Τεχνικό Σχέδιο - CAD Τρισδιάστατοι Μετασχηματισμοί ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Τρισδιάστατη Αλλαγή κλίμακας [ ] [ ] [ ] j e a j e a û ù é [ ] [ ] [ ] û ù é û ù é [ ] û ù é û ù é / / /
Τρισδιάστατη διάτμηση é b c ù d f [ ] [ + d+ h b+ + i c+ f+ ] h i û Τρισδιάστατες περιστροφές [ ] é ù coq inq - inq coq û [ ] écoj -inj ù inj coj û [ ] é co in ù -in co û
Τρισδιάστατη ανάκλαση [ ] é- ù û [ ] é - ù û [ ] é ù - û Τρισδιάστατη μεταφορά é ù é ù û û m n û [ ] é( + ) ( + m) ( + n) ù
Περιστροφή περί τυχαίου άξονα Να περιστραφεί 3D αντικείμενο κατά γωνία δ περί άξονα διερχόμενο από σημείο Α(,, ) με συνημίτονα κατεύθυνσης c, c, c. é ù é ù - - - [ M] [ R] û û [ R] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( - ) + ( - )- + ( - ) é c + -c cod cc - cod + c ind cc - cod -c ind ù cc - cod - c ind c+ -c cod cc - cod + c ind cc cod c ind cc cod c ind c c cod û Περιστροφή περί τυχαίου άξονα [ ] [ M] [ ][ R ] ér ù[ R ] ér ù [ R ] [ ] û û d é ù - - - û - - - d c + c c co c a ka i ina d d [ R ] é ù é ù coa ina c / d c / d -ina coa -c / d c / d û û éco( -b ) -in(-b ) ù é d c ù ér ù û in( -b ) co( -b ) -c d û û [ ] R d é cod ind ù -ind cod û
Η γενική μήτρα περιστροφής [ ] [ V] ( - ) ( - ) ( - ) [ c c c ] [( - ) ( - ) ( - ) ] ( - ) + ( - ) + ( - ) [ M] [ R] é ù é ù - - - û û [ R] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( - ) + ( - )- + ( - ) é c + -c cod cc - cod + c ind cc - cod -c ind ù cc - cod - c ind c+ -c cod cc - cod + c ind cc cod c ind cc cod c ind c c cod û Ανάκλαση ως προς τυχαίο επίπεδο Μεταφέρουμε ένα γνωστό σημείο του επιπέδου ανάκλασης στην αρχή των συντεταγμένων. Περιστρέφουμε το κάθετο στο επίπεδο ανάκλασης διάνυσμα έως ότου συμπέσει με τον -άξονα. Ο μετασχηματισμός αυτός ταυτίζει το επίπεδο ανάκλασης με το επίπεδο Αφού εφαρμόσουμε τους πιό πάνω μετασχηματισμούς και στο προς ανάκλαση αντικείμενο κάνουμε την ανάκλαση του αντικειμένου ως προς το επίπεδο. Ακολουθούν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί και έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. [ M] [ ][ R ] ér ù[ ] ér ù [ R ] [ ] û û - - - [ n] a + b+ c+ d é c c c ù û [ a b c] a + b + c
Ορθογραφικές προβολές é ù [ P ] û é ù ép ù û û [ ] P é ù û é ù n û [ X Y Z H] [ ] [ n ] Αξονομετρικές προβολές Πίνακας : Τύποι αξονομετρικών προβολών Προβολή Τριμετρική Διμετρική Ισομετρική Περιγραφή Η μήτρα μετασχηματισμού προκαλεί καθαρή περιστροφή σε δύο τυχαίες γωνίες ως προς τους και -άξονες. Υπάρχουν τρείς διαφορετικοί λόγοι απομοίωσης. Δύο από τους τρείς άξονες κατά την προβολή τους μειώνονται ανάλογα. Δύο από τους τρείς λόγους απομοίωσης είναι ίσοι. Ολοι οι άξονες μειώνονται ανάλογα κατά την προβολή τους. Όλοι οι λόγοι απομοίωσης είναι ίσοι.
