International Mathematics Communication and IMAGINARY

International Mathematics Communication and IMAGINARY Dr. Andreas Daniel Matt Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach AIMS-IMAGINARY workshop, Cape Town, 5.11.-7.11.2014

Why do we communicate mathematics?

Why do I communicate mathematics?

Why do I communicate mathematics?

Why do I communicate mathematics?

Why do I communicate mathematics?

José Carlos García (Chef) the taste of maths Mercedes Siles Molina (Maths) by José Carlos García, Mercedes Pedro Reyes Siles Dueñas Molina, (Photos) Pedro Ryes

Why do I communicate mathematics?

Why do I communicate mathematics?

Why do I communicate mathematics? Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (MFO) Institute of the Leibniz Association

Why do I communicate mathematics? love for maths love to communicate / to be with people diversity of media (museum, exhibition, workshop, text, film, theatre, music, food) design, art, technology (political, economic, general) sense/purpose

What is mathematics communication?

exhibitions

exhibitions

MATHEMATIKUM museums

MATHEMATIKUM museums

museums imaginary.org/network

MATH FILM FESTIVAL films

NUMBERPHILE films (youtube) NUMBERPHILE

CINEMA films (youtube)

info portals Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach

info portals

info portals Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach

Knowlegde transfer vs. motivation transfer?

