Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια / Στατική Ανάλυση και Έλεγχος

Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος 200-, 8ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια / Στατική Ανάλυση και Έλεγχος (Derous Robot Hands Grasp Analyss) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια - Εισαγωγή Κλασσικοί βιομηχανικοί ρομποτικοί βραχίονες: «μεγάλες» κινήσεις / δυνάμεις (large motons / payload) Δυσκολίες: έλεγχος με ακρίβεια «μικρών» κινήσεων/δυνάμεων (π.χ. «λεπτές» εργασίες συναρμολόγησης) Κλασσική ρομποτική αρπάγη (grpper) : περιορισμένη εφαρμογή σε συγκεκριμένες κατηγορίες αντικειμένων Ρομποτικά χέρια: «πολυσχιδείς» (versatle) μηχανισμοί «γενικής φύσεως» εργασίες χειρισμού «επιδέξιο» έλεγχο με ακρίβεια «λεπτών» εργασιών χειρισμού Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 2

Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Παραδείγματα () JPL/NASA hand Utah/MI robot hand Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 3 Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Παραδείγματα (2) Utah/MI robot hand Robonaut Humanod / NASA Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 4

Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Παραδείγματα (3) DLR Hand ΙΙ UΜass Humanod Robot Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 5 Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Παραδείγματα (4) Shadow Robot Hand humb & fngers Lttle fnger Drll Demo Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 6

Ρομποτικό Χέρι (υπό κατασκευή) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 7 Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Γενικά Επιδέξια ρομποτικά χέρια (mult-fngered derous robot hands): «πολυσχιδείς», «πολυαρθρωτοί», παράλληλα/συνεργαζόμενα «ρομποτικά στελέχη (δάχτυλα)» γενικής φύσεως χειρισμοί Αρχές λειτουργίας (ανάλυση, σχεδίαση, έλεγχος) παρόμοιες για μελέτη σχετικών συστημάτων: ρομποτικά χέρια, συνεργαζόμενα ρομπότ, παράλληλες ρομποτικές κινηματικές διατάξεις, αλλά και άλλων προβλημάτων (π.χ. ρομποτική βάδιση) Θέματα προς μελέτη: Στατική / Κινηματική Ανάλυση Σχεδιασμός Δράσης Δυναμική Ανάλυση Έλεγχος Βασικές ιδιότητες ρομποτικής λαβής (robot grasp): «Σταθερότητα» (ή ευστάθεια): Ικανότητα «αντιστάθμισης» εξωτερικών δυνάμεων και διαταραχών ( fore-losure ) «Επιδεξιότητα»: Ικανότητα χειρισμού (grasp manpulablty ) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 8

Εισαγωγή Κινηματικοί Περιορισμοί () Αλληλεπιδράσεις ανάμεσα σε στοιχεία δράσης του ρομποτικού χειριστή και στο περιβάλλον εργασίας κινηματικοί περιορισμοί Διάφοροι τύποι κινηματικών περιορισμών Ολονομικοί περιορισμοί:f(q,t)=0 (α) περιστροφική άρθρωση (β) γραμμικός οδηγός x = l os( θ ) x sn( θ ) y os( θ ) = 0 y= l sn( θ ) θ θ0 ( θ0 :σταθερα = ) Μη-Ολονομικοί περιορισμοί: (γ) Παράδειγμα μη-ολονομικού περιορισμού («μονόκυκλο») x sn( θ ) y os( θ ) = 0 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 9 Εισαγωγή Κινηματικοί Περιορισμοί (2) «αμφίπλευρος» κινηματικός περιορισμός y = 0 = σταθ. θ = 0 = σταθ. «μονόπλευρος» (μη-συμμετρικός) κινηματικός περιορισμός y 0 y+ l snθ 0 y+ l snθ + d osθ 0 y+ d osθ 0 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 0

