ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. του Φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ,ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ,ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΕΩΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΚΑΤΣΑΡΟΥ Αριθμός Μητρώου: 5346 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗ ΤΥΠΟΥ ΠΥΡΗΝΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΑ ΤΥΛΙΓΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟ(Δ)- ΑΣΤΕΡΑΣ(Υ) Επιβλέπων: Δρ.-Μηχ. Ιωάννης Μήλιας-Αργείτης, Αναπληρωτής Καθηγητής Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Μάρτιος 2010

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η διπλωματική εργασία με θέμα: "ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗ ΤΥΠΟΥ ΠΥΡΗΝΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΑ ΤΥΛΙΓΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟ(Δ)-ΑΣΤΕΡΑΣ(Υ)" Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών: ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΚΑΤΣΑΡΟΥ Αριθμό Μητρώου: 5346 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις..././. Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Ιωάννης Μήλιας-Αργείτης Αναπληρωτής Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Καθηγητής

Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: ΤΙΤΛΟΣ: "ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗ ΤΥΠΟΥ ΠΥΡΗΝΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΑ ΤΥΛΙΓΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟ(Δ)- ΑΣΤΕΡΑΣ(Υ) " Φοιτητής: Επιβλέπων: Κατσαρός Τριαντάφυλλος του Γεωργίου Δρ.-Μηχ. Ιωάννης Μήλιας-Αργείτης, Αναπληρωτής Καθηγητής Περίληψη Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η δυναμική εξομοίωση ενός τριφασικού μετασχηματιστή τύπου πυρήνα με συνδεσμολογία τυλιγμάτων Τριγώνου(Δ)- Αστέρα(Υ) σε συνθήκες συμμετρικής και ασύμμετρης φόρτισης. Η διαδικασία της εξομοίωσης περιλαμβάνει την κατάστρωση των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την λειτουργία του τριφασικού μετασχηματιστή, την ομαδοποίηση τους σε Πίνακες και την ενσωμάτωσή τους στον κώδικα εξομοίωσης. Αρχικά γίνεται μια εισαγωγή στους νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού πάνω στους οποίους βασίζεται η λειτουργία των μετασχηματιστών ενώ παρουσιάζονται όλα εκείνα τα μαγνητικά μεγέθη τα οποία θα μας χρησιμεύσουν στην συνέχεια της διπλωματικής.. Στη συνέχεια, και αφού παρατεθεί το αναγκαίο θεωρητικό υπόβαθρο, πραγματοποιείται η ανάλυση του μονοφασικού μετασχηματιστή και αναλύεται λεπτομερώς η λειτουργία του. Πολύτιμη βοήθεια στην ανάλυση αυτή προσφέρεται και από την ανάλυση των μαγνητικών κυκλωμάτων. Το επόμενο βήμα είναι η ανάλυση του τριφασικού μετασχηματιστή μέσω της οποίας εξάγονται οι σχέσεις που περιγράφουν την λειτουργία του. Προσδιορίζεται ο πίνακας L d ενώ καταστρώνονται οι καταστατικές εξισώσεις και ομαδοποιούνται σε πίνακες. Τέλος, πραγματοποιείται η εξομοίωση του τριφασικού μετασχηματιστή μέσω της οποίας προκύπτουν παρατηρήσεις και συμπεράσματα για την λειτουργία του.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται μια εισαγωγή στις Αρχές του Ηλεκτρομαγνητισμού, οι οποίες είναι και η βάση στην οποία στηρίζεται η λειτουργία του μετασχηματιστή. Αναλύεται ο τρόπος δημιουργίας του μαγνητικού πεδίου ενώ παρουσιάζονται συνοπτικά όλα εκείνα τα μαγνητικά μεγέθη τα οποία θα μας χρησιμεύσουν στην συνέχεια της διπλωματικής. Το κεφάλαιο κλείνει με μια αναφορά στην Ηλεκτρομαγνητική Επαγωγή στην οποία στηρίζεται η λειτουργία του μετασχηματιστή. Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται μια διεξοδική ανάλυση των στοιχείων των μετασχηματιστών, ενώ παράλληλα αναπτύσσονται και οι εξισώσεις που περιγράφουν την λειτουργία του μονοφασικού μετασχηματιστή. Γίνεται αναφορά στα είδη και την δομή των μετασχηματιστών, ενώ αναλύονται λεπτομερώς όλα τα είδη των απωλειών που παρουσιάζονται σε έναν μετασχηματιστή. Το κεφάλαιο κλείνει παραθέτοντας το ισοδύναμο κύκλωμα του μονοφασικού μετασχηματιστή. Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται μια εισαγωγή στα μαγνητικά κυκλώματα τα οποία μπορούν να περιγράψουν την μαγνητική συμπεριφορά ενός σιδηρομαγνητικού πυρήνα. Η ανάλυση περιλαμβάνει το ισοδύναμο μαγνητικό κύκλωμα του πυρήνα ενός μονοφασικού μετασχηματιστή, το οποίο μπορεί να επεκταθεί και για έναν τρισκελή ή πεντασκελή πυρήνα ενός τριφασικού μετασχηματιστή. Στο Κεφάλαιο 4 πραγματοποιείται η ανάλυση του τριφασικού μετασχηματιστή. Παρατίθενται όλες οι δυνατές συνδεσμολογίες μεταξύ των τυλιγμάτων του, ενώ στην συνέχεια αναλύεται το μαγνητικό ισοδύναμο κύκλωμα του τρισκελή σιδηρομαγνητικού πυρήνα βάση του οποίου προσδιορίζεται ο Πίνακας L d. Από την ανάλυση του ηλεκτρικού κυκλώματος προκύπτουν οι καταστατικές εξισώσεις που περιγράφουν την λειτουργία του τριφασικού μετασχηματιστή και ομαδοποιούνται με την δημιουργία Πινάκων. Το κεφάλαιο κλείνει κάνοντας μια αναφορά στον τρόπο με τον οποίο εισάγεται η μη γραμμική χαρακτηριστική καμπύλη του υλικού του πυρήνα. Στο Κεφάλαιο 5 πραγματοποιείται η εξομοίωση του τριφασικού μετασχηματιστή, η οποία στηρίζεται στην ανάλυση του Κεφαλαίου 4. Περιγράφονται αριθμητικά και σχηματικά ο μετασχηματιστής καθώς και το δίκτυο μετασχηματιστή-φορτίου που χρησιμοποιήθηκαν. Στην συνέχεια, καταγράφονται οι κυματομορφές των μεγεθών του μετασχηματιστή, όταν στο δευτερεύον τύλιγμά του συνδεθεί είτε συμμετρικό ή ασύμμετρο φορτίο. Το κεφάλαιο κλείνει με την εξαγωγή των συμπερασμάτων που προέκυψαν από την ανάλυση και εξομοίωση του τριφασικού μετασχηματιστή. Τέλος, καταγράφεται η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε καθώς επίσης και ο κώδικας της εξομοίωσης ο οποίος ενσωματώθηκε στο Παράρτημα. Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Αναπληρωτή Καθηγητή Ιωάννη Μήλια- Αργείτη, επιβλέποντα της διπλωματικής μου εργασίας, καθώς επίσης και τον Πτυχιούχο PhD Ανδρέα Θεοχάρη για την ουσιαστική προσφορά και καθοδήγηση τους κατά την διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής. Ευχαριστώ τέλος την οικογένεια μου για την αμέριστη συμπαράστασή της καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου, καθώς επίσης και την Ολυμπία Κοντοέ, τον Αγησίλαο Σολέα και τον Στρατή Ματσούκη για την πολύτιμη βοήθειά τους.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΑΡΧΕΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ..5 1.1 Γενικά...5 1.2 Νόμος των Biot-Savart...6 1.3 Το μαγνητικό πεδίο 7 1.4 Μεγέθη του μαγνητικού πεδίου...10 1.5 Μαγνητική αντίσταση-μαγνητικό κύκλωμα...13 1.6 Καμπύλη μαγνήτισης...15 1.7 Βρόχος υστέρησης...18 1.8 Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή 21 2 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ.25 2.1 Γενικά...25 2.2 Είδη μετασχηματιστών. 27 2.3 Δομή μετασχηματιστών 32 2.4 Αρχή λειτουργίας μονοφασικού μετασχηματιστή 34 2.4.1 Ο ιδανικός Μετασχηματιστής....34 2.4.2 Ο ιδανικός μετασχηματιστής εν κενώ....36 2.4.3 Ο ιδανικός Μετασχηματιστής υπό φορτίο. 40 2.5 Ισοδύναμο πραγματικού μονοφασικού μετασχηματιστή για τη μόνιμη κατάσταση.44 2.5.1 Ροή Σκέδασης....45 2.5.2 Απώλειες Χαλκού...46 2.5.3 Απώλειες Υστέρησης.47 2.5.4 Απώλειες Δινορευμάτων...48 2.5.5 Υπολογισμός των απωλειών υστέρησης και δινορευμάτων με τις σχέσεις του Steinmetz...50 2.5.6 Εξισώσεις και ισοδύναμο κύκλωμα μετασχηματιστή...52 2.5.7 Υπολογισμός στοιχείων μετασχηματιστή...55 1