campaigns Year of Maths Maths Week Month of Maths Math Day

competitions

celebrities

maths art ARTE M.C. Escher 1898-1972 Artist, Netherlands

school workshops

street interventions

τησ λαλινασ φαφουτη publications / books 6 24 BHMASCIENCE ª ª π ΚΥΡΙΑΚΗ 16 ΜΑΪΟΥ 2010 ΚΥΡΙΑΚΗ 16 ΜΑΪΟΥ 2010 BHMASCIENCE ª ª π 25 7 OÙ Ó ÔÈ Â appleâú Ù Ì ıëì ÙÈÎ ÎÔ Ó Πappleôèôó Ó Ï ÂÈ applefiûô fiìôúêë Â Ó È ÌÈ ÂÍ ÛˆÛË, Û Ó - ıˆ ÙÔÓ ÎÔÈÙ Ô Ó Ì ÛappleÈÛÙ. Ò- Ú ÚıÂ Ë ÒÚ Ó Ó ıâˆú ÛÔ Ó.  Ùfi ı ÙÔ ÔËı ÛÂÈ Ë ÎıÂÛË «Imaginary». ÓÔÓÙ ÌÔÚÊ Î È ÚÒÌ ÛÙÔ ÊËÚËÌ ÓÔ ÏÁÂ- ÚÈÎÔ Ù appleô Ë appleúˆùfiù appleë appleúˆ- ÙÔ Ô Ï ÙÔ ÁÂÚÌ ÓÈÎÔ Ì ıëì - ÙÈÎÔ ÈÓÛÙÈÙÔ ÙÔ Mathematische Forschungsinstitut Oberwolfach ÊÈ- ÏÔ ÔÍÂ Ó Î ÓÂÈ ÎfiÌË Î È fiûô ÌÈ- ÛÔ Ó Ù Ì ıëì ÙÈÎ Ó Ù Á apple - ÛÔ Ó. ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ Î È Ùfi Â Ó È Ûˆ appleèô ÛËÌ ÓÙÈÎfi Ó Ù Î Ù - ÓÔ ÛÔ Ó. ÂÌfiÓÈ Î È Î Ú È ÂÍ ÛˆÛË x 2 +z 2 =y 3 (1-y) 3 Â Ó È Ó appleú ÛÈÓÔ ÏÂÌfiÓÈ, Ë (x 2 +9/4y 2 +z 2-1)3-x 2 z 3-9/80y 2 z 3 =0 ÌÈ ÂÓ È Ê - ÚÔ Û ÁÈ ÙÔ Ì ıëì ÙÈÎÔ «ÎÔ- Ú Ê» «apple Ú ÔÍfiÙËÙ» Â Ó È ÌÈ Î Ù ÎfiÎÎÈÓË Ô ÌÂÚ Î Ú È. Ò Î ÙÈ ÙfiÛÔ «ÛÙÂÁÓfi» fiûô Ó Ì ıë- Ì ÙÈÎfi Ù appleô ÌappleÔÚÂ Ó ÌÂÙ ÙÚ - appleâ Û ÚÁÔ Ù ÓË ; «fiïë È ÍÂ- Î ÓËÛ applefi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè Ù Ì ıë- Ì ÙÈÎ Â Ó È appleôï ÊËÚËÌ Ó, Î ÙÈ ÙÔ ÔappleÔ Ô appleú ÁÌ ÙÈÎ Û Ì ÓÂÈ Ì - Û ÛÙÔ Ì Ïfi Ì Î È apple ÂÈ appleôï applefi ÙÔÓ appleú ÁÌ ÙÈÎfi ÎfiÛÌÔ»Ï ÂÈ ÌÈ- ÏÒÓÙ ÛÙÔ «µ Ì» Ô ÓÙÚ ª Ù, È ÎÙˆÚ Ì ıëì ÙÈÎfi Î È Û - ÓÙÔÓÈÛÙ ÙË ÎıÂÛË. «ÂÏ Û ÌÂ Ó Ù Î ÓÔ Ì appleèô ÂÈÚÔappleÈ ÛÙ ÁÈ ÙÔ Â Ú ÎÔÈÓfi Î È È Ï Í Ì ٠ÙËÓ Î appleˆ È ÊÔÚÂÙÈÎ appleúôû ÁÁÈÛË, ÙËÓ Î ÏÏÈÙ ÓÈÎ ÔappleÙÈÎÔappleÔ ËÛ ÙÔ». ÛË Ù ÙË ÔappleÙÈÎÔappleÔ ËÛË Â Ó È Ë ÏÁ ÚÈÎ ÁˆÌÂÙÚ, Ô ÎÏ - Ô ÙˆÓ Ì ıëì ÙÈÎÒÓ appleô Û Ó - ÂÈ ÙËÓ ÓÙÈÌÂÙ ıâùèî ÏÁÂ Ú Ì ÙË ÁˆÌÂÙÚ. «ÌappleÔÚÔ Û ÌÂ Ó appleô Ì fiùè Ë ÏÁ ڻÂÍËÁÂ Ô Î. ª Ù «Â Ó È Ô Ù appleô Î È Ë ÁˆÌÂÙÚ Â - Ó È Ë ÂÈÎfiÓ. Ùfi Â Ó È Î È ÙÔ ÓfiË- Ì ÙÔ Ù ÙÏÔ Imaginary. Ï ÍË ÂÈÎfiÓ image appleôùâïâ Ì ÚÔ ÙÔ ÊËÚËÌ ÓÔ Ê ÓÙ ÛÙÈÎÔ imaginary». Ô fiïô ÂÁ  ÚËÌ ÂÈ Ô ÛÎ ÏË: Ó Î ı Ú Ì ıëì ÙÈÎfi Î È Ó ËÌÈÔ ÚÁÈÎfi, Î ÏÏÈÙ ÓÈÎfi. È ÈÎ appleúôáú ÌÌ Ù appleô Ó appleù - ıëî Ó applefi ÙÔ Ì ıëì ÙÈÎÔ ÂappleÈ- ÙÚ appleô Ó ÙËÓ «ÙÔappleÔı ÙËÛË» ÙˆÓ Ï- Á ÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÛÙÔÓ ÒÚÔ Î È ÙË ËÌÈÔ ÚÁ ÙˆÓ Ó ÏÔÁˆÓ Û Ë- Ì ÙˆÓ ÏÁ ÚÈÎÒÓ ÂappleÈ- lyapunov play Ê ÓÂÈÒÓ Ù ÔappleÔ ÛÙË Παιχνίδι Λιαπούνοφ Û Ó ÂÈ Ô Î ı Ó ÌappleÔ- ÚÂ Ó «ÁÂÌ ÛÂÈ» Ì ٠ÚÒ- O Μάριο Μάρκους του Ινστιτούτου Ì Ù appleô ıâˆúâ Î Ù Ï- Μαξ Πλανκ ιατροφολογίας χρησιµοποιεί δυναµικά συστήµατα για να µελε- ÏËÏ. È fiù Ó Ï Ì «Ô Î - ı Ó» ÙÔ ÂÓÓÔÔ ÌÂ: Ù τήσει την εξέλιξη των ζωικών πληθυσµών. Τα συστήµατα αυτά µπορεί να appleúôáú ÌÌ Ù Â Ó È Â - ÚËÛÙ Î È ÂÓ ÚÂÈ Ô- επιδεικνύουν ταυτόχρονα έναν σταθερό κύκλο και µια χαοτική εξέλιξη, ανά- ÓÙ È ÂÈ ÈÎ ÁÓÒÛÂÈ. ÓÙÈı Ùˆ, Î ıò Ó appleù ÛÛÂÈ λογα µε την ικανότητα γονιµότητας Î appleôèô ÙÔ Û Ì, ÛÈÁ ÛÈ- των ζώων. Η σταθερότητα και το χάος Á ÂÎapple È Â ÂÙ È Î È Ú - µπορούν να αναλυθούν µε τον υπολογισµό του λεγόµενου εκθέτη Λιαπού- ÂÈ Ó Ìapple ÓÂÈ ÛÙÔ appleóâ Ì ÙˆÓ Ì ıëì ÙÈÎÒÓ Î È Ó νοφ. Oι εικόνες του κ. Μάρκους αποτελούν έγχρωµες χαρτογραφήσεις του Î Ù ÓÔ ÙË ÏÂÈÙÔ ÚÁ ÙÔ. εκθέτη Λιαπούνοφ έναντι της γονιµότητας κατά µήκος οριζόντιων και κάθετων αξόνων. Εδώ το χάος αποδίδεται µε O ËÁ Â Ú ÛË «Ù Ú ÂappleÈÏ ÁÂÙ σκούρο γαλάζιο χρώµα. Ó Ó Ù appleô, ÔappleÔÈÔÓ appleô- Ù ٠appleô» ÂÍËÁÂ Ô Î. ª Ù. «appleô Ì ÙÔÓ x 2 +y 2 -z=0. Oappleˆ Ï appleâùâ, Ô Ù appleô Ùfi appleâúèï Ì- ÓÂÈ ÙÚÂÈ ÌÂÙ ÏËÙ, ÔÈ ÔappleÔ Â, fiappleˆ ÌappleÔÚ ÙÂ Ó Ê ÓÙ ÛÙ ÙÂ, ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ó ÛÙÔÓ ÒÚÔ». Ô x ÁÈ apple Ú ÂÈÁÌ ÌappleÔÚÂ Ó Â Ó È ÛÙ Â- ÍÈ ÛÙ ÚÈÛÙÂÚ, ÙÔ y Âapple Óˆ Î Ùˆ Î È ÙÔ z ÛÙÔ Î ÓÙÚÔ. ÓÔÓÙ È ÊÔÚÂÙÈÎ ÙÈÌ ÛÙÈ ÌÂÙ ÏË- Ù apple.., 5 ÛÙÔ x, 3 ÛÙÔ y Î È 1 ÛÙÔ z ÌappleÔÚ ÙÂ Ó ÙÈ ÓÙÈÛÙÔÈ ÛÂÙ Πıâ ÊÔÚ ÌÂ Ó ÛËÌÂ Ô ÛÙÔÓ Ò- ÚÔ. «OÏ Ù ÛËÌ appleô Ï ÓÔ Ó ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË ÂÓÒÓÔÓÙ È ÌÂÙ Í ÙÔ ÛÂ Ó Û Ì. Ùfi appleô Ï appleâùâ, Ë- Ï, ÂÓ Â Ó È Ù appleôùâ ÏÏÔ applefi ÙË Ï ÛË ÙË ÂÍ ÛˆÛË. È Ùfi Â Ó È appleôï ÂÓ È Ê ÚÔÓ ÁÈ Ù Ë ÂÈÎfiÓ Â - Ó È ÙÂÏÈÎ Ó ÏÏÔ ÙÚfiappleÔ ÁÈ Ó ÂÈ Î Ó ÙÔÓ Ù appleô». ÎÔ ÁÂÙ È Ûˆ Ï ÁÔ ÌappleÂÚ ÂÌ - ÏÁÂ Ú ÓÔ, Ó fiìˆ ÙÔ appleúôûapple ı ÛÂÙ ÛÙÔ Surfer, ÙÔ ÂÈ ÈÎfi appleúfiáú ÌÌ appleô  - Ó È ÓÔÈ Ùfi ÛÙÔ ÎÔÈÓfi, ı  Ù fiùè ÙÂÏÈÎ Â Ó È apple Ú appleôï appleïfi. «OÛÔ Î È Ó appleúôûapple ı Ûˆ Ó Û ÙÔ ÂÍË- appleôáâèòóâè ÙË Á Ûˆ, Ô Î Ï ÙÂÚÔ ÙÚfiappleÔ ÁÈ Ó ÙÔ Ì ıâùâ Â Ó È Ó ÙÔ ÔÎÈÌ ÛÂÙÂ. ÙÛÈ ÏψÛÙ ÏÂÈÙÔ ÚÁÔ Ó ÙÂÏÈÎ Ù Ì ıëì ÙÈλ Ï ÂÈ Ô Î. ª Ù. Ê ÓÙ Û «appleïò apple ÂÙÂ, ÌappleÔÚ ÙÂ Ó - ÏÂÙÂ Ó Ó ÔappleÔÈÔÓ appleôùâ Ù appleô Ó apple ÚÂÙÂ Ó Ó applefi ÙÔ apple Ú ÔÓÙ Oταν τα παιδιά διδάσκονται στο σχολείο µαθηµατικά, µπορούν Î È Ó ÙÔÓ ÏÏ ÍÂÙ ÏÈÁ ÎÈ. fiùâ ı  ÙÂ Ó Ó Î ÈÓÔ ÚÁÈÔ Ù appleô Î È ÌÈ να προσεγγίσουν την οµορφιά τους µόνο µε αφηρηµένο Î ÈÓÔ ÚÁÈ ÂÈÎfiÓ. È ÌappleÔÚ Ù και θεωρητικό τρόπο. Σίγουρα όχι µε χρώµα και εικόνες. Ó Û Ó ÛÂÙÂ Ó ÙÔÓ ÏÏ ÂÙÂ, Î È Ùfi Â Ó È Ô Î Ï ÙÂÚÔ ÙÚfiappleÔ ÁÈ Η έκθεση «Imaginary» έρχεται να ανατρέψει αυτόν τον Ó Ì ıâùâ Ù Ì ıëì ÙÈÎ : apple Ô- κανόνα, δίνοντας σε όλους µας τη δυνατότητα να ÓÙ». Ô πóûùèùô ÙÔ appleúôûê ÚÂÈ Âapple ÛË δηµιουργήσουµε εικόνες τέχνης µε ένα ανέλπιστο εργαλείο: Î appleôèâ Ô ËÁ Â, ÌÂÚÈÎ «Ì ıëì - την αλγεβρική γεωµετρία ÙÈÎ ÎfiÏapple», ÁÈ Ó ÊÙÈ ÍÂÈ Î Ó tο eκατονεικοσάχωρον Το Εκατονεικοσάχωρον είναι ένα τυπικό πολύτοπο σε τέσσερις διαστάσεις. Είναι το τετραδιάστατο αντίστοιχο ενός τρισδιάστατου δωδεκάεδρου, το οποίο έχει 12 πενταγωνικές