Ένας σωλήνας σχήµατος αντεστραµµένου Π περιέχει υγρό πυκνότητας ρ, το δε οριζόντιο τµήµα του έχει µήκος L.

Ένας σωλήνας σχήµατος αντεστραµµένου Π περιέχει υγρό πυκνότητας ρ, το δε οριζόντιο τµήµα του έχει µήκος L. i) Eάν ο σωλήνας επιταχύνεται οριζόντια επί δαπέδου µε επιτάχυνση a, να βρεθεί η υψοµετρική διαφορά της στάθµης του υγρού στα δύο κατακόρυφα σκέλη του σωλήνα. ii) Εάν η ατµοσφαιρική πίεση είναι P α και το ύψος του υγρού στα κατακόρυφα σκέλη του σωλήνα όταν αυτός ηρεµεί είναι h 0, να βρεθεί η πίεση του µέσου Μ του οριζόντιου τµήµατος του σωλήνα, όταν αυτός επιταχύνεται. iii) Να δείξετε ότι οι πιέσεις στις άκρες του οριζόντιου τµήµατος του σωλήνα υπολογίζονται ως υδροστατικές πιέσεις. ΛΥΣΗ: i) H ελεύθερη επιφάνεια του υγρού στα δύο σκέλη του σωλήνα απο τελεί ισοθλιπτική επιφάνεια πιέσεως ίσης προς την ατµοσφαιρική πίεση P α, η οποία είναι επίπεδο κάθετο προς τον φορέα (ε) της συνισταµένης των διανυσ µάτων - a και g (σχ. 1). Εάν z 1, z 2 είναι τα ύψη του υγρού στα δύο σκέλη του σωλήνα, από την Γεωµετρία του σχήµατος (1) προκύπτει η σχέση: z 1 -z 2 = L"" z = La/g (1) όπου Δz η ζητούµενη υψοµετρική διαφορά. Σχήµα 1 Αλλος τρόπος: Χρησιµοποιώντας την σχέση κατανοµής των πιέσεων σε οριζόντια επιταχυνόµενο υγρό εντος του πεδίου βαρύτητας (σχέση 5, σελίδα 8)

έχουµε για τις πιέσεις των σηµείων Α 1, Α 2 της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού τις σχέσεις: P A 1 = -gz 1 -a" 0 + C# $ P A 2 = -gz 2 -al + C % (2) όπου C σταθερή ποσότητα, κοινή για όλα τα σηµεία του υγρού. Όµως οι πιέσεις αυτές είναι ίσες µε την ατµοσφαιρική πίεση, οπότε από τις (2) παίρνουµε: g( z 1 - z 2 ) = al z = La/g ii) Επειδή οι συντεταγµένες του µέσου Μ του οριζόντιου τµήµατος του σωλή να, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxy είναι (L/2, 0) η πίεση του υπόλογίζεται από την σχέση: P M = -al/2 -g"0 + C = -al/2 + C (3) Για την πίεση του σηµείου Α 1 έχουµε: P A 1 = -"gz 1 -"a# 0 + C C + "gz 1 (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: P M -"al/2+ "gz 1 (5) Eξάλλου, λόγω του ασυµπιέστου του υγρού ισχύει: z 1 +z 2 + L = 2h 0 + L z 1 +z 2 = 2h 0 η οποία συνδυαζόµενη µε την (1) δίνει: 2z 1 = 2h 0 + al/g z 1 = h 0 + La/2g (6) H (5) λόγω της (6) γράφεται: P M -"al/2+ "g( h 0 + La/2g) P M + "gh 0 (7) Παρατηρούµε από την (7) ότι η πίεση του σηµείου Μ δεν µεταβάλλεται, λόγω της επιτάχυνσης του υγρού. iii) Οι πιέσεις του αριστερού άκρου Ο και του δεξιού άκρου Ο του οριζόντιου τµηµατος του σωλήνα υπολογίζεται από τις σχέσεις: και (4) P O = -a "0 -g"0 + C = C (4) P O = -"al -"g#0 + C = -"al + C P O + "gz 1 (8) P O = -"al + P # + "gz 1 (9) Όµως από την (1) έχουµε z 1 = z 2 + La/g, οπότε η (9) γράφεται:

