτε μέτρηση είναι απαραίτητο να οριζοντιώσουμε την περιστρεφόμενη διάταξη. Αν δεν γίνει αυτό τότε θα υπεισέλθουν σημαντικά σφάλματα στις μετρήσεις μας. Για την οριζοντίωση ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα που φαίνονται στο Σχ. 3: Βάση τύπου "Α" Ράβδος Ράβδος στραμένη κατά 90 μοίρες Μάζα 300 gr Πόδια Οριζοντίωσης Ρυθμίστε πρώτα αυτή τη βίδα Μετά ρυθμίστε αυτή τη βίδα (α) (β) Σχήμα 3: Η διαδικασία οριζοντίωσης της διάταξης Αφού προσαρμόσετε την ειδική μάζα των ~300 gr σε ένα από τα δύο άκρα της αλουμινένιας ράβδου, πλαγιάστε επίτηδες τη διάταξη έχοντας την αριστερή βίδα του Σχ.2 πλήρως ξεβιδωμένη. Ρυθμίστε τη δεξιά βίδα μέχρις ότου το κομμάτι της ράβδου στο οποίο είναι στερεωμένη η μάζα βρεθεί ακριβώς επάνω από την αριστερή βίδα (Σχ 3α). Περιστρέψτε τη ράβδο κατά 90 μοίρες για να γίνει παράλληλη με τη μια μεριά του A της βάσης και ρυθμίστε την αριστερή βίδα μέχρις ότου η ράβδος να παραμείνει ακίνητη στη θέση αυτή (Σχ 3β). Αν η ράβδος έχει οριζοντιωθεί σωστά θα πρέπει να παραμένει ακίνητη και σε οποιαδήποτε άλλη θέση. Για να εφαρμόσουμε μια γνωστή ροπή στο σώμα προς περιστροφή κάνουμε τα εξής: Αρχικά προσδένουμε ένα νήμα πάνω στην πολυτροχαλία και το τυλίγουμε γύρω από μια εσοχή της, όποια θέλουμε εμείς. Στην άλλη άκρη του νήματος αναρτούμε μια γνωστή μάζα, m α, μέσω μιας άλλης τροχαλίας η οποία στερεώνεται στη βάση (Σχ. 4). 4

Περιστρεφόμενο Σώμα Πολυτροχαλία Τροχαλία m g α Αναρτημένη Μάζα Σχήμα 4: Η εφαρμογή μιας γνωστής ροπής στρέψης στη περιστρεφόμενη διάταξη Αν αφήσουμε τη μάζα ελεύθερη να κινηθεί προς τα κάτω, τότε το αντικείμενο θα περιστραφεί με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, α, λόγω της ροπής, τ, της τάσης του νήματος, Τ: τ = r τ Τ (9) όπου r τ είναι η ακτίνα της κυλινδρικής εσοχής της πολυτροχαλίας στην οποία τυλίξαμε το νήμα. Εφαρμόζοντας το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για τις δυνάμεις που ενεργούν στην αναρτημένη μάζα έχουμε (βλ. σχ.4) ΣF = m α g T = m α a (10) όπου a είναι η γραμμική επιτάχυνση που αποκτάει η αναρτημένη μάζα. Η a συνδέεται με τη γωνιακή επιτάχυνση a του περιστρεφόμενου σώματος με τη σχέση (γιατί;): a = αr τ (11) Λύνοντας τώρα ως προς Τ έχουμε: T = m α (g-a) T = m α (g-ar τ ) (12) Από τις σχέσεις (8), (9), (11) και (12) είναι φανερό ότι για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας, Ι, του σώματος που περιστρέφεται, αρκεί να μετρήσουμε τη σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α που αποκτάει αφού τόσο η μάζα m α όσο και η ακτίνα r είναι γνωστά. Υπολογισμός γωνιακής επιτάχυνσης Κατ αναλογία με την ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, όταν ένα σώμα εκτελεί ομαλά μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση, η γωνιακή του θέση θ κάθε χρονική στιγμή t θα δίνεται από την θ = ½ at 2 + ω 0 t + θ 0 (13) όπου: θ 0 η αρχική γωνία, ω 0 η αρχική γωνιακή ταχύτητα και a η γωνιακή επιτάχυνση. 5

