Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 7: Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών Υποενότητα 1

Σκοποί 1 ης υποενότητας Να γνωρίσουν οι φοιτητές τα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών, τα χαρακτηριστικά τους και τον τόπο αναπαράστασής τους Να μάθουν πώς να εφαρμόζουν αναζήτηση με υπαναχώρηση Να γνωρίσουν οι φοιτητές την έννοια της προτεραιότητας τιμών και μεταβλητών και πως εφαρμόζεται στην επίλυση προβλημάτων Να μάθουν οι φοιτητές πως εφαρμόζονται οι βασικές τεχνικές διάδοσης πληροφοριών μέσω περιορισμών, όπως ο πρώιμος έλεγχος και η συνέπεια τόξου Να μπορούν να εφαρμόσουν υπαναχώρηση με άλμα Να γνωρίσουν τις τεχνικές τοπικής αναζήτησης στα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών 3

Περιεχόμενα 1 ης υποενότητας Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών Γράφος περιορισμών Χαρακτηριστικά προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών Περιορισμοί ανώτερης τάξης (>2) Αναζήτηση με υπαναχώρηση στα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών Προτεραιότητα τιμών και μεταβλητών Διάδοση πληροφοριών μέσω περιορισμών Πρώιμος έλεγχος Συνέπεια τόξου Υπαναχώρηση με άλμα Τοπική Αναζήτηση στα Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών 4

Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών (1/4) Μεταβλητές: X 1, X 2,, X n Πεδία ορισμού: D 1, D 2, D n Περιορισμοί: C 1, C 2,, C m Κατάσταση προβλήματος Ανάθεση τιμών: {X i = v i, X j = v j, } Πλήρης ανάθεση Ανάθεση που περιλαμβάνει όλες τις μεταβλητές 5

Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών (2/4) Συνεπής (ή νόμιμη) ανάθεση Ανάθεση που δεν παραβιάζει κανένα περιορισμό Λύση Πλήρης και συνεπής ανάθεση Προαιρετικά: Μεγιστοποίηση/ελαχιστοποίηση αντικειμενικής συνάρτησης 6

Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών (3/4) Αυξητική διατύπωση Αρχική κατάσταση Η κενή ανάθεση τιμών {}, όπου δεν έχει δοθεί τιμή σε καμία από τις μεταβλητές Συνάρτηση διαδόχων Μπορεί να δοθεί τιμή σε οποιαδήποτε μεταβλητή δεν έχει δοθεί, εφόσον αυτό δε συγκρούεται με προηγούμενες αναθέσεις τιμών σε μεταβλητές 7

Προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών (4/4) Έλεγχος στόχου Η τρέχουσα ανάθεση τιμών είναι πλήρης; Κόστος διαδρομής Ένα σταθερό κόστος (π.χ. 1) για κάθε βήμα 8

Γράφος περιορισμών Τι είναι: Τρόπος αναπαράστασης ενός προβλήματος περιορισμών Τι δείχνει: Οι κόμβοι του γραφήματος αντιστοιχούν σε μεταβλητές του προβλήματος και οι ακμές αντιστοιχούν σε περιορισμούς 9

Παράδειγμα (1/4) Έστω το πρόβλημα του χρωματισμού του χάρτη της Αυστραλίας με διαφορετικό χρώμα για τις όμορες πολιτείες Η Αυστραλία αποτελείται από 7 πολιτείες: Western Australia (WA) Northern Territory (NT) South Australia (SA) Queensland (Q) New South Wales (NSW) Victoria (V) Tasmania (T) 10

Παράδειγμα (2/4) Ο γράφος περιορισμών που αναπαριστά το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι ο εξής: WA NT Q SA NSW V T 11

Παράδειγμα (3/4) Μεταβλητές WA, NT, Q, NSW, V, SA, T Πεδία ορισμού {κόκκινο, πράσινο, μπλε} για όλες τις μεταβλητές Περιορισμοί Να μην έχουν οι γειτονικές περιοχές ίδιο χρώμα 12