έδρες, 20 κορυφές και 30 ακµές. Το Εκατονεικοσάχωρον έχει 120 «πλευρές» αλλά αυτές είναι τετραδιάστατες, οπότε στην πραγµατικότητα γίνονται τρισδιάστατες: είναι όλες δωδεκάεδρα! Oι δισδιάστατες πλευρές αυτών των δωδεκάεδρων είναι φυσικά πεντάγωνα, συνολικά 720 στον αριθµό. Oι κορυφές είναι 600 και οι ακµές 1.200. eπιφάνεια björling Oι ελαχιστοτικές επιφάνειες έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά καµπυλότητας µε τις µεµβράνες σαπουνιού. Η κατασκευή ελαχιστοτικών επιφανειών µε δεδοµένα χαρακτηριστικά αποτελεί κλασικό αντικείµενο της διαφορικής γεωµετρίας.το 1844 ο E. G. Björling έδειξε ότι για κάθε αρκετά ευνοϊκή τρισδιάστατη καµπύλη µπορεί να βρει κανείς µια στενή λωρίδα ελαχιστοτικής επιφάνειας η οποία την περιέχει. Επιπλέον µπορεί να προσδιορίσει πώς η λωρίδα θα περιστραφεί γύρω από την καµπύλη. Η επιφάνεια που απεικονίζεται εδώ έχει δηµιουργηθεί µε αυτόν τον τρόπο. Oι τύποι αναπτύχθηκαν από τον Ματίας Βέµπερ και το τοπίο του φόντου δηµιουργήθηκε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή από τον Σάιµον O Κάλαχαν. sofa /Καναπές x 2 +y 3 +z 5 =0 Αν και αυτή η αλγεβρική επιφάνεια ονοµάζεται «Καναπές», δεν είναι απαραίτητα άνετη. Αυτό που έχουµε εδώ είναι µάλλον ένα κάθισµα για δύο άτοµα που χωρίζονται µεταξύ τους από µια παραδοξότητα. Η παραδοξότητα αυτή λέγεται Ε8 και είναι ίσως η πιο διάσηµη στα µαθηµατικά. Συνδυάζει, µεταξύ άλλων, τη θεωρία των οµάδων συµµετρίας των πλατωνικών στερεών και τη θεωρία οµάδων Lie. Η απτή εικόνα αυτής της παραδοξότητας είναι εξαιρετικά κοµψή αλλά δεν αποκαλύπτει τη µαθηµατική πολυπλοκότητά της αυτή γίνεται εµφανής µόνο αν συµπεριλάβετε το φανταστικό µέρος της. himmel und hölle / Παράδεισος και Κόλαση x 2 -y 2 z 2 =0 Το σχήµα έχει πάρει τον τίτλο του από ένα παιχνίδι. Κάποιος διπλώνει ένα χαρτί µε τρόπο ώστε τα