P O = -"al + P # + "g( z 2 + La/g) P O = P " + #gz 2 (10) Aπό τις (9) και (10) προκύπτει ότι οι πιέσεις των άκρων του οριζόντιου τµήµα τος του σωλήνα υπολογίζονται ως υδροστατικές πιέσεις. P.M. Fysikos Ένας σωλήνας σχήµατος αντεστραµµένου Π περιέχει υγρό, πυκνότητας ρ. O σωλήνας µπορεί να στρέφεται περί κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από σηµείο O του οριζόντιου τµήµατος του σωλήνα, του οποίου οι αποστάσεις από τα κατακόρυφα σκέλη είναι r 1 και r 2, µε r 1 >r 2. Eάν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σωλήνα είναι ω, να βρεθεί η υψοµετρική διαφορά της στάθµης του υγρού στα δύο κατακόρυφα σκέλη του σωλήνα. ΛYΣH: Α τρόπος To υγρό στο σύστηµα αναφοράς του περιστρεφόµενου σωλήνα ισορροπεί η δε κατανοµή της πιέσεως στο εσωτερικό του ακόλουθει την σχέση (11) που αποδείχτηκε στην θεωρία (σελίδα 11). Σύµφωνα µε την σχέση αυτή οι πιέσεις των σηµείων Α 1 και Α 2 της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού δίνονται από τις σχέσεις: P 1 P 2 = " 2 r 2 1 / 2 - gz 1 + C # $ = " 2 r 2 2 / 2 - gz 2 + C% (1) Σχήµα 2 όπου z 1, z 2 τα ύψη του υγρού στα δύο κατακόρυφα σκέλη του σωλήνα (σχ. 2) και C σταθερή ποσότητα. Όµως οι πιέσεις P 1, P 2 είναι ίσες µε την ατµοσφαι ρική πίεση, οπότε από τις σχέσεις (1) παίρνουµε: " 2 r 1 2 / 2 - gz 1 + C = " 2 r 2 2 / 2 - gz 2 + C 2 r 2 2 ( 1 - r 2 ) = 2g( z 1 - z 2 ) z 1 - z 2 = 2 2 2 ( - r 2 ) 2g r 1

h = " 2 2g r 2 2 1 - r 2 ( ) (2) όπου Δh η ζητούµενη υψοµετρική διαφορά της στάθµης του υγρού στα δύο κατακόρυφα σκέλη του σωλήνα. Eάν r 1 >r 2 τότε Δh>0, που σηµαίνει ότι το σηµείο Α 1 βρίσκεται υψηλότερα του Α 2. Tο αντίθετο συµβαίνει αν r 1 <r 2, ενώ όταν r 1 =r 2 τότε Δh=0 και τα σηµεία Α 1, Α 2, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Β τρόπος Θεωρούµε µια τοµή του σωλήνα µε το κατακόρυφο επίπεδο που καθορίζεται από τον άξονα περιστροφής του Oz και από τον άξονα Ox του οριζόντιου τµήµατος του σωλήνα. Kάθε ρευστό σωµατίδιο µάζας dm της ελεύ θερης επιφάνειας του υγρού (λογουχάρη στο αριστερο κατακόρυφο σκέλος) εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση διαγράφοντας οριζόντια περιφέρεια, Σχήµα 3 της οποίας το κέντρο βρίσκεται στον άξονα περιστροφής του σωλήνα η δε ακτίνα της είναι ίση µε την απόσταση x του σωµατιδίου από τον άξονα περιστροφής. Oι δυνάµεις που εξασφαλίζουν την κίνηση της µάζας dm είναι το βάρος της d w και η δύναµη d F από τα µόρια του υγρού που την περι βάλλουν, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού στην θέση της µάζας dm. H συνισταµένη d F " των δύο αυτών δυνάµεων αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για την µάζα dm, που σηµαίνει ότι ο φορέας της d F " είναι οριζόντιος το δε µέτρο της είναι ίσο µε dmω 2 x. Έτσι για την γωνία φ θα ισχύει: "# = df $% dmg = dm& 2 x dmg = & 2 x g (1) Όµως η εφ(π-φ) αποτελεί την κλίση της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού στην θέση της στοιχειώδους µάζας dm, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα Oxy, οπότε η σχέση (1) γράφεται: dz dx = 2 x g dz = 2 xdx g (2)