Παράδειγμα (4/4) Εναλλακτικές αναπαραστάσεις Απαρίθμηση επιτρεπτών συνδυασμών για το χρωματισμό γειτονικών περιοχών {(κόκκινο, πράσινο), (κόκκινο, μπλε), (πράσινο, κόκκινο), (πράσινο, μπλε), (μπλε, κόκκινο), (μπλε, πράσινο)} Ειδική σημειογραφία για την αναπαράσταση του περιορισμού της διαφορετικότητας στο χρώμα WA NT 13

Χαρακτηριστικά προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών (1/2) Εναλλακτικές διατυπώσεις Αυξητική (αναζήτηση πρώτα κατά βάθος) Πλήρεις καταστάσεις (μέθοδοι τοπικής αναζήτησης) Μεταβλητές Διακριτές Συνεχείς Πεδία ορισμού Πεπερασμένα Άπειρα 14

Χαρακτηριστικά προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών (2/2) Περιορισμοί Μοναδιαίοι Δυαδικοί Περιορισμοί Αυστηροί Προτίμησης (χαλαροί περιορισμοί με κόστος Βελτιστοποίηση) 15

Ανώτερης τάξης περιορισμοί (>2) 0 T W O + T W O F O U R F T U W R O 4 3 2 1 Κρυπταριθμητικός γρίφος X 3 X 2 X 1 Όλα Διαφορετικά(F, T, U, W, R, O) (0) O + O = R + 10 X 1 (1) X 1 + W + W = U + 10 X 2 (2) X 2 + T + T = O + 10 X 3 (3) X 3 =F (4) Υπεργράφος περιορισμών 16

Αναζήτηση πρώτα κατά βάθος (1/2) Όλοι οι αλγόριθμοι αναζήτησης των προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών παράγουν διαδόχους εξετάζοντας τις δυνατές αναθέσεις τιμών για μία μόνο μεταβλητή σε κάθε κόμβο του δένδρου αναζήτησης Αναζήτηση με υπαναχώρηση Επιλέγει από τις επιτρεπτές τιμές, με βάση τις τρέχουσες αναθέσεις Επιλέγει τιμές για μία μόνο μεταβλητή τη φορά Υπαναχωρεί όταν μια μεταβλητή δεν έχει άλλες νόμιμες τιμές που να μπορούν να τις ανατεθούν 17

Αναζήτηση πρώτα κατά βάθος (2/2) WA = κόκκινο WA = πράσινο WA = μπλε WA = κόκκινο NT = πράσινο WA = κόκκινο NT = μπλε WA = κόκκινο NT = πράσινο Q = κόκκινο WA = κόκκινο NT = πράσινο Q = μπλε WA NT SA Q NSW V T 18

Βελτιώσεις (1/2) 1. Ποια είναι η επόμενη μεταβλητή στην οποία θα πρέπει να ανατεθεί τιμή και με ποια σειρά θα πρέπει να δοκιμαστούν οι τιμές της;(προτεραιότητα μεταβλητών και τιμών) 2. Τι συνέπειες έχουν οι τρέχουσες αναθέσεις τιμών μεταβλητών για τις άλλες μεταβλητές στις οποίες δεν έχουν ανατεθεί τιμές; (Διάδοση πληροφοριών μέσω περιορισμών) 19

Βελτιώσεις (2/2) 3. Όταν μια διαδρομή αποτύχει δηλαδή, φτάσει σε μια κατάσταση στην οποία μια μεταβλητή δεν έχει νόμιμες τιμές, μπορεί η αναζήτηση να αποφύγει να επαναλάβει αυτή την αποτυχία στις επόμενες διαδρομές; (Ευφυής υπαναχώρηση) 20

