Λάθη και παρανοήσεις στα Μαθηματικά του Λυκείου
|
|
- Ἄτλας Λύτρας
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Λάθη και παρανοήσεις στα Μαθηματικά του Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης Ηράκλειο Κρήτης Περίληψη Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να επισημάνει ορισμένα «σκοτεινά» σημεία στη διδασκαλία των μαθηματικών του Λυκείου και να τα διαλευκάνει μέσα από παραδείγματα που έχουν αντληθεί από βιβλία και από εξετάσεις ενδοσχολικές ή πανελλήνιες. Ο (αξιωματικός) τρόπος ορισμού των πραγματικών αριθμών στην Α Λυκείου και ιδιότητες που μπορούν να αποδειχθούν από τους μαθητές στη διάρκεια του μαθήματος, η «διάταξη» των μιγαδικών, η ανάγκη επαλήθευσης σε διάφορες περιπτώσεις ασκήσεων και θέματα με προβληματική εκφώνηση από τις πανελλήνιες εξετάσεις είναι μερικά από τα θέματα που υπάρχουν στις σελίδες που ακολουθούν. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Ερώτημα: Πως ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί στο Λύκειο; Ποιες είναι οι θεμελιώδεις προτάσεις (αξιώματα) που χρησιμοποιούνται και ποιες είναι οι προτάσεις που μπορούμε να αποδείξουμε με τη βοήθεια αυτών; Για παράδειγμα η ισότητα ( ) ( ) αποδεικνύεται ή θεωρείται θεμελιώδης; Για το σκοπό αυτό θα αναφέρουμε εν συντομία τις τέσσερις ομάδες στις οποίες κατατάσσονται τα αξιώματα για τον ορισμό των πραγματικών: 2 αξιώματα ισότητας, 7 αξιώματα σώματος, 3 αξιώματα διάταξης, 1 αξίωμα συνέχειας. Αξίωμα Ισότητας: ) Δύο αριθμοί καλούνται ίσοι, τότε και μόνο όταν αποτελούν διάφορες ονομασίες ενός και του αυτού αριθμού που οφείλονται στους διάφορους τρόπους κατασκευής αυτού. Για την ισότητα ισχύουν οι εξής ιδιότητες: α) για κάθε (ανακλαστική) β) (συμμετρική) γ) και (μεταβατική)
2 Π.χ. Λόγω της ανακλαστικής ιδιότητας έχουμε Ας σημειώσουμε ότι υπάρχουν μη πραγματικοί «αριθμοί» για τους οποίους δεν ισχύει η ανακλαστική ιδιότητα. Ας πούμε για το δε μπορούμε να γράψουμε. Αξιώματα Σώματος: ) Υπάρχει ένα σύνολο αριθμών, το οποίο καλούμε σύνολο των πραγματικών αριθμών και το συμβολίζουμε με, το οποίο είναι μη κενό, μεταξύ των στοιχείων του οποίου έχουν οριστεί δύο πράξεις, η πρόσθεση ( ) και πολλαπλασιασμός ( ) βάσει των οποίων σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών α,β αντιστοιχούν δύο νέοι αριθμοί, (ή ), που καλούνται άθροισμα και γινόμενο των α, β αντίστοιχα. Το άθροισμα και το γινόμενο είναι επίσης πραγματικοί αριθμοί που ορίζονται μονοσήμαντα από τους α, β. ) ισχύει και. ) ισχύει ( ) ( ) και ( ) ( ). Αξιώματα Σώματος: ) (Ύπαρξη ουδέτερων στοιχείων) Υπάρχουν δύο διαφορετικοί μεταξύ τους πραγματικοί αριθμοί που ονομάζονται μηδέν (0) και ένα (1) οι οποίοι έχουν αντίστοιχα τις ιδιότητες: και. (Το ότι είναι μοναδικοί μπορεί να προκύψει ως συνέπεια των αξιωμάτων). ) Για κάθε πραγματικό αριθμό α, υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός β με την ιδιότητα Ο αριθμός αυτός ονομάζεται αντίθετος του α, αποδεικνύεται ότι είναι μοναδικός και τον συμβολίζουμε με ) Για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός β, ώστε Ο αριθμός αυτός ονομάζεται αντίστροφος του α, αποδεικνύεται ότι είναι μοναδικός και συμβολίζεται με. ) Ο πολλαπλασιασμός επιμερίζεται ως προς την πρόσθεση δηλαδή ισχύει ( ). Μερικές από τις προτάσεις που μπορούν να αποδειχθούν (και από τους μαθητές) λόγω των παραπάνω: 1) (Νόμος της διαγραφής - πρόσθεση). (Συνέπεια της παραπάνω είναι η μοναδικότητα του 0 στο αξίωμα Β 4 και η μοναδικότητα του αντίθετου στο αξίωμα Β 5 ) 2) 3) Για κάθε διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών α, β υπάρχει μοναδικός αριθμός, ώστε
3 Απόδειξη: Ύπαρξη: Από το Β 5 υπάρχει αριθμός (ο β) ώστε ( ) ( ). Άρα (αξ. Β 3 ) ( ( )) ( ( )) (( ) ) Θέτουμε ( ) και τότε θα είναι ( ( )). Μοναδικότητα: Έστω ότι υπάρχει για τον οποίο Τότε θα είναι άρα Σχόλιο: Ο μοναδικός αυτός αριθμός ονομάζεται διαφορά του β από το α και συμβολίζεται με. 4) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) 5), ( ), ( ) 6) Απόδειξη: Είναι ( ) και από το νόμο της διαγραφής έχουμε 7) ( ) 8) (Νόμος της διαγραφής πολ/σμός) αν και τότε. 9) Εάν και τότε υπάρχει ένας και μόνο αριθμός ώστε. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται πηλίκο των και και συμβολίζεται με ή και με. Παρατήρηση: Εάν με τότε ο αντίστροφος του α είναι το πηλίκο και θα μπορούμε να χρησιμοποιούμε και το συμβολισμό για τον αντίστροφο του. 10) ( ) ( ) ( ) και ( )( ) Απόδειξη Είναι ( ). Άρα [ ( )]. Οπότε ( ) δήλαδή ο ( ) είναι αντίθετος του δηλαδή ( ) ( ) Όμοια ( ) ( ). Για την απόδειξη του ( )( ) θέτουμε στην ( ) ( ) όπου το και χρησιμοποιούμε την ( ). Πόρισμα: ( )( ) Αξιώματα Διάταξης: Η έννοια της θετικότητας εισάγεται αξιωματικά με τον ακόλουθο τρόπο. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα μη κενό υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών το οποίο ονομάζεται σύνολο των θετικών αριθμών για το οποίο ισχύουν τα παρακάτω αξιώματα: ) Εάν θετικοί αριθμοί τότε και οι αριθμοί και είναι επίσης θετικοί. ) Εάν πραγματικός αριθμός τότε ένας μόνο από τους α, -α είναι θετικός. ) Ο αριθμός 0 δεν είναι θετικός.
4 Σύμβαση: Συμφωνούμε να λέμε ότι ο πραγματικός αριθμός είναι μεγαλύτερος του πραγματικού αριθμού αν και μόνο αν ο αριθμός είναι θετικός και γράφουμε. Λέμε επίσης ότι ο πραγματικός αριθμός είναι μικρότερος του αριθμού, αν και μόνο αν και γράφουμε Μερικές από τις προτάσεις που μπορούν να αποδειχθούν λόγω των παραπάνω αξιωμάτων: 1) Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος του 0 και αντίστροφα κάθε πραγματικός αριθμός α με είναι θετικός. Απόδειξη: Έστω α θετικός. Τότε αφού άρα. Αντίστροφα αν τότε από τον ορισμό η διαφορά είναι θετικός και αφού άρα ο είναι θετικός. Σημείωση: Στο εξής το γεγονός θα συμβολίζεται με. 2) (Θεώρημα της τριχοτομίας) Εάν πραγματικοί τότε θα αληθεύει μία και μόνο μία από τις σχέσεις. Απόδειξη: Εφόσον οι α, β είναι πραγματικοί άρα και οι και ( ) θα είναι επίσης πραγματικοί και διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: i). Τότε ii). Τότε βάσει του Γ 2 μόνο ένας εκ των, ( ) θα είναι θετικός. Εάν ο είναι θετικός, τότε. Σε αυτή την περίπτωση δεν γίνεται να έχουμε και διότι τότε ο θα ήταν θετικός που αντιβαίνει στο αξίωμα Γ 2. Εάν τώρα ο είναι θετικός έχουμε και όμοια όπως πριν δεν μπορεί να ισχύει ταυτόχρονα. 3) (Μεταβατική Ιδιότητα) Εάν για τρεις πραγματικούς αριθμούς ισχύουν οι σχέσεις και τότε θα ισχύει. Απόδειξη: Αφού και άρα και. Άρα από το αξίωμα Γ 1 είναι ( ) ( ) δηλαδή που δίνει την. Σχόλιο: Λόγω της παραπάνω προκύπτει και ότι αν και τότε θα ισχύει. 4) Ο αριθμός 1 είναι θετικός. Απόδειξη: Όπως είδαμε στην ιδιότητα 2, μία από τις σχέσεις,, ισχύει. Όμως από τον ορισμό των 0,1 είναι. Ας υποθέσουμε ότι Τότε ο αριθμός είναι θετικός. Όμως από το αξίωμα Γ 1 ο αριθμός ( )( ) είναι επίσης θετικός δηλαδή ο είναι θετικός, άτοπο. Συνεπώς.