3 ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ...59 3.1 Γενικά 59 3.2 Εξαγωγή μαγνητικών κυκλωμάτων...60 3.2.1 Εν σειρά μαγνητικές αντιστάσεις...60 3.2.2 Μαγνητικά κυκλώματα με παράλληλους κλάδους 62 3.2.3 Πολλαπλή διέγερση 64 3.2.4 Διάκενα αέρος σε μαγνητικά κυκλώματα...67 3.3 Ανάλυση μαγνητικού κυκλώματος πυρήνα μονοφασικού μετασχηματιστή...69 3.4 Ανάλυση μαγνητικού κυκλώματος πυρήνα τριφασικού μετασχηματιστή...70 3.5 Εισαγωγή της ροής σκέδασης...72 4 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗ 75 4.1 Γενικά 75 4.2 Συνδεσμολογίες τριφασικών μετασχηματιστών...75 4.2.1 Ομάδες συνδεσμολογίας 76 4.2.2 Χρήση των συνδεσμολογιών.79 4.3 Μοντελοποίηση του τριφασικού μετασχηματιστή...80 4.3.1 Ανάλυση του μαγνητικού κυκλώματος ενός μετασχηματιστή με μαγνητικό πυρήνα τριών σκελών...81 4.3.2 Προσδιορισμός του πίνακα L d...89 4.3.3 Ανάλυση του ηλεκτρικού κυκλώματος του τριφασικού μετασχηματιστή 94 4.3.4 Τριφασικός μετασχηματιστής συνδεσμολογίας ΔΥ με ουδέτερο που τροφοδοτεί φορτίο συνδεσμολογίας Υ με ουδέτερο...95 4.3.5 Καταστατικές εξισώσεις του ηλεκτρικού κυκλώματος και δημιουργία πινάκων...100 4.3.6 Εισαγωγή της μη γραμμικής χαρακτηριστικής καμπύλης του υλικού του πυρήνα...101 5 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΞΟΜΟΙΩΣΕΩΝ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗ ΣΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΑ Δ-Υ 103 5.1 Γενικά..103 2

5.2 Αποτελέσματα εξομοίωσης τριφασικού μετασχηματιστή που τροφοδοτεί συμμετρικό ωμικό-επαγωγικό φορτίο...107 5.3 Αποτελέσματα εξομοίωσης τριφασικού μετασχηματιστή που τροφοδοτεί ασύμμετρο ωμικό-επαγωγικό φορτίο...114 5.4 Αποτελέσματα εξομοίωσης τριφασικού μετασχηματιστή με ασυμμετρία τον πυρήνα που τροφοδοτεί συμμετρικό ωμικό-επαγωγικό φορτίο...120 5.5 Παρατηρήσεις και συμπεράσματα εξομοιώσεων...127 ABSTRACT...129 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.130 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.136 3

4

1 ΑΡΧΕΣ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ Ο Μετασχηματιστής είναι μια ηλεκτρική μηχανή, η οποία δεν έχει κινητά μέρη και μεταφέρει ηλεκτρική ενέργεια από ένα κύκλωμα στο άλλο με ηλεκτρομαγνητική επαγωγή, μετασχηματίζοντας την τάση (V) και ένταση του ρεύματος (Ι) χωρίς να μεταβάλλει τη συχνότητα και την ισχύ. Λειτουργεί μόνο στο εναλλασσόμενο ρεύμα, δεν απαιτεί ιδιαίτερη συντήρηση, έχει μεγάλο βαθμό απόδοσης και μας παρέχει τη δυνατότητα της γαλβανικής απομόνωσης δύο κυκλωμάτων. Η μεταφορά μεγάλων ποσοτήτων ηλεκτρικής ενέργειας για να είναι οικονομικά συμφέρουσα πρέπει να γίνεται με υψηλή τάση (ώστε να έχουμε μικρό ρεύμα άρα και λίγες απώλειες). Στη συνέχεια όμως πρέπει η τάση να υποβιβάζεται για να είναι δυνατή η διανομή της ενέργειας στους καταναλωτές και η ακίνδυνη χρησιμοποίησή της. Με την μετασχηματισμένη υψηλή τάση γίνεται με οικονομικό τρόπο η μεταφορά μεγάλων ποσοτήτων ηλεκτρικής ενέργειας στους τόπους καταναλώσεως, οι οποίοι βρίσκονται συνήθως σε μεγάλες αποστάσεις. Εκεί με τη χρησιμοποίηση Μετασχηματιστών υποβιβασμού, η τάση από υψηλή μετατρέπεται σε μέση και τροφοδοτούνται τα δίκτυα διανομής μέσης τάσης 20 kv. Τέλος από τα δίκτυα αυτά με μεσολάβηση πάλι Μετασχηματιστών υποβιβασμού τροφοδοτούνται τα δίκτυα διανομής χαμηλής τάσης 220/3 80 V με τα οποία η ηλεκτρική ενέργεια φτάνει μέχρι τους μικρότερους καταναλωτές. Αν ένας καταναλωτής έχει ανάγκη ηλεκτρικής ενέργειας με διαφορετική τάση π.χ. 110 V από την τάση του δικτύου διανομής, η χρησιμοποίηση ενός Μετασχηματιστή του δίνει μια απλή και οικονομική λύση. Η δυνατότητα χρησιμοποιήσεως Μετασχηματιστών με το εναλλασσόμενο ρεύμα έδωσε σε αυτό τα πλεονεκτήματα, τα οποία το καθιέρωσαν ως το είδος του ρεύματος το οποίο χρησιμοποιούν πια όλες οι χώρες στο δίκτυο ηλεκτροδοτήσεως των καταναλωτών. Η αρχή λειτουργίας όλων των Μετασχηματιστών βασίζεται στις θεωρίες του μαγνητισμού και του ηλεκτρομαγνητισμού. Στη διατύπωση των παραπάνω θεωριών έχουν συμβάλει ερευνητές όπως οι: Tesla, Weber, Oertsted, Ampere, Faraday, Lenz, Laplace. 5

7T (1.1) Το κεφάλαιο αυτό αναφέρεται συνοπτικά σε ορισμένα στοιχεία του μαγνητισμού και του ηλεκτρομαγνητισμού τα οποία είναι αναγκαία στην κατανόηση της λειτουργίας των Μετασχηματιστών. 1.2 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ BIOT-SAVART Βασιζόμενοι στις πειραματικές τους μετρήσεις, οι Biot και Savart κατέληξαν σ' έναν εμπειρικό νόμο που δίνει το μαγνητικό πεδίο συναρτήσει του ρεύματος στο οποίο οφείλεται η δημιουργία του πεδίου αυτού. Ο νόμος των Biot-Savart ορίζει ότι εάν ένα σύρμα διαρρέεται από σταθερό ρεύμα I, τότε ένα στοιχειώδες τμήμα του σύρματος αυτού δημιουργεί σε ένα σημείο Ρ, που βρίσκεται σε ορισμένη απόσταση από το σύρμα, ένα στοιχειώδες μαγνητικό πεδίο db (Σχήμα 1.1) που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Το διάνυσμα db είναι κάθετο στο διάνυσμα ds (που έχει την κατεύθυνση του ρεύματος), καθώς και στο μοναδιαίο διάνυσμα rr στοιχειώδες τμήμα ds προς το σημείο Ρ. που κατευθύνεται από το Το μέτρο του db είναι αντιστρόφως ανάλογο προς το r 2, όπου r απόσταση του τμήματος ds από το σημείο Ρ. είναι η Το μέτρο του db είναι ανάλογο προς το ρεύμα I και προς το μήκος ds του στοιχείου. Το μέτρο του db είναι ανάλογο προς το sinθ, όπου θ είναι η γωνία που περιέχεται ανάμεσα στα διανύσματα ds και r. Επομένως ο νόμος των Biot και Savart δίνεται από την σχέση: db = μ 0 4π Ids x r r 2 6

7T (1.2), όπου μ 0 =4π. 10-7 ( Wb/A m) η μαγνητική διαπερατότητα του κενού, μετρημένη στο μετρικό σύστημα μονάδων μέτρησης (meter-kilogram-second). Το ολικό μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται σ' ένα σημείο από ένα ρεύμα που ρέει μέσα σε έναν αγωγό πεπερασμένου μήκους, υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα της σχέσης 1.1 πάνω σε ολόκληρο τον αγωγό, δηλαδή: B = μ 0Ι 4π ds x r r 2 Σχήμα 1.1 Mαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από ρεύμα I σε στοιχειώδες τμήμα ds. 1.3 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Όταν ένας αγωγός διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα, δημιουργεί γύρω του μαγνητικό πεδίο. Έτσι, απαραίτητη προϋπόθεση για την ανάπτυξη του μαγνητικού πεδίου είναι η κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων. Το ηλεκτρικό ρεύμα είναι αυτό που παράγει το μαγνητικό πεδίο. Αντίστοιχα, το μαγνητικό πεδίο των μόνιμων μαγνητών οφείλεται στις κινήσεις των ηλεκτρονίων γύρω από τον πυρήνα του ατόμου και τον άξονά τους. Αυτές οι κινήσεις των ηλεκτρονίων ισοδυναμούν με στοιχειώδη ηλεκτρικά ρεύματα, τα οποία αναπτύσσουν στοιχειώδη μαγνητικά πεδία. Έτσι, κάθε άτομο οποιοδήποτε υλικού παράγει κάποιο μαγνητικό πεδίο και είναι ένας στοιχειώδης μαγνήτης με βόρειο και νότιο πόλο. 7

