Λεοντσ ίνης Στέφανος Ηλεκτομαγνητισ μός η Σειά Ασ κήσ εων 3 Το ηλεκτικό πεδίο έχει τη μοφή φ σ ε ˆr άα φ σ ε rr Tο δυναμικό σ ε σ φαιικές σ υντεταγμένες φ r, θ Al + B l r l+] l cosθ Για να είναι πεπεασ μένο σ την αχή των αξόνων B l l Διαφοίζοντας την έχω φ r, θ la l l cosθ Πολλαπλασ ιάζοντας με l και ολοκληώνοντας σ το rr l+ l A σ cosθ l cosθ d cosθ l + ε l R άα A l Q cos 8πε R d l+ dx l+x l x] Άα A l Q 8πRε l cosθd cosθ Χησ ιμοποιώντας την 38 έχω l x l+ l+cosθ l cosθ] cos Q 8πRε l+ l+cos l cos] και σ υνεπώς το δυναμικό δίδεται απ το τύπο φ r, θ Q l+ r l+cos l cos] l R l+ l cosθ b 8πε l Λόγω σ υμμετίας το ηλεκτικό πεδίο σ την αχή των αξόνων θε πέπει να είναι παάλληλο με το z άξονα E r φ, σ το εσ ωτεικό της σ φαίας είναι rl και βλέπουμε πως μόνο ο l όος επιζεί Άα για r, θ c E r r, θ A R Q 8πε R 3 cos cos] Q 6πε R cos ] Qsin 6πε R Στην πείπτωσ η που η σ φαία γίνει πολύ μική,, ισ χύει cos, άα l cos l l l δ l, l Ετσ ι l+ cos l cos δ l, l+ l ], χησ ιμοποιώντας τώα τη σ χέσ η απ τον ποηγούμενο εώτημα, l x d l+ dx l+x l x], έχω l+ cos l cos δ l, l+ l δ l, l+ Αντικαθισ τώντας την έκφασ η αυτή σ τη σ χέσ η που βήκα σ το έχω φ όπου cosγ ˆrˆr, έχω φ Q 6πε R ẑ Q 4πε r > Q 6πε Q 4πε r > R l+ l cosθ Χησ ιμοποιώντας το r r R l+ l cosγ, l Q 6πε r Rẑ Χησ ιμοποιώντας το αποτέλεσ μα του b έχω E Στην πείπτωσ η που η σ φαία γίνει πολύ μεγάλη, π, θεωώ απ-β, όπου β η γωνία του νότιου πόλου Ομοίως με το l cos l cos π β l cosβ l + β l + β l Άα l+ cos l cos β l+ l ] l+ β l l+ β l Αντικαθισ τώντας την l
έκφασ η αυτή σ το αποτέλεσ μα του έχω φ r, θ Qβ 6πε l Qβ 6πε r +Rẑ Αντίσ τοιχα για το ηλεκτικό πεδίο E Qβ 6πε ẑr 35 l rl R l+ l cosθ Qβ 6πε l R l+ l cosθ Από το δεύτεο κεφάλαιο ξέω ότι η πώτη έκφασ η για το δυναμικό ποέχεται από τη G r, r r r r r Ετσ ι, θα ξεκινήσ ω απ τη σ υνάτησ η αυτή και θα αποδείξω τη δεύτεη Θα εκφάσ ω τη G x, x r r σ ε σ φαιικές σ υντεταγμένες G x, x 4π 4π l+ Y l l+ Y l θ, φ Y θ, φ θ, φ Y θ, φ παάγωγο της Grn σ το r Gr,r 4π r l 4π 4π l+ Y l Y l l+ Y θ, φ Y θ, φ θ, φ Y θ, φ Y l r l+ θ, φ Y θ, φ r l+ r l+ r r rl l+ Για να βω το δυναμικό πέπει να υπολογίσ ω την l + rl l rl l+ l+ r l + l l rl r l+ 4π Άα υπολογίζω το δυναμικό από τη σ χέσ η 36 φ r, θ, φ 4π φ θ, φ Gr,r r dω 