Προτεραιότητα μεταβλητών και τιμών (1/2) Επιλογή μεταβλητής Σπάνια οδηγεί στην πιο αποδοτική αναζήτηση 1. Ευρετικός μηχανισμός ελάχιστων απομενουσών τιμών Επιλογή της μεταβλητής με τις λιγότερες «νόμιμες» τιμές 2. Ευρετικός μηχανισμός βαθμού Επιλογή της μεταβλητής που ενέχεται στο μεγαλύτερο αριθμό περιορισμών ως προς τις άλλες μεταβλητές στις οποίες δεν έχει ανατεθεί τιμή 21

Προτεραιότητα μεταβλητών και Επιλογή τιμής τιμών (2/2) Είναι πιο αποτελεσματική 3. Ευρετικός μηχανισμός της λιγότερο δεσμευτικής τιμής Προτιμάται η τιμή που αποκλείει τις λιγότερες επιλογές για τις γειτονικές μεταβλητές του γραφήματος περιορισμών Προσπαθεί να αφήσει τη μέγιστη δυνατή ευελιξία για τις επόμενες αναθέσεις τιμών σε μεταβλητές 22

Διάδοση πληροφοριών μέσω Πρώιμος έλεγχος περιορισμών (1/2) Κάθε φορά που ανατίθεται τιμή σε μια μεταβλητή X 1. εξετάζονται οι μεταβλητές Υ για τις οποίες δεν έχουν ανατεθεί ακόμα τιμές και οι οποίες συνδέονται με τη Χ με κάποιο περιορισμό 2. και 2. αφαιρούνται από τα πεδία ορισμού των Υ οι τιμές που είναι ασυνεπείς με την τιμή που επιλέχθηκε για τη Χ 23

Διάδοση πληροφοριών μέσω περιορισμών (2/2) Μεταβλητές WA NT Q NSW V SA T Αρχικά πεδία ορισμού ΚΠΜ ΚΠΜ ΚΠΜ ΚΠΜ ΚΠΜ ΚΠΜ ΚΠΜ Μετά από WA=Κ Κ ΠΜ ΚΠΜ ΚΠΜ ΚΠΜ ΠΜ ΚΠΜ Μετά από Q=Π Κ Μ Π ΚΜ ΚΠΜ Μ ΚΠΜ Μετά από V=M Κ Μ Π Κ Μ ΚΠΜ WA NT Q SA NSW V T 24

Διάδοση περιορισμών (1/3) Τι είναι: Η διάδοση των επιπτώσεων ενός περιορισμού, που ισχύει για μία μεταβλητή, σε άλλες μεταβλητές Πως υλοποιείται: Αναδρομική επέκταση του πρώιμου ελέγχου σε όλες τις μεταβλητές, για τις οποίες υπήρξε διαγραφή τιμής σε συνδεόμενη με αυτές μεταβλητή 25

Διάδοση περιορισμών (2/3) Συνέπεια τόξου Προσανατολισμένο τόξο από τη μεταβλητή Χ στη μεταβλητή Υ είναι συνεπές αν για κάποια τιμή της Χ, υπάρχει κάποια τιμή της Υ που είναι συνεπής με την αντίστοιχη τιμή της Χ 26

Διάδοση περιορισμών (3/3) Τι είναι: Γρήγορη μέθοδος για τη διάδοση περιορισμών που είναι σημαντικά ισχυρότερη από τον πρώιμο έλεγχο Πότε εφαρμόζεται: Εφαρμόζεται τόσο πριν από την έναρξη της αναζήτησης, όσο και μετά από κάθε ανάθεση τιμής 27

Εφαρμογή: Χρωματισμός χάρτη (1/7) Επιλέγουμε να αναθέσουμε τιμή στην SA, η οποία συμμετέχει σε 5 περιορισμούς Έστω SA=κόκκινο Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τα πεδία τιμών των υπολοίπων μεταβλητών να τροποποιηθούν ως εξής: 28

Εφαρμογή: Χρωματισμός χάρτη (2/7) SA=κόκκινο WA {πράσινο, μπλε} WA ΝΤ {πράσινο, μπλε} Q {πράσινο, μπλε} NSW {πράσινο, μπλε} V {πράσινο, μπλε} T {κόκκινο, πράσινο, μπλε} NT SA V Q NSW T 29

