3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΦΥΣΚΗ ΘΕΤΚΗΣ ΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΑΓΩΝΣΜΑ (ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ) ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΘΕΜΑ Α β δ 3 δ 4 β 5 Λ βσ γλ δσ ελ ΘΕΜΑ Β Σωστή είνι η πάντηση γ Ο ρυθμός ύξησης της ιής τχύτητς ισούτι με τη ιή επιτάχυνση του σώμτος, δηλδή ισχύει d ω dt Σύμφων με τον θεμελιώδη νόμο της στροφιής ίνησης η ιή επιτάχυνση ισούτι Στ με Από το διάγρμμ προύπτει ότι η ροπή πό ts έως t4s είνι στθερή ι συνεπώς η ιή επιτάχυνση, δηλδή ο ρυθμός ύξησης της ιής τχύτητς, στο ίδιο χρονιό διάστημ είνι ι υτή στθερή Σωστή είνι η πάντηση β Σύμφων με την ρχή της επλληλίς, το νώττο σημείο (A) της εσωτεριής τροχλίς έχει τχύτητ μέτρου va v +ω r Επειδή το νήμ δεν ολισθίνει στην επιφάνει της εσωτεριής τροχλίς, θ έχει την ίδι τχύτητ με το σημείο Α ι έτσι v v v r +ω νηµ A Από τη σχέση v v +ω νηµ r προύπτει ότι v > νηµ v, δηλδή η τχύτητ των σημείων του νήμτος άρ ι του άρου Β είνι μεγλύτερη πό τη τχύτητ του έντρου μάζς (Κ) της διπλής τροχλίς Αυτό έχει σν συνέπει η πόστση μετξύ των σημείων (Β) ι (Κ) ν μεγλώνει ι έτσι το νήμ ξετυλίγετι R (A) (Κ) r (Β) Σελίδ πό 8
3 Σωστή είνι η πάντηση γ 3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ Γι τους ρυθμούς μετβολής της στροφορμής της ράβδου ι της μάζς ισχύουν ντίστοιχ ότι: Στ ρά βδου( Κ) ρά βδου( Κ) t () ράβδου (Κ) ρ μ t µ άζς Στ µ ά ζς( Κ ) µ ά ζς( Κ) () Η ράβδος ι η σημειή μάζ έχουν την ίδι ιή επιτάχυνση Διιρώντς τά μέλη τις σχέσεις () ι () προύπτει ότι : t t ράβδου ρά βδου( Κ) µ άζς µ ά ζς( Κ) Η ροπή δράνεις της ράβδου ως προς τον άξον περιστροφής ισούτι με L ML + M ρά βδου( Κ) ML, (4) ρά βδου( Κ) 3 ενώ η ροπή δράνεις της μάζς ως προς τον άξον περιστροφής ισούτι με L µ ά ζς( Κ) M L 6 Αντιθιστώντς στη σχέση (3), τις σχέσεις (4) ι (5), προύπτει: ML t ράβδου 3 ML t 6 µ άζς (5) µ ά ζς( Κ) t t ράβδου µ άζς (3) ΘΕΜΑ Γ Η δύνμη έχει μέτρο 0N ενώ η συνιστώσ w του βάρους στον άξον ισούτι με 0 w gηµϕ w 0kg s w Επειδή w άτω επιτχυνόμενος 50N >, ο ύλινδρος μετφοριά θ ινηθεί προς τ Το διάνυσμ της σττιής τριβής έχει σημείο εφρμογής το σημείο Α του υλίνδρου που είνι σε επφή με το πλάγιο επίπεδο ι τεύθυνση ντίθετη της ίνησης που τείνει ν άνει υτό στο επίπεδο εξιτίς όλων των δυνάμεων ι ροπών που σούντι στον ύλινδρο ετός της τριβής Επειδή οι δυνάμεις, N ι w δεν δημιουργούν ροπή, το σημείο (Α) ρχιά ποτά μόνο τη μετφοριή επιτάχυνση του έντρου μάζς Άρ η σττιή τριβή έχει τεύθυνση προς τ πάνω Σελίδ πό 8 N φ (Α) y Τστ
