από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!

Transcript

1 Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο σχήµα ). Εάν η τριβή σε όλες τις επα φές είναι ασήµαντη να καθορίσετε τις δυνάµεις επαφής που δέχεται ο κύβος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: O κύβος δέχεται το βάρος του w =m g, την δύναµη επαφής Q από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N από το κεκλιµένο επίπεδο, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο επίπε δο αυτό. Λόγω της ισορροπίας του κύβου πρέπει οι φορείς των τριών αυτών δυ νάµεων να διέρχονται από το ίδιο σηµείο Ο, το οποίο βρίσκεται πάνω στην κατα κόρυφο που διέρχεται από το κέντρο µάζας C του κύβου. Από το ορθογώνιο τρί γωνο ΑCO προκύπτει η σχέση: $ CO = ACµ & " % 4 - # ' ) = * µ $ & " % 4 - # ' ) ) Σχήµα H σχέση ) καθορίζει την θέση του σηµείου Ο σε σχέση µε το κέντρο µάζας C του κύβου και εποµένως είναι γνωστή η θέση του φορέα της δύναµης Q. Έαν Β είναι το σηµείο τοµής του φορέα της δύναµης N µε την έδρα του κύβου που είναι αντικρυστή της έδρας επαφής του µε το κεκλιµένο επίπεδο, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΟ θα έχουµε την σχέση: AB = AO"#$ = AC"#% / 4 - $)"#$

2 AB = "#$ ' ) % 4 - & *, "#$& ) + H σχέση ) καθορίζει την θέση του σηµείου Β και εποµένως ορίζεται πλήρως ο φορέας της δύναµης επαφής N. Εξάλλου τα µέτρα των τριών δυνάµεων που δέ χεται ο κύβος ικανοποιούν τις σχέσεις: mg µ " / + #) = N µ" / = Q µ" - #) mg "#$ = N = Q %µ$ N = mg/"#$ Q = mg%&$ ' ) Οι σχέσεις 3) καθορίζουν τα µέτρα των δυνάµεων επαφής N και Q. 3) P.M. fysikos Oµογενής κύβος µάζας m ακουµπάει µε µια έδρα του σε οριζόντιο έδαφος, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής n. Aσκούµε στο µέσον Α µιας ακµής της πάνω έδρας του κύβου δύναµη F, της οποίας ο φορέας ανήκει στο κατακόρυφο επίπεδο που διέχεται από το Α και είναι κάθετο στην ακµή. i) Nα βρείτε την ελάχιστή τιµή του µέτρου της δύναµης F για την οποία επίκειται η ανατροπή του κύβου. Ποία πρέπει να εί ναι τότε η δέσµευση για τον συντελεστή n, ώστε ο κύβος να µη ολισθαίνει; ii) Nα βρείτε την ελάχιστη τιµή του µέτρου της δύναµης F για την οποία επίκειται η ολίσθηση του κύβου. Ποία πρέπει να είναι τότε η δέσµευση για τον συντελεστή n, ώστε ο κύβος να µη ανατρέπεται; Δί νεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Ας δεχθούµε ότι ο φορέας της δυναµης F σχηµατίζει µε την οριζόν τια διεύθυνση γωνία φ και ότι ο κύβος δεν ολισθαίνει, αλλά επίκειται η ανατρο πή του περί την ακµή του Ο σχ. ). Ο κύβος την στιγµή αυτή ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση της F, του βάρους του w και της δύναµης επαφής από το έδαφος, η οποία αναλύεται στην τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N των οποί ων οι φορείς διέρχονται από την ακµή Ο. Λόγω της ισορροπίας του κύβου η συνισταµένη των ροπών των δυνάµεων περί την αµκή του Ο είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: " O) = Fd - mg/ = F "µ# + $/4) - mg/ =