Oλοκληρώνοντας την (2) παίρνουµε: z = 2 x 2 2g + C " (3) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης. H σχέση (3) εφαρµοζόµενη για τα ακραία σηµεία A 1 και A 2 δίνει αντιστοίχως τις σχέσεις: z 1 = 2 r 2 1 /2g + C " z 2 = 2 r 2 2 /2g + C " # $ % (" ) h = z 1 - z 2 = " 2 r 2 2 ( 1 - r 2 ) 2g P.M. fysikos Δοχείο σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ύψους h και πλάτους L είναι πλήρες υγρού πυκνότητας ρ. Το δοχείο φέρει στο πάνω δεξί του µέρος µια οπή Β και έτσι επικοινωνεί µε τον αέρα πιέσεως P α, ενώ στο πάνω αριστερό µέρος φέρει µανόµετρο, όπως φαίνεται στο σχήµα (4). i) Εάν το δοχείο κινείται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο µε σταθερή επιτά χυνση a, να βρεθεί η ένδειξη του µανοµέτρου. ii) Nα καθορισθούν τα σηµεία του υγρού, των οποίων η πίεση είναι ίση µε την έδειξη του µανοµέτρου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύ τητας. ΛΥΣΗ: i) Στο σύστηµα αναφοράς του δοχείου το υγρό ισορροπεί και η ένδειξη του µανοµέτρου είναι η πίεση του υγρού στο σηµείο Α, η οποία υπολογίζεται από την σχέση: P A = -a"0 - gh + C = -gh + C (1) Σχήµα 4 όπου C σταθερή ποσότητα κοινή για όλα τα σηµεία του υγρού. Εξάλλου η πίεση του σηµείου Β του υγρού είναι ίση µε την ατµοσφαιρική πίεση P α και ισχύει η σχέση: P B = -al - gh + C P = -"al - "gh + C

C + "al + "gh (2) Συνδυάζοντας την (1) µε την (2) παίρνουµε: P A = -gh + P " + al + gh P A + "al (3) ii) Θεωρούµε ένα σηµείο Μ του υγρού, του οποίου η πίεση είναι ίση µε την ένδειξη P A του µανοµέτρου. Εάν (x, y, z) είναι οι συντεταγµένες του σηµείου ως προς το σύστηµα Οxyz που είναι ακλόνητα συνδεδεµένο µε το δοχείο, θα έχουµε: (3) (2) P M = P A -ax - gz + C = P " + al -ax - gz + P " + al + gh = P " + al 0 = -ax - gz + gh z = h - ax/g (4) H (4) δηλώνει ότι τα σηµεία Μ µε πίεση ίση προς την ένδειξη του µανοµέτρου ανήκουν σε µια επίπεδη επιφάνεια κάθετη στο διάνυσµα g - a, που η τοµή της µε το επίπεδο xoz είναι η ευθεία (4) (σχ. 4 κόκκινη γραµµή). P.M. fysikos Λεπτός ισοδιαµετρικός σωλήνας σχήµατος αντεσ τραµµένου Π περιέχει δύο µη µιγνυόµενα υγρά πυκνοτήτων ρ 1, ρ 2 µε ρ 1 >ρ 2. Όταν ο σωλήνας περιστρέφεται περί σταθερό κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από σηµείο O του οριζόντιου τµήµατος του σωλήνα, του οποίου οι αποστάσεις από τα κατακόρυφα σκέλη του είναι r 1 και r 2 τότε τα δύο υγρά διαχωρίζονται και η γραµµή διαχω ρισµού τους βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής, ενώ οι ελεύ θερες επιφάνειες των δύο υγρών είναι στην ίδια στάθµη που απέχει κατά L από το οριζόντιο τµήµα του σωλήνα. Εάν g είναι η επιτάχυν ση της βαρύτητας, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του σωλήνα. ΛYΣH: Στο σύστηµα αναφοράς του περιστρεφόµενου σωλήνα τα δύο υγρά ισορ ροπούν και η κατανοµή των πιέσεων εντός αυτών καθορίζεται από την σχέση (11) που περιέχεται στην σελίδα (11) της θεωρίας που αναφέρεται στην συµπεριφορά υγρού στρεφοµένου ως στερεό σώµα. Με βάση την σχέση αυτή η πίεση του σηµείου Ο θεωρουµένου εντός του υγρού πυκνότητας ρ 1 είναι: P O = 1 " 2 #0/ 2-1 g #0 + C 1 = C 1 (1) όπου C 1 σταθερή ποσότητα χαρακτηριστική των σηµείων του υγρού αυτού. Όµως η πίεση του σηµείου Ο θεωρουµένου εντός του υγρού πυκνότητας ρ 2 δίνεται και από την σχέση: P O = 2 " 2 #0/ 2-2 g #0 + C 2 = C 2 (2) όπου η σταθερή ποσότητα C 2 χαρακτηριζει τα σηµεία του υγρού αυτού. Συνδυ άζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε C 1 =C 2. Eξάλλου oι πιέσεις των σηµείων Α