Σχήμα 1.2 Το μαγνητικό πεδίο του μαγνήτη σε σχήμα ράβδου. Στα σιδηρομαγνητικά υλικά, από τα οποία κατασκευάζονται οι μαγνήτες, τα μαγνητικά πεδία των ατόμων του υλικού είναι προσανατολισμένα μέσα σε πολύ μικρές περιοχές του υλικού. Αυτές οι περιοχές ονομάζονται περιοχές Weiss και κάθε μια αποτελεί ένα μικροσκοπικό μαγνήτη. Όταν οι περιοχές Weiss του σιδηρομαγνητικού υλικού είναι προσανατολισμένες στην ίδια διεύθυνση, το υλικό έχει τα χαρακτηριστικά ενός μαγνήτη. Αν οι περιοχές Weiss είναι τυχαία προσανατολισμένες, τότε το υλικό δεν παρουσιάζει μακροσκοπικά μαγνητικό πεδίο και εμφανίζεται αμαγνήτιστο. Ένας ρευματοφόρος αγωγός ή ένας μαγνήτης δημιουργεί μαγνητικό πεδίο, δηλαδή ένα χώρο γύρω του στον οποίο ασκούνται μαγνητικές δυνάμεις. Η μορφή του μαγνητικού πεδίου παριστάνεται με τις μαγνητικές ή δυναμικές γραμμές. Στο Σχήμα 1.2 εικονίζεται η μορφή του μαγνητικού πεδίου που παράγεται από ένα μαγνήτη σε σχήμα ράβδου. Οι μαγνητικές γραμμές είναι κλειστές καμπύλες. Έχουν φορά από το βόρειο προ ςτο νότιο πόλο του μαγνήτη και συνεχίζονται και στο εσωτερικό του μαγνήτη, με φορά από το νότιο προς το βόρειο πόλο, σχηματίζοντας κλειστές διαδρομές. Οι δυναμικές γραμμές, εκτός από τη φορά και τη διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου, χρησιμοποιούνται ακόμη στην παράσταση του μέτρου του (ένταση). Όσο πυκνότερες είναι οι μαγνητικές γραμμές, τόσο ισχυρότερο είναι το μαγνητικό πεδίο. Το μαγνητικό πεδίο, όπως εικονίζεται στο Σχήμα 1.2, είναι ισχυρότερο κοντά στους πόλους. 8

Στο Σχήμα 1.3 παρουσιάζεται η μορφή του μαγνητικού πεδίου που αναπτύσσεται από ένα ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό. Οι μαγνητικές γραμμές του πεδίου είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο τον αγωγό, είναι κάθετες ως προς τον αγωγό, ενώ η φορά τους εξαρτάται από τη φορά του ρεύματος στον αγωγό. Αν στο Σχήμα 1.3 η φορά του ρεύματος αντιστραφεί, τότε θα αντιστραφεί και η φορά των δυναμικών γραμμών. Σχήμα 1.3 Το μαγνητικό πεδίο του ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού. Το μαγνητικό πεδίο ενός πηνίου με μεγάλο μήκος σε σχέση με τη διάμετρό του, εικονίζεται στο Σχήμα 1.4. Παρατηρούμε ότι η μορφή του πεδίου είναι όμοια μ εκείνη του ραβδόμορφου μαγνήτη. Το πεδίο στο εσωτερικό του πηνίου είναι ομοιόμορφο, δηλαδή οι μαγνητικές γραμμές είναι παράλληλες μεταξύ τους και ο αριθμός τους είναι σταθερός. Οι μαγνητικές γραμμές εξέρχονται από το ένα άκρο του πηνίου, το οποίο είναι ο βόρειος πόλος του. Το άκρο του πηνίου όπου εισέρχονται οι μαγνητικές γραμμές είναι ο νότιος πόλος. Το μαγνητικό πεδίο του πηνίου υφίσταται, όσο χρονικό διάστημα διαρκεί η ροή του ρεύματος. 9

Σχήμα 1.4 Το μαγνητικό πεδίο του πηνίου μεγάλου μήκους. 1.4. ΜΕΓΕΘΗ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Θεωρούμε ένα πηνίο με Ν σπείρες, το οποίο διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα με ένταση i. Το πηνίο είναι τυλιγμένο γύρω από ένα σιδηρομαγνητικό υλικό, το οποίο αποτελεί τον πυρήνα του Σχήματος 1.5. Στην περίπτωση αυτή, το μαγνητικό πεδίο που αναπτύσσεται από το πηνίο περιορίζεται σχεδόν αποκλειστικά στο εσωτερικό του πυρήνα. Ο νόμος του Ampere ορίζει την ένταση του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πυρήνα, σύμφωνα με τη σχέση: H l=n i (1.3) 10

Στην σχέση (1.3) με H συμβολίζεται το μέτρο ενός διανυσματικού μεγέθους, το οποίο ονομάζεται ένταση του μαγνητικού πεδίου Η. Η διεύθυνση και η φορά της Η ταυτίζονται με τη διεύθυνση και τη φορά των μαγνητικών γραμμών. Το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πυρήνα, από την σχέση (1.3), είναι: H=Ni/l (1.4) Ο αριθμητής στην σχέση (1.3) ονομάζεται μαγνητεγερτική δύναμη F (magnetomotive force, MMF). Μονάδα μέτρησης της μαγνητεγερτικής δύναμης (ΜΕΔ) είναι οι αμπεροστροφές [Αt]. Η μαγνητεγερτική δύναμη είναι αντίστοιχη της ηλεκτρεγερτικής δύναμης στον ηλεκτρισμό. Όπως η ηλεκτρεγερτική δύναμη προκαλεί την κυκλοφορία του ηλεκτρικού ρεύματος, έτσι και η ΜΕΔ είναι η αιτία για τη δημιουργία του μαγνητικού πεδίου με ένταση Η. Μονάδα μέτρησης της έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι οι At/m. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου εκφράζει το έργο του καταβάλλει το ηλεκτρικό ρεύμα i για τη δημιουργία του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πυρήνα. Η ισχύς του παραγόμενου μαγνητικού πεδίου εξαρτάται από το υλικό κατασκευής του πυρήνα και εκφράζεται από το διανυσματικό μέγεθος της μαγνητικής επαγωγής (flux density) B. Η μαγνητική επαγωγή συνδέεται με την ένταση του μαγνητικού πεδίου με τη σχέση: Β=μΗ (1.5) Στην σχέση (1.5), με μ συμβολίζεται η μαγνητική διαπερατότητα (permeability) του υλικού κατασκευής του πυρήνα. Η μαγνητική διαπερατότητα των υλικών εκφράζεται ως προς αυτή του κενού. Η μαγνητική διαπερατότητα του κενού μο, είναι σταθερή και ίση με μ 0 = 4π 10-7 ( Wb/A m). Η μαγνητική διαπερατότητα οποιουδήποτε υλικού μ, συνδέετε μ εκείνη του κενού μέσω της σχετικής μαγνητικής διαπερατότητας μr. 11

μ=μrμο (1.6) Μονάδα μέτρησης της μαγνητικής επαγωγής είναι το Tesla [T]. Από τις σχέσεις (1.4),(1.5) προκύπτει ότι το TT = WWWW AA και επειδή Wb=V s, καταλήγουμε στην σχέση: AA mm mm 1 T = 1 Vs/m 2 (1.7) Η μαγνητική επαγωγή εκφράζει τον αριθμό των μαγνητικών γραμμών που περνούν κάθετα από μια επιφάνεια 1m 2. Ο ολικός αριθμός των μαγνητικών γραμμών που περνά από μια επιφάνεια S, εκφράζεται από το μέγεθος της μαγνητικής ροής φ, σύμφωνα με τη σχέση: Φ = B ds (1.8) Σχήμα 1.5 Πηνίο με πυρήνα από σιδηρομαγνητικό υλικό. 12

Αν το μέτρο της μαγνητικής επαγωγής είναι σταθερό σ όλη την επιφάνεια S και το διάνυσμά της είναι κάθετο στην επιφάνεια, η σχέση (1.8) απλοποιείται στην παρακάτω μορφή: Φ=BS (1.9) Η σχέση (1.9) ισχύει στη διάταξη του Σχήματος 1.5. Επομένως, η μαγνητική ροή που προκαλεί το ρεύμα i στον πυρήνα με διατομή S και μέσο μήκος l, είναι ίση με: Φ = μ NiS l (1.10) Μονάδα μέτρησης της μαγνητικής ροής είναι το Weber [Wb] ή ισοδύναμα το volt second [Vs]. 1.5 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ-ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ Στο Σχήμα 1.5, όταν το πηνίο διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα με ένταση i, δημιουργείται στον πυρήνα ένα μαγνητικό πεδίο με μαγνητική ροή Φ και την εικονιζόμενη φορά. Την φορά της ροής μπορούμε να τη βρούμε με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Σύμφωνα με τον κανόνα αυτό, ο αντίχειρας του δεξιού μας χεριού δείχνει προς την κατεύθυνση του ρεύματος, ενώ υποθέτοντας ότι τα υπόλοιπα δάχτυλα έχουν τυλίξει το πηνίο, δείχνουν την φορά της ροής Φ. Το μέτρο της μαγνητικής ροής από την σχέση (1.10), γράφεται στη μορφή: 13

ΦΦ = ΝΝii ( ll μμ SS ) 16T (1.11) Ο παρονομαστής στην σχέση (1.11) εξαρτάται αποκλειστικά από τις διαστάσεις και το υλικό του πυρήνα και ονομάζεται μαγνητική αντίσταση (reluctance) R m. Επομένως, η μαγνητική αντίσταση είναι ίση με: R m = l μs (1.12) και η μαγνητική ροή εκφράζεται από τη σχέση: ΦΦ = ΝΝii RR mm (1.13) Μονάδα μέτρησης της μαγνητικής αντίστασης είναι, At/Vs=t/Qs=At/Wb. Από την σχέση (1.13) προκύπτει ότι η διάταξη του Σχήματος 1.5 αντιστοιχεί σ' ένα ισοδύναμο μαγνητικό κύκλωμα, το οποίο περιγράφεται από σχέσεις ανάλογες μ' εκείνες των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Στο ηλεκτρικό κύκλωμα του Σχήματος 1.6.α, η τάση της πηγής ή αλλιώς η ηλεκτρεγερτική δύναμη της πηγής u, προκαλεί τη ροή ενός ρεύματος i μέσω της αντίστασης R. Η ροή του ρεύματος είναι το αποτέλεσμα της ηλεκτρεγερτικής δύναμης και η μεταξύ τους σχέση ορίζεται από το νόμο του Ohm: ii = uu RR (1.14) 14