3 mg F = µ" + #/4) ) Από την ) προκύπτει ότι η µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει το µέτρο της F αντιστοιχεί στην περίπτωση που η γωνία φ ικανοποιεί την σχέση: µ " + #/4) = + "/4 = "/ = "/4 ) Tότε το µέτρο της δύναµης F είναι: Σχήµα F min = mg/ 3) ο δε φορέας της θα είναι κάθετος προς την ΑΟ. Επειδή ο κύβος δεν ολισθαίνει η τριβή T είναι στατική και εποµένως θα ισχύει: 3) T < nn F min "#$ / 4) < n[mg - F min %µ$ / 4)] mg mg < n# mg - "# $ & %& 4 < n - $ # " 4 & n > % 3 ii) Ας δεχθούµε ότι η δυναµη F εξασφαλίζει οριακή ολίσθηση του κύβου και µη ανατροπή αυτού. Τότε ο κύβος θα ισορροπεί οριακά και για τις δυνάµεις F, w, T και N που δέχεται θα ισχύουν οι σχέσεις: 4) F x) = " # F y) = $ F x - T = " F y + N - w = # T = F"#$ N= w - F%µ$ & ' 5) Επειδή επίκειται η ολίσθηση του κύβου θα ισχύει: 5) T = nn F"#$ = nw - F%µ$)

4 F"#$ + n%µ$) = nw F = nw/"#$ + n%µ$) 6) Θέτουµε n=εφθ, οπότε η 6) γράφεται: F = nw "#$ + %$&'µ$ = nw "#$ + 'µ&'µ$ /"#& F = w"#$%&# $%&"$%&# + 'µ#'µ" = w'µ# $%&" - #) 7) Σχήµα 3 Από την 7) προκύπτει ότι η µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει το µέτρο της F αντιστοιχεί στην περίπτωση που ισχύει συνφ-θ) =, δηλαδή όταν φ=θ. Τότε θα έχουµε: F min = wµ" = w#$% / + #$ % F min = wµ" = nw/ + n 8) Aκόµη οι ροπές των δυνάµεων περί το σηµείο Μ, στο οποίο ο φορέας της δύνα µης επαφής µε το έδαφος τέµνει την έδρα επαφής του κύβου µε αυτό, ικανο ποιούν την σχέση: " M) = wx - F minx) - F miny) / +x) = 8) wx - F min "#$% - F min / +x)&µ% = wx - nw nw / +x) - n = + n + n + n + n x - n + n - n / +x) = + n )x - n - n / +x) = + n + n )x - n - n +x) = x = n + n)/ 9)

5 όπου x η απόσταση του Μ από την κατακόρυφη που διέρχεται από το κέντρο µάζας C του κύβου σχ. 3). Επειδή ο κύβος δεν ανατρέπεται, η απόσταση x πρέ πει να είναι µικρότερη από α/, δηλαδή πρέπει: 9) x < / n + n)/ < / n + n < P.M. fysikos Οµογενές σώµα σχήµατος κύβου ακµής α και µά ζας m εφάπτεται µε µια έδρα του, σε κεκλιµένο επίπέδο γωνίας κλί σεως φ ως προς τον ορίζοντα, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τρι βής ολίσθησης n. i) Να βρεθούν οι συνθήκες ισορροπίας του κύβου. ii) Nα βρεθούν οι συνθήκες, ώστε ο κύβος να ολισθαίνει επί του κεκ λιµένου επιπέδου. iii) Να βρεθούν οι συνθήκες, ώστε ο κύβος να ανατρέπεται περί την κατώτερη ακµή του, όταν αφεθεί ελεύθερος. Δίνεται η ροπή αδράνει ας του κύβου ως προς µια ακµή του, ίση µε mα /3. ΛΥΣΗ: i) Όταν ο κύβος ισορροπεί πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, το βάρος του w και η δύναµη επαφής A που δέχεται από το κεκλιµένο επίπεδο, έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετη φορά και ίσα µέτρα σχ. 4). Η δύναµη A αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T, το δε βάρος w αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w y. Λόγω της ισορροπίας του κύβου ισχύουν οι σχέσεις: Σχήµα 4 w x - T = mgηµφ = Τ ) N- w y = mgσυνφ = Ν ) " C )= Τα Νx M = 3)