και Β των ελεύθερων επιφανειών των δύο υγρών είναι ίσες προς την ατµοσφαι ρική πίεση P α θα έχουµε δε τις σχέσεις: P = " 1 # 2 r 2 1 / 2 -" 1 gl + C 1 $ % P = " 2 # 2 r 2 2 / 2 -" 2 gl + C 2 & 2 2 " r 2 2 1 1 - " 2 r 2 Σχήµα 5 ( ) = gl ( " 1 - " 2 ) = C 1 =C 2 1 " 2 2 r 2 1-1 gl = " 2 2 2 r 2 2-2 gl 2gL ( " 1 - " 2 ) (3) " 1 r 2 2 1 - " 2 r 2 Η σχέση (3) είναι αποδεκτή, εφ όσον ισχύει ρ 1 r 1 2 >ρ 2 r 2 2. P.M. Fysikos Tο δοχείο του σχήµατος (6) είναι γεµάτο µε υγρό πυκνότητας ρ. Eκτρέπουµε το σύστηµα δοχείο-υγρό από την θέση ισορροπίας του ώστε το ελατήριο να επιµηκυνθεί κατά x 0 και το αφή νουµε ελεύθερο. Eάν µεταξύ του δοχείου και του εδάφους δεν υπάρ χει τριβή, να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την διαφορά πιέσεων, µεταξύ των σηµείων A και Β του υγρού. Δίνεται η σταθερά k του ελατηρίου, η µάζα M του δοχείου µετά του περιεχοµένου υγρού και το εύρος L του δοχείου. ΛΥΣΗ: To δοχείο µαζί µε το υγρό εκτελεί στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους οριζόντια αρµονική ταλάντωση, στην διάρκεια της οποίας η αποµάκρυνσή του x (αλγεβρική τιµή) από την θέση ισορροπίας του Ο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: x = x 0 µ ("t + #/2) = x 0 $%& ("t) (1) όπου ω η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης ίση µε του συστήµατος (αλγεβρική τιµή) ικανοποιεί την σχέση: k/m. Η επιτάχυνση a

(1) a = - 2 x a = - 2 x 0 "#$(t) (2) Στο σύστηµα αναφοράς του δοχείου το υγρό ισορροπεί και οι πιέσεις του υγρού στα σηµεία Α και Β δίνονται από τις σχέσεις: Σχήµα 6 P A = -a"0 - z * g + C# $ P B = -al - z * g + C % (" ) P A - P B = al (3) όπου C σταθερή ποσότητα κοινή για όλα τα σηµεία του υγρού και z * η κοινή z- συντεταγµένη των σηµείων Α και Β ως προς το oρθογώνιο σύτηµα αναφορας Αxyz που είναι ακλόνητα συνδεδεµένο µε το επιταχυνόµενο δοχείο. Συνδυά ζοντας µεταξύ τους τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε: P A - P B =-L" 2 x 0 #$%("t) P A - P B =- Lkx 0 M "#$ % k ' & M t ( * (4) ) P.M. Fysikos Το δοχείο του σχήµατος (7) αποτελείται από τρεις ισοδιαµετρικούς λεπτούς κατακόρυφους σωλήνες και από οριζόντιο λεπτό σωλήνα που συγκοινωνεί µε τους κατακόρυφους. Εντός του δοχείου περιέχεται υγρό πυκνότητας ρ και όταν το δοχείο περιστρέ φεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω περί τον µεσαίο σωλήνα, τότε η στάθµη του υγρού στον µεσαίο σωλήνα χαµηλώνει κατά Δh 1 και στους ακραίους σωλήνες ανέρχεται κατά Δh 2. i) Nα δείξετε τις σχέσεις: h 1 = " 2 L 2 / 3g και h 2 = " 2 L 2 / 6g όπου L η απόσταση του µεσαίου σωλήνα από τους δύο ακραίους και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ii) Να βρείτε την πίεση του υγρού στο µέσο Ο του οριζόντιου σωλή να. Δίνεται το ύψος h 0 του υγρού στους τρείς κατακόρυφους σωλή νες, όταν το δοχείο δεν περιστρέφεται. ΛΥΣΗ: i) Για λόγους συµµετρίας η υψοµετρική διαφορά της στάθµης του υγρού στους δύο ακραίους σωλήνες σε σχέση µε τον µεσαίο σωλήνα είναι ίδια,

