ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Μ. ΠΑΠΑΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΑΘΗΝΑ 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Οι σηµειώσεις αυτές είναι αναρτηµένες και στις προσωπικές ιστοσελίδες των συγγραφέων: http://www.math.uoa.gr/ evassil http://www.math.uoa.gr/ mpapatr Απαγορεύεται ϱητώς η καθ οιονδήποτε τρόπον εµπορική τους εκµετάλλευση. COPYRIGHT 2010 by E. Vassiliou M. Papatriantafillou evassil@math.uoa.gr, mpapatr@math.uoa.gr All rights reserved

Πρόλογος Αλλά πόσο σφρίγος, Ϲωτικής σηµασίας για τη µαθηµατική επιστήµη, ϑα χάνονταν µε το ξερίζωµα της γεωµετρίας και της µαθηµατικής ϕυσικής. Από την οµιλία του D. Hilbert στο 2 o ιεθνές Συνέδριο Μαθηµατικών, Παρίσι 1900 (ϐλ. C. Reid [16, σελ. 170]) Οι σηµειώσεις αυτές προορίζονται να καλύψουν τις άµεσες διδακτικές α- νάγκες του µαθήµατος της ιαφορικής Γεωµετρίας των Καµπυλών και Επι- ϕανειών, η οποία διδάσκεται στο Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αθηνών στο Στ εξάµηνο σπουδών. Λόγω της απόφασης του Τµήµατος να περιοριστεί η διδασκαλία του υ- ποχρεωτικού (προπτυχιακού) µαθήµατος της ιαφορικής Γεωµετρίας σε ένα µόνον εξάµηνο, η ύλη έχει κι αυτή περιοριστεί, κατ ανάγκην, στην παρουσίαση αποκλειστικά στοιχειωδών ϑεµάτων της τοπικής ϑεωρίας των καµπυλών και επιφανειών. Ετσι, ακόµη και τα απλούστερα αποτελέσµατα της λεγόµενης Ολικής ιαφορικής Γεωµετρίας έχουν παραλειφθεί. Παρ όλ αυτά, η παρούσα επιλογή της ύλης επιτρέπει στους ϕοιτητές µας να αποκτήσουν µία πρώτη γνωριµία µε µερικές ϑεµελιώδεις έννοιες αυτού του σηµαντικού κλάδου των µαθηµατικών, και να διαπιστώσουν µε πόσο γόνιµο τρόπο η ιαφορική Γεω- µετρία συνδέεται µε την Ανάλυση και την Άλγεβρα. Τα σχήµατα των σηµειώσεων είχε την ευγενή καλοσύνη να ϕιλοτεχνήσει, µε ιδιαίτερη δεξιοτεχνία και υποµονή ο ϕοιτητής του Τµήµατος Μαθηµατικών Κώστας Θρασυβ. Παπαδόπουλος. Τον ευχαριστούµε ϑερµά και από τη ϑέση αυτή για την εξαιρετική επιµέλειά που έδειξε σ αυτήν την επίπονη εργασία. v

vi ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ελπίζουµε ότι τα σχήµατα αυτά ϑα συµβάλουν στην καλλίτερη κατανόηση του κειµένου. Για τη διευκόλυνση του αναγνώστη, στο τέλος κάθε κεφαλαίου παραθέτου- µε µία σειρά χαρακτηριστικών ασκήσεων µε λεπτοµερείς λύσεις. Θα ωφεληθεί πολύ αν επιχειρήσει να τις λύσει µόνος του, και κατόπιν να συµβουλευτεί τις προτεινόµενες λύσεις. Επίσης, σε σχετικο παράρτηµα, υπενθυµίζουµε µερικές ϐασικές έννοιες και αποτελέσµατα από τον ιαφορικό Λογισµό διανυσµατικών συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Τονίζουµε κυρίως τη γραµµικότητα του (σηµειακού) διαφορικού, η οποία παρέχει έναν ουσιώδη µηχανισµό για την κατανόηση πολλών εννοιών, ιδιαιτέρως της ϑεωρίας των Επιφανειών. Από µια εξαιρετικά εκτεταµένη ϐιβλιογραφία αναφέρουµε µόνον λίγες πηγές, οι οποίες µπορούν να ϕανούν χρήσιµες κυρίως στους ϕοιτητές, που έρχονται για πρώτη ϕορά σε επαφή µε το περιεχόµενο των σηµειώσεων, αλλά και επιθυµούν να επεκταθούν σε µερικά πιο προχωρηµένα ϑέµατα. Τα ϐιβλία [2], [16], [17] έχουν ιστορικό περιεχόµενο. Οι σηµειώσεις, όπως είναι ϕυσικό, υπόκεινται σε αλλαγές και διορθώσεις. Θα είµαστε εκ των προτέρων υποχρεωµένοι σε όλους τους αναγνώστες µας, οι οποίοι ϑα ϑέσουν υπ όψιν µας κάθε υπόδειξη που ϑα µπορούσε να ϐοηθήσει στην περαιτέρω ϐελτίωσή τους και στη διόρθωση λαθών. Ε.Β. Μ.Π. Αθήνα, Ιανουάριος 2009.

Περιεχόµενα Πρόλογος v 1 ιαφορίσιµες Καµπύλες 1 1.0 Εισαγωγή............................. 1 1.1 ιαφορίσιµες καµπύλες..................... 2 1.2 Αναπαραµέτρηση καµπύλης................... 7 1.3 Καµπυλότητα και στρέψη.................... 9 1.4 Καµπυλότητα και στρέψη τυχαίας κανονικής καµπύλης.... 20 1.5 Το τρίεδρο Frenet µιας τυχαίας καµπύλης........... 22 1.6 Προσανατολισµός......................... 24 1.7 Κανονική µορφή καµπύλης................... 27 1.8 Ο εγγύτατος κύκλος....................... 31 1.9 Το Θεµελιώδες Θεώρηµα των Καµπυλών............ 34 1.10Επίπεδες καµπύλες....................... 40 1.11Ασκήσεις............................. 48 2 Κανονικές Επιφάνειες 81 2.0 Εισαγωγή............................. 81 2.1 Βασικοί Ορισµοί......................... 82 2.2 Παραδείγµατα.......................... 86 2.3 Βασικές ιδιότητες......................... 97 2.4 Επιφάνειες εκ περιστροφής................... 102 2.5 Η έννοια της διαφορισιµότητας σε επιφάνειες.......... 107 2.6 Ο εφαπτόµενος χώρος...................... 113 2.7 Το διαφορικό διαφορίσιµης απεικόνισης............ 116 2.8 Ασκήσεις............................. 121 3 Η καµπυλότητα Gauss 141 3.0 Εισαγωγή............................. 141 3.1 Κάθετα διανύσµατα........................ 142 3.2 Η πρώτη ϑεµελιώδης µορφή................... 145 3.3 Η απεικόνιση Gauss....................... 150 vii

viii ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 3.4 Η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή.................. 154 3.5 Η καµπυλότητα µέσω των ϑεµελιωδών µεγεθών......... 157 3.6 Γεωµετρική ερµηνεία της καµπυλότητας............ 159 3.7 Ασκήσεις............................. 163 Α ιαφορικός Λογισµός 189 Βιβλιογραφία 199 Πίνακας εννοιών 201

Κεφάλαιο 1 ιαφορίσιµες Καµπύλες 1.0 Εισαγωγή Καµπύλες όπως ο κύκλος, οι κωνικές τοµές, οι έλικες και οι σπείρες είχαν α- πασχολήσει τους αρχαίους Ελληνες. Με σχετικά προβλήµατα είχαν ασχοληθεί ο Πλάτωνας, ο Μέναιχµος, ο Απολλώνιος, ο Αρχιµήδης, κ.α. Επίσης για την αντιµετώπιση των περίφηµων άλυτων (µε κανόνα και διαβήτη) προβληµάτων είχαν ανακαλυφθεί και µελετηθεί η κισσοειδής του ιοκλέους, η κογχοειδής του Νικοµήδους και η τετραγωνίζουσα του εινοστράτου. Ενα σηµαντικό πρόβληµα που απασχόλησε τους Μαθηµατικούς από την εποχή της αρχαιότητας, ήταν και η χάραξη της εφαπτοµένης σε ένα σηµείο µίας καµπύλης. Το πρόβληµα αντιµετωπίστηκε ϕυσικά στο πλαίσιο της γνωστής τότε (συνθετικής) Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Οι απαντήσεις που δόθηκαν ήσαν µόνον µερικές και αφορούσαν συγκεκριµένες καµπύλες. Μια καλλίτε- ϱη προσέγγιση έγινε δυνατή στο πλαίσιο της Αναλυτικής Γεωµετρίας. Παρά τις σηµαντικές προόδους που σηµειώθηκαν στην κατεύθυνση αυτή από τους R. Descartes, P. Fermat και C. Huygens, και πάλι η γενική µέϑοδος επίλυσης του προβλήµατος σταµατούσε όταν επρόκειτο να αντιµετωπιστούν εξισώσεις ϐαθµού ανωτέρου του 3. Το πρόβληµα του προσδιορισµού της εφαπτοµένης επιλύθηκε στη γενικότητά του µε την χρήση του ιαφορικού Λογισµού, που µαζί µε τον Ολοκλη- ϱωτικό Λογισµό άσκησαν τεράστια επίδραση στην εξέλιξη της µαθηµατικής επιστήµης. Η χρήση του ιαφορικού Λογισµού στη µελέτη της Γεωµετρίας οδήγησε στην δηµιουργία ενός νέου κλάδου, της ιαφορικής Γεωµετρίας. Στην ανά- 1