Εισαγωγή Κινηματικοί Περιορισμοί (3) moblty: Μ = 6( 3 4 )+3 6 = 6 ή (l=2): Μ = 3 6 6 2 = 6 Ρομποτική λαβή με τρία δάχτυλα και κινηματικό μοντέλο της Τύπος του Grübler moblty: (M: συνολικοί β.ε. κίνησης) N L : αριθμός συνδέσμων (lnks) N J : αριθμός αρθρώσεων (jonts) C : αριθμός κινηματικών περιορισμών που εισάγει κάθε άρθρωση (C = 6 m ) m : βαθμοί ελευθερίας κάθε άρθρωσης l : αριθμός ανεξάρτητων βρόχων (loops) ή = 6( L ) = 6( ) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ N J M N C N J M = NL NJ + m N J M = m 6l = (στο χώρο 3Δ) ή = N J M = m 3l = (στο επίπεδο) Στατική/Κινηματική Ανάλυση - Εισαγωγή A C y C z x y z x E A z E E y E x E Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί (πλαίσια συντεταγμένων): Παλάμη (Ε) Χειριζόμενο αντικείμενο (Ο) Σημείο επαφής (C ) E A A C Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 2

Εισαγωγή Μοντέλα επαφής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 3 Εισαγωγή Μοντέλα επαφής (συνέχεια) () Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 4

Εισαγωγή Μοντέλα επαφής (συνέχεια) (2) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 5 Στατική Ανάλυση Μοντέλo Τριβής () Σχέση Δυναμικής / Στατικής Τριβής f ts f td Στατική τριβή: Δυναμική τριβή: ft fts = μs fn f = f = μ f t td d n ( f n = mg) Στην πράξη θεωρούμε: μ s =μ d =μ συντελεστής τριβής Coulomb Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 6

Στατική Ανάλυση Μοντέλo Τριβής (2) Μοντέλο Τριβής Coulomb C â f Μοντέλο Τριβής Coulomb: f f Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 7 t μ όπου μ: συντελεστής (στατικής) τριβής Κώνος τριβής με γωνία α: α = tan - μ Είναι: fn = ( f aˆ) a ˆ με f aˆ 0 (unlateral ontat onstrant) και ft = f fn ( â : μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια στο σημείο επαφής C ) ( δηλαδή, εαν R -x y z : το τοπικό πλαίσιο αναφοράς στο C, aˆ = zˆ ) n Στατική Ανάλυση - Εισαγωγή Έστω: F γενικευμένη δύναμη/ροπή (wrenh, κοχλιοστροφική δράση) που ασκείται στο χειριζόμενο αντικείμενο στο σημείο επαφής C, εκφρασμένη στο τοπικό πλαίσιο αναφοράς R -x y z στο C R Ο -x Ο y Ο z Ο : γενικό πλαίσιο αναφοράς του αντικειμένου R -x y z : τοπικό πλαίσιο αναφοράς του αντικειμένου στο σημείο επαφής C A R p = C C C 0 0 0 F Είναι: (Σ) f = n : ομογενής μετασχηματισμός από το πλαίσιο R Ο R f : δύναμη (3x) n : ροπή (3x) f f f f f ( ) ( C) ( C) C = RC C = RC, όπου: = C ( ) ( C) ( C) C = RC C = RC, όπου: = C n n n n n Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 8 z x F y A C z C 33 y C x ( ) R 0 FC = F 0 R 33 C

Στατική Ανάλυση Τύποι επαφής () C F Επαφή σημείου χωρίς τριβή (Frtonless pont ontat) â 0 0 F = 00 f, ( f, f 0) 0 δηλαδή: 0 0 F = B f, B = 00 0 B : διανυσματική βάση δυνάμεων/ροπών επαφής (ontat wrenh bass) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 9 Στατική Ανάλυση Τύποι επαφής (2) C â F Επαφή σημείου με τριβή (Pont ontat wth frton) F όπου: 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 0, ( f FC ) 3 2 2 { f } : μ, 0 x y FC = f + f f f C z z C (FC: frton one) δηλαδή: 0 0 0 0, 0 0 0 0 F = B f B = 0 (Σ2-α) ( 0 0 0 f FC ) C 0 0 0 B : διανυσματική βάση δυνάμεων/ροπών επαφής (ontat wrenh bass) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 20