υπολογίζεται δε µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως στην 2η άσκηση και ικανοποι εί την σχέση: h = " 2 L 2 / 2g (1) Eξάλλου αν Δh 1 είναι η πτώση της στάθµης του υγρού στον µεσαίο σωλήνα) Σχήµα 7 σε σχέση µε την στάθµη του (ε) όταν το υγρό δεν περιστρέφεται, θα ισχύει λόγω της ασυµπιεστότητας του υγρού η σχέση: (1) 3h 1 = 2h 3h 1 = 2" 2 L 2 / 2g h 1 = " 2 L 2 / 3g (2) Aκόµη αν Δh 2 είναι η ανύψωση της στάθµης του υγρού στους δύο ακραίους σωλήνες σε σχέση µε την στάθµη (ε), εκ του σχήµατος προκύπτει ότι: (1),(2) h = h 1 + h 2 2 L 2 / 2g = 2 L 2 / 3g + "h 2 h 2 = " 2 L 2 / 2g - " 2 L 2 / 3g h 2 = " 2 L 2 / 6g (3) ii) Στο σύστηµα αναφοράς του περιστρεφόµενου δοχείου το υγρό ισορροπεί και η κατανοµή των πιέσεων εντός αυτού υπολογίζεται µε βάση την σχέση (11) η οποία αποδείχτηκε στην σελίδα (11) της θεωρίας που περιγράφει την συµπεριφορά υγρού που κινείται ως στερεό σώµα. Με βάση την σχέση αυτή για την πίεση P O του µέσου Ο του οριζόντιου σωλήνα θα έχουµε: P O = " 2 #0 / 2 - g #0 + C = C (4) όπου C σταθερή ποσότητα κοινή για όλα τα σηµεία του υγρού. Η πίεση P M στο σηµείο Μ του υγρού είναι ίση µε την ατµοσφαιρική πίεση P α και ικανοποιεί την σχέση:

P M = " 2 #0 / 2 - gh M + C P = -"gh M + C (2) P = -"g( h 0 - #h 1 ) + C P P (4) = -"g( h 0 - # 2 L 2 / 3g) + C = -"g( h 0 - # 2 L 2 / 3g) + P O P O +"g( h 0 - # 2 L 2 / 3g) P.M. Fysikos Ένα δοχείο σχήµατος ορθογώνιου παραλληλεπιπέ δου περιέχει υγρό πυκνότητας ρ και επιταχύνεται επί οριζόντιου δαπέδου µε σταθερή επιτάχυνση a. i) Εάν h είναι η απόσταση µιας ισοθλιπτικής επιφάνειας του υγρού από την ελεύθερη επιφάνειά του και P h η τιµή της πιέσεως επί της επιφάνειας αυτής, να δείξετε την σχέση: P h + " g # h όπου P α η ατµοσφαιρική πίεση και g το µέτρο του διανύσµατος g - a, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ii) Να βρείτε τα σηµεία του υγρού µε την µεγαλύτερη πίεση και να προσδιορίσετε την πίεση αυτή. iii) Nα προσδιορίσετε την κατανοµή πιέσεων εντός του υγρού κατα µήκος µιας ευθείας του πυθµένα του δοχείου, η οποία είναι παράλ ληλη προς το διάνυσµα της επιτάχυνσης a. Δίνεται το πλάτος L του δοχείου και το ύψος h 0 του υγρού όταν το δοχείο ηρεµεί. ΛΥΣΗ: i) Εάν ΑΑ, ΜΜ είναι οι τοµές των ισοθλιπτικών επιφανειών που αντιστοιχουν στις πιέσεις P α και P h µε το επίπεδο Οxz, τότε για τις πιέσεις των σηµείων Α και Μ θα έχουµε τις σχέσεις: Σχήµα 8 P A = -"g(oa) -"a# 0 + C $ % P M = P h = -"g(om) -"a# 0 + C& (" ) P h - P = "g(-om + OA)

P h +"g(ma) P h +"gh/#$%& (1) όπου C σταθερή ποσότητα κοινή για όλα τα σηµεία του υγρού και φ η γωνία κλίσεως των ισοθλιπτικών επιφανειών του υγρού ως προς το οριζόντιο επίπε δο, οι οποίες είναι επίπεδα κάθετα προς την διεύθυνση της συνισταµένης g των διανυσµάτων g και - a (σχ. 8). Όµως από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηµα τίζουν τα διανύσµατα g, - a και g προκύπτει συνφ=g/g, οπότε η (1) γράφεται: P h +"gh g #/g +"h g # (2) ii) Aπό την (2) προκύπτει ότι τα σηµεία του υγρού µε την µεγαλύτερη πίεση είναι εκείνα που η απόστασή τους από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι η µεγαλύτερη δυνατή, δηλαδή τα σηµεία του άξονα Οz. Για την πίεση των σηµείων αυτών έχουµε: P max +"gh max #$%& + "g(o')#$%& P max + "g(oa) (3) Όµως από την Γεωµετρία του σχήµατος (9) έχουµε: (AB) = ( A B)"## OA - OB = La/g (4) Σχήµα 9 Εξάλλου ο όγκος του υγρού όταν το δοχείο είναι ακίνητο είναι ίσος µε τον όγκο του όταν αυτό επιταχύνεται, δηλαδή θα έχουµε την σχέση: h 0 Lb = (OA + OB)Lb/2 OA + OB = 2h 0 (5) όπου b το βάθος του δοχείου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνου µε: 2(OA) = 2h 0 + La/g OA = h 0 + La/2g oπότε η (3) γράφεται: P max + "g( h 0 + La/2g) (6)

iii) Θεωρούµε ένα τυχαίο σηµείο Ν της ευθείας Οx του πυθµένα του δοχείου που είναι παράλληλη προς το διάνυσµα a, το οποίο απέχει από το Ο απόσταση x. H πίεση του υγρού στο σηµείο N υπολογίζεται από την σχέση: P N = -g " 0 -ax + C = -ax + C (7) H (7) για x=0 δίνει: (6) P O = -g "0 -a" 0 + C = C P max = C C + "g h 0 + La/2g ( ) οπότε η (7) παίρνει την µορφή: P N + "g( h 0 + La/2g) -"ax, 0 # x # L (8) Aπό τη (8) προκύπτει ότι η πίεση του υγρού κατα µήκος της Οx µείωνεται γραµµικά µε την απόσταση x (σχ.9 ). P.M. fysikos Λεπτός σωλήνας αποτελείται από δύο συνεχόµενα σκέλη ΟΑ και ΟΒ. Το ΟΑ είναι κατακόρυφο και το άλλο κεκλιµένο κατά γωνία φ ως προς την κατακόρυφη, του οποίου το άκρο Β είναι κλειστό (σχ. 10). Ο σωλήνας περιέχει οµογενές υγρό, το οποίο όταν ο σωλήνας περιστρέφεται περί το κατακόρυφο σκέλος του µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα φθάνει µέχρι το ελεύθερο άκρο του Α, που απέχει από το Ο απόσταση h 0 υπεράνω του Ο. i) Nα βρέθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σωλήνα, για την οποία οι πιέσεις των σηµείων Ο και Β του υγρού είναι ίσες. ii) Nα βρείτε σε ποιο σηµείο του κεκλιµένου σκέλους του σωλήνα η πίεση του υγρού γίνεται ελάχιστη και να υπολογιστεί η ελάχιστη αυτή τιµή. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ατµοσφαιρι κή πίεση P α. ΛYΣH: i) Το υγρό στο σύστηµα αναφοράς Οxyz του στρεφόµενου σωλήνα ισορροπεί και η πίεσή του σε κάθε σηµείο ακολουθεί την σχέση: P = " 2 r 2 / 2 - gz + C (1) όπου r η απόσταση του σηµείου από τον άξονα περιστροφής Οz του σωλήνα, z η συντεταγµένη του σηµείου κατά τον άξονα Οz, ρ η πυκνότητα του υγρού η σταθερή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του και C σταθερή ποσότητα κοινή για όλα τα σηµεία του υγρού (βλέπε σελίδα 11, σχέση 11 της θεωρίας). Για την πίεση P Ο του σηµείου Ο του υγρού η σχέση (1) δίνει: P O = " 2 #0 / 2 - g#0 + C = C (2)