Από τη σχέση (13) παίρνουμε για θ 0 = 0 (δηλαδή για μηδενική αρχική γωνία) ότι θ/t = (½ a)t + ω 0 (14) Αυτό σημαίνει ότι η σχέση θ/t t είναι γραμμική και μπορεί να σχεδιαστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, όπως θα περιγραφεί παρακάτω. Η γωνιακή επιτάχυνση βρίσκεται από την κλίση της ευθείας (14). Διαδικασία μέτρησης των μεγεθών θ και t Σχήμα 5: Κυματομορφή μέσα στο πρόγραμμα μέτρησης. Για τη μέτρηση των μεγεθών t και θ χρησιμοποιούμε έναν ευαίσθητο οπτικό αισθητήρα, του οποίου η έξοδος συνδέεται με την είσοδο της κάρτας ήχου ηλεκτρονικού υπολογιστή. Με τον τρόπο αυτό οι οπτικές μεταβολές του αισθητήρα μετατρέπονται σε χρονομεταβαλλόμενο ρεύμα εισόδου το οποίο καταγράφεται ως ηχητικός παλμός από την κάρτα ήχου και παρουσιάζεται στην οθόνη μέσα από κατάλληλο πρόγραμμα (βλέπε σχήμα 5). Οι μετρήσεις των μεγεθών t και θ πραγματοποιούνται ως εξής: Η πολυτροχαλία φέρει κατά μήκος της περιφέρειάς της οπές. Κάθε φορά που μια οπή εισέρχεται από τον οπτικό αισθητήρα, προκαλεί ένα παλμό φωτός ο οποίος προκαλεί με τη σειρά του παλμό ρεύματος στην είσοδο της κάρτας που καταγράφεται από τον υπολογιστή. Δεδομένου ότι η πολυτροχαλία έχει 10 σχισμές, κάθε διαδοχικός παλμός θα αντιστοιχεί σε γωνία θ = n (2π/10) rad (15) 6

όπου n ο αριθμός του παλμού, n = 0, 1, 2,. Ξεκινώντας δηλαδή από έναν τυχαίο παλμό και θεωρώντας τον αρχικό (n = 0, θ 0 = 0) μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία περιστροφής θ από τη σχέση (15). Η ακριβής καταγραφή του χρόνου εμφάνισης ενός παλμού απαιτεί την κατάλληλη μεγέθυνση της κυματομορφής (σχήμα 6). Σχήμα 6: Καταγραφή του χρόνου εμφάνισης ενός παλμού της κυματομορφής. Αρχικά μεγεθύνουμε ολόκληρη την κυματομορφή (View Fit Vertically ή Ctrl+Shift+F). Επιλέγουμε τον πρώτο παλμό και τον μεγεθύνουμε (πλήκτρο Zoom ή Ctrl+1) ώστε να φαίνεται καθαρά η έναρξή του. Τοποθετούμε το δρομέα (cursor) στην αρχή του παλμού και καταγράφουμε το χρόνο έναρξης από το κάτω μέρος της οθόνης (εάν η γραμμή του δρομέα δεν συμπίπτει με την αρχή του παλμού κάνουμε μεγαλύτερη μεγέθυνση ώστε να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα). Κρατάμε μέχρι 4 σημαντικά ψηφία στα δευτερόλεπτα. Γ. Πειραματικό μέρος 1) Ροπή Αδράνειας Ράβδου Στο πρώτο σκέλος του πειράματος θα υπολογιστεί πειραματικά η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Η διάταξη που χρησιμοποιείται φαίνεται στο σχήμα 7: 7