Εφαρμογή: Χρωματισμός χάρτη (3/7) Στη συνέχεια επιλέγουμε την NT, η οποία συμμετέχει σε τρεις περιορισμούς Έστω NT=πράσινο Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τα πεδία των υπολοίπων μεταβλητών να τροποποιηθούν ως εξής: 30

Εφαρμογή: Χρωματισμός χάρτη (4/7) SA=κόκκινο WA = {μπλε} WA ΝΤ = πράσινο Q = {μπλε} NSW {πράσινο} V {μπλε} T {κόκκινο, πράσινο, μπλε} NT SA V Q NSW T 31

Εφαρμογή: Χρωματισμός χάρτη (5/7) Το γεγονός ότι η μεταβλητή WA πήρε επαγωγικά την τιμή «μπλε» δεν επηρεάζει καμία άλλη μεταβλητή Το γεγονός ότι η μεταβλητή Q πήρε επίσης την τιμή «μπλε» επηρεάζει τη μεταβλητή NSW, η οποία πλέον παίρνει την τιμή «πράσινο» Αυτό με τη σειρά του επηρεάζει τη μεταβλητή V, η οποία τελικά παίρνει την τιμή «μπλε» 32

Εφαρμογή: Χρωματισμός χάρτη (6/7) Άρα, τα νέα πεδία τιμών των μεταβλητών διαμορφώνονται ως εξής: SA=κόκκινο WA = μπλε WA ΝΤ = πράσινο Q = μπλε NSW = πράσινο V = μπλε T {κόκκινο, πράσινο, μπλε} NT SA V Q NSW T 33

Εφαρμογή: Χρωματισμός χάρτη (7/7) Με δεδομένο ότι η Τ δεν συμμετέχει σε κανέναν περιορισμό, μπορούμε για τη μεταβλητή αυτή να επιλέξουμε τυχαία μια τιμή από το πεδίο τιμών της Έτσι λοιπόν μια δυνατή λύση είναι η εξής: SA = κόκκινο WA = μπλε ΝΤ = πράσινο Q = μπλε NSW = πράσινο V = μπλε T = κόκκινο WA NT SA V Q NSW T 34

Αντιμετώπιση ειδικών περιορισμών (1/4) Όλα _Διαφορετικά: οι τιμές των μεταβλητών αυτών πρέπει να είναι διαφορετικές π.χ. ο περιορισμός Όλα _Διαφορετικά(NT, SA, Q) μετά την ανάθεση {WA=κόκκινο, NSW=κόκκινο} είναι ασυνεπής (γιατί;) WA NT Q SA NSW V T 35

Αντιμετώπιση ειδικών περιορισμών Περιορισμοί πόρων (2/4) π.χ. για Το_Πολύ(10, A, B, C, D) Το άθροισμα των τιμών των μεταβλητών πρέπει να είναι το πολύ 10 αν κάθε μεταβλητή έχει πεδίο {3,4,5,6}, το πρόβλημα είναι ασυνεπές (γιατί;) αν κάθε μεταβλητή έχει πεδίο {2,3,4,5,6}, πρέπει να αφαιρεθούν οι τιμές 5 και 6 από όλες τις μεταβλητές (γιατί;) 36

Αντιμετώπιση ειδικών περιορισμών (3/4) Περιορισμοί πόρων Διάδοση περιορισμών φραγμάτων (ενημέρωση διαστημάτων επιτρεπτών τιμών) Για κάποια μεταβλητή Χ, για τις τιμές του άνω και κάτω φράγματός της, υπάρχει κάποια τιμή της μεταβλητής Υ που ικανοποιεί τον περιορισμό μεταξύ των Χ και Υ 37

