ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του Κεφ..7 του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση i. Τα κρίσιμα σημεία. ΘΕΜΑ Β f () =, [, ]. Να βρείτε: ii. Τις πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων. iii. Το σύνολο τιμών της f., [, ] i. Είναι f() = +, [, ) Κρίσιμα σημεία είναι: α) Τα εσωτερικά σημεία του (, ) στα οποία η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται. β) Οι ρίζες της εξίσωσης ' f () = Για >, η f είναι παραγωγίσιμη με Για <, η f είναι παραγωγίσιμη με ' f () =. ' f () = +. f() f() ( ) Για = έχουμε: lim = lim = lim = + + + f() f() + ( + ) Και lim = lim = lim = Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο και συνεπώς το είναι κρίσιμο σημείο. Για > η εξίσωση δεκτή. ' f () = θα μας δώσει = = = που είναι
Για < η εξίσωση δεκτή. ' f () = θα μας δώσει + = = = που είναι Άρα κρίσιμα σημεία είναι τα :,,. ii. Οι πιθανές θέσεις τοπικών ακρότατων είναι: α) Τα κρίσιμα σημεία και β) τα άκρα του διαστήματος [, ] Άρα πιθανές θέσεις ακρότατων είναι τα σημεία:,,,, iii. Η f είναι συνεχής για (, ] και [, ) ως παραγωγίσιμη. Και στο θα εξετάσουμε αν υπάρχει το όριο: lim ( + ) = lim ( ) = f () =. + Άρα η f είναι συνεχής και στο, οπότε είναι συνεχής στο [, ]. Επειδή η f είναι συνεχής στο [, ], το σύνολο τιμών της θα είναι f(a) = [m,m], όπου m είναι η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή αντίστοιχα της f στο [, ] Άρα m και M αντίστοιχα η μικρότερη και η μεγαλύτερη από τις τιμές της f στις θέσεις τοπικών ακρότατων. Έχουμε f () =, f ( ) =, f () =, f( ) =, 4 f( ) = 4 Άρα m = και M = δηλαδή 4 f (A) = [, ]. 4 Μεθοδολογία Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f στο πεδίο ορισμού της,δηλαδή: α)τα εσωτερικά σημεία του στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται. β) Τα εσωτερικά σημεία του στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. Τα κρίσιμα σημεία μαζί με τα άκρα του (αν αυτά ανήκουν) θα μας δώσουν τα πιθανά ακρότατα. Σημείωση:Aν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ] τότε το σύνολο τιμών της f θα είναι [m,m]. Όπου m και M η μικρότερη και μεγαλύτερη αντίστοιχα από τις τιμές της f στα σημεία που έχουμε πιθανά ακρότατα.
Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση f() =α (ln +β ) με α, β. Aν η f έχει ακρότατο στο σημείο A(e, e ), να βρείτε τα α και β. Η συνάρτηση f έχει για πεδίο ορισμού το A = (, + ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο A με f () = ( α ) (ln +β ) + ( α )(ln +β ) = α (ln +β ) + ( α ) =α (ln +β ) +α=α ( +β+ ln ) () Στο = e η f παρουσιάζει ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη, άρα λόγω θεωρήματος Fermat θα ισχύει f (e ) = () H σχέση () λόγω της () θα μας δώσει α (+β+ ln e ) = α (+β ) = β= (3) έχουμε ότι f (e ) = e άρα α e (ln e +β ) = e α( +β ) = (λόγω της (3)) α( ) = α=. Μεθοδολογία Για να βρούμε τις τιμές παραμέτρων α, β, ώστε: μια συνάρτηση f να παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία και και η f είναι παραγωγίσιμη στα σημεία αυτά, εφαρμόζουμε το θεώρημα Fermat και απαιτούμε f ( ) = (), f ( ) = (). Από τη λύση του συστήματος των δυο εξισώσεων προσδιορίζουμε τα αβ,. Σημείωση: Αν τώρα γνωρίζουμε μόνο ένα σημείο απαιτούμε f ( ) = () και f( ) προσδιορίζουμε τις παραμέτρους αβ,. A(, y ) το οποίο είναι ακρότατο της f τότε = y ().Από την λύση του συστήματος των δυο εξισώσεων 3
