ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α. Χωρίο από C και Ασύμπτωτή τη Πρόβημα (Πάγια- Οριζόντια Ασύμπτωτη) Να υποογιστεί το εμβαδόν Ε του "ανοιχτού" χωρίου Ω, που ορίζεται από τη γραφική παράσταση C μια συνεχού συνάρτηση, την ευθεία = β και την ασύμπτωτη τη C στο ή το -. Έστω = g η ασύμπτωτη τη στο. Επιέγουμε > β και βρίσκουμε το εμβαδόν Το όριο im E είναι το ζητούμενο εμβαδόν Ε. Έστω g η ασύμπτωτη τη C στο -. Επιέγουμε < β και βρίσκουμε το εμβαδόν Το όριο im E είναι το ζητούμενο εμβαδόν Ε. - Πρόβημα (Κατακόρυφη Ασύμπτωτη) Να υποογιστεί το εμβαδόν Ε του "ανοιχτού" χωρίου Ω, που ορίζεται από τη γραφική παράσταση C μια συνεχού συνάρτηση, τον άξονα Ά, την ευθεία = β και την κατακόρυφη ασύμπτωτη τη, = α. C ( ) = β E = -g Χd β ( ) E = -g Χd C (Ασκ.,,5,9) (Άσκ. 3) Αν α < β, επιέγουμε Ξ α,β και βρίσκουμε το εμβαδόν β ( ) E = Χd Το όριο im E είναι το ζητούμενο εμβαδόν Ε. α (Άσκ. 3) Αν α > β, επιέγουμε Ξ β,α και βρίσκουμε το εμβαδόν ( ) E = Χd Το όριο im E είναι το ζητούμενο εμβαδόν Ε. - α β 55
ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ Β Ασκήσει.i. Να υποογισθεί το εμβαδόν E του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση ( ) =, τον ημιάξονα Ο και τι ευθείε και, >. = = ii. Να υποογισθούν τα όρια im E, im E iii. Να δοθεί η γεωμετρική ερμηνεία των ορίων Λύση i. Το χωρίο περικείεται από τη C, τον θετικό ημιάξονα Ο και τι ευθείε =, = με >. Διακρίνουμε τι περιπτώσει Αν Αν < < είναι ι ω E( ) = Χ d = - = - κ ϊϋ = προφανώ είναι E( ) = E( ) (σχ. α) Αν > είναι ι ω E( ) = Χ d = - = - κ ϊϋ ii. Είναι ζ φ im E( ) = im η - = ηθ χψ ζ φ im E( ) = im η - = ηθ χψ iii. Το im E = είναι το όριο του εμβαδού του "ανοιχτού" χωρίου που περικείεται από τη C, την οριζόντια ασύμπτωτη τη C στο (άξονα Ά ) και την =. (σχ. β) Το im E ( ) περικείεται από τη = είναι το όριο του εμβαδού του "ανοιχτού" χωρίου που C (άξονα Ά ) και την =. (σχ. α), την κατακόρυφη ασύμπτωτη τη C E( ) (σχ. β) 55
ΚΕΦΑΛΑΙΟ *. Δίνεται η συνάρτηση ( ) =, Ξ. Να βρεθούν i. Οι ασύμπτωτε τη C ii. Το εμβαδόν E του χωρίου που ορίζεται από τη C, την ασύμπτωτη στο και τι ευθείε =, = με >. iii. Τα όρια im E, im E. iv. Να δοθεί η γεωμετρική ερμηνεία των ορίων Λύση Το πεδίο ορισμού τη είναι το * A = i. Κατακόρυφη ασύμπτωτη θα αναζητήσουμε στο ανοιχτό άκρο του πεδίου ορισμού δη. στο. ζ φ Είναι im ( ) = im η = = ηθ ψχ Αφού im =, η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη τη C. = Πάγιε-οριζόντιε ασύμπτωτε. Είναι ( ) = Ϋ ( ) -( ) = ή im ι ( ) ( ) ω im ± - ϋ = = ± Αφού im ι - ω =, από τον ορισμό τη ασύμπτωτη, η ευθεία ± ϋ = είναι πάγια ασύμπτωτη τη στο ±. την ασύμπτωτη C ii. Θέουμε να βρούμε το εμβαδόν E του χωρίου που ορίζεται από τη, Διακρίνουμε τι περιπτώσει = και τι ευθείε =, = με >. C α. Αν > είναι ι ω E( ) = ( ) -( ) Χ d = d d Χ = Χ = - = - κ ϊϋ β. Αν είναι = E = - Χ d = γ. Αν < < είναι ι ω E( ) = ( ) -( ) Χ d = d d Χ = Χ = - = - κ ϊϋ 55
ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ Β C C (ε) (ε) E( ) (σχ. α) (σχ. β) E( ) - - iii. Είναι iv. Το ζ φ ζ φ im E( ) = im - = και im E( ) = im - = η θ χψ ηθ χψ im E = είναι το όριο του εμβαδού του "ανοιχτού" χωρίου που ορίζεται από τη C, την πάγια ασύμπτωτη τη C στο και την =. (σχ. α) Το im E ( ) ασύμπτωτη τη C, = και την =. (σχ. β) = είναι το όριο του εμβαδού του"ανοιχτού" χωρίου που ορίζεται από τη C, την πάγια ασύμπτωτη τη C στο, την κατακόρυφη e 3. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = 3-5 e. i. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ε : = 3 είναι ασύμπτωτη τη στο- ii. Να βρεθεί το εμβαδόν E του χωρίου που ορίζεται από τη C, την ευθεία (ε), τον άξονα Ά και την ευθεία = με <. iii. Να βρεθεί το όριο im E - και να δοθεί η γεωμετρική ερμηνεία αυτού. iv. Αν το εαττώνεται με ρυθμό μον/sec, να βρεθεί ο ρυθμό μεταβοή του εμβαδού E τη χρονική στιγμή που είναι =-n 3. Λύση i. Αρκεί να αποδείξουμε ότι im ι ( ) ( 3 ) ω - - ϋ = ζ e φ Είναι im ι ( ) ( 3) ω im 3 3 - - ϋ = - - - - 5 e θη χψ ζ e φ = im - - = = η 5 e θ ψχ 5 Άρα, πράγματι η ευθεία = 3 είναι ασύμπτωτη τη C στο -. C 553
ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ Β Ζ. Χωρίο από κύκο, έειψη... Έστω χωρίο Ω, που περικείεται από καμπύη, η οποία δεν είναι συνάρτηση, π.χ. κύκο, έειψη, παραβοή = 4α. Για να υποογίσουμε το εμβαδόν του Ω, βρίσκουμε τι συναρτήσει που απαρτίζουν την καμπύη και εργαζόμαστε με αυτέ, όπω στι προηγούμενε περιπτώσει. Ασκήσει. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη παραβοή = 4α και την ευθεία = 3α. Λύση Από την εξίσωση τη παραβοή συνάρτηση = a. = 4α a προκύπτουν δύο συναρτήσει =, g = - a Επειδή η παραβοή έχει άξονα συμμετρία τον Ά αρκεί να εργασθούμε με την C C E E E 3α -3α E Είναι E = E E = E Διακρίνουμε τι περιπτώσει Αν a > είναι ( ) = a με ³ Το χωρίο περικείεται από τη C, τον άξονα Ά και τι ευθείε =, = 3 a, οπότε είναι 3a 3a E = E = a Χ d = Χ a Χ Χ d = 3a 4 a d 8a 3 = Χ Χ = 563
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη παραβοή = 4 και την ευθεία =. 3. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη παραβοή = και την ευθεία -4-5 =. ( ε ), ( ε ) = ( ε ), ( ε ) E = E E 33. Έστω δύο κάθετε ευθείε που διέρχονται από το O, και ορίζουν με την καμπύη δύο χωρία εμβαδών E, E αντίστοιχα. Να βρεθούν οι εξισώσει των, ώστε το εμβαδόν να γίνεται εάχιστο. 34. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την έειψη με β α. α β = < < 35. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική 4- παράσταση τη συνάρτηση ( ) = και τη ευθεία =-. 36. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την έειψη, και τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση g =, ³. 4 = ³ 37. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση = 3 και την έειψη 4 = ³,. 38. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τι παραβοέ = 9, = 4 και τι ευθείε =, = 3. 39. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τι γραφικέ παραστάσει των συναρτήσεων = 4-, g = 3 και τον άξονα Ά 4. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τον κύκο = και την έειψη. 4 = 574
ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ Β ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ομάδα Α 4. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική - 3 παράσταση τη συνάρτηση ( ) = τον άξονα Ά και τι ευθείε - = 3, = 6. 4. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τι γραφικέ παραστάσει των συναρτήσεων =- 3 και g = -. 43. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τι γραφικέ παραστάσει των συναρτήσεων 3 =, g = και την ευθεία =. 44. Να υποογισθεί το εμβαδόν Ε α του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση ( ) = 3 την ασύμπτωτη τη C στο και τι ευθείε =, = α με α >. Να υποογισθεί το όριο im Ε α. 45. Έστω = - και g = 4-. Αν E είναι το εμβαδόν που ορίζεται από τη C και τον Ά, E το εμβαδόν του ορίζεται από τι C,Cg E και τον Ά και ισχύει =, να βρεθεί ο θετικό. E 7 a Ομάδα Β 46. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική - παράσταση τη ( ) = τον άξονα Ά και τι ευθείε = 4, = 6. - - 3 47. Να υποογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση = -, την εφαπτομένη τη C στο σημείο A 3,5 και του άξονε Ά και Ά. 575