Στατική Ανάλυση Τύποι επαφής (3) C F «Εύκαμπτη» επαφή με τριβή ( soft-fnger ontat wth frton) â 0 0 0 f x 0 0 0 0 0 0 f y F =, 0 0 0 0 f f = FC f C z 0 0 0 0 0 0 0 n z (FC: frton one) όπου: 4 2 2 f : f + f μ f, f 0, x y z z FC = C και n γ f ( γ: torsonal frton oeffent ) 0 0 0 0 0 0 Δηλαδή:, 0 0 0 0 0 0 F = B f B = 0 ( f 0 0 0 0 (Σ2-β) FC ) C 0 0 0 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 2 z z B : διανυσματική βάση δυνάμεων/ροπών επαφής (ontat wrenh bass) Στατική Ανάλυση () n ( ) f ( ) n : συνολικός αριθμός σημείων επαφής r ( ) : διάνυσμα θέσης p ΟC, εκφρασμένo στο πλαίσιο αναφοράς R Έστω f η δύναμη επαφής στο C εκφρασμένη στο γενικό πλαίσιο αναφοράς R του αντικειμένου (θεωρούμε σημειακές επαφές με τριβή) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 22 ( ) Έστω επίσης: ( ) f : η συνολική εξωτερική δύναμη ( ) n : η συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται στο αντικείμενο Έχουμε (στατική ισορροπία): n ( ) ( ) f = f = n (Σ3) ( ) ( ) ( ) ( r f ) = n =

Στατική Ανάλυση (2) Από το παραπάνω σύστημα εξισώσεων (Σ3) έχουμε: ( ) f ( ) ( ) I33 I33 I33 f 2 f ( ) ( ) ( ) = ( ),,2, n r r r ( Σ3 ) n ( ) fn Μήτρα μετασχηματισμού ( ) W Ο : 6x(3n ) F δυνάμεων ρομποτικής λαβής ( ) (Grasp Fore ransformaton matrx) f,total ( ) ( ) Δηλαδή: WΟ f,total = F ( ) ( ) ( Σ3 ) 0 r, z r, y ( ) ( ) ( ) ( ) όπου:, r η αντισυμμετρική μήτρα (3x3), = rz, 0 rx, r του εξωτερικού γινομένου ( ) ( ) διανυσμάτων r, y r, x 0 : εξωτερική δύναμη/ροπή (ernal wrenh) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 23 Στατική Ανάλυση (3) Έστω τώρα γενικά ( ) ( ) f F = : 6x διάνυσμα δύναμης/ροπής επαφής στο C ( ) n εκφρασμένο στο γενικό πλαίσιο αναφοράς R του αντικειμένου, και Έχουμε (στατική ανάλυση αρπαγής λαβής, grp αντικειμένου): n ( ) ( ) f = f n = n ( ) ( ) ( ) (Σ4) ( ) ( r f ) + n = n = = Θέτουμε: ( ) ( ) I33 0 33 f f ( ) = W, = W, F ( ) ( ), 33 r I n n W ( ), ( ) ( ) ( ) : μήτρα 6x6 ( th ontat wrenh transformaton matrx) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 24