6 όπου x M η τετµηµένη του σηµείου Μ, στο οποίο τέµνει ο φορέας της δύναµης A την βάση επαφής του κύβου µε το κεκλιµένο επίπεδο, θεωρούµενη στο σύ στηµα αναφοράς Cxy. Όµως η απόσταση x M πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: 3) x M < α ),) Τα/Ν < α Τ/Ν < mgµ" mg#$%" < εφφ < φ < π/4 4) Εξάλλου επειδή η τριβή T είναι στατική απαιτείται η σχέση: T < nn mgηµφ < nmgσυνφ εφφ < n 5) Οι σχέσεις 4) και 5) αποτελούν τις συνθήκες ισορροπίας του κύβου. ii) Έστω ότι ο κύβος ολισθαίνει επί του κεκλιµένου επιπέδου. Τότε η τριβή T είναι τριβή ολισθήσεως και εποµένως ισχύει η σχέση: T = nn = nmgσυνφ 6) Εξάλλου δεν υπάρχει περιστροφή του κύβου περί το κέντρο µάζας του C, οπότε θα ισχύει η σχέση: 6) " C )= Τα Νx M = nmgασυνφ = mgx M συνφ x M = nα Όµως πρέπει x M <α και η παραπάνω σχέση γράφεται: nα < α n < 7) Επειδή υπάρχει µεταφορική κίνηση του κύβου κατά την διεύθυνση του άξονα Cx, θα ισχύει: w x > T mgηµφ > nmgσυνφ εφφ > φ > π/4 8) Οι σχέσεις 7), 8) αποτελούν τις ζητούµενες συνθήκες ολίσθησης του κύβου. iii) Έστω ότι ο κύβος ανατρέπεται περιστρεφόµενος περί την ακµή του Γ. Εάν ' είναι η γωνιακή επιτάχυνση του κύβου κατά την έναρξη της ανατροπής του t=), τότε σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής του κίνησης θα ισ χύει η σχέση: I "'= w x# - w # y = # mg$µ% - mg&'%)

7 m 3 "'= mg 3g #µ$ - %&'$) '= #µ$ - %&'$) 9) 4" Εξάλλου εάν a C είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C του κύβου κατά την χρονική στιγµή t=, αυτή θα είναι επιτρόχια επιτάχυνση, διότι η ταχύτητα του κέντρου µάζας την στιγµή αυτή είναι µηδενική. Οι συνιστώσες της a Cx, a Cy κατά τους άξονες Γx και Γy σχ. 6) έχουν αλγεβρικές τιµές που δίνονται από τις σχέσεις: a Cx = a C "#$ / 4) = %'&C) "#$ / 4) = %''/ a Cy = a ) * C "#$ / 4) = %'&C) µ$ / 4) = %''/ + ) Σχήµα 5 Σχήµα 6 Όµως σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για την κίνηση του κέντρου µάζας θα ισχύει: ma Cx = mgµ" - T ma Cy = N - mg#$%" & ' m"'/ = mg#µ$ - T m"'/ = N - mg%&'$ ) * 9) 3mg /4)"µ# - $%&#) = mg"µ# - T 3mg /4)"µ# - $%&#) = N - mg$%&# ' ) T = mg5µ" + 3#$%")/ 8 N = mg5#$%" + 3µ")/ 8 & ' ) όπου Τ, Ν τα µέτρα της στατικής τριβής και της κάθετης αντίδρασης κατά την χρονική στιγµή t=. Eπειδή ο κύβος δεν ολισθαίνει ισχύει η σχέση: ) T < nn mg5µ" + 3#$%")/ 8 < nmg5#$%" + 3µ")/ 8 5µ" + 3#$%" < 5n#$%" + 3nµ" 5-3n)µ" < 5n - 3)#$%" 5-3n)"" < 5n - 3 3n - 5)"" > 3-5n )