4π φ θ, φ 4π φ θ, φ θ, φ Y θ, φ dω Y θ, φ r 36 Άα φ r, θ, φ l A r l Y θ, φ l l+ r l+ Y l Y l θ, φ Y θ, φ l + θ, φ Y θ, φ dω l φ θ, φ Y θ, φ dω Χησ ιμοποιώντας το ολοκλήωμα του ipschitz έχω J m k dk και k J m kd Άα kj m kj m k dkd Ισ χύει όμως Άα καταλήγω σ τη σ χέσ η δ kj m kj m k d b xg x, x 4π δ δ G x, x + φ φ δ z z και χησ ιμοποιώντας της ταυτότητα του, έχω im φ φ δ d kj m k J m k g m z, z dk Θα πέπει να είναι καλώς οισ μένη εντός και εκτός του κυλίνδου Η g m θα πέπει να σ υμπειφέεται σ ωσ τά σ το z και σ το z Άα g m z, z z z A k
3 dg m z,z G x, x c dgm z< Άα έχω x x + z,z 4π Άα g m z, z k kz> z< Ετσ ι η σ υνάτησ η Grn γίνεται z> J m k J m k φ φ im kz> z< dk J m k J m k im φ φ kz> z< dk Σε κυλινδικές σ υντεταγμένες μποούμε να γάψουμε x x Διαιώντας με + cosφ φ +z z το αποτέλεσ μα του b και παίνοντας το όιο για, φ και z, + lim lim J m k J m k φ φ im kz z dk Άα lim imφ φ + cosφ φ +z z φ lim m imφ imφ +z lim φ m im m lim im m φ J m k kz z dk Ολοκληώνοντας και τα δύο μέλη ως πος φ από έως έχω: lim +z lim im m φ dφ] m δ mm ] m J m k J m k kz z dk Αφού όμως J, +z Ξέω πως x x kz J k dk 5 + cosφ φ +z z + J m k J m k kz z dk + δ m J m k J m kz dk J k J kz dk J m k J m k im φ φ kz> z< 4 Αν αντικατασ τήσ ω το σ την 5 με R + cosφ θα έχω το x x με z και φ, δηλαδή την 4 με z και φ Εχω kz J k + cosφ dk + cosφ+z + kz imφ J m k J m k dk Άα, από τις πααπάνω εξισ ώσ εις έχω: d J k + cosφ Θεωώ την έκφασ η: kq t t + ikcosφ i iφ m Jm k 6 imφ J m k J m k t m J m k Αντικαθισ τώντας το t i iφ, καταλήγω σ το Από την 6 παίνω την έκφασ η ixcosφ imφ dφ Πολλαπλασ ιάζοντας την 6 με imφ, ολοκληώνοντας ως πος φ από έως J mx i m και διαιώντας με έχω: ikcosφ imφ dφ έχω ikcosφ imφ dφ J m x i m i m imφ imφ dφ ixcosφ imφ dφ, όπου x k J m k Αφού ισ χύει το i m δ mm J m k i m J m k Άα καταλήγω σ το im m φ dφ δ mm,
4 3 Από την εξίσ ωσ η της 37b και για έχω lim sinhk z >] sinhk lim k kz > kz > k lim K kz > k k k kz> Φ x 4πε G x, x σ x dα z, z για zz d d, d kd sinh kd kd kd kd kd C V σ d, Φ, d kd 4πε imφ imφ dφ σ J m k d J m k dk imφ dφ δ m άα Φ σ J k d J k dk 33 V < Φ > Άα 4πε C σ Φd σ d dk kd kd ε 4πε 4πε C σ Φd ε σ Φd " # σ d σ d σ d " # J kσ d " # σ d i Γάφω τη Grn με δ σ ε σ φαιικές σ υντεταγμένες G