Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός) Ανάδειξη στερεών και ονοματολογία αυτών κατασκευή σχεδιασμός μέτρηση μονάδες μέτρησης - γεωμετρικά στερεά - πλατωνικά στερεά στερεά εκ περιστροφής - υπολογισμός εμβαδού και όγκου αυτών. Γνωστικοί στόχοι Να είναι ικανοί οι εκπαιδευόμενοι να αναγνωρίζουν και να ονομάζουν τα στερεά στον περιβάλλοντα χώρο Να μπορούν να σχεδιάζουν στοιχειωδώς το κάθε στερεό. Να αντιληφθούν την έννοια του χώρου Να δύνανται να κάνουν μετρήσεις χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες μονάδες και τα κατάλληλα εργαλεία μέτρησης σε κάθε περίπτωση. Να μπορούν να μετατρέπουν και να συσχετίζουν τις μονάδες διαφορετικών συστημάτων μέτρησης Να υπολογίζουν το εμβαδόν και τον όγκο των βασικών στερεών Να εφαρμόζουν και να προσαρμόζουν τους κατάλληλους τύπους εμβαδού και όγκου, σε κάθε περίπτωση που προκύπτει στη ζωή τους Να εφαρμόζουν τη γεωμετρία σε εμπειρικές καταστάσεις και να τη χρησιμοποιούν για να αναλύουν και να περιγράφουν περιπτώσεις της τέχνης και της επιστήμης που σχετίζονται με αυτή. Μεταγνωστικοί στόχοι Να είναι ικανοί οι εκπαιδευόμενοι να χρησιμοποιούν τις γνώσεις τους στον επαγγελματικό τους χώρο Να αξιοποιούν τις γνώσεις τους στην καθημερινή τους ζωή Να αντιλαμβάνονται καλύτερα τον περιβάλλοντα χώρο. Διάρκεια: 20 διδακτικές ώρες 1

Μεθοδολογία Διδασκαλία σε ομάδες. Τα φύλλα εργασίας συμπληρώνονται κύρια κατά ομάδες. Έρευνα πεδίου. Εξορμήσεις στην πόλη (αγορά, πλατεία, αρχαιολογικό χώρο) για ανίχνευση και ανάδειξη των στερεών στον περιβάλλοντα χώρο. Κατασκευαστική μέθοδος. Δημιουργία των τύπων εμβαδού και όγκου των υπόλοιπων βασικών στερεών από τους τύπους του πρίσματος. Συνδυασμός διερευνητικής μεθόδου και καθοδηγούμενης ανακάλυψης. Επίλυση προβλήματος. Προαπαιτούμενες γνώσεις Οι εκπαιδευόμενοι να έχουν διδαχθεί το πυθαγόρειο θεώρημα, τα γεωμετρικά σχήματα και τα εμβαδά τους, τις μονάδες μήκους και επιφάνειας (μετατροπές), να ξέρουν να επιλύουν βασικές εξισώσεις, δυνάμεις και προφανώς να ξέρουν να κάνουν τις βασικές πράξεις. Πορεία διδασκαλίας 1. Ανίχνευση γεωμετρικών σχημάτων και στερεών στην αίθουσα, στο σχολείο, έξω στην πόλη. (φ.εργ.1) 2. Αναγνώριση και ονοματολογία γεωμ. σχημάτων και στερεών (φ. εργ. 2 και 3) 3. Παρουσίαση γεωμετρικών και πλατωνικών στερεών από την εκπαιδευτικό του οπτικού γραμματισμού. 4. Ανάπτυγμα στερεών (φ. εργ.4) 5. Κατασκευή γεωμ. στερεών από χαρτόνι με τη συνεργασία της εκπαιδευτικού του οπτικού γραμματισμού. 6. Υπολογισμός εμβαδού ολικής και παράπλευρης επιφάνειας κύβου και παραλληλεπιπέδου εμπειρικά (αθροίζοντας τις έδρες τους) (φ. εργ. 5). 7. Σχεδιασμός γεωμετρικών στερεών. Η απόδοσή τους στη δισδιάστατη επιφάνεια (προοπτική), με τη βοήθεια της εκπαιδευτικού του οπτικού γραμματισμού. 8. Εύρεση τύπων εμβαδού ολικής, παράπλευρης επιφάνειας και όγκου πρίσματος. Προβλήματα. (φ. εργ. 6) 9. Επανάληψη των μονάδων μήκους, επιφάνειας και όγκου, μετατροπές (επισήμανση για το λίτρο). 10. Σχεδιασμός και αρχιτεκτονική αποτύπωση (οπτικός γραμματισμός) (Εφαρμογή: κόμικς Αστερίξ και Κλεοπάτρα) 2