5 Αξίωμα συνέχειας: Εάν ένα σύνολο Ε πραγματικών αριθμών είναι άνω φραγμένο, τότε υπάρχει μεταξύ των άνω φραγμάτων ένα ελάχιστο. Δηλαδή υπάρχει πραγματικός αριθμός Μ τέτοιος ώστε i) Το Μ είναι άνω φράγμα του Ε δηλαδή, για κάθε. ii) για κάθε άνω φράγμα του Ε. Συμπέρασμα: Οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να κατανοήσουν ότι για την ανάπτυξη μίας μαθηματικής θεωρίας είναι αναγκαίες κάποιες αρχικές παραδοχές (αξιώματα). Τροχοπέδη για την κατανόηση του τρόπου ορισμού των πραγματικών αριθμών αποτελεί το γεγονός ότι πολλές ιδιότητες προήλθαν από μηχανική εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων στο Δημοτικό. Ιδανικό μάθημα για να γίνει μία εισαγωγή στην έννοια των αξιωμάτων είναι η Ευκλείδεια Γεωμετρία. Εξάλλου ο μαθητής έρχεται σε επαφή και με άλλα σύνολα τα οποία είναι εφοδιασμένα με πράξεις και έχουν δομή (σύνολο διανυσμάτων, σύνολο μιγαδικών αριθμών, σύνολο συναρτήσεων). Θα πρέπει να εντάξουμε στη διδασκαλία μας τον επαγωγικό συλλογισμό στο Λύκειο (από τα θεμέλια που είναι τα αξιώματα και στηριζόμενοι σε αυτά, παράγουμε νέες προτάσεις που με τη βοήθειά τους θα δώσουν νέες προτάσεις). Αυτό είναι ευκαιρία να γίνει είτε στη Γεωμετρία ήδη από την Α Λυκείου, είτε στο κεφάλαιο των διανυσμάτων στη Β Λυκείου. Το τελευταίο μπορούμε να το καταφέρουμε να το εντάξουμε στη διδασκαλία μας, αποφεύγοντας ασκήσεις τεχνικού χαρακτήρα οι οποίες στηρίζονται σε στείρες μεθοδολογίες και καλούπια που στερούν από το μαθητή τη δημιουργικότητα. Διάταξη στους μιγαδικούς Δεν είναι λίγες οι φορές που συναντάμε σε βιβλία θέματα του τύπου Η συνηθισμένη προσέγγιση στο συγκεκριμένο θέμα είναι η ακόλουθη:
6 η οποία καταλήγει στη «λύση» λ=4. Όπως είναι γνωστό δε μπορεί να οριστεί διάταξη στο σώμα των μιγαδικών αριθμών. Τι σημαίνει όμως «διάταξη» σε ένα σώμα; Ορισμός: Ένα σώμα F θα λέμε ότι είναι διατεταγμένο αν υπάρχει υποσύνολο P του F ώστε να ισχύουν οι εξής ιδιότητες: α) Για οποιοδήποτε ισχύει ακριβώς μία από τις ιδιότητες ή ή. β) Αν τότε και. γ) Αν θα γράφουμε αν και μόνο αν οπότε αν θα έχουμε δηλαδή ενώ αν θα γράφουμε. (Στην πρώτη περίπτωση θα λέμε τον x θετικό ενώ στη δεύτερη αρνητικό) Είναι εύκολο από τον προηγούμενο ορισμό να βγάλουμε και τις υπόλοιπες γνωστές ιδιότητες τις διάταξης. Για παράδειγμα αν και τότε κτλ. Επίσης είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι η μονάδα ενός διατεταγμένου σώματος είναι πάντοτε θετικός. Απόδειξη: Από τον ορισμό της μονάδας είναι. Άρα μία από τις σχέσεις ή μπορεί να ισχύει. Αν υποθέσουμε ότι τότε δηλαδή. Όμως τότε από την ιδιότητα β πρέπει ( )( ) δηλαδή, άτοπο διότι υποθέσαμε ότι. Άρα τελικά Αν λοιπόν μπορούσαμε να ορίσουμε διάταξη στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών τότε θα υπήρχε κάποιο σύνολο P (το σύνολο των «θετικών» στοιχείων του συνόλου των μιγαδικών) στο οποίο να ισχύουν οι προηγούμενες ιδιότητες. Από τις ιδιότητες έχουμε άμεσα ότι: 1>0 και ή ή. Απόδειξη: Αρχικά είναι διότι αν ήταν θα είχαμε δηλαδή, δηλαδή άτοπο. Αν ήταν τότε δηλαδή, άτοπο.
7 Αν ήταν τότε άρα ( ) ( )>0 δηλαδή -1>0, άτοπο. Άρα το σύνολο των μιγαδικών δεν είναι διατεταγμένο σώμα. Φυσικά μπορούμε να ορίσουμε άλλη διάταξη στο σύνολο των μιγαδικών ώστε να το μετατρέψουμε σε ολικά διατεταγμένο σώμα. Ένα παράδειγμα είναι η «λεξικογραφική» διάταξη (ας συμβολίσουμε με την έννοια «μικρότερος από» με τη νέα διάταξη): ή ( και ) Όμως οποιαδήποτε διάταξη η οποία δε μετατρέπει το σώμα σε διατεταγμένο, δε «συνεργάζεται» καλά με τις πράξεις. Συνεπώς δεν έχει νόημα να ρωτάμε πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι άνισοι αφού δεν μπορεί να οριστεί «καλή» διάταξη. Είναι βέβαια λογικό να αναρωτηθεί κάποιος: Αφού στο «καλή» διάταξη άρα θα είναι: έχουμε ορίσει Κάτι τέτοιο είναι τελείως αυθαίρετο αφού είναι σα να λέμε: «Αφού δε μπορούμε να έχουμε μία καλή διάταξη στους μιγαδικούς, άρα όποτε μας λένε να τους συγκρίνουμε θα απαιτούμε πρώτα να ανήκουν κάπου όπου θα μπορούμε να τους συγκρίνουμε και κατόπιν θα τους συγκρίνουμε». Όμως δεν είναι μόνο το το μόνο υποσύνολο του C που έχουμε ικανοποιητική διάταξη. Υπάρχουν και άλλα σύνολα λ.χ. οι ευθείες, όπου μπορούμε να έχουμε διάταξη (τη συνηθισμένη όπως και στην ευθεία των πραγματικών, γραμμική διάταξη). Τι θα λέγαμε σε ένα μαθητή που θα ρώταγε: «Και γιατί να ανήκουν στον άξονα x x και να μην ανήκουν στον άξονα y y; Δηλαδή να είναι:. ή ακόμη:. Συμπέρασμα: Διάταξη στους μιγαδικούς που να είναι συμβατή με τις πράξεις δε μπορεί να οριστεί. Ασκήσεις όπως η αρχική, οι οποίες δεν επιδέχονται μονοσήμαντη απάντηση, μπερδεύουν αντί να απλοποιούν τα πράγματα και πρέπει να αποφεύγονται ως λανθασμένες. Συναρτήσεις
8 Σε ένα διαγώνισμα της περσινής σχολικής χρονιάς (σχολικό έτος , Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ηρακλείου, τμήμα θετικής κατεύθυνσης, βλέπε [5] για ολόκληρο το διαγώνισμα) ζητήθηκε το παρακάτω θέμα από τους μαθητές: Για την επίλυση του θέματος Β2 οι περισσότεροι μαθητές έβαλαν όπου ( ) το μηδέν και βρήκαν ότι «η οποία είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης επειδή η f είναι μονότονη». Το πρόβλημα με αυτή τη «λύση» είναι ότι το μόνο που έχει αποδειχθεί είναι ότι «αν η συνάρτηση μηδενίζεται σε κάποιο σημείο τότε πρέπει». Δεν έχει αποδειχθεί όμως ότι πράγματι είναι λύση. Ορθή λύση: Για η αρχική γίνεται ( ) ( ) =1 δηλαδή το ( ) είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης και επειδή η συνάρτηση ( ) είναι γνησίως μονότονη με προφανή (άρα μοναδική) ρίζα το 2, άρα ( ). Εν τη ρύμη του λόγου Συνηθίζουμε να γράφουμε και να λέμε ότι «μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη επειδή προκύπτει από πράξεις μεταξύ παραγωγισίμων συναρτήσεων». Και μέχρι ένα σημείο αυτό ευσταθεί αν στο νου μας έχουμε τις 4 πράξεις. Για τη μεν συνέχεια μιας συνάρτησης ισχύει (βλέπε [2] σελ. 190) κάτι το οποίο δεν υφίσταται για την παράγωγο, καθώς ενδέχεται η f να είναι παραγωγίσιμη αλλά να μην είναι οι συναρτήσεις και. Παράδειγμα: η συνάρτηση ( ) δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1 και στο -1 όπως και η συνάρτηση ( ) δεν είναι