8 H σχέση ) αποτελεί την συνθήκη, ώστε όταν ο κύβος αφεθεί ελεύθερος να ανατρέπεται χωρίς να ολισθαίνει. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος 7) η τροχαλία τ είναι ελεύθερη και έχει µάζα m, ενώ οι τροχαλίες τ, τ είναι σταθερές µε αντίστοιχες µάζες m =m/4 και m =m/, µπορούν δε να περιστρέφονται περί τους άξονές τους οι οποίοι είναι οριζόντιοι. Από τα αυλάκια των τροχαλιών διέρχεται αβαρές και µη εκτατό νήµα στις ελεύθερες άκ ρες του οποίου εφαρµόζονται οι δυνάµεις F, F µε µέτρα F και F αντιστοίχως. Να βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος Σ. Δίνεται η µά ζα m Σ του σώµατος Σ, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδ ράνειας Ι=mR / µιας τροχαλίας µάζας m και ακτίνας R, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στην επι φάνειά της. Να δεχθείτε ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στα αυλάκια των τροχαλιών. ΛΥΣΗ: Το σύστηµα σώµα Σ-τροχαλία τ δέχεται τα βάρη m g, m g του σώµα τος και της τροχαλίας αντιστοίχως και τις τάσεις T, T του νήµατος που περι βάλλει το αυλάκι της τροχαλίας. Εάν a είναι η κοινή επιτάχυνση του σώµατος Σ και του κέντρου µάζας C της τροχαλίας, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα θα ισχύει: T + T - m g - mg = m + m)a ) Σχήµα 7 Εξάλλου οι ροπές των T, T περί τον άξονα της τροχαλίας προσδίδουν σ αυτή περιστροφική κίνηση και αν δεχθούµε ότι η κίνηση αυτή είναι δεξιόστροφη, θα ισχύει σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης η σχέση:

9 T R - T R = mr '/ T - T = mr'/ ) όπου 'η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και R η ακτίνα της. Αν αναφερ θούµε στην τροχαλία τ αυτή περιστρέφεται περί τον άξονά της υπό την επίδ ραση των ροπών των δυνάµεων F, T ' που δέχεται από το νήµα που περιβάλ λει το αυλάκι της και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: F R - T' R = m R ' / F - T' = mr ' / 8 3) όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας τ και R η ακτίνα της. Όµως ισχύει Τ =Τ, οπότε η 3) γράφεται: F - T = mr ' / 8 T = F - mr ' / 8 4) Εξετάζοντας την τροχαλία τ παρατηρούµε ότι αυτή περιστρέφεται υπό την επίδραση των ροπών των δυνάµεων F, T ' που ασκεί το νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: F R - T' R = m R ' / F - T' = mr ' / 4 5) όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας τ και R η ακτίνα της. Όµως ισχύει Τ =Τ, οπότε η 5) γράφεται: F - T = mr ' / 4 T = F - mr ' / 4 6) Εξάλλου για τις εφαπτοµενικές επιταχύνσεις a A, a B των σηµείων Α και Β της τροχαλίας τ µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις: a A = a + R' " # a B = a - R' $ R ' = a + R' " # R ' = a - R' $ οπότε οι σχέσεις 4) και 6) γράφονται: T = F - ma + R')/ 8" # T = F - ma - R')/ 4 $ 7) Συνδυάζοντας την ) µε τις σχέσεις 7) παίρνουµε: F - ma + R') 8 + F - ma - R') 4 - m " g - mg = m " + m)a 4F - ma + R') - ma - R') - 8m " + m)a = 8m " + m)g ma + R') + ma - R') + 8m " + m)a = 4F - 8m " + m)g m + 8m )a - mr"'= 4F - 8m + m)g 8)

