Φαινόμενο Doppler Για την κατανόηση του φαινομένου αυτού εισάγουμε τα παρακάτω σύμβολα και πρέπει να εξηγήσουμε τη σημασία τους. : πηγή ηχητικών κυμάτων : ανιχνευτής ηχητικών κυμάτων : συχνότητα ηχητικών κυμάτων που μετράει αυτός που βλέπει την πηγή ακίνητη : συχνότητα ηχητικών κυμάτων που μετράει ο ανιχνευτής Φαινόμενο Doppler είναι η διαφορά των συχνοτήτων που μετρούν οι παρατηρητές και : ταχύτητα της ηχητικής πηγής ως προς το έδαφος ή ως προς τον ακίνητο αέρα : ταχύτητα του ανιχνευτή ως προς το έδαφος ή ως προς τον ακίνητο αέρα : ταχύτητα ήχου ως προς τον ακίνητο αέρα Μήκος κύματος απόσταση δύο διαδοχικών μετώπων κύματος : μήκος κύματος όταν η πηγή είναι ακίνητη και αυτό μετρούν όλοι οι παρατηρητές : μήκος κύματος όταν η πηγή κινείται ως προς τον ακίνητο αέρα και είναι ίδιο για όλους τους παρατηρητές. Αν κάποιος π μετρήσει μήκος κύματος τότε όλοι οι παρατηρητές μετρούν. Όμοια αν κάποιος π μετρήσει σε μια περιοχή μήκος κύματος τότε όλοι οι παρατηρητές μετρούν σε εκείνη την περιοχή. Οι παρατηρητές και συμφωνούν μεταξύ τους όταν μετρούν το μήκος κύματος μπροστά από την πηγή. Επίσης συμφωνούν όταν μετρούν το μήκος κύματος πίσω από την πηγή. Μήκος Κύματος Α. Όταν η πηγή είναι ακίνητη το ηχητικό κύμα διαδίδεται ομοιόμορφα προς όλες τις κατευθύνσεις με ταχύτητα ως προς τον ακίνητο αέρα και ισχύει: Έστω ότι η σειρήνα εκπέμπει ήχο συχνότητας. Αν θεωρήσουμε δύο ακίνητους (ως προς τον ακίνητο αέρα) παρατηρητές, έναν δεξιά και έναν αριστερά της σειρήνας, και οι δύο παρατηρητές βλέπουν τον ήχο να διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα και μετρούν το ίδιο μήκος κύματος, Το ίδιο μήκος κύματος μετρά και ο π (μέσα στο όχημα). Β. Όταν η πηγή κινείται με ταχύτητα ως προς τον ακίνητο αέρα τότε μπροστά από το όχημα το μήκος κύματος είναι. Αν κάποιος π, ο ή ο, υπολογίσει το τότε αυτό θα μετράει κάθε π. Ας θεωρήσουμε τον παρατηρητή, ο οποίος παρατηρεί το κύμα μπροστά του και βλέπει τα μέτωπα κύματος συμπιεσμένα και έτσι μετράει που θα είναι μικρότερο του. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου για τον παρατηρητή είναι, Αυτό το μήκος κύματος θα μετρήσει και ο που παρατηρεί μπροστά από την πηγή οπότε: 1
Όταν αναφερόμαστε σε μήκος, δεν εμπλέκεται ο π αλλά μόνον η πηγή, έτσι έχει νόημα να μιλάμε για μήκος κύματος όταν η πηγή είναι ακίνητη και όταν η πηγή κινείται ως προς τον ακίνητο αέρα. Στο πίσω μέρος της πηγής το μήκος κύματος θα είναι ίδιο για όλους τους παρατηρητές. Έτσι ένας π που μετράει το μήκος κύματος πίσω από την πηγή βρίσκει: Συμπεράσματα Το φαινόμενο Doppler οφείλεται αποκλειστικά στις διαφορετικές ταχύτητες των παρατηρητών και, οι οποίες ουσιαστικά διαφοροποιούν την ταχύτητα διάδοσης των ηχητικών κυμάτων που αντιλαμβάνεται ο καθένας τους. Η διαφορετικότητα των ταχυτήτων των παρατηρητών είναι εκείνη που