Σχήμα 1.6 (α) Ηλεκτρικό κύκλωμα, (β) Ισοδύναμο μαγνητικό κύκλωμα του πηνίου με πυρήνα του Σχήματος 1.4. Στο Σχήμα 1.6.β εικονίζεται το ισοδύναμο μαγνητικό κύκλωμα του πηνίου με σιδηροπυρήνα του Σχήματος 1.5. Η μαγνητική ροή Φ θεωρείται ως ένα μαγνητικό ρεύμα, το οποίο ρέει στον πυρήνα υπερνικώντας τη μαγνητική του αντίσταση R m (reluctance). Η μαγνητική ροή προκαλείται από τη μαγνητεγερτική δύναμη, η οποία είναι αντίστοιχη της ηλεκτρεγερτικής δύναμης στα ηλεκτρικά κυκλώματα. Επομένως, η σχέση (1.13) αποτελεί το νόμο του Ohm στα μαγνητικά κυκλώματα. Στα ηλεκτρικά κυκλώματα ορίζεται η αγωγιμότητα ως το αντίστροφο της ηλεκτρικής αντίστασης. Αντίστοιχα, στα μαγνητικά κυκλώματα ορίζεται η μαγνητική αγωγιμότητα (permeance), ως το αντίστροφο της μαγνητικής αντίστασης. 1.6 ΚΑΜΠΥΛΗ ΜΑΓΝΗΤΙΣΗΣ Τα υλικά διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες ανάλογα με τη μαγνητική τους συμπεριφορά: σε διαμαγνητικά, παραμαγνητικά και σιδηρομαγνητικά. Τα διαμαγνητικά υλικά έχουν σχετική μαγνητική διαπερατότητα ελάχιστα μικρότερη της μονάδος. Η μαγνητική διαπερατότητα των παραμαγνητικών υλικών είναι ελάχιστα μεγαλύτερη της 15

μονάδος. Τα σιδηρομαγνητικά υλικά έχουν σχετική μαγνητική διαπερατότητα πολύ μεγαλύτερη της μονάδος. Τα σιδηρομαγνητικά υλικά που χρησιμοποιούνται στην κατασκευή των ηλεκτρικών μηχανών έχουν μ r στην περιοχή από 2000 έως 6000. Επομένως, για ορισμένη μαγνητεγερτική δύναμη, η μαγνητική ροή που αναπτύσσεται σ ένα σιδηρομαγνητικό υλικό είναι πολλαπλάσια της ροής που παράγεται στον αέρα. Επειδή η τάση που παράγει μια γεννήτρια ή αντίστοιχα η ροπή που αναπτύσσει ένας κινητήρας εξαρτώνται από το μέγεθος της μαγνητικής ροής, οι ηλεκτρικές μηχανές κατασκευάζονται από σιδηρομαγνητικά υλικά με υψηλό μ r. Στο Σχήμα 1.5 έχουμε θεωρήσει ότι η μαγνητική ροή είναι συγκεντρωμένη στον πυρήνα, επειδή η μαγνητική διαπερατότητα του πυρήνα είναι πολύ μεγαλύτερη από εκείνη του αέρα. Επομένως, η μαγνητική αντίσταση του πυρήνα είναι πολύ μικρότερη της αντίστασης του αέρα. Η μαγνητική διαπερατότητα του αέρα είναι περίπου ίση μ εκείνη του κενού (μair 1). Βέβαια, ένα πολύ μικρό τμήμα της ροής δεν ρέει στον πυρήνα, αλλά κυκλοφορεί μέσω του αέρα. Αυτή η ροή ονομάζεται ροή σκέδασης (leakage flux) Φ σ. Η μαγνητική διαπερατότητα των σιδηρομαγνητικών υλικών δεν είναι σταθερή. Εξαρτάται έντονα από το μέγεθος της μαγνητικής ροής. Για να διευκρινίσουμε τη μεταβολή της μαγνητικής διαπερατότητας θεωρούμε ότι, ο πυρήνας του Σχήματος 1.5 είναι αρχικά απομαγνητισμένος και ότι μεταβάλλουμε το συνεχές ρεύμα στο πηνίο από το μηδέν μέχρι μια μέγιστη τιμή. Αν σχεδιάσουμε σ ένα διάγραμμα τη μεταβολή της παραγόμενης στον πυρήνα μαγνητικής ροής Φ, ως προς την επιβαλλόμενη μαγνητεγερτική δύναμη F=Νi, προκύπτει η καμπύλη του Σχήματος 1.7. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται καμπύλη μαγνήτισης (magnetization curve) του σιδηρομαγνητικού υλικού. 16

Σχήμα 1.7 Τυπική καμπύλη μαγνήτισης των σιδηρομαγνητικών υλικών. Από την καμπύλη μαγνήτισης παρατηρούμε ότι η μαγνητική ροή αυξάνει αρχικά αργά με το ρεύμα. Κατόπιν, έχουμε μια σχεδόν γραμμική μεταβολή της ροής. Στη συνέχεια η μεταβολή της μαγνητικής ροής ως προς τη μαγνητεγερτική δύναμη περιορίζεται σταδιακά και τελικά πέρα από κάποια τιμή της μαγνητεγερτικής δύναμης η ροή παραμένει σχεδόν αμετάβλητη. Η περιοχή όπουη καμπύλη τείνει να γίνει οριζόντια ονομάζεται περιοχή κορεσμού. Στην περιοχή κορεσμού η μαγνητική ροή έχει φθάσει τη μέγιστη τιμή της και μεταβάλλεται ελάχιστα με την επιβαλλόμενη μαγνητεγερτική δύναμη. Η γραμμική περιοχή της καμπύλης ονομάζεται ακόρεστη περιοχή. Στην ακόρεστη περιοχή η ροή μεταβάλλεται γραμμικά με τη μαγνητεγερτική δύναμη. Η περιοχή μετάβασης από τη γραμμική περιοχή στην περιοχή κορεσμού, ονομάζεται γόνατο της καμπύλης. Οι μετασχηματιστές επιθυμούμε να λειτουργούν στη γραμμική περιοχή, πράγμα το οποίο μπορεί να επιτευχθεί ρυθμίζοντας-όπως θα δούμε και παρακάτω-κάποια κατασκευαστικά στοιχεία (διατομή πυρήνα για παράδειγμα). Από την σχέση (1.4)προκύπτει ότι η ένταση του μαγνητικού πεδίουείναι ανάλογη με τη μαγνητεγερτική δύναμη. Από την σχέση (1.9), η μαγνητική επαγωγή είναι ανάλογη της μαγνητικής ροής. Επομένως, η καμπύλη της Εικόνας 7 δίνει υπό άλλη κλίμακα, τη μεταβολή της μαγνητικής επαγωγής συναρτήσει της έντασης του μαγνητικού πεδίου B=f(H). Όμως, από την σχέση (1.5) τα μεγέθη B και H συνδέονται με τη μαγνητική διαπερατότητα του υλικού. Έτσι, η καμπύλη του Σχήματος 1.7 17

απεικονίζει τη μεταβολή της μαγνητικής διαπερατότητας ανάλογα με την ένταση του πεδίου. Η κλίση της καμπύλης ορίζει τη μαγνητική διαπερατότητα του υλικού σε κάθε τιμή της έντασης του πεδίου. Είναι φανερό ότι, η μαγνητική διαπερατότητα λαμβάνει πολύ μικρές τιμές όταν ο πυρήνας λειτουργεί με ισχυρό κορεσμό, γεγονός το οποίο προσπαθούμε να περιορίσουμε. 1.7 ΒΡΟΧΟΣ ΥΣΤΕΡΗΣΗΣ Στο Σχήμα 1.5 θεωρούμε ότι ο πυρήνας είναι αρχικά απομαγνητισμένος και ότι το πηνίο τροφοδοτείται από εναλλασσόμενο ρεύμα (Σχήμα 1.8.α). Όταν το ρεύμα μεταβάλλεται στην περιοχή ab, λαμβάνουμε την καμπύλη μαγνήτισης του υλικού ΑΒ. Καθώς το ρεύμα μειώνεται, στο τμήμα bc, η μαγνητική ροή δεν ακολουθεί την καμπύλη μαγνήτισης. Η μεταβολή της ροής BC, είναι διαφορετική από εκείνη κατά την αύξηση του ρεύματος ab. Στο τμήμα bc του ρεύματος, ο πυρήνας απομαγνητίζεται. Στο σημείο c, όπου το ρεύμα και η μαγνητεγερτική δύναμη μηδενίζονται, η μαγνητική ροή δεν είναι μηδέν αλλά έχει μια τιμή C. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται μαγνητική υστέρηση. Η μαγνητική ροή στο σημείο C ονομάζεται παραμένουσα ροή (residual flux). Το μέγεθος της παραμένουσας ροής εξαρτάται από το είδος του σιδηρομαγνητικού υλικού. Στα υλικά κατασκευής των ηλεκτρικών μηχανών ο παραμένων μαγνητισμός είναι 2-3% της ονομαστικής τιμής. Αντίθετα, στην κατασκευή των τεχνητών μόνιμων μαγνητών χρησιμοποιούνται σιδηρομαγνητικά υλικά, με υψηλό παραμένων μαγνητισμό. 18

Σχήμα 1.8 (α) Εναλλασσόμενο ρεύμα στο πηνίο του Σχήματος 1.5, (β) Τυπικός βρόχος υστέρησης του πυρήνα. 19