11. Πυραμίδα. Εμβαδόν ολικής και παράπλευρης επιφάνειας αυτής εμπειρικά και εύρεση τύπων αυτών από τους αντίστοιχους τύπους του πρίσματος. Προβλήματα (φ. εργ. 7) 12. Στερεά εκ περιστροφής. Παρουσίαση από την εκπαιδευτικό του οπτικού γραμματισμού 13. Εύρεση τύπων εμβαδού ολικής, παράπλευρης επιφάνειας και όγκου κυλίνδρου από τους αντίστοιχους τύπους του πρίσματος. Προβλήματα. (φ. εργ. 8) 14. Εύρεση τύπων εμβαδού ολικής, παράπλευρης επιφάνειας και όγκου κώνου από τους αντίστοιχους τύπους του κυλίνδρου. Προβλήματα. (φ. εργ. 9) 15. Σφαίρα. Τύποι εμβαδού και όγκου. Προβλήματα (φ.εργ.10) (2 δ. ώ) 16. Σχεδιασμός στερεών με φωτοσκίαση (απόδοση όγκου), (οπτικός γραμματισμός) 17. Προβλήματα επανάληψης (φ. εργ 11, 12) (2 δ. ώ) 18. Φιλοσοφία για τα μαθηματικά - Σωκρατικοί διάλογοι Διδακτικό υλικό Γεωμετρικά όργανα, κομπιουτεράκι, χαρτί, χαρτόνι, ψαλιδάκι, κολλητική ταινία, μέτρο, φύλλα εργασίας. Βιβλιογραφία Μαθηματικά, Β Γυμνασίου, ΟΕΔΒ Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Λυκείου, ΟΕΔΒ Μαθηματικά, Τεχνικά Επαγγελματικά Εκπαιδευτήρια, Β Τάξη 1 ου Κύκλου, ΟΕΔΒ Προδιαγραφές Σπουδών για τα ΣΔΕ, Αθήνα 2003 Δραστηριότητες Επίσκεψη σε αρχαιολογικό χώρο, για ανίχνευση και ονοματολογία στερεών. Περίπατος στην πόλη για αναγνώριση στερεών σε κτίρια, μνημεία, κάδους απορριμάτων, στύλους κ.λ.π. Πρόχειρη εκτίμηση για την επιφάνειά τους και τον όγκο τους. Καταμέτρηση της αίθουσας και του σχολείου και υπολογισμός της επιφάνειάς του για βάψιμο κ.λ.π. Σχεδιασμός στερεών οπτικός γραμματισμός Κατασκευή στερεών από τα αναπτύγματά τους με χαρτόνι Χρήση Η/Υ για φωτοσκίαση στερεών Project για τις πυραμίδες. 3

Παρατηρήσεις Σχόλια Όλη η μαθησιακή διαδικασία κράτησε το ενδιαφέρον των εκπαιδευόμενων. Είναι σημαντικό να αναφέρουμε, ότι η αρχική τους γνώμη για το είδος στερεού ήταν: όλα είναι «τετράγωνα» και «μακρουλά» ή «κύβοι» και «μακρόστενα». Θετικότατες ήταν οι εξορμήσεις στην πόλη για την ανάδειξη αναγνώριση γεωμετρικών στερεών και η πρόχειρη εκτίμηση για την επιφάνεια και τον όγκο τους. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον προκάλεσαν τα προβλήματα καθημερινής ζωής (βαρέλι πετρελαίου, ενυδρείο, σκηνή διακοπών, βάψιμο σπιτιού κ.λ.π.) και ο συλλογικός τρόπος επίλυσής τους κατά ομάδες. Πρέπει να αναφερθεί ότι παρατηρήθηκε δυσκολία στην επιλογή και εφαρμογή του κατάλληλου τύπου (είχαν το σχετικό τυπολόγιο σαν εργαλείο). Χρειάστηκε να επιμείνουμε ιδιαίτερα στο διαχωρισμό της έννοιας της περιμέτρου από την έννοια του εμβαδού. Μεγάλη δυσκολία παρατηρήθηκε στην κατανόηση της διαφορετικότητας της έννοιας της χωρητικότητας και του βάρους του περιεχομένου. (Άλλο τα λίτρα και άλλο τα κιλά). Η συμβολή του οπτικού γραμματισμού βοήθησε πάρα πολύ στην κατανόηση του χώρου, στην αποτύπωση των στερεών στο επίπεδο, στη σύνδεση της στερεομετρίας με την τέχνη και στον εμπλουτισμό αρχαίων φιλοσοφικών στοιχείων. Η ενότητα θα ήταν πιο ολοκληρωμένη, αν υπήρχε συνεργασία και με τον πληροφορικό γραμματισμό, αλλά για τεχνικούς λόγους δεν ήταν εφικτή αυτή η συνεργασία τη συγκεκριμένη περίοδο. 4

Οι γνώσεις που έπρεπε να είχαν οι εκπαιδευόμενοι μέχρι τότε (προϋπάρχουσες γνώσεις) Γεωμετρία Βασικοί ορισμοί Σημείο: το ελαχιστότατο μέρος του χώρου Ευθύγραμμο τμήμα: ένα τεντωμένο νήμα έχει το σχήμα ευθύγραμμου τμήματος. Οι πλευρές ενός σχήματος (τετραγώνου, τριγώνου κ.λ.π.) είναι ευθύγραμμα τμήματα. Έχει δύο άκρα, αρχή και τέλος, τα οποία ονομάζουμε με κεφαλαία γράμματα. Π.χ. ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Ευθεία: αν προεκτείνουμε (απεριόριστα) ένα ευθύγραμμο τμήμα προς τα δύο άκρα του προκύπτει μια ευθεία (δεν έχει αρχή και τέλος). Την ονομάζουμε με ένα μικρό γράμμα. Π.χ. «η ευθεία ε» Ημιευθεία: αν προεκτείνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μόνο προς το ένα άκρο του προκύπτει μια ημιευθεία. Έχει αρχή και δεν έχει τέλος. Αντικείμενες ημιευθείες: ονομάζονται δύο ημιευθείες που έχουν κοινή αρχή και βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Μέσο ευθυγράμμου τμήματος: το σημείο που χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα σε δύο ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Θέσεις δύο ευθειών: α) τέμνονται, η τομή είναι ένα σημείο, οι ευθείες λέγονται τεμνόμενες (κάθετες ή πλάγιες), β) είναι παράλληλες, κανένα κοινό σημείο (βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο) γ) ασύμβατες, κανένα κοινό σημείο (βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα). Κύκλος : είναι το σύνολο των σημείων που το καθένα απέχει από ένα σημείο Ο σταθερή απόσταση. Το Ο λέγεται κέντρο του κύκλου, η απόσταση κάθε σημείου από το κέντρο λέγεται ακτίνα του κύκλου. Χορδή: λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία του κύκλου. Διάμετρος: λέγεται η χορδή που περνάει από το κέντρο του κύκλου και είναι ίση με δύο ακτίνες. Τόξο: το μέρος του κύκλου που περιέχεται μεταξύ δύο σημείων. Κυκλικός τομέας: το μέρος του κύκλου που περιέχεται μεταξύ δύο ακτίνων. Κυκλικό τμήμα: το μέρος του κύκλου που περιέχεται μεταξύ μιας χορδής και ενός τόξου. Θέσεις ευθείας και κύκλου: α) η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία (τέμνουσα), β) η ευθεία εφάπτεται του κύκλου, (εφαπτομένη ), 5