Στατική Ανάλυση (4) Παίρνουμε άρα από το σύστημα εξισώσεων (Σ4): F W W W = Μήτρα μετασχηματισμού δυνάμεων/ροπών λαβής Δηλαδή γενικά: ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F,2 f,,2, n ( ) n ( ) Fn, ( ) F W Ο : 6x(6n ) ( ) F,total (grasp wrenh transformaton matrx) W F = F Ο ( ) ( ),total ( Σ4 ) ( Σ4 ) : εξωτερική δύναμη/ροπή (ernal wrenh) Οι σχέσεις (Σ4) αποτελούν γενικεύσεις (για οποιοδήποτε τύπο επαφής) των εξισώσεων (Σ3) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 25 Στατική Ανάλυση (5) Εκφράζουμε τώρα τις δυνάμεις επαφής στο τοπικό πλαίσιο R C του C f ( C ) ( C ) f : 6x διάνυσμα δύναμης/ροπής επαφής στο C F = F = = ( C ) n n εκφρασμένο στο τοπικό πλαίσιο αναφοράς R C του αντικειμένου στο σημείο C Έχουμε από τις σχέσεις (Σ): ( ) f ( Σ ) R f R 0 F ( ) ( ) C C 33 = = = F ( ) C F n R n 0 R C 33 C και τελικά για τις μήτρες W, μετασχηματισμού δυνάμεων/ροπών επαφής: 33 33 ( ) I 0 ( ) RC 033 RC 033 W, FC = ( ) F = ( ) F, 33 3 3 C, r I C C 0 R R R r ( ) ( ) δηλαδή: W F = W F, C, (Σ5-α) W, : μήτρα 6x6 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 26

Στατική Ανάλυση (6) Χρησιμοποιώντας τώρα τη σχέση (Σ5-α), καθώς και τις σχέσεις (Σ2) (ορισμός διανυσματικής βάσης B, διάστασης m 6, του συστήματος εφικτών δυνάμεων/ροπών επαφής & κώνος τριβής FC ) το σύστημα των σχέσεων (Σ4) γράφεται: F, ( 6 m, m 6) ( ),2,,2, n = ( ) W W W F f και F = B f n m ( f W FC C ) Fn, Δηλαδή τελικά: Γενικό στατικό μοντέλο ρομποτικής λαβής G f F G 2 G n, ( ),2 f, B,,2 B,2, n B, n = ( ) W W W f n n «Μήτρα λαβής» G: 6 m f n, = ( 6n ) G f = f FC = { FC FCn } m F (Σ5) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 27 Στατική Ανάλυση (7) Γενικό στατικό μοντέλο ρομποτικής λαβής (robot graspng) W, W n, B, 06 m 0 2 6 mn f, ( ) RC 0 33 RC 0 n 33 6 m,2 6 m n 0 B 0 f ( ) = ( ) ( ), C C, n Cn C n r R R r R R n 06 m 0 6 m B 2 n, fn, F W G = f F (Σ5) B f FC Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 28

Παραδείγματα Στατικής Ανάλυσης () Παράδειγμα : Μήτρα ρομποτικής λαβής με n επαφές σημείου χωρίς τριβή (frtonless pont ontats) F = B f, 0 0 και, έστω: = R = xˆ yˆ zˆ = nˆ oˆ aˆ 0 B 00 ( =,, n ) δηλαδή: aˆ = zˆ = R[: 3,3] 0 f [ ] [ ] Έχουμε τελικά για μήτρα G: f, ( ) aˆ aˆ2 aˆ, n f,2 f ( ) ( ) ( ) = ( ), ˆ,2 ˆ2, n ˆ r a r a r a, n n «Μήτρα ρομποτικής λαβής» G: 6 f n, n Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 29 Παραδείγματα Στατικής Ανάλυσης (2) Παράδειγμα 2: Μήτρα ρομποτικής λαβής με 2 (δύο) σημειακές επαφές με τριβή (pont ontats wth frton) 2r y x y 2 z z C 0 0 0 0 2 2 R = 0 0 R 2 = 0 0 0 0 C 0 0 z x 2 ( ) ( ) r, = [ 0 r 0] r,2 = [ 0 r 0] x y B 0 0 0 0 0 0 R 033 0 0 0 0 G = 0 0 ( ), 0 0 0 0 r R R 0 0 G = 0 r 0 0 r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (6 x 3) W r 0 0 r 0 0 0 0 0 G 2 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 30 G