Για να απομαγνητίσουμε τον πυρήνα, δηλαδή για το μηδενισμό της ροής, πρέπει να αντιστραφεί η πολικότητα του ρεύματος, άρα και της μαγνητεγερτικής δύναμης. Η μαγνητεγερτική δύναμη που απομαγνητίζει τον πυρήνα D και η οποία αντιστοιχεί στο ρεύμα d, ονομάζεται απομαγνητίζουσα δύναμη. Ο πυρήνας μαγνητίζεται κατά την αντίθετη φορά καθώς το ρεύμα αυξάνεται σε αρνητικές τιμές, μέχρι την τιμή Ε, η οποία αντιστοιχεί στην περιοχή κορεσμού. Το σημείο Ε είναι συμμετρικό ως προς το Β. Το ρεύμα μειώνεται προς το μηδέν στο τμήμα ef και μαζί του ελαττώνεται η μαγνητική ροή. Η παραμένουσα αρνητική μαγνητική ροή F μηδενίζεται, όταν το ρεύμα λάβει τη θετική τιμή g. Στο σημείο b του ρεύματος, η ροή έχει λάβει ξανά τη μέγιστη θετική τιμή της Β. Έτσι ολοκληρώνεται ο βρόχος υστέρησης του πυρήνα, καμπύλη ΒCDEFGB. Ο κορεσμός των σιδηρομαγνητικών υλικών οφείλεται στον πλήρη προσανατολισμό των περιοχών Weiss, όταν η μαγνητεγερτική δύναμη έχει υψηλή τιμή. Οι αρχικά τυχαία προσανατολισμένες περιοχές Weiss του υλικού, έχουν την τάση να ακολουθούν τη διεύθυνση και τη φορά του εξωτερικά επιβαλλόμενου μαγνητικού πεδίου. Αυτός είναι ο λόγοςπου τα σιδηρομαγνητικά υλικά έχουν πολύ μεγάλη μαγνητική διαπερατότητα. Όταν όλες οι περιοχές Weiss προσανατολιστούν στο επιβαλλόμενο πεδίο, κάθε παραπέρα αύξηση της μαγνητεγερτικής δύναμης προκαλεί μια ασήμαντη αύξηση της ροής, όση θα είχαμε στον αέρα (κορεσμός). Με την απομάκρυνση της επιβαλλόμενης μαγνητεγερτικής δύναμης, οι περιοχές Weiss δεν ξαναπαίρνουν τις αρχικές τυχαίες κατευθύνσεις τους. Έτσι, το υλικό παραμένει μαγνητισμένο, δηλαδή γίνεται μόνιμος μαγνήτης. Για την πλήρη απομαγνήτιση του υλικού πρέπει να εφαρμοστεί μια μαγνητεγερτική δύναμη με την αντίθετη φορά. Επομένως, πρέπει να προσφερθεί στο υλικό ενέργεια για την απομαγνήτιση του, όπως έγινε και κατά τη διαδικασία της μαγνήτισης. Όσο μεγαλύτερη είναι η παραμένουσα ροή, τόσο μεγαλύτερη είναι η ενέργεια που απαιτείται για την απομαγνήτιση του υλικού (συνεκτική δύναμη). Η ενέργεια της απομαγνήτισης, εκτός από τη μαγνητεγερτική δύναμη, μπορεί να έχει τη μορφή θερμότητας ή μηχανικού χτυπήματος. Η απαίτηση παροχής ενέργειας στα σιδηρομαγνητικά υλικά για την απομαγνήτισή τους, προκαλεί τις απώλειες υστέρησης. Οι απώλειες υστέρησης ενός υλικού εξαρτώνται από το εμβαδόν του βρόχου υστέρησης. Όσο μικρότερο είναι το εμβαδόν του βρόχου υστέρησης, δηλαδή όσο μικρότερες είναι οι τιμές της 20

παραμένουσας ροής και της συνεκτικής δύναμης, τόσο μικρότερες είναι οι απώλειες υστέρησης. Οι απώλειες υστέρησης μαζί με τις απώλειες εξαιτίας των δινορευμάτων, προκαλούν τη θέρμανση του πυρήνα. Οι απώλειες υστέρησης και δινορευμάτων ονομάζονται μαζί απώλειες σιδήρου ή πυρήνα (iron, core losses). 1.8 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Το φαινόμενο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής ανακαλύφθηκε και διατυπώθηκε μαθηματικά από το Faraday το 1831. Στο φαινόμενο αυτό στηρίζεται η λειτουργία όλων των ηλεκτρικών μηχανών. Σύμφωνα με το νόμο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής, ή νόμο του Faraday, όταν μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που διέρχεται από ένα πλαίσιο, επάγεται στα άκρα του πλαισίου μια ηλεκτρεγερτική δύναμη, η οποία είναι ανάλογη με την ταχύτητα μεταβολής της μαγνητικής ροής: e = N dφ dt (1.15) Στην σχέση (1.15), Ν είναι ο αριθμός των σπειρών του πλαισίου (πηνίου) και Φ η μαγνητική ροή που διέρχεται απ αυτές. Στην ανάλυση των ηλεκτρικών μηχανών και των μετασχηματιστών, η σχέση (1.15) γράφεται στη μορφή: e = dλ dt (1.16) όπου, λ είναι η πεπλεγμένη ροή (linkage flux). Η πεπλεγμένη ροή ορίζεται από τη σχέση: 21

(1.18) λ = Ν Φ (1.17) όταν η ίδια ροή διέρχεται από όλες τις σπείρες του πλαισίου, ή από τη σχέση: λ = Ν j=1 16T Φ j όταν η ροή σε κάθε σπείρα είναι διαφορετική. Το αρνητικό πρόσημο στις σχέσεις (1.15), (1.16) οφείλεται στο νόμο του Lenz. Σύμφωνα με το νόμο του Lenz, η πολικότητα της επαγόμενης τάσης στο πλαίσιο είναι τέτοια ώστε, εάν τα άκρα του πλαισίου τροφοδοτούν ένα φορτίο το ρεύμα που θα κυκλοφορήσει να παράγει ένα μαγνητικό πεδίο το οποίο να αντιτίθεται στο αίτιο που το προκάλεσε. Το ρεύμα στο πλαίσιο ονομάζεται επαγωγικό ρεύμα. Ο προσδιορισμός της φοράς του επαγωγικού ρεύματος γίνεται φανερός από τη διάταξη του Σχήματος 1.9, η οποία είναι ένας μετασχηματιστής. Σχήμα 1.9 Αρχή λειτουργίας του μετασχηματιστή, σύμφωνα με τους νόμους του Faraday και του Lenz. 22

Το πρωτεύον τύλιγμα του μετασχηματιστή Ν 1 διαρρέεται από το ρεύμα i 1 και προκαλεί τη ροή Φ 1 στον πυρήνα. Η ροή Φ 1 διέρχεται από τις σπείρες του δευτερεύοντος τυλίγματος Ν 2, με αποτέλεσμα την ανάπτυξη της τάσης από επαγωγή e 2. Όταν το δευτερεύον τύλιγμα είναι κλειστό, μέσω της αντίστασης φορτίου R, το επαγωγικό ρεύμα i 2 έχει τη σημειωμένη φορά. Το ρεύμα i 2 προκαλεί τη μαγνητική ροή Φ 2, με φορά αντίθετη της Φ 1, η οποία το προκάλεσε. Όταν η ροή στον πυρήνα του Σχήματος 1.9 μεταβάλλεται χρονικά, όπως απαιτεί η λειτουργία του μετασχηματιστή, επάγονται τάσεις εκτός από το δευτερεύον τύλιγμα και μέσα στο υλικό του πυρήνα. Αυτές οι τάσεις προκαλούν την κυκλοφορία ρευμάτων μέσα στον πυρήνα. Τα ρεύματα αυτά, επειδή ακολουθούν διαδρομές που μοιάζουν με δίνες, ονομάζονται δινορεύματα (eddy currents). 23

24

2 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ 2.1 ΓΕΝΙΚΑ Η ανακάλυψη του μετασχηματιστή και η ταυτόχρονη ανάπτυξη των πηγών εναλλασσόμενης τάσεως (επαγωγικοί κινητήρες, τέλη 19 ου αιώνα), οδήγησε στην ανάπτυξη των ενεργειακών συστημάτων εναλλασσομένου ρεύματος, που παραμέρισαν όλους τους προηγούμενους περιορισμούς στο επίπεδο ισχύος και το μέγεθος των συστημάτων ισχύος. Στην ιδανική περίπτωση, ο μετασχηματιστής μετατρέπει το επίπεδο της εναλλασσόμενης τάσης που εφαρμόζεται στην είσοδο του, σε τάση με διαφορετικό επίπεδο και σταθερή συχνότητα στην έξοδο του, χωρίς σημαντικές απώλειες. Έτσι, όταν η τάση εισόδου ανυψώνεται το αντίστοιχο ρεύμα υποβιβάζεται ώστε η ισχύς εξόδου να είναι ίση με την ισχύ εισόδου. Με αυτόν τον τρόπο είναι δυνατή η παραγωγή εναλλασσόμενης τάσης σε κάποιο κεντρικό σημείο, η ανύψωση του επιπέδου της και η μεταφορά της σε μεγάλες αποστάσεις χωρίς σημαντικές απώλειες. Πιο αναλυτικά, εάν Ρ είναι η ισχύς που πρέπει να μεταφερθεί με ονομαστική τάση V, τότε οι απώλειες ισχύος Ρ απ στην γραμμή μεταφοράς προκύπτουν: P=VIcosφ P απ =Ι 2 R PPαααα = II 22 RR = ( VV ccccccφφ )22 ρρ ll = qq PP ρρ ll PP22 VV 22 ccccccφφ qq RR = ρρ ll qq Όπως είναι φανερό, οι απώλειες ισχύος στην γραμμή μεταφοράς ελαττώνονται αυξανομένης της τάσεως. Από την πιο πάνω σχέση προκύπτει ότι ο δεκαπλασιασμός του επιπέδου τάσης πριν από την μεταφορά της και η αντίστοιχη μείωση του ρεύματος, συνεπάγεται εκατό φορές μείωση των απωλειών μεταφοράς. Ένα επιπρόσθετο 25