9 παραγωγίσιμη στο 2 και στο 3. Ένα παράδειγμα «καλής» συνάρτησης είναι η ( ) η οποία είναι παραγωγίσιμη και στο παρά το ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0. Επίλυση συναρτησιακής Το πρόβλημα της επαλήθευσης εμφανίζεται πολλές φορές και σε προβλήματα επίλυσης συναρτησιακών εξισώσεων. Παράδειγμα: Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ) ( ) Λύση: Η παραπάνω συναρτησιακή για δίνει ( ). (Το μόνο που έχουμε αποδείξει μέχρι στιγμής είναι ότι ΑΝ υπάρχει τέτοια συνάρτηση ΤΟΤΕ αυτή οφείλει να είναι η ( ) ). Όμως η συγκεκριμένη συνάρτηση δεν επαληθεύει την αρχική σχέση. Μάλιστα για όσους θυμούνται τις εξετάσεις της Α Δέσμης του 1997, είχε τεθεί το εξής θέμα: «Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματική συνάρτηση παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε υπάρχει πραγματικός αριθμός ώστε να ισχύει ( ) ( ) ( ). i. Να αποδείξετε ότι ( ). ii. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )( ).» Δυστυχώς οι υποθέσεις της άσκησης είναι ασύμβατες οπότε τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει, ωστόσο, «ουδόλως επηρεάζουν την επίλυση του θέματος». Είμαι σίγουρος ότι πολλοί θα θυμούνται της απαράμιλλης κομψότητας άσκηση των εξετάσεων του 2012: Στην άσκηση αυτή μεταξύ άλλων ζητείται να αποδειχθεί ότι ( ) ( ). Και φυσικά αν κάποιος λύνοντας την άσκηση καταλήξει
10 στην παραπάνω συνάρτηση και μόνο έχει ολοκληρώσει την απόδειξη του ερωτήματος. Όμως ικανοποιεί η συγκεκριμένη συνάρτηση τις υποθέσεις της άσκησης και συγκεκριμένα την υπόθεση ότι ( ) ; Το ερώτημα αυτό είναι εύλογο καθώς το αποτέλεσμα της άσκησης θα ήταν το ίδιο ακόμη αν η φορά στην παραπάνω ανισότητα ήταν ανεστραμμένη και χρησιμοποιούσαμε το θεώρημα Fermat για να φτάσουμε σε αυτό. Η απάντηση είναι θετική και πρόκειται για μία όμορφη (αλλά δύσκολη) άσκηση μέσα στη σχολική ύλη. Συμπέρασμα: Για να μην υπάρχουν προβλήματα σε θέματα συναρτησιακών που τίθενται (ειδικά σε περίπλοκες σχέσεις), ο κατασκευαστής καλό είναι να δημιουργεί την άσκηση έχοντας στο μυαλό του μία τουλάχιστον συνάρτηση που την ικανοποιεί. Σε προβλήματα που ζητείται η εύρεση του τύπου της είναι υποχρεωτική η επαλήθευση σε περίπτωση που καταλήξουμε σε αυτήν από μη ισοδύναμη σχέση. Εάν απλά ζητείται να αποδειχθεί ότι ο τύπος της είναι ο συγκεκριμένος που αναφέρει το ερώτημα τότε απλά καταλήγοντας σε αυτή τη συνάρτηση, έχει ολοκληρωθεί η απάντηση (ακόμη και στην περίπτωση που δεν επαληθεύει αφού με ψευδή υπόθεση η συνεπαγωγή είναι αληθής). Θεώρημα Fermat Άσκηση: Αν ισχύει για κάθε να αποδείξετε ότι Απόδειξη: Ορίζουμε τη συνάρτηση ( ) για την οποία ( ) άρα ( ) ( ) για κάθε. Συνεπώς η συνάρτηση ( ) παρουσιάζει ακρότατο (ολικό ελάχιστο) στο και ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat στο 0 άρα πρέπει ( ) απ όπου και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Ας αλλάξουμε τώρα στην εκφώνηση τη φορά της ανισότητας ώστε να γίνει για κάθε. Ζητείται και πάλι να αποδειχθεί ότι Η απόδειξη σε αυτή την περίπτωση είναι ακριβώς η ίδια με μόνη διαφορά ότι το ( ) είναι ολικό μέγιστο για την f. Ωστόσο παρά το ότι και στις δύο περιπτώσεις λαμβάνουμε εντούτοις δε μπορεί να αληθεύουν ταυτόχρονα και οι δύο παραπάνω ανισότητες και για κάθε Και στις δύο όμως περιπτώσεις η άσκηση είναι σωστή και αυτό διότι η συνεπαγωγή είναι αληθής.
11 Ερώτηση: Ποια η ομοιότητα στη διαδικασία επίλυσης των παρακάτω ασκήσεων; Άσκηση: Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες. Άσκηση: Να βρείτε την τιμή του α ώστε να ισχύει για κάθε. Απάντηση: Στη μεν πρώτη αν η πρώτη σχέση που γράψουμε (χωρίς τους αναγκαίους περιορισμούς) είναι ( ) ( ) τότε αυτή είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη και όμοια στη δεύτερη, αν ορίσουμε ( ) και εκμεταλλευτούμε ότι ( ) τότε και πάλι η τελευταία είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη. Άρα και στις δύο ασκήσεις είναι απαραίτητη η επαλήθευση. Ας δούμε ένα θέμα από τις Επαναληπτικές Εξετάσεις του 2004: Φυσικά στο πρώτο ερώτημα προκύπτει άμεσα με εφαρμογή του θεωρήματος Fermat ότι, αν υπάρχει, τιμή του m τότε πρέπει Είναι όμως η τιμή δεκτή; Χρειάζεται επαλήθευση η οποία είναι αρκετά απλή: Για έχουμε ( ) ( )( ). Αλληλοεξαρτώμενοι μιγαδικοί Αφορμή στάθηκε η εξής άσκηση κάποιου βιβλίου:
12 Στην παραπάνω λύση λείπουν οι μιγαδικοί z, w που καθιστούν την ισότητα. Λόγω αλληλεξάρτησης των μιγαδικών z, w η μέγιστη τιμή του μέτρου επιτυγχάνεται όταν οι εικόνες των z, w είναι αντιδιαμετρικά σημεία δηλαδή όταν. Βάζοντας την τελευταία στην αρχική σχέση παίρνουμε διαδοχικά: { { απ όπου βγάζουμε μία εκ των (δύο) λύσεων να είναι η ( ) ( ) η οποία πράγματι ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο. Ένα «κακό» παράδειγμα άσκησης: Ας υποθέσουμε, όπως και πριν, ότι ο z κινείται επί του μοναδιαίου κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι ο μιγαδικός κινείται επίσης στον ίδιο κύκλο. Δυστυχώς η μέγιστη τιμή του δεν είναι το 2 αφού λόγω της αλληλεξάρτησής τους οι εικόνες των z, w δεν είναι ποτέ αντιδιαμετρικά σημεία.
13 Με αφορμή ένα θέμα από τις πανελλήνιες εξετάσεις του 2012 Ας δούμε ένα θέμα των Πανελληνίων Εξετάσεων του 2012 στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής και ας επικεντρωθούμε στο ερώτημα Δ2. «Όταν το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΟΚΜΛ γίνεται τετράγωνο (δεδομένο) τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο (ζητούμενο)». Ποια ήταν η απόδειξη της Κεντρικής Επιτροπής Εξετάσεων ΓΕΛ 2012; Τι έχει αποδειχθεί; «Αν το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει ελάχιστο εμβαδό τότε είναι τετράγωνο». Πιο συγκεκριμένα έχει αποδειχθεί ότι η
14 συνάρτηση Ε(x) του εμβαδού γίνεται ελάχιστη αν και μόνο αν.όμως ενδέχεται να υπάρχει και άλλη τιμή του για την οποία το ΟΚΜΛ να είναι τετράγωνο αλλά το εμβαδό να μην είναι ελάχιστο. Άρα χρειάζεται να αποδειχθεί ότι το ΟΚΜΛ είναι τετράγωνο αν και μόνο αν (η μόνη τιμή που το εμβαδό ελαχιστοποιείται). Με άλλα λόγια ότι η μοναδική λύση της εξίσωσης ( ) είναι η. 1 Μία ολοκληρωμένη προσέγγιση: Στο Δ1 αποδείχθηκε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ). Για, έπεται ότι ( ) ( ) ( ) Άρα ( ) για. Για, έπεται ότι ( ) ( ) ( ). Άρα ( ) για. Τελικά μόνο για ισχύει ( ) και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Σταθήκαμε «τυχεροί» στο παραπάνω πρόβλημα όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα αφού το ΟΚΜΛ είναι τετράγωνο μόνο όταν η συνάρτηση ( ) ( ) του εμβαδού γίνεται ελάχιστη. Ποια είναι η αρχή του προβλήματος; Στο βιβλίο Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής (βλέπε [1]) στη σελίδα 46 διαβάζουμε την άσκηση 6: Στο βιβλίο των λύσεων του βιβλίου, το θέμα λύνεται ως εξής: 1 Το προβληματικό σημείο της εκφώνησης του θέματος αυτού επισήμανε πρώτος ο Θανάσης Κοντογεώργης (με ψευδώνυμο «socrates»), φοιτητής ΗΜΜΗΥ του Α.Π.Θ. στο σχετικό θέμα στο mathematica.gr. Βλέπε το σχόλιο στη δημοσίευση του «chris» εδώ [6])
15 που φυσικά είναι ελλιπής όπως θα φανεί και στ επόμενο (αντι) παράδειγμα. Παράδειγμα «κακής» συνάρτησης αποτελεί η ( ) με αντίστοιχη συνάρτηση εμβαδού την ( ) ( ) Όταν το εμβαδό του ορθογωνίου ΟΚΜΛ γίνει ελάχιστο (για ) τότε το ΟΚΜΛ είναι τετράγωνο. Όταν όμως το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΟΚΜΛ είναι τετράγωνο τότε το εμβαδό δε γίνεται απαραίτητα ελάχιστο.