Για την πίεση P B η ίδια σχέση δίνει: (2) P B = " 2 r 2 B / 2 - gh 0 + C P B = " 2 r B 2 / 2 - gh 0 + P O (3) Όµως θέλουµε να ισχύει P Ο =P B, οπότε η (3) γράφεται: " 2 r B 2 / 2 - gh 0 = 0 2 h 0 2 "# 2 $ / 2 - gh 0 = 0 2 = 2gh 0 h 0 2 "# 2 $ = 1 "#$ 2g h 0 (4) Σχήµα 10 ii) H πίεση P ενός τυχαίου σηµείου Μ του κεκλιµένου σκέλους του σωλήνα, που απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση r και από το επίπεδο Οxy απόσταση z δίνεται από την σχέση: P = " 2 r 2 2 (4) - gz + C P = 2 2gh 0 z 2 "# 2 $ h 0 2 "# 2 $ - gz + C g h 0 z 2 - gz + C - P = 0 (5) H (5) είναι εξίσωση 2ου βαθµού ως προς z και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατι κές, δηλαδή µη αρνητική διακρίνουσα που σηµαίνει ότι: 2 g 2-4g( C - P) / h 0 " 0 gh 0 " 4( C - P) (6) Eξάλλου η πίεση του σηµείου Α του υγρού είναι ίση µε την ατµοσφαιρική πίε ση P α, οπότε θα έχουµε: P = "# 2 $0 / 2 - "gh 0 + C C + "gh 0 και η (6) γράφεται:

gh 0 " 4( P # + gh 0 - P) P P " + 3#gh 0 /4 P min + 3"gh 0 /4 (7) Τότε η (5) θά έχει µια διπλή ρίζα, που δίνεται από την σχέση: z = -g / h 0-2g = h 0 2 δηλαδή στο µέσον του κεκλιµένου σκέλους του σωλήνα η πίεση του υγρού ελαχιστοποιείται. P.M. Fysikos Ανοικτό δοχείο σχήµατος ορθογωνίου παραλληλε πιπέδου περιέχει υγρό πυκνότητας ρ και αφήνεται να κινηθεί επί λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλισεως φ ως προς τον ορίζοντα. i) Να δείξετε ότι η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι επίπεδη, παράλληλη προς την επιφάνεια του κεκλιµένου επιπέδου. ii) Nα βρείτε την εξίσωση κατανοµής της πιέσεως στο εσωτερικό του υγρού. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Στο σύστηµα αναφοράς του δοχείου το υγρό ισορροπεί εντός δυ ναµικού πεδίου έντασης g = g - a, όπου a η επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης του δοχείου, της οποίας το διάνυσµα κατευθύνεται προς τον θετικό ηµιάξονα Οx και το µέτρο της είναι ίσο µε gηµφ. Η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι µια ισοθλιπτική επιφάνεια πιέσεως ίσης προς την ατµοσφαιρική πίεση, σε κάθε σηµείο της οποίας το διάνυσµα g είναι κάθετο στην επιφάνεια Σχήµα 11 και επειδή το διάνυσµα αυτό είναι σταθερό η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι επίπεδη. Σύµφωνα µε τον κανόνα του παραλληλογράµµου τα µέτρα των διανυσµάτων g, g και - a ικανοποιούν την σχέση: g 2 = g 2 + a 2 + 2ag"#$ (%/2 + & )

g 2 = g 2 + g 2 "µ 2 # + 2g 2 "µ#(-"µ# ) g 2 = g 2 - g 2 "µ 2 # = g ( 2 1 - "µ 2 # ) g 2 = g 2 "#$ 2 % g = g"#$% (1) Η (1) εγγυάται ότι το διάνυσµα g συµπίπτει µε την κάθετη επί το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα του g, που σηµαίνει ότι η ελευθερη επιφάνεια του υγρού ως κάθετη στο g θα είναι παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο. ii) Λόγω της ισορροπίας του υγρού στο σύστηµα αναφοράς του δοχείου, ισχύει σε κάθε σηµείο του η διανυσµατική σχέση: P = " g - a ( ) = " # g (2) όπου P η κλίση της πιέσεως P στο εκάστοτε θεωρούµενο σηµείο του υγρού. Η (2) σε καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς Οxyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε το δοχείο, παίρνει την µορφή: P i + P P j + x y z P i + P P j + x y z P x = 0, P y k = " g # x i + g # y j + g # x k ( ) k = " 0 x i + 0 j - g#$%& k = 0, P z ( ) = -g"#$% (3) όπου i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοίχως. H πίεση P του υγρού είναι µια βαθµωτή συνάρτηση P=P(x,y,z) των συντεταγµέ νων των σηµείων του, η οποία µε διαφόριση δίνει: dp = P x (3) P P dx + dy + y z dz dp = -g"#$dz (4) Oλοκληρώνοντας την (4) παίρνουµε την σχέση κατανοµής της πιέσως εντός του υγρού, που έχει την µορφή: P = -gz"#$ + C (5) όπου C σταθερή ποσότητα, που µπορεί να υπολογιστεί αν η (5) εφαρµοσθεί για ορισµένο σηµείο αναφοράς του υγρού γνωστής πιέσεως. P.M. Fysikos Κλειστό δοχείο είναι πλήρες υγρού πυκνότητας ρ και στρέφεται περί ακλόνητο οριζόντιο άξονα Οx µε σταθερή γωνιακή

