ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ. ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΔΑΣΚΑΛΩΝ

Λεμονίδης, Χ., Παυλίδης, Α. (2003). Διδασκαλία και μάθηση της γραπτής διαίρεσης στο δημοτικό σχολείο. Συμπεριφορές μαθητών και απόψεις δασκάλων. Πρακτικά 3 ης Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών. Επιμέλεια Μ. Κούρκουλος, Κ. Τσανάκης, Γ. Τρούλης. Π.Τ.Δ.Ε. Ρεθύμνου, σελ. 58 66, ISBN 960 87898 0 X. ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ. ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΨΕΙΣ ΔΑΣΚΑΛΩΝ Λεμονίδης Χαράλαμπος Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας, 53100 Φλώρινα Παυλίδης Ανδρέας Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας, 53100 Φλώρινα. Περίληψη Είναι κοινή η διαπίστωση ότι η γραπτή διαίρεση δημιουργεί δυσκολίες στους μαθητές του Δημοτικού Σχολείου. Με την εργασία αυτή θέλουμε αφενός να διερευνήσουμε τις συμπεριφορές και επιδόσεις των μαθητών των τριών τελευταίων τάξεων Δημοτικού Σχολείου στην εκτέλεση της διαίρεσης και αφετέρου τις απόψεις των δασκάλων σχετικά με τη διδασκαλία της πράξης αυτής. Τα αποτελέσματα τις έρευνας αυτής δείχνουν ότι οι επιδόσεις των μαθητών στην εκτέλεση της διαίρεσης είναι χαμηλές. Με βάση τις συμπεριφορές των μαθητών μπορούμε να υποθέσουμε ότι πολλά σημεία της σημερινής διδασκαλίας, όπως είναι η πρόωρη εισαγωγή της γραπτής διαίρεσης και η έλλειψη προοδευτικής εξέλιξης της μάθησής της με βάση τους νοερούς υπολογισμούς, πιθανά να χρειάζονται αναθεώρηση. Η έρευνα στους δασκάλους δείχνει ότι αυτοί θεωρούν ως αιτίες, για τη χαμηλή επίδοση των μαθητών, σχεδόν αποκλειστικά, τις ελλιπείς γνώσεις των μαθητών και δε θέτουν σε αμφισβήτηση τον τρόπο διδασκαλίας. Μικρός είναι ο αριθμός των δασκάλων που στέκεται κριτικά στον τρόπο παρουσίασης από το διδακτικό βιβλίο και στη μέθοδο διδασκαλίας. TEACHING AND LEARNING OF WRITTEN DIVISION IN PRIMARY SCHOOL. STUDENTS BEHAVIORS AND TEACHERS PERCEPTIONS Lemonidis Charalampos Department of Primary Education of Florina, 53100 Florida Pavlidis Andreas Department of Primary Education of Florina, 53100 Florida Abstract It s common knowledge that written division is difficult for the students of Primary School. In that study we want to explore, on the one hand, the student s behaviors and progress at the last three grades of Primary School in excecusion of division and on the other hand, teacher s perceptions about teaching division. The results of this study indicate that student s progress in excecusion of division is low. Based on student s behaviors we can assume that many parts of today s teaching, like premature introduction of written division and the lack of progressive learning development based on mental calculations probably needs revision. The study on teachers shows that they consider as a cause for the low student s progress almost exclusively- the insufficient student s knowledge and no their own way of teaching. Just a few teachers criticize the presentation way of the schoolbook and the teaching method.

Ι. Εισαγωγή Στο Αναλυτικό Πρόγραμμα των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείου σημαντικό τμήμα καταλαμβάνει η διδασκαλία των αλγόριθμων των τεσσάρων πράξεων. Η κατανόηση και η ευχέρεια χειρισμού των διαδικασιών εκτέλεσης των αλγόριθμων από τη πλευρά των μαθητών, δίνει ένα γρήγορο και αποτελεσματικό εργαλείο για τους υπολογισμούς, ενώ ταυτόχρονα καθορίζει, σε μεγάλο βαθμό, τη θετική στάση των μαθητών απέναντι στα Μαθηματικά. Ο γραπτός αλγόριθμος της διαίρεσης (ευκλείδεια διαίρεση) θεωρείται ο πιο σύνθετος και ο πιο δύσκολος από τους υπόλοιπους αλγόριθμους. Είναι δύσκολος, γιατί εκτός από το ότι για την εκτέλεσή του απαιτούνται πολλά και σύνθετα βήματα, στα βήματα αυτά εμπλέκονται και οι υπόλοιπες τρεις πράξεις αλλά και οι διαιρέσεις. Οι διαιρέσεις αυτές είναι οι επιμέρους διαιρέσεις, οι οποίες εκτελούνται νοερά. Στην Ελλάδα, σύμφωνα με το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα του Δημοτικού, η διαίρεση πρωτοπαρουσιάζεται στο τέλος της Β τάξης, αμέσως μετά τη διδασκαλία της προπαίδειας, χωρίς να προηγηθεί κάποιο στάδιο προετοιμασίας για την πράξη αυτή με βάση τις προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών. Στην Α τάξη δεν γίνεται καμία αναφορά στην διαίρεση. Στην Γ' τάξη εισάγεται ο τυπικός αλγόριθμος της διαίρεσης, παρουσιάζονται στη σειρά και διαχωρίζονται διαφορετικές μεταξύ τους περιπτώσεις διαιρέσεων τριψήφιων δια μονοψήφιων (τέλειες ή ατελείς, με μικρό ή μεγάλο αριθμό της πρώτης δεκάδας για διαιρέτη, που χωράει ή όχι στο πρώτο ψηφίο του διαιρετέου, με το μηδέν ως ψηφίο του διαιρετέου ή του διαιρέτη). Ο τρόπος της διδασκαλίας για τη μάθηση του αλγορίθμου συνίσταται στο να επαναλαμβάνει ο μαθητής και να μαθαίνει κάθε φορά τα διαδοχικά βήματα του αλγορίθμου. Η διδασκαλία του αλγορίθμου γίνεται ξεκομμένα και φορμαλιστικά χωρίς να έχουν προετοιμαστεί κατάλληλα