2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ πτυξη της ιαφορικής Γεωµετρίας των καµπυλών είχαν ϑεµελιώδη συµβολή οι I. Newton, G. W. Leibniz, L. Euler, G. Monge, J. Bernoulli, A. C. Clairaut, F. Frenet, J. A. Serret, J. Bertrand, Ch. Dupin, και πολλοί άλλοι. Μερικά άλλα σηµαντικά ονόµατα ϑα αναφερθούν στη ϑεωρία των επιφανειών. Η µελέτη των καµπυλών, εκτός από το καθ αυτό µαθηµατικό ενδιαφέρον της, έχει σηµαντικές εφαρµογές στη µηχανική, στη ναυσιπλοΐα, στον προσδιο- ϱισµό των τροχιών ουρανίων σωµάτων ή συστηµάτων δορυφόρων, κ.α. Εδώ ϑα γνωρίσουµε µερικές ϐασικές έννοιες και συµπεράσµατα της λεγό- µενης "τοπικής" ϑεωρίας των καµπυλών. 1.1 ιαφορίσιµες καµπύλες Στην Αναλυτική Γεωµετρία λέγοντας καµπύλη εννοούµε ένα σύνολο X σηµείων (του χώρου ή του επιπέδου) που ικανοποιούν ορισµένες συνθήκες. Για πα- ϱάδειγµα, µπορεί να είναι ο γεωµετρικός τόπος σηµείων που ικανοποιούν µια συγκεκριµένη ιδιότητα (κύκλος, έλλειψη, κλπ.), το γράφηµα µιας συνάρτησης f : R R, η τροχιά ενός κινητού, κ.ο.κ. Σκοπός µας είναι να εφαρµόσουµε µεθόδους του ιαφορικού Λογισµού στην µελέτη του X, και για να γίνει αυτό ϑα πρέπει να δούµε τις καµπύλες ως εικόνες κατάλληλων συναρτήσεων. Ετσι, δίνουµε τον επόµενο ορισµό: Μια παραµετρηµένη καµπύλη στο χώρο (parametrized curve), ή απλώς καµπύλη στο χώρο (space curve) είναι µια συνεχής απεικόνιση α: I R 3, όπου I R είναι ένα διάστηµα. Ο όρος "παραµετρηµένη" (που συνήθως ϑα παραλείπεται στη συνέχεια) σηµαίνει ότι η καµπύλη περιγράφεται µε την ϐοήθεια µιας µεταβλητής (πα- ϱαµέτρου) t I. Επειδή, για κάθε t I, είναι α(t) R 3, η α είναι µία τριάδα της µορφής (1.1.1) α = (α 1,α 2,α 3 ). Κάθε συνιστώσα (ή συντεταγµένη) α i : = u i α; i = 1,2,3, όπου η u i : R 3 R συµβολίζει την κανονική προβολή στην i-συντεταγµένη, είναι µια πραγµατική συνάρτηση µιας πραγµατικής µεταβλητής. Η συνέχεια της α ισοδυναµεί µε την συνέχεια κάθε µιας από τις α i. Αν η εικόνα α(i) µιάς καµπύλης περιέχεται σε ένα επίπεδο του R 3, λέµε ότι η α είναι επίπεδη καµπύλη (plane curve). Σ αυτήν την περίπτωση, µε µια αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων µπορούµε να ϑεωρούµε ότι α(i) R 2. Ενδιαφερόµαστε όχι για την απεικόνιση α (παραµετρηµένη καµπύλη), αλλά για τις γεωµετρικές ιδιότητες της εικόνας, δηλαδή του συνόλου X = α(i). Η απεικόνιση α είναι απλώς το εργαλείο για την µελέτη του α(i).

1.1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ 3 Εδώ πρέπει να παρατηρήσουµε ότι οι καµπύλες 2 α: R R 2 : t ( 2 t, β: R R 2 : t (t,t) 2 2 t), γ: R R 2 : t (t 3,t 3 ) { δ: R R 2 (t,t) : t 0 : t (t 2,t 2 ) : t > 0, έχουν την ίδια εικόνα α(r) = β(r) = γ(r) = δ(r) = R, δηλαδή την διαγώνιο του R 2 (ϐλ. και το επόµενο σχήµα). y x Σχήµα 1.1 Απ αυτές, η α είναι διαφορίσιµη, µε α (t) = 1, για κάθε t R, η β είναι διαφορίσιµη, µε β (t) 0, για κάθε t R, η γ είναι διαφορίσιµη και υπάρχει ένα σηµείο, το 0, όπου γ (0) = (0,0), ενώ η δ δεν είναι διαφορίσιµη. Από τα προηγούµενα παραδείγµατα προκύπτει ότι: (1) η ίδια καµπύλη R µπορεί να περιγραφεί ως εικόνα διαφορετικών (παραµετρηµένων) καµπυλών και (2) η ανυπαρξία παραγώγου ή ο µηδενισµός της (για µια παραµέτρηση) δεν συνδέονται κατ ανάγκην µε κάποια ανωµαλία στο σχήµα της εικόνας R. ηµιουργούν όµως τεχνικές δυσκολίες, γι αυτό ϑα ϑεωρήσουµε καµπύλες που διαγράφουν την εικόνα µε τον καλλίτερο δυνατό τρόπο, έτσι ώστε να δίνουν αµεσώτερα τα Ϲητούµενα συµπεράσµατα.

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ Εστω α: I R 3 µια διαφορίσιµη καµπύλη και έστω ότι σε ένα σηµείο t o είναι α (t o ) 0. Τότε υπάρχει η εφαπτοµένη ευθεία (tangent line) της α στο σηµείο α(t o ), που δίνεται από την εξίσωση (1.1.2) ε(s) = α(t o ) + sα (t o ), s R. y ( ) t o x ( t o ) εφαπτομένη Σχήµα 1.2 Η ανυπαρξία ή ο µηδενισµός της παραγώγου α (t o ) στο σηµείο t o δεν επιτρέπουν την προηγούµενη έκφραση της εφαπτοµένης. Γι αυτό στα επόµενα ϑεωρούµε µόνο διαφορίσιµες καµπύλες, των οποίων η παράγωγος δεν µηδενίζεται πουθενά. Μια καµπύλη µ αυτήν την ιδιότητα ονοµάζεται κανονική ή οµαλή (regular), ενώ σε µια καµπύλη α που δεν είναι οµαλή, κάθε σηµείο όπου µηδενίζεται η παράγωγος λέγεται σηµείο ανωµαλίας (της α). Στη συνέχεια ϑα υποθέτουµε ότι οι καµπύλες µας έχουν τάξη διαφορισι- µότητας αρκετά µεγάλη (συνήθως 3), ώστε να εξασφαλίζεται η ύπαρξη όσων παραγώγων χρειάζονται. Επίσης, ϑα υποθέτουµε ότι οι καµπύλες µας είναι και απλές, δηλαδή είναι απεικονίσεις 1 1. Εποµένως, για να αποφύγουµε τις περιττές επαναλήψεις, µε τον όρο "κανονική καµπύλη" ϑα εννοούµε µια απλή κανονική καµπύλη, C r -διαφορίσιµη, µε r 3. Για µια διαφορίσιµη καµπύλη α, η παράγωγος (1.1.3) α (t) = (α 1(t),α 2(t),α 3(t))

1.1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ 5 ονοµάζεται εφαπτόµενο διάνυσµα (tangent vector) ή διάνυσµα ταχύτητας (velocity) της α στο α(t), ενώ το µήκος του ανωτέρω διανύσµατος v(t) := α (t) = ( α 1 (t)2 + α 2 (t)2 + α 3 (t)2) 1/2 ονοµάζεται µέτρο της ταχύτητας (speed) της α στο t. Αν και η α είναι διαφορίσιµη, τότε η δεύτερη παράγωγος (1.1.4) α (t) = (α 1 (t),α 2 (t),α 3 (t)) ονοµάζεται επιτάχυνση (acceleration) της α στο t. Για µια διαφορίσιµη καµπύλη α: I R 3, ονοµάζουµε µήκος (length) της α το ολοκλήρωµα (1.1.5) L(α) := α (t) dt. I Για δύο καµπύλες α,β: I R 3, συµβολίζουµε µε < α,β > την διαφορίσιµη συνάρτηση (1.1.6) < α,β >: I R : t < α(t),β(t) > και µε α β την διαφορίσιµη καµπύλη (1.1.7) α β: I R 3 : t α(t) β(t). Από την διγραµµικότητα του εσωτερικού και του εξωτερικού γινοµένου προκύπτουν οι παρακάτω κανόνες παραγώγισης (1.1.8) (1.1.9) < α,β > (t) = < α (t),β(t) > + < α(t),β (t) >, (α β) (t) = (α (t) β(t)) + (α(t) β (t)). Η απόδειξη των τύπων αυτών προκύπτει επίσης στοιχειωδώς: αν γράψουµε τις καµπύλες µε τις συνιστώσες τους [ϐλ. σχέση (1.1.1)] και εφαρµόσουµε τον ορισµό του εσωτερικού και εξωτερικού γινοµένου, έχουµε τις αντίστοιχες σχέσεις < α(t),β(t) > = α 1 (t)β 1 (t) + α 2 (t)β 2 (t) + α 3 (t)β 3 (t), α(t) β(t) = ( α2 (t)β 3 (t) α 3 (t)β 2 (t), α 3 (t)β 1 (t) α 1 (t)β 3 (t), α 1 (t)β 2 (t) α 2 (t)β 1 (t) ), οπότε παραγωγίζουµε τις τελευταίες µε το συνήθη τρόπο. Οι παράγωγοι και το µήκος της α µας δίνουν πολλές πληροφορίες για την α(i), όπως γίνεται ϕανερό από τα επόµενα

6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ 1.1.1 Παραδείγµατα. (1) Εστω α: I R 3 µια διαφορίσιµη καµπύλη. Αν α (t) = 0, για κάθε t I, η α είναι ευθεία. Πράγµατι, Προφανώς ισχύει και το αντίστροφο. α (t) = 0 α (t) = λ α(t) = λt + µ. (2) Εστω α µια διαφορίσιµη καµπύλη που δεν περνά από το 0. Αν α(t o ) είναι το σηµείο της εικόνας το πλησιέστερο στο 0 και α (t o ) 0, τότε το α(t o ) είναι κάθετο στο α (t o ). Πράγµατι, ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση που σε κάθε t I αντιστοιχεί το τετράγωνο της απόστασης του α(t) από το 0, δηλαδή την δ: I R: t α(t) 2 = α 1 (t) 2 + α 2 (t) 2 + α 3 (t) 2 = < α(t),α(t) >. Αφού η δ παρουσιάζει ελάχιστο στο t o, ϑα είναι δ (t o ) = 0, άρα, ϐάσει της (1.1.8), έχουµε ότι 0 = δ (t o ) = < α(t o ),α (t o ) > + < α (t o ),α(t o ) > = 2 < α(t o ),α (t o ) >, απ όπου συνάγεται ότι α(t o ) α (t o ). (3) Εστω α: I R 2 µια διαφορίσιµη καµπύλη, µε α (t) 0, για κάθε t I. Τότε η εικόνα α(i) είναι τόξο ενός κύκλου µε κέντρο 0, εάν και µόνον εάν το α(t) είναι κάθετο στο α (t), για κάθε t I. Οπως προηγουµένως, ϑεωρούµε το τετράγωνο της απόστασης του α(t) από το 0 δ: I R: t < α(t),α(t) >. Η δ είναι σταθερή, εάν και µόνον εάν δ = 0. Αλλά δ (t) = < α,α > (t) = < α (t),α(t) > + < α(t),α (t) > = 2 < α (t),α(t) >. Εποµένως δ = 0 ισοδυναµεί µε α(t) α (t), για κάθε t I, οπότε έχουµε το αποτέλεσµα. (4) Η καµπύλη ελάχιστου µήκους που ενώνει δύο σηµεία P και Q είναι το ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα P, Q. Αν p και q είναι τα διανύσµατα ϑέσης των σηµείων P και Q αντιστοίχως, το ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα P, Q είναι η καµπύλη ε: [0,1] R 3 : t ε(t) := p + t(q p) και έχει µήκος [ϐλ. σχέση (1.1.5)] 1 1 L(ε) = ε (t) dt = q p dt = q p. 0 0