16 Στο διπλανό σχήμα με μπλε και κόκκινο σημειώνονται οι γραφικές παραστάσεις των f και g αντίστοιχα. Βιβλιογραφία [1]. Αδαμόπουλος, Λ κ.α., Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ (2011) [2]. Ανδρεαδάκης, Σ. κ.α. Μαθηματικά Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση, ΟΕΔΒ (2010) [3]. Ανδρεαδάκης, Σ. κ.α., Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων Α Τάξης Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ (2012) [4]. Καζαντζής Θ.Ν., Άλγεβρα, Τόμος 1, Θεσσαλονίκη (1978) [5]. [6].
(ΜΕ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ)
1 ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΩΝ ΠΟΝΩΝ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ (ΜΕ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ) Η πραγματικότητα ξεπερνά και την πιο τολμηρή φαντασία. Επίκτητος Σοφός δεν είναι όποιος ξέρει πολλά, αλλά όποιος ξέρει χρήσιμα. Ηράκλειτος Οι
Διαβάστε περισσότερα«ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΑ: ΤΟΠΙΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ, ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ»
1 ο ΕΠΑ.Λ ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΩΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ: «ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΑ: ΤΟΠΙΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ, ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ» ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 2008-2009 ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ: ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΠρώτη διδακτική πρόταση Χρωματίζοντας ένα σκίτσο
Κατανόηση προφορικού λόγου Επίπεδο Α (αρχάριο) Πρώτη διδακτική πρόταση Χρωματίζοντας ένα σκίτσο Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα-στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Υλικό: Ενσωμάτωση δεξιοτήτων: 1-2 διδακτικές
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Τίτλος προγράμματος: «Ανάπτυξη της αυτοεκτίμησης» Τάξη: Α Εκπαιδευτικός: Βασιλική Αντωνογιάννη Σχολικό έτος: 2013-14 Σύνολο μαθητών
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΚΤΙΚΗ
ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΚΤΙΚΗ Διπλωματική Εργασία ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΩΔΙΚΑ ΒΙΒΛΙΩΝ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΟΝ ΚΩΔΙΚΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣύμβαση για την πρόσληψη, τοποθέτηση και τις συνθήκες εργασίας των εργαζόμενων μεταναστών, 1939, Νο. 66 1
Σύμβαση για την πρόσληψη, τοποθέτηση και τις συνθήκες εργασίας των εργαζόμενων μεταναστών, 1939, Νο. 66 1 Υιοθετήθηκε την 28η Ιουνίου 1939 από τη Γενική Συνδιάσκεψη της Διεθνούς Οργάνωσης Εργασίας κατά
Διαβάστε περισσότεραΟι μαθητές της ομάδας λογοτεχνίας της βιβλιοθήκης ασχολήθηκαν με το έργο πέντε γυναικών συγγραφέων: Ζωρζ Σαρή, Λότη Πέτροβιτς- Ανδρουτσοπούλου,
ΣΧΟΛΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ 1ΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΑΥΡΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2006-2007 Οι μαθητές της ομάδας λογοτεχνίας της βιβλιοθήκης ασχολήθηκαν με το έργο πέντε γυναικών συγγραφέων: Ζωρζ Σαρή, Λότη Πέτροβιτς- Ανδρουτσοπούλου,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων
Κεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων Στο πλαίσιο του παρόντος κεφαλαίου εξετάζονται οι κοινές ενδοοικογενειακές δραστηριότητες και η γλωσσική αλληλεπίδραση
Διαβάστε περισσότεραΣυνήγορος του Καταναλωτή Νομολογία ΕφΑθ 5253/2003
ΕφΑθ 5253/2003 Τράπεζες. Στεγαστικά δάνεια. Γενικοί Όροι Συναλλαγών. Καταχρηστικοί όροι. Έξοδα χρηματοδότησης. Προμήθεια φακέλου Παράνομες επιβαρύνσεις. Υπέρμετρες εγγυήσεις. Καταγγελία σύμβασης δανείου.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ (ΦΛΩΡΙΝΑ) ΤΜΗΜΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ
ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ (ΦΛΩΡΙΝΑ) ΤΜΗΜΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ «ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΙ ΚΑΙ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥΣ» ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΜΕΡΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΠρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012.
Πρακτικό 6/2012 της συνεδρίασης της Επιτροπής Ποιότητας Ζωής, του Δήμου Λήμνου, της 4ης Μαΐου 2012. Στη Μύρινα, σήμερα στις 4 του μήνα Μαΐου του έτους 2012, ημέρα Παρασκευή και ώρα 12:00 στο Δημοτικό Κατάστημα
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΡΑΣΗ-ΕΚΘΕΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο Λύκειο Καισαριανής ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ: Κείμενα Προβληματισμού
Τι θα πρέπει να λάβει υπόψη του ο νέος, πριν τελικά επιλέξει το επάγγελμα που θα ασκήσει Το επάγγελμα, είτε είναι λειτούργημα είτε όχι, έχει ζωτική σημασία για τον άνθρωπο. Συντελεί στην προσωπική του
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΙΤΙΚΉ ΠΑΙΔΕΙΑ. Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. Καζάκου Γεωργία, ΠΕ09 Οικονομολόγος
1 ΠΟΛΙΤΙΚΉ ΠΑΙΔΕΙΑ Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΤΟ ΧΡΗΜΑ ΚΑΙ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΕΣ 11.1 Από τον αντιπραγματισμό στην οικονομία του χρήματος 11.1 ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΝΤΙΠΡΑΓΜΑΤΙΣΜΟ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3
ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Σημειώνεται ότι για την ετοιμασία και εφαρμογή της ενότητας συνέδραμαν και οι συνάδελφοι Μαρία Ανθίμου και Χριστίνα Κκαΐλη (Δημοτικό Σχολείο Μενεού) ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ:
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΕΙΜΕΝΟ Με τον όρο αυτομόρφωση περιγράφουμε μία σύνθετη εκπαιδευτική διαδικασία της οποίας θεμελιώδης κινητήρια δύναμη είναι ο ίδιος ο άνθρωπος, ο
Διαβάστε περισσότεραΕργασία στο μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία στο μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ Το παρακάτω σχέδιο μαθήματος απευθύνεται στη κατάκτηση από
Διαβάστε περισσότεραΧρήσιμες Ερωτο-Απαντήσεις για τη Ρύθμιση Αυθαίρετων Κατασκευών (Κεφάλαιο Β. Νόμου 4014/2011)
ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ & ΑΣΤΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Χρήσιμες Ερωτο-Απαντήσεις για τη Ρύθμιση Αυθαίρετων Κατασκευών (Κεφάλαιο Β. Νόμου 4014/2011) 1. Ποια αλλαγή έχει επέλθει από 21.9.2011 σχετικά με τις
Διαβάστε περισσότεραΔΗΜΟΣ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ - ΜΕΘΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ : ΥΔΡΕΥΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ ΜΕΘΑΝΩΝ ΕΤΟΥΣ 2015 ΘΕΣΗ : ΔΗΜΟΣ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ - ΜΕΘΑΝΩΝ
Αριθμός Μελέτης: 84 / 2014 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡ/ΜΟΥ & ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΝΗΣΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΝΗΣΙΩΤΙΚΩΝ ΔΗΜΩΝ ΔΗΜΟΣ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΤο αεροσκάφος κάθετης απογείωσης
Το αεροσκάφος κάθετης απογείωσης Γνωστικό Αντικείμενο: Μαθηματικά (Γεωμετρία Βασικές γεωμετρικές έννοιες - Συμμετρία) - Τεχνολογία Τάξη: Α Γυμνασίου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ
Λ. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Λ ν.λ >/ ΑΤΕΙ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΣΠΑΝΟΣΑΠΟΣΤΟΛΗΣ ΚΑΛΑΜΑΤΑ,2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή......1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ελαιόλαδα, από το χθες στο σήμερα...3
Διαβάστε περισσότεραΗ Φυσική με Πειράματα