οι μαθητές με νοερές πράξεις ή άλλες οικείες καταστάσεις, με βάση τις οποίες να προσεγγίζουν τον αλγόριθμο. Πριν από τη διδασκαλία του αλγορίθμου προτάσσεται μόνο ένα μάθημα για τη διαίρεση διψήφιου αριθμού με μονοψήφιο χωρίς υπόλοιπο και ένα μάθημα με υπόλοιπο. Με βάση τις σύγχρονες έρευνες (L., Verschaffel, E., De Corte 1996, K., Gravemeijer, 1994, Barrody & Standifer, 1993, Χ. Λεμονίδης, 2002α) η διδασκαλία των αλγορίθμων τοποθετείται μέσα στα γενικότερα πλαίσια των αντιλήψεων για τη μαθηματική εκπαίδευση όπως είναι η κατασκευαστική λογική μιας αποτελεσματικής μάθησης. Με βάση αυτή τη λογική επανεξετάζεται το πότε και το πώς διδάσκονται οι αλγόριθμοι. Όσον αφορά το πότε, συζητείται ότι είναι απαραίτητη, πριν από την εισαγωγή των γραπτών αλγορίθμων, η επέκταση της εργασίας των μαθητών με εμπειρικές καταστάσεις και νοερούς υπολογισμούς (Χ. Λεμονίδης, 2002β). Να δώσουμε δηλαδή, στα παιδιά ευκαιρίες να κατασκευάσουν μια βαθύτερη κατανόηση από τις έννοιες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης, ένα πλούσιο ρεπερτόριο από έξυπνες και ευέλικτες στρατηγικές υπολογισμού, και εμπειρίες σχετικές με λύση προβλημάτων, που δίνουν νόημα στις πράξεις. Οι Barrody & Standifer, (1993), πιστεύουν ότι για τους παραπάνω λόγους είναι απαραίτητο να αναβληθεί η εισαγωγή των αλγορίθμων μέχρι την Γ ή ακόμη και την Δ τάξη. Οι μαθητές θα πρέπει να εμπλακούν ενεργά στην επινόηση των δικών τους αλγορίθμων για τις γραπτές πράξεις, αρχίζοντας από την γνώση τους σχετικά με την αξία θέσης των ψηφίων, τον πολλαπλασιασμό με το 10 και το 100, την ανάλυση των αριθμών και από τις δικές τους νοητικές υπολογιστικές και εκτιμητικές ικανότητες. Είναι φυσικό, η εφαρμογή μιας τέτοιας

«κατασκευαστικής προσέγγισης» σχετικά με τη μάθηση των αλγορίθμων, να απαιτεί αρκετό χρόνο. Ο χρόνος αυτός όμως, κερδίζεται από την εφαρμογή των αλγορίθμων, από το βάθεμα της κατανόησης και τη δημιουργία κινήτρων στα παιδιά, και από τη συμβολή στη γενική τους ικανότητα έρευνας και λύσης προβλήματος. Τα ευρήματα πολλών ερευνών (Sowder, J., & Wheeler, M. M. 1987, Hope, 1987, Sowder, J., 1992) δείχνουν ότι οι μαθητές οι οποίοι είναι καλοί στις εκτιμήσεις και τους νοερούς υπολογισμούς δεν μένουν προσκολλημένοι στους τυπικούς αλγόριθμους. Ανακαλύπτουν στα προβλήματα διαδικασίες τις οποίες δεν είχαν συναντήσει προηγουμένως και δουλεύουν προτού από την τυπική διδασκαλία για την κατασκευή της μαθηματικής γνώσης. Σύμφωνα, λοιπόν, με τα παραπάνω σύγχρονα ερευνητικά δεδομένα, μπορούμε να πούμε ότι σήμερα στην Ελλάδα, η διδασκαλία του τυπικού αλγορίθμου της διαίρεσης μπορεί να θεωρηθεί ότι γίνεται μέσα σε ένα παραδοσιακό πλαίσιο, το οποίο εισάγει πρόωρα και φορμαλιστικά τη διαίρεση. Ο αλγόριθμος δεν ανακαλύπτεται από τους μαθητές με βάση τις δικές τους άτυπες μεθόδους και ικανότητες, αλλά επιβάλλεται από έξω. Μπορούμε να πούμε μάλιστα ότι, εισάγεται σε μια χρονική στιγμή όπου οι μαθητές δεν έχουν ολοκληρώσει τη μάθηση, και δεν εκτελούν ακόμη με ευχέρεια άλλες προαπαιτούμενες για τη διαίρεση πράξεις, όπως είναι ο πολλαπλασιασμός και οι επιμέρους διαιρέσεις με υπόλοιπο και χωρίς υπόλοιπο. Παίρνοντας, λοιπόν, ως υπόθεση την παραδοσιακή λογική στη διδασκαλία του αλγορίθμου της διαίρεσης μάς γεννήθηκαν τα εξής ερωτήματα: Πόσο ξέρουν οι Έλληνες μαθητές τον αλγόριθμο της διαίρεσης; Ποια είναι τα λάθη που κάνουν; Ποιες είναι οι απόψεις των δασκάλων για τη διδασκαλία της διαίρεσης; Είναι ικανοποιημένοι από τα αποτελέσματα των μαθητών τους; Ποιες είναι οι προτάσεις τους για τη βελτίωση της σημερινής κατάστασης; Για να εξετάσουμε τις ικανότητες των μαθητών στην εκτέλεση των διαιρέσεων εξετάσαμε μαθητές της Δ, Ε και ΣΤ τάξης σε διαιρέσεις, οι οποίες αναφέρονται σε γνώσεις του επιπέδου των μαθητών στο τέλος της Γ τάξης. Το δείγμα των μαθητών της Δ τάξης εκπροσωπούσε αυτό το επίπεδο, επειδή ήταν στην αρχή της χρονιάς. Για να διερευνήσουμε τις απόψεις των δασκάλων για τη διδασκαλία της διαίρεσης εξετάσαμε 22 δασκάλους, οι περισσότεροι από τους οποίους ήταν δάσκαλοι των μαθητών του δείγματός μας. ΙΙ. Οι ικανότητες των μαθητών στην εκτέλεση των διαιρέσεων Μεθοδολογία έρευνας Το δείγμα της έρευνας ήταν μαθητές των Δ', Ε' και Στ' τάξεων από σχολεία πολυθέσια και ολιγοθέσια της πόλης και χωριών της επαρχίας Φλώρινας. Συνολικά συμμετείχαν 369 μαθητές (159 αγόρια και 210 κορίτσια), από τους οποίους 13 είναι μαθητές σε μονοθέσια σχολεία, 67 σε διθέσια, 28 σε τριθέσια και 261 σε εξαθέσια ή μεγαλύτερα σχολεία. 88 μαθητές ήταν από την Δ' Τάξη, 128 μαθητές από την Ε' Τάξη και 153 μαθητές από την Στ' τάξη. Ζητήσαμε από τους μαθητές να λύσουν ένα σύνολο από δεκαοκτώ διαιρέσεις (18) οι οποίες διδάσκονται στην Γ' τάξη σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα και το βιβλίο του μαθητή. Ο χρόνος που δόθηκε ήταν είκοσι λεπτά και η εργασία του κάθε μαθητή ήταν ατομική. Η επεξεργασία των αποτελεσμάτων έγινε με το Στατιστικό Πακέτο SPSS 10.