10 Συνδυάζοντας εξάλλου την ) µε τις σχέσεις 7) παίρνουµε: F - ma + R') 8 - F + ma - R') 4 = mr' 8F - ma + R') + ma - R') = 4mR' 7mR'- ma = 8F mr'= 8F + ma)/7 9) Από 8) και 9) παίρνουµε τελικά: a = 8[4F - m + m)g] m + 3m Eάν 4F>m Σ +m)g, η επιτάχυνση του σώµατος Σ έχει την φορά που εξ αρχής επιλέξαµε, δηλαδή προς τα πάνω. Εάν 4F<m Σ +m)g, τότε το σώµα επιταχύνεται προς τα κάτω. P.M. fysikos Δύο οµογενείς κυκλικοί δίσκοι της ίδιας µά ζας m και ακτίνων R, R µπορούν να στρέφονται περί τους άξο νές τους οι οποίοι είναι παράλληλοι µεταξύ τους και σταθεροί. Ο δίσκος µεγαλύτερης ακτίνας περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτη τα, ενώ ο άλλος είναι ακίνητος. Μετατοπίζουµε τον άξονα του ακίνητου δίσκου ώστε οι περιφέρειες των δύο δίσκων να έλθουν σε επαφή. i) Εάν µεταξύ των δίσκων υπάρχει τριβή, να βρείτε τις τελικές γωνιακές τους ταχύτητες. ii) Να υπολογίσετε το συνολικό έργο των τριβών. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / οµογενούς δίσκου µάζας m και ακτίνας R, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθε τος στο επίπεδό του. ΛYΣH: i) Κατά την επαφή των δύο δισκων εµφανίζονται τριβές ολίσθησης, οι οποίες δρουν εφαπτοµενικά προς τις περιφέρειές τους και µάλιστα κάθε στιγµή οι τριβές αυτές είναι αντίθετες, ο δε κοινός φορέας τους είναι κάθετος στην ευθεία που συνδέει τα κέντρα µάζας C, C των δίσκων σχ. 8). Η τριβή T επί του δίσκου ακτίνας R έχει ροπή περί τον άξονά του που προκαλεί µείωση της γωνιακής του ταχύτητας, ενώ η τριβή T που δέχεται ο δίσκος ακτίνας R παρουσιάζει ροπή περί τον άξονα του, που τον θέτει σε περιστροφή εκ της ηρε µίας, µε αποτέλεσµα να αυξάνεται η γωνιακή του ταχύτητα. Κάποια στιγµή τα σηµεία επαφής των δίσκων θα αποκτήσουν την ίδια γραµµική ταχύτητα, δηλα δή θα µηδενιστεί η σχετική ταχύτητα των σηµείων επαφής τους µε αποτέλεσ µα να µηδενιστούν οι τριβές T και T οπότε θα σταθεροποιηθούν οι γωνιακές

11 ταχύτητες των δίσκων. Εφαρµόζοντας για τον δίσκο ακτίνας R το θεώρηµα ώθησης-στροφορµής για το χρονικό διάστηµα από την στιγµή t= της επαφής Σχήµα 8 των δίσκων µέχρι την στιγµή t * που σταθεροποιείται η γωνιακή του ταχύτητα, παίρνουµε την σχέση: t * -RT )dt = mr) " - mr) t * " T dt) = mr" - " ) ) όπου η τελική γωνιακή ταχύτητα του δίσκου. Εφαρµόζοντας το ίδιο θεώρη µα για τον δίσκο ακτίνας R και για το ίδιο χρονικό διάστηµα, παίρνουµε την σχέση: t * RT dt) = mr " T dt) = mr " t * όπου η τελική γωνιακή ταχύτητα του δίσκου. Επειδή κάθε στιγµή ισχύει Τ =Τ, έχουµε από τις ) και ) την σχέση: mr - ) = mr / + = 3) Όµως ισχύει και η σχέση: R = R = 4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3) και 4) παίρνουµε: + = = / και = 5) ii) To συνολικό έργο W T των δύο τριβών είναι ίσο µε την µεταβολή της κινητι κής ενέργειας των δύο δίσκων, δηλαδή ισχύει: ) W T = K "# - K $%& = mr) ' + mr ' - mr) ' 5) W T = mr 4 + mr 4-4mR 4 W T = - mr P.M. fysikos