Ελαχιστοποίηση της Δαπάνης

Ελαχιστοποίηση της Δαπάνης - Στο πρωτογενές πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας (UMP) υπό τον εισοδηματικό περιορισμό αντιστοιχεί το δυαδικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης της δαπάνης (EMP) υπό τον περιορισμό ότι επιτυγχάνεται ένα επίπεδο (στόχος) χρησιμότητας u: mi E( x,..., x ) = p x +... + p x { x,..., x } st.. u( x,..., x ) u x,..., x 0 Πρόβλημα Ελαχιστοποίησης της Δαπάνης (ΕMP) - Η αποτελεσματική κατανομή της αγοραστικής δύναμης του καταναλωτή είναι ο κοινός σκοπός που ενσωματώνεται τόσο στο πρωτογενές πρόβλημα (UMP) όσοκαιστοδυαδικόπρόβλημα(emp).

- Ισοδύναμα, το πρόβλημα EMP γράφεται: max Ex (,..., x) = px... px { x,..., x } st.. u( x,..., x ) u,..., x 0 L= p x... p x + λ[ u( x,..., x ) u] FOCs : L u L = p + λ 0, x = 0 x x x L x x u = p + λ x L 0, x = 0 x L L = ux (,..., x ) u 0, λ = 0 λ λ 2

- Αναζητούμε την εσωτερική λύση των FOCs. Υπόθεση: x,..., x 0 >. Τότε: L pi xi > 0 = 0 λ = > 0 u( x,..., x) = u () x u/ x i i - Άρα: Ο καταναλωτικός συνδυασμός που ελαχιστοποιεί τη δαπάνη πρέπει να επιτυγχάνει ακριβώς το επίπεδο (στόχο) χρησιμότητας u (δεν υπάρχει υπερβάλλουσα χρησιμότητα στη λύση του EMP). x x x 2 L p > 0 = 0 λ = x u/ x L p2 > 0 = 0 λ = x u/ x 2 2 L p > 0 = 0 λ = x u/ x 3

λ p p p... u/ x u/ x u/ x 2 = = = = 2 - Άρα: Γιαναελαχιστοποιείταιηδαπάνη, θα πρέπει να ισχύει για δύο οποιαδήποτε αγαθά i, j : p p i j pi u/ xi = = = MRS (2) u/ x u/ x p u/ x i j j j - Ησυνθήκη(2) για την ελαχιστοποίηση της δαπάνης είναι η ίδια με τη συνθήκη που αντιστοιχεί στο πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας. - Γενικό Συμπέρασμα: Ο καταναλωτικός συνδυασμός που ελαχιστοποιεί τη δαπάνη ικανοποιεί τις εξής δύο συνθήκες: () Το επίπεδο-στόχος χρησιμότητας u επιτυγχάνεται ακριβώς. (2) ΜRS (x i για x j ) = p i /p j (o ψυχικός λόγος ανταλλαγής μεταξύ δύο οποιωνδήποτε αγαθών ισούται με τον αγοραίο λόγο ανταλλαγής 4 μεταξύ αυτών των αγαθών).

Διαγραμματική Λύση του Προβλήματος Ελαχιστοποίησης της Δαπάνης ( με =2 αγαθά) x 2 Ε 3 /p 2 Ε 2 /p 2 Ε /p 2 x* 2 B A Ε 3 = {( x, x ) R : p x + p x = E } Γ 2 2 + 2 2 3 u Ε = {( x, x ) R : p x + p x = E} Ε 2 2 2 + 2 2 = {( x, x ) R : p x + p x = E } 2 2 + 2 2 2 0 x* E /p E 2 /p E 3 /p -To επίπεδο δαπάνης Ε είναι πολύ χαμηλό (δεν επιτυγχάνει το στόχο χρησιμότητας u). -To επίπεδο δαπάνης Ε 3 επιτυγχάνει το στόχο χρησιμότητας u (είτε στο σημείο Β είτε στο Γ) αλλά δεν είναι το ελάχιστο επίπεδο δαπάνης που απαιτείται για την επίτευξη αυτού του στόχου. - Το ελάχιστο επίπεδο δαπάνης που απαιτείται για την επίτευξη του στόχου χρησιμότητας u είναι Ε 2. x 5