1.2. ΑΝΑΠΑΡΑΜ ΕΤΡΗΣΗ ΚΑΜΠ ΥΛΗΣ 7 Εστω α: [x,y] R 3 µια διαφορίσιµη καµπύλη µε α(x) = p και α(y) = q. Για ένα τυχόν σταθερό u R 3 µε u = 1, είναι εποµένως < a,u > (t) = < α (t),u > + < α(t),u > = < α (t),u > L(α) = y x α (t) u = α (t), α (t) dt y = < q,u > < p,u > = < q p,u >, x < α(t),u > dt = < α(t),u > y x για κάθε u R 3 µε u = 1. Παίρνοντας τώρα u = (q p)/ q p, καταλήγουµε στη σχέση L(α) <q p,q p>/ q p = q p = L(ε). 1.2 Αναπαραµέτρηση καµπύλης Αν α: I R 3 είναι µια καµπύλη, τότε µια καµπύλη β: J R 3 λέγεται αναπαραµέτρηση (reparametrization) της α, αν υπάρχει µια αµφιδιαφόριση h: J I, µε β = α h (ϐλ. και το επόµενο σχετικό διάγραµµα). h I α X R 3 β J ιάγραµµα 1.1 Υπενθυµίζουµε ότι η έκφραση "η h είναι αµφιδιαφόριση" σηµαίνει ότι η h είναι διαφορίσιµη απεικόνιση 1 1 και επί µε διαφορίσιµη αντίστροφη. Κατά το Θεώρηµα της Αντίστροφης Συνάρτησης, η h είναι αµφιδιαφόριση τότε και µόνον τότε αν είναι 1 1 και επί µε h (s) 0, για κάθε s J. Είναι ϕανερό ότι κάθε αναπαραµέτρηση της α έχει την ίδια εικόνα µε την α. Είναι επίσης ϕανερό ότι αν η α είναι κανονική, τότε και κάθε αναπαραµέτρησή της είναι κανονική. Θα αναζητήσουµε εκείνες τις ιδιότητες της εικόνας X := α(i) = β(j) που δεν εξαρτώνται από την καµπύλη µε την οποία διατρέχουµε το X. Μια τέτοια ιδιότητα µας δίνει το επόµενο

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ 1.2.1 Θεώρηµα. Αν β είναι µια αναπαραµέτρηση της α, τότε L(β) = L(α). Απόδειξη. Εστω α: [a,b] R 3 και β: [a,b ] R 3 αναπαραµέτρησή της α µε β = α h, όπου h: [a,b ] [a,b] αµφιδιαφόριση. Είναι L(β) = = b b a β (s) ds = b a a α (h(s)) h (s) ds. (α h) (s) ds Για h > 0, δηλαδή για h γνησίως αύξουσα, έχουµε L(β) = = b a α (h(s)) h (s)ds = b a α (t) dt = L(α). h(b ) h(a ) Για h < 0, δηλαδή για h γνησίως ϕθίνουσα, έχουµε b L(β) = = a a b α (h(s)) h (s)ds = α (t) dt = L(α), που ολοκληρώνει την απόδειξη. h(b ) h(a ) α (h(s)) dh(s) α (h(s)) dh(s) Αξίζει να παρατηρήσουµε εδώ ότι η α µας δείχνει πώς αλλάζει η α. Η αλλαγή αυτή µπορεί να αφορά σε αλλαγή του µέτρου της α, ή σε αλλαγή της διεύθυνσης. Σταθεροποιώντας το µέτρο, παίρνουµε επιτάχυνση που δείχνει µόνο την αλλαγή της διεύθυνσης, άρα την καµπύλωση του χώρου X = α(i). Ετσι, ανάµεσα σε όλες τις καµπύλες που έχουν την ίδια εικόνα, αυτή που µας δίνει ευκολότερα τα Ϲητούµενα συµπεράσµατα για την κοινή εικόνα είναι η καµπύλη που έχει ταχύτητα µε σταθερό µέτρο, ίσο µε 1. Ισχύει το επόµενο ϐασικό 1.2.2 Θεώρηµα. Κάθε κανονική καµπύλη α: I R 3 δέχεται αναπαραµέτρηση β: J R 3 µε β (s) = 1, για κάθε s J. Απόδειξη. Εστω I := [a, b]. Θεωρούµε την απεικόνιση s: [a,b] [0,L(α)]: t t a α (u) du.

1.3. ΚΑΜΠΥΛ ΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡ ΕΨΗ 9 Αυτή είναι γνησίως αύξουσα και διαφορίσιµη, µε s (t) = α (t) = v(t) > 0, άρα (ϐλ. Θεώρηµα Αντίστροφης Απεικόνισης), έχει διαφορίσιµη αντίστροφη h: [0,L(α)] [a,b] της οποίας η παράγωγος δίνεται από την σχέση (1.2.1) h (s) = 1/s (h(s)), s [0,L(α)]. Θέτοντας β := α h, έχουµε ότι β (s) = α (h(s)) h (s) = α (h(s)) / s (h(s)) = 1, που αποδεικνύει τον ισχυρισµό. Μια καµπύλη β: J R 3 µε β (s) = 1, για κάθε s J, ονοµάζεται καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας. Αν α είναι µια τυχαία κανονική καµπύλη, λέµε ότι η αναπαραµέτρηση β που κατασκευάστηκε στο προηγούµενο ϑεώρηµα, είναι η αναπαραµέτρηση µέσω (του) µήκους τόξου ή ότι έχει παράµετρο το µήκος τόξου. Επίσης το µήκος τόξου λέγεται και ϕυσική παράµετρος. 1.3 Καµπυλότητα και στρέψη Σκοπός µας είναι να ορίσουµε κάποια αριθµητικά µεγέθη που χαρακτηρίζουν το σύνολο X = α(i), όπου α είναι µια κανονική καµπύλη. Οπως σηµειώσαµε και νωρίτερα, τα Ϲητούµενα συµπεράσµατα για το X τα παίρνουµε ευκολότερα αν η καµπύλη έχει µοναδιαία ταχύτητα. Γι αυτό, αν η αρχική α δεν έχει µοναδιαία ταχύτητα, ϑεωρούµε την αντίστοιχη αναπαραµέτρηση µέσω του µήκους τόξου. Εστω λοιπόν β(s), s J, µια καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας. Θέτουµε (1.3.1) T(s) := β (s) s J. Εποµένως, το T(s) είναι το εφαπτόµενο διάνυσµα ή διάνυσµα ταχύτητας της β στο σηµείο β(s). Εφ όσον T(s) = 1, για κάθε s J, τα εφαπτόµενα διανύσµατα T(s) είναι στοιχεία της µοναδιαίας σφαίρας του R 3. Μεταβάλλοντας το s στο J παίρνουµε µία διαφορίµη συνάρτηση (1.3.1 ) T : J s T(s) = β (s) R 3. Ισχύει το επόµενο

10 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ 1.3.1 Λήµµα. Αν β(s), s J, είναι καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας, τότε T T, δηλαδή T (s) T(s), s J. Απόδειξη. Το µήκος του διανύσµατος T(s) είναι σταθερό, άρα και η συνάρτηση T(s) 2 = < T(s),T(s) > είναι σταθερή, δηλαδή έχει µηδενική παράγωγο < T,T > (s) = 2 < T (s),t(s) > = 0, s J, απ όπου προκύπτει το Ϲητούµενο. Επειδή το µήκος του T(s) = β (s) (ταχύτητα) είναι σταθερά 1, η παράγωγος T (s) = β (s) (επιτάχυνση) δείχνει την αλλαγή της διεύθυνσης του διανύσµατος T(s). Το µήκος του διανύσµατος T (s) συµβολίζεται µε (1.3.2) k(s) := T (s) και ονοµάζεται καµπυλότητα της β στο β(s). Η k(s) είναι ένας µη αρνητικός πραγµατικός αριθµός. Αν k(s) = 0, λέµε ότι το σηµείο s είναι ιδιάζον σηµείο τάξης 1. Προφανώς ορίζεται και η διαφορίσιµη συνάρτηση (καµπυλότητας) (1.3.2 ) k: J s k(s) [0, ). Οπως ϑα δούµε στο Θεώρηµα 1.3.4, η καµπυλότητα µετράει το κατά πόσον η καµπύλη διαφέρει από την ευθεία. Για τα επόµενα χρειάζεται η β να µην έχει ιδιάζοντα σηµεία τάξης 1, άρα έχει παντού µη µηδενική καµπυλότητα. Για k(s) 0, το αντίστροφο της καµπυλότητας, δηλαδή ο αριθµός (1.3.3) ρ(s) := 1 k(s) καλείται ακτίνα καµπυλότητας. Μέσω της τελευταίας, για κάθε s J, ορίζουµε το διάνυσµα (1.3.4) N(s) := 1 k(s) T (s) που ονοµάζεται πρώτο κάθετο ή πρωτεύον κάθετο διάνυσµα (normal vector) της β στο β(s). Το διάνυσµα αυτό είναι ένα µοναδιαίο και (σύµφωνα