έχει ένα κοινό σημείο, που λέγεται σημείο επαφής, γ) η ευθεία είναι έξω από τον κύκλο, δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Θέσεις δύο κύκλων: α) να τέμνονται, έχουν δύο κοινά σημεία (μια κοινή χορδή), β) να εφάπτονται, ένα κοινό σημείο, που λέγεται σημείο επαφής, γ) να είναι ξένοι, να μην έχουν κανένα κοινό σημείο. Είδη γωνιών Ορθή (90 ο ), οξεία (μικρότερη από 90 ο ), αμβλεία (μεγαλύτερη από 90 ο ), ευθεία γωνία(180 ο ), πλήρης γωνία (360 ο ) Εφεξής : δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή, μια κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο. Παραπληρωματικές: δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180 ο Συμπληρωματικές : δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 90 ο Κατά κορυφή: δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές της μιας είναι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης (σχηματίζουν χ). Είδη τριγώνων Ισόπλευρο: έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες (και όλες τις γωνίες ίσες) Ισοσκελές: έχει δύο ίσες πλευρές (τις δύο γωνίες ίσες) Σκαληνό: όλες τις πλευρές άνισες (όλες τις γωνίες άνισες) Ορθογώνιο: έχει μια ορθή γωνία και τις άλλες οξείες Αμβλυγώνιο: μια αμβλεία και τις άλλες οξείες Οξυγώνιο: όλες τις γωνίες οξείες Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 ο Είδη τετραπλεύρων Τραπέζιο: ένα τετράπλευρο του οποίου δύο πλευρές είναι παράλληλες Οι παράλληλες πλευρές λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Η απόσταση μεταξύ των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Όταν οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες τότε το τραπέζιο λέγεται ισοσκελές. Παραλληλόγραμμο: το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Κάθε πλευρά μπορεί να ονομαστεί βάση του παραλληλογράμμου. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά λέγεται ύψος. Όταν ένα παραλληλόγραμμο έχει όλες τις γωνίες του ορθές ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Ρόμβος: ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Τετράγωνο: ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές και τις πλευρές του ίσες. 6

Ιδιότητες του παραλληλογράμμου Κάθε διαγώνιος το χωρίζει σε δύο ίσα μέρη Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες Οι διαγώνιες διχοτομούνται 7

Φύλλο εργασίας 1: Ανίχνευση σχημάτων και στερεών στο χώρο 1. Καταγράψτε αντικείμενα από τον χώρο της αίθουσας μαθήματος, που εμπεριέχουν συγκεκριμένα γεωμετρικά σχήματα και στερεά και προσδιορίστε το είδος τους. Α/α αντικείμενο ονομασία γεωμετρικού σχήματος ή στερεού 1 πίνακας Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σχέδιο 2. Παρατηρείστε στο χώρο γύρω σας (πάρκο, πλατεία, δρόμος, αυλή), ανιχνεύστε γεωμετρικά σχήματα και στερεά και σημειώστε τα στον πίνακα που ακολουθεί: Α/α αντικείμενο 1 Στύλος της ΔΕΗ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Είδος γεωμετρικού σχήματος ή στερεού κύλινδρος Σχέδιο σχήματος ή στερεού 8

Φύλλο εργασίας 2: Γεωμετρικά σχήματα Αναγνωρίστε και σημειώστε το είδος σε κάθε ένα από τα σχήματα που ακολουθούν: 1. 2... 3. 4. 5.. 6. 7. 8. 9. 10..... 9

Φύλλο εργασίας 3: Στερεά Αναγνωρίστε και σημειώστε το είδος σε κάθε ένα από τα στερεά που ακολουθούν: 1. 2... 3. 4. 5.. 6. 7. 8. 10. 10..... 10

Φύλλο εργασίας 4: Αναπτύγματα στερεών Μελετείστε τα αναπτύγματα που ακολουθούν, αναγνωρίστε το είδος του στερεού που σχηματίζουν και σχεδιάστε δίπλα το αντίστοιχο στερεό. Στη συνέχεια, προσπαθήστε να κατασκευάσετε τα αντίστοιχα στερεά. 1. 2. 3. 4. 11