Ράβδος Αναρτημένη Μάζα (m α ) Σχήμα 7: Διάταξη μέτρησης ροπής αδράνειας ράβδου. Η διαδικασία των μετρήσεων είναι η εξής: 1. Μετρήστε το μήκος της ράβδου L και προσδιορίστε της μάζα της M ζυγίζοντάς την. 2. Ζυγίστε τη μάζα m α που θα αναρτήσετε σε νήμα που στην άκρη του είναι προσαρμοσμένος ένας γάντζος. Η μάζα του γάντζου είναι 1.5 gr και πρέπει να προστεθεί στην αναρτώμενη μάζα. 3. Τυλίξτε το νήμα στη δεύτερη εσοχή της πολυτροχαλίας. 4. Μετρήστε και καταγράψτε την διάμετρο της εσοχής της πολυτροχαλίας που θα χρησιμοποιήσετε. Πάρτε 5 τιμές χρησιμοποιώντας βερνιέρο (διαστημόμετρο) και υπολογίστε μέση τιμή και τυπική απόκλιση. Από τη διάμετρο αυτή θα υπολογίσετε την ακτίνα r τ. 5. Αναρτήστε μέσω της οριζόντιας τροχαλίας τη μάζα m α. Η διάταξη σας θα μοιάζει μ' αυτήν του Σχ. 7. 6. Αφήστε αυτή τη μάζα να πέσει αφήνοντας τη συσκευή να εκτελέσει τουλάχιστον 5 πλήρεις περιστροφές και παρατηρήστε την κυματομορφή που φαίνεται στην οθόνη του υπολογιστή. Κάθε κορυφή υποδηλώνει το πέρασμα μιας οπής από τον αισθητήρα. 7. Από την κυματομορφή που θα εμφανιστεί στην οθόνη, καταγράψτε για 11 συνεχόμενες κορυφές τα n i, t αν(i), θ i, i = 0, 1,, 10 και κατασκευάστε τον παρακάτω πίνακα για τις τιμές που πήρατε: n t αν t=t αν(i) -t αν(0) θ=n(2π/10) θ/t 0 ----- ----- ----- 1 2 8

όπου n ο αριθμός της μέτρησης, και t αν(i) η αναγραφόμενη τιμή του χρόνου για τη μέτρηση i. Σημειώνουμε εδώ ότι ο χρόνος που θα χρησιμοποιήσετε στην ανάλυσή σας δεν θα είναι ο αναγραφόμενος, αλλά η διαφορά του αναγραφόμενου t αν(i) από τον αρχικά αναγραφόμενο t αν(0). 8. Κατασκευάστε το διάγραμμα της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων της σχέσης (14) και προσδιορίστε από αυτό τη γωνιακή επιτάχυνση a και την αρχική γωνιακή ταχύτητα ω 0. 9. Με βάση τις τιμές που υπολογίσατε, και σε συνδυασμό με τις σχέσεις (8), (9) και (12) υπολογίστε την πειραματική τιμή της ροπής αδράνειας της ράβδου. 10. Συγκρίνετε την πειραματική τιμή που βρήκατε με τη θεωρητική τιμή που δίνεται από τη σχέση I ρ = 1 / 12 M L 2 (16) 2) Ροπή Αδράνειας Σημειακής Μάζας Σε αυτό το σκέλος του πειράματος θα δείξουμε πειραματικά την σχέση ανάμεσα στη ροπή αδρανείας υλικού σημείου Ι m και την απόσταση του από τον περιστρεφόμενο άξονα r κάνοντας μόνο την υπόθεση ότι είναι της μορφής Ι m = k r n όπου k και n, σταθερές. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε τη διάταξη του Σχ. 8. Η διαδικασία των μετρήσεων είναι η εξής: 1. Ζυγίστε τη μάζα m (την θεωρούμε σημειακή) και προσαρμόστε τη πάνω στη ράβδο σε απόσταση r = 5cm από το κέντρο περιστροφής. 2. Τυλίξτε το νήμα στην εσοχή και αναρτήστε μέσω της οριζόντιας τροχαλίας τη μάζα m α που χρησιμοποιήσατε στο προηγούμενο πείραμα. Η διάταξη σας θα μοιάζει μ' αυτήν του Σχ. 8. 3. Αφήστε αυτή τη μάζα να πέσει αφήνοντας τη συσκευή να εκτελέσει τουλάχιστον 5 πλήρεις περιστροφές και παρατηρήστε την κυματομορφή που φαίνεται στην οθόνη του υπολογιστή. 4. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του προηγούμενου πειράματος, υπολογίστε μια τιμή I 1συστ της ροπής αδράνειας του συστήματος ράβδου μάζας. 5. Στη συνέχεια, από τη σχέση I 1m = I 1συστ I ράβδου (17) και χρησιμοποιώντας την πειραματική τιμή της ροπής αδράνειας της ράβδου που βρήκατε προηγουμένως, υπολογίστε τη ροπή αδράνειας της μάζας θεωρούμενης ως υλικό σημείο. 9