Παράδειγμα 3. Αν για κάθε > ισχύει ln α + α +, να αποδείξετε ότι α=. 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση α f () = ln + - α +, (, + ). Για κάθε (, + ) είναι: α α ln + α ln + -α f() f() f() + + Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με: = του πεδίου α α f () = ln + - α = - - α, + (+ ) οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο α 5α f () = - -α= - = με: Ισχύουν λοιπόν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οπότε f () =. Είναι: 5α f () = - = α= 5 Σημείωση: Στα επόμενα η φράση «ισχύει το Θεώρημα Fermat» χρησιμοποιείται με την έννοια ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat. 4
Μεθοδολογία Όταν δίνεται μια ανισοτική σχέση, η οποία ισχύει για κάθε, όπου Δ διάστημα και ζητείται να αποδειχθεί μια ισότητα, τότε συνήθως ακολουθούμε την εξής μέθοδο: Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ανισότητας σ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο, αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό. Θεωρούμε συνάρτηση f ορισμένη στο Δ με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της ανισότητας. Μετασχηματίζουμε την αρχική ανισοτική σχέση και καταλήγουμε σε μια ανισότητα της μορφής f () f ( ο) ή f () f ( ο), όπου ο εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ. Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ο, οπότε έχουμε εξασφαλίσει και τις τρεις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Fermat, επομένως ισχύει f ( ο) = από την οποία προκύπτει και η ζητούμενη ισότητα. 5
Παράδειγμα 4. Αν για κάθε > ισχύει α α, όπου <α, να αποδείξετε ότι α= e. Θεωρούμε τη συνάρτηση α f() = -α, (, + ). Για κάθε (, + ) είναι: α α α -α f() f() f( α ) Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. =α του πεδίου Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με: α α- ( ) f () = - α = α - α ln α, οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο α α α f ( α ) =α - α ln α=α (-ln α ) = α με: Ισχύουν λοιπόν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οπότε f( α ) =. Είναι: α f ( α ) = α (-ln α ) = ln α= α= e Μεθοδολογία Όταν δίνεται μια ανισοτική σχέση, η οποία ισχύει για κάθε, όπου Δ διάστημα και ζητείται να αποδειχθεί μια ισότητα, τότε συνήθως ακολουθούμε την εξής μέθοδο: Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ανισότητας σ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο, αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό. Για κάθε, θεωρούμε συνάρτηση f με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της ανισότητας. Μετασχηματίζουμε την αρχική ανισοτική σχέση και καταλήγουμε σε μια ανισότητα της μορφής f () f ( ο) ή f () f ( ο), όπου ο εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ. Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ο, οπότε έχουμε εξασφαλίσει και τις τρεις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Fermat, επομένως ισχύει f ( ο) = από την οποία προκύπτει και η ζητούμενη ισότητα. 6
Παράδειγμα 5. Δίνεται συνάρτηση f με f () για κάθε. Αν ισχύει και f () = να αποδείξετε ότι α=. f() e α f() + για κάθε Θεωρούμε τη συνάρτηση f() g() = e -α f()-,. Για κάθε είναι: f() f() e α f() + e -αf()- g() g() g() Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο με: f() f() g () = e αf() = e f () α f (), ( ) οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο = με: f () g () = e f () - α f () = e f () - α f () = (- α) f () = του πεδίου Ισχύουν λοιπόν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οπότε g () =. Είναι: g () = (- α ) f () = α=, αφού f () Μεθοδολογία Όταν δίνεται μια ανισοτική σχέση, η οποία ισχύει για κάθε, όπου Δ διάστημα και ζητείται να αποδειχθεί μια ισότητα, τότε συνήθως ακολουθούμε την εξής μέθοδο: Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ανισότητας σ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο, αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό. Για κάθε, θεωρούμε συνάρτηση g με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της ανισότητας. Μετασχηματίζουμε την αρχική ανισοτική σχέση και καταλήγουμε σε μια ανισότητα της μορφής g() g( ο) ή g() g( ο), όπου ο εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ. Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο ο, οπότε έχουμε εξασφαλίσει και τις τρεις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Fermat, επομένως ισχύει g ( ο) = από την οποία προκύπτει και η ζητούμενη ισότητα. 7
ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Αν για κάθε ισχύει e α + με α (). Να αποδείξετε ότι α=. H εξίσωση () ισοδύναμα θα μας δώσει: Θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι f () = e α = Τότε από την () έχουμε f() ελάχιστο στο =. f () = e α, e α () f() για κάθε, που σημαίνει ότι η f παρουσιάζει Η f είναι παραγωγίσιμη στο με =. = α για κάθε, άρα παραγωγίσιμη και στο f () e Οπότε από το Θεώρημα του Fermat έχουμε: f () = e α= α= α= Μεθοδολογία Αν μας δίνεται ως δεδομένη μια ανισωτική σχέση f() g() ( ή f() g() ) και θέλουμε να προσδιορίσουμε κάποια ζητούμενη τιμή, εργαζόμαστε ως εξής: α) Δημιουργούμε την ισοδύναμη ανίσωση f() g() (ή f() g() ) β) Θέτουμε νέα συνάρτηση h() = f() g() γ) Βρίσκουμε κατάλληλο τέτοιο ώστε h( ) =.Τότε έχουμε h() h( ) ( ή h() h( ) ) και προφανώς η συνάρτηση h παρουσιάζει στο ελάχιστο (ή μέγιστο). δ) Τότε λόγω θεωρήματος Fermat h ( ) =.Από αυτή την εξίσωση προσδιορίζουμε την ζητούμενη τιμή. 8
Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f() + ηµ (), για κάθε, και f () =, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(,f ()). Η () ισοδύναμα θα μας δώσει f() ηµ () Θεωρούμε την συνάρτηση h() = f() ηµ, Παρατηρούμε ότι h() = f () ηµ = Τότε από την () έχουμε h() h(), για κάθε, δηλαδή η συνάρτηση h παρουσιάζει ελάχιστο στο =. Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο με h () = f () συν για κάθε, άρα παραγωγίσιμη και στο =. Οπότε από το Θεώρημα του Fermat έχουμε: h () = f () συν = f () = f () = (3) Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α θα έχει εξίσωση: (3) y f () = f ()( ) y = ( ) y = Μεθοδολογία Αν μας δίνεται ως δεδομένη μια ανισωτική σχέση f() g() ( ή f() g() ) και θέλουμε να προσδιορίσουμε κάποια ζητούμενη τιμή, εργαζόμαστε ως εξής: α) Δημιουργούμε την ισοδύναμη ανίσωση f() g() (ή f() g() ) β) Θέτουμε νέα συνάρτηση h() = f() g() γ) Βρίσκουμε κατάλληλο τέτοιο ώστε h( ) =.Τότε έχουμε h() h( ) ( ή h() h( ) ) και προφανώς η συνάρτηση h παρουσιάζει στο ελάχιστο (ή μέγιστο). δ) Τότε λόγω θεωρήματος Fermat h ( ) =.Από αυτή την εξίσωση προσδιορίζουμε την ζητούμενη τιμή. 9
Παράδειγμα 3. Να αποδείξετε ότι αν για μια συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει: [f ()] + f () = e + + 5 + (),τότε η f δεν έχει ακρότατα. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει στο σημείο ακρότατο. Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του και είναι παραγωγίσιμη, λόγω του θεωρήματος ' Fermat θα ισχύει f ( ) =. () Παραγωγίζοντας τα δυο μέλη της σχέσης () θα έχουμε ' ' f ()f () + f () = e + + 5 (3) Για = η (3) θα μας δώσει f ( ' ' )f ( ) + f ( ) = e + + 5 (λόγω της ()) e + + 5 = που είναι άτοπο. Άρα η f δεν έχει ακρότατα. Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα εργαζόμαστε ως εξής: α) υποθέτουμε ότι η f έχει ακρότατο σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της στο οποίο ' η f είναι παραγωγίσιμη. Τότε λόγω θεωρήματος Fermat f ( ) =. β) Με παραγώγιση της δοσμένης σχέσης και αντικατάσταση του με οδηγούμαστε σε ΑΤΟΠΟ.