τέσσερα δάχτυλά του να µπαίνουν στις τέσσερις γωνίες που σχηµατίζονται. Ανοίγοντας τα δάχτυλα το χαρτί ανοίγει µε δύο διαφορετικούς τρόπους ώστε κάθε φορά να φαίνονται δύο από τις εσωτερικές πλευρές ταυτοχρόνως. Oι γαλάζιες σηµαίνουν τον Παράδεισο, οι κόκκινες την Κόλαση. Τα παιδιά πρέπει να µαντέψουν τι θα εµφανιστεί κάθε φορά. Προσθέτοντας τα τετράγωνα του y και του z παίρνουµε τον υψηλότερο εκθέτη 4. Αυτό λέγεται εξίσωση τέταρτου βαθµού. Oσο µεγαλύτερος είναι ο εκθέτης τόσο πιο πολύπλοκο είναι να υπολογίσει κανείς την Û ÁÎÂÎÚÈÌ Ó ÂÈÎfiÓÂ. Ó apple.. ı - ÓfiÚˆÓ. ÓÙÔÌ Ú ÈÛÂ Ó appleâúèô- αλγεβρική επιφάνεια. ÏÂÙÂ Ó ÊÙÈ ÍÂÙÂ Ó appleúfiûˆappleô, ı  ÂÈ ÛÂ È ÊÔÚ ÒÚÂ. ÂÏ ٠- Ì ıâùâ appleôèô Ù appleô ı appleú appleâè Ó Ô ÛÙ ıìfi Ù Ó ÙÔ ÓÂappleÈÛÙ ÌÈÔ zitrus / Εσπεριδοειδές ÚËÛÈÌÔappleÔÈ ÛÂÙ ÁÈ Ó appleâù ÂÙ ÙÔ ÈÌappleÚÈÙ ÛÙË µúâù Ó ÙÔÓ appleâ- Η εξίσωση του εσπεριδοειδούς, όπως Ô Ì ÙÈ, Ó ÛÙfiÌ Î È Ô Ùˆ Î ı Ú ÛÌ ÓÔ ª ÚÙÈÔ Î È ÂapplefiÌÂÓÔ ı  - και η εικόνα, φαίνεται απλή: x 2 + y 2 = y 3 (1-y) 3. ÂÍ. È, ÊÔ ı ÂÙ ÂÍ ÛÎËıÂ Ó È Ë Ú Ë ÙÔ ÂÚ fiìâóô ÊıÈÓfiappleˆ- Ενίοτε ωστόσο τα φαινόµενα απατούν. Τα apple ÔÓÙ, ı Êı ÛÂÙÂ, fiappleˆ ÂÍË- ÚÔ. µ ÛÈÏÈÎ Î ËÌ appleèûùëìòó σηµεία συµβολής των δύο τόξων ÁÂ Ô Ì ıëì ÙÈÎfi, Û Πappleôèô ÛËÌÂ Ô ÙË πûapple Ó ÙËÓ ÂÈ «ÎÏ ÛÂÈ» ÁÈ περιστρέφονται συµµετρικά γύρω από τον ÛÙÔ ÔappleÔ Ô ÌfiÓÔÈ Û ı ÌappleÔÚ ÙÂ Ó ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ 2011, ÏÏ ÛÙÔ ÈÔ È - κεντρικό άξονα. Η εξίσωση x 2 + y 2 = y 3 χωρίς το (1-y) ÏÏ ÂÙ ÙÈ ÂÈÎfiÓÂ Î È Ó ÙÈ Î ÓÂ- ÛÙËÌ ı apple ÚÔ ÛÈ ÛÙ apple Ú ÏÏËÏ 3 δίνει µόνο τη µία καµπύλη και η x Ù fiappleˆ ÎÚÈ Ò ı ÏÂÙÂ. ÚÒ- ÛÂ È ÊÔÚ applefiïâè ÙË ÂÚÌ Ó 2 + y 2 = y 3 (1-y) 3 δίνει τη συµµετρική εικόνα. Και οι δύο επιφάνειες εκτείνονται στο Ì Ù appleô ı ÚËÛÈÌÔappleÔÈ ÛÂÙÂ Î È Ô Î È ÙË µúâù Ó, ÂÓÒ appleúôáú ÌÌ - άπειρο. Το