1.3. ΚΑΜΠΥΛ ΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡ ΕΨΗ 11 µε το Λήµµα 1.3.1) κάθετο στο εφαπτόµενο διάνυσµα. Ορίζεται επίσης και η αντίστοιχη διαφορίσιµη απεικόνιση (1.3.4 ) N : J s N(s) R 3. Τέλος, για κάθε s J, ορίζουµε και το διάνυσµα (1.3.5) B(s) := T(s) N(s) και την αντίστοιχη διαφορίσιµη απεικόνιση (1.3.5 ) B: J s B(s) R 3. Το B(s) καλείται δεύτερο κάθετο διάνυσµα (binormal vector) της β στο β(s). Προφανώς είναι κάθετο στα T(s), N(s) και µοναδιαίο. Από τα προηγούµενα συνάγεται ότι, γιά κάθε s J, η τριάδα {T(s),N(s),B(s)} αποτελεί µία ορθοκανονική ϐάση του R 3, και ονοµάζεται συνοδεύον τρίεδρο (moving frame) ή τρίεδρο Frenet (Frenet frame) στο σηµείο β(s) της β. N( s) z ( s) T( s) N( s) B( s) T( s) y x B( s) Σχήµα 1.3 Αντιστοίχως, η τριάδα των συναρτήσεων {T,N,B}

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ καλείται συνοδεύον τρίεδρο ή τρίεδρο Frenet κατά µήκος της β. Πολλές ϕορές, για διευκόλυνση αλλά και για την παραστατικότερη απεικόνιση των πραγµάτων, ϑεωρούµε ότι τα τρία προηγούµενα διανύσµατα έχουν µεταφερθεί παραλλήλως κατά το διάνυσµα β(s), οπότε έχουν ως αρχήν το σηµείο β(s) της καµπύλης. Ετσι σχηµατίζεται η εικόνα ενός τριέδρου, που συνοδεύει τα σηµεία της καµπύλης. Αυτό δικαιολογεί και την παραπάνω ορολογία. Σχετικώς παραθέτουµε το Σχήµα 1.3. Μέσω των παραπάνω ϐασικών διανυσµάτων, ορίζουµε τρία χαρακτηριστικά επίπεδα, που επίσης συνοδεύουν την καµπύλη. Ακριβέστερα, για κάθε σηµείο s J, τα κάθετα µεταξύ τους διανύσµατα T(s) και N(s) ορίζουν ένα επίπεδο E. Το (µοναδικό) επίπεδο που περνά από το σηµείο β(s) και είναι παράλληλο προς το E (άρα και προς τα διάνύσµατα T(s), N(s)) ονοµάζεται εγγύτατο επίπεδο (osculating plane) της β στο β(s). Το επίπεδο, που διέρχεται από το β(s) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο των N(s) και B(s) καλείται κάθετο επίπεδο (normal plane) της β στο σηµείο β(s), ενώ το επίπεδο που διέρχεται από το β(s) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο των T(s) και B(s) καλείται ευθειοποιούν επίπεδο (rectifying plane) της β στο σηµείο β(s). B( s) Κάθετο επίπεδο Ευθειοποιούν επίπεδο N( s) Εγγύτατο επίπεδο T( s) Σχήµα 1.4 Προφανώς, το εγγύτατο επίπεδο (στο β(s)) είναι κάθετο στο διάνυσµα B(s), το κάθετο επίπεδο είναι κάθετο στο T(s) και το ευθειοποιούν επίπεδο είναι κά- ϑετο στο N(s). Οι τελευταίες ιδιότητες χρησιµοποιούνται για τον προσδιορισµό των αντιστοίχων εξισώσεων των επιπέδων αυτών, όπως εξηγούµε στις ασκήσεις του παρόντος κεφαλαίου.

1.3. ΚΑΜΠΥΛ ΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡ ΕΨΗ 13 Στα Σχήµατα 1.3 και 1.4 απεικονίζονται τα προηγούµενα επίπεδα. Ση- µειώνουµε ότι και στα δύο έχουµε µεταθέσει τα διανύσµατα {T(s),N(s),B(s)} στο σηµείο β(s), οπότε το εγγύτατο επίπεδο ταυτίζεται µε το επίπεδο των T(s), N(s)) κ.ο.κ. Στη συνέχεια ϑα ορίσουµε και ένα άλλο ϐασικό, για την µελέτη µιας κα- µπύλης, µέγεθος. Επειδή < N(s),B(s) > = 0, για κάθε s J, παραγωγίζοντας τη συνάρτηση < N,B > = 0 [ϐλ. και τις ανάλογες σχέσεις (1.1.6), (1.1.8)] ϐρίσκουµε ότι Τον πραγµατικό αριθµό < N (s),b(s) > + < N(s),B (s) > = 0. (1.3.6) τ(s) := < N(s),B (s) > = < N (s),b(s) > ονοµάζουµε στρέψη (torsion) της καµπύλης β στο σηµείο β(s). Προφανώς ορίζεται και η διαφορίσιµη συνάρτηση (1.3.6 ) τ : J s τ(s) R. Από την (1.3.6) προκύπτει ότι η στρέψη, αφού περιέχει την παράγωγο B (s), µετρά κατά κάποιον τρόπο την µεταβολή του δευτέρου καθέτου διανύσµατος, άρα και τη µεταβολή του εγγυτάτου επιπέδου. Η µεταβολή του τελευταίου ουσιαστικά καθορίζει τη ϑέση της καµπύλης στο χώρο, δηλαδή το κατά πόσον η καµπύλη αποµακρίνεται από το επίπεδο, άρα διαφέρει από µια επίπεδη καµπύλη. Την ακριβή σηµασία της στρέψης (όπως και της καµπυλότητας) ϑα δούµε στο Θεώρηµα 1.3.5. Πριν συνδέσουµε τα διανύσµατα του τριέδρου Frenet και τις παραγώγους τους µε την καµπυλότητα και την στρέψη, αποδεικνύουµε το επόµενο ϐοηθητικό συµπέρασµα. 1.3.2 Λήµµα. Αν u,v R 3 µε u = 1 και u v, τοτε (u v) u = v. Απόδειξη. Εστω u = (a,b,c) και v = (x,y,z). Τότε u v = e 1 e 2 e 3 a b c x y z = (bz cy,cx az,ay bx). = (bz cy)e 1 (az cx)e 2 + (ay bx)e 3

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ Εποµένως, (u v) u = e 1 e 2 e 3 bz cy cx az ay bx a b c = [c(cx az) b(ay bx)]e 1 [c(bz cy) a(ay bx)]e 2 + + [b(bz cy) a(cx az)] = (c 2 x acz aby + b 2 x)e 1 (cbz c 2 y a 2 y + abx)e 2 + + (b 2 z bcy acx + a 2 z)e 3 = = ((1 a 2 )x acz aby, (1 b 2 )y abx cbz, (1 c 2 )z bcy acx) = (x a(ax + by + cz), y b(ax + by + cz), z c(ax + by + cz)) = (x a < u,v >, y b < u,v >, z c < u,v >) = (x,y,z) = v, που είναι η Ϲητούµενη ισότητα. 1.3.3 Πόρισµα. Ισχύουν οι σχέσεις: T(s) N(s) = B(s), N(s) B(s) = T(s), B(s) T(s) = N(s). Απόδειξη. Η πρώτη σχέση είναι ακριβώς η (1.3.5), δηλαδή ο ορισµός του B(s). Για την τρίτη παρατηρούµε ότι B(s) T(S) = (T(s) N(s)) T(s) = N(s). Τέλος, για την δεύτερη σχέση εχουµε: N(s) B(s) = N(s) (T(S) N(s)) = = (T(S) N(s)) N(s) = (N(S) T(s)) N(s) = T(s). Ερχόµαστε τώρα στην απόδειξη των τύπων (εξισώσεων) Frenet Serret, οι οποίοι εκφράζουν τις παραγώγους T (s),n (s),b (s) ως γραµµικούς συνδυασµούς των ϐασικών διανυσµάτων µε συντελεστές την καµπυλότητα και στρέψης. Αποδείχτηκαν (ανεξαρτητα) από τους F. Frenet και J. Serret.

1.3. ΚΑΜΠΥΛ ΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡ ΕΨΗ 15 1.3.4 Θεώρηµα. Εστω β: J R 3 µια καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας, µε k > 0 και {T,N,B} το αντίστοιχο τρίεδρο του Frenet κατά µήκος της β. Τότε ισχύουν οι σχέσεις (τύποι Frenet Serret): (F. 1) T = kn (F. 2) N = kt + τb (F. 3) B = τn. Απόδειξη. Η (F. 1) προκύπτει από τον ορισµό του N(s) [ϐλ. σχέση (1.3.4)]. Για την (F. 2) προχωρούµε ως εξής: Επειδή, για κάθε s J, τα διανύσµατα T(s), N(s) και B(s) αποτελούν ορθοκανονική ϐάση, υπάρχουν µονοσήµαντα ορισµένες συναρτήσεις a,b,c: J R, έτσι ώστε (1.3.7) N (s) = a(s)t(s) + b(s)n(s) + c(s)b(s), s J. Για να προσδιορίσουµε τις συναρτήσεις a, b, c ϑα σχηµατίσουµε το εσωτερικό γινόµενο της (1.3.7) διαδοχικά µε τα διανύσµατα T(s),N(s),B(s). Στην πρώτη περίπτωση έχουµε ότι < N (s),t(s) > = a(s)< T(s),T(s) > + b(s)< N(s),T(s) > + c(s)< B(s),T(s) > = a(s)1 + b(s)0 + c(s)0 = a(s). Απ το άλλο µέρος, η παραγώγιση της σχέσης < T,N > = 0 δίνει ότι άρα, µαζί µε την (F. 1), < T,N > = < T,N > + < T,N > = 0, < T,N > = < T,N > = < kn,n > = k 1 = k. Εποµένως καταλήγουµε στη σχέση οπότε η (1.3.7) παίρνει την µορφή a(s) = k(s), (1.3.8) N (s) = k(s)t(s) + b(s)n(s) + c(s)b(s), s J. Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία "εσωτερικά" µε N(s) έχουµε < N (s),n(s) > = k(s)< T(s),N(s) > + b(s)< N(s),N(s) > + c(s)< B(s),N(s) > = k(s)0 + b(s)1 + c(s)0 = b(s).