Παράδειγμα 4. Έστω ο μιγαδικός z και η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι z= z. f () = + Im(z) + με f() () για κάθε. Παρατηρούμε ότι Τότε λόγω της () έχουμε f() =. f () = + Im(z) + =. f() για κάθε άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο H f είναι παραγωγίσιμη με f () = + Im(z) () για κάθε, άρα παραγωγίσιμη και στο =. Οπότε από το θεώρημα του Fermat θα έχουμε f () = (3) Τότε η σχέση () λόγω της σχέσης (3) θα μας δώσει + Im(z) = Im(z) = Συνεπώς αν z = α + β i, µε α, β, τότε έπεται ότι z =α+ i z =α. Εφ όσον z προφανώς έχουμε ότι z= z.
Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση + 3, - f() =. Να βρείτε: 3-3, < α) Τις πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f. β) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f. γ) Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. H συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α= [-, ]. α) Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f είναι: Τα άκρα του πεδίου ορισμού, δηλαδή τα και. Οι ρίζες της f () = στο διάστημα (-, ). Τα σημεία του διαστήματος (-, ) στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο διάστημα (-, ) ως πολυωνυμική με f () = + 3. Είναι: 3 f () = + 3 = = - (-, ) δεκτή. 3 Άρα το - είναι πιθανή θέση τοπικού ακροτάτου. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο διάστημα (,) ως πολυωνυμική με Είναι:. f () = 3-3 = - (, ) απορρίπτεται f () = 3-3 = = ή = (, ) δεκτή Άρα το είναι πιθανή θέση τοπικού ακροτάτου. Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο Για - < < έχουμε: f()-f() + 3- (+ 3) = = = + 3, οπότε - =.
f()-f() lim = lim( + 3) = 3 - Για < < έχουμε: 3 f()-f() -3- ( -3) = = = -3, οπότε - f()-f() - lim = lim( - 3) = -3 + Είναι: f()-f() f()-f() 3 = lim lim = - 3 - + - οπότε η f δεν παραγωγίζεται στο =. Άρα το είναι πιθανή θέση τοπικού ακροτάτου. Επομένως οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων είναι: 3 -, -,, και. β) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f είναι: Οι ρίζες της f () = στο διάστημα (-, ). Τα σημεία του διαστήματος (-, ) στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. Επομένως τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f είναι: 3 -, και. γ) Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα [-, ) και (, ] ως πολυωνυμική. Επίσης η f είναι συνεχής και στο =, αφού limf() = lim f() = f()( = ). Άρα η συνάρτηση f - + είναι συνεχής στο Α= [-, ]. Επειδή είναι και μη σταθερή στο διάστημα αυτό, το σύνολο τιμών της είναι το f( Α ) = [ m, M], όπου m η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή αντίστοιχα της f στο Α= [-, ]. Είναι m και M αντίστοιχα η μικρότερη και η μεγαλύτερη από τις τιμές της f στις θέσεις των πιθανών τοπικών ακροτάτων. Έχουμε: 3 9 f (-) = -, f - = -, f () =, f () = - 4 και f () =. 3
Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι 9 f( Α ) = -, 4. Μεθοδολογία Όταν έχουμε μια συνάρτηση f, που ορίζεται σε ένα διάστημα Δ, τότε: α) Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της f είναι: Τα άκρα του διαστήματος Δ, (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της). Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται. Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. β) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f είναι: Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται. Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και μη σταθερή σε κλειστό διάστημα Α, το σύνολο τιμών της είναι το f( Α ) = [ m,m], όπου m η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή αντίστοιχα της f στο Α. Οι αριθμοί m και M είναι αντίστοιχα η μικρότερη και η μεγαλύτερη από τις τιμές της f στις θέσεις των πιθανών τοπικών ακροτάτων. 4
Παράδειγμα 6. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η συνάρτηση τοπικό ακρότατο στο =. 3 f() = 4-3α -6α - να παρουσιάζει f () = -6α -6α (). Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με Για να παρουσιάζει η f τοπικό ακρότατο στο εσωτερικό σημείο της, αρκεί: f () = και Η f () να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του =. Είναι: f () = - 6α - 6α= 6( α +α - ) = α= - ή α= Για α= - είναι: f () = - 4 + = ( -) = του πεδίου ορισμού Η f είναι συνεχής στο = f () > στο (-, ) (, + ) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το, οπότε η f δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο Για α= είναι: =, για α= -. f () = -6-6 = 6( - -) = 6( + )( -), οπότε f () = = - ή = και f () > < - ή > Άρα η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και μάλιστα τοπικό ελάχιστο στο =, για α=. 5