x, x 4πδ x x 4π δ δ φ φ δ z z + Χησ ιμοποιώντας τις ταυτότητες δφ φ imφ imφ και δ Jm x z + n Jm+ J m καταλήγω σ το G x, x 4 J n Jm+ m x imφ δ z z imφ J m G x, x imφ J m A z, z, φ και εφαμόζοντας τη λαπλασ ιανή n ] imφ J m G x, x m A z, z, φ Ξέω όμως πως n ] z m + J m Jm και άα G x, x d x ] A z, z, φ imφ J m Από και n d x ] g z, z δ z z, με g z, z J m+ Az,z,φ 4 imφ J Η σ υνάτησ η Grn για να σ υμπειφέεται σ ωσ τά σ το z, z, επειδή είναι σ υμμετική ως πος z και z και να είναι σ υνεχής σ το zz πέπει να έχει τη μοφή g x, x Csinh x z < sinh z > Ολοκληώνοντας τη g z, z από z -ε έως z +ε βίσ κω το C d g z, z zz +ε d g z, z zz ε Άα C x sinh Ετσ ι καταλήγω σ το G x, x 4 + n imφ imφ J m Jm x Για δυναμικό σ ημειακού φοτίου σ το x έχω x δ x x και φx, x 4πε V φx, x δ x x G x, x d 3 x 4πε G x, x Άα καταλήγω σ το + πε n imφ imφ J m Jm x sinh x Jm+ sinh z<sinh z> x Jm+ sinh 4πε x G x, x d 3 x V z<sinh z> sinh
5 ii Γάφω τη Grn με δ σ ε σ φαιικές σ υντεταγμένες G x, x 4πδ x x 4π δ δ φ φ δ z z + Χησ ιμοποιώντας τις ταυτότητες δφ φ imφ imφ και δ z z sin sin έχω G x, x G x, x n n 4 imφ sin d d d d nπ δ m ] A z, z, φ imφ sin + imφ sin n n imφ sin A z, z, φ Από τις πααπάνω εξισ ώσ εις έχω d d d d ] nπ m g, δ, g, Az,z,φ 4 imφ sin H g είναι σ υμμετική ως πος,, είναι σ υνεχής και εξαφανίζεται σ το Άα είναι της μοφής g, CI nπ m < I nπ m I m > nπ K m nπ K nπ m > ] Ολοκληώνοντας τη g, από -ε έως +ε βίσ κω το C d d g, d d g, +ε ε iii Άα έχω και με χήσ η της 347 C nπ I m nπ K m nπ I mxk mx I mxk nπ Km m x] x nπ και C Ετσ ι καταλήγω σ το I m nπ + G x, x 4 imφ imφ sin sin nπ < nπ nπ> I n m nπ Km nπ Km Για δυναμικό σ ημειακού φοτίου σ το x φx, x 4πε G x, x + Άα φx, x πε imφ imφ sin sin nπ < nπ nπ> I m nπ Km n Km nπ H εξίσ ωσ η + λ φ με τις σ υγκεκιμένες σ υνοιακές σ υνθήκες έχει το οθοκανονικό σ ύνολο ιδιοσ υνατήσ εων φ k imφ sin kπz J J m+x m Χησ ιμοποιώωντας τις διαφοικές Bssl φ k + φ + z φ k kπ m m φ k x x kπ φ k λ k φ k Η ιδιοτιμή λ k της ιδιοσ υνάτησ ης φ k είναι λ k x kπ Χησ ιμοποιώντας της 36 και για λ έχω G x, x 8 sin kπz Jm Jm «+ kπ Jm+ + imφ φ sin kπz nk Για δυναμικό σ ημειακού φοτίου σ το x έχω φx, x 4πε G x, x, άα + φ x, x imφ φ sin kπz sin kπz Jm «Jm + kπ Jm+ πε nk nπ> ] nπ> ] kπ m φ k +