Αντιμετώπιση ειδικών περιορισμών (4/4) Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο πτήσεις, η Α 271 και η Α 272, και τα αντίστοιχα αεροσκάφη έχουν χωρητικότητες 165 και 385 επιβάτες Τα αρχικά πεδία για τους αριθμούς των επιβατών της κάθε πτήσης είναι: Πτήση Α 271 [0, 165] και Πτήση Α 272 [0, 385] Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε τον πρόσθετο περιορισμό ότι και οι δύο πτήσεις μαζί πρέπει να μεταφέρουν 420 επιβάτες: Πτήση Α 271 + Πτήση Α 272 420 Εφαρμόζοντας διάδοση περιορισμών φραγμάτων μειώνουμε τα πεδία ορισμού σε: Πτήση Α 271 [35, 165] και Πτήση Α 272 [255, 385] 38

Υπαναχώρηση με άλμα (1/2) Εναλλακτική μέθοδος του πρώιμου ελέγχου Για κάθε μεταβλητή Υ διατηρούμε ένα σύνολο άλλων μεταβλητών στις οποίες ανατέθηκαν τιμές, και εξαιτίας των οποίων αφαιρέθηκαν τιμές από το πεδίο ορισμού της Υ Αυτό το σύνολο των μεταβλητών ονομάζεται σύνολο συγκρούσεων Εάν το πεδίο ορισμού της Υ αδειάσει, ο αλγόριθμος υπαναχωρεί στην πιο πρόσφατη μεταβλητή του συνόλου συγκρούσεων της Υ 39

Υπαναχώρηση με άλμα (2/2) Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε παραγάγει τη μερική ανάθεση τιμών {Q = κόκκινο, NSW = πράσινο, V = μπλε, T = κόκκινο} και πρέπει να επιλέξουμε τιμή για την SA Το σύνολο συγκρούσεων της SA είναι το {Q, NSW, V} WA NT Q SA NSW V T 40

Ελάχιστες συγκρούσεις 11 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 2 3 2 3 0 Ιδιαίτερα αποτελεσματική μέθοδος (αν και όχι πλήρης) Κατάλληλη και για online προβλήματα, όπου μικρές αλλαγές στο περιβάλλον οδηγούν σε νέες λύσεις με μικρές διαφοροποιήσεις από τις προηγούμενες 3 41

Τέλος Υποενότητας 1

Ασκήσεις σε προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών Υποενότητα 2

Σκοποί 2 ης υποενότητας Να μπορούν οι φοιτητές να επιλύουν διάφορες ασκήσεις σχετικές με προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών χρησιμοποιώντας τη θεωρία της συγκεκριμένης ενότητας 44

Περιεχόμενα 2 ης υποενότητας 1 η Άσκηση: χρωματισμός χάρτη 2 η Άσκηση: αναπαράσταση λύσης σε πρόβλημα περιορισμών 3 η Άσκηση: αντιμετώπιση περιορισμών ανώτερης τάξης (τριαδικών, κλπ.) 4 η Άσκηση: αναπαράσταση λύσης σε πρόβλημα περιορισμών 5 η Άσκηση: υπεργράφοι περιορισμών 45

Άσκηση 5.2 (1/2) Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα χρωματισμού του χάρτη της Αυστραλίας που αναπαριστάται από τον παρακάτω γράφο περιορισμών; WA NT Q SA NSW V T 46

Άσκηση 5.2 (2/2) Υπάρχουν 18 διαφορετικές λύσεις: Ξεκινήστε με το SA που μπορεί να πάρει οποιοδήποτε από τα τρία χρώματα Στη συνέχεια το WA μπορεί να πάρει οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα 2 χρώματα Για τους υπόλοιπους κόμβους το χρώμα είναι πια καθορισμένο (γιατί;) Η Τασμανία μπορεί να πάρει οποιοδήποτε από τα τρία χρώματα Επομένως: 3 2 3=18 47

Άσκηση 5.5 (1/3) Δώστε μια ακριβή διατύπωση για το παρακάτω πρόβλημα ικανοποίησης περιορισμών: 1. Ορθογώνιος σχεδιασμός δαπέδου: Βρείτε μη επικαλυπτόμενες θέσεις μέσα σε ένα μεγάλο ορθογώνιο για ένα δεδομένο αριθμό μικρότερων ορθογωνίων 48