-To σημείο ελαχιστοποίησης της δαπάνης (σημείο Α) είναι το σημείο επαφής μεταξύ της γραμμής του εισοδήματος-δαπάνης Ε 3 και της καμπύλης αδιαφορίας που αντιστοιχεί στο επίπεδο χρησιμότητας u. Στο σημείο Α, ισχύει: p Κλίση εισοδηματικού περιορισμού (= ) = κλίση IC = p2 p dx2 u / x = / u σταθ. = MRS = p dx u / x 2 2 dx dx 2 / u σταθ. 6

Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις Ζήτησης - Λύνουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης της δαπάνης (ΕMP) και * * βρίσκουμε τις άριστες ζητούμενες ποσότητες x,..., : x x = h( p,..., p, u) * x = h ( p,..., p, u) * 2 2 x = h ( p,..., p, u) * Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις Ζήτησης - Κάθε Αντισταθμιστική (Χικσιανή) συνάρτηση ζήτησης hi( p,..., p, u) δείχνει τη ζητούμενη ποσότητα του αγαθού i ως συνάρτηση των τιμών p,..., p και της χρησιμότητας u. - Οι Αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού ως προς όλες τις τιμές: h( tp,..., tp, tm) = h( p,..., p, M), t > 0, i =,...,. i i 7

- Παρατήρηση: Οι αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης δείχνουν τις ποσότητες που επιτυγχάνουν ένα σταθερό επίπεδο χρησιμότητας u με το ελάχιστο κόστος. Καθώς οι τιμές των αγαθών αυξάνονται (μειώνονται), το εισόδημα του ατόμου πρέπει επίσης να αυξάνεται (μειώνεται) όσο χρειάζεται για να διατηρηθεί σταθερή η χρησιμότητα. => Αυτήηυπονοούμενηθετική(αρνητική) εισοδηματική αντιστάθμιση εξηγεί τη χρήση του όρου αντισταθμιστική ζήτηση. Συνάρτηση Δαπανών - Αν αντικαταστήσουμε τις άριστες τιμές (δηλαδή τις * * αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης) x,... x στην αντικειμενική συνάρτηση Ε(x,,x ), παίρνουμε τη συνάρτηση δαπανών: E( x,..., x ) = ph( p,..., p, u) +... + p h ( p,..., p, u) = e( p,..., p, u) * * 8

-H συνάρτηση δαπανών e(p,u) δείχνει την ελάχιστη δαπάνη που απαιτείται για να επιτευχθεί ένα δεδομένο επίπεδο (στόχος) χρησιμότητας u. Ιδιότητες Συνάρτησης Δαπανών () Ησυνάρτησηδαπανώνe(p, u) είναι αύξουσα ως προς τις τιμές των αγαθών: epu (, ) / pi 0, i=,...,. (2) Ησυνάρτησηδαπανώνe(p, u) είναι γνησίως αύξουσα ως προς τη χρησιμότητα: epu (, )/ u> 0 (3) Ησυνάρτησηδαπανώνe(p, u) είναι ομογενής πρώτου βαθμού ως προς όλες τις τιμές: etp (,..., tp, u) = t e( p,..., p, u), t> 0 - Αν διπλασιαστούν οι τιμές όλων των αγαθών, τότε διπλασιάζεται η (ελάχιστη) δαπάνη που απαιτείται για να διατηρηθεί σταθερή η 9 χρησιμότητα του καταναλωτή.

(4) Ησυνάρτησηδαπανώνe(p,u) είναι κοίλη ως προς τις τιμές p=(p,,p ). Παράδειγμα (συνέχεια) - Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: ux (, x) = xx, αβ, > 0, α+ β= α β 2 2 - Εξάγουμε τις Αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης λύνοντας το EMP: mi E( x, x ) = p x + p x max E( x, x ) = p x p x { x, x } 2 2 2 2 2 st.. u( x, x ) = x x u α β 2 2 x, x 0 L= p x p x + λ( x x u) α β 2 2 2 { x, x } 2 2 2 2 2 st.. u( x, x ) = x x u α β 2 2 x, x 0 - Γράφουμε τις FOCs και βρίσκουμε τη λύση του προβλήματος: 0

* α p 2 x = h( p, p2, u) = u (3) β p * β p x2 = h2( p, p2, u) = u (4) α p2 β α β α Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις Ζήτησης (ομογενείς μηδενικού βαθμού ως προς τις τιμές) - Αντικαθιστούμε τη λύση h (p,u), h 2 (p,u) στην αντικειμενική συνάρτηση και παίρνουμε τη συνάρτηση δαπανών: β β (3) α α p2 β p 2 2 2 (4) β p α p2 epu (, ) = ph( pu, ) + ph( pu, ) = p u+ p u α β p p2 (, ) u (5) (Συνάρτηση Δαπανών) epu= α β - Επαληθεύουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης δαπανών e(p,u): Η e(p,u) είναι αύξουσα ως προς τη χρησιμότητα u και αύξουσα ως προς τις τιμές p και p 2. α