πλεονέκτημα της χρησιμοποίησης υψηλής τάσεως κατά την μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας είναι η μεγαλύτερη ικανότητα μεταφοράς ισχύος P ij μεταξύ των σημείων i, j της γραμμής μεταφοράς σύμφωνα με την σχέση: PP iiii = VV jjvv ii XX ssssssδδ Στην πραγματικότητα όμως, η αύξηση της τάσεως στο δίκτυο μεταφοράς ισοδυναμεί με αύξηση του κόστους του εξοπλισμού που απαιτείται για να καταστεί δυνατή αυτή η μεταφορά (κόστος μετασχηματιστών, μόνωση, διατομή αγωγών). Έτσι η πιο συμφέρουσα οικονομικά τάση που χρησιμοποιείται για την διανομή της ηλεκτρικής ενέργειας, προκύπτει έπειτα από οικονομική ανάλυση της τάσεως συναρτήσει του κόστους του εξοπλισμού. Στο σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας της Ελλάδος, η ηλεκτρική ενέργεια παράγεται με επίπεδο τάσης 11 ως 25 KV και αυξάνεται στην τάση μεταφοράς με τους μετασχηματιστές. Στην Ελλάδα για μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας χρησιμοποιείται τάση 400 KV (περιλαμβάνει εναέριες γραμμές μήκους 1937 Km) και 150 KV (περιλαμβάνει εναέριες γραμμές μήκους 7697 Km, καλώδια 24.5 Km και υποβρύχια καλώδια 85 Km). H τάση αυτή υφίσταται περαιτέρω μείωση μέσω των γραμμών μέσης τάσης οι οποίες λειτουργούν κυρίως στα 20 KV, μέχρις ότου φτάσουμε στα επίπεδα χαμηλής τάσης της τάξεως των 380/220 V. Επιπλέον δε, οι μετασχηματιστές χρησιμοποιούνται σε μια πληθώρα εφαρμογών, όπως για την μέτρηση τάσης ή ρεύματος, για τον μετασχηματισμό σύνθετων αντιστάσεων, για την γαλβανική (ή ηλεκτρική) απομόνωση των κυκλωμάτων, σε ηλεκτρικές και ηλεκτρονικές συσκευές. 26

2.2 ΕΙΔΗ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΩΝ Ο σκοπός για τον οποίο προορίζεται κάθε φορά ο μετασχηματιστής υπαγορεύει τα χαρακτηριστικά του αλλά και τον τρόπο κατασκευής του. Οι πλέον συνήθεις μετασχηματιστές είναι: Μετασχηματιστές ισχύος για τη μεταφορά και διανομή ηλεκτρικής ενέργειας. Μετασχηματιστές για την τροφοδότηση διατάξεων στατικών μετατροπέων. Μετασχηματιστές μετρήσεων, για τη σύνδεση οργάνων μετρήσεως σε δίκτυα. Μετασχηματιστές τηλεπικοινωνιών. Οι μετασχηματιστές ισχύος διακρίνονται περεταίρω : 1) Ως προς τον αριθμό των φάσεών τους σε : Τριφασικούς Μετασχηματιστές: Χρησιμοποιούνται για τη μετατροπή της τάσεως σε τριφασικό σύστημα. Μονοφασικούς Μετασχηματιστές: Χρησιμοποιούνται για τη μετατροπή της τάσεως μίας φάσεως του τριφασικού συστήματος. 2) Ως προς τον τρόπο ψύξης τους σε: Ξηρούς Μετασχηματιστές: Οι ξηροί μετασχηματιστές ψύχονται με αέρα. Μετασχηματιστές λαδιού: Οι Μετασχηματιστές λαδιού ψύχονται με κυκλοφορία λαδιού. 3) Ως προς τον χώρο τοποθέτησής τους σε : Μετασχηματιστές υπαίθρου. Μετασχηματιστές κλειστού χώρου. 27

4) Ως προς τη χρήση τους στο σύστημα ηλεκτροδότησης σε: Μετασχηματιστές μονάδος ή ανυψώσεως: Συνδέονται στην έξοδο των γεννητριών και ανυψώνουν την τάση ώστε να οδηγηθεί στη γραμμή μεταφοράς. Μετασχηματιστές υποσταθμών ή υποβιβασμού: Συνδέονται στο τέλος των γραμμών μεταφοράς και υποβιβάζουν την τάση στα επίπεδα διανομής. Μετασχηματιστές διανομής: Υποβιβάζουν την τάση στα επίπεδα χρησιμοποίησης. 5) Ως προς τον τύπο του πυρήνα σε: Μετασχηματιστές τύπου πυρήνα: Τα τυλίγματα του μετασχηματιστή τοποθετούνται γύρω από τις δύο πλευρές (σκέλη) ενός ορθογώνιου πυρήνα. Μετασχηματιστές τύπου κελύφους ή μανδύα : Σε αυτού του τύπου τους μετασχηματιστές τα τυλίγματα του μετασχηματιστή τοποθετούνται στο μεσαίο σκέλος και η ροή κλείνει κύκλωμα από τα ακριανά σκέλη και το ζύγωμα. Ο πυρήνας περιβάλλει τα τυλίγματα. 28

Ανεξάρτητα από τον τύπο στον οποίο ανήκει ένας μετασχηματιστής, ο πυρήνας του είναι κατασκευασμένος από λεπτά σιδηρομαγνητικά ελάσματα πυριτιούχου χάλυβα πάχους 0.5 mm ή 0.3 mm. Τα ελάσματα αυτά είναι μονωμένα μεταξύ τους με ειδικό μονωτικό βερνίκι για την ελάττωση των δινορευμάτων που επάγονται στον πυρήνα. Όταν τα ελάσματα τοποθετούνται το ένα πάνω στο άλλο έτσι ώστε τα κενά μεταξύ του τέλους των ελασμάτων του ενός στρώματος να επικαλύπτονται από το έλασμα του επόμενου στρώματος τότε ο πυρήνας ονομάζεται στοιβαχτός πυρήνας. 29

Όταν τα ελάσματα τυλίγονται σε μορφή πυρήνα με αποκομμένες λωρίδες μαγνητικού υλικού, τότε ο πυρήνας ονομάζεται τυλιχτός πυρήνας. Τα τυλίγματα Υψηλής και Χαμηλής τάσης ενός Μετασχηματιστή μπορούν να τοποθετηθούν με δύο τρόπους: Ομόκεντρα ή συγκεντρικά: Το τύλιγμα χαμηλής τάσης τοποθετείται στο εσωτερικό του τυλίγματος υψηλής τάσης. Τυλίγματα Υ.Τ. Τυλίγματα Χ.Τ. 30

Σε δίσκους: Τα δύο τυλίγματα χωρίζονται σε υποπηνία (δίσκους) οι οποίοι τοποθετούνται εναλλάξ ένας δίσκος χαμηλής τάσης ένας υψηλής τάσης κλπ. Οι δίσκοι χαμηλής τάσης συνδέονται σε σειρά μεταξύ τους ομοίως και οι δίσκοι υψηλής τάσης. Έτσι έχουμε δύο άκρα για τη χαμηλή τάση και δύο για την υψηλή. Τύλιγμα Χ.Τ. Τύλιγμα Υ.Τ. Τα ομόκεντρα τυλίγματα έχουν τα εξής πλεονεκτήματα: Λύνουν το πρόβλημα της μόνωσης μεταξύ του πυρήνα και του τυλίγματος υψηλής τάσης. Η μαγνητική ροή σκεδάσεως μειώνεται σημαντικά σε σχέση με οποιοδήποτε άλλο τρόπο κατασκευής. Το τύλιγμα χαμηλής τάσης το οποίο θα δεχτεί τις μεγαλύτερες καταπονήσεις κατά τη διάρκεια βραχυκυκλώματος στερεώνεται γερά γύρω από τον πυρήνα έτσι δεν υπάρχει κίνδυνος καταστροφής του τυλίγματος υψηλής τάσης που βρίσκεται εξωτερικά. 31