γινόµενο στη δεξιά πλευρά της Ù ÙÏÔ appleô ı ÙÔ ÒÛÂÙ ÂÓ Ô Ó Ù ÂÙ È Î È Ë apple ÚÔ Û Û ÙË ÛÙËÓ αρχικής εξίσωσης «κλείνει» τα όρια του Î Ì Û ÛË ÌÂ Ù Ì ıëì ÙÈÎ. Ó - ÏÏ. Zitrus. Αν η απόλυτη αξία του y υπερβεί το 1, applefiîâèóù È appleïò ÛÙË ËÌÈÔ ÚÁÈÎfi- È appleâúèûûfiùâúâ ÊÔÚ Ë ÈÔÚ- η δεξιά πλευρά γίνεται αρνητική και η ÙËÙ Û. Á ÓˆÛË Á ÓÂÙ È ÛÂ Û ÓÂÚÁ Û Ì εξίσωση δεν επιδέχεται πραγµατικές λύσεις για το x και το z. apple ÓÂappleÈÛÙ ÌÈ ÏÏÔ ÂÎapple È Â ÙÈ- ªÈ ÎıÂÛË ÁÂÓÓÈ Ù È ÎÔ ÂappleÈÛÙËÌÔÓÈÎÔ ÊÔÚÂ, ÙÔ Ô appleúòùô Ì ÁÈ ÙË ËÌÈÔ ÚÁ πóûùèùô ÙÔ fiìˆ appleúôùèì ÔÈ ÂÎıÂ- ÙË ÎıÂÛË ÁÈÓ applefi ÙÔÓ ÛÙÚÈ - ÛÈ ÎÔ ÒÚÔÈ Ó Ú ÛÎÔÓÙ È ÂÎÙfi Îfi Ì ıëì ÙÈÎfi Ã Ú È Ã Ô ÂÚ, Ô ÙˆÓ apple ÓÂappleÈÛÙËÌÈ ÎÒÓ È Ú Ì ÙˆÓ, ÔappleÔ Ô Ú ÈÛÂ Ó Û Ó ÂÈ ÏÁÂ- Û Πappleôèô ÌÔ ÛÂ Ô ÎfiÌË Î È ÛÙÔÓ calypso / Καλυψώ ÚÈÎÔ Ù appleô Ì ÂÈÎfiÓÂ Î È Ó ÚfiÌÔ. «Ó È appleúôùèìfiùâúô Ë ÎıÂ- x 2 +y 2 z=z 2 ÙÔ ÓÂÈ Ó Ó Ù ÙÏÔ. Ô Mathematische Forschungsinstitut Ober- ÙÚ ÓÔ ÙÔ ÌÂÙÚfi, ÛÂ Ó ÛÔ - ευθείες γραµµές. Η οριζόντια ÛË Ó Á ÓÂÙ È ÛÂ Ó Ó ÛÙ ıìfi ÙÔ Η Καλυψώ περιλαµβάνει τρεις wolfach ÛÎ ÊÙËÎÂ Ó Ó appleù ÍÂÈ ÙËÓ appleâúì ÚÎÂÙ Î È Íˆ, ÛÂ Ó Ó apple - ευθεία είναι καθαρά ορατή, περνάει από το αρχικό σηµείο È appleâúèûûfiùâúô Ì ÙË ÈÔÚÁ Óˆ- ıúèô ËÌfiÛÈÔ ÒÚÔ, ÁÈ Ù Ô ÛÈ- µηδέν (0) όπου ενώνονται το ÛË ÙË «Imaginary» ÛÙÔ appleï ÛÈÔ ÙÔ Îfi ÛÙfi Ô ÙË Â Ó È Ó Êı ÛÂÈ ÛÙÔ επάνω και το κάτω τµήµα της ÙÔ ÙˆÓ ª ıëì ÙÈÎÒÓ ÛÙË ÂÚ- Â Ú ÎÔÈÓfi»ÂÍËÁÂ Ô Î. ª Ù. «ÂÓ επιφάνειας. Oι άλλες δύο Ì Ó ÙÔ 2008. Ô Surfer, Ó Î È - Â Ó È ÁÈ ÙÔ Ì ıëì ÙÈÎÔ, Â Ó È ευθείες βρίσκονται σε ένα ÛÈÎfi, appleôùâïâ Ó ÌfiÓÔ Ì ÚÔ ÙˆÓ ÁÈ fiïô. ÏÏ Ù ÙÔ ÚfiÓˆ Â Ó È κάθετο επίπεδο. Περνούν και È Ú ÛÙÈÎÒÓ Ú ÛÙËÚÈÔÙ ÙˆÓ appleô Ì ıëì ÙÈÎ. ª ıëì ÙÈÎ appleô ÌÂ- αυτές από το 0 και τέµνονται appleúôûê ÚÔÓÙ È. O Î ıâ ÂappleÈÛÎ appleùë ÚÈÎ ÊÔÚ ÌappleÔÚÂ Ó Â Ó È ÎfiÌË σε αυτό το