Η e(p,u) είναιομογενήςπρώτουβαθμούωςπροςτιςτιμές: α β α β tp tp2 α+ β p p2 etp (, tp2, u) u t u = = = α β α β α β p p2 = t u = t e( p, p2, u) α β Η e(p,u) είναι κοίλη ως προς τις τιμές p=( p,p 2 ): e e e p p u e e p p u 2 2 β α β β β α β α = = α β 2 2, 2 = 2 = = α β 2 p p p2 2 e e e β α α α 2 2 e22 = = α β p 2 p2 u, Η = = ee22 e2 = 0 p2 e2 e22 Αφού e 0, e 0 και Η 0, η e( p, u) είναι πράγματι κοίλη. 22 2

Σχέση μεταξύ Έμμεσης Συνάρτησης Χρησιμότητας και Συνάρτησης Δαπανών (2 ος τρόπος Υπολογισμού της Συνάρτησης Δαπανών) - Ησυνάρτησηδαπανών e(p,u) είναι η αντίστροφη της έμμεσης συνάρτησης χρησιμότητας V(p,M). - Εξήγηση: Αφού η V(p,M) είναι αύξουσα ως προς το εισόδημα Μ, μπορούμε να αντιστρέψουμε την V(p,M) και να λύσουμε για Μ ως συνάρτηση της χρησιμότητας. - Αυτή η αντίστροφη συνάρτηση είναι η συνάρτηση δαπανών, διότι δείχνειτοελάχιστοεισόδημα(την ελάχιστη δαπάνη) που απαιτείται για να επιτευχθεί ένα δεδομένο επίπεδο χρησιμότητας. - Άρα: Μπορούμε να εξάγουμε τη συνάρτηση δαπανών από την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας (χωρίς να λύσουμε το ΕΜP), με βάση την ακόλουθη μεθοδολογία. 3

Μεθοδολογία Εξαγωγής της Συνάρτησης Δαπανών από την Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας. Αντιστρέφουμε την V(p,M) (δηλαδή λύνουμε για Μ ως συνάρτηση των p, V ). 2. Θέτουμε Μ =e, V = u (δηλαδή θεωρούμε το εισόδημα ως δαπάνη και τη χρησιμότητα ως σταθερά) και παίρνουμε τη συνάρτηση δαπανών e = e(p,u). - Παράδειγμα (συνέχεια). Έστω η συνάρτηση Cobb-Douglas: ux (, x) = xx, αβ, > 0, α+ β= α β 2 2 - Έχουμε ήδη βρει (βλ. σελ. 7, Week 3 Lecture Notes) την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας: a β V( p, p2, M) = M (6) p p α 2 β 4

- Εφαρμόζουμε την παραπάνω μεθοδολογία για να εξάγουμε τη συνάρτηση δαπανών:. α β α β a β p p2 V = M M = V p p2 a β 2. Θέτουμε M = e, V = u στην (7) και παίρνουμε: α β M=e p p2 (7) e= u = e( p, u) (8) V=u a β (η ίδια συνάρτηση που υπολογίσαμε στην (5) λύνοντας το EMP) (7) 5

Σχέση μεταξύ των Προβλημάτων UMP και EMP - Πρόταση. Έστω τα εξής προβλήματα: max ux (,..., x) { x,..., x } st.. px +... + p x M x,..., x 0 UMP (Πρωτογενές Πρόβλημα) mi E = px +... + px { x,..., x } st.. u( x,..., x ) u x,..., x 0 ΕMP (Δυαδικό Πρόβλημα) - Έστω ότι η συνάρτηση χρησιμότητας είναι συνεχής και οι προτιμήσεις δεν υπόκεινται σε κορεσμό. Τότε: 6