ταχύτητα, εντός του βαρυτικού πεδίου της Γης που η ένασή του g θεωρείται σταθερή σε όλη την έκταση του υγρού. Να βρείτε την µορ φή των ισοθλιπτικών επιφανειών του υγρού. ΛΥΣΗ: Στο σύστηµα αναφοράς του περιστρεφόµενου δοχείου το υγρό ισορ ροπεί εντός δυναµικού πεδίου του οποίου η ένταση σε κάθε σηµείο του υγρού είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα g + 2 r, όπου r το διάνυσµα θέσεως του σηµείου ως προς το κέντρο Κ της περιφέρειας που διαγράφει (σχ. 12). Λόγω της ισορροπίας του υγρού ισχύει σε κάθε σηµείο του η διανυσµατική σχέση: P = " g +# 2 r ( ) [ ( )] (1) P = " -g k +# 2 y j + z k Σχήµα 12 όπου P η κλίση της πίεσης P στο εκάστοτε θεωρούµενο σηµείο του υγρού και j, k τα µοναδιαία διανυσµατα των αξόνων Οy, Oz αντιστοίχως. Η (1) σε καρτε σιανο σύστηµα αναφοράς Οxyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε το δοχείο παίρνει την µορφή: P i + P P j + x y z P x [ ( ) k ] k = " 0 i + # 2 y j + # 2 z - g P = 0, y = "# 2 y, P z = " ( # 2 z - g) (2) Εξάλλου η πίεση P του υγρού είναι µια βαθµωτή συνάρτηση P=P(x,y,z) των συντεταγµένων των σηµείων του, η οποία µε διαφόριση δίνει: dp = P x (2) P P dx + dy + y z dz dp = " 2 ydy + (" 2 z - g)dz (3) Oλοκληρώνοντας την (4) παίρνουµε την σχέση κατανοµής της πιέσως εντός του υγρού, που έχει την µορφή: P = " 2 2 y2 + " 2 2 z2 - gz + C (4)

όπου C σταθερή ποσότητα, που µπορεί να υπολογιστεί αν η (4) εφαρµοσθεί για ορισµένο σηµείο αναφοράς του υγρού γνωστής πιέσεως. Η εξίσωση των ισοθλι πτικών επιφανειών του υγρού θα προκύψει από την (4) θεωρώντας την πίεση P ως παράµετρο, οπότε αυτή θα πάρει την µορφή: " 2 2 y2 + " 2 2 z2 - gz = P - C (5) Προσθαφαιρώντας στο πρώτο µέρος της (5) την ποσότητα g 2 /ω 4 έχουµε: y 2 + z 2-2g z + g2 2 - g2 4 = 2 ( P - C) 4 2 " y 2 + z - g % $ # 2 ' & όπου τέθηκε 2 ( P - C ) 2 = 2 ( P - C ) + g2 2 " 4 y2 + z - g % $ # 2 ' & 2 = A 2 (6) + g2 2 = 4 A2. Η (6) αποτελεί µια µονοπαραµετρική οικογέ νεια περιφερειών µε κέντρο το σηµείο Ο που βρίσκεται στο επίπεδο Οyz πάνω από τον άξονα περιστροφής του δοχείου σε απόσταση g/ω 2. Οι περιφέρειες αυτές (κοκκινες γραµµές) είναι οι τοµές των οµοαξονικών κυλινδρικών ισοθλι πτικών επιφανειών του υγρού µε το επίπεδο Οyz. P.M. Fysikos