5. 6. 7 12

Φύλλο εργασίας 5: Βάψιμο του σχολείου 1. Πρόκειται να βάψουμε τη σχολική αίθουσα. Να υπολογίσετε πόσα κιλά μπογιά θα χρειαστούμε, αν είναι γνωστό ότι 1 κιλό μπογιάς καλύπτει 10 m 2 τοίχου περίπου. Πόσα χρήματα θα κοστίσει η μπογιά, όταν το 1 κιλό χρεώνεται 2,5 ευρώ; 2. Να υπολογίσετε τα αντίστοιχα για τους κοινόχρηστους εσωτερικούς χώρους του σχολείου (διαδρόμους, κλιμακοστάσιο κ.λ.π.) 3. Αν αποφασίσουμε να βάψουμε όλο το σχολείο εσωτερικά, μπορείτε να εκτιμήσετε πόσα κιλά μπογιάς και πόσα χρήματα θα χρειαστούμε; 13

Φύλλο εργασίας 6: Πρίσμα Θέλουμε να κατασκευάσουμε μια αποθηκούλα με διαστάσεις 2χ3 m και ύψος 2,5 m. Πόσα m 2 λαμαρίνας θα χρειαστούμε συνολικά, αν δε βάλλουμε δάπεδο; Πόσα χρήματα θα κοστίσει αν το ένα m 2 στοιχίζει 8 ευρώ; Έχουμε μια στέρνα για την αποθήκευση βρόχινου νερού. Έχει μήκος 6m, πλάτος 4m και βάθος 2m. Πόσα λίτρα νερού μπορούμε να αποθηκεύσουμε; Αν θέλουμε να καλύψουμε τα τοιχώματά της με τετράγωνα πλακάκια πλευράς 20 cm, πόσα πλακάκια θα χρειαστούμε; Πόσο θα στοιχίσει συνολικά αν το κάθε ένα κοστίζει 0,35 ευρώ; Ένας αποθηκευτικός χώρος για νοσοκομειακά απόβλητα έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και είναι κατασκευασμένος από μέταλλο. Έχει διαστάσεις 11 m, 9 m και 7 m. Να υπολογίσετε το βάρος του (σε τόνους) αν το 1 m 3 μετάλλου ζυγίζει 200 κιλά. Πόση είναι η χωρητικότητα αυτού του αποθηκευτικού χώρου; 14

Λίτρο και μάζα Στον μπακάλη υπάρχουν 2 συσκευασίες λαδιού. Στη μία γράφει 1 λίτρο και τιμή 4,20 ευρώ, ενώ στην άλλη 1 κιλό και τιμή 4,40 ευρώ. Ποια συσκευασία είναι η πιο οικονομική; Μπορείτε να δικαιολογήσετε την απάντησή σας; Ένα βαρέλι πετρελαίου 1 τόνου, πετρελαίου. Πώς εξηγείται αυτό; χωράει 1190 περίπου λίτρα Ένας χυμός φυσικός 1 λίτρου ζυγίζει 1100 gr. Ισχύει το ίδιο και για το νερό; Μια κυρία ζυγίζει 60 κιλά. Μια άλλη κυρία εμφανώς πιο εύσωμη από την πρώτη ζυγίζει πάλι 60 κιλά. Πώς εξηγείται αυτό; Ένα λίτρο σιταριού ζυγίζει 1,550 κιλά. Μπορείτε να παρατηρήσετε το αντίστοιχο και για άλλα είδη; 15

Φύλλο εργασίας 7: Πυραμίδα Έχουμε ένα περίπτερο με διαστάσεις 1,60 χ 1,60 m και ύψος 2 m. Αν η στέγη του έχει μορφή πυραμίδας και ύψος 60 cm, να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια του περιπτέρου, αφού προσδιορίσετε πρώτα τα είδη στερεών που το συνθέτουν. Έχουμε μια ινδιάνικη σκηνή για τις διακοπές μας σε σχήμα κανονικής πυραμίδας. Το δάπεδό της έχει διαστάσεις 6 χ 6 m και το ύψος της είναι 4 m. Πόσα m 2 τέντας θα χρειαστούμε για να την καλύψουμε, ώστε να έχουμε περισσότερη δροσιά; Μπορείτε να υπολογίσετε τη χωρητικότητά της; Η στέγη ενός σπιτιού, που έχει διαστάσεις 8 χ 8 m, έχει σχήμα κανονικής πυραμίδας. Το ύψος της στέγης είναι 3 m. Πόσα κεραμίδια θα χρειαστούμε για να σκεπάσουμε τη στέγη, αν κάθε κεραμίδι είναι τετράγωνο με πλευρά 40 cm; Πόσο θα μας κοστίσει αν κάθε κεραμίδι χρεώνεται 0,55 ευρώ; 16