() Η Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας συνεπάγεται Ελαχιστοποίηση της Δαπάνης. Αν x* = ( x,..., x ) είναι η λύση του UMP και u = V( p, M), τότε: * * (i) O συνδυασμός x* είναι επίσης η λύση του EMP, δηλαδή: h[ p, V( p, M)] = x ( p, M), i =,...,. i i (ii) To ελαχιστοποιημένο επίπεδο δαπάνης στο ΕMP είναι ακριβώς ίσο με Μ, δηλαδή: epv [, ( pm, )] = M (2) Η Ελαχιστοποίηση της Δαπάνης συνεπάγεται Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας. Αν x* = ( x,..., x ) είναι η λύση του EMP και M = e( p, u), τότε: * * (i) O συνδυασμός x* είναι επίσης η λύση του UMP, δηλαδή: xi[ pepu, (, )] = hi( pu, ), i=,...,. (ii) To μεγιστοποιημένο επίπεδο χρησιμότητας στο UMP είναι ακριβώς ίσο με u, δηλαδή: V[ p, e( p, u)] = u 7

-To αποτέλεσμα ( 2-i ) της παραπάνω Πρότασης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξάγουμε τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης h i (p,u) από τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης και την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας (χωρίς να λύσουμε το EMP). Μεθοδολογία Εξαγωγής των Αντισταθμιστικών Συναρτήσεων Ζήτησης από τις Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης και την Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας. Εξάγουμε τη συνάρτηση δαπανών e(p,u) από την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας (βλ. τη σχετική μεθοδολογία στη σελ. 4). 2. Θέτουμε Μ=e(p,u) στις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης και παίρνουμε τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης. - Παράδειγμα (συνέχεια). Έστω η συνάρτηση Cobb-Douglas: ux (, x) = xx, αβ, > 0, α+ β= α β 2 2 8

Γνωρίζουμε: x ( p, p, M) = αm / P (9α) 2 x ( p, p, M) = β M / P (9β) 2 2 2 (Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης) a β V( p, p2, M) = M p p α 2 β (Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας) Εξάγουμε τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης σύμφωνα με την παραπάνω μεθοδολογία: (0) α β β ( σελ.5) α β p p2 a. V = M e( p, u) = u (0) p p2 a β 2. Θέτουμε M = e( p, u) στις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης και παίρνουμε τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης: β β epu (, ) α p 2 x[ p, e( p, u)] = h( p, u) = α = u p β p (9α) (η ίδια συνάρτηση που υπολογίσαμε στην (3) λύνοντας το EMP) 9

- Όμοια: (0) α α epu (, ) β p (9β) x2[ p, e( p, u)] = h2( p, u) = β = u p2 α p2 (η ίδια συνάρτηση που υπολογίσαμε στην (4) λύνοντας το EMP) Το Θεώρημα της Περιβάλλουσας Καμπύλης (Π) Μεγιστοποίηση χωρίς Περιορισμό max y = f( x,..., x ; α), α R { x,... x } - Αν υποθέσουμε εσωτερική λύση (x i > 0, i=,,), oι FOCs είναι: f = 0, i =,...,. () xi - Βρίσκουμε τη λύση του προβλήματος: * * x = x ( a) * * x = x a ( ) 20

- Αντικαθιστούμε τη λύση στη συνάρτηση f και παίρνουμε την άριστη τιμή (value fuctio) της συνάρτησης: y*( a) = f[ x ( a),..., x ( a); a] * * - Εξετάζουμε πώς μεταβάλλεται η άριστη τιμή της συνάρτησης καθώς μεταβάλλεται η παράμετρος α: () dy *( a) f dx f dx f dy * f = +... + + = da x da x da a da a / x = x*( a) - Δηλαδή: Οι μεταβολές στην άριστη τιμή της συνάρτησης που οφείλονται σε μεταβολές της παραμέτρου α μπορούν να υπολογιστούν άμεσα παραγωγίζοντας μερικώς τη συνάρτηση, ενώ όλες οι μεταβλητές κρατούνται σταθερές στη βέλτιστη τιμή τους: x=x*(α). 2

(Π2) Μεγιστοποίηση υπό Περιορισμό max y = f( x,..., x ; α) { x,... x } s.t. gx (,..., x; α) 0, α R L= f( x,..., x; α) + λ g( x,..., x; α) - Αν υποθέσουμε εσωτερική λύση (x i > 0, i=,,) και λ>0, oι FOCs είναι: L f g f g = + λ = 0 = λ, i=,...,. (2) x x x x x i i i i i L = gx (,..., x; α) = 0 (3) λ - Βρίσκουμε τη λύση: * * x = x( a) * * x = x ( a) λ = λ*( α) 22