2.3 ΔΟΜΗ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΩΝ Το ενεργό μέρος ενός στοιχειώδους μετασχηματιστή αποτελείται από δύο τυλίγματα μονωμένα ηλεκτρικά μεταξύ τους. Το ένα από τα δύο τυλίγματα του Μ/Σ συνδέεται με μια εναλλασσόμενη πηγή τάσεως, το μέγεθος της οποίας πρόκειται να μετασχηματιστεί, ενώ το άλλο συνδέεται με ένα φορτίο το οποίο πρόκειται να τροφοδοτηθεί με την μετασχηματισμένη τάση. Το πρώτο τύλιγμα καλείται «πρωτεύον ή τύλιγμα εισόδου» ενώ το δεύτερο τύλιγμα καλείται «δευτερεύον ή τύλιγμα εξόδου». Ωστόσο ο μετασχηματιστής μπορεί να λειτουργήσει και αντίστροφα, επομένως η διάκριση των τυλιγμάτων σε πρωτεύον και δευτερεύον δεν αντιστοιχεί σ' ένα κατασκευαστικό γεγονός, εφ όσον και τα δύο τυλίγματα μπορούν να λειτουργήσουν σαν πρωτεύον ή σαν δευτερεύον. Κατασκευαστικά τα δύο τυλίγματα του Μ/Σ διακρίνονται σε: (α) τύλιγμα υψηλής τάσεως (Υ.Τ) και (β) τύλιγμα χαμηλής τάσεως (Χ.Τ), το οποίο αποτελείται από μικρότερο αριθμό σπειρών σε σχέση με το τύλιγμα Υ.Τ. Τα τυλίγματα αυτά τυλίγονται σε κοινό μαγνητικό πυρήνα, που αποτελείται από λεπτά μαγνητικά ελάσματα. Το πάχος τους ποικίλλει από 0,3 ως 0,5 mm (στις χαμηλές συχνότητες) μαλακού σιδηρομαγνητικού υλικού, ενώ ταυτόχρονα μονώνονται μεταξύ τους με ένα στρώμα βερνικιού ή με λεπτό κατάλληλο χαρτί. Τα κύρια μέρη του μετασχηματιστή είναι: Ο Πυρήνας που αποτελείται από λεπτά ελάσματα σιδηρομαγνητικού υλικού και παρέχει μαγνητικό κύκλωμα με χαμηλή αντίσταση στην κυκλοφορία της μαγνητικής ροής. Η υψηλή μαγνητική διαπερατότητα του σιδηρομαγνητικού πυρήνα εξασφαλίζει ότι ένα μεγάλο ποσοστό της μαγνητικής ροής που παράγεται μέσα στον πυρήνα, από ένα ρεύμα που ρέει μέσα στο ένα τύλιγμα, θα συνδέεται με το άλλο τύλιγμα. Με άλλα λόγια η υψηλή μαγνητική διαπερατότητα του σιδηρομαγνητικού πυρήνα παρέχει ένα υψηλό βαθμό μαγνητικής σύζευξης μεταξύ των τυλιγμάτων. Το Πρωτεύον Τύλιγμα, που παραλαμβάνει την ενέργεια από την πηγή εναλλασσόμενου ρεύματος και δημιουργεί ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο. Το Δευτερεύον Τύλιγμα, που παραλαμβάνει την ενέργεια με αμοιβαία επαγωγή από το πρωτεύον και τη μεταφέρει στο φορτίο. Το Περίβλημα. 32

Στο Σχήμα 2.1 που ακολουθεί, διακρίνουμε την μορφή μετασχηματιστών τύπου πυρήνα. Βλέπουμε ότι ο πυρήνας παρέχει το δρόμο στην μαγνητική ροή Φ, έτσι ώστε να επέλθει η μαγνητική σύζευξη. Σχήμα 2.1 Μετασχηματιστής τύπου πυρήνα. Τα χαρακτηριστικά του τυλίγματος Υψηλής Τάσης είναι ο μεγαλύτερος αριθμός σπειρών από λεπτό σύρμα σε σχέση με το τύλιγμα χαμηλής τάσης το οποίο έχει μικρότερο αριθμό σπειρών από χοντρό σύρμα. Οι σπείρες κάθε τυλίγματος είναι ηλεκτρικά μονωμένες μεταξύ τους. Η μόνη σύζευξη μεταξύ τους πραγματοποιείται μέσω του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του σιδηρομαγνητικού πυρήνα. 33

2.4 ΑΡΧΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗ Συνοπτικά μπορούμε να διακρίνουμε τρία απλά μοντέλα λειτουργίας ενός μονοφασικού μετασχηματιστή: Την περίπτωση του ιδανικού μετασχηματιστή. Την περίπτωση μη ιδανικού μετασχηματιστή άλλα ιδανικής μαγνητικής σύζευξης ανάμεσα στα τυλίγματα του. Την περίπτωση του πραγματικού μετασχηματιστή στη λειτουργία της μόνιμης κατάστασης του. Στη συνέχεια παρατίθεται η παρουσίαση ενός ιδανικού και ενός πραγματικού μονοφασικού μετασχηματιστή στη μόνιμη κατάσταση. 2.4.1. Ο ιδανικός Μετασχηματιστής Ιδανικός ονομάζεται ο μετασχηματιστής ο οποίος δεν παρουσιάζει απώλειες κατά τη μεταφορά της ισχύος από το πρωτεύον τύλιγμα στο δευτερεύον. Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας έχει άπειρη μαγνητική διαπερατότητα μ=, άρα όλη η ροή περνά μέσα απ αυτόν. Δεν εμφανίζει απώλειες υστέρησης και δινορευμάτων, η άεργη ισχύς Q m που απαιτείται για τη μαγνήτιση του πυρήνα είναι μηδέν. Οι ωμικές αντιστάσεις r 1 και r 2 καθώς και οι αντιστάσεις σκέδασης Χ σ1, Χ σ2 των τυλιγμάτων του είναι μηδέν. Η καμπύλη μαγνήτισης ενός ιδανικού Μετασχηματιστή φαίνεται στο Σχήμα 2.2 ενώ το ισοδύναμο κύκλωμά του στο Σχήμα 2.3. Η λειτουργία του στηρίζεται στο νόμο του Faraday: E dl = d B ds e = N dφ = E dl dt dt 34

B H Σχήμα 2.2 Καμπύλη μαγνήτισης ιδανικού μετασχηματιστή. I 1 I 2 Ε 1 E 2 N 1 N 2 Σχήμα 2.3 Ισοδύναμο κύκλωμα ιδανικού μετασχηματιστή. 35

6T (2.1) 2.4.2. Ο ιδανικός μετασχηματιστής εν κενώ Ονομάζουμε «εν κενώ λειτουργία» την λειτουργία του μετασχηματιστή κατά την οποία το πρωτεύον τύλιγμα του τροφοδοτείται με μια ημιτονοειδή πηγή τάσης και το δευτερεύον τύλιγμα του παραμένει ανοιχτό (i 2 =0). Στο Σχήμα 2.4.α δείχνεται το κυκλωματικό διάγραμμα της εν κενώ λειτουργίας του μονοφασικού μετασχηματιστή, ενώ στο Σχήμα 2.4.β δείχνεται το αντίστοιχο ισοδύναμο κύκλωμα. Σχήμα 2.4 α) Κυκλωματικό διάγραμμα της εν κενώ λειτουργίας του μονοφασικού μετασχηματιστή, β) Ισοδύναμο κύκλωμα. Η ημιτονοειδής τάση που εφαρμόζεται στα άκρα του πρωτεύοντος τυλίγματος (u 1 =V 1max sinωt) προκαλεί την ροή ενός ημιτονοειδούς ρεύματος μέσα στο πρωτεύον τύλιγμα το οποίο, όπως συμβαίνει μέσα σε ένα καθαρά επαγωγικό κύκλωμα, καθυστερεί σε φάση της τάσεως που το προκαλεί κατά 90. Η μαγνητεγερτική δύναμη (ΜΕΔ) του πρωτεύοντος τυλίγματος F 1 = Ν 1 i 1, προκαλεί την ροή μιας ημιτονοειδούς μαγνητικής ροής Φ μέσα στον πυρήνα, σύμφωνα με την σχέση: N 1 i 1 =R m Φ όπου R m η μαγνητική αντίσταση του πυρήνα του μετασχηματιστή. Η χρονικά μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή μέσα στον πυρήνα, όπως προκύπτει από τον νόμο της επαγωγής του Faraday, επάγει μια ηλεκτρεγερτική δύναμη (ΗΕΔ) e 1, στο πρωτεύον τύλιγμα, που δίνεται από τη σχέση: ee₁ = ddλλ dddd 36

, όπου λ είναι η συνολική πεπλεγμένη ροή που διαπερνά το πρωτεύον τύλιγμα και είναι ίση με το άθροισμα των ροών που διέρχονται από την καθεμιά σπείρα του εν λόγω τυλίγματος, δηλαδή: λλ = ΝΝ₁ ii=11 ΦΦ ii 6T (2.2) Η συνολική πεπλεγμένη ροή του πρωτεύοντος τυλίγματος δεν είναι απλά ίση με Ν 1 Φ, γιατί η ροή που διέρχεται από την κάθε μια σπείρα του τυλίγματος δεν είναι η ίδια για όλες τις σπείρες, αλλά διαφέρει ανάλογα με την θέση της καθεμιάς στον πυρήνα. Από αυτό το σημείο και έπειτα θα θεωρούμε στους υπολογισμούς μας ότι όλες οι σπείρες του τυλίγματος διαπερνώνται από το ίδιο ποσό μαγνητικής ροής, το οποίο αντιστοιχεί στην μέση τιμή της μαγνητικής ροής που δίνεται από την σχέση Φ =λ/ν 1. Επομένως η επαγόμενη τάση e 1 στο πρωτεύον τύλιγμα όπως δίνεται από την σχέση 2.2 γίνεται: e₁ = N₁ dφφ dt (2.3) Επειδή οι απώλειες ισχύος κατά την λειτουργία του ιδανικού μετασχηματιστή θεωρούνται μηδενικές, από τον νόμο των τάσεων τουkirchhoff προκύπτει ότι η επαγόμενη στο πρωτεύον τύλιγμα ΗΕΔ e 1, σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα από την ώρα που θα κλείσει ο διακόπτης S, πρέπει να είναι ίση με την τάση της πηγής που εφαρμόζεται στο πρωτεύον τύλιγμα u 1. Υποθέτοντας ότι η τάση της πηγής είναι u 1 =V 1max cos (ωt), τότε ισχύει: e 1 = u 1 N₁ dφφ dt (2.4) = V 1max cos(ωt) 37