Α Γυμνασίου Η Φυσική με Πειράματα Πρόγραμμα Σπουδών Περιγραφή Το μάθημα της Φυσικής, η "Φυσική με Πειράματα", στην πρώτη τάξη του Γυμνασίου προβλέπεται να διδάσκεται μία ώρα την εβδομάδα, στην τάξη ή στο
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από
ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από τους Δικαστές Κυριάκο Μπαμπαλίδη, Πρόεδρο Πρωτοδικών,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΟΝΙΣΤΕΣ ΟΜΑΔΑΣ PROJECT ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ: ΟΜΑΔΑ PROJECT ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ:
ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΕΣ ΟΜΑΔΑΣ PROJECT ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ: ΘΕΟΦΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΡΟΥΓΓΟΥ ΜΑΡΙΑ ΠΕ10 ΠΕ06 ΟΜΑΔΑ PROJECT ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ: ΓΚΑΝΑ ΔΑΦΝΗ, ΔΟΣΚΟΡΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ, ΖΑΧΑΡΑΚΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΚΑΛΙΑΤΣΟΥ ΙΩΑΝΝΑ,
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 26/5/2010
ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 26/5/2010 Α1. Η αρετή αναφέρεται στα «πάθη» και στις «πράξεις», στα οποία η υπερβολή αποτελεί λάθος και ψέγεται, το ίδιο και η έλλειψη, ενώ το μέσον επαινείται και είναι το
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Σελίδα 5 από 9 ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Α. Α. Από το κείμενο που σας δίνεται να μεταφράσετε το απόσπασμα: «περὶ δὲ τῶν κοινῶν εἰς τοιούτους ἀγῶνας καθεστηκότας». Σε ό,τι αφορά όμως το
Διαβάστε περισσότεραΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Τιμαριθμική 2012Α 1 ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ 1.1 Αντικείμενο του παρόντος Τιμολογίου είναι ο καθορισμός των τιμών μονάδος με τις οποίες θα εκτελεσθεί το έργο, όπως προδιαγράφεται στα λοιπά τεύχη
Διαβάστε περισσότεραΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΖΩΓΡΑΦΟΥ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΗΣΗΣ ΕΡΓΟ: ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗ ΚΑΙ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΤΟΥ ΥΠΑΡΧΟΝΤΟΣ ΤΟΙΧΕΙΟΥ ΣΤΟΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΧΩΡΟ ΤΗΣ ΠΛΑΤΕΙΑΣ ΑΓ.ΓΕΡΑΣΙΜΟΥ ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σημειώσεις με θέμα «Πιστωτικοί Τίτλοι» Πιστωτικοί τίτλοι καλούνται τα έγγραφα εκείνα με τα οποία αποδεικνύεται τόσο η ύπαρξη της
Διαβάστε περισσότεραΣΤΗΝ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑ ΑΠΟ ΑΓ.ΕΛΕΝΗ ΕΩΣ ΤΟΝ ΚΟΜΒΟ ΚΑΛΛΟΝΗΣ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΡΤΙΜΟΥ. ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Τιμαριθμική 2012Α
ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΝΗΣΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΔ & Μ.Ε Αριθμός Μελέτης : 3 Δήμος : ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ Εργο : ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΟΔΟΦΩΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗΝ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑ ΑΠΟ ΑΓ.ΕΛΕΝΗ ΕΩΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ «ΑΣΦΑΛΩΣ ΚΑΤΟΙΚΕΙΝ» ΚΟΙΝΟΧΡΗΣΤΟΙ ΧΩΡΟΙ
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ «ΑΣΦΑΛΩΣ ΚΑΤΟΙΚΕΙΝ» ΚΟΙΝΟΧΡΗΣΤΟΙ ΧΩΡΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΑΡΘΡΟ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ Αξία καινούργιου: Είναι το ποσό που απαιτείται για την ανακατασκευή του κτιρίου
Διαβάστε περισσότεραΟ Οδικός Χάρτης για την Ελλάδα της δημιουργίας
Ο Οδικός Χάρτης για την Ελλάδα της δημιουργίας Από την κρίση και τα ελλείμματα στην ανάπτυξη και την κοινωνική δικαιοσύνη ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Α. Αντιμέτωποι με την κρίση: τα πρώτα βήματα για τη σωτηρία
Διαβάστε περισσότεραΗ υποστήριξη της επαγγελματικής μάθησης μέσα από την έρευνα-δράση: διαδικασίες και αποτελέσματα
Η υποστήριξη της επαγγελματικής μάθησης μέσα από την έρευνα-δράση: διαδικασίες και αποτελέσματα Σοφία Αυγητίδου Καθηγήτρια Παιδαγωγικής Εκπαίδευσης Εκπαιδευτικών Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Δομή παρουσίασης
Διαβάστε περισσότεραΤο εκκρεμές. (Μ. Νικολάου)
Το εκκρεμές (Μ. Νικολάου) ΘΕΜΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ Το πρώτο βήμα της διερεύνησής μας ήταν να ορίσουμε το θέμα μας: Οι παράγοντες που επηρεάζουν το πόσο αργά ή γρήγορα ταλαντώνεται ένα εκκρεμές.
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή 4 Μαρτίου 2012 Α. α) η απάντηση βρίσκεται στη σχολικό βιβλίο: Εισαγωγή των «Ποιημάτων για την Ποίηση», σελίδες
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 13 Α' ΜΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΟΛΕΜΟ ΤΟΥ 1897 ΣΤΟ ΓΟΥΔΙ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 13 Α' ΜΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΟΛΕΜΟ ΤΟΥ 1897 ΣΤΟ ΓΟΥΔΙ Του Βασίλη Γούναρη 19 1. Η ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΗΤΤΑΣ ΤΟΥ 1897 21 η ηττα και η συνθηκολογηση οι συνεπειες της ηττας εξελιξεις και
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΗ ΚΑΙ ΧΩΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ 20 Ο ΣΤΟΝ 21 Ο ΑΙΩΝΑ
ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ-ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 1 ΠΟΛΗ ΚΑΙ ΧΩΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ 20 Ο ΣΤΟΝ 21 Ο ΑΙΩΝΑ Α. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΚΔΟΣΗΣ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΕΠΙΜΕΛΗΤΕΣ ΤΟΥ ΤΟΜΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟ ΣΑΡΗΓΙΑΝΝΗ Καθηγητή Ε.Μ.Π., Σχολή Αρχιτεκτόνων ΔΗΜΗΤΡΗ
Διαβάστε περισσότεραΑγάθη Γεωργιάδου Λογοτεχνία και Πανελλαδικές Εξετάσεις 1
Αγάθη Γεωργιάδου Λογοτεχνία και Πανελλαδικές Εξετάσεις 1 Η Νεοελληνική Λογοτεχνία Γ Λυκείου Θεωρητικής Κατεύθυνσης είναι ένα πολύπαθο μάθημα. Η εμπλοκή του στις πανελλαδικές εξετάσεις το μετατρέπει σε
Διαβάστε περισσότεραΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Πρώτες βοήθειες και αντιλήψεις του πληθυσμού στους Νομούς Χανίων, Ηρακλείου, Λασιθίου και Μεσσηνίας
Α.Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Πρώτες βοήθειες και αντιλήψεις του πληθυσμού στους Νομούς Χανίων, Ηρακλείου, Λασιθίου και Μεσσηνίας ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ Δημητρακόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ; "Το συν/γιια ως μέσον διεθνούς πληρωμής" ΣΠΟΥΔΑΣΤΡΙΑ: ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΙΑΟΥ ΑΓΑΠΗ ΕΠΙΒΛΕΠΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΠΙΠΙΑΙΑΓΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΑΗΣ
T.E.l. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΛΙΟίΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟ ΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ; "Το συν/γιια ως μέσον διεθνούς πληρωμής" ΣΠΟΥΔΑΣΤΡΙΑ: ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΙΑΟΥ ΑΓΑΠΗ ΕΠΙΒΛΕΠΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΠΙΠΙΑΙΑΓΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΑΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ ΓΡΑΦΕΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ Η ΜΕΤΑΡΡΥΘΜΙΣΤΙΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ
ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ ΓΡΑΦΕΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ Η ΜΕΤΑΡΡΥΘΜΙΣΤΙΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΙΣΤΟΡΙΚΟ Η ανάγκη να μειωθεί το περίφημο δημοκρατικό έλλειμμα, να υπάρξει μεγαλύτερη διαφάνεια και μεγαλύτερη αποτελεσματικότητα στη
Διαβάστε περισσότεραΟ συγγραφέας χρησιμοποιεί συνδυασμό μεθόδων για την ανάπτυξη της έβδομης παραγράφου.