- Αντικαθιστούμε τη λύση στην αντικειμενική συνάρτηση f και παίρνουμε την άριστη τιμή της συνάρτησης: y*( a) = f[ x ( a),..., x ( a); a] * * - Εξετάζουμε πώς μεταβάλλεται η άριστη τιμή της συνάρτησης f καθώς μεταβάλλεται η παράμετρος α: dy *( a) f dx f dx f da x da x da a (2) = +... + + = g dx g dx f λ... (4) x da x da a = + + + - Παραγωγίζουμε την (3) ως προς α: * * + + g dx g dx g gx ( ( a),..., x( a); α) = 0 +... + + = 0 x da x da a g dx g dx g... = (5) x da x da a 23

- Άρα: (5) dy *( a) g f L (4) = λ + = da a a a dy * L λ= λ*( a) f λ= λ*( a) g λ= λ*( a) = x= x*( a) = x= x*( a) + λ (6) x= x*( a) da a a a Δηλαδή: / / / - Δηλαδή: Οι μεταβολές στην άριστη τιμή της συνάρτησης που οφείλονται σε μεταβολές της παραμέτρου α μπορούν να υπολογιστούν άμεσα παραγωγίζοντας μερικώς τη συνάρτηση Lagrage, ενώ όλες οι μεταβλητές κρατούνται σταθερές στη βέλτιστη τιμή τους: x=x*(α), λ=λ*(α). 24

Εφαρμογές του Θεωρήματος Περιβάλλουσας Καμπύλης στη Θεωρία της Ζήτησης () Το Λήμμα του Shephard (Άμεση Εξαγωγή των Αντισταθμιστικών Συναρτήσεων Ζήτησης από τη Συνάρτηση Δαπανών) mi E = px +... + px { x,..., x } st.. u( x,..., x ) u x,..., x 0 max E = F = p x... p x { x, x } 2 st.. u( x, x ) u x 2,..., x 0 L= p x... p x + λ[ u( x,..., x ) u] - Ηλύσηείναι: * x = h( p, u) * x (, ) = h p u 25

- Η άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι: F* = E*( p..., p, u) = e( p, u) - Εφαρμόζουμε το Θεώρημα της Περιβάλλουσας Καμπύλης: F* e L = = / x = x* = h( p, u) = hi ( p, u) p p p i i i epu (, ) = hi ( p, u), i =,...,. p i (2) Η Ταυτότητα του Roy (Άμεση Εξαγωγή των Μαρσαλιανών Συναρτήσεων Ζήτησης από την Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας) max ux (,..., x) { x,..., x } st.. px +... p x M x,..., x 0 26

L= u( x,..., x ) + λ( M p x... p x ) - Ηλύσηείναι: * x = x( p, M) * x (, ) = x p M - Η άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι: u* = V( p..., p, M) - Εφαρμόζουμε το Θεώρημα της Περιβάλλουσας Καμπύλης: i V p i V i M L p / = x = x *( p, M) = i L M / = x = x *( p, M) = λx ( p, M) (7) λ i (8) - Παρατήρηση: Ο πολλαπλασιαστής Lagrage δείχνει την οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος και γι αυτό αναφέρεται ως σκιώδης τιμή του εισοδηματικού περιορισμού. 27

- Διαιρούμε τις (7), (8) κατά μέλη και παίρνουμε: V( p, M)/ pi (7) : (8) xi ( p, M) = V( p, M)/ M V( p, M)/ pi ή : xi ( pm, ) =, i=,..., V( p, M)/ M - Παράδειγμα (συνέχεια): Έστω η συνάρτηση Cobb-Douglas: ux (, x) = xx, αβ, > 0, α+ β= α β 2 2 - Έχουμε ήδη βρει: V( p, M) epu (, ) α a β = M p p 2 α β p p2 = a β β u 28

() Επαληθεύουμε ότι ισχύει το Λήμμα του Shephard: β β (, ) a p 2 = u = p β p epu α α (, ) β p = = p2 α p2 epu h( p, u), πράγματι. u h ( p, u), πράγματι. (2) ΕπαληθεύουμεότιισχύειηTαυτότητα του Roy: V( p, M) a β = M p p 2 α V p M p M α V( p, M)/ M p x p M V( p, M)/ p2 M β V( p, M)/ M p2 x 2 p M β β 2 V( p, M) + α α β V( p, M) + β β α = α p M, = β p2 M p p2 p2 p (, )/ = = (, ), πράγματι. = = (, ), πράγματι. α 29