Άσκηση 5.5 (2/3) Μια διατύπωση είναι η εξής: Χρησιμοποιούμε μία μεταβλητή για κάθε μικρό ορθογώνιο Κάθε μεταβλητή είναι ένα διάνυσμα τεσσάρων τιμών [x 1, y 1, x 2, y 2 ] οι τιμές της είναι οι συντεταγμένες του άνω αριστερά και του κάτω δεξιά άκρου της περιοχής στον οποίο πρόκειται να τοποθετηθεί το ορθογώνιο Το πεδίο ορισμού κάθε μεταβλητής είναι το σύνολο των διανυσμάτων που μπορεί να πάρει, δηλαδή το μέγεθος του μικρού ορθογωνίου και η θέση του πάνω στο δάπεδο 49

Άσκηση 5.5 (3/3) Περιορισμοί: Δύο ορθογώνια δε γίνεται να επικαλύπτονται Για παράδειγμα: Εάν η τιμή της μεταβλητής που αντιστοιχεί στο ορθογώνιο R 1 είναι [5,8,9,6],τότε καμία άλλη μεταβλητή δεν μπορεί να πάρει κάποια τιμή που να επικαλύπτεται με το ορθογώνιο με συντεταγμένες [5, 8] και [9, 6] για το άνω αριστερά και το κάτω δεξιά άκρο του, αντίστοιχα 50

Άσκηση 5.11 (1/4) Δείξτε πως ένας τριαδικός περιορισμός, όπως ο A+B=C, μπορεί να μετατραπεί σε τρεις δυαδικούς περιορισμούς με τη χρήση μιας βοηθητικής μεταβλητής. Μπορείτε να θεωρήσετε τα πεδία πεπερασμένα Υπόδειξη Σκεφτείτε μια νέα μεταβλητή που παίρνει τιμές οι οποίες είναι ζεύγη άλλων τιμών και εξετάστε περιορισμούς όπως το Χ είναι το πρώτο στοιχείο του ζεύγους Υ 51

Άσκηση 5.11 (2/4) Εισάγουμε μια καινούρια μεταβλητή την ΑΒ Αν το πεδίο τιμών των Α και Β είναι το Ν, τότε το πεδίο τιμών της ΑΒ είναι το Ν Ν Τώρα, έχουμε τρεις δυαδικούς περιορισμούς: Έναν ανάμεσα στη μεταβλητή Α και τη μεταβλητή ΑΒ Έναν ανάμεσα στη μεταβλητή Β και τη μεταβλητή ΑΒ Έναν ανάμεσα στη μεταβλητή ΑΒ και τη μεταβλητή C 52

Άσκηση 5.11 (3/4) Όλοι οι τριαδικοί περιορισμοί μπορούν να αντικατασταθούν αντίστοιχα, δηλαδή με 3 δυαδικούς περιορισμούς. Δείξτε πως ένας περιορισμός με τέσσερις μεταβλητές A, B, C, D, όπως ο όπως ο A+B+C=D, μπορεί να μετατραπεί σε δυαδικούς περιορισμούς (πόσους;) με τη χρήση βοηθητικών μεταβλητών Μπορείτε να θεωρήσετε τα πεδία πεπερασμένα 53

Άσκηση 5.11 (4/4) Αρχικά, εισάγουμε τη μεταβλητή ΑΒ και έχουμε τρεις δυαδικούς περιορισμούς μεταξύ της ΑΒ και των μεταβλητών Α, Β και C και έναν τριαδικό μεταξύ των μεταβλητών AB, C και D. Στη συνέχεια, εισάγουμε τη μεταβλητή CD και έχουμε τρεις δυαδικούς περιορισμούς μεταξύ της CD και των μεταβλητών ΑΒ, C και D. Πόσους δυαδικούς περιορισμούς έχουμε; 6 δυαδικούς περιορισμούς 54