Τριμετρική προβολή é ù é ù û û [ U][ ] [ ] f + f + f + Οι λόγοι απομείωσης κατά τους κύριους άξονες υπολογίζονται εφαρμόζοντας την μήτρα μετασχηματισμού πάνω στα μοναδιαία διανύσματα. Διμετρική προβολή Στη διμετρική προβολή οι δύο από τους τρεις λόγους απομείωσης είναι ίσοι. écoj -inj ùé ùé ù coq inq û inj coj -inq coq û û û [ ] ér ù[ R ][ P ] ή [ Τ] écoj inj inq ù coq inj - coj inq û q q 4 in -( + f )in + f + co + in in f j j q + co f + in + co in f j j q q Αν f f écoj inj inq ù é ù coj inj inq coq é ù éu [ U][ ] coq ù û inj -coj inq û inj -coj inq û û co j+ in j in q co q ή in q in j - in q Αν f γνωστός τότε ì in q í î f /
Ισομετρική προβολή Επειδή ff και ff co j+ in j in q co q in j+ co j in q co q in j in q in q - in q - in q in j - Έτσι προκύπτουν οι γωνίες: q ±35.6 o j 45. o f q co / 3.865 Η μήτρα ισομετρικής προβολής είναι: [ X Y Z H] [ ] é.777.4848 -.577353 ù.86597.577345.777 -.4848.577353 û Προοπτικός μετασχηματισμός ενός σημείου é ù [ X Y Z H] [ ] [ ( r + ) ] é û + + ( r ) ( r ) r û é ù ù û Από τα όμοια τρίγωνα του σχήματος παίρνουμε: k Þ k + k + k + / k opou r- k k Þ k + k + k + / k
Προοπτικός μετασχηματισμός ενός σημείου é ù [ X Y Z H] [ ] [ ( r + ) ] [ ] r û é r + r + r + ù û é ù q [ X Y Z H] [ ] [ ( q + ) ] [ ] û é q + q + q + ù û Προοπτικός μετασχηματισμός ενός σημείου
Προοπτικός μετασχηματισμός δύο σημείων é [ X Y Z H] [ ] [ ( p + q + ) ] pù q û Προοπτικός μετασχηματισμός τριών σημείων(συν.) é [ X Y Z H] [ ] [ ( p + q + r + ) ] pù q r û [ ] é p + q + r + p + q + r + p + q + r + ù û
Ανακατασκευή τρισδιάστατης πληροφορίας é 3 4ù 3 3 33 34 4 4 43 44û 3 4 [ ] [ X Y Z H] é ù û [ ] [ ] [ ][ ] é 4 4 3 3 34 4 4 44 [ ] [ ] ù û é 4 ù X Y Z H Hé ù 3 3 û 34 4 4 44û 4 Ανακατασκευή τρισδιάστατης πληροφορίας + + + H 3 4 + + + H 3 4 + + + H 4 4 34 44 ( 4 ) ( 4 ) ( 3 34 ) ( 4 44 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 3 34 ) ( 4 44 ) - + - + - + - - + - + - + - ( - 4 ) + ( - 4 ) + ( 3-34 ) + ( 4-44 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 3 34 ) ( 4 44 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 3 34 ) ( 4 44 ) ( - 4 ) +( ) ( ) ( ) - + - + - + - - + - + - + - - 4 + 3-34 + 4-44 [ A][ X] [ B] [ ] A [ A][ X] [ A] [ B] [ A] é - 4-4 3-34 ù - 4-4 3-34 - 4-4 3-34 - 4-4 3-34 û - { } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] X A A A B
Ανακατασκευή τρισδιάστατης πληροφορίας é - - - - ùéù - - - - - - - - 4 - - - - 3-3 3 3-3 3 3-3 3-3 3-3 3 3-33 3-33 -34 4-4 4 4-44 4-44 - 4 3 4-44 4-44 4-44 -43 5-5 5 5-5 5 5-5 5-5 34 5-55 5-55 5-55 - 5 4 6-6 6 6-6 6 6-66 - 6 4 6-66 6-66 6-66 - 6 û 44û [ A ][ ] Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Common Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommon.org/licene/από-nc-a/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων διαθέσιμο με άδεια CC-BY διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND διαθέσιμο με άδεια CC Public Domain διαθέσιμο ως κοινό κτήμα χωρίς σήμανση Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.