3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ β Κτά την άθοδό του ο ύλινδρος υλίετι πργμτοποιώντς στροφιή ι μετφοριή ίνηση Ο θεμελιώδης νόμος γι τη μετφοριή ίνηση γράφετι ως εξής: Σ Μ Τστ M Mgημφ Τστ M () Ο θεμελιώδης νόμος γι τη στροφιή ίνηση γράφετι ως εξής: Στ(Κ) ( Κ) Τστ R MR Τστ M R () R Επειδή ο ύλινδρος υλίετι, ισχύει ότι (3) Τστ M Η σχέση () με τη βοήθει της σχέσης (3) γίνετι: (4) Με ντιτάστση της Τ στ στη σχέση () ι επίλυση ως προς πίρνουμε: 0 0kg 0N Mgημφ Mgημφ M + M s 3 3 M 0kg s γ Γι τ πρώτ 0 δευτερόλεπτ της ίνησής του, ο ύλινδρος τεβίνει υλιόμενος με στθερή μετφοριή επιτάχυνση, οπότε η μετφοριή τχύτητά του θ s δίνετι πό τη σχέση v t ι το διάστημ που θ δινύει θ δίνετι πό τη σχέση S t Έτσι, με ντιτάστση ι t s 0s πίρνουμε : v, 0/ s ι S 00 Από τη στιγμή που το μέτρο της δύνμης γίνετι 65Ν ισχύει, < με τη συνιστμένη των δυνάμεων στον άξον ίνησης ν έχει τεύθυνση ντίθετη της τχύτητς του έντρου μάζς, οπότε το έντρο μάζς του υλίνδρου επιβρδύνετι, με συνέπει ν τείνει v < ω R Αυτό έχει ως ποτέλεσμ το σημείο Α ν τείνει ν ινηθεί προς τ πάνω με συνέπει η σττιή τριβή ν λλάζει τεύθυνση ι ν έχει φορά προς τ άτω, όπως στο σχήμ N Τστ φ (Α) y δ Θ χρησιμοποιήσουμε το θεώρημ έργου-ενέργεις μετξύ των θέσεων (Β) ι στρ μετ στρ μετ Κ + Κ Κ(Β) Κ(Β) N + + + + (5) T Όμως: y στ - Κ Κ 0, φού ο ύλινδρος στη θέση στμτά στρ μετ Σελίδ 3 πό 8
- 3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ N y 0, φού οι δυνάμεις N ι y δεν πράγουν μετφοριό έργο ως άθετες στην μεττόπιση, λλά ούτε ι στροφιό έργο, φού δεν έχουν ροπή ως προς το έντρο μάζς - Το έργο της σττιής τριβής είνι μηδέν, Τ στ 0 - Το έργο της δύνμης είνι μόνο μετφοριό ι ισούτι με S 65 S (SI) (Β Γ) (Β Γ) - Το έργο της δύνμης είνι μόνο μετφοριό ι ισούτι με: gημφ S ( ) (Β Γ) 0 0 S SI 50 S ( SI ) Με ντιτάστση όλων των πρπάνω στη σχέση (5) πίρνουμε: 0 + 0 MR ω Mv 0 65 S + 50 S + 0 + 0 Πίρνοντς υπόψη ότι v ω R η τελευτί σχέση γίνετι: 3 Mv Mv 65 S + 50 S Mv 5S 4 3 3 S Mv (SI) 0 0 (SI) S 00 4 5 4 5 Θέση (Β) λλγής της δύνμης Θέση (Α) που φέθηε ελεύθερος Θέση στιγμιίς ινητοποίησης 00 00 Σελίδ 4 πό 8
3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΘΕΜΑ Δ Σύμφων με τον θεμελιώδη νόμο γι τη στροφιή ίνηση η ιή Στ(Κ) επιτάχυνση ισούτι με () (Κ) t0 A (K) Από τις δυνάμεις που σούντι στην ράβδο τη χρονιή στιγμή t0 0 η μονδιή δύνμη που προλεί ροπή είνι η δύνμη διότι ο φορές του βάρους διέρχετι πό τον άξον περιστροφής ι η ροπή του είνι μηδέν Έτσι γι τη χρονιή στιγμή t0 0 ισχύει Στ( Κ) L Η ροπή δράνεις της ράβδου ως προς (Κ) θ υπολογισθεί με το θεώρημ πράλληλων ξόνων (Steiner) : L L ρβ(κ) + ρβ(κ) + Μ ML Μ ή I ρβ( Κ ) ML 3 Αντιθιστώντς στη σχέση (), προύπτει 3 L 3 ML M L 0 rad π s 3 0 rad ι,5 π s ή β Θ εφρμόσουμε το θεώρημ έργου-ενέργεις μετξύ των θέσεων (Α) ι, ώστε ν υπολογίσουμε τη ιή τχύτητ της ράβδου ελάχιστ πριν συγρουσθεί με τη μάζ στρ στρ ML στρ Κ Κ(Α) + w ω Κ(Α) + + () 3 Όμως: στρ - Κ(Α) 0, διότι ω(α) 0 L 3L U U g Mg MgL π L 6 - w (Α Γ) (A) - (Α Γ) (K) Αντιθιστώντς στη σχέση (), προύπτει ML π ω( Γ) L MgL 3 6,5 kg () 0N π ω,5kg 0 3 π 6 s rad rad ω 34 30 s s ή ω rad/ s ή (Β) U0 (Α) Σελίδ 5 πό 8