κάνει διαφορετικές τις συχνότητες που μετράνε και αντιλαμβάνονται οι διάφοροι παρατηρητές. Τα μήκη κύματος που μετρούν όμως είναι ίδια για όλους. Διάφορες Αποδείξεις των τύπων του φαινομένου Doppler Α. Ακίνητη Πηγή Κινούμενος Π Απόδειξη 1 Απόδειξη 2 Σχεδιάζουμε δύο διαδοχικά μέτωπα κύματος κάποια στιγμή που το ένα φτάνει στον παρατηρητή. Η απόσταση τους είναι : Μετά από κάποιο χρόνο ο π συναντάει το δεύτερο μέτωπο και ισχύει: Απόδειξη 3 Κάποια στιγμή ο π δέχεται κάποιο μέγιστο. Αν ήταν ακίνητος, τότε σε χρόνο όλα τα μέγιστα που βρίσκονται σε απόσταση που είναι: θα δεχόταν ακόμη 2
Τότε θα αντιλαμβανόταν συχνότητα ίση με Επειδή πλησιάζει προς την πηγή, στο χρόνο απόσταση που είναι, θα ακούει περισσότερα μέγιστα: Όλα όσα βρίσκονται σε Και αντιλαμβάνεται συχνότητα: Απόδειξη 4 Τη στιγμή η πηγή εκπέμπει το πρώτο μέγιστο. Τη στιγμή το πρώτο μέγιστο φτάνει στον παρατηρητή έχοντας διανύσει διάστημα, οπότε: Τη στιγμή η πηγή εκπέμπει το δεύτερο μέγιστο. Το δεύτερο μέγιστο συναντά τον παρατηρητή τη στιγμή, έχοντας διανύσει διάστημα Χρονική διάρκεια που αντιλαμβάνονται τον ήχο οι παρατηρητές και Ο π εκπέμπει: πρώτο μέγιστο τη στιγμή τελευταίο μέγιστο τη στιγμή Ο π : Το πρώτο μέγιστο φτάνει στον τη στιγμή έχοντας διανύσει κάποια απόσταση, οπότε. Το τελευταίο μέγιστο φτάνει στον τη στιγμή. Στο χρόνο ο έχει προχωρήσει κατά. Έτσι, το τελευταίο μέγιστο ώσπου να φτάσει στον έχει διανύσει απόσταση. Άρα: 3
Β. Κινούμενη Πηγή Ακίνητος Π Απόδειξη 1 Οι παρατηρητές και παρατηρούν το κύμα στο μπροστινό μέρος της πηγής και μετρούν το ίδιο μήκος κύματος Απόδειξη 2 Από το σχήμα Και ο π μετράει το ίδιο μήκος κύματος με τον στην ίδια περιοχή Απόδειξη 3 Έστω ότι η πηγή κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα με ταχύτητα. Μπροστά από την πηγή, τα μέτωπα πυκνώνουν, ενώ αραιώνουν όπισθεν της πηγής. Έστω ότι οι παρατηρητές και παρατηρούν τα ηχητικά κύματα μπροστά από την πηγή. ( ηγή και ήχος ταξιδεύουν προς τη θετική κατεύθυνση) Π Για η πηγή εκπέμπει το πρώτο μέγιστο το οποίο ο π το βλέπει στην θέση του δικού του συστήματος αναφοράς. Τη στιγμή η πηγή εκπέμπει το δεύτερο μέγιστο από τη θέση Τη στιγμή το πρώτο μέγιστο βρίσκεται στη θέση 4
Η απόσταση των δύο διαδοχικών μεγίστων είναι το μήκος κύματος. Π Ο π τη στιγμή εκπέμπει το πρώτο μέγιστο στη θέση του δικού του συστήματος αναφοράς. Μετά από χρόνο εκπέμπει το δεύτερο μέγιστο και πάλι στη θέση του δικού του συστήματος αναφοράς. Τη στιγμή το πρώτο μέγιστο βρίσκεται στη θέση. Η απόσταση των δύο μεγίστων είναι ίση με το μήκος κύματος, Απόδειξη 4 Τη στιγμή η πηγή βρίσκεται σε απόσταση από τον και εκπέμπει το πρώτο μέγιστο. Ο αντιλαμβάνεται το πρώτο μέγιστο τη στιγμή. Τη στιγμή η πηγή εκπέμπει το δεύτερο μέγιστο και έτσι βρίσκεται σε απόσταση από τον,. Ο αντιλαμβάνεται το δεύτερο μέγιστο τη στιγμή: 5