Φύλλο εργασίας 8: Κύλινδρος Υπάρχει ένας κυλινδρικός ανεμόμυλος που έχει διάμετρο 10 m και ύψος 15 m. Θέλουμε να τον επισκευάσουμε εξωτερικά για να τον χρησιμοποιήσουμε για μουσείο. Για το κάθε τετραγωνικό μέτρο μας ζητάνε 150 ευρώ. Πόσο θα κοστίσει συνολικά; Μπορείτε να υπολογίσετε τη χωρητικότητά του; Αν υποθέσουμε ότι ο Λευκός Πύργος πρέπει να ξαναγίνει λευκός, μπορούμε να εκτιμήσουμε το κόστος; Κάντε μια πρόχειρη εκτίμηση και για τη χωρητικότητά του. Ποια άλλα κτίρια στην πόλη μας έχουν σχήμα κυλινδρικό; Κάντε μια προεκτίμηση για την επιφάνεια και τον όγκο τους. Έχουμε μια κυλινδρική δεξαμενή διαμέτρου 30 m και ύψους 10 m. Το πετρέλαιο που έχει μέσα φτάνει σε ύψος 4m. Να βρεθεί πόσα κιλά πετρελαίου έχει μέσα η δεξαμενή αν είναι γνωστό ότι το ειδικό βάρος του πετρελαίου είναι 0,84. Πόσοι τόνοι πετρελαίου πρέπει να προστεθούν στη δεξαμενή για να γεμίσει; 17

Φύλλο εργασίας 9: κώνος Έχουμε ένα σιλό (κώνος) διαμέτρου 12m και ύψους 8m. Θέλουμε να αποθηκεύσουμε σιτάρι, γι αυτό πρέπει να το καλύψουμε με μια τέντα να το προφυλάξουμε από τον ήλιο. Πόσα m 2 τέντας θα χρειαστούμε; Πόσους τόνους σιτάρι χωράει, αν το 1 m 3 σιταριού ζυγίζει 1550 κιλά; Ένα κωνικό ηχείο έχει ύψος 15 cm και γενέτειρα 17 cm. Να υπολογίσετε την επιφάνεια του υλικού που χρειάζεται για να κατασκευαστεί. Πόσος είναι ο όγκος του; Αγοράζουμε ένα παγωτό «πύραυλο». Αν η διάμετρός του είναι 6 cm και το μήκος της πλευράς του (λ) 5 cm, πόσα λίτρα παγωτού περιέχει; Αν θέλουμε να το τυλίξουμε σε αλουμινόχαρτο πόσα cm 2 αλουμινόχαρτου θα χρειαστούμε; 18

Φύλλο εργασίας 10: Σφαίρα 1. Ο ισημερινός της γης (αν τη θεωρήσουμε τέλεια σφαίρα) είναι 40.000 Km περίπου. Να υπολογίσετε: α) την ακτίνα της γης β) την επιφάνειά της και γ) τον όγκο της 2. Η ακτίνα της γης είναι 6.370 Km περίπου, ενώ η ακτίνα του ήλιου είναι 696.000 Km περίπου. Δηλαδή η ακτίνα του ήλιου είναι 696.000 /6.370 = 109 φορές μεγαλύτερη από την ακτίνα της γης. Να υπολογίσετε: α) πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η επιφάνεια του ήλιου από την επιφάνεια της γης και β) πόσες φορές μεγαλύτερος είναι ο όγκος του ήλιου από τον όγκο της γης. 3. Ένας σφαιρικός θάλαμος για την αποθήκευση αερίου, έχει διάμετρο 25 m. Να υπολογίσετε: α) την επιφάνειά του β) τον όγκο του και γ) αν ένας θάλαμος σε σχήμα κύβου με την ίδια επιφάνεια έχει λιγότερο ή περισσότερο όγκο; 4. Μια υδρόγειος σφαίρα συσκευάζεται έτσι, ώστε να χωράει ακριβώς σε ένα κυβικό κιβώτιο που έχει πλευρά 48 cm. Να υπολογίσετε: α) την ακτίνα της σφαίρας και β) το χώρο του κιβωτίου που μένει άδειος. 19