Παραδείγματα Στατικής Ανάλυσης (3) Παράδειγμα 3: Μήτρα ρομποτικής λαβής με 2 (δύο) «εύκαμπτες» επαφές με τριβή (soft-fnger ontats wth torsonal frton) 2r y x y 2 z z C 0 0 0 0 2 2 R = 0 0 R 2 = 0 0 0 0 C 0 0 z x 2 ( ) ( ) r, = [ 0 r 0] r,2 = [ 0 r 0] x y B 0 0 0 0 0 0 R 033 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G = ( ), 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r R R G = 0 0 0 0 r 0 0 0 r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (6 x 4) W 0 0 0 r 0 0 0 r 0 0 0 G 2 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 3 G Παραδείγματα Στατικής Ανάλυσης (4) Παράδειγμα 3 (συνέχεια): Μήτρα ρομποτικής λαβής με 2 (δύο) «εύκαμπτες» επαφές με τριβή n 0 0 0 0 0 0 y x y 2 0 0 0 0 0 0 C z 2 2 0 0 0 0 0 0 G = z 0 r 0 0 0 r 0 0 f C z x 2 f 2 0 0 0 0 0 0 r 0 0 0 r 0 0 0 x y f G G2 f = f, x f, y f, z n, z και f = f, x f, y f, z n, z f 2, x f 2, y f 2, z n 2, z G = f f f, x+ f 2, x= f, x r f, y+ r f 2, y= n, x f, z f 2, z= f, y n, z n 2, z= n, y n f + f = f r f, x r f 2, x = n, z, y 2, y, z Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 32

Παραδείγματα Στατικής Ανάλυσης (5) Παράδειγμα 4: Επίπεδη ρομποτική λαβή με 2 (δύο) σημειακές επαφές με τριβή C Ο y x 2r y C 2 x x 2 y 2 Άσκηση προς επίλυση: Να ευρεθεί η μήτρα ρομποτικής λαβής G (τι διάστασης είναι;) και να προσδιορισθούν τα σύνολα FC : «κώνοι τριβής» (=,2) (frton ones) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 33 Στατική ευστάθεια ρομποτικής λαβής () Βασικοί Ορισμοί Ορισμός : Ρομποτική λαβή «κλειστή ως προς δύναμη» (fore-losure grasp) Εαν F R p, f FC: G f = -F Επομένως, μία ρομποτική λαβή είναι κλειστή ως προς δύναμη εαν και μόνο εαν ισχύει: G(FC)=R p (δηλαδή, η G(.) είναι «επί») Ορισμός 2 : Εσωτερικές δυνάμεις ρομποτικής λαβής - nternal (or graspng) fores f N Εαν ισχύει: f N N(G) FC, δηλαδή: G f Ν = 0 τότε f N εσωτερική δύναμη ( όπου N(G): μηδενικός χώρος ( null-spae ) του G ) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 34

Στατική ευστάθεια ρομποτικής λαβής (2) Συνθήκες για ρομποτική λαβή «κλειστή ως προς δύναμη» Έστω ρομποτική λαβή με σημειακές επαφές χωρίς τριβή: aˆ aˆ2 aˆ, n G = : (p x n ( ) ( ) ) μήτρα ( ), ˆ,2 ˆ2, n ˆ, n r a r a r a ρομποτικής λαβής: με G G 2 n { f : 0} FC = f (fore-losure grasp) Μια τέτοια ρομποτική λαβή είναι κλειστή ως προς δύναμη: p G ( FC ) =, εαν οι στήλες της G εκτείνονται θετικά στο (postvely span) δηλαδή εαν, για κάθε F R p n, υπάρχουν 0: G = F G n : set of frton ones p=6, στο χώρο 3Δ p=3, στο επίπεδο = p Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 35 Στατική ευστάθεια ρομποτικής λαβής (3) Συνθήκες για ρομποτική λαβή «κλειστή ως προς δύναμη» (συνέχεια) Ορισμός : Ένα σύνολο Κ ονομάζεται κυρτό εαν, για κάθε x,y K, έχουμε: [λx + (-λ)y] K, με λ [0,] Ορισμός 2 : Ο «κυρτός φλοιός» (onvex hull) ενός συνόλου S, ορίζεται ως το «ελάχιστο κυρτό σύνολο» K που περικλείει το S Εαν S= f, f2,..., fn, o( S) = f = f: =, 0 v 2 Παράδειγμα «κυρτού φλοιού» (onvex hull, o(s)), όπου S το σύνολο: S={v,...,v 6 } v o({ v, v2, v3, v4, v5, v6}) v 5 v 6 v 4 v 3 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 36