Ράβδος Σημειακή Μάζα (m) Αναρτημένη Μάζα (m α ) Σχήμα 8: Διάταξη μέτρησης ροπής αδράνειας σημειακής μάζας. 6. Κάντε το ίδιο πείραμα για 3 ακόμη διαφορετικές ακτίνες περιστροφής r (10, 15, 20 cm) της μάζας και υπολογίστε τις αντίστοιχες ροπές αδράνειας του συστήματος I 2συστ, I 3συστ, I 4συστ, κάθε φορά. Από αυτές και με τον τύπο (17) υπολογίστε τις αντίστοιχες I 2m, I 3m, I 4m. 7. Όπως προαναφέρθηκε, η Ι m έχει τη μορφή kr n, όπου k και n είναι οι σταθερές που πρέπει να υπολογίσετε. Λογαριθμίζοντας αυτή τη σχέση έχουμε την logi m = n logr +logk (18) η οποία είναι γραμμική. Αφού υπολογίσετε τις Ι 1m, I 2m, I 3m, I 4m απεικονίστε σε γραμμικό χαρτί τη σχέση του logi m σαν συνάρτηση του logr. Από το διάγραμμα αυτό υπολογίστε τον εκθέτη n και τη σταθερά k και συγκρίνετε τις τιμές αυτές με τις θεωρητικά αναμενόμενες n=2 και k=m. Πόσο απέχουν οι πειραματικές από τις θεωρητικά αναμενόμενες τιμές; 3) Ροπή Αδράνειας Δίσκου Για την εύρεση της ροπής αδράνειας δίσκου γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας χρησιμοποιούμε τη διάταξη του Σχ. 9 και η διαδικασία είναι η εξής: 1. Γνωρίζουμε ότι η μάζα του δίσκου είναι Μ=1451gr. Αφού μετρήσετε την ακτίνα του R, επιλέξτε μια εσοχή της πολυτροχαλίας, χρησιμοποιήστε τη μεσαία εσοχή της πολυτροχαλίας της οποίας έχετε μετρήσει ήδη την ακτίνα της r τ στο πρώτο μέρος του πειράματος, και στη συνέχεια τυλίξτε ένα νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου είναι αναρτημένη, μέσω της οριζόντιας τροχαλίας, γνωστή μάζα m a. (Σημείωση: Για την αναρτώμενη μάζα ισχύουν όσα περιγράφηκαν στα προηγούμενα πειράματα). 10

Περιστρεφόμενος Δίσκος Δίσκος (α) Σχήμα 9: Η Διάταξη που χρησιμοποιείται για την εύρεση της ροπής αδράνειας δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του (β) 2. Αφήστε το δίσκο να περιστραφεί υπό την επίδραση της ροπής της μάζας m a και κατασκευάστε με την γνωστή μεθοδολογία τον πίνακα του πρώτου πειράματος. Από εκεί υπολογίστε κατά τα γνωστά τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. 3. Επαναλάβατε το πείραμα για τρεις ακόμη διαφορετικές αναρτώμενες μάζες m a και υπολογίστε άλλες τρεις τιμές για τη γωνιακή επιτάχυνση. 4. Από τις σχέσεις (9) και (12) συμπεραίνουμε ότι τ = r τ m α (g - ar τ ) (19) η οποία σε συνδυασμό με την τ = I δ a δίνει r τ m α (g - ar τ ) = Ι δ a (20) 5. Φτιάξτε ένα πίνακα που να περιέχει τα αποτελέσματα τ, α για κάθε μάζα m a και χρησιμοποιήστε τη σχέση (20) για να υπολογίσετε πειραματικά τη τιμή της ροπής αδράνειας του δίσκου I δ ως προς άξονα κάθετο προς το κέντρο μάζας του για κάθε σετ τιμών, αφού θεωρήσετε ότι g = 9.81 m/s 2. 6. Υπολογίστε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της Ι δ και θεωρήστε την ως την πειραματική τιμή της ροπής αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα κάθετο προς το κέντρο μάζας του. 7. Συγκρίνετε με την θεωρητική τιμή I δ = ½ MR 2 (21) 11