Άσκηση 5.13 (1/5) Εξετάστε τον παρακάτω λογικό γρίφο: «Σε πέντε σπίτια, κάθε ένα με διαφορετικό χρώμα, ζουν 5 άτομα διαφορετικής εθνικότητας κάθε ένα από τα οποία προτιμά διαφορετική μάρκα τσιγάρων, διαφορετικό ποτό και διαφορετικό κατοικίδιο ζώο» Με δεδομένα τα παρακάτω γεγονότα, απαντήστε στην εξής ερώτηση: «Που ζει η ζέβρα και σε ποιο σπίτι πίνουν νερό;» 55

Άσκηση 5.13 (2/5) Δεδομένα: Ο Άγγλος μένει στο κόκκινο σπίτι Ο Ισπανός έχει το σκύλο Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι από τα αριστερά Στο κίτρινο σπίτι καπνίζουν Kools Αυτός που καπνίζει Chesterfields μένει δίπλα σε εκείνον που έχει την αλεπού Ο Νορβηγός μένει δίπλα στο μπλε σπίτι Αυτός που καπνίζει Winston έχει τα σαλιγκάρια 56

Άσκηση 5.13 (3/5) Αυτός που καπνίζει Lucky Strike πίνει πορτοκαλάδα Ο Ουκρανός πίνει τσάι Ο Γιαπωνέζος καπνίζει Parliaments Αυτός που καπνίζει Kools μένει δίπλα στο σπίτι που έχουν το άλογο Αυτός που πίνει καφέ μένει στο πράσινο σπίτι Το πράσινο σπίτι βρίσκεται ακριβώς δεξιά από το κρεμ σπίτι Αυτός που πίνει γάλα μένει στο μεσαίο σπίτι 57

Άσκηση 5.13 (4/5) Προτείνετε κάποιες αποδοτικές αναπαραστάσεις για το παραπάνω πρόβλημα 1 η αναπαράσταση Μία μεταβλητή για κάθε χρώμα, κατοικίδιο ζώο, ποτό, εθνικότητα και μάρκα τσιγάρων (συνολικά 25 μεταβλητές) Οι τιμές είναι 1...5, οι οποίες αντιστοιχούν στα σπίτια 1...5 (δείχνουν σε πιο σπίτι «ανήκει» κάθε μεταβλητή) 58

Άσκηση 5.13 (5/5) 2 η αναπαράσταση Πέντε μεταβλητές για κάθε σπίτι Μία για το χρώμα, με πεδίο ορισμού το σύνολο των χρωμάτων Μία για την εθνικότητα, με πεδίο ορισμού το σύνολο των εθνικοτήτων Μία για το κατοικίδιο ζώο, με πεδίο ορισμού το σύνολο των κατοικίδιων Μία για το ποτό, με πεδίο ορισμού το σύνολο των ποτών Μία για τη μάρκα τσιγάρων, με πεδίο ορισμού το σύνολο των μάρκων τσιγάρων 59

Άσκηση με Υπεργράφο περιορισμών (1/3) Κατασκευάστε τον υπεργράφο περιορισμών που περιγράφει το παρακάτω πρόβλημα: 1. Α+Β=Γ 2. Γ Δ=Ε 3. Ε Α*Ζ 60

Άσκηση με Υπεργράφο περιορισμών (2/3) Κατασκευάστε τον υπεργράφο περιορισμών που περιγράφει το παρακάτω πρόβλημα: 1. Κ Ν 2. Γ / Λ Σ 3. Ε*Μ Ζ 4. Κ+Μ = Χ 61

Άσκηση με Υπεργράφο περιορισμών (3/3) Κατασκευάστε τον υπεργράφο περιορισμών που περιγράφει το παρακάτω πρόβλημα: SEND + MORE = MONEY 62

Τέλος Υποενότητας 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 64

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: 66

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Θεωρία Λήψης Αποφάσεων. Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/document/document.php?course=deapt1 12. 67

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by nc sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 68