Κριτήρια σύνταξης του ερωτηματολογίου Στις 18 διαιρέσεις που τέθηκαν στους μαθητές συμπεριλαμβάνονται 9 διαιρέσεις που δίνονται σε οριζόντια μορφή και 9 που δίνονται με τις κάθετες γραμμές του γραπτού αλγόριθμου (ευκλείδειες διαιρέσεις). Δεν έγινε καμία υπόδειξη στους μαθητές σχετικά με τον τρόπο εκτέλεσης των διαιρέσεων. Οι δύο βασικές μεταβλητές, λοιπόν, που έχουμε στο ερωτηματολόγιό μας είναι οι εξής: 1 η μεταβλητή:. Οριζόντιες διαιρέσεις,, 2 η μεταβλητή: Γραπτός αλγόριθμος. Οριζόντιες διαιρέσεις Οι εννιά οριζόντιες διαιρέσεις μπορεί να χωριστούν στις εξής τρεις ομάδες: Α) Τέσσερις διαιρέσεις (32:8, 54:6, 81:9, 80:10), οι οποίες είναι αντίστροφες πράξεις πολλαπλασιασμών που συμπεριλαμβάνονται στους πίνακες της προπαίδειας. Οι διαιρέσεις αυτές, λοιπόν, συγκροτούν μια τρίτη μεταβλητή. 3 η μεταβλητή. Διαιρέσεις που είναι αντίστροφες πράξεις πολλαπλασιασμών από τους πίνακες της προπαίδειας. Β) Δύο τέλειες διαιρέσεις (77:7 και 30:15), οι οποίες δεν συμπεριλαμβάνονται στους πίνακες της προπαίδειας. 4 η μεταβλητή. Τέλειες διαιρέσεις που δεν συμπεριλαμβάνονται στους πίνακες της προπαίδειας. Γ) Τρεις ατελείς διαιρέσεις διψήφιου με μονοψήφιο (37:4, 58:7 και 75:9). 5 η μεταβλητή. Ατελείς διαιρέσεις διψήφιου με μονοψήφιο. Οι τρεις αυτές διαιρέσεις αντικειμενικά είναι δυσκολότερες από τις προηγούμενες, αφού θα πρέπει να υπολογιστεί τόσο το πηλίκο όσο και το υπόλοιπο. Γραπτός αλγόριθμος της διαίρεσης Οι εννιά ευκλείδειες διαιρέσεις μπορεί να χωριστούν σε δύο ομάδες: Δ) Τέσσερις διαιρέσεις (96:3, 250:5 900:3, και 480:6), που μπορούν να λυθούν είτε νοερά, είτε με τη διαδικασία του αλγόριθμου. 6 η μεταβλητή. Διαιρέσεις που μπορεί να λυθούν είτε νοερά, είτε με τον γραπτό αλγόριθμο. Ε) Πέντε διαιρέσεις (65:4, 511:7, 438:9, 706:4 και 539:8), που λύνονται με τη διαδικασία του αλγόριθμου. 7 η μεταβλητή: Διαιρέσεις που λύνονται με τον αλγόριθμο. Απαντήσεις των μαθητών στις διαιρέσεις Οριζόντιες διαιρέσεις Στον πίνακα 1 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα στις οριζόντιες διαιρέσεις ανά τάξη: Πίνακας 1. Επιτυχία στις οριζόντιες διαιρέσεις ανά τάξη 80:10 32:8 81:9 54:6 30:15 77:7 37:4 58:7 75:9 Α+Β+Γ Α Β Γ Δ' 83 81 81 69 75 59 8 8 8 6 Τάξη 94,3% 92% 92% 78,4% 85,2% 67% 9,1% 9,1% 9,1% 6,8% Ν=88 69,3%* 71,6%* 73,9%* 56,8%*

Ε' 121 124 122 114 116 109 63 77 72 55 Τάξη 94,5% 96,9% 95,3% 89,1% 90,6% 85,2 % 49,2% 60,2% 56,3% 43% Ν=12 67,2%* 86%* 77,4%* 58,6%* 8 Στ' 137 147 147 136 140 136 81 75 89 58 Τάξη 89,5% 96,1% 96,1% 88,9% 91,5% 88,9% 52,9% 49% 58,2% 37,9% Ν=15 66,6%* 71,2%* 73,9%* 52,9%* 3 * Τα ποσοστά επιτυχιών στις περιπτώσεις που απαντήθηκαν σωστά ως προς το πηλίκο μόνο, χωρίς να αποδοθεί το υπόλοιπο. Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι, οι διαιρέσεις με υπόλοιπο (37:4, 58:7 και 75:9) είναι δυσκολότερες σε όλες τις τάξεις από τις υπόλοιπες διαιρέσεις. Η επιτυχία στις διαιρέσεις αυτές στις δύο τελευταίες τάξεις κυμαίνεται από 50% έως 60%. Αν παρατηρήσουμε την επιτυχία των μαθητών και στις τρεις διαιρέσεις (στήλη Α+Β+Γ) διαπιστώνουμε ότι τα ποσοστά επιτυχίας πέφτουν στο 40%. Δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι ένα 40% των μαθητών της Ε και Στ τάξης του δημοτικού ξέρουν να εκτελούν με επιτυχία τη διαίρεση διψήφιου με μονοψήφιο. Η επιτυχία στις πράξεις αυτές φαίνεται πολύ χαμηλή (9,1%) στην Δ τάξη. Αν όμως θεωρήσουμε την επιτυχία μόνο ως προς το πηλίκο (ποσοστά με αστερίσκο στον πίνακα) τότε παρατηρούμε ότι, η επιτυχία των μαθητών της Δ τάξης στο να βρίσκουν το πηλίκο δεν διαφέρει από αυτή των μαθητών των δύο τελευταίων τάξεων. Ίσως οι μαθητές της Δ τάξης δεν είναι συνηθισμένοι στο να δίνουν σημασία στο πηλίκο και δεν το γράφουν στις απαντήσεις τους στο ερωτηματολόγιο. Αν επιπλέον παρατηρήσουμε τη συνολική επιτυχία (Α+Β+Γ) μόνο ως προς το πηλίκο διαπιστώνουμε ότι και στις τρεις τάξεις τα ποσοστά κυμαίνονται σχεδόν στο ίδιο επίπεδο (53-59%). Σε όλες σχεδόν τις τάξεις, από τις τέσσερις διαιρέσεις -των οποίων οι αντίστροφες πράξεις περιλαμβάνονται στον πίνακα της προπαίδειας (80:10, 32:8, 81:9 και 54:6)- δυσκολότερη είναι η τέταρτη (54:6). Δηλαδή, αυτή που αντιστοιχεί σε ένα γινόμενο μεγάλου αριθμού (6Χ9), χωρίς να είναι κάποια ειδική μορφή (γινόμενο του 10 ή διπλό γινόμενο). Εξαίρεση αποτελεί η διαίρεση (80:10) στην Στ τάξη που βρίσκεται στην ίδια δυσκολία με την τέταρτη διαίρεση (54:6). Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι σε όλες τις τάξεις εύκολες διαιρέσεις αποτελούν οι διαιρέσεις με το δέκα (80:10), οι διαιρέσεις των διπλών (81:9) και οι διαιρέσεις με μικρά πηλίκα (32:8). Αντίθετα, δυσκολότερη διαίρεση είναι η διαίρεση με μεγαλύτερο πηλίκο (54:6). Στη Δ τάξη η διαίρεση 77:7, η οποία δίνει πηλίκο 11, είναι στατιστικά η δυσκολότερη απ όλες τις άλλες. Η διαίρεση αυτή συγκεντρώνει το μικρότερο ποσοστό επιτυχίας σε σχέση με τις άλλες 5 τέλειες διαιρέσεις και στις τάξεις Ε και Στ. Η διαίρεση 30:15, ενώ είναι η αντίστροφη της 15Χ2=30 το οποίο είναι ένα διπλό γινόμενο, δεν είναι εύκολη διαίρεση σε όλες τις τάξεις. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι οι διαιρέσεις 77:7 και 30:15, ενώ είναι εύκολες, έχουν μικρότερα ποσοστά επιτυχίας από τις διαιρέσεις που αντιστοιχούν σε εύκολα γινόμενα του πίνακα της προπαίδειας. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι παρόλο ότι οι διαιρέσεις ήταν γραμμένες σε οριζόντια μορφή 31 μαθητές (8,5 %) επέλεξαν τη μορφή του τυπικού αλγόριθμου για να τις εκτελέσουν.

Αλγόριθμος της διαίρεσης Στον πίνακα 2 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα ανά τάξη στις διαιρέσεις που δόθηκαν με τη μορφή του γραπτού αλγόριθμου: Πίνακας 2. Επιτυχία στις αλγοριθμικές διαιρέσεις ανά τάξη 900:3 250:5 480:6 96:3 65:4 511:7 438:9 706:4 539:8 Δ' 56 65 53 76 52 45 38 38 35 Τάξη 63,6% 73,9% 60,2% 86,4% 59,1% 51,1% 43,2% 43,2% 39,8% Ν=88 Ε' 111 110 92 117 90 82 75 75 74 Τάξη 86,7% 85,9% 79,7% 91,4% 70,3% 64,1% 58,6% 58,6% 57,8% Ν=128 17,2%* 11,7%* 16,4%* 12,5%* Στ' 137 144 129 148 115 123 90 91 88 Τάξη 89,5% 94,1% 84,3% 96,7% 66,7% 80,4% 58,8% 59,5% 57,5% Ν=153 34%* 24,8%* 32,7%* 24,8%* * Τα ποσοστά πλήρους επιτυχίας, δηλαδή στο πηλίκο αναγράφεται και το δεκαδικό του μέρος. Στον παραπάνω πίνακα, στις διαιρέσεις 65:4, 438:9, 706:4 και 539:8 παρουσιάζουμε ως επιτυχία τις απαντήσεις που έχουν σωστό το ακέραιο μέρος του πηλίκου. Δηλαδή δεν ενδιαφερόμαστε για το αν αποδίδουν το υπόλοιπο της διαίρεσης ως δεκαδικό μέρος. Τα ποσοστά των μαθητών που αποδίδουν σωστά και το υπόλοιπο της διαίρεσης ως δεκαδικό μέρος του πηλίκου δηλαδή έχουν πλήρη επιτυχία, σημειώνονται με αστερίσκο στον πίνακα. Τέτοια ποσοστά πλήρους επιτυχία δεν αναγράφονται για τους μαθητές της Δ τάξης επειδή η εύρεση του δεκαδικού μέρους στο πηλίκο είναι εκτός της διδακτέας ύλης. Σε όλες τις διαιρέσεις φαίνεται η διαφορά ανάμεσα στην Δ τάξη και τις υπόλοιπες τάξεις. Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι, οι διαιρέσεις που λύνονται με τη διαδικασία του αλγόριθμου είναι δυσκολότερες από αυτές που μπορούν να λυθούν και νοερά (6 η μεταβλητή). Σε όλες τις τάξεις, από τις διαιρέσεις που λύνονται και νοερά, ευκολότερη είναι η διαίρεση 96:3. Από τις υπόλοιπες τρεις διαιρέσεις 900:3, 250:5 και 480:6, πιο εύκολη είναι η δεύτερη και πιο δύσκολη η τρίτη (πηλίκο 8 είναι από τα μεγάλα στις στήλες του πίνακα της προπαίδειας). Στη διαίρεση 900:3, τα δύο μηδενικά στο διαιρετέο δημιουργούν μάλλον πρόσθετη δυσκολία από ότι στη διαίρεση 250:5. Στις δύο διαιρέσεις 96:3 και 65:4, η δεύτερη είναι στατιστικά πιο δύσκολη από την πρώτη για όλες τις τάξεις. Πιθανή εξήγηση είναι ότι, στη δεύτερη διαίρεση υπάρχει υπόλοιπο. Από τις διαιρέσεις που λύνονται με τη διαδικασία του αλγόριθμου (7 η μεταβλητή), οι τέσσερις τελευταίες διαιρέσεις (511:7, 438:9, 706:4 και 539:8) είναι δυσκολότερες από τη διαίρεση 65:4. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι, για τη διαίρεση 65:4 απαιτούνται λιγότερα βήματα απ ότι στις άλλες τέσσερις. Στις διαιρέσεις 511:7, 438:9, 706:4 και 539:8 τα αποτελέσματα είναι περίπου τα ίδια για όλες τις τάξεις. Εξαίρεση παρουσιάζεται στην Στ τάξη, όπου οι μαθητές στη διαίρεση 511:7 απαντούν σωστά με πολύ υψηλή στατιστικά διαφορά απ ότι στις άλλες τρεις διαιρέσεις.

Όσον αφορά την πλήρη επιτυχία (ποσοστά στον πίνακα με αστερίσκο) στις διαιρέσεις 65:4, 438:9, 706:4 και 539:8 για τους μαθητές της Ε και Στ τάξης παρατηρούμε ότι οι μαθητές της Στ τάξης πετυχαίνουν με ποσοστά στατιστικά σημαντικά μεγαλύτερα από αυτούς της Ε τάξης. Αυτό σημαίνει δηλαδή ότι οι μαθητές της Στ γνωρίζουν καλύτερα από τους μαθητές της Ε να βρίσκουν και να αποδίδουν το δεκαδικό μέρος του πηλίκου. Συμπεράσματα από τις συμπεριφορές των μαθητών στην εκτέλεση των διαιρέσεων Σύμφωνα με τα παραπάνω δεδομένα, οι μαθητές της Δ τάξης, όταν πρόκειται για εύκολες οριζόντιες διαιρέσεις που είναι αντίστροφες πράξεις εύκολων γινομένων της προπαίδειας, πετυχαίνουν σε υψηλά ποσοστά (γύρω στα 90%). Όταν όμως, οι πράξεις αυτές γίνονται δυσκολότερες, όπως η 54:6, η επιτυχία μειώνεται (78,5%) και μειώνεται ακόμη περισσότερο (67%) σε οριζόντιες διαιρέσεις, οι οποίες φαίνονται a priori εύκολες και δεν συμπεριλαμβάνονται στον πίνακα της προπαίδειας, όπως είναι η 77:7. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι οι μαθητές της Δ τάξης έχουν βασικές ελλείψεις σε εύκολες και απλές διαιρέσεις, οι οποίες είναι προαπαιτούμενες για την εκτέλεση του τυπικού αλγορίθμου της διαίρεσης. Πολύ χαμηλή (9,1%) είναι η επίδοση των μαθητών της Δ τάξης στις επιμέρους διαιρέσεις με υπόλοιπο (37:4, 58:7 και 75:9). Χαμηλή είναι όμως, (50%, 60%) στις διαιρέσεις αυτές και η επιτυχία των μαθητών της Ε και ΣΤ τάξης. Ωστόσο, αν αναλογιστούμε ότι, οι απλές αυτές διαιρέσεις με υπόλοιπο είναι προαπαιτούμενες γνώσεις για την εκτέλεση του τυπικού αλγορίθμου μπορούμε να συμπεράνουμε ότι, οι μαθητές όλων των τάξεων του Δημοτικού Σχολείου έχουν βασικές ελλείψεις στις προαπαιτούμενες ικανότητες για τον αλγόριθμο τη διαίρεσης. Εξάλλου, το ότι οι μαθητές του δείγματος δεν διαθέτουν τις απαραίτητες ικανότητες για την εκτέλεση του γραπτού αλγορίθμου φαίνεται από τις επιδόσεις τους στους αλγορίθμους αυτούς. Οι μαθητές της Δ τάξης σημειώνουν πολύ χαμηλές επιδόσεις στην εκτέλεση των αλγορίθμων της διαίρεσης. Χαμηλή είναι όμως, και η επίδοση των μαθητών της Ε και ΣΤ τάξης. Έτσι, λοιπόν, σε διαιρέσεις, όπως η 480:6, η οποία θα μπορούσε να λυθεί νοερά ή να αποτελεί ένα βήμα του αλγορίθμου, οι μαθητές της Δ τάξης πετυχαίνουν κατά 60%, ενώ οι μαθητές της Ε και ΣΤ τάξης πετυχαίνουν γύρω στο 80%. Σε μια απλή διαίρεση διψήφιου με μονοψήφιο με υπόλοιπο, όπως η 65:4, στην οποία απαιτούνται δύο βήματα για την εκτέλεση του αλγορίθμου, οι μαθητές της Δ τάξης πετυχαίνουν κατά 59%, ενώ οι μαθητές της Ε και ΣΤ πετυχαίνουν γύρω στο 70%. Τέλος, δυσκολότερη ερώτηση του ερωτηματολόγιου ήταν η 539:8, η οποία αφήνει υπόλοιπο, και απαιτούνται δύο μόνο βήματα, αλλά με επιμέρους διαιρέσεις με μεγάλους αριθμούς. Αυτή τη διαίρεση πετυχαίνουν να τη λύσουν μόλις το 40% των μαθητών της Δ τάξης και το 58% των μαθητών της Ε και ΣΤ τάξης. ΙΙΙ. Οι απόψεις των δασκάλων για τη διδασκαλία της διαίρεσης Μεθοδολογία έρευνας Το δεύτερο μέρος της εμπειρικής μας έρευνας αναφέρεται στις απόψεις των δασκάλων σχετικά με τη διδασκαλία της διαίρεσης και την ερμηνεία των συμπεριφορών των μαθητών στην εκτέλεση των διαιρέσεων. Οι δάσκαλοι εξετάστηκαν με προσωπικές συνεντεύξεις, οι οποίες διαρκούσαν