3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ γ Γι την ρούση ισχύει η ρχή διτήρησης της στροφορμής, θώς οι σούμενες εξωτεριές δυνάμεις δεν προλούν ροπή L ολ(δ) L (3) ολ (Δ) Η στροφορμή L ολ του συστήμτος ράβδου-μάζς λίγο πριν τη σύγρουση της ράβδου με τη σημειή μάζ ισούτι με τη στροφορμή της ράβδου, διότι η σημειή μάζ είνι ίνητη Έτσι, Lολ Iρβ(Κ) ω (4) Η στροφορμή L ολ(δ) του συστήμτος ράβδου-μάζς μέσως μετά τη σύγρουση της ράβδου με τη σημειή μάζ θ ισούτι με Lολ(Δ) ολ(κ) ω (5) (K) (K) Όπου ολ(κ) ML L + 3 Με ντιτάστση των (4) ι (5) στη σχέση (3) προύπτει: ω + ω 3 3 ML ML L Αντιθιστώντς τις ριθμητιές τιμές προύπτει: + kg ω 3 s 3,5kg () rad,5kg () ή ω rad / s δ Η σημειή μάζ ετελεί μη ομλά μετβλλόμενη υλιή ίνηση με έντρο τον άξον περιστροφής Έτσι, ότν το σύστημ ράβδου-μάζς διέρχετι πό την οριζόντι θέση, το σώμ μάζς θ έχει εντρομόλο επιτάχυνση,, ι γρμμιή επιτάχυνση, γρ, τόρυφ προς τ άτω Η εντρομόλος επιτάχυνση της σημειής μάζς έχει διεύθυνση πάνω στη ράβδο, φορά προς τον άξον περιστροφής ι μέτρο ω (L / ) (6) (Δ) (K) U0 ρ (Ε) Θ εφρμόσουμε το θεώρημ έργου-ενέργεις μετξύ των θέσεων (Δ) ι (Ε) γι ν υπολογίσουμε τη ιή τχύτητ του συστήμτος ράβδου-μάζς ότν διέρχετι πό την οριζόντι θέση (Ε) Σελίδ 6 πό 8
3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ Κ Κ ω ω 3 3 στρ στρ ML L ML L (Ε) (Δ) + (Ε) + (Δ) L U U (M + )g 0 (8) Όμως (Δ) (Ε) Αντιθιστώντς στη σχέση (7) τη σχέση (8) ι άνοντς ριθμητιή ντιτάστση προύπτει: ( ),5kg + kg ω(ε) 3 ( ),5kg + kg (rad/ s) + (,5kg + kg) 0/ s 3, (7) πό όπου προύπτει ω 37 rad (9) s (Ε) 4 37 Με ντιτάστση στη σχέση (6) πίρνουμε: s Η γρμμιή επιτάχυνση της σημειής μάζς εξιτίς γρ της υλιής της ίνησης, θ είνι άθετη στη ράβδο με φορά προς τ άτω ι με μέτρο γρ L (0) (K) γρ To θ υπολογιστεί πό το θεμελιώδη νόμο της Μηχνιής γι τη στροφιή ίνηση Στ L L + ρ (Κ) () ολ(κ) ολ(κ) Η ροπή δράνεις του συστήμτος ράβδου-μάζς ως προς τον άξον περιστροφής ισούτι με ολ(κ) ML L + 3 ι η σχέση () γράφετι: L L Μ g + g ML L + 3 Με ριθμητιή ντιτάστση προύπτει: Σελίδ 7 πό 8
3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ,5kg 0/ s + kg 0/ s,5kg () + kg 3 ή 35 4 rad/ s Με ντιτάστση στη σχέση (0) πίρνουμε: 35 35 γρ rad/s γρ /s 4 4 Το μέτρο της συνολιής επιτάχυνσης της μάζς προύπτει πό το πυθγόρειο θεώρημ ι ισούτι με: 37 35 670 γρ + 0,5 s + 4 s 6 s s Σελίδ 8 πό 8