Α.1 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στο κείμενο αυτό ο συγγραφέας παρουσιάζει την αξία των αρχαίων ελληνικών μνημείων και την αναγκαιότητα ανάδειξής τους. Αρχικά συσχετίζει τα μνημεία αυτά με τη δημοκρατία και τη συμμετοχή στα
Διαβάστε περισσότεραΑΔΑ: 4ΙΦΝΚ-ΔΘ. Αθήνα, 14 Δεκεμβρίου 2010 Αριθ. Πρωτ.: 71351. Ταχυδρομική. Σταδίου 27 Διεύθυνση: Ταχυδρομικός Κώδικας: 101 83 ΑΘΗΝΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥTΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΑΔΑ: Ταχυδρομική
Διαβάστε περισσότεραΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΤΗΝΟΥ
Li m o TEI ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΤΗΝΟΥ ΕΠΙΒΑΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΥποψήφιοι Σχολικοί Σύμβουλοι 1986 2005
Υποψήφιοι Σχολικοί Σύμβουλοι 1986 25 Για τους /τις εκπαιδευτικούς που υπέβαλαν αίτηση υποψηφιότητας για τη θέση Σχολικού Συμβούλου υπάρχουν μας διατέθηκαν από τις αρμόδιες υπηρεσίες του ΥΠΕΠΘ, για τα έτη
Διαβάστε περισσότεραΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΚΑΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟΙ ΑΝΗΛΙΚΟΙ: ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ, ΦΟΡΕΙΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ»
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τ Ε I ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ τ Μ Η Μ Α ΕΚΔΟΣΕΩΝ & ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ! «ΚΑΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟΙ ΑΝΗΛΙΚΟΙ:
Διαβάστε περισσότεραΣκοπός του παιχνιδιού. Περιεχόμενα
Ένα συνεργατικό παιχνίδι μνήμης για 3 έως 6 παίκτες, 7 ετών και άνω. Ο Τομ σκαρφάλωσε στην κορυφή ενός δέντρου, για να δεί αν μπορούσε να ανακαλύψει κάτι. Κοιτάζοντας προς κάθε μεριά, είδε τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΥΠΟΥΡΓΟΣ Προς: Δημάρχους της Χώρας Αθήνα, 16 Δεκεμβρίου 2013 Α.Π.:2271. Αγαπητέ κ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΥΠΟΥΡΓΟΣ Προς: Δημάρχους της Χώρας Αθήνα, 16 Δεκεμβρίου 2013 Α.Π.:2271 Αγαπητέ κ. Δήμαρχε Σας στέλνω συνημμένη την μελέτη στελέχωσης του δήμου σας,
Διαβάστε περισσότεραΠρότυπο Σχέδιο Δράσης για τα Συμβούλια Ένταξης Μεταναστών
Πρότυπο Σχέδιο Δράσης για τα Συμβούλια Ένταξης Μεταναστών Δράση 4.1/10 - «Δημιουργία δικτύου συνεργασίας σε τοπικό επίπεδο μεταξύ κρατών μελών της ΕΕ» 1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. Εισαγωγή...3 2. Το σχέδιο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ
ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ Θέμα: Κληρονομικά προβλήματα από νομική άποψη (κληρονομικό δίκαιο) από μαθηματική (συλλογισμοί και πράξεις για τον υπολογισμό των μεριδίων) Διδάσκοντες: Κ. Ντούρου (Κοινωνικός Γραμματισμός)
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ. Θέμα πτυχιακής εργασίας:
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Θέμα πτυχιακής εργασίας: Προμελέτη σκοπιμότητας επενδυτικού σχεδίου που αφορά τον εκσυγχρονισμό υφιστάμενης
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΞΗΡΟΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ: ΔΙΚΗΓΟΡΟΣ-ΝΟΜΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΔΕΥΑΜΒ ΠΑΝΑΓΙΩΤΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ: Δ/ΚΟΣ ΥΠΑΛΛΗΛΟΣ ΔΕΥΑΜΒ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΞΗΡΟΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ: ΔΙΚΗΓΟΡΟΣ-ΝΟΜΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΔΕΥΑΜΒ ΠΑΝΑΓΙΩΤΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ: Δ/ΚΟΣ ΥΠΑΛΛΗΛΟΣ ΔΕΥΑΜΒ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΑΡΘΡΟ Σελίδα Κεφάλαιο Α' Αντικείμενο Γενικοί Όροι 1. Αντικείμενο του
Διαβάστε περισσότεραO ΑΓΩΝΑΣ ΤΟΥ ΕΦΗΒΟΥ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ
Διαγώνισμα Έκφρασης Έκθεσης Α Λυκείου Όνομα: Επώνυμο: Τμήμα: Ημερομηνία: 13.04.2014 Κείμενο Α O ΑΓΩΝΑΣ ΤΟΥ ΕΦΗΒΟΥ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ Ανησυχώντας για την απειρία των παιδιών τους, που μπαίνουν στον κόσμο των
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΡΚΟ ΠΑΛΛΟΥΡΟΚΑΜΠΟΥ ΣΤΟΝ ΗΜΟ ΛΑΤΣΙΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΡΚΟ ΠΑΛΛΟΥΡΟΚΑΜΠΟΥ ΣΤΟΝ ΗΜΟ ΛΑΤΣΙΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΣΕΛ. - 1 - Πρόγραμμα ιαγωνισμού Γενικό Πλαίσιο: Η περιοχή Παλλουρόκαμπος στο ήμο Λατσιών
Διαβάστε περισσότεραΗ Αγορά Ηλεκτρικής Ενέργειας στην Κύπρο έχει οργανωθεί σε τομείς που υπόκεινται στις ακόλουθες ρυθμίσεις:
ΡΥΘΜΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΥΠΡΟΥ ΔΗΛΩΣΗ ΡΥΘΜΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΔΙΑΤΙΜΗΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΥ Η ΡΑΕΚ θέτει και δημοσιεύει την παρούσα πρόταση ως προς τις αρχές και τη Μεθοδολογία που
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ (Τ.Ε.Ι.Κ.) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ (ΣΤΕΓ) ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ (Φ.Π.) ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ:
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ (Τ.Ε.Ι.Κ.) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ (ΣΤΕΓ) ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ (Φ.Π.) ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: «Συγκριτική αξιολόγηση μεθόδων συλλογής ελαιοκάρπου και
Διαβάστε περισσότεραΜαρίας Ιορδανίδου. Λωξάντρα. Πρόταση διδασκαλίας λογοτεχνικού βιβλίου. Επιμέλεια: Σπύρος Αντωνέλλος Ε.Μ.Ε.
Μαρίας Ιορδανίδου Λωξάντρα Πρόταση διδασκαλίας λογοτεχνικού βιβλίου Επιμέλεια: Σπύρος Αντωνέλλος Ε.Μ.Ε. Περιεχόμενα: Στόχοι Συνέντευξη της Μαρίας Ιορδανίδου Ιστορικό πλαίσιο του έργου Ο μύθος Η ηρωίδα,
Διαβάστε περισσότεραΟ «ΕΚΑΛΟΓΟΣ» ΤΟΥ ΚΑΛΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ
Ο «ΕΚΑΛΟΓΟΣ» ΤΟΥ ΚΑΛΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ 1. Ύπνος: Δεν βοηθάει να ξενυχτήσουμε διαβάζοντας το προηγούμενο βράδυ, προσπαθώντας να συγκεντρώσουμε το σύνολο της ύλης στο μυαλό μας. Η κούραση, δε θα μας επιτρέψει
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ
Προσοχή: Επειδή πολλοί χρήστες πιθανόν να μην έχουν εγκατεστημένη την κατάλληλη γραμματοσειρά για να διαβάσουν Αρχαία Ελληνικά, δίνουμε το κείμενο της εκφώνησης σκαναρισμένο και το υπόλοιπο σε μονοτονικό
Διαβάστε περισσότερα35η ιδακτική Ενότητα ΕΝΟΧΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ( ΕΝΟΧΙΚΟ ΙΚΑΙΟ)
35η ιδακτική Ενότητα ΕΝΟΧΙΚΕ ΧΕΕΙ ( ΕΝΟΧΙΚΟ ΙΚΑΙΟ) Εργασία για το σχολείο Ο καθηγητής θα µοιράσει µισθωτήρια κατοικιών στους µαθητές, θα τους χωρίσει ανά θρανίο σε εκµισθωτές και µισθωτές και αφού τους
Διαβάστε περισσότεραΝΟΜΟΣ 3719/2008 - ΦΕΚ 241/Α'/26.11.2008 Μεταρρυθμίσεις για την οικογένεια, το παιδί, την κοινωνία και άλλες διατάξεις.