16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ Η σχέση < N,N > = 1 οδηγεί στην < N,N > = 2 < N,N >= 0, άρα b(s) = 0, µέσω της οποίας η (1.3.8) µετασχηµατίζεται στην (1.3.9) N (s) = k(s)t(s) + 0N(s) + c(s)b(s), s J. Τέλος, από την προηγούµενη σχέση έχουµε ότι < N (s),b(s) > = k(s)< T(s),B(s) > + 0< N(s),B(s) > + c(s)< B(s),B(s) > = k(s)0 + 0 + c(s)1 = c(s). Αλλά η < B,N >= 0 δίνει ότι < B,N > = < B,N > + < B,N > = 0, άρα, σύµφωνα µε την (1.3.6), < B(s),N (s) > = < B (s),n(s) > = τ(s), οπότε c(s) = τ(s), και η (1.3.9) µετασχηµατίζεται στην N (s) = k(s)t(s) + τ(s)b(s); s J, δηλαδή καταλήγουµε στην (F. 2). Για την (F. 3) αρκεί να παραγωγίσουµε την B = T N, λαµβάνοντας υπόψιν τις (F. 1), (F. 2) και τις σχέσεις του Πορίσµατος 1.3.3. Πράγµατι, B = T N + T N = kn N + T ( kt + τb) = k 0 + ( kt T + τt B) = k 0 + τt B = τn.

1.3. ΚΑΜΠΥΛ ΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡ ΕΨΗ 17 Οι τύποι Frenet Serret συνοψίζονται και στην επόµενη µορφή: (1.3.10) T 0 k 0 T N = k 0 τ. N. B 0 τ 0 B Απο εδώ ϕαίνεται και ο µνηµονοτεχνικός κανόνας, µέσω του οποίου ϐρίσκουµε αµέσως τους συντελεστές των (F. 1) (F. 3): εµφανίζονται µόνον η καµπυλότητα και η στρέψη (κατά σειράν), στην 2η γραµµή και την 2η στήλη, µε την σηµειούµενη εναλλαγή προσήµων. Το επόµενα αποτελέσµατα διαφωτίζουν το ϱόλο της καµπυλότητας και της στρέψης µιας καµπύλης. 1.3.5 Θεώρηµα. Εστω β: J R 3 µια καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας. Τότε ισχύουν οι επόµενοι χαρακτηρισµοί: (i) k = 0 εάν και µόνον εάν η β είναι ευθεία. (ii) Αν k > 0, τότε τ = 0 εάν και µόνον εάν η β είναι επίπεδη. Απόδειξη. (i) k = 0 T = β = 0 β (s) = λ β(s) = λs + µ [ϐλ. και Παράδειγµα 1.1.1(1)]. Προφανώς, για να είναι η καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας, ϑα πρέπει λ = 1. (ii) Από τις σχέσεις B = τn και τ = < N,B > συνάγεται ότι τ = 0 εάν και µόνον εάν B = 0, που µε τη σειρά του ισοδυναµεί µε το ότι η απεικόνιση B = T N είναι σταθερή, δηλαδή για ένα s o J, Ετσι έχουµε τ = 0 B(s) = B(s o ), s J. B(s) = B(s o ) s J T(s) B(s o ), s J < T(s),B(s o ) > = < β (s),b(s o ) > = 0, s J < β(s),b(s o ) > = 0, s J < β(s),b(s o ) > = σταθερό, s J < β(s),b(s o ) > = < β(s o ),B(s o ) >, s J < β(s) β(s o ),B(s o ) > = 0, s J β(s) β(s o ) B(s o ), s J. Η τελευταία σχέση σηµαίνει ότι β(s) β(s o ) ανήκει στο επίπεδο E o των T(s o ) και N(s o ), δηλαδή το β(s) ανήκει στο εγγύτατο επίπεδο E o + β(s o ), για κάθε s J.

18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ Αντιστρόφως, έστω ότι β(s) E, για κάποιο επίπεδο E, και έστω E o το επίπεδο (υπόχωρος του R 2, διάστασης 2) που είναι παράλληλο µε το E και περιέχει το 0. Τότε, E = β(s) + E o, s J. Σταθεροποιώντας ένα s o J, παίρνουµε ότι β(s) β(s o ) + E o, s J. Αν το E o παράγεται από µία ορθοκανονική ϐάση {u,v}, τότε (1.3.11) β(s) = β(s o ) + λ(s)u + µ(s)v; s J, όπου λ, µ: J R είναι διαφορίσιµες συναρτήσεις. Πραγµατικά, η διαφορισι- µότητα της λ ελέγχεται ως εξής: Από την (1.3.11) έχουµε ότι β(s) β(s o ) = λ(s)u + µ(s)v; s J, οπότε, παίρνοντας το εσωτερικό γινόµενο και των δύο µελών της τελευταίας µε το u ϐρίσκουµε την < β(s) β(s o ),u > = < λ(s)u,u > + < µ(s)v,u > = λ(s)1 + µ(s)0 = λ(s), δηλαδή λ = < β β(s o ),u >, που αποδεικνύει τον ισχυρισµό. Παρόµοια αποδεικνύεται και η διαφορισιµότητα της µ. Παραγωγίζοντας τώρα την σχέση (1.3.11) έχουµε ότι T(s) = β (s) = λ (s)u + µ (s)v E o ; s J, η παραγώγιση της οποίας οδηγεί στην N(s) = 1 k(s) T (s) = 1 k(s) (λ (s)u + µ (s)v) E o, s J. Άρα, το επίπεδο των T(s) και N(s) είναι σταθερά το E o και το διάνυσµα B(s) είναι σταθερά το ένα από τα δύο µοναδιαία διανύσµατα που είναι κάθετα στο E o. Εποµένως, λόγω της σταθερότητας του B(s) και της (1.3.6), προκύπτει ότι τ = 0. 1.3.6 Θεώρηµα. Εστω β: J R 3 µια επίπεδη καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας. Τότε η β είναι τµήµα κύκλου εάν και µόνον εάν έχει σταθερή καµπυλότητα k > 0.

1.3. ΚΑΜΠΥΛ ΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡ ΕΨΗ 19 Απόδειξη. Αν η β είναι τµήµα κύκλου κέντρου (x o,y o ) και ακτίνας r, τότε δίνεται από τον τύπο β(s) = r ( cos s r, sin s r) + (xo,y o ); s J [0,2π], απ όπου παίρνουµε τις σχέσεις και T(s) = β (s) = ( sin s r, cos s r), T (s) = β (s) = 1 r ( s cos r, sin s ) r k(s) = T (s) = 1 r. Αντιστρόφως, έστω ότι η β έχει σταθερή καµπυλότητα k > 0 και µηδενική στρέψη. Θεωρούµε την απεικόνιση γ(s) := β(s) + 1 k N(s). Η γ είναι προφανώς διαφορίσιµη και γ (s) = β (s) + 1 k N (s) = T(s) + 1 ( kt(s) + τb(s)) k = T(s) T(s) + 0 = 0, δηλαδή η γ είναι σταθερή. Αν a := γ(s) R 3 είναι η σταθερή τιµή της γ, τότε β(s) a = 1 k N(s) = 1 k = r, δηλ. τα σηµεία β(s) ανήκουν στην σφαίρα µε κέντρο a και ακτίνα r. Επειδή η β είναι επίπεδη, ολοκληρώνεται η απόδειξη. 1.3.7 Παρατηρήσεις. 1) Από την προηγούµενη απόδειξη ϕαίνεται ότι η ακτίνα του κύκλου είναι ακριβώς η ακτίνα καµπυλότητας της β [ϐλ. σχέση (1.3.3)], ενώ το κέντρο είναι το σηµείο β(s) + 1 k N(s). 2) Από τα Θεωρηµατα 1.3.5 και 1.3.6 συνάγεται ότι η καµπυλότητα µετρά το πόσο αποκλίνει η καµπύλη από το να είναι ευθεία, ενώ η στρέψη µετρά την απόκλιση από το να είναι η καµπύλη επίπεδη.

20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ 1.4 Καµπυλότητα και στρέψη τυχαίας κανονικής κα- µπύλης Το τρίεδρο Frenet καθώς η καµπυλότητα και η στρέψη µιας καµπύλης β ορίστηκαν προηγουµένως µε την προϋπόθεση ότι η β είναι καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας. Ας υποθέσουµε τώρα ότι έχουµε µια τυχαία κανονική καµπύλη α: I R 3. Σύµφωνα µε όσα είπαµε στην προηγούµενη παράγραφο, τα πα- ϱαπάνω µεγέθη αναφέρονται σε ιδιότητες του συνόλου X = α(i) και όχι της παραµέτρησης (απεικόνισης) α. Εποµένως, ο επόµενος ορισµός είναι εντελώς ϕυσιολογικός. 1.4.1 Ορισµός. Εστω α µια τυχαία κανονική καµπύλη και ᾱ η παραµέτρησή της µέσω του µήκους τόξου (ϐλ. Θεώρηµα 1.2.2). Αν T, N, B, k, τ είναι το τρίεδρο Frenet, η καµπυλότητα και η στρέψη της ᾱ, τότε ορίζουµε τα αντίστοιχα µεγέθη T,N,B,k,τ της α µέσω των τύπων ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv ) ( v ) T(t) := T(s(t)), N(t) := N(s(t)), B(t) := B(s(t)), k(t) := k(s(t)), τ(t) := τ(s(t)). 1.4.2 Θεώρηµα. Αν α: I R 3 είναι µια (τυχαία) κανονική καµπύλη, τότε k = α α α 3. Απόδειξη. Εστω α µια κανονική καµπύλη και ᾱ = α h η αναπαραµέτρησή της µέσω του µήκους τόξου, όπου h = s 1 και s το µήκος τόξου. Τότε α = ᾱ s, οπότε, για κάθε t I, έχουµε τις σχέσεις (1.4.1) (1.4.2) α (t) = (ᾱ s) (t) = s (t)ᾱ (s(t)) = s (t) T(s(t)), α (t) = s (t) T(s(t)) + s (t) 2 ( T (s(t)) = s (t) T(s(t)) + s (t) 2 k(s(t)) N(s(t)) οπότε α (t) α (t) = s (t) T(s(t)) [s (t) T(s(t))+ + s (t) 2 k(s(t)) N(s(t))],

1.4. ΚΑΜΠΥΛ ΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΤΡ ΕΨΗ ΤΥΧΑ ΙΑΣ ΚΑΝΟΝΙΚ ΗΣ ΚΑΜΠ ΥΛΗΣ 21 ή (1.4.3) Άρα α (t) α (t) = s (t)s (t)[ T(s(t)) T(s(t))]+ + s (t) 3 k(s(t))[ T(s(t)) N(s(t))] = 0 + s (t) 3 k(s(t)) B(s(t)) = α (t) 3 k(s(t)) B(s(t)). α (t) α (t) = α (t) 3 k(s(t)), απ όπου προκύπτει η δηλαδή η Ϲητούµενη σχέση. k(t) := k(s(t)) = α (t) α (t) α (t) 3, 1.4.3 Θεώρηµα. Αν η α είναι µια κανονική καµπύλη µε k > 0, τότε τ = < α α,α > α α 2 = [α α α ] α α 2. Απόδειξη. Οπως προηγουµένως, ϑεωρούµε την αναπαραµέτρηση ᾱ της α µέσω του µήκους τόξου. Από την σχέση (1.4.2) ϐρίσκουµε ότι α (t) = s (t) T(s(t)) + s (t)s (t) T (s(t)) + +[s (t) 2 k(s(t))] N(s(t)) + s (t) 3 k(s(t)) N (s(t)) = s (t) T(s(t)) + s (t)s (t) k(s(t)) N(s(t)) + +[s (t) 2 k(s(t))] N(s(t)) s (t) 3 k(s(t)) 2 T(s(t)) + +s (t) 3 k(s(t)) τ(s(t)) B(s(t)) = X(t) T(s(t)) + Y (t) N(s(t)) + Z(t) B(s(t)), όπου ϑέσαµε X(t) = s (t) s (t) 3 k(s(t)) 2, Y (t) = s (t)s (t) k(s(t)) + [s (t) 2 k(s(t))], Z(t) = s (t) 3 k(s(t)) τ(s(t)).

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ Λαµβάνοντας υπ όψιν την (1.4.3) και ότι το B(s(t)) είναι κάθετο προς τα T(s(t)) και N(s(t)), έχουµε: < α (t) α (t),α (t) > = s (t) 3 k(s(t)) < B(s(t)),α (t) > απ όπου παίρνουµε την = s (t) 3 k(s(t))x(t) < B(s(t)), T(s(t)) > + + s (t) 3 k(s(t))y (t) < B(s(t)), N(s(t)) > + + s (t) 3 k(s(t))z(t) < B(s(t)), B(s(t)) > = 0 + 0 + s (t) 6 k(s(t))2 τ(s(t)) = α (t) α (t) 2 τ(s(t)), τ(t) := τ(s(t)) = < α (t) α (t),α (t) > α (t) α (t) 2, µε την οποίαν ολοκληρώνεται η απόδειξη. 1.5 Το τρίεδρο Frenet µιας τυχαίας καµπύλης Θα υπολογίσουµε τώρα τα διανύσµατα T(t), N(t) και B(t) (ϐλ. Ορισµό 1.4.1), για µία τυχαία κανονική καµπύλη α, µε µη µηδενική καµπυλότητα. 1.5.1 Θεώρηµα. Εστω α: I R 3 µια κανονική καµπύλη, όχι κατ ανάγκη µοναδιαίας ταχύτητας, µε µη µηδενική καµπυλότητα, και {T(t),N(t),B(t)} το αντίστοιχο τρίεδρο Frenet. Τότε (1.5.1) (1.5.2) (1.5.3) T(t) = α (t) α (t), ( α (t) α (t) ) α (t) N(t) = α (t) α (t) α (t), B(t) = α (t) α (t) α (t) α (t). Απόδειξη. Εστω ᾱ = α h η αντίστοιχη καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας (ϐλ. Θεώρηµα 1.2.2), όπου h = s 1 και s το µήκος τόξου. Τότε T(t) = T(s(t)) = ᾱ (s(t)) = (α h) (s(t)) = α (h(s(t)))h (s(t)) = α 1 (t) s (t) = α (t) α (t).

1.5. ΤΟ ΤΡ ΙΕ ΡΟ FRENET ΜΙΑΣ ΤΥΧΑ ΙΑΣ ΚΑΜΠ ΥΛΗΣ 23 Ανάλογα, από την σχέση T = T s, παίρνουµε την T = T h, εποµένως N(t) = N(s(t)) = T (s(t)) k(s(t)) = (T h) (s(t)) k(t) = T (h(s(t)))h (s(t)) k(t) = T (t) s (t) α (t) 3 α (t) α (t) = T α (t) 2 (t) α (t) α (t). = T (t) k(t)s (t) Από την παραπάνω ισότητα, έχουµε ότι T (t) και N(t) είναι συγγραµµικά. Επειδή T(t) N(t), είναι και T(t) T (t). Επίσης προφανώς T(t) = 1. Άρα, εφαρµόζοντας το Λήµµα 1.3.2 για u = T(t) και v = T (t), παίρνουµε T (t) = (T(t) T (t)) T(t). Λαµβάνοντας υπ όψιν ότι T(t) = α (t) s (t) ϐρίσκουµε ότι T (t) = απ όπου προκύπτει η Τέλος, [ϐλ. σχέση (1.5.1)] και T (t) = α (t)s (t) α (t)s (t) s (t) 2, ( α (t) s (t) α (t)s (t) α (t)s ) (t) s (t) 2 α (t) s (t) = 1 s (t) 4[(α (t) α (t)s (t) α (t) α (t)s (t)] α (t) = 1 s (t) 3[(α (t) α (t)) α (t)], N(t) = ( α (t) α (t) ) α (t) α (t) α (t) α (t). B(t) = B(s(t)) = T(s(t)) N(s(t)) = T(t) N(t) = α (t) α (t) (α (t) α (t)) α (t) α (t) α (t) α (t) ( = α (t) α α (t) (t) α ) (t) α (t) α (t) α (t) α (t) = α (t) α (t) α (t) α (t),

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ όπου στην τελευταία ισότητα, έχει πάλι χρησιµοποιηθεί το Λήµµα 1.3.2, για u = α (t) α (t) και v = α (t) α (t) α (t) α (t). 1.5.2 Θεώρηµα. Εστω α: I R 3 µια κανονική καµπύλη, όχι κατ ανάγκη µοναδιαίας ταχύτητας, µε µη µηδενική καµπυλότητα, και {T, N, B} το αντίστοιχο τρίεδρο Frenet (κατά µήκος της α). Τότε ισχύουν οι (γενικευµένοι) τύποι Frenet Serret: (F. 1) T = kvn, (F. 2) N = kvt + τvb, (F. 3) B = τvn, όπου v(t) := α (t) το µέτρο της ταχύτητας της α στο t I. Απόδειξη. Θεωρούµε την αναπαραµέτρηση ᾱ: J R 3 της α µέσω του µήκους τόξου και το τρίεδρο Frenet { T, N, B} κατά µήκος της ᾱ. Για κάθε t I, είναι T (t) = ( T s) (t) = T (s(t))s (t) = k(s(t)) N(s(t))s (t) = k(t)v(t)n(t), N (t) = ( N s) (t) = N (s(t))s (t) = k(s(t))s (t) T(s(t)) + τ(s(t))s (t) B(s(t)) = k(t)v(t)t(t) + τ(t)v(t)b(t), B (t) = ( B s) (t) = B (s(t))s (t) = τ(s(t)) N(s(t))s (t) = τ(t)v(t)n(t), οπότε η απόδειξη των τύπων είναι πλήρης. 1.6 Προσανατολισµός Ας ϑεωρήσουµε δύο διατεταγµένες ϐάσεις (u 1,u 2,u 3 ) και (v 1,v 2,v 3 ) του R 3. Λέµε ότι οι ανωτέρω ϐάσεις έχουν τον ίδιο προσανατολισµό, αν ο αντίστοιχος πίνακας αλλαγής ϐάσης έχει ϑετική ορίζουσα. Η προηγούµενη σχέση είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο των διατεταγµένων ϐάσεων του R 3, που τις χωρίζει σε δύο κλάσεις ισοδυναµίας. Οι ϐάσεις που έχουν ίδιο προσανατολισµό µε την συνήθη (ορθοκανονική) ϐάση (e 1,e 2,e 3 ) λέγονται ϑετικά προσανατολισµένες και οι υπόλοιπες αρνητικά προσανατολισµένες. 1.6.1 Λήµµα. Αν a,b είναι δύο γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα του R 3, τότε η τριάδα (a, b, a b) είναι µια ϑετικά προσανατολισµένη ϐάση.

1.6. ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜ ΟΣ 25 Απόδειξη. Εστω ότι a = (a 1,a 2,a 3 ) και b = (b 1,b 2,b 3 ). Τότε a b = e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 και ο πίνακας αλλαγής ϐάσης εχει ορίζουσα a 1 b 1 a 2 b 3 a 3 b 2 a 2 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 3 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 = (a 2b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ), = (a 1b 2 a 2 b 1 ) 2 + (a 2 b 3 a 3 b 2 ) 2 + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) 2, που είναι γνήσια ϑετική. Εποµένως, η τριάδα (a, b, a b) είναι πράγµατι ϐάση, ϑετικά ορισµένη. 1.6.2 Πόρισµα. Αν α: I R 3 είναι µια κανονική καµπύλη, το τρίεδρο Frenet σε κάθε σηµείο t I είναι µια ϑετικά προσανατολισµένη ϐάση του R 3. Ας ϑεωρήσουµε τώρα µια καµπύλη α: I R 3 και µια τυχαία αναπα- ϱαµέτρησή της β := α h: J R 3. Λέµε ότι οι α και β έχουν τον ίδιο προσανατολισµό, αν h (t) > 0, για κάθε t J. ιαφορετικά, αν h (t) < 0, για κάθε t J, λέµε ότι έχουν αντίθετο προσανατολισµό. 1.6.3 Πρόταση. Αν α: I = [a,b] R 3 είναι µια κανονική καµπύλη και β := α h: [0,L(α)] R 3 η αναπαραµέτρησή της µέσω του µήκους τόξου, τότε α και β έχουν τον ίδιο προσανατολισµό. Επίσης, η καµπύλη γ: [0,L(α)] R 3 µε γ(s) := β(l(α) s) είναι αναπα- ϱαµέτρηση της α, µοναδιαίας ταχύτητας και αντίθετου προσανατολισµού. Απόδειξη. Για την β, λόγω της (1.2.1), έχουµε ότι h (s(t)) = 1 s (t) = 1 α (t) > 0, για κάθε t I. Αντιστοίχως για την γ, αρκεί να παρατηρήσουµε ότι γ = α h λ, όπου η λ είναι η αµφιδιαφόριση µε λ(s) = L(α) s και λ (s) = 1, για κάθε s [0,L(α)]. Άρα (h λ) (s) = h (λ(s)) λ (s) < 0. 1.6.4 Εφαρµογή. Να ϐρεθεί πώς σχετίζεται το τρίεδρο Frenet, η καµπυλότητα και η στρέψη µιας αναπαραµέτρησης µε τον προσανατολισµό της.

26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ Εστω β = α h µια τυχαία αναπαραµέτρηση της α. Τότε β (t) = (α h) (t) = α (h(t))h (t), β (t) = (α (h(t))h (t)) = α (h(t))h (t) 2 + α (h(t))h (t), β (t) = [α (h(t))h (t) 2 + α (h(t))h (t)] απ όπου προκύπτει ότι και = h (t) 3 α (h(t)) + 3h (t)h (t)α (h(t)) + h (t)α (h(t)), β (t) β (t) = h (t) 3 (α (h(t)) α (h(t))), (β (t) β (t)) β (t) = h (t) 4 ((α (h(t)) α (h(t))) α (h(t))) < β (t) β (t),β (t) > = h (t) 6 < α (h(t)) α (h(t)),α (h(t)) > + + 3h (t) 4 h (t) < α (h(t)) α (h(t)),α (h(t)) > + + h (t)h (t) 3 < α (h(t)) α (h(t)),α (h(t)) > = h (t) 6 < α (h(t)) α (h(t)),α (h(t)) >. Εποµένως, το εφαπτόµενο διάνυσµα T β (t) της β στο β(t) είναι T β (t) = β (t) β (t) = (α h) (t) (α h) (t) = α (h(t)) h (t) α (h(t)) h (t) = T α(h(t)) h (t) h (t), δηλαδή, αν η β έχει ίδιο προσανατολισµό µε την α, τότε η β διατηρεί την κατεύθυνση της ταχύτητας της α (: την ευθεία πάνω στην οποία κείται το διάνυσµα της ταχύτητας) και την ϕορά, ενώ αν έχει τον αντίθετο προσανατολισµό, τότε αντιστρέφει την ϕορά. Για το πρώτο κάθετο διάνυσµα N β (t) έχουµε: N β (t) = (β (t) β (t)) β (t) β (t) β (t) β (t) = h (t) 4 h (t) 4 (α (h(t)) α (h(t))) α (h(t)) α (h(t)) α (h(t)) α (h(t)) = N α (h(t)), δηλαδή η β αφήνει το πρώτο κάθετο διάνυσµα αναλλοίωτο, ανεξαρτήτως του προσανατολισµού της. Η διγραµµικότητα του εξωτερικού γινοµένου µας δίνει για το δεύτερο κά- ϑετο διάνυσµα: B β (t) = T β (t) N β (t) = h (t) h (t) T α(h(t)) N α (h(t)) = h (t) h (t) B α(h(t)),

1.7. ΚΑΝΟΝΙΚ Η ΜΟΡΦ Η ΚΑΜΠ ΥΛΗΣ 27 δηλαδή, αν η β έχει ίδιο προσανατολισµό µε την α, τότε η β διατηρεί το δεύτερο κάθετο διάνυσµα, ενώ αν έχει τον αντίθετο προσανατολισµό, τότε το αντιστρέφει. Ακόµη, για την καµπυλότητα k β της β ϐρίσκουµε ότι k β (t) = β (t) β (t) β (t) 3 = h (t) 3 α (h(t)) α (h(t)) h (t) 3 α (h(t)) = k α (h(t)), δηλαδή, η καµπυλότητα µένει αναλλοίωτη από τις αναπαραµετρήσεις. Τέλος, για την στρέψη, παρατηρούµε ότι τ β (t) = < β (t) β (t),β (t) > β (t) β (t) 2 = h (t) 6 h (t) 6 < α (h(t)) α (h(t)),α (h(t)) > α (h(t)) α (h(t)) 2 = τ α (h(t)), δηλαδή και η στέψη µένει αναλλοίωτη. Από τα προηγούµενα συνάγεται ότι τα µεγέθη N, k και τ δεν εξαρτώνται από τον τρόπο µε τον οποίο διατρέχεται η καµπύλη, δηλαδή είναι "εσωτερικά" (intrinsic) µεγέθη της καµπύλης. 1.7 Κανονική µορφή καµπύλης Εστω α: J R 3 µια διαφορίσιµη καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας και s o J. Επιλέγουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων, τέτοιο ώστε το α(s o ) να συµπίπτει µε την αρχή των αξόνων, δηλαδή α(s o ) = 0, και εφαρµόζουµε την στροφή που κάνει το T(s o ) να συµπέσει µε το e 1 και το N(s o ) να συµπέσει µε το e 2. Τότε κατ ανάγκην B(s o ) = e 3. Γνωρίζουµε ότι, για ένα τυχαίο s J, είναι α (s) = T(s), α (s) = T (s) = k(s)n(s), α (s) = (k(s)n(s)) = k (s)n(s) + k(s)n (s) = k(s) 2 T(s) + k (s)n(s) + k(s)τ(s)b(s). Άρα, ιδιαιτέρως για το σηµείο s o, έχουµε α(s o ) = 0, α (s o ) = T(s o ) = e 1, α (s o ) = k(s o )N(s o ) = k(s o )e 2, α (s o ) = k(s o ) 2 e 1 + k (s o )e 2 + k(s o )τ(s o )e 3.

28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ Απ το άλλο µέρος, λόγω του Θεωρήµατος του Taylor, είναι α(s) = α(s o ) + α (s o ) 1! (s s o ) + α (s o ) (s s o ) 2 + 2! + α (s o ) (s s o ) 3 + O(s 3 ). 3! Αντικαθιστώντας τα παραπάνω δεδοµένα στο προηγούµενο αναπτυγµα, καταλήγουµε στη σχέση α(s) = 0 + (s s o )e 1 + k(s o) 2 (s s o) 2 e 2 + + 1 6 [ k(s o) 2 e 1 + k (s o )e 2 + k(s o )τ(s o )e 3 ](s s o ) 3 + O(s 3 ) = [ (s s o ) k(s o) 2 (s s o ) 3] e 1 + 6 + [ k(s o ) 2 (s s o) 2 + k (s o ) (s s o ) 3] e 2 + 6 + [ k(s o )τ(s o ) (s s o ) 3] e 3 + O(s 3 ). 6 Η τελευταία καλείται κανονική µορφή ή παράσταση (canonical representation) της καµπύλης α στο α(s o ). Παραλείποντας σε κάθε συντεταγµένη τους όρους µε την µεγαλύτερη δύναµη του (s s o ) (που συγκλίνουν ταχύτερα στο 0, καθώς s s o ), παίρνουµε την επόµενη προσέγγιση (approximation) της α (κοντά στο s o ): (1.7.1) α(s) = (s s o )e 1 + k(s o) 2 (s s o) 2 e 2 + k(s o)τ(s o ) (s s o ) 3 e 3. 6 Ισοδύναµα, έχουµε ότι (1.7.1 ) α(s) ( = s s o, k(s o) 2 (s s o) 2, k(s o)τ(s o ) (s s o ) 3). 6 Θα προσπαθήσουµε να προσδιορίσουµε την µορφή που έχει η (τυχαία) καµπύλη α κοντά στο s o, «ϕωτογραφίζοντάς την από τρεις πλευρές», δηλαδή προβάλοντάς την στα επίπεδα που σχηµατίζουν οι άξονες του συστήµατος συντεταγµένων. Εδώ το επίπεδο των x, y (δηλαδή το επίπεδο των e 1 = T(s o ), e 2 = N(s o )) είναι το εγγύτατο επίπεδο το επίπεδο των x, z (: των e 1 = T(s o ), e 3 = B(s o )) είναι το ευθειοποιούν, ενώ αυτό των y, z (: των e 2 = N(s o ), e 3 = B(s o )) είναι το κάθετο επίπεδο. ( Ετσι, η προβολή της α στο επίπεδο των x, y (: εγγύτατο επίπεδο) είναι η s s o, k(so) 2 (s s o ) 2), οποτε, για x = s s o και y = k(so) 2 (s s o ) 2, καταλήγουµε στην y = k(s o) 2 x2,

1.7. ΚΑΝΟΝΙΚ Η ΜΟΡΦ Η ΚΑΜΠ ΥΛΗΣ 29 που είναι σχέση δευτέρου ϐαθµού και παριστάνει µία παραβολή [ϐλ. Σχήµα 1.5(a)]. y z 0 0 x x ( a ) ( b) z y ( c) Σχήµατα 1.5 Η προβολή της α στο επίπεδο των x, z (: ευθειοποιούν επίπεδο) είναι η ( s so, k(so)τ(so) 6 (s s o ) 3). Θέτοντας x = s s o και z = k(so)τ(so) 6 (s s o ) 3 ϐρίσκουµε την σχέση τρίτου ϐαθµού (κυβική) z = k(s o)τ(s o ) x 3 6 για την οποίαν έχουµε την εικόνα του Σχήµατος 1.5(b). ( Τέλος, η προβολή της α στο επίπεδο των y, z (: κάθετο επίπεδο) είναι k(s η o) 2 (s s o ) 2, k(so)τ(so) 6 (s s o ) 3), η οποία, για y = k(so) 2 (s s o ) 2 και z = k(so)τ(so) 6 (s s o ) 3, οδηγεί στην z 2 = 2 9.τ(s o) 2 k(s o ) y3.

30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ Η προηγούµενη καµπύλη είναι γνωστή ως παραβολή Neil και την εικόνα της αποδίδει το Σχήµα 1.5(c). Εδώ πρέπει να παρατηρήσουµε ότι η τελευταία εξίσωση έχει έννοια επειδή k(s o ) > 0 (διαφορετικά η α ϑα ήταν ευθεία, οπότε η ανάλυση κατά Taylor είναι τετριµµένη και οι προβολές της καµπύλης στα τρία επίπεδα είναι ευθείες, άρα η προηγούµενη διαδικασία δεν δίνει καµιά ιδιαίτερη πληροφορία). Μια συνολική εικόνα και των τριών προβολών µας δίνει το επόµενο σχήµα. z ( b) y x ( a) ( c) Σχήµα 1.6 1.7.1 Εφαρµογή. Εστω α: I R 3 καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας και ση- µείο t o I τέτοιο ώστε, σε µια περιοχή I o = (t o ε,t o +ε) του t o, η καµπύλη να µην έχει συνευθειακά σηµεία. Θεωρούµε και τα σηµεία t o + t 1, t o + t 2 I o. Επειδή τα A := α(t o ), B := α(t o + t 1 ) και Γ := α(t o + t 2 ) δεν είναι συνευθειακά, ορίζουν ένα επίπεδο P(A, B, Γ). Ζητάµε να προσδιορίσουµε την οριακή ϑέση του P(A,B,Γ), όταν τα B και Γ συγκλίνουν στο A.

1.8. Ο ΕΓΓ ΥΤΑΤΟΣ Κ ΥΚΛΟΣ 31 Το επίπεδο P(A,B,Γ) περνά από το A και είναι παράλληλο προς το ε- πίπεδο των u = AB = α(t o + t 1 ) α(t o ) και v = AΓ = α(t o + t 2 ) α(t o ). Θεωρούµε την ανάλυση Taylor της α α(t o + t) = α(t o ) + tα (t o ) + t2 2 α (t o ) + O(t 2 ), διαδοχικά για t = t 1, t 2, οπότε u = t 1 α (t o ) + t2 1 2 α (t o ) + O(t 2 1), Θέτουµε v = t 2 α (t o ) + t2 2 2 α (t o ) + O(t 2 2). Θεωρούµε και το διάνυσµα u 1 := u t 1 = α (t o ) + t 1 2 α (t o ) + O(t2 1 ) t 1, v 1 := v t 2 = α (t o ) + t 2 2 α (t o ) + O(t2 2 ) t 2. w := 2 v 1 u 1 t 2 t 1 = α (t o ) + 2 t 2 t 1 ( O(t 2 2 ) O(t2 1 ) ). t 2 t 1 Τα διανύσµατα u 1, w είναι γραµµικοί συνδυασµοί των u και v, άρα ορίζουν το ίδιο επίπεδο, εποµένως lim P(A,B,Γ) = lim P(u 1,w) = P ( lim u B,Γ A t 1,t 2 0 t1 1, 0 lim w) t 1,t 2 0 = P ( α (t o ),α (t o ) ) = P(T(t o ),N(t o )), δηλαδή, στην οριακή του ϑέση το P(A,B,Γ) συµπίπτει µε το εγγύτατο επίπεδο. 1.8 Ο εγγύτατος κύκλος Ο εγγύτατος κύκλος, που ϑα µελετηθεί στη συνέχεια, ορίστηκε από τον G. W. Leibniz, αναπτύχθηκε περαιτέρω από τους Jakob και Johann Bernoulli, και χρησιµοποιήθηκε συστηµατικά από τον L. Euler για τον ορισµό της καµπυλότητας. Εστω α: J R 3 καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας και s o J σηµείο, τέτοιο ώστε η καµπύλη να µην έχει συνευθειακά σηµεία σε µια περιοχή J o του s o. Θεωρούµε δύο σηµεία s 1,s 2 J o. Επειδή τα A := α(s o ), B := α(s 1 ) και

32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ Γ := α(s 2 ) δεν είναι συνευθειακά, ορίζουν ένα κύκλο C(K,r) [που ϐρίσκεται πάνω στο επίπεδο P(A,B,Γ) (ϐλ. Εφαρµογή 1.7.1)]. Θα προσδιορίσουµε την οριακή ϑέση C(K o,r o ) του ανωτέρω κύκλου, όταν τα s 1,s 2 συγκλίνουν στο s o. N( s o ) ( s ) : B 1 r : ( s ) 2 K r o K o ( ) B s o A : ( s o ) ( ) T s o Σχήµα 1.7 Αρχικά σηµειώνουµε ότι, αφού κάθε κύκλος C(K,r) ανήκει στο αντίστοιχο επίπεδο P(A,B,Γ), ο οριακός κύκλος C(K o,r o ) ϑα ανήκει στο οριακό επίπεδο, δηλαδή στο εγγύτατο της α στο σηµείο α(s o ). Θεωρούµε την διαφορίσιµη συνάρτηση ρ: J R: s ρ(s) := α(s) K 2 = < α(s) K,α(s) K >, για την οποία είναι (1.8.1) ρ (s) = 2 < α (s),α(s) K > = 2 < T(s),α(s) K > και (1.8.2) Εφ όσον ρ (s) = 2 < T (s),α(s) K > +2 < T(s),T(s) > = 2 < k(s)n(s),α(s) K > +2. ρ(s o ) = ρ(s 1 ) = ρ(s 2 ) = r 2, από το ϑεώρηµα του Rolle προκύπτει ότι υπάρχει σηµείο s 3 µεταξύ των s o και s 1, καθώς και σηµείο s 4 µεταξύ των s o και s 2, έτσι ώστε (1.8.3) ρ (s 3 ) = ρ (s 4 ) = 0,

1.8. Ο ΕΓΓ ΥΤΑΤΟΣ Κ ΥΚΛΟΣ 33 οπότε η (1.8.1) δίνει ότι < T(s 3 ),α(s 3 ) K > = 0 = < T(s 4 ),α(s 4 ) K >. Από τις προηγούµενες ισότητες έχουµε ότι (1.8.4) α(s 3 ) K T(s 3 ) και α(s 4 ) K T(s 4 ). Επίσης, πάλι από το ϑεώρηµα του Rolle και τις (1.8.3), υπάρχει s 5 µεταξύ των s 3 και s 4 µε ρ (s 5 ) = 0, άρα η (1.8.2) συνεπάγεται ότι (1.8.5) < k(s 5 )N(s 5 ),α(s 5 ) K > = 1. Παρατηρούµε ότι όταν s 1, s 2 s o, οπότε K K o και r r o, τότε και s 3, s 4, s 5 s o. Εποµένως η σχέση (1.8.4) δίνει οριακά την α(s o ) K o T(s o ), άρα το διάνυσµα α(s o ) K o ανήκει στο επίπεδο P(N(s o ),B(s o )). Οµως, όπως παρατηρήσαµε στην αρχή, το α(s o ) K o ανήκει και στο εγγύτατο επίπεδο P(T(s o ),N(s o )), άρα ανήκει στην ευθεία (τοµή των δύο προηγουµένων επιπέδων) που παράγεται από το N(s o ), δηλαδή (1.8.6) α(s o ) K o = λn(s o ), για κάποιο λ R. Επίσης η (1.8.5) δίνει οριακά (1.8.7) < k(s o )N(s o ),α(s o ) K o > = 1. Συνδυάζοντας τις (1.8.6) και (1.8.7) παίρνουµε απ όπου < k(s o )N(s o ),λn(s o ) >= λk(s o ) = 1, λ = 1 k(s o ). Αντικαθιστώντας την τελευταία στην (1.8.6) ϐρίσκουµε ότι (1.8.8) K o = α(s o ) + 1 k(s o ) N(s o) και (1.8.9) r o = α(s o ) K o = λn(s o ) = λ = 1 k(s o ). Ο κύκλος C(K o,r o ) λέγεται εγγύτατος κύκλος (osculating circle) της α στο α(s o ).

34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΙΑΦΟΡ ΙΣΙΜΕΣ ΚΑΜΠ ΥΛΕΣ 1.8.1 Παρατηρήσεις. 1) Από την (1.8.9) προκύπτει ότι η καµπυλότητα της καµπύλης α στο σηµείο α(s o ) είναι το αντίστροφο του µήκους της ακτίνας του εγγύτατου κύκλου, άρα η ακτίνα καµπυλότητας της καµπύλης συµπίπτει µε το µήκος της ακτίνας του κύκλου αυτού. 2) Ερµηνεύοντας την εικόνα α(i) µιάς καµπύλης α ως τροχιά ενός κινητού, από την σχέση N(s o ) = 1 k(s o ) T (s o ) = 1 k(s o ) α (s o ), προκύπτει ότι το N(s o ) κατεύθυνεται προς το κοίλο µέρος της καµπύλης, αφού η επιτάχυνση έχει µια τέτοια κατεύθυνση. Το ίδιο συµπέρασµα προκύπτει "γεωµετρικά" µέσω του εγγύτατου κύκλου. Πράγµατι, από την (1.8.8) έχουµε ότι N(s o ) = k(s o ) ( K o α(s o ) ) = 1 r o ( Ko α(s o ) ), άρα το N(s o ) κατεύθυνεται προς το κέντρο του εγγυτάτου κύκλου, που ϐρίσκεται στο κοίλο µέρος της καµπύλης (ϐλ. σχετικώς και την Άσκσηση 2). 1.9 Το Θεµελιώδες Θεώρηµα των Καµπυλών Τα δύο αριθµητικά µεγέθη, η καµπυλότητα και η στρέψη, που αντιστοιχίσαµε σε µια κανονική καµπύλη, καθορίζουν ουσιαστικά µονοσήµαντα την καµπύλη. Πιό συγκεκριµµένα, δύο καµπύλες µε την ίδια καµπυλότητα και την ίδια στρέψη διαφέρουν µόνο ως προς την ϑέση τους στο χώρο, και αντιστρόφως. Υπενθυµίζουµε ότι µεταφορά (translation) κατά c R 3 ονοµάζεται η απεικόνιση µ c : R 3 R 3 : u µ c (u) := u + c, και στροφή (rotation) ονοµάζεται κάθε ορθογώνιος µετασχηµατισµός του R 3 µε ϑετική ορίζουσα, µε άλλα λόγια κάθε γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3 που διατηρεί τα εσωτερικά γινόµενα, δηλαδή < f(u),f(v) > = < u,v >; u,v R 3, και ο πίνακας της έχει ϑετική ορίζουσα (άρα διατηρεί τον προσανατολισµό των ϐάσεων). Εποµένως, η f διατηρεί τις αποστάσεις, αντιστρέφεται (δηλαδή είναι γραµµικός ισοµορφισµός) και διατηρεί τα εξωτερικά γινόµενα µε την έννοιαν ότι ισχύει η σχέση f(u v) = f(u) f(v), u,v R 3.