σηµείο. ÌappleÔÚÂ Ó ÙÈ ÔÎÈÌ ÛÂÈ Ì Ì ÒÛÙÂ Î È appleôï appleïôî ÏÏ apple ÓÙ Â Ó È ÁÈ Ó Ú ÛÂÈ Ó Ì Â Ù È ÛÙÔÓ ÎfiÛÌÔ fiïô. È Ë È ÏÂÈÙÔ ÚÁ». ÙˆÓ Ì ıëì ÙÈÎÒÓ. «È Ó appleâ - lalina@tovima.gr ı ÓÔ Â Ó È apple ÓÙ appleï ÙÔ ÁÈ Ó ÙÔÓ Î ıô ËÁ ÛÂÈ Î È Ó ÙÔ ÂÍËÁ - ÛÂÈ appleò ÏÂÈÙÔ ÚÁ ÙÔ Î ıâù» Ï ÂÈ Ô Î. ª Ù. «Ùfi Â Ó È Ó ÏÏÔ ÛË- διαγωνισµός ιmaginary Εκφραστείτε δηµιουργικά µε τα µαθηµατικά Ì ÓÙÈÎfi ÛÙÔÈ Â Ô ÙË ÎıÂÛ Ì : «Το Βήµα» σε συνεργασία µε το Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach διοργανώνουν διαγωνισµό καλλιτεχνικής απεικόνισης Ë ÓıÚÒappleÈÓË Âapple Ê». αλγεβρικών επιφανειών. ηµιουργήστε τη δική σας εικόνα µε το ειδικό πρόγραµµα Surfer που θα βρείτε στην ιστοσελίδα της εφηµερίδας ÎıÂÛË Â Â ÙÂÚ ÛÙÈ ÂappleÈÙ www.tovima.gr. Στείλτε µας τη συµµετοχή σας ως τις 26 Σεπτεµβρίου 2010 και σας ευχόµαστε να κερδίσετε έναν από τους τρεις υπολογιστές Sony Vaio ή κουπόνια 100 ευρώ για βιβλία από τα Ελληνικά Γράµµατα. Î È ÓÙ applefiîúèûë, fi È ÌfiÓÔ ÛÙÔ ÁÂÚ- Ì ÓÈÎfi ÎÔÈÓfi ÏÏ Î È ÂÎÙfi ÙˆÓ Û - ΕΙΚΟΝΕΣ: ΧΕΡΒΙΧ ΧΑΟΥΖΕΡ

What is IMAGINARY?

interaction

creative interaction

creative interaction

participation Belgrade, 2011

open your eyes by Mehrdad Garousi

open your eyes by Torolf Sauermann

open your eyes Heidelberg, 2014

open your eyes NIMS-IMAGINARY exhibition design

community >130 exhibitions and events, >30 countries, >17 languages, > 1 million visitors

What is mathematics communication? exhibitions museums workshops street interventions media work information portals competitions mathematics and art, culture public talks theatre plays books & publications school projects campaigns comics personalities and...

CALL TO PARTICIPATE exhibitions, exhibits, platform open mathematics interaction, participation collaboration, community projects www.imaginary.org info@imaginary.org