ΝΟΜΟΣ 3719/2008 - ΦΕΚ 241/Α'/26.11.2008 Μεταρρυθμίσεις για την οικογένεια, το παιδί, την κοινωνία και άλλες διατάξεις. Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Εκδίδομε τον ακόλουθο νόμο που ψήφισε η Βουλή:
Διαβάστε περισσότεραΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ 1 : ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ
ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΗ ΔΡΑΜΑΣ - ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΗ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Ο.Τ.Α. Κωνσταντινουπόλεως 8 66100 Δράμα ΕΡΓΟ: ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΤΟΥ «ΣΠΙΤΙΟΥ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ» ΤΗΣ ΕΝΩΣΗΣ ΚΥΡΙΩΝ ΔΡΑΜΑΣ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ 1 : ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΗΚΗ SCHENGEN (ΣΕΝΓΚΕΝ)
ΣΥΝΘΗΚΗ SCHENGEN (ΣΕΝΓΚΕΝ) ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΣΥΜΦΩΝΙΑΣ ΤΟΥ ΣΕΝΓΚΕΝ της 14ης Ιουνίου 1985 μεταξύ των κυβερνήσεων των κρατών της Οικονομικής Ένωσης Μπενελούξ, της Ομοσπονδιακής Δημοκρατίας της Γερμανίας
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Αρ.Φακ.: 7.11.15.10 Αρ.Τηλ.: 22809543 Αρ.Φαξ:22800802 e-mail:oloimero@schools.ac.cy. 2 Σεπτεμβρίου 2010
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αρ.Φακ.: 7.11.15.10 Αρ.Τηλ.: 22809543 Αρ.Φαξ:22800802 e-mail:oloimero@schools.ac.cy 2 Σεπτεμβρίου 2010 Διευθυντή/ντρια
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Εισαγωγή... 7 ΜΕΡΟΣ Α... 13 Κεφάλαιο 1. Κεφάλαιο 2. Κεφάλαιο 3. Κεφάλαιο 4. Κεφάλαιο 5. Κεφάλαιο 6. Κεφάλαιο 7. Κεφάλαιο 8.
Περιεχόμενα Εισαγωγή... 7 ΜΕΡΟΣ Α... 13 Κεφάλαιο 1 Η σταχτοπούτα της ζωής μας!... 15 Κεφάλαιο 2 Συνδέοντας τα κομμάτια: o εαυτός μας!... 23 Κεφάλαιο 3 Οι σχέσεις μας είναι ο καθρέφτης μας!... 27 Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΤΑΞΗ: ΣΤ Δημοτικού ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΑΞΗ: ΣΤ Δημοτικού ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Στάδιο 1- Επιθυμητά Αποτελέσματα Στόχοι μαθήματος Οι μαθητές θα είναι ικανοί: 1. Nα περιγράφουν όλα τα δυνατά αποτελέσματα (δειγματικός χώρος) σε απλά πειράματα τύχης δύο
Διαβάστε περισσότεραΤΡΟΠΟΛΟΓΙΑ-ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ Άρθρο...
Η τροπολογία για την έκπτωση 2% στην εφάπαξ πληρωμή φόρου, τα ανείσπρακτα ενοίκια, τις επιδοτήσεις των αγροτών και τις λοιπές αλλαγές στον ΚΦΕ - Χρηστικός πίνακας με τις αλλαγές. [08.05.2015] ΤΡΟΠΟΛΟΓΙΑ-ΠΡΟΣΘΗΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΚΩΔΙΚΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΙΣΚΕΠΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΕΠΙΣΚΕΠΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Π.Σ.Ε.Υ. - Ν.Π.Δ.Δ. ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΕΠΙΣΚΕΠΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Π.Σ.Ε.Υ.-Ν.Π.Δ.Δ. ΚΩΔΙΚΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΙΣΚΕΠΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΑΘΗΝΑ 2015 1 Πίνακας περιεχομένων
Διαβάστε περισσότεραΒασικά σημεία διάλεξης
Διάλεξη 3 η Βασικές έννοιες και κατηγορίες κόστους Μέρος Β Δρ. Δημήτρης Μπάλιος_ 2 _Βασικές έννοιες και κατηγορίες κόστους Βασικά σημεία διάλεξης Σταθερό, μεταβλητό και μικτό κόστος. Άμεσο και έμμεσο κόστος.
Διαβάστε περισσότεραΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ
ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΘΗΝΑ 2015 1 Το επιστημονικό περιεχόμενο του παρόντος βιβλίου έχει υποβληθεί σε κριτική ανάγνωση και εγκριθεί με το σύστημα των κριτών. Η κριτική ανάγνωση πραγματοποιήθηκε από
Διαβάστε περισσότερα5 η Ενότητα Κουλτούρα και στρατηγική
Στρατηγική Διοίκηση και Διαχείριση της Απόδοσης 5 η Ενότητα Κουλτούρα και στρατηγική ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Έως τώρα έχουμε μιλήσει Κεφάλαιο 2: Σημαντική επιρροή του περιβάλλοντος
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ Ι.Κ.Α.
Πτυχιακή εργασία Η ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ Ι.Κ.Α. Ονοματεπώνυμο: Νταμπο Αρτεμίσια Αρ. Μ ητρώου:2007058 Επιβλέπουσα κ αθη γή τρια: Ρόη Γεωργιλά \Ί\6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΙ ΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΓΡΑΠΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΕ ΤΜΗΜΑ ΕΝΤΑΞΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ
ΜΑΡΙΑ ΣΙΟΜΠΟΤΗ-ΣΑΜΣΑΡΗ Φιλόλογος Ι ΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΓΡΑΠΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΕ ΤΜΗΜΑ ΕΝΤΑΞΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Προλεγόμενα Τα Τμήματα Ένταξης, αν και λειτουργούν στην Α/βάθμια Εκπαίδευση από
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σύμφωνα με τα όσα αναλυτικά έχουν περιγραφεί στα προηγούμενα κεφάλαια της παρούσας μελέτης η κατασκευή του τμήματος «Βρύσες Ατσιπόπουλο», του Βόρειου Οδικού
Διαβάστε περισσότεραΗ διδακτική ενότητα του σχολικού εγχειριδίου «Η ελληνική κοινωνία στα χρόνια της δουλείας- Η οικονομία» Στόχοι διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας
Διδακτική πρόταση H διδασκαλία της ενότητας «Η ελληνική κοινωνία στα χρόνια της δουλείας Η οικονομία» με τη βοήθεια του Eκπαιδευτικού Λογισμικού «Το 21 εν πλω» Τάξη Γ Γυμνασίου Διδακτικό υλικό Το σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΣχετ: Το από 21.07.2008 έγγραφό σας (αρ. πρωτ. εισερχ. 932/28.7.2008). Σε απάντηση του ως άνω σχετικού, θα θέλαμε να παρατηρήσουμε τα εξής:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΡΟΣ: Ελληνικά Ταχυδρομεία Κεντρική Υπηρεσία Δνση Στρατηγικής και Ανάπτυξης Τομέας Ρυθμιστικού Πλαισίου και Ανταγωνισμού Σταδίου 60 101 88 Αθήνα Αθήνα, 13 Οκτωβρίου 2008 Αρ. Πρωτ.:1263
Διαβάστε περισσότεραΑτομικό ιστορικό νηπίου
σημαντικές πληροφορίες στοιχεία επικοινωνίας Ατομικό ιστορικό νηπίου στοιχεία της προσωπικότητας του παιδιού Βοηθείστε μας να γνωρίσουμε καλύτερα το παιδί σας Όνομα Παιδιού: Συμπληρώστε με προσοχή και
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α «Α»
Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α «Α» «Προμήθεια γευμάτων για την σίτιση των ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ μαθητών του Μουσικού Γυμνασίου - Λυκείου ΝΟΜΟΣ ΔΡΑΜΑΣ Δράμας για το σχολικό έτος 2012 2013» ΔΗΜΟΣ ΔΡΑΜΑΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩ
Διαβάστε περισσότεραΤΟΜΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΚΑΙΟ
ΤΟΜΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΚΑΙΟ ΠΗΓΕΣ ΔΙΚΑΙΟΥ Ως πηγές του δικαίου εννοούνται οι ειδικότεροι τρόποι παραγωγής των κανόνων δικαίου. Διακρίνονται σε: Α) Πρωτογενείς ή άμεσες πηγές είναι αυτές που αποτελούν γενεσιουργούς
Διαβάστε περισσότεραΈλλειψη εσωτερικής ελευθερίας
Έλλειψη εσωτερικής ελευθερίας Ανωριμότητα Προκαταλήψεις- Στερεότυπα Απουσία ανθρωπιστικής παιδείας Ημιμάθεια Έλλειψη έμπρακτης χριστιανικής ζωής ΣΤΟΧΟΙ Να αρχίσουν να αναγνωρίζουν και να εκφράζουν τα δικά
Διαβάστε περισσότερα2. Στόχοι Ενδεικτικοί στόχοι Kοινωνικού Γραμματισμού.