από δεκαπέντε έως εικοσιπέντε λεπτά της ώρας. Οι συνεντεύξεις καταγράφηκαν σε μαγνητόφωνο και στη συνέχεια αναλύθηκαν με τη μέθοδο της ανάλυσης περιεχομένου. Το περιεχόμενο των ερωτήσεων και η διαδικασία ήταν οργανωμένα εκ των προτέρων (ημι-δομημένη συνέντευξη). Από τους δασκάλους που παραχώρησαν συνέντευξη όλοι είναι εν ενεργεία εκπαιδευτικοί. 10 δάσκαλοι υπηρετούσαν σε ολιγοθέσια (μονοθέσια, διθέσια και τριθέσια) και 12 και σε πολυθέσια (τετραθέσια και πάνω). Στις 13 περιπτώσεις είχε προηγηθεί η συμπλήρωση του ερωτηματολόγιου από τους μαθητές των τάξεών τους. Ο μέσος όρος των χρόνων προϋπηρεσίας των δασκάλων του δείγματος μας ήταν 15 χρόνια. Μπορούμε να ισχυριστούμε, λοιπόν, ότι οι δάσκαλοι που εξετάσαμε είχαν αρκετά μεγάλη διδακτική εμπειρία. Αξιολόγηση της δυσκολίας των μαθητών, της τρίτης τάξης, για την διαίρεση και αιτιολόγηση της δυσκολίας αυτής Στην ερώτηση: «Οι μαθητές της Γ' τάξης δυσκολεύονται να λύσουν ασκήσεις διαίρεσης, και αν ναι, πού οφείλεται;» οι τέσσερις από τους 22 δασκάλους (18 %) θεωρούν ότι οι μαθητές δεν αντιμετωπίζουν προβλήματα. Οι υπόλοιποι 18 (82%) που θεωρούν ότι οι μαθητές αντιμετωπίζουν δυσκολίες στη διαίρεση τις αποδίδουν στις εξής αιτίες: στην ωριμότητα των μαθητών (7 απαντήσεις), στην ανεπαρκή γνώση από τους μαθητές του πίνακα της προπαίδειας (5 απαντήσεις), στην αποτελεσματικότητα των δασκάλων στις προηγούμενες τάξεις (4 απαντήσεις), στον τρόπο που παρουσιάζεται από το βιβλίο (3 απαντήσεις) και στη δυσκολία της διαίρεσης ως πράξη (2 απαντήσεις). Δύο δάσκαλοι απάντησαν ότι δεν ξέρουν την αιτία του προβλήματος. Εκτίμηση των δασκάλων για τα λάθη των μαθητών Στην ερώτηση: «Οι μαθητές όλων των τάξεων στο Δημοτικό Σχολείο κάνουν λάθη κατά τη λύση ασκήσεων διαίρεσης και αν ναι ποια είναι τα λάθη αυτά;» όλοι οι δάσκαλοι απαντούν ότι κάνουν διάφορα λάθη. Οι τρεις (14%) απάντησαν ότι αντιμετωπίζουν γενικά δυσκολίες, ενώ οι υπόλοιποι 19 (86%) ανέφεραν συγκεκριμένα λάθη: στη διαδικασία της πράξης (12 απαντήσεις), εξαιτίας του ότι διδάσκονται και τους δύο τρόπους διαίρεσης αναλυτικό και σύντομο,(3 απαντήσεις), στον πολλαπλασιασμό λόγω ελλιπούς γνώσης της προπαίδειας (9 απαντήσεις), όταν περιέχεται το μηδέν στους αριθμούς (5 απαντήσεις), στις διαιρέσεις με δεκαδικούς αριθμούς (7 απαντήσεις), στο πότε να επιλέξουν την πράξη σε πρόβλημα (6 απαντήσεις), σε πράξεις με μεγάλους αριθμούς (4 απαντήσεις), στην αφαίρεση (3 απαντήσεις), στο δεκαδικό σύστημα θέσης (2 απαντήσεις). Ερμηνεία των αιτίων των λαθών που κάνουν οι μαθητές

Ως προς τις αιτίες εξαιτίας των οποίων κάνουν λάθη οι μαθητές στις διαιρέσεις, οι δάσκαλοι αποδίδουν την ευθύνη στον ίδιο το μαθητή, στον τρόπο που παρουσιάζεται η διαίρεση στο βιβλίο ή στον προηγούμενο δάσκαλο των μαθητών τους ή σε συνδυασμούς των παραπάνω. Στις περισσότερες περιπτώσεις (20 από τις 22 απαντήσεις που δόθηκαν) αποδίδουν την αιτία στο μαθητή (27 αναφορές σε κάποια από τις ακόλουθες αιτίες ή σε συνδυασμό αυτών: 9-μη επαρκής γνώση της προπαίδειας, 3-ελλιπής προετοιμασία, 8-ωριμότητα, 4-οικογενειακό περιβάλλον, βιασύνη, 2-προηγούμενη εμπειρία). Κάποιοι αποδίδουν την ευθύνη και στο βιβλίο (6 απαντήσεις: απάντηση πολλή ύλη, προχειρότητα, πολλοί τρόποι παρουσίασης, -2- μη κατανοητή ύλη, λίγα μαθήματα στη διαίρεση, όχι ευχάριστα) και κάποιοι άλλοι και στο δάσκαλο που είχαν οι μαθητές στην προηγούμενη τάξη (5 απαντήσεις για τον τρόπο διδασκαλίας, 1 απάντηση για αδιαφορία). Μόνο δύο δάσκαλοι αποδίδουν την αιτία ως συνδυασμό στο βιβλίο του μαθητή και στον τρόπο διδασκαλίας του δασκάλου της τάξης και όχι στον ίδιο το μαθητή. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα αίτια που πηγάζουν από το μαθητή κατά την εκτίμηση των δασκάλων και η συχνότητα της αναφοράς. Πίνακας 3 Αίτια Συχνότητα Ποσοστό γνώση της προπαίδειας 9 33,3 ελλιπής προετοιμασία 3 11,1 ωριμότητα 8 29,6 οικογενειακό περιβάλλον 4 14,8 βιασύνη 1 3,7 προηγούμενη εμπειρία 2 7,4 Σύνολο 27 100,0 Πρακτικές των δασκάλων για την αντιμετώπιση των λαθών Στην ερώτηση: «Χρησιμοποιούν οι δάσκαλοι και αν ναι, ποιους τρόπους για να αντιμετωπίσουν τα λάθη των μαθητών που παρουσιάζονται κατά τη διδασκαλία;» από τους 15 δασκάλους, οι 14 κάνουν επαναλήψεις εξασκώντας τους μαθητές τους σε ασκήσεις διαίρεσης (12 απαντήσεις), και επαναλαμβάνουν τα βήματα του αλγόριθμου (10 απαντήσεις), επιμένοντας στη μάθηση του πίνακα της προπαίδειας (10 απαντήσεις), και επισημαίνοντας την αντίστροφη σχέση πολλαπλασιασμού και διαίρεσης (5 απαντήσεις). Κάποιοι αναρτούν τον πολλαπλασιαστικό πίνακα σε εμφανές σημείο της αίθουσας διδασκαλίας, όπου μπορούν να ανατρέχουν οι μαθητές όταν ψάχνουν να βρουν το αντίστοιχο γινόμενο για να κάνουν την πράξη, ή έχουν ανοιχτά τα βιβλία και τον συμβουλεύονται (2 απαντήσεις). Ένας δάσκαλος έχει δώσει υπολογιστή τσέπης σε μαθητή για να υπολογίζει τα αποτελέσματα κάθε φορά. Δύο δάσκαλοι απάντησαν ότι προσπαθούν να αναλύσουν όσο γίνεται περισσότερο τη σημασία της πράξης μέσα σε καθημερινά προβλήματα. Αρκετοί ακολουθούν δικό τους πρόγραμμα (6 απαντήσεις, περίπου το 30%) στη διδασκαλία δίνοντας οδηγίες εκτός βιβλίου για τον τρόπο λύσης των ασκήσεων και ζητώντας τη συνεργασία της οικογένειας (4 απαντήσεις). Τέσσερις δάσκαλοι είναι επιφυλακτικοί, εξαιτίας του ελέγχου από

το σύμβουλο, στο να παραμείνουν περισσότερο χρόνο απ' όσον προβλέπεται, ακόμη και αν δεν κατακτήσουν τους στόχους διδασκαλίας. Ένας δηλώνει ότι δεν ξέρει τι τρόπο να χρησιμοποιήσει για να βοηθήσει τους μαθητές του. Συζήτηση για τα αποτελέσματα από τις συνεντεύξεις των δασκάλων Αν και οι περισσότεροι δάσκαλοι θεωρούν ότι η διαίρεση είναι η πιο δύσκολη πράξη, ότι το βιβλίο δεν είναι το καταλληλότερο για τη διδασκαλία της πράξης δημιουργώντας πολλές φορές σύγχυση στους μαθητές, ότι οι μαθητές κάνουν συγκεκριμένα λάθη όταν λύνουν ασκήσεις διαίρεσης, παρόλα αυτά, θεωρούν κατά κανόνα τον ίδιο το μαθητή ως κύριο υπεύθυνο αυτής της κατάστασης. Μολονότι δεν είναι ικανοποιημένοι από τον τρόπο του βιβλίου, ακολουθούν κατά γράμμα τις οδηγίες του, και ελάχιστοι μόνο ( κυρίως εκείνοι που διδάσκουν σε μικρά σχολεία, μονοθέσια - διθέσια) χαράσσουν δική τους στρατηγική για την επίτευξη των στόχων τους. Συνήθως δεν μοιράζονται τις εμπειρίες τους με τους άλλους συναδέλφους τους. Έτσι, κάθε δάσκαλος αντιμετωπίζει μόνος του τα προβλήματα που παρουσιάζονται. Θεωρούν ότι υπάρχει μόνο ένας αλγόριθμος για την κάθε πράξη, με αποτέλεσμα τέτοιες απόψεις να γίνονται και απόψεις των μαθητών τους (Rondolph A. Philipp, 1996). Υιοθετούν την επανάληψη των βημάτων του αλγόριθμου, καθώς και την επιμονή στην από στήθους εκμάθηση του πίνακα της προπαίδειας, ως κυρίαρχο τρόπο αντιμετώπισης και λύσης των ποικίλων προβλημάτων των μαθητών τους (Swee Fong Ng, 1999). Κανείς δεν αναφέρει εναλλακτικούς αλγοριθμικούς τρόπους, ούτε και τη χρησιμοποίηση των γνώσεων, που πιθανόν έχουν οι μαθητές, τόσο μέσα από τη σχολική τους ζωή, όσο και από την εξωσχολική. Ωστόσο, διάφοροι πολιτισμοί έχουν χρησιμοποιήσει ιστορικά διαφορετικούς αλγόριθμους, αλλά και στη σύγχρονη εποχή σε διαφορετικά κράτη χρησιμοποιούνται διαφορετικοί αλγόριθμοι (Rondolph A. Philipp, 1996). Πολλοί είναι εγκλωβισμένοι στον όγκο της ύλης που θεωρούν ότι πρέπει να ολοκληρώσουν, και νιώθουν αδύναμοι προς τον έλεγχο από τα διοικητικά στελέχη της εκπαίδευσης στην περίπτωση που δεν το πετύχουν. Έτσι, παρόλο που κάποιες φορές διαπιστώνουν ότι δεν επιτεύχθηκαν οι στόχοι που επιδιώκονται, ή ότι οι μαθητές τους έχουν δυσαναπλήρωτα κενά από γνώσεις που είναι απαραίτητες για τη συνέχεια, συνεχίζουν τη διδασκαλία σε επόμενες ενότητες αφήνοντας τα κενά και ελπίζοντας ότι θα βρουν στο μέλλον ευκαιρίες για να επανέλθουν και να τα επεξεργαστούν