Στατική ευστάθεια ρομποτικής λαβής (4) Συνθήκες για ρομποτική λαβή «κλειστή ως προς δύναμη» (συνέχεια) (πάντα υπό την υπόθεση για ρομποτική λαβή με σημειακές επαφές χωρίς τριβή) Πρόταση : Συνθήκη κυρτότητας για ρομποτικές λαβές (G R p m ) (G=[G,,G m ]) «κλειστές ως προς δύναμη» ισοδύναμα. Η ρομποτική λαβή είναι κλειστή ως προς δύναμη 2. Οι στήλες της μήτρας G «εκτείνονται θετικά» στο R p 3. Ο «κυρτός φλοιός» (onvex hull) του {G } περιέχει μια περιοχή της αρχής των αξόνων (δηλ. του διανύσματος 0 px ) 4. Δεν υπάρχει διάνυσμα v R p, v 0, τέτοιο ώστε: για κάθε =,,m, να ισχύει v G 0 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 37 Στατική ευστάθεια ρομποτικής λαβής (5) Παράδειγμα : Χρησιμοποιώντας τη συνθήκη κυρτότητας για να προσδιορίσουμε την «κλειστότητα ως προς δύναμη» (fore-losure) ρομποτικής λαβής o({g τ }) f,2 a f f,3, b f,4 a=0 f,3 f, b=0 f,4 f,2 0 0 G = 0 0 a b a b 0 0 G = 0 0 0 0 0 0 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 38 f x f x f,2 f, f, τ f,3f,4 f y f,2 f,3f,4 o({g }) f y

Στατική ευστάθεια ρομποτικής λαβής (6) Παράδειγμα (συνέχεια) : (fore-losure) ρομποτικής λαβής f,2 0 0 a f f,3 0 0, b G = a b a b f,4 Εφαρμογή της συνθήκης (4) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 39 Στατική ευστάθεια ρομποτικής λαβής (7) Παράδειγμα 2: Χρησιμοποιώντας τη συνθήκη κυρτότητας για να προσδιορίσουμε την «κλειστότητα ως προς δύναμη» ρομποτικής λαβής με σημειακές επαφές με τριβή: C 2r y f, f +,2 Ο x f +, f,2 Παρατήρηση: f +, = μ μ r κλπ.... C 2 Θέμα προς μελέτη: Παρατηρώντας ότι κάθε δύναμη επαφής f μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των f + και f, να εξετασθεί η εφαρμογή της συνθήκης κυρτότητας για τη μελέτη της ευστάθειας της ρομποτικής λαβής που εικονίζεται στο διπλανό Σχήμα. (αλλά και γενικότερα για ρομποτικές λαβές αποτελούμενες από σημειακές επαφές με τριβή) (θεωρούμε συντελεστή τριβής Coulomb = μ) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 40

Σύνθεση δυνάμεων ρομποτικής λαβής () Κατανομή δυνάμεων ρομποτικής λαβής (graspng fore-dstrbuton) z y f,2 f, x A C z y C x Ορισμός προβλήματος Εύρεση λύσης f R m : G f = -F Περιορισμοί: f FC R m E A E z E y E Στη γενική περίπτωση έχουμε απειρία λύσεων f FC x E Επιλογή «κατάλληλης» λύσης f Πρόβλημα βελτιστοποίησης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 4 Σύνθεση δυνάμεων ρομποτικής λαβής (2) Στατικό μοντέλο ρομποτικής λαβής: G f = F () Εύρεση λύσης f FC R m της (), η οποία βελτιστοποιεί π.χ. μία από τις ακόλουθες συναρτήσεις κριτηρίου: 2 n f 2 2 = 2 F = = f mn + Λύση: f = G F (2) 2 n f 2 f 2 = Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 42 ( λύση ελαχίστων τετραγώνων, ελαχίστης δύναμης mnmum effort optmal soluton) όπου G + : ψευδοαντίστροφη της μήτρας G + G = G ( G G ) (εαν G πλήρους τάξης γραμμών) 2, a, F f f = 2 a = mn Γενική Λύση: (3) f = G + F + ( Im G + G) fa (ernal) manpulaton fores «εσωτερικές» δυνάμεις λαβής nternal (graspng) fores N ( G) (επιλέγεται: f FC)