11T sin(ωt) και λύνοντας ως προς την μαγνητική Φ προκύπτει: t φ(t) = V 1max V cos(ωτ) dτ + Φ(0) = 1max sin(ωt) + φ(0) (2.5) Ν 1 0 ων 1, όπου Φ(0) είναι μια σταθερά που προκύπτει από το ολοκλήρωμα και η οποία λαμβάνει υπ όψιν τυχόν ποσό αρχικής μαγνητικής ροής μέσα στον πυρήνα, τη στιγμή που εφαρμόζεται η πηγή τάσης στην είσοδο του μετασχηματιστή. Για απλούστευση των υπολογισμών μας, θα θεωρήσουμε ότι την στιγμή που εφαρμόζεται η πηγή τάσης, η τιμή της μαγνητικής ροής μέσα στον πυρήνα είναι μηδέν, δηλαδή Φ(0)=0. Επιπλέον, αντικαθιστώντας την μέγιστη τιμή της τάσεως V 1 με V 1max = 2 11TV συχνότητα ω=2πf στην σχέση (2.5) προκύπτει: 1rms και την Φ = (2.6) 2 V1rms 2πfΝ 1 Επομένως η μέγιστη τιμή της μαγνητικής ροής που δημιουργείται μέσα στον πυρήνα είναι: Φ max = VV1rrrrrr 4,44NN₁ff (2.7) Από την σχέση 2.7 είναι φανερό ότι η μέγιστη τιμή της μαγνητικής ροής μέσα στονπυρήνα, εξαρτάται από την ενεργό τιμή της τάσεως της πηγής, από τον 38

αριθμό των σπειρών του πρωτεύοντος τυλίγματος, από την συχνότητα λειτουργίας του μετασχηματιστή και είναι ανεξάρτητη από την μαγνητική αντίσταση R m του πυρήνα. Ωστόσο η μαγνητική αντίσταση του πυρήνα που αντιστοιχεί στη μέγιστη τιμή της μαγνητικής ροής, καθορίζει την μέγιστη τιμή του ρεύματος του πρωτεύοντος τυλίγματος που "απαιτείται" για την παραγωγή της συγκεκριμένης τιμής της μαγνητικής ροής, σύμφωνα με την σχέση: R m Φ max = i 1max N 1 (2.8) Το ρεύμα i 1max είναι η μέγιστη τιμή του ρεύματος που ρέει μέσα στο πρωτεύον τύλιγμα κατά την εν κενώ λειτουργία και λέγεται ρεύμα μαγνήτισης. Η αποστολή του είναι η δημιουργία της μαγνητικής ροής μέσα στον πυρήνα με τιμή τέτοια ώστε η ΗΕΔ e 1 που επάγεται στο πρωτεύον τύλιγμα να είναι ίση με την τάση της πηγής u 1. Εφ' όσον ισχύει V 1rms = E 1rms τότε η E 1rms δίνεται από την σχέση: E 1rms = 4,44N 1 fφ max (2.9) Η χρονικά μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή Φ όμως διαρρέει και το δευτερεύον τύλιγμα του μετασχηματιστή και επάγει σ' αυτό μια ΗΕΔ e 2. Εφ' όσον το δευτερεύον τύλιγμα είναι ανοιχτό, η ΗΕΔ e 2 ισούται με την τάση στους ακροδέκτες του δευτερεύοντος τυλίγματος u 2. Επομένως η ενεργός τιμή της τάσεως u 2 δίνεται από την σχέση: V 2rms = E 2rms = 4,44N 2 fφ max (2.10) Από τις σχέσεις 2.9 και 2.10 προκύπτει η σχέση 2.11: 39

V1rms = E1rms = NN₁ = αα (2.11) V2rms E2rms NN₂, σύμφωνα με την οποία ο λόγος των ΗΕΔ που επάγονται στα δύο τυλίγματα ισούται με τον λόγο του αριθμού των σπειρών των δύο τυλιγμάτων. Ο λόγος αυτός ισούται με τον λόγο μετασχηματισμού των τάσεων των δύο τυλιγμάτων. Εφ' όσον οι απώλειες ισχύος στον ιδανικό Μ/Σ είναι μηδενικές, η φαινόμενη ισχύς εισόδου στην πλευρά του πρωτεύοντος ισούται με την φαινόμενη ισχύ εξόδου στην πλευρά του δευτερεύοντος, επομένως: S = V 1rms I 1rms = V 2rms I 2rms II1rrrrrr II2rrrrrr = VV2rrrrrr VV1rrrrrr = 1 αα Σύμφωνα με την τελευταία σχέση, ο λόγος των ρευμάτων των δύο τυλιγμάτων ισούται με το αντίστροφο του λόγου μετασχηματισμού των τάσεων των δύο τυλιγμάτων. Στο Σχήμα 2.4.β δείχνεται ισοδύναμο κύκλωμα του ιδανικού μετασχηματιστή κατά την εν κενώ λειτουργία. Οι τελείες που εφαρμόζονται στον ένα από τους δύο ακροδέκτες του καθενός τυλίγματος, υποδηλώνουν κάποιες πληροφορίες που αφορούν τις πολικότητες των τάσεων του μετασχηματιστή. Η σύμβαση που ισχύει σύμφωνα με την τοποθέτηση των τελειών πάνω στους ακροδέκτες είναι η εξής: Οι πολικότητες των τάσεων στα δύο τυλίγματα του μετασχηματιστή, είναι οι ίδιες σε σχέση με τους σημειωμένους ακροδέκτες τους. Αν το ρεύμα στο πρωτεύον τύλιγμα έχει φορά προς τον σημειωμένο ακροδέκτη του, τότε το ρεύμα στο δευτερεύον τύλιγμα θα έχει φορά προς τον μη σημειωμένο ακροδέκτη του. Η φυσική σημασία της τοποθέτησης των τελειών είναι ότι ένα ρεύμα που έχει φορά προς τον σημειωμένο ακροδέκτη του τυλίγματος προκαλεί μια θετική μαγνητεγερτική 40

δύναμη, ενώ ένα ρεύμα που έχει φορά προς τον μη σημειωμένο ακροδέκτη του τυλίγματος προκαλεί μια αρνητική μαγνητεγερτική δύναμη. 2.4.3. Ο ιδανικός Μετασχηματιστής υπό φορτίο Στο Σχήμα 2.5 βλέπουμε έναν ιδανικό μετασχηματιστή που συνδέεται με ένα φορτίο σύνθετης αντίστασης. Το πρωτεύον τύλιγμα του συνδέεται με την πηγή εναλλασσόμενης τάσης u 1, ενώ το δευτερεύον συνδέεται με φορτίο Z L = R L +jx L και σε αυτό κυκλοφορεί ρεύμα I 2 =E 2 /Z L το οποίο δημιουργεί ένταση μαγνητικού πεδίου H 2 =N 2 I 2 /l m. Σύμφωνα με την συνδεσμολογία των τυλιγμάτων, η φορά των ρευμάτων μέσα στα τυλίγματα είναι τέτοια ώστε η μαγνητεγερτική δύναμη του δευτερεύοντος τυλίγματος να είναι αντίθετη από την αντίστοιχη του πρωτεύοντος. Σχήμα 2.5 Ιδανικός μετασχηματιστής υπό φορτίο. Ως εκ τούτου η συνολική μαγνητεγερτική δύναμη που προκύπτει και η οποία προκαλεί την δημιουργία της μαγνητικής ροής μέσα στον πυρήνα, είναι η διαφορά των μαγνητεγερτικών δυνάμεων των δύο τυλιγμάτων. Επομένως: F ολ = F = F₁ F₂ = N₁i₁ N₂i₂ (2.12) 41

και η προκύπτουσα μαγνητική ροή μέσα στον πυρήνα υπολογίζεται από την σχέση: F oλ =RΦ N 1 i 1 -N 2 i 2 =RΦ (2.13) Εάν η τάση της πηγής που εφαρμόζεται στην είσοδο παραμένει αμετάβλητη, τότε, για να διατηρηθεί η ισορροπία των τάσεων στην πλευρά του πρωτεύοντος πρέπει και η επαγόμενη ΗΕΔ e 1 να παραμείνει σταθερή. Με άλλα λόγια το αναγκαίο ποσό της μαγνητικής ροής μέσα στον πυρήνα, το οποίο επάγει την συγκεκριμένη τιμή της ΗΕΔ e 1 που ισορροπεί την τάση της πηγής, πρέπει να παραμείνει σταθερό. Επομένως το αναγκαίο ποσό του ρεύματος μαγνητίσεως i m, για την δημιουργία της συγκεκριμένης τιμής της μαγνητικής ροής, είναι το ίδιο με αυτό κατά την εν κενώ λειτουργία του Μ/Σ. Άρα: N 1 i m =RΦ (2.14) Από τις σχέσεις 2.13 και 2.14 προκύπτει: N₁i₁ N₂i₂ =N₁i m N₁i₁ =N₁i m + N₂i₂ i₁ = ii mm + N₂ N₁ i₂ = ii mm + i₂ (2.15) Επομένως βλέπουμε ότι για να διατηρηθεί η ισορροπία των τάσεων στην πλευρά του πρωτεύοντος πρέπει τα μέτρα των τάσεων αυτών να παραμείνουν τα ίδια όπως ήταν κατά την εν κενώ λειτουργία. Για αυτόν το λόγο, το ρεύμα του πρωτεύοντος αυξάνεται κατά i' 2 =(Ν 2 /N 1 )i 2 ώστε να αντισταθμίζει την μαγνητεγερτική δύναμη του δευτερεύοντος τυλίγματος. Το ποσό του ρεύματος αυτού, ί' 2, καλείται «ρεύμα αντιδράσεως». Είναι φανερό δε ότι, καθώς μεταβάλλεται το μέγεθος του φορτίου Z L, 42