Φύλλο εργασίας 11: Προβλήματα 1. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα ενυδρείο με διαστάσεις 50Χ30cm και ύψος 40 cm. Να υπολογίσετε : α) πόσα m 2 τζάμι θα χρειαστούμε συνολικά και β) πόσα λίτρα νερό θα χωρέσει, αν το γεμίσουμε, αφήνοντας κενό 5 cm 2. Έχουμε μια κυλινδρική δεξαμενή διαμέτρου 80 cm και μήκους 1,20 m. Να υπολογίσετε α) πόσα m 2 πλαστικού θα χρειαστούμε για να την καλύψουμε ολόκληρη και β) πόσα χρήματα θα χρειαστούμε για να τη γεμίσουμε με πετρέλαιο, αν γνωρίζουμε ότι το ένα λίτρο πετρελαίου κοστίζει 0,45 ευρώ. 3. Ένα κωνικό «σφηνάκι» έχει διάμετρο 12 cm και ύψος 8 cm. Να υπολογίσετε : α) πόσα λίτρα ποτού χωράει β) πόσα m 2 γυαλί χρειάζονται για να κατασκευάσουμε μια 12-άδα και γ) αν το ποτό περιέχει 12% αλκοόλ (vol), πόσο καθαρό οινόπνευμα θα πιούμε από ένα σφηνάκι; 20

Φύλλο εργασίας 12: Πυραμίδα του Χέοπα Η πυραμίδα του Χέοπα, που έχτισαν οι Αιγύπτιοι το 3000 π.χ., έχει βάση τετράγωνο με πλευρά 233 m και ύψος 146m. Να υπολογίσετε: α) τον όγκο της πυραμίδας, β) την επιφάνεια της πυραμίδας. γ) αν γνωρίζουμε ότι οι εσωτερικοί χώροι αυτής με τις αίθουσες των νεκρών καταλαμβάνουν το ένα χιλιοστό του όγκου της, να υπολογίσετε τον όγκο της πέτρας που χρειάστηκε για την κατασκευή της πυραμίδας. δ) πόσους τόνους ζυγίζει η πυραμίδα αν είναι γνωστό ότι το ένα m 3 πέτρα ζυγίζει 2 t (τόνος); 21

Τυπολόγιο: Εμβαδά και όγκοι Εμβαδόν τετραγώνου = α 2 Εμβαδόν παραλληλογράμμου = β υ Εμβαδόν τριγώνου = ½ β υ Εμβαδόν τραπεζίου = ½ (Β+β) υ Εμβαδόν κύκλου = π ρ 2 Περίμετρος κύκλου = 2 π ρ Εμβαδόν κυκλικό τομέα = π ρ 2 μ / 360 ο Μήκος τόξου = π ρ μ / 180 ο Εμβαδόν ολικής επιφάνειας πρίσματος = Ε παράπλευρης επιφάνειας + 2 Ε βάσης Ε παράπλευρης επιφάνειας = περίμετρος βάσης υ Όγκος πρίσματος = Ε βάσης υ Εμβαδόν ολικής επιφ. κυλίνδρου = 2π ρ υ + 2 πρ 2 Όγκος κυλίνδρου = π ρ 2 υ Εμβαδόν ολικής επιφ. πυραμίδας= ½ (περίμετρος βάσης ) h + Ε βάσης (όπου h το παράπλευρο ύψος) Όγκος πυραμίδας = 1/3 Ε βάσης ύψος Εμβαδόν ολικής επιφ. κώνου = πρλ +πρ 2 ( όπου λ η γενέτειρα) Όγκος κώνου =1/3 πρ 2 υ Εμβαδόν σφαίρας = 4 πρ 2 Όγκος σφαίρας = 4/3 πρ 3 22