1. Ταυτότητα ενότητας 1.Θέμα: Ρατσισμοί και διακρίσεις 2. Προτεινόμενες τάξεις: Γ -ΣΤ 3. Δημιουργός/οί: Άγγελος Χατζηνικολάου. Επεξεργασία: Τριανταφυλλιά Κωστούλη 4. Διάρκεια (σε διδακτικές ώρες): 8-10
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΙΑΚΙΝΗΣΗ ΑΝΘΡΩΠΩΝ
ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΙΑΚΙΝΗΣΗ ΑΝΘΡΩΠΩΝ ηµοσιοποιείται από το Γραφείο Παρακολούθησης και Καταπολέµησης της Παράνοµης ιακίνησης Ανθρώπων 12 Ιουνίου 2007 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι καταθέσεις των θυµάτων που περιλαµβάνονται
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Φυσική Β' Γυμνασίου. Επιμέλεια: Ιωάννης Γιαμνιαδάκης
ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Φυσική Β' Γυμνασίου Επιμέλεια: Ιωάννης Γιαμνιαδάκης Σύνδεση με προηγούμενο Μάθημα Στο κεφάλαιο Θερμότητα έχουμε μάθει: Τι είναι θερμότητα & θερμοκρασία μακροσκοπικά & μικροσκοπικά Μέτρηση
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝ. ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΩΝ Αθήνα, 22 Φεβρουαρίου 2008
ΓΕΝ. ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΩΝ Αθήνα, 22 Φεβρουαρίου 2008 ΚΑΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Αρ. Πρωτ. 1023056 /1210/ΔΕ-Α' ΓΕΝ. Δ/ΝΣΗ ΦΟΡΟΛ. ΕΛΕΓΧΩΝ Δ/ΝΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΛ. 1041 ΤΜΗΜΑΤΑ A, Β, Γ Ταχ. Δ/νση: Κ. Σερβίας 10
Διαβάστε περισσότεραΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΑΠΟΤΙΜΩΜΕΝΩΝ ΜΕ ΚΑΤ ΑΠΟΚΟΠΗ ΤΙΜΗΜΑΤΑ
ΚΤΙΡΙΑΚΕΣ ΥΠΟΔΟΜΕΣ A.E. ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΥΧΩΝ, ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ & ΣΥΜΒΑΣΕΩΝ ΕΡΓΟ:1/θέσιο ολοήμερο Νηπιαγωγείο Πετριάς, Δήμου Σκύδρας, Νομού Πέλλας, με τη μέθοδο
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 20 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Διδαγμένο κείμενο
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 20 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο κείμενο Α.1 Τι λοιπόν; Αυτό δεν είναι φυσικό, είπα εγώ, και δεν προκύπτει ως αναγκαίο συμπέρασμα από όσα έχουν λεχθεί
Διαβάστε περισσότεραΚΩΔΙΚΑΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ
ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ Προοίμιο Ο κώδικας δεοντολογίας του ΕΣΠΕΜ σκοπό έχει να κρατήσει υψηλά το κύρος του επαγγέλματος του μουσικοθεραπευτή στην Ελλάδα, να διαφυλάξει τους θεραπευόμενους από τυχόν μη δεοντολογικές
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. ΕΝΑΡΞΗ ΕΡΓΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ 2007-2013 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ»2007-2013 (ΕΠΑΝ ΙΙ) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΜΕΤΑΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΝΕΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ» ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΗΣ
Διαβάστε περισσότερα«Φιλολογικό» Φροντιστήριο Επαναληπτικό διαγώνισμα στη Νεοελληνική Γλώσσα. Ενδεικτικές απαντήσεις. Περιθωριοποίηση μαθητών από μαθητές!
«Φιλολογικό» Φροντιστήριο Επαναληπτικό διαγώνισμα στη Νεοελληνική Γλώσσα Ενδεικτικές απαντήσεις Περιθωριοποίηση μαθητών από μαθητές! Α. Να συντάξετε την περίληψη του κειμένου που σας δίνεται (λέξεις 100-120).
Διαβάστε περισσότεραΕσωτερικοί Κανονισμοί Τοπικής Αυτοδιοίκησης
Εσωτερικοί Κανονισμοί Τοπικής Αυτοδιοίκησης Καταστατικές Πρόνοιες και Εσωτερικοί Κανονισμοί που αφορούν τη Διεύθυνση Τοπικής Αυτοδιοίκησης, τις εκλογές Τοπικής Αυτοδιοίκησης και Σχολικών Εφορειών, τη λειτουργία
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΟ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ & ΚΗΔΕΜΟΝΩΝ ΕΠΙ ΤΟΥ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ 1 ου ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΗ
ΣΧΕΔΙΟ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ & ΚΗΔΕΜΟΝΩΝ ΕΠΙ ΤΟΥ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ 1 ου ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΗ 02/03/2015 Με "μαύρα" γράμματα είναι το Σχέδιο Κανονισμού Καθηγητών,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΧΝΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΜΕΤΑΝΑΣΤΕΥΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΟ ΑΣΥΛΟ
ΣΥΧΝΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Η Υπηρεσία Ασύλου γίνεται συχνά αποδέκτης ερωτημάτων από τα ΜΜΕ και πολίτες σχετικά με το άσυλο και τη μετανάστευση. Παρακάτω παρατίθενται οι συχνότερες ερωτήσεις, στις οποίες καλείται
Διαβάστε περισσότερα289 ον Σύστημα Αεροπροσκόπων Αγίας Φύλας ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΚΟΠΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΑΡΧΑΡΙΟΥ ΠΡΟΣΚΟΠΟΥ
289 ον Σύστημα Αεροπροσκόπων Αγίας Φύλας ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΚΟΠΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΑΡΧΑΡΙΟΥ ΠΡΟΣΚΟΠΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΩΝ Προσαρμογή και εξοικείωση Α Βοήθειες Θρησκεία και Πατρίδα Ζωή Υπαίθρου - Προσωπικές Δεξιότητες
Διαβάστε περισσότεραΕπαρχιακός Γραμματέας Λ/κας-Αμ/στου ΠΟΑ Αγροτικής
Πρόεδρος Αίγλη Παντελάκη Γενική Διευθύντρια Υπουργείου Γεωργίας, Φυσικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αντιπρόεδρος Χάρης Ζαννετής Πρώτος Λειτουργός Γεωργίας, Φυσικών Πόρων και Περιβάλλοντος Μέλη Χρίστος Κουρτελλάρης
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΝΕΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΤΟΠΙΟ
ΤΑ ΟΡΙΑ ΗΛΙΚΙΑΣ ΓΙΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟΥΣ ΣΤΑ ΕΛ-ΤΑ - ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΦΑΛΙΣΜΕΝΩΝ (ΤΑΠ-ΟΤΕ) ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ Π.Ο.Σ.Τ. ΤΟ ΝΕΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΤΟΠΙΟ Μετά την έκδοση της εγκυκλίου με
Διαβάστε περισσότεραΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΤΑΙΡΙΚΟΥ ΣΥΜΦΩΝΗΤΙΚΟΥ Στην Πάτρα σήμερα την 4 ΜΑΡΤΙΟΥ 2013 οι παρακάτω συμβαλλόμενοι: ΑΓΓΕΛΕΤΟΠΟΥΛΟΥ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΥ
ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΤΑΙΡΙΚΟΥ ΣΥΜΦΩΝΗΤΙΚΟΥ Στην Πάτρα σήμερα την 4 ΜΑΡΤΙΟΥ 2013 οι παρακάτω συμβαλλόμενοι: ΑΓΓΕΛΕΤΟΠΟΥΛΟΥ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΥ ΗΡΩ ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΝΔΡΙΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΑΤΤΕΪΑ ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΑΤΟΣΗΜΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Γεωγραφίας ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΑΤΟΣΗΜΟΥ Δημητράκη Αικατερίνη Μυτιλήνη 2012 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 3 Μεθοδολογία..6 Συμπεράσματα 13 Βιβλιογραφία 20 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Διαβάστε περισσότερα109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ
109(Ι)/2014 ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΝΟΕΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΓΓΥΗΜΕΝΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΠΕΡΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ 2014 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ 1. Συνοπτικός τίτλος. 2. Ερμηνεία. 3. Μητρώο. 4. Υποβολή αίτησης. 5. Προϋποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ
2/10 ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΚEΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΩΝ & ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΟΛΜΕ Αγαπητή/αγαπητέ Συνάδελφε, Το ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ ΠΟΛΥΚΕΝΤΡΟ, Ινστιτούτο της ΑΔΕΔΥ, με τη συνεργασία
Διαβάστε περισσότεραΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗΣΚΕΙΑΣ ΣΤΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟΘΡΗΣΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (ΤΟΥ ΡΕΖΙΣ ΝΤΕΜΠΡΕ)
Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗΣΚΕΙΑΣ ΣΤΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟΘΡΗΣΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (ΤΟΥ ΡΕΖΙΣ ΝΤΕΜΠΡΕ) I Το Δεκέμβριο του 2001 ο Ζακ Λαγκ, Υπουργός Εθνικής Παιδείας της Γαλλίας ζήτησε από τον καθηγητή Ρεζίς Ντεμπρέ, το θεωρητικό ενδιαφέρον
Διαβάστε περισσότεραΤου Σταύρου Ν. PhD Ψυχολόγου Αθλητικού Ψυχολόγου
Του Σταύρου Ν. PhD Ψυχολόγου Αθλητικού Ψυχολόγου Η σχέση και η αλληλεπίδραση των αθλητών, των προπονητών και των γονιών αποτελεί μια αναπόσπαστη διαδικασία στην αθλητική ανάπτυξη του παιδιού. Η αλληλεπίδραση
Διαβάστε περισσότερα