Κινηματική Ανάλυση () z y C x y x z z z pj y x P j x pj ypj z j z y j E E j x x y j E E Πλαίσια αναφοράς: Παλάμη R x y z E E E E Ρομποτικό Δάχτυλο Βάση: R x yz Τελικό στοιχείο: R x y z P P P P Χειριζόμενο Αντικείμενο Επαφή C : R x y z C Κέντρο μάζας: R C C C x y z Κινηματικό Μοντέλο Ρομποτικής Λαβής: Κίνηση Ρομποτικών Μηχανισμών Λαβής Κίνηση Αντικειμένου (σημείων επαφής) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 43 Κινηματική Ανάλυση (2) Κινηματικοί περιορισμοί για κάθε C : (=,,n ) Σχετική κίνηση τελικού στοιχείου ρομποτικού «δακτύλου» και του αντίστοιχου σημείου επαφής ( C ) ( C ) P C B V V = 0 C Διαφορική κινηματική εξίσωση V ( E) P = J για κάθε ρομποτικό δάχτυλο : q q C ( C) 0 33 ( ) C RE E V = V = J q q P C P E 0 R οπότε: ( C ) C P h 33 E C E Σχετική κίνηση πλαισίων αναφοράς R p και R C στο χώρο B V = J q q όπου ορίζουμε: J q = B J C (K) (K2) (K2) h C E q Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 44

Κινηματική Ανάλυση (3) Θέτοντας: J δηλαδή, ορίζοντας ως Ιακωβιανή του ρομποτικού χεριού: παίρνουμε: h = J ( q h ) 0 0 J q ( C ) P hn J ( n ) h C B C ( ) E J q 0 = (K3) Cn 0 BC E Jn ( qn ) J q= B V C ( Cn ) B V Cn P n J ( q ) 0 h h ( n ) 0 J q n q n Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 45 h J ( q ) 0 h q = = J q h 0 h ( n ) J q q n n J h n q (K3) Κινηματική Ανάλυση (4) Για κάθε επαφή C : V = = ( ) ( ) ( ) v + ω p C 3 C v ω 0 ω 3 I 3 V ( ) W, C I p V = = V = C ( ) ( ) 0 C p ( ) 33 3 C C R I C,, C V W V W V C 0 0 R 33 I 3 3 (K4) W, Υπενθύμιση: G = W B G = B W Άρα: B ( C ) V = G V (K4) C C Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 46

Κινηματική Ανάλυση (5) Από τις Σχέσεις (Κ), (Κ3 ) και (Κ4 ) παίρνουμε: ( C ) ( ) C Cn P n C n C n B C V B P C V C J ( q ) 0 h q ( 3')( 4') G V K K = = ( ) ( ) ( n ) Cn Cn 0 Jh q n q B V B V n Gn V δηλαδή τελικά οι κινηματικοί περιορισμοί της ρομποτικής λαβής γράφονται: Κινηματική Εξίσωση Ρομποτικής λαβής: J q V (K5) h = G Κινηματική Ρομποτικών Δακτύλων Κίνηση Αντικειμένου + Γεωμετρία Λαβής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 47 Κινηματική Ανάλυση (6) ρομποτικά δάχτυλα ρομποτική λαβή (επαφές) χειριζόμενο αντικείμενο Χώρος γενικευμένων ταχυτήτων: q J h x G V Χώρος γενικευμένων δυνάμεων: τ J h f G F Ορισμός. Manpulable grasp: R( G ) R( J ) h Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 48