καλύτερα. ΙV. Συμπεράσματα Σήμερα στην Ελλάδα η διδασκαλία του αλγορίθμου της διαίρεσης πραγματοποιείται μέσα σε ένα παραδοσιακό πλαίσιο, το οποίο υστερεί κατά πολύ από τις σύγχρονες λογικές διδασκαλίας, αγνοώντας τα ευρήματα των πρόσφατων ερευνών στη διδακτική των μαθηματικών. Μια τέτοια διδασκαλία συνεπάγεται μη ικανοποιητικές επιδόσεις από πλευράς των μαθητών. Οι επιδόσεις των μαθητών είναι χαμηλές στην εκτέλεση του αλγορίθμου της διαίρεσης, τόσο στην Δ τάξη όσο και στην Ε και ΣΤ τάξη. Φαίνεται ότι, οι μαθητές αυτοί είναι ανερμάτιστοι όσον αφορά την ικανότητα εκτέλεσης των επιμέρους πράξεων της διαίρεσης. Βελτιωτική κίνηση αυτής της κατάστασης θα μπορούσε να αποτελέσει η επιμήκυνση της περιόδου για την εισαγωγή της πράξης, αλλά και η εξάσκηση των μαθητών σε νοερές διαιρέσεις και η χρήση των άτυπων

στρατηγικών και μεθόδων των μαθητών στην εκτέλεση της διαίρεσης. Ο αλγόριθμος θα πρέπει να αποτελεί ένα καταληκτικό στάδιο, στο οποίο θα φτάνουν οι μαθητές μέσα από μια πορεία δοκιμής των δικών τους πολυποίκιλων μεθόδων. Όσον αφορά τις απόψεις των δασκάλων για τη διδασκαλία της διαίρεσης μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι, οι δάσκαλοι δεν είναι ευχαριστημένοι με αυτήν την κατάσταση. Βλέπουν και επισημαίνουν, σε ένα βαθμό, τις αδυναμίες των μαθητών τους σε επιμέρους σημεία. Οι προτάσεις που κάνουν οι περισσότεροι δάσκαλοι για τη βελτίωση της κατάστασης αντανακλούν, επίσης, τη λογική της παραδοσιακής αντίληψης για τη διδασκαλία. Προτείνουν, δηλαδή, περισσότερη επανάληψη και εξάσκηση της προπαίδειας και του αλγορίθμου ή μιλούν γενικά για ωριμότητα στους μαθητές Βέβαια, οι απόψεις αυτές των δασκάλων, μπορούμε να πούμε ότι είναι κατά κάποιο τρόπο αναμενόμενες, γιατί βιώνουν μέσα σε αυτό το σύστημα και χρησιμοποιούν βιβλία και προγράμματα με αυτή τη λογική. Επιπλέον, δεν είναι δουλειά του δασκάλου να εμπνευστεί και να προτείνει ένα άλλο πρόγραμμα διδασκαλίας με διαφορετική λογική από τη σημερινή. Οι απόψεις όμως, των δασκάλων δείχνουν ότι, οποιαδήποτε καινούργια πρόταση διδασκαλίας θα πρέπει να προβλέπει και να ξεκινά από την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Baroody, A., & Standifer, D.J., (1993). Addition and Subtraction in the Primary Grades. In R. J. Jensen (ed.) Research Ideas for the Classroom. Early Childhood Mathematics, Macmillan, New York, 72-102. Gravemeijer, K.P.E, (1994). Developing Realistic Mathematics Education, Fredenthal Institute, University of Utrecht, Netherlands. Hope, J. A. (1987). A case study of a highly skilled mental calculator. Journal for Research in Mathematics Education, 18, 331-342. Λεμονίδης, Χ., (2002α). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας στα Μαθηματικά για τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Themes in Education. Τεύχος 3. Λεμονίδης, Χ. (2002β). Η εισαγωγή των πράξεων του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης στο Δημοτικό. Μια πειραματική εφαρμογή. (υπό δημοσίευση). Rondolph A. Philipp (1996). Multicultural Mathematics and Alternative Algorithms, Teaching Children Mathematics τευχ.3 σελ. 28-33 Sowder, J., & Wheeler, M. M. (1987). The development of computational estimation and number sense: Two exploratory studies (Research report). San Diego, CA: San Diego State University Center foe Research in Mathematics and Science Education. Sowder, J., (1992). Estimation and number sense. In Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Edited by D. Grouws. NCTM, pp. 371-389. Swee Fong Ng (1999). Learning Long Division Relationally: It's Never Too Late, Mathematics in School τεύχ. 28 Νο 4 σελ. 8-9. Verschaffel Lieven, De Corte Erik, (1996). Number and Arithmetic. In A., Bishop et al. (eds), International Handbook of Mathematics Education. Kluwer Academic Publishers, pp. 99-137.