Μεθοδολογία Όταν δίνεται μια μη σταθερή συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ζητείται να βρεθεί μια παράμετρος ή μια σχέση μεταξύ παραμέτρων, ώστε η f να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο ο του Δ, τότε απαιτούμε να ισχύουν τα εξής: f ( ο) = και Η f () να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ο. 6
Παράδειγμα 7. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση ( ) f() 3 f() ln f () e - + + = + +. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Έστω ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο το τοπικό ακρότατο θα το παρουσιάζει υποχρεωτικά σε εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της, επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οπότε θα είναι f ( ) ο = (). Επειδή καθεμία από τις συναρτήσεις ln ( f ()) f() + και e είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, ως πολυωνυμική, μπορούμε να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της δοθείσας σχέσης. Για κάθε έχουμε: f() 3 ( ) ( ) f() ln f () + + = e + + - + ( + ) = + + + f () f() f () f () e f () 6 3 + - f () + = + + + f () f() f () f () e f () 6 () Από τη σχέση () για = έχουμε: f ( ) f ( ) + f ( ) = e f ( ) + 6 + 6 + = () f( ) + f ( ) που είναι άτοπο γιατί η εξίσωση 6 + = είναι αδύνατη στο. Άρα η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Μεθοδολογία Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα σε ανοικτό διάστημα, συνήθως εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Υποθέτουμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, οπότε το τοπικό ακρότατο θα το παρουσιάζει υποχρεωτικά σε εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat και επομένως θα είναι f ( ο) =. Στη συνέχεια παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της δοθείσας σχέσης, αντικαθιστούμε το με το ο και καταλήγουμε σε άτοπο. 7
Παράδειγμα 8. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση f() 3 e 3f () 4 + + = +. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Έστω ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο το τοπικό ακρότατο θα το παρουσιάζει υποχρεωτικά σε εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της, επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οπότε θα είναι f ( ο) = (). f() Επειδή η συνάρτηση e είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγισίμων 3 συναρτήσεων και η συνάρτηση + 4 είναι παραγωγίσιμη στο, ως πολυωνυμική, μπορούμε να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της δοθείσας σχέσης. Για κάθε έχουμε: f() ( e 3f () ) ( 3 4) + + = + + = + () f() e f () 3f () 3 4 Από τη σχέση () για = έχουμε: () f( ) e f ( ) + 3f ( ) = 3 + 4 3 + 4 = που είναι άτοπο γιατί η εξίσωση 3 + 4 = είναι αδύνατη στο. Άρα η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Μεθοδολογία Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα σε ανοικτό διάστημα, συνήθως εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Υποθέτουμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, οπότε το τοπικό ακρότατο θα το παρουσιάζει υποχρεωτικά σε εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat και επομένως θα είναι f ( ο) =. Στη συνέχεια παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της δοθείσας σχέσης, αντικαθιστούμε το με το ο και καταλήγουμε σε άτοπο. 8
Παράδειγμα 9. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις 3 8 f() > και f ()-4 f() = + 8. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο, τότε: α) Να αποδείξετε ότι =. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη =. α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της, επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οπότε θα είναι f ( ο) = (). 3 Επειδή η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων, η συνάρτηση 4 f() είναι παραγωγίσιμη στο, ως γινόμενο 8 παραγωγίσιμων συναρτήσεων και η συνάρτηση + 8 είναι παραγωγίσιμη στο, ως πολυωνυμική, μπορούμε να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της δοθείσας σχέσης. Για κάθε έχουμε: f 3 ()- 4 f() 8 = + 8 ( ) ( ) 7 3f ()f ()- 8f()-4 f () = 8 () Από τη σχέση () για = έχουμε: 3f ( )f ( )- 8 f( )-4 f ( ) = 8 7 ( ) 8 + 8 f ( ) = 8 + f ( ) = (3) 7 6 Είναι f() > για κάθε, άρα 6 () f( ) + >, οπότε από (3) έχουμε = (4). β) Για = από την αρχική σχέση έχουμε: 3 8 3 f () - 4 f () = + 8 f () = 8 f () = Επίσης έχουμε: (4) () f () = f ( ) = Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της y - f () = f ()( - ) y - = ( - ) y = C f στο σημείο με τετμημένη = είναι: 9
Μεθοδολογία α) Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ανοικτό διάστημα και ικανοποιεί μια σχέση ισότητας. Επειδή η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, τότε και με δεδομένο ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε ανοικτό διάστημα το τοπικό ακρότατο θα το παρουσιάζει υποχρεωτικά σε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της, επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οπότε θα είναι f ( ο) =. Στη συνέχεια παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της δοθείσας σχέσης, αντικαθιστούμε το με το ο, οπότε από την εξίσωση που προκύπτει υπολογίζουμε το ο. β) Η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης C f μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο Α, f( ) έχει εξίσωση: σημείο ( ) ( ε ): y-f( ) = f ( )( - )
ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. Έστω μια συνάρτηση f:, η οποία είναι παραγωγίσιμη και για κάθε ικανοποιεί - τη σχέση e f() + συν( π ). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α (,3). Η εφαπτομένη (ε) της f ( ε ) : y - f () = f ()( - ) C στο σημείο (,3) Α έχει εξίσωση: Το σημείο A(,3) Cf άρα f () = 3, οπότε για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) αρκεί να βρούμε την f (). Θεωρούμε τη συνάρτηση Για κάθε είναι: - g() = e f()- συν( π )-,. - - e f() + συν( π) e f()- συν( π)- g() g() g() Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο με: - ( ) g() = e f()- συν( π )- = - - = e - f() + e f () + ηµ ( π)( π ) = ( ) - - = -e f() + e f () + πηµ ( π ) οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο = με: = του πεδίου = + + πηµ π = g () e f() e f () ( ) = 3+ f () = f () 3 Ισχύουν λοιπόν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οπότε g () =. g () = f () - 3 = f () = 3 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C στο σημείο (,3) f Α είναι:
y - f () = f ()( - ) y -3 = 3( - ) y = 3-3 Μεθοδολογία Η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης C f μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο Α (, f( ) ) έχει εξίσωση: ( ε ): y-f( ) = f ( )( - ) Στο συγκεκριμένο παράδειγμα το σημείο Α (, f( ) ) είναι γνωστό από την υπόθεση, οπότε για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) αρκεί να υπολογίσουμε την f ( ). Αξιοποιούμε τη δοθείσα ανισοτική σχέση, ακολουθώντας την εξής μέθοδο: Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ανισότητας σ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο. Για κάθε, θεωρούμε συνάρτηση g με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της ανισότητας. Μετασχηματίζουμε την αρχική ανισοτική σχέση και καταλήγουμε σε μια ανισότητα της μορφής g() g( ο) ή g() g( ο), όπου ο εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της. Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο ο, οπότε έχουμε εξασφαλίσει και τις τρεις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Fermat, επομένως ισχύει g ( ο) =. Από την τελευταία ισότητα υπολογίζουμε την f ( ) και στη συνέχεια βρίσκουμε την εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης.
Παράδειγμα. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z = + if(), όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο. Αν είναι z για κάθε, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α (,). Η εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο A(,) έχει εξίσωση: ( ε ) : y - f () = f ()( - ) Το σημείο Α(,) Cf άρα f () =, οπότε για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) αρκεί να βρούμε την f (). Για κάθε είναι: z z + f () Θεωρούμε τη συνάρτηση Για κάθε είναι: g () = + f () -,. + f () + f () g() g() g() Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο με: ( ) = του πεδίου g () = + f () - = + f()f () οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο = με: g () = f ()f () = f (), αφού f () = Ισχύουν λοιπόν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οπότε g () =. Είναι: g () = f () = f () = Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C στο σημείο (,) f Α είναι y - f () = f ()( - ) y - = ( - ) y = 3
Μεθοδολογία Η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης σημείο (, f( )) Α έχει εξίσωση: ( ε ): y-f( ) = f ( )( - ) Στο συγκεκριμένο παράδειγμα το σημείο (, f( )) C f μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο Α είναι γνωστό από την υπόθεση, οπότε για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) αρκεί να υπολογίσουμε την f ( ). Αναλύουμε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού και αξιοποιούμε τη δοθείσα ανισοτική σχέση, ακολουθώντας την εξής μέθοδο: Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ανισότητας σ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο. Για κάθε, θεωρούμε συνάρτηση g με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της ανισότητας. Μετασχηματίζουμε την αρχική ανισοτική σχέση και καταλήγουμε σε μια ανισότητα της μορφής g() g( ο) ή g() g( ο), όπου ο εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της. Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο ο, οπότε έχουμε εξασφαλίσει και τις τρεις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Fermat, επομένως ισχύει g ( ο) =. Από την τελευταία ισότητα υπολογίζουμε την f ( ) και στη συνέχεια βρίσκουμε την εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. 4
Παράδειγμα 3. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [, 3 ] με f () =, f (3) = 4 και σύνολο τιμών το [-, 5 ]. Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία, (, 3) με f ( ) = f ( ) =. τέτοια, ώστε β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,3) τέτοιο, ώστε f ( ξ= ). α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [, 3 ], επομένως ισχύει το θεώρημα Μεγίστης Ελαχίστης Τιμής, άρα θα υπάρχουν, [,3] τέτοια, ώστε να ισχύει: -= f ( ) f () f ( ) = 5 για κάθε [, 3] f ( ) - f ( ) = 5, οπότε. Είναι = και. Το (θέση ελαχίστου), όπως και το (θέση μεγίστου) δεν είναι δυνατόν να συμπίπτουν με τα άκρα του διαστήματος [, 3 ], αφού f () =, f (3) = 4 και το σύνολο τιμών της f είναι το [-, 5 ]. Επομένως τα, (, 3) είναι δηλαδή εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f, οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, άρα f ( ) = f ( ) =. Δείξαμε λοιπόν ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία, (, 3) με τέτοια, ώστε f ( ) = f ( ) =. β) Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι <. Η f είναι παραγωγίσιμη στο, [, 3], αφού η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό. Επίσης f ( ) = f ( ), άρα ισχύει το θεώρημα Rlle, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) (, 3) τέτοιο, ώστε f ( ξ= ). Μεθοδολογία α) Η συνέχεια της συνάρτησης f σε κλειστό διάστημα εξασφαλίζει την ύπαρξη ακροτάτων, σύμφωνα με το θεώρημα Μεγίστης Ελαχίστης Τιμής. Δείχνουμε στη συνέχεια ότι οι θέσεις των δυο ακροτάτων δεν συμπίπτουν με τα άκρα, άρα είναι εσωτερικά σημεία του διαστήματος, οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat. Αυτό έχει σαν συνέπεια την ύπαρξη δύο τουλάχιστον σημείων, με έτσι, ώστε f ( ) = f ( ) =. β) Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rlle, στο κλειστό διάστημα με άκρα τα,, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε f ( ξ= ). 5
Παράδειγμα 4. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [ α, β], η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f( ) < για κάθε [, ] f( ) f( ) f( ) αβ () α + β = γ, όπου (, ) γ α β () Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) αβ τέτοιο, ώστε f ( ) =. Η συνάρτηση f ως παραγωγίσιμη στο [ αβ, ], θα είναι και συνεχής στο [, ] ισχύει το θεώρημα Μεγίστης Ελαχίστης Τιμής, άρα θα ισχύει: m f () αβ., Μ για κάθε [ ] αβ, οπότε θα Αν υποθέσουμε ότι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι m= f( α ), τότε από τη σχέση () έχουμε: f( γ ) = m+ f( β ), οπότε λόγω της σχέσης () προκύπτει ότι f( γ ) < mπου είναι άτοπο. Αν υποθέσουμε ότι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι m= f( β ), τότε από τη σχέση () έχουμε: f( γ ) = f( α ) + m, οπότε λόγω της σχέσης () προκύπτει ότι f( γ ) < mπου είναι άτοπο. Άρα η συνάρτηση f θα παρουσιάζει ελάχιστο σε εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της, επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat, οπότε f ( ο) =. Μεθοδολογία Η συνέχεια της συνάρτησης f σε κλειστό διάστημα εξασφαλίζει την ύπαρξη ακροτάτων, σύμφωνα με το θεώρημα Μεγίστης Ελαχίστης Τιμής. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα δείχνουμε ότι η θέση του ελαχίστου της f δεν συμπίπτει με κανένα από τα δύο άκρα, οπότε είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat και επομένως f ( ) =